有限元基础复习题

N 2 ( ) l2(2) ( ) N3 ( ) l1(2) ( )
⑵图 a：有应变矩阵 B LN 1 dx
dN
dN 2 dN1 dx d
dN 2 d dN 2 。 d dx d L
K B DBdx
《有限元基础》复习题
1. 有限单元法的解题步骤如何？它和经典 Ritz 法的主要区别是什么？ 答：解题步骤：⑴划分单元，输入结点和单元信息；⑵单元分析： N、K 、P ⑶整体分析： K
e e
Ge K eGe , P G e Pe
e 1 e 1
ne
ne
引入位移边界条件得到： Ka P
e T 0
L
L
0
T L 2 EA dN dN T dN dN EA 1 1 d EA dx 0 。 dx dx L d d L 1 1
图 b：有应变矩阵 B LN 1 dx
所以 m 4
n
m 1 2.5 2
因而积分点数为： 3 3 3 矩阵 9. 为什么说 3 节点三角形单元是常应变单元？ 答： 常应变单元指的是在一个单元内的应变为常数， 有限元中的常应变单元指的是线性三角 形单元，线性三角形单元的位移场为线性的，应变为位移的一阶导数，故为常数，因此称为 常应变单元。 10. 以平面 4 节点双线性单元为例，说明形函数的两个重要特性。 答：图形见课件 2.5 矩形单元插值函数（形函数）的性质
K 的物理意义是任意给定结构的结点位移得到的结构结点力总体上满足力和力矩的平衡。
为消除 K 的奇异性，需要引入边界条件，至少需给出能限制刚体位移的约束条件。 3. 列式说明乘大数法引入给定位移边界条件的原理？ 答：设： a j a j ，则将
k jj k jj
1015
修改后的第 j 个方程为
k j1a1 k j 2 a2
由于
k jj a j
k j 2 n a2 n k jj a j
(i j )
k jj kij
得 所以
kij (i j ) k 0 jj
k jj a j k jj a j
aj aj
对于多个给定位移 j c1 , c2 ,
, cl 时，则按序将每个给定位移都作上述修正，得到全部进
行修正后的 K 和 P，然后解方程即可得到包括给定位移在内的全部结点位移值。 4. 何为等参数单元？为什么要引入等参数单元？ 答： 等参变换是对单元的几何形状和单元内的场函数采用相同数目的结点参数及相同的插值 函数进行变换，采用等参变换的单元称之为等参数单元。 借助于等参数单元可以对于一般的任意几何形状的工程问题和物理问题方便地进行有限元 离散，其优点有：对单元形状的适应性强；单元特性矩阵的积分求解方便（积分限标准化） ； 便于编制通用化程序。 5. 对于平面 4 节点（线性）和 8 节点（二次）矩形单元，为了得到精确的刚度矩阵，需要 多少个 Gauss 积分点？说明理由。 答：对于平面 4 节点（线性）矩形单元：
Ni ( , ) 1, x, y, z, xy, yz, zx, xyz B DB 1, x, xy, xz, , x 2 y 2 J 常数
m 1 1.5 2 因而积分点数为： 2 2 2 矩阵 n
对于空间 20 节点（二次）六面体单元： 所以 m 2
Ni ( , ) 1, x, y, z, x2 , y 2 , z 2 , x3 , y3 , z 3 , xy, yz, zx, x 2 y, xy 2 , x 2 z, xz 2 , y 2 z, yz 2 , xyz B DB 1, x, xy, xz, , x4 J 常数
2 x ( x1 x2 ) 2 x ( x1 x2 ) ，则有 1 1, 2 1, 1 1 。 x2 x1 L
故有， N1 ( ) l1 ( )
(1)
2 1 1 1 (1 ) ， N 2 ( ) l2(1) ( ) (1 ) 。 1 2 2 2 1 2
1、答：沿短边回头编号，存储量最小。 带宽的计算： D (相邻结点号码的最大差值 1) 自由度=（5+1） 2=12
2、答：由
得节点 A 的主对角线上的元素 k11,11 、 k12,12 在总系数矩阵中的行号为 11 和 12,列号为 11,12。 3、答：2、3、4 单元对 A 的主对角线上的系数有非零贡献。 注意：杆件单元在每个节点上有 1 个自由度，带宽不用乘以 2。 4. 答：两种编号方式，非零元素相等。编号的合理化只是将非零元素的位置集中在以主对 角线为中心的一条带状区域内，但并不改变非零元素的个数。
图 b，令
2 x ( x1 x2 ) 2 x ( x1 x2 ) ，则有 1 1, 2 0, 3 1, 1 1 。 x3 x1 L
(2)
故有， N1 ( ) l1 ( )
( 2 )( 3 ) 1 ( 1) (1 2 )(1 3 ) 2 ( 1 )( 3 ) 1 2 (2 1 )(2 3 ) ( 1 )( 2 ) 1 ( 1) (3 1 )(3 2 ) 2
i
1
二、如图所示平面问题有限元网格，每个单元4 个节点，每个节点2 个自由度，
1. 给出适当的节点编号，使总的系数矩阵的半带宽最小，并计算半带宽的值； 2. 在您的节点编号下，图中节点A 的主对角线上的元素在总系数矩阵中的行号和列号 如何？ 3. 哪几个单元对节点 A 的主对角线上的系数有非零贡献？ 4. 尝试另一种节点编号，两种编号下总刚矩阵中的非零元素是否相等？为什么？
Pj k jj a j
k11 k12 k 21 k22 即： k j1 k j 2 k2 n1 k2 n 2
k1 j k2 j
k jj
k2 nj
k12 n a1 P 1 k22 n a2 P2 k j 2 n a j k jj a j k2 n 2 n a2 n P2 n
节点载荷。
六、如图，6 节点三角形单元的 1—4—2 边（边长 l）作用有水平均布侧压 q，单元厚度为 t，求单元的等效节点载荷。
y
x
七、图示矩形单元若采用如下的插值函数
1 2 x 3 y 4 xy 5 y 2 6 xy 2 7 x 3 8 x 3 y 9 x 2 10 yx 2 2 2 3 2 2 3 (2) 1 2 x 3 y 4 x 5 xy 6 y 7 x 8 x y 9 xy 10 y
2 2 B DB 1, , , , ,
1 3 , 4
J 常数
所以 m 4
n
m 1 4 1 2.5 2 2
因而积分点数为： 3 3 矩阵 6. 总刚度矩阵[K]的任一元素 kij 的物理意义是什么？如何解释总刚度矩阵的奇异性和 带状稀疏性？ 答：K 中元素的 K ij 物理意义：当结构的第 j 个结点位移方向上发生单位位移，而其它结点 位移方向上位移为零时，需在第 i 个结点位移方向上施加的结点力大小。 奇异性： K =0,力学意义是对任意给定的结点位移所得到的结构结点力总体上是满足力和 力矩的平衡。反之，给定任意满足力和力矩平衡的结点载荷 P，由于 K 的奇异性却不能解得 结构的位移 a ,因而结构仍可能发生任意的刚体位移。为消除 K 的奇异性，结构至少需给 出能限制刚体位移的约束条件。 带状稀疏性： 由于连续体离散为有限个单元体时， 每个结点的相关单元只是围绕在该结点周 围为数甚少的几个， 一个结点通过相关单元与之发生关系的相关结点也只是它周围的少数几 个，因此虽然总体单元数和结点数很多，结构刚度矩阵的阶数很高，但刚度系数中非零系数 却很少，即为总刚度矩阵的稀疏性。另外，只要结点编号是合理的，这些稀疏的非零元素将 集中在以主对角线为中心的一条带状区域内，即为总刚度矩阵的带状分布特性。 7. 什么是等参单元？等参单元的收敛性如何？ 答： 等参变换是对单元的几何形状和单元内的场函数采用相同数目的结点参数及相同的 插值函数进行变换，采用等参变换的单元称之为等参元。 等参单元满足收敛性需满足两个条件：即单元必须是协调的和完备的。完备性条件：要求插 值函数中包含完全的线性项（包含常数项和一次项） 。协调性条件：单元边界上位移连续， 相邻单元边界具有相同的结点，每一单元沿边界的坐标和未知函数采用相同的插值函数。 8. 对于空间 8 节点（线性）和 20 节点（二次）六面体单元，为了得到精确的刚度矩 阵，需要多少个 Gauss 积分点？说明理由。 答：对于空间 8 节点（线性）六面体单元：
1 1 1 4 1 N 2 1 1 4 N1 N3 1 1 1 4 1 N 4 1 1 4
进而验证插值函数的性质：
N
i 1
1 (i j ) Ni ( j , j ) ij 0 (i j ) 4
1 1 3 2 A 5 3 8 5 12 13 9 6 14 6 4 10 7 15 11 7 4 2
k11,11 k11,12 K 66 k12,11 k12,12
三、
四、图示 6 节点三角形单元单位体积的重量为，单元厚度为 t，求单元的等效节点载荷。
y
x
五、图示6 节点三角形单元的142 边作用有均布侧压力q，单元厚度为t，求单元的等效来自百度文库
⑷求解方程得到解 a ⑸对位移 a 结果进行有关整理、计算单元或结点的应力、应变 有限元法和经典 Ritz 法的区别： 经典 Ritz 法是在整个区域内假设未知函数，适用于边界几何形状简单的情形；有限单元法 是将整个区域离散，分散成若干个单元，在单元上假设未知函数。有限单元法是单元一级的 Ritz 法。 2. 单元刚度矩阵和结构刚度矩阵各有什么特征？刚度矩阵 K 奇异有何物理意义？在求 解问题时如何消除奇异性？ 答：单元刚度矩阵的特征：⑴对称性⑵奇异性⑶主元恒正⑷平面图形相似、弹性矩阵 D、厚 度 t 相同的单元， K e 相同⑸ K e 的分块子矩阵按结点号排列，每一子矩阵代表一个结点，占 两行两列，其位置与结点位置对应。 整体刚度矩阵的特征：⑴对称性⑵奇异性⑶主元恒正⑷稀疏性⑸非零元素呈带状分布。
(1) 试分析各自的协调性。 （12 分）
y
4 5 6
3
2
1 10
7
8
9 x
八、考虑等截面轴力杆单元，题图中分别示出 2 节点和 3 节点单元体，
1. 写出它们的位移插值函数； 2. 推导这两种单元体的刚度矩阵； 3. 对 3 节点单元体用静力凝聚法消去中间节点自由度，建立单元体刚度矩阵表达式。 解：⑴图 a， 令
Ni ( , ) 1, , ,
BDB 1, , , 2 , 2 ,
J 常数
m2 m 1 n 1.5 2
因而积分点数为： 2 2 矩阵 对于平面 8 节点（二次）矩形单元：
Ni ( , ) 1, , , 2 , 2 , 2 , 2