存在性与任意性问题----专题培训材料
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复读学校重难点专题突破材料（一）
函数中存在性和任意性问题
全称量词、特称量词以及全称命题和特称命题在近几年新课标高考卷和模拟卷中频频亮相成为高考
的热点问题.特别是全称量词”任意”和特称量词”存在”与函数情投意合风火情深，火借风势、风助火威，大有逾演逾烈之势.两种量词插足函数，使得函数问题意深难懂神秘莫测，问题显得更加扑朔迷离难度大增，同时题目也因此显得富有变化和新意.解决这类问题的关键是揭开量词隐含的神秘面纱还函数问题本来面目，本文通过典型题目分类解析供参考.
类型一：11x D ∃∈,22x D ∃∈,使得()()12=f x g x ,等价于函数()f x 在1D 上的值域与函数()g x 在2D
上的值域
的交集不空，即A B φ≠ .
例1 已知函数()31
,<1+12
=111
+,0612
2x x x f x x x ⎧≤⎪⎪⎨⎪-≤≤⎪⎩和函数()()=sin +1>06g x a x a a π-，若存在
[]12,0,1x x ∈，使得()()12=g f x x 成立，则实数的取值范围是（ ） 13.,22A ⎛⎤ ⎥⎝⎦ [).1,2B 1.,22C ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 3.1,2D ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
解 设函数()f x 与()g x 在[]0,1上的值域分别为
与
，依题意A B φ≠ .
当112x <≤时，()3=+1x f x x ，则()()()2
2
2+3=>0+1x x f x x '，所以()f x 在1,12⎛⎤
⎥⎝⎦上单调递增，所以()()1()<12f f x f ≤即()11<122
f x ≤. 当102x ≤≤时，()11=+612f x x -，所以()f x 单调递减，所以()
()1
()02f f x f ≤≤即
()1
012
f x ≤≤.
综上所述()f x 在[]0,1上的值域10,2A ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
.
当[]0,1x ∈时，
[0,
]6
6
x π
π
∈，又>0a ，所以()g x 在[]0,1上单调递增，所以()()()01g g x g ≤≤,即
()112a a g x -≤≤-
，故()g x 在[]0,1上的值域1,12a B a ⎡
⎤=--⎢⎥⎣
⎦. 因为
，所以1012a ≤-≤
或10122a ≤-≤解得1
22
a ≤≤，故应选.
类型二：11x D ∀∈,22x D ∃∈,使得()()12=f x g x ,等价于函数()f x 在1D 上的值域是函数()g x 在2D
上的值域
的子集，即A B ⊆.
例2(2011湖北八校第二次联考)设()()23+3
=>22
x x f x x x --，()()=>1,>2x g x a a x .①若()
02,+x ∃∈∞使()0=f x m 成立，则实数m 的取值范围为＿＿＿;②若()12,+x ∀∈∞，()22,+x ∃∈∞，使得()()12=f x g x ，则实数a 的取值范围为＿＿＿
解 ①依题意实数
的取值范围就是函数()()23+3
=>22
x x f x x x --的值域.设=2t x -，则问题转化为求
函数()()
()()2
+23+2+31
==++1>0t t h t t t t
t
-的值域，由均值不等式得，()3h t ≥，故实数m 的取值范围
是[)3,+∞.
②依题意实数a 的取值范围就是使得函数()f x 的值域
是函数()g x 的值域
的子集的实数a 的取值
范围.由①知[)3,+A =∞，易求得函数()g x 的值域()2
+B a =∞，，则A B ⊆当且仅当2<3
>1
a a ⎧⎨⎩