初中数学 平行四边形讲义大全

平行四边形
【基础知识】
一、平行四边形的定义
1、定义:有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2、记作:□ABCD
3、读作：平行四边形ABCD
4、几何语言:
AB∥CD
AD ∥BC
二、平行四边形的有关概念
1、平行四边形中相对的边称为对边，
相对的角称为对角。

2、平行四边形中相邻的边称为邻边,
相邻的角称为邻角。

3、平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫它的对角线。

例1：已知：□ABCD（如图）求证：AB=CD，BC=DA；∠B=∠D，∠BAD=∠DCB 小结：有关四边形的问题常常可转化为三角形问题来处理。

三、平行四边形的性质：(图1)
边：平行四边形的对边平行且相等；角：平行四边形的对角相等；邻角互补。

∵四边形ABCD是平行四边形∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//CD AD//BC ∴∠A=∠C ∠B=∠D
∠A+∠D=180°∠B+∠C=180°
做一做：
1．两组对边_______的四边形叫做平行四边形．
2．平行四边形的对边______，对角________．
测试点平行四边形的边角性质
1．在□ABCD中:（1）若∠A=100°，则∠B=_____，∠C=____，∠D=_____．
（2）若AB=2，AD=5，则BC=_____，CD=_____，□ABCD的周长等于______．
2．已知平行四边形的邻边的比是3：5，它的周长是48cm，•则该平行四边形的一组邻边长分别为_____cm和_____cm．
3．如图1所示，□ABCD中，E，G是AD上的两点，F，H是BC上的两点，且AB•∥EF•∥GH∥DC．则图中的平行四边形共有_____个．
图1 图2 图3 图4 图5 ◆课后测控
A
B C
D
四边形ABCD是平行四边形
A
B C
D
A D
4．在□ABCD中，AB+BC=10，则□ABCD的周长是______．
5．在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，若∠B=70°，那么∠D=_____，∠C=_____．
6．□ABCD中，两个邻边的比为3：2，其中较长的一边为15cm，则ABCD的周长为____．7．□ABCD中，∠A的补角和∠C的补角的和是210°，则∠A=_____，∠B=_____．
8．如图2所示，四边形ABCD，ABDE都是平行四边形，且□ABCD的面积是4cm2，•那么四边形ABCE的面积是_____cm2．
9．从平行四边形的一个锐角顶点向对边作两条高线，•如果这两条高线的夹角为135°，则这个平行四边形的各内角度数为_______．
10．如图3所示，□ABCD中，∠C=108°，BE平分∠ABC，则∠ABE等于（）
A．18° B．36° C．72° D．108°
11．如图4所示，E是□ABCD内任一点，若S四边形ABCD=6，则图中阴影部分的面积为（）A．2 B．3 C．4 D．5
12．如图5所示，在△ABC中，AB=AC=5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF•∥AC交AB于点F，那么四边形AFDE的周长是（）
A．5 B．10 C．15 D．20
13．如图，小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中一条边AB长为8m，其他三条边各长多少？14.已知如图，在□ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF。

求证：①△ABE≌△CDF ；②AE=CF
15．如图所示，□ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：△ABE≌△CDF．16．如图，在□ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，AE=CF，求证：BE=DF．
17．如图所示，在□ABCD中，AE⊥BC于E，在AD边上取一点G，使GD=AB，过点G作GF⊥CD 于点F，求证：AE=GF．
A
B C
D
平行四边形的判定 一、知识回顾
⎪⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨
⎧⎩⎨
⎧____________________________对角线对角线：平行四边形的平行四边形的邻角平行四边形的对角角平行四边形的对边平行四边形的对边边平行四边形的性质： 我们知道了平行四边形的性质，那么，有哪些方法可以判断一个四边形是平行四边形呢？ (1)根据定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 (图1)
∵AB//CD,AD//BC
∴四边形ABCD 是平行四边形。

(图1) (2)平行四边形的判别1
两组对边分别相等的四边形是平行四边形 (图1)
∵AD=BC,AB=CD
∴四边形ABCD 是平行四边形 (两组对边分别相等的四边形是平行四边形)
探索思考：
如图2，若在四边形ABCD 中,∠A=∠C 且∠B=∠D ，则能否识别四边形ABCD 为平行四边形？
总结：(3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形. (图2) ∵∠A=∠C, ∠B=∠D ∴四边形ABCD 是平行四边形
(4)平行四边形的判别2，
对角线互相平分的四边形是平行四边形 (图3)
∵AO=OC,BO=OD
∴四边形ABCD 是平行四边形 (对角线互相平分的四边形是平行四边形)
(5)平行四边形的判别3
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 (图4)
∵AB ∥CD,AB=CD
∴四边形ABCD 是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
(图4)
A B C
D
D
A A
B C
D
总结：平行四边形的判定方法 1、从边与边的关系
的四边形是平行四边形两组对边一组对边两组对边⎪⎭
⎪
⎬⎫
________________________
2、从角与角的关系
两组对角_________的四边形是平行四边形
3、从对角线的相互关系:
对角线___________的四边形是平行四边形．
1、如图1中，已知AD ∥BC ，要使四边形ABCD 为平行四边形，需要添加的条件是______．（只要填一个你认为正确的条件即可）
图1 图2
2、如图2所示，在□ABCD 中，E ，F 分别为AB ，DC 的中点，连结DE ，EF ，FB ，•
则图中共有_____个平行四边形．
3、下列条件中，能判断四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）
A ．A
B ∥CD ，AD=B
C B ．∠A=∠B ，∠C=∠
D C ．AB=AD ，CB=CD D ．AB ∥CD ，AB=CD 4、下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A ．一组对边相等，另一组对边平行
B ．一组对边平行，一组对角互补
C ．一组对角相等，一组邻角互补
D ．一组对角互补，另一组对角相等 5、具备下列条件的四边形中，不能确定是平行四边形的为（ ）． A ．相邻的角互补 B ．两组对角分别相等 C ．一组对边平行，另一组对边相等 D ．对角线交点是两对角线中点
6、已知：四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于O ，给出以下5个条件： ①AB ∥CD ；②OA=OC ；③AB=CD ；④∠BAD=∠DCB ；⑤AD ∥BC ．
从以上5个条件中任意选取2个条件，能推出四边形ABCD 是平行四边形的有（用序号表示）： 例如①与⑤_______．（可与你的同学合作交流）
7、如左图所示，四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，下列判断正确的是（ ）． A ．若AO=OC ，则ABCD 是平行四边形; B ．若AC=BD ，则ABCD 是平行四边形; C ．若AO=BO ，CO=DO ，则ABCD 是平行四边形;
D ．若AO=OC ，BO=OD ，则ABCD 是平行四边形
8、如右图所示，对四边形ABCD 是平行四边形的下列判断，正确的打“∨”，错误的打“×”． （1）因为AD∥BC，AB=CD ，所以ABCD 是平行四边形．（ ） （2）因为AB∥CD，AD=BC ，所以ABCD 是平行四边形．（ ） （3）因为AD∥BC，AD=BC ，所以ABCD 是平行四边形．（ ） （4）因为AB∥CD，AD∥BC，所以ABCD 是平行四边形．（ ）
（5）因为AB=CD，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（）
（6）因为AD=CD，AB=AC，所以ABCD是平行四边形．（）
9、如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，问四边形ABCD是不是平行四边形
10、如图所示，DB∥AC，且DB=1
2
AC，E是AC的中点，求证：BC=DE．
11、如图所示，□ABCD中，E，F分别是AD，BC中点，AF与BE交于点G，CE和DF交于点H，
求证：四边形EGFH是平行四边形．
12、如图所示，在△ABC中，AB=AC，E是AB中点，D在BC上，延长ED到F，•使ED=DF=EB，
连结FC．求证：四边形AEFC是平行四边形．。