一元二次方程的有理根与整数根的条件

谈一元二次方程的有理根与整数根的条件

整系数一元二次方程()ax bx c a 2

00++=≠有有理根的充要条件是：∆=-b ac 24为一有

理数的平方。而有整数根，△必为一完全平方式。

注意这里c b a ,,皆为整数，前者△是有理数的平方，而非一般认为的完全平方式。而后者△为一完全平方式只是必要条件，不是充分条件，正确应用这些条件，可以解决很多有趣的问题，但在应用中往往要结合整数性质进行讨论。 一、与有理根有关的问题

例1. m 为有理数，问k 为何值时，方程x mx x m m k 22443240-++-+=的根为有理数？

解：原方程即： ()x m x m m k 22

413240--+-+=

如若有有理根，则()()()[]

∆=---+=-+-161432446412

2

2

m m m k m m k 应是某一有

理数的平方，可知()419-=k ，从而k =-54

。 本题也可这样解：原方程化为()

[]

()x m m k --=---213542

2

如有有理根，则--=540k 得k =-54

二、与整数根有关的问题

例2. 若方程x mnx m n 2

0-++=有整数根，且n m ,为自然数，则n m ,的值有__________个。 解：x mnx m n 2

0-++=……(*)有整数根，则()∆=--mn m n 2

44为一完全平方式，设为

()k k N 2∈，于是m n m n k 22244--=

即m n m n k 2

2

2

440

1---=<>

视<1>为m 的一元二次方程，它应有整数解，由

x x n x x n k n 122122

2

44+==-+， 可见n ≤2

（1）令n =1，则<1>式为：m m k 2

2

4402---=<>

<2>若要有整数解，则()(

)()∆=----=+4444822

2

k

k 应为完全平方式。

令()822+=∈k a a N ，则()()822

=-=+-a k a k a k

因为81824=⨯=⨯ 所以有如下两种情形。

⎩

⎨⎧=-=+18)k a k a a 无整数解，舍去。

b a k a k a k )+=-=⎧⎨

⎩→==⎧⎨

⎩423

1

代入<2>式得：m m 24410---= 所以m =5或m =-1（舍去） 将n m ==15，代入（*）式得： x x 1223==，

所以m n ==51，满足条件。由对称性（方程系数是对称的）知n m ==51，也是所求。 （2）令n =2，则<1>式为：448032

2

m m k ---=<>

<3>若有整数解，则()(

)()∆=--⨯--=+444816922

2

k

k 应为某一完全平方式

故令()922+=∈k b b N ，则 ()()922

=-=+-b k b k b k

因为99133=⨯=⨯ 所以又有两种情形。

a b k b k b k )+=-=⎧⎨⎩→

==333

代入<3>式得：m =2或m =-1（舍去） 将n m ==22，代入（*）得：

x x 122==

所以m n ==22，为所求。

b b k b k b k )+=-=⎧⎨⎩→==⎧⎨

⎩

915

4 代入<3>式得：m =3或m =-2（舍去） 将m n ==32，代入（*）式得：

x x 1215==，，有整数解，故m n ==32，为所求。

由对称性知n m ==32，也为所求。

故符合题意的整数对m 、n 有（5，1）、（1，5）、（3，2）、（2，3）、（2，2）共5个。

三、与因式分解有关的问题

例3. m 是什么整数时，95262m m ++能分解成两个连续自然数的积？

解：设()952612

m m n n ++=+（n 为自然数），则：

n n m m 22

95260

1+---=<>

原问题即m 为何值时关于n 的一元二次方程<1>有正整数解，所以：

()

∆=----=++149526362010522m m m m 应为某整数的平方，

设为()t

t 2

0>。则：362010522m m t ++=

化为：3620105022

2

m m k ++-=<>

因为m 是整数，故再次利用有整数解的条件，应有()

∆12220436105=-⨯-=k

()

1699202k -是某一整数的平方，

也即99202

k -为一完全平方数，又设为()a a 20>，于是992022k a -=，即992022k a -=或()()920333=+-<>k a k a

因为92025233=⨯⨯

所以9202460423051848115109220464023=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯ 又因()332k a k a a +--=是偶数，故3k a +与3k a -有相同的奇偶性，故：

①3460

32k a k a +=-=⎧⎨⎩

②3230

34k a k a +=-=⎧⎨⎩

③392310k a k a +=-=⎧⎨⎩ ④346320k a k a +=-=⎧⎨⎩

由①解得：k =77，此时<2>式为： 362016012

m m m +-=→=-或m =4

9

（舍去） 由②解得：k =39，此时<2>式为： 36201416062

m m m +-=→=或m =-59

9

（舍去） 由③解得：k =17，此时<2>式为： 3620184022m m m +-=→=或m =-23

9

（舍去） 由④解得：k =11，此时<2>式为： 362016012m m m +-=→=-或m =

4

9

（舍去） 经检验，m =--12613、、、均为所求值，所以m =--12613、、、时，

95262m m ++能分解成两个连续的自然数的积。事实上，对95262m m ++：