心理统计学-课程讲义4

【课程讲义】

第四章差异量数

【教学目标】

明确差异量数是描述数据离中趋势的一种量数，它与集中量数一起描述数据的全貌；明确标准差是所有差异量数中代表性最好的；掌握各种差异量数的概念、性质、计算方法、适用条件。

【学习方法】

了解、理解、计算与应用。

【重点难点】

差异量数的概念及适用条件；各种差异量数的计算方法；标准分数及百分等级的概念、适用条件及计算方法。

【讲义内容】

前一章讨论的集中量数反映的是一组数据的集中趋势，代表一组数据的一般水平。但是客观事物总是千差万别的，一组数据中不是所有的数值都与一般水平相等，而是有的高些，有的低些，彼此参差不齐。描述一组数据波动情况的量数成为差异量数。差异量数常用来衡量集中量数的代表性程度。差异量数越大，则集中量数的代表性越小；差异量数越小，则集中量数的代表性越大。

差异量数分为：绝对差异量数和相对差异量数

绝对差异量数：标准差，方差，四分差；

相对差异量数：差异系数

另外，本章还讲到相对地位量数：标准分数，百分等级。

第一节标准差

一、标准差的概念及适用条件

（一）概念

标准差是一组数据中每个数据与其算术平均数之差的平方和，除以总的数据个数，再求算术平方根。

标准差的计算公式为：

n X

S

2

)

(X-

∑

=（4.1）

X为算术平均数，n为数据的个数。

（二）适用条件

1．与算术平均数配合使用，与算术平均数的适用条件相同。即一组数据的一般水平适合用算术平均数描述时，其离散程度宜用标准差描述；

2．计算其他统计量时，如差异系数，标准分数，相关系数等，需要用到标准差；

3．在推论统计中，尤其是进行方差分析时，常用方差表示数据的离散程度。

二．标准差的计算方法

（一）未分组资料标准差的计算方法

1．基本公式法

用标准差的定义

n X

S

2

)

(X-

∑

=，计算标准差。

例1 某校四年级举行数学竞赛，一班、二班分别派九名选手参加，成绩如下表。试比较两个班的成绩。

4-1 四年级一班九名学生竞赛成绩统计表

4-2 四年级二班九名学生竞赛成绩统计表

解：先求年级一班的平均数和标准差。得X =73，从而∑（X —X ）2=1786，又由于N=9，所以算得的标准差为

09.149

1786)(X 2==-∑=N X S 再求四年级二班的平均数和标准差。得X =73，从而∑（X —X ）2

=5948，又由于N=9，所以算得的标准差为

71.259

5984

)(X 2==-∑=N X S 以上可知，两班的平均数都为73分，说明两班的平均水平相同。但由于一班的标准差为14.09, 一班的标准差为25.71，说明两班的差异水平很不同。一班的差异程度较小，平均分数73分代表性就大些；二班的差异程度较大，平均分数73分代表性就小些。 2．原始数据法

2

22

)

()(X N

X N

X N

X S ∑∑

-=

-∑= （4.2）

推导过程为：

()

()N

X X X X N

X X

S i i i

∑∑+-=

-=

2

22

2

2

=

N

X X X X i i

∑∑∑+-2

22式中N

X X i

∑=

且为定数

=

∑

=2

2X N X 上式可继续整理：

N

X N X X X S i i

∑∑+-=

2

22

2

=

N

N X N X N X X

i i i

i

∑∑∑∑⋅+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-22)(2 =

()()N

N

X N

X X

i

i

i

22

22∑∑∑+

-

=

()N N X X i

i

∑∑-

2

2

=2

2⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-∑∑N X N

X

i i

或()N X X N i i 2

2

∑∑-

例2 用原始计算法计算表4-1资料的标准差。

解：原始数据为：92，90，83，80，75，70，62，55，50。用计算器可直接计算出∑X=657，

∑X 2=49747，N=9代入公式（4.2）,得

09.14)9

657(949747)(2

22=-=∑-∑=N X N X S

（二）分组资料标准差的计算方法

对于次数分布表中的数据，以组中值作为各组的代表值，计算公式为：

N

X X f S C 2

)(-∑=

（4.3）

其中，C X 为各组对应的组中值，f 为每个组对应的次数，N 为总次数。 例3 某年级144名学生的语文成绩如下表,求其标准差。

解:将算得的

∑

2)(X X f C -=3483.16(其中X =52.8)，N=144，代入公式（4.3）,得

92.4144

16.3483)(2==-∑=N X X f S C

用上面的公式求标准差，需要先求出平均数，计算比较麻烦且影响结果的准确性，因此，在实际应用中，往往可以直接通过组中值，而不必计算平均数，来求标准差，对于分组数据，直接计算标准差的公式为：

22

)

(N

fX N fX S C C ∑-∑= （4.4）

例4 某校初一随机抽取60名学生测验其心理健康知识,成绩如表4-4,求其标准差。

4-4 60名学生心理健康知识成绩表