人教版高中数学必修三 1.3算法案例
人教A版高中数学必修三1-3-1 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法
用更相减损术求 294 和 84 的最大公约数时，第一步是 ________．
[答案] 用 2 约简 [解析] 由于 294 和 84 都是偶数，先用 2 约简．
2．秦九韶算法 (1)概念：求多项式 f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0 的值 时，常用秦九韶算法，这种算法的运算次数较少，是多项式 求值比较先进的算法，其实质是转化为求 n 个__一__次__多项式 的值，共进行_n_次乘法运算和_n_次加法运算．其过程是：
[答案] C
3．更相减损术的理论依据是( ) A．每次操作所得的两数和前两数具有相同的最小公倍 数 B．每次操作所得的两数和前两数具有相同的最大公约 数 C．每次操作所得的两数和前两数的最小公倍数不同 D．每次操作所得的两数和前两数的最大公约数不同
[答案] B
4．用秦九韶算法计算f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋
3．求满足1＋
1 22
＋
1 32
＋…＋
1 n2
>106的最小正整数n，要求
设计算法画出其程序框图，编写程序．
[答案]
由于事先不知道循环的次数，故可用WHILE语句编写程 序如下：
新课引入
秦朝末年，楚汉相争．一次，韩信率 1500 名将士与楚王 大将李锋交战．苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死 伤四五百人，于是韩信整顿兵马返回大本营．当行至一山坡， 忽有后军来报，说有楚军骑兵追来．只见远方尘土飞扬，杀 声震天．汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗．韩信骑马到 坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌．
这样的问题，也有人称为“韩信点兵”．它形成了一类 问题，也就是初等数论中解同余式．这类问题的有解条件和 解题方法被称为“中国剩余定理”，这是由中国人首先提出 的．
高中数学第一章算法初步1.3.1辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法课件2新人教A版必修3
5.用更相减损术求294和84的最大公约数时,第一步是 【解析】由于294和84都是偶数,先用2约简. 答案:用2约简
.
一、辗转相除法与更相减损术 根据辗转相除法与更相减损术求两个正整数最大公约数的步骤,探究下列问题: 探究1:(1)用辗转相除法可以求两个正整数m,n的最大公约数,那么用什么逻辑 结构来设计算法?其算法步骤如何设计?
1.辗转相除法可解决下列问题中的 ( ) A.求两个正整数的最大公约数 B.多项式求值 C.求两个正整数的最小公倍数 D.排序问题 【解析】选A.辗转相除法可以求两个正整数的最大公约数.
2.用更相减损术可求得78与36的最大公约数是 ( ) A.24 B.18 C.12 D.6 【解析】选D.先用2约简得39,18;然后辗转相减得39-18=21, 21-18=3,18-3=15,15-3=12,12-3=9,9-3=6,6-3=3.所以所求的最大公约数为 3×2=6.
种算法由欧几里得在公元前300年左右首先提出,因而又叫
_____________. (2)算法步骤: 第一步,给定两个正整数m,n. 第二步,计算m除以n所得的余数r. 第三步,m=n,n=r. r=0 则m,n的最大公约数等于m;否则,返回第二步. 第四步,若____,
欧几里得算法
2.更相减损术
莫忘记求得的相等两数乘以约简的数才是所求最大公约数.
二、秦九韶算法 根据秦九韶算法的含义和步骤探究下列各题: 探究1:秦九韶算法的实质是什么? 提示:秦九韶算法的实质是:求多项式f(x)=anxn+an-1xn-1 +…+a1x+a0的值时,转化为求n个一次多项式的值,共进行n次乘法运算和n次加 法运算.这种算法的运算次数较少,是多项式求值比较先进的算法.
(人教a版)必修三同步课件：1.3算法案例
故加法次数要减少一次，为5－1＝4.故选D.
要点三 进位制
例3 (1)把二进制数1110011(2)化为十进制数．
(2)将8进制数314706(8)化为十进制数．
解
(1)1110011(2)＝1×26＋1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋
1×21＋1＝115. (2)314706(8)＝3×85＋1×84＋4×83＋7×82＋0×81＋6×80 ＝104902.所以，化为十进制数是104902.
所以80与36的最大公约数为4.
要点二
例2
秦九韶算法
已知一个5次多项式为f(x)＝4x5＋2x4＋3.5x3－2.6x2＋1.7x－0.8，用秦九韶算法求这个
多项式当x＝5时的值．
解
将f(x)改写为f(x)＝((((4x＋2)x＋3.5)x－2.6)x＋1.7)x－
0.8， 由内向外依次计算一次多项式当x＝5时的值： v0＝4；
2．注意：当多项ห้องสมุดไป่ตู้中n次项不存在时，可将第n次项看作0· xn.
跟踪演练2
用秦九韶算法计算f(x)＝6x5－4x4＋x3－2x2－9x，需要加法(或减法)与乘法运算 ( )
的次数分别为
A．5，4 B．5，5 C．4，4 D．4，5 答案 D
解析
n次多项式需进行n次乘法；若各项均不为零，则需进
行n次加法，缺一项就减少一次加法运算．f(x)中无常数项，
v2x＋an－3
vn－1x＋a0 n个一次多项式
4．进位制
运算方便 进位制是人们为了_____和_________ k进一”就是k进制，k进 计数 而约定的记数系统，“满
制的基数是k.把十进制转化为k进制数时，通常用除k取余法．
高中数学算法案例-进位制(公开课)教案 新人教A版必修3
必修3第一章1.3算法案例:案例3进位制[教学目标]：（1）了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换。
（2）学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究十进制转换为各种进位制的除k 去余法，并理解其中的数学规律。
[教学重点]各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换[教学难点]除k取余法的理解[情感态度价值观] 学生通过合作完成任务，领悟十进制，二进制的特点，了解计算机与二进制的联系，进一步认识到计算机与数学的联系,培养他们的合作精神和严谨的态度。
[教学方法] 讲解法、尝试法、归纳法、讨论法、[教学用具]多媒体电脑[学法] 学习各种进位制特点的同时探讨进位制表示数与十进制表示数的区别与联系，熟悉各种进位制表示数的方法，从而理解十进制转换为各种进位制的除k取余法。
[教学过程]一、创设情景，揭示课题辗转相除法和更相减损术，是求两个正整数的最大公约数的算法，秦九韶算法是求多项式的值的算法，将这些算法转化为程序，就可以由计算机来完成相关运算。
人们为了计数和运算方便，约定了各种进位制，本节课我们来共同学习《进位制》你都了解那些进位制？比如说？在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进位制，据说这与古人曾以手指计数有关；由于计算机的计算与记忆元件特点，计算机上通用的是二进位制；一周七天是七进位；一年十二个月〔生肖、一打〕是十二进制；旧式的称是十六进制；〔老称一斤为16两，故而有了半斤八两之说〕、24进制〔节气〕一小时六十分、角度的单位是六十进位制。
二进制是有德国数学家莱布尼兹发明的。
第一台计算机ENIAC〔埃尼阿克〕用的就是十进制。
计算机之父冯·诺伊曼研究后，提出改进意见，用二进制替代十进制。
主要原因①二进制只有0和1两个数字，要得到两种不同稳定状态的电子器件很容易，而且制造简单，可靠性高；②各种计数法中，二进制运算规那么简单。
如：十进 制乘法叫九九表，二进制只有4句。
人教版高中数学必修三课件：1.3 算法案例(共55张PPT)
解:用辗转相除法求最大公约数:612=468×1+144,468=144×3+36,144=36×4,即612
和468的最大公约数是36. 用更相减损术检验:612和468均为偶数,两次用2约简得153和117,153-117=36,11736=81,81-36=45,45-36=9,36-9=27,27-9=18,18-9=9,所以612和468的最大公约数为
转化为求n个一次多项式的值.
预习探究
知识点二 进位制
1.进位制:进位制是为了计数和运算方便而约定的记数系统,约定“满k进一”就 是 k进制 ,k进制的基数(大于1的整数)就是 k . 2.将k进制数化为十进制数的方法:先把k进制数写成各位上的数字与k的幂的乘积之和 的形式,再按照十进制数的运算规则计算出结果. 3.将十进制数化为k进制数的方法是 除k取余法 .即用k连续去除十进制数所得 的 商 ,直到商为零为止,然后把各步得到的余数 倒序 写出.所得到的就是相应的k 进制数. 4.k进制数之间的转化:首先转化为十进制数,再转化为 k进制数.
第一章 算法初步
1.3 算法案例 第2课时 秦九韶算法与进位制
预习探究
知识点一 秦九韶算法
1.秦九韶算法是我国南宋数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出的一 个用于计算多项式值的方法. 2.秦九韶算法的方法: 把一个n次多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 改写成下列的形式: f(x)=(anxn-1+an-1xn-2+…+a1)x+a0= ((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0 =…=
高中人教版数学必修3课本练习_习题参考答案
高中数学必修③课本练习,习题参考答案新心希望教育:RenYongSheng 第一章算法初步1.1算法与程序框图1.1.1算法的概念（p5)1. 解；第一步：输入任意正实数r，第二步：计算第三步：输出圆的面积S2. 解；第一步：给定一个大于l的正整数；第二步：令；第三步：用除，得到余数；第四步：判断“”是否成立，若成立，则i是n的因数；否则，i不是n的因数；第五步：使的值增加l，仍用表示，即令；第六步，判断“”是否成立．若是，则结束算法；否则，返回第三步1.1.2程序框图与算法的基本逻辑（P19）1.解；算法步骤：第一步，给定精确地d，令i=1第二步，取出的到小数点后第i位的不足近似值，记为a；取出的到小数点后第i位的过剩近似值，记为b,第三步，计算第四步，若m<d，则执行第五步；否则，将i的值增加1，返回第二步.第五步，输出程序框图如下图所示：1.1算法与程序框图（P20）A 组解；题目：在国内寄平信（外埠），每封信的质量x（克）不超过60克时的邮费（单位：分）标准为，试写出计算邮费的算法并画出程序框图。
算法如下：第一步，输入质量数x。
第二步，判断是否成立，若是，则输出y=120，否则执行第三步。
第三步，判断是否成立，若是，则输出y=240，否则，输出y=360，算法结束。
程序框图如下图所示：（注释：条件结构）2.解：算法如下：第一步，i=1,S=0.第二步，判断是否成立，若成立，则执行第三步，否则，执行第四步。
第三步，，i=i+1，返回第二步。
第四步，输出S.程序框图如下图所示：（注释：循环结构）3. 解：算法如下：第一步，输入人数x，设收取的卫生费为y元。
第二步，判断x>3是否成立，若不成立，y=5，输出y；否则，输出y.程序框图如下图所示：（注释：条件结构）BB 组1. 解：分析：我们设计对于一般的二元一次方程组（其中）的通用算法：第一步,,得（即） (3)第二步，解（3），得 (4)第三步，将（4）代入（1），得，因此，只要输入相应的未知数的系数和常数项，就能计算出方程组的解，即可以输出x、y的值，用顺序结构即可。
人教A版高中数学必修三课件：1.3《算法案例--辗转相除法与更相减损术》
小结
比较辗转相除法与更相减损术的区别
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除
法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数
上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字
大小区别较大时计算次数的区别较明显。 （2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果 是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与 差相等而得到
（ 1） 5
25
5
35
7
所以，25和35的最大公约数为5
思考：计算8256和6105的最大公约数.
辗转相除法（欧几里得算法）
观察用辗转相除法求8251和6105的最大公约数的过程
第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数 8251=6105×1+2146
结论： 8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和 6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。
开始 输入m,n
r=m MOD n
m=n n=r
LOOP UNTIL r=0
PRINቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ m END
r=0?
是 输出m 结束
否
练习：课本p45
1、(1)(4)
ks5u精品课件
二、《九章算术》——更相减损术 算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子 之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等 数约之。
第二步 对6105和2146重复第一步的做法 6105=2146×2+1813 同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。
完整的过程
8251=6105×1+2146 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333
高中数学必修三1.3算法案例-辗转相除法
1734=816×2＋102
816=102×8
2）再求102与1343的最大公约数
1343=102×13＋17
102=17×6
所以17为102与1343的最大公约数
所以17为1734、816、1343这三个数的最大公约数
板
书
设
计
第1.3节算法案例-----辗转相除法
............................... ................................... ...............
课后作业
P45练习：1.
P48习题1.3A组：1.
课
后
反
思
1.辗转相除法的思想2.辗转相除法算法框图3.例题讲解
................................ ................................... ...............
............................... ................................... ...............
2.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。
（b）过程与方法
在辗转相除法求最大公约数的学习过程中体会我们常见的约分求公因式的方法，，并从程序的学习中体会数学的严谨，领会数学算法计算机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。
（c）情态与价值
1.通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。
PRINT m
END
课堂练习：1.求两数4081与20723的最大公约数.
高中数学人教A版必修3第一章1.3算法案例课件
去
9－ 3= 6
6 － 3 = 3 减数与差相等
3×2=6
78与36的最大公约数为6.
更相减损术
问题6.根据更相减损术的过程，设计求两个正整数m，n最 大公约数的算法，需要用到什么逻辑结构？为什么？
第一步：任意给定两个正整 算法分析：
数，判断它们是否都是偶数。第一步，给定两个正整数m，n(m>n).
更相减损术
例2. 用更相减损术求78与36的最大公约数.
解： 78与36都是偶数
“可半”
78 ÷ 2 = 39 36 ÷ 2 = 18
“可半者半之”
除 完
39 － 18 = 21 大减小 21 － 18 = 3
再
18 － 3 = 15
乘
15 － 3 = 12
“更相减损”（辗转相减）
回
12 － 3 = 9
2 18 30 3 9 15 35
18与30的最大公约数为2 3 6 .
问题1. 求8251与6105的最大公约数. 可以使用短除法吗？
困难：两数比较大、公约数不易视察。 （辗转相除法、更相减损术）
知问
思考1：辗转相除法与更相减损术可以用来解 决什么问题？ 可以解决求两个正整数最大公约数的任何问题。
《九章算术》——更相减损术
“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少 减多，更相减损，求其等也，以等数约之。”
《九章算术》
刘徽
《九章算术》其作者已不可 考，现今流传的大多是在三 国时期刘徽为《九章》所作 的注本。它是中国古代第一 部数学专著，系统总结了战 国、秦、汉时期的数学成绩， 收录了246个数学问题及其 解法，是当时世界上最简练 有效的应用数学，它的出现 标志中国古代数学形成了完 整的体系。
人教版高中数学必修3-1.3《算法案例：进位制》教学教案
进位制学习目标1.了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换。
2.学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究十进制转换为各种进位制的除k去余法，并理解其中的数学规律。
学习重难点重点：各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换难点：除k去余法的理解以及各进位制之间转换的程序框图的设计学法与学习用具学法：在学习各种进位制特点的同时探讨进位制表示数与十进制表示数的区别与联系，熟悉各种进位制表示数的方法，从而理解十进制转换为各种进位制的除k去余法。
学习用具：电脑，计算器，图形计算器学习设想（一）创设情景，揭示课题我们常见的数字都是十进制的,但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的.比如时间和角度的单位用六十进位制,电子计算机用的是二进制.那么什么是进位制?不同的进位制之间又又什么联系呢?（二）研探新知进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。
可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。
现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数。
对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。
比如：十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的。
表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数.电子计算机一般都使用二进制,下面我们来进行二进制与十进制之间的转化例1 把二进制数110011(2)化为十进制数.解:110011=1*25+1*24+0*23+1*24+0*22+1*21+1*20=32+16+2+1=51例2 把89化为二进制数.解:根据二进制数满二进一的原则,可以用2连续去除89或所得商,然后去余数. 具体的计算方法如下:89=2*44+144=2*22+022=2*11+011=2*5+15=2*2+1所以:89=2*(2*(2*(2*(2*2+1)+1)+0)+0)+1=1*26+0*25+1*24+1*23+0*22+0*21+1*20=1011001(2)这种算法叫做除2取余法,还可以用下面的除法算式表示:把上式中的各步所得的余数从下到上排列即可得到89=1011001(2) 89 44 22 11 5 21222222 2 0 余数 1 0 0 1 1 01。
人教版高中数学必修三1.3.3算法案例(进位制)教学课件(共17张PPT)
二、 二进制
（1）二进制的表示方法
二进制是用0、1两个数字来描述的．如 1（120）0为1了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，
十进制一般不标注基数.
区分的写法：11001（2）或者
1(1101001(02)1=)21? 24 1? 23 0? 22 0? 21 1? 20
2＝ 2× 1＋0
1＝ 2× 0＋1
89＝1×26＋0×25＋1×24＋1×23＋0×22＋0×21＋1×20 所以：89=1011001（2）
五、十进制转换为其它进制 例4：把89化为五进制数。
解：根据除k取余法 以5作为除数，相应的除法算式为：
5 89 5 17
53 0
所以，89=324（5）
八进制呢？如7342(8)
k进制呢？ anan-1an-2…a1(k)？
三、二进制与十进制的转换
1、二进制数转化为十进制数
例1：将二进制数110011(2)化成十进制数。 解： 根据进位制的定义可知
110011(2) = 1? 25 1? 24 0? 23 0? 22 1? 21 1? 20
= 1? 32 1? 16 1? 2 1
• 2．十进制与k进制之间转换的方法；
先把这个k进制数写成用各位上的数字 与k的幂的乘积之和的形式，再按照十进 制数的运算规则计算出结果。
1、3 算法案例
（第三课时）
郾城高中高一数学组
一、教学目标: • 1.了解进位制的定义和常见的进位制。 • 2.理解算法与进位制的关系。 • 3.熟练掌握各种进位制之间的转化。
二、教学重难点: • 重点：算法与进位制的关系和各种进位制之
间的转化。 • 难点：算法与进位制的关系、并熟练会用算
最新人教版普通高中课程标准实验教科书必修3《算法案例——辗转相除法和更相减损术》说课稿
课题：算法案例——辗转相除法和更相减损术教材：人教版普通高中课程标准实验教科书必修3第一章第1.3节1、教材分析与传统教学内容相比，《算法初步》为新增内容，算法是计算机科学的重要基础，算法思想已经渗透到社会的方方面面，算法思想也逐渐成为每个现代人应具有的数学素养。
算法思想即体现了时代的特点，也是中国古代数学灿烂的历史和巨大的贡献在新层次上的复兴。
本节内容是探究古代算法案例――辗转相除法和更相减损术，经历设计算法解决问题的全过程，体会算法在解决问题中的重要作用，体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理的思考和数学表达能力，巩固算法三种描述性语言（自然语言、图形语言和程序语言），提高学生分析和解决问题的能力。
2、教学目标分析：（1）知识目标：①理解辗转相除法和更相减损术求两个正数的最大公约数的原理；②能用写算法步骤、画流程图和编程序表达辗转相除法；说明：在这里，理解案例中的新的知识是理解算法的必要的前提，但重要的是理解案例中的算法核心思想，而不是强调对案例中新知识的记忆和灵活运用。
（2）能力目标：①培养学生把具体问题抽象转化为算法语言的能力；②培养学生自主探索和合作学习的能力。
（3）情感目标：①使学生进一步了解从具体到一般思想方法。
②体会中国古代数学对世界数学的巨大贡献，培养爱国思想和学习数学的积极性。
3、教学重点与难点分析：（1）教学重点：能用写算法步骤、画流程图和编程序表达辗转相除法及更相减损术。
（体会算法解决问题的全过程）（2）教学难点：用不同逻辑结构的程序框图表达算法；4、教学方法与手段（1）、教法：阅读指导，以问题为载体，有引导的对话，让学生经历知识的形成过程和发展过程，有利于学生活动的充分展开。
（2）、学法：以观察、讨论、思考、分析、动手操作、自主探索、合作学习多种形式相结合，引导学生多角度、多层面认识事物，突破教学难点。
5、教学过程设计分析：辅助工具：ppt课件知识准备：带余除法6、评价分析：（1）、指导思想：①新知识与旧知识相结合的原则；②掌握知识与发展智力、能力相统一的原则；③教师的主导作用与学生的主体作用相结合的原则。
高中数学人教版必修三《1.3.2秦九韶算法》课件
= 3906 10次的乘法运算,5次的加法运算 4次的乘法运算,5次的加法运算
ｆ（5）=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
=5×（5４＋5３＋5２＋5＋１） ＋１
=5×（5×（5３＋5２＋5 ＋１ ）＋１ ） ＋１ =5×（5×（ 5× （5２＋5 ＋１） ＋１ ）＋１ ） ＋１ =5×（5×（ 5× （5× （5＋１ ） ＋１ ） ＋１ ）＋１ ） ＋１
• 四级所以ｆ（5）=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
• 五级
=5x5x5x5x5＋5x5x5x5＋5x5x5＋5x5＋5＋１
=3125＋625＋125＋25＋5＋１
= 3906
2023/9/16
4
单击此处编辑母版标题样式
算法二：先运算x2的值，然后顺次运算
• 单击此处编辑x2母·x、版（文本x2样·x）式·x、（ （ x2·x）·x）·x 的值
2023/9/16
2
单击此处编辑母版标题样式
案例2、秦九韶算法
• 单击此秦处九编韶辑算母法版是文求本一样元式多项式的值的一种方法。
• 二级
•怎三样•级四求级多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？ 算法一• 五：级把5代入，运算各项的值，然后把它们加起来。
算法二：先运算x2的值，然后顺次运算x2·x、
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• 二•级三级1、秦九韶算法的方法和步骤 • 2四、级• 五秦级九韶算法的流程图及程序
2023/9/16
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人教版 高中数学
高中数学人教A版必修三第一章1.3.3进位制-算法案例课件
把89化为五进制的数.
5 89 5 17 53
0
余数
4 2 3
∴ 89=324(5)
练习：把3282化为16进制的数.
10
11
12
13
14
15
A
B
C
D
E
F
思考 你会把三进制数10221(3)化为二进制数吗?
解:第一步:先把三进制数化为十进制数: 10221(3)=1×34+0×33+2×32+2×31+1×30
51
把89化为二进制的数.
2 89
2 44 2 22 2 11 25
22 21
0
余数
1 0 0 1 1 0 1
把算式中各步所得的余 数从下到上排列,得到
89=1011001(2) 可以用2连续去除89或所得 商(一直到商为0为止),然后 取余数---除2取余法.
这种方法也可以推广为把 十进制数化为k进制数的 算法,称为除k取余法.
=81+18+6+1=106. 第二步:再把十进制数化为二进制数:
106=1101010(2). ∴10221(3)=106=110就是几，基数都是大于1的数.
按照十进制数的运算规则计算出结果， 结果就是十进制下该数的大小了.
1.3算法案例
进位制
十进制数3721中的3表示3个千,7表示7个百,2表示2个 十,1表示1个一,从而它可以写成下面的形式:
3721=3×103+7×102+2×101+1×100.
同理: 3421(5)= 3×53+4×52+2×51+1×50.
每一位上的数都是整数.
人教版高中数学必修三知识讲解,巩固练习(教学资料,补习资料)：专题1.3 算法案例
知识1．求两个正整数的最大公约数的算法 （1）辗转相除法①定义：辗转相除法是用于求_____________的最大公约数的一种算法，这种算法是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法．就是对于给定的两个正整数，用较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成一对新数，继续上面的除法，直到余数为零，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数． ②算法步骤用辗转相除法求两个正整数的最大公约数，其算法步骤如下： 第一步，给定两个正整数,m n ． 第二步，计算m 除以n 所得的余数r ． 第三步，,m n n r ==．第四步，若0r =，则,m n 的最大公约数等于m ；否则，返回第二步． ③程序框图如图所示：④程序如下：INPUT m ，n DOr=m MOD n m=n n=rPRINT m END或INPUT m ，nr=1 While r>0 r=m MOD n m=n n=rPRINT m END（2）更相减损术①定义：中国古代的数学专著《九章算术》中记载着“更相减损术”，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之．” ②算法步骤第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步． 第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数． ③程序框图④程序如下：INPUT “a ，b=”;a ，b WHILE a≠b r=a-bIF b>r THEN a=b b=r ELSE a=r END IF WEND PRINT b END2．秦九韶算法（1）定义及原理：把一个n 次多项式1110()n n n n f a x a x x a x a --=++⋅⋅⋅++改写成如下形式：2110()((()))n n n f a x a x x a x a x a --=⋅⋅⋅+++⋅⋅+⋅+．求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即11n n v a x a -=+，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即212323,n n v v x a v v x a --=+=+，…，10n n v v x a -=+，这种求n 次多项式()f x 的值的方法叫做秦九韶算法．（2）秦九韶算法程序化的可行性探讨：观察秦九韶算法中的n 个一次式，可见计算k v 时要用到1k v -的值，若令0n v a =，我们可以得到下面的递推公式：0____________(1,2,,)n k v a v k n =⎧⎨==⋅⋅⋅⎩．这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，可以用循环结构来实现． （3）算法步骤第一步，输入多项式次数n 、最高次项的系数n a 和x 的值． 第二步，将v 的值初始化为n a ，将i 的值初始化为n －1． 第三步，输入i 次项的系数i a ． 第四步，,1i v vx a i i =+=-．第五步，判断i是否大于或等于0．若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值v．（4）程序框图如图所示：（5）程序如下：INPUT “n=”；nINPUT “an=”；aINPUT “x=”；xv=ai=n-1WHILE i>=0PRINT “i=”；iINPUT “ai=”；av=v*x+ai=i-1WENDPRINT vEND3．进位制（1）定义：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满二进一，就是二进制；满十进一，就是十进制；满六十进一，就是六十进制；等等．也就是说，“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．一般地，若k 是一个大于1的整数，那么以k 为基数的k 进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式：1210()110110(,,,,,0<,0,,,)n n n k n n n n a a a a a a a a a a k a a a k ----⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈<≤⋅⋅⋅<N ．说明：①若一个数为十进制数，其基数可以省略不写．②若是其他进位制的数，在没有特别说明的前提下，其基数必须写出，常在数的右下角标明基数． （2）将k 进制数转化为十进制数 ①算法步骤：计算k 进制数a 的右数第i 位数字i a 与1i k -的乘积1i i a k -⋅，再将其累加，这是一个重复操作的步骤．所以，可以用循环结构来构造算法，算法步骤如下： 第一步，输入,a k 和n 的值．第二步，将b 的值初始化为0，i 的值初始化为1． 第三步，1,1i i b b a k i i -=+⋅=+．第四步，判断i n >是否成立．若是，则执行第五步；否则，返回第三步． 第五步，输出b 的值． ②程序框图如图所示：③程序如下：INPUT “a ，k ，n=”；a ，k ，n b=0 i=1 t=a MOD 10 DOb=b+t*k^(i-1) a=a\10 t=a MOD 10 i=i+1LOOP UNTIL i>n PRINT b END（3）将十进制数转化为k 进制数 ①转化方法：十进制数化为k 进制数用____________，即先把十进制数a 除以k ，商为0q ，余数为0r ，再把0q 除以k ，商为1q ，余数为1r ，…，反复进行这种除法，直到商1n q -除以k 所得的商为0，余数是n r ，即1n n q r -=为止，此时将所有余数按从右到左排列就得到所要求的k 进制数10()n n k r r r -⋅⋅⋅． ②算法步骤：第一步，给定十进制正整数a 和转化后的数的基数k ． 第二步，求出a 除以k 所得的商q ，余数r ． 第三步，把得到的余数依次从右到左排列．第四步，若0q ≠，则a q =，返回第二步；否则，输出全部余数r 排列得到的k 进制数． ③程序框图如图所示：④程序如下：INPUT “a ，k=”；a ，k b=0 i=0 DO q=a\k r=a MOD k b=b+r*10^i i=i+1 a=qLOOP UNTIL q=0 PRINT b END知识参考答案： 1．（1）两个正整数2．（2）1k n k v x a --+3．（3）①除k 取余法重点重点辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、进位制难点用秦九韶算法求多项式的值，进位制间的转换易错易对秦九韶算法中的运算次数理解错误1．辗转相除法与更相减损术辗转相除法与更相减损术有着相同的算法依据，但要注意运算过程的差别．两者的区别是：（1）辗转相除法进行的是除法运算，即辗转相除，更相减损术进行的是减法运算，即辗转相减，但其实质都是一个不断的递推过程．（2）辗转相除法，下一次进行相除时，由上一次的除数和余数直接相除即可．而更相减损术下一次相减前必须有一个判断大小的过程，以区别谁做被减数．注意：用更相减损术求两正整数的最大公约数时，若两数为偶数，可先约去2，这时莫忘记求得的相等两数乘以约简的数才是所求的最大公约数．【例1】用辗转相除法和更相减损术求840与1764的最大公约数．【答案】840与1764的最大公约数是84．【解析】辗转相除法：1764=840×2+84，840=84×10+0，∴840与1764的最大公约数是84．更相减损术：1764–840=924，924–840=84，840–84=756，756–84=672，672–84=588，588–84=504， 504–84=420， 420–84=336， 336–84=252， 252–84=168， 168–84=84，∴840与1764的最大公约数是84．【例2】利用辗转相除法求3869与6497的最大公约数． 【答案】3869与6497的最大公约数为73．【名师点睛】辗转相除法计算次数少，而更相减损术计算次数多，但是更相减损术每一步的计算都是减法，比做除法运算要简单一些，所以一般当数较小时考虑用更相减损术，当数较大时考虑用辗转相除法． 2．秦九韶算法秦九韶算法的实质是：求多项式1110()n n n n f a x a x x a x a --=++⋅⋅⋅++的值时，转化为求n 个一次多项式的值，共进行n 次乘法运算和n 次加法运算．这种算法的运算次数较少，是多项式求值比较先进的算法． 【例3】 用秦九韶算法计算多项式f （x ）=12+35x –8x 2+79x 3+6x 4+5x 5+3x 6在x =–4时的值时，V 3的值为A ．–845B ．220C ．–57D ．34【答案】C【解析】∵多项式f （x ）=12+35x –8x 2+79x 3+6x 4+5x 5+3x 6=（（（（（3x +5）x +6）x +79）x –8）x +35）x +12， 当x =–4时，∴v 0=3，v 1=3×（–4）+5=–7，v 2=–7×（–4）+6=34，v 3=34×（–4）+79=–57．故选C ．【例4】用秦九韶算法计算函数f （x ）=2x 4+3x 3+5x –4在x =2时的函数值．【答案】62【名师点睛】利用秦九韶算法计算多项式的值的策略：（1）正确地将多项式改写，若在多项式中有几项不存在，可将这些项的系数看成0，即把这些项看做0n x ⨯． （2）由内向外逐次计算．（3）每一步计算结果准确，由于下一次计算用到上一次计算的结果，应认真、细致地计算每一步． 3．进位制把一个非十进制数转化为另一种非十进制数，通常是把这个数先转化为十进制数，然后再利用除k 取余法，把十进制数转化为k 进制数． 【例5】将八进制数127（8）化为十进制数． 【答案】87【解析】()21081271828786416787=⨯+⨯+⨯=++=．【例6】已知一个k 进制的数123（k ）与十进制的数38相等，求k 的值． 【答案】5【解析】将转化为十进制，()210212312323k k k k k k =⨯+⨯+⨯=++， 由题意，得k 2+2k +3=38， 所以k 2+2k –35=0， 所以k =5或k =–7（舍） 所以k =5．【名师点睛】除k 取余法的两个关注点：①要连续除：用k 连续去除十进制数或所得的商，直到商为零为止． ②若是其他进位制的数，在没有特别说明的前提下，其基数必须写出，常在数的右下角标明基数．基础训练1．秦九韶算法的先进性主要体现在减少运算次数，下列说法正确的是A ．可以减少加法运算次数B ．可以减少乘法运算次数C ．同时减少加法和乘法的运算次数D ．加法次数和乘法次数都有可能减少2．用秦九韶算法求多项式652()7632f x x x x =+++，当4x =时的值，先算的是A ．4×4=16B ．7×4=28C ．4×4×4=64D ．7×4+6=343．把十进制的23化成二进制数是A ．00 110（2）B ．10 111（2）C ．10 1111（2）D ．11 101（2）4．若十进制数26等于k 进制数32，则k 等于A ．4B ．5C ．6D ．85．用更相减损术求294和84的最大公约数时，需要做减法的次数是A ．3B ．4C ．5D ．66．1 037和425的最大公约数是A ．51B ．17C ．9D ．37．已知多项式54321()4322f x x x x x x =++---，用秦九韶算法求(2)f -等于 A ．1972-B ．1972C ．1832D ．1832-8．用更相减损术求156与91的最大公约数时，需要做减法的次数是__________． 9．将45（6）改写成十进制数为__________．10．用秦九韶算法计算多项式5432()54321f x x x x x x =+++++当4x =时的值时，乘法运算的次数为__________．11．用更相减损术求288与153的最大公约数．12．用秦九韶算法求多项式5432()3532f x x x x x x =-+-+当2x =时的值．能力提升13．在下列四个数中，最小的数是A ．(9)85B ．(6)210C ．(4)1000D ．(2)11111114．用秦九韶算法计算多项式65432()256238103f x x x x x x x =+++-+-当4x =-时的值时，3v 的值为A ．742-B ．49-C ．18D ．18815．若98与63的最大公约数为a ，二进制数(2)110011化为十进制数为b ，则a b +=A ．53B ．54C ．58D ．6016．用更相减损术求123和48的最大公约数是A ．3B ．7C ．9D ．1217．计算机是将信息转换成二进制处理，二进制即“逢二进一”，如(2)1101表示二进制数．将它转化成十进制形式是32101212021213⨯+⨯+⨯+⨯=，那么将二进制数1611111个（2）转换成十进制形式是A ．217-2B ．216-2C ．216-1D ．215-118．在下列各数中，最大的数是A ．(9)85B ．(6)210C ．(4)1000D ．(2)1111119．完成进位制之间的转化：(5)413=__________(7)． 20．（1）把八进制数()87341化为十进制数；（2）把1285化为16进制数．21．先将412（5）化成十进制的数，然后用“除k取余法”再化成七进制的数．22．用辗转相除法和更相减损术求261与319的最大公约数．参考答案1 2 3 4 5 6 7 13 14 15 16 17 18B D B D B B A D BC A C B 1．【答案】B【解析】通过对秦九韶算法的理解，可知它的主要作用是减少乘法的次数，将原来的乘法次数由(1)2n n减少到n，而对加法没有影响．故选B．2．【答案】D3．【答案】B【解析】23÷2=11…1，11÷2=5…1，5÷2=2…1，2÷2=1…0，1÷2=0…1，故23（10）=10111（2）．故选B．4．【答案】D【解析】由题意知，10 2632k k =⨯+⨯，解得8k =．故选D ． 5．【答案】B【解析】()()()()()294,84210,84126,8484,4242,42→→→→． 6．【答案】B【解析】∵1 037＝425×2＋187，425＝187×2＋51，187＝51×3＋34，51＝34×1＋17，34＝17×2，即1 037和425的最大公约数是17． 7．【答案】A【解析】∵1()((((43)2)1)1)2f x x x x x x =++---，∴197(2)2f -=-．8．【答案】5【解析】求最大公约数的过程如下：1569165-=，916526-=，652639-=，392613-=，261313-=．故13是最大公约数，共进行了5次减法运算． 9．【答案】29（10）【解析】由于45（6）=4×61+5×60=29（10）．故答案为：29（10）． 10．【答案】5【解析】5432((((54)3)2)1()54321)1f x x x x x x x x x x x =++++++++++=，不难发现要经过5次乘法，5次加法运算． 11．【答案】详见解析．【解析】288－153＝135，153－135＝18，135－18＝117，117－18＝99，99－18＝81，81－18＝63，63－18＝45，45－18＝27，27－18＝9，18－9＝9． 因此288与153的最大公约数为9． 12．【答案】详见解析．13．【答案】D【解析】因为(9)8589577=⨯+=，2(6)210261678=⨯+⨯=，3(4)10001464=⨯=，543210(2)11111122222263=+++++=，所以最小的数是(2)111111．故选D ．14．【答案】B【解析】65432()256238103f x x x x x x x =+++-+- (((((25)6)23)8)10)3x x x x x x =+++-+-，则010212,52(4)53,63(4)618v v v x v v x ==+=⨯-+=-=+=-⨯-+=，322318(4)v v x =+=⨯-2349+=-，故选B ． 15．【答案】C【解析】∵9816335=⨯+，6313528=⨯+，351287=⨯+，2874=⨯，∴98和63的最大公约数是7，即7a =．二进制数(2)110011化为十进制数为54321012120202121251⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，即51b =，则58a b +=．故选C ． 16．【答案】A【解析】123-48=75，75-48=27，48-27=21，27-21=6，21-6=15，15-6=9，9-6=3，6-3=3，所以123和48的最大公约数是3． 17．【答案】C【解析】161111个（2）1514016=12+12++12=21⨯⨯⨯-．18．【答案】B19．【答案】213【解析】∵012(5)41335154535425108=⨯+⨯+⨯=++⨯=，012108371727=⨯+⨯+⨯，∴(7)(5)421313=．20．【答案】（1）3809；（2）()16505．【解析】（1）()87341=3210783848183809⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）用16连续去除1285，直到商为0为止，所得到的余数依次从右向左排列，就得到()161285505=． 21．【答案】详见解析．【解析】412（5）=2×50+1×51+4×52=2+5+4×25=107， ∵107=7×15+2， 15=7×2+1， 2=7×0+2．∴把5进制的数412（5）化为7进制是212（7）． 22．【答案】详见解析．【解析】辗转相除法： 319＝261×1＋58， 261＝58×4＋29， 58=29×2，所以261与319的最大公约数为29．。
人教版数学必修三练习1.3算法案例
1.3算法案例一、基础过关1．下列各进制数中值最小的是() A．85(9)B．210(6)C．1 000(4)D．111 111(2)2．把189化为三进制数，则末位数是() A．0 B．1 C．2 D．33．已知一个k进制的数132与十进制的数30相等，那么k等于() A．7或4 B．－7C．4 D．都不对4．四位二进制数能表示的最大十进制数是() A．4 B．64 C．255 D．155．七进制数中各个数位上的数字只能是______中的一个．6．已知三个数12(16)，25(7)，33(4)，将它们按由小到大的顺序排列为________．7．已知1 0b1(2)＝a02(3)，求数字a，b的值．8．古时候，当边境有敌人来犯时，守边的官兵通过在烽火台上举火向国内报告，如图，烽火台上点火，表示数字1，不点火表示数字0，约定二进制数对应的十进制的单位是1 000，请你计算一下，这组烽火台表示约有多少敌人入侵？二、能力提升9．已知44(k)＝36，把67(k)转化为十进制数为() A．8 B．55 C．56 D．6210．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：十六进制0123456789 A B C D E F十进0123456789101112131415A．6E B．72 C．5F D．8011．10 303(4)和235(7)化为十进制数分别为______，_______.12．把五进制数1 234(5)转化为十进制数，再把它转化为八进制数．三、探究与拓展13．分别用算法步骤、程序框图、程序语句表示把k进制数a(共有n位数)转化成十进制数b.1.答案 D2.答案 A解析将189除以3得余数为0，所以189化为三进制数的末位数为0.3.答案 C解析132(k)＝1×k2＋3×k＋2＝k2＋3k＋2，∴k2＋3k＋2＝30，即k2＋3k－28＝0，解得k＝4或k＝－7(舍去)．4.答案 D解析由二进制数化为十进制数的过程可知，当四位二进制数为1 111时表示的十进制数最大，此时，1 111(2)＝15.5.答案0、1、2、3、4、5、6解析“满几进一”就是几进制．∵是七进制．∴满七进一，根本不可能出现7或比7大的数字，所以各个数位上的数字只能是0、1、2、3、4、5、6中的一个．6.答案33(4)<12(16)<25(7)解析将三个数都化为十进制数.12(16)＝1×16＋2＝18,25(7)＝2×7＋5＝19，33(4)＝3×4＋3＝15，∴33(4)<12(16)<25(7)．7.解∵1 0b1(2)＝1×23＋b×2＋1＝2b＋9，a02(3)＝a×32＋2＝9a＋2，∴2b＋9＝9a＋2，即9a－2b＝7.∵a∈{1,2}，b∈{0,1}，∴当a ＝1时，b ＝1符合题意，当a ＝2时，b ＝112不合题意， ∴a ＝1，b ＝1.8.解 由图可知从左到右的五个烽火台，表示二进制数的自左到右五个数位，依题意知这组烽火台表示的二进制数是11 011，改写为十进制为：11 011(2)＝1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝16＋8＋2＋1＝27(10)．又27×1 000＝27 000，所以这组烽火台表示边境约有27 000个敌人来犯．9.答案 B解析 由题意得，36＝4×k 1＋4×k 0，所以k ＝8.则67(k )＝67(8)＝6×81＋7×80＝55.10.答案 A解析 A ×B 用十进制可以表示为10×11＝110，而110＝6×16＋14，所以用十六进制表示为6E .11.答案 307 124解析 10 303(4)＝1×44＋3×42＋3×40＝307.235(7)＝2×72＋3×71＋5×70＝124(10)．12.解 1 234(5)＝1×53＋2×52＋3×51＋4×50＝194(10)．因为，所以1 234(5)＝194(10)＝302(8)．13.解 算法步骤： 第一步，输入a ，k ，n 的值．第二步，赋值b ＝0，i ＝1.第三步，b ＝b ＋a i ·k i －1，i ＝i ＋1.第四步，判断i >n 是否成立．若是，则执行第五步；否则，返回第三步．第五步，输出b 的值．程序框图：程序语句：INPUT “a,k,n=”;a,k,n b=0i=1t=a MOD 10DOb=b+t*k＾(i-1)a=a\\10t=a MOD 10i=i+1LOOP UNTIL i>n PRINT bEND。
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一、选择题
1．关于进位制说法错误的是()
A．进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统
B．二进制就是满二进一，十进制就是满十进一
C．满几进一，就是几进制，几进制的基数就是几
D．为了区分不同的进位制，必须在数的右下角标注基数
解析：一般情况下，不同的进位制须在数的右下角标注基数，但十进制可以不用标注，
所以不是必须在数的右下角标注基数，所以D错误．
答案：D
2．下列四个数中，数值最小的是()
A．25(10)B．111(10)
C．10 110(2)D．10 111(2)
解析：C中10 110(2)＝1×2？＋1×2？＋2＝22，
D中，10 111(2)＝23.
答案：C
3．用更相减损术求1 515和600的最大公约数时，需要做减法次数是()
A．15 B．14
C．13 D．12
解析：1515－600＝915,915－600＝315,600－315＝285,315－285＝30,285－30＝255,255
－30＝225,225－30＝195,195－30＝165,165－30＝135,135－30＝105,105－30＝75,75－
30＝45,45－30＝15,30－15＝15.
∴1 515与600的最大公约数是15.则共做14次减法．
答案：B
4．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制数的对应关系如下表：
十六
0123456789 A B C D E F 进制
十进
0123456789101112131415 制
例如，用十六进制表示：E＋D＝1B，则A×B等于()
A．6E B．72
C．5F D．B0
解析：A×B用十进制表示10×11＝110，而110＝6×16＋14，所以用16进制表示6E. 答案：A
二、填空题
5．103(5)化为十进制数为________．
解析：103(5)＝1×52＋0×51＋3＝28.
答案：28
6．用更相减损术可求得78与36的最大公约数是________．
解析：78－36＝42,42－36＝6，
36－6＝30,30－6＝24,24－6＝18，
18－6＝12,12－6＝6.
答案：6
7．已知a＝333，b＝24，则使得a＝bq＋r(q，r均为自然数，且0≤r＜b)成立的q和r 的值分别为________．
解析：用333除以24，商即为q，余数即为r.
333÷24＝13…21.
答案：1321
8．已知k进制数132与十进制数30相等，则k的值为________．
解析：由题意得1×k2＋3×k＋2＝30.
即k2＋3k－28＝0.解之得
k＝4或k＝－7(舍去)．
答案：4
三、解答题
9．用秦九韶算法求多项式f(x)＝1＋x＋0.5x2＋0.166 67x3＋0.041 67x4＋
0.008 33x5，当x＝－0.2时的值．
解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：
f(x)＝((((0.008 33x＋0.041 67)x＋0.166 67)x＋0.5)x＋1)x＋1.
按照从内到外的顺序依次计算一次多项式当x＝－0.2时的值：
v0＝0.008 33；
v1＝0.008 33×(－0.2)＋0.041 67＝0.040 004；
v2＝0.040 004×(－0.2)＋0.166 67＝0.158 669 2；
v3＝0.158 669 2×(－0.2)＋0.5＝0.468 266 16；
v4＝0.468 266 16×(－0.2)＋1＝0.906 346 768；
v5＝0.906 346 768×(－0.2)＋1＝0.818 730 646.
∴当x＝－0.2时，多项式的值为0.818 730 646.
10．古时候，当边境有敌人来犯时，守边的官兵通过在烽火台上举火向国内报告，如图，烽火台上点火，表示数字1，不点火表示数字0，约定二进制数对应的十进制的单位是1 000，请你计算一下，这组烽火台表示约有多少敌人入侵？
解：由图可知从左到右的五个烽火台，表示二进制数的自左到右五个数位，依题意知这组烽火台表示的二进制数是11 011，改写为十进制为：
11 011(2)＝1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20
＝16＋8＋2＋1＝27(10)．
又27×1 000＝27 000，
所以这组烽火台表示边境约有27 000个敌人来犯．。