差分方程模型的稳定性分析
对流方程差分格式稳定性判定
对流方程差分格式稳定性判定李五明【摘要】The paper decided the stability of different difference schemes of the one dimension convection equation using Fourier stability analysis. The fundamental idea of Fourier stability analysis is to extend periodically the error of solution for the linear differential equation and express it using Fourier series, then check the enlargement and decay of every component of the Fourier series. According to Fourier series for each component change over time, we judged the stability of difference schemes by the magnification factor. Using the method, the paper decided the stability of different difference schemes for the given equation.%用傅里叶稳定性分析法判断一维对流方程不同差分格式的稳定性．傅里叶稳定性分析法的基本思想是：对于线性微分方程，将解的误差做周期延拓并用傅里叶级数表示出来，然后考察每一个傅里叶级数分量的增大和衰减情况；根据傅里叶级数每一个分量随时间的变化情况，由放大因子判断差分格式的稳定性．用该方法对给定方程不同差分格式的稳定性进行了判断．【期刊名称】《河南理工大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(031)003【总页数】4页(P369-372)【关键词】对流方程;差分格式;稳定性【作者】李五明【作者单位】河南理工大学数学与信息科学学院,河南焦作454000【正文语种】中文【中图分类】O175.210 引言用有限差分法数值求解偏微分方程是计算数学中的一个重要课题．在有限差分法中，差商代替了微商，差分方程代替了微分方程．然而，并不是任何情况下，差分方程都可以逼近原微分方程．因为，方程形式的逼近是一回事，方程解的逼近又是一回事．因此，在基本理论上必须解决数值计算中可能出现的诸如稳定性、精度等问题．采用有限差分法求解由偏微分方程所描述的具体问题时，在确定差分离散格式是否可用之前必须解决3个问题：当差分网格的时间与空间步长都趋近于零时，差分方程是否充分逼近原微分方程；差分格式的真解是否充分逼近原微分方程的精确解；差分格式的近似解与真解之间的误差是否有界．这3个问题在有限差分理论中分别称为相容性、收敛性和稳定性．差分格式的相容、收敛和稳定并不是孤立的，而是互有联系．根据LAX等价定理，若线性微分方程的初值问题适定、差分格式相容，则稳定性是收敛性的必要和充分条件．因此，常常通过判定一个差分格式的稳定性来判定其收敛性．因为，直接证明一个差分格式的收敛性是比较困难的，但对稳定性的证明却容易得多，且现有的方法也比较有效．本文介绍其中最常用的一种分析差分格式稳定性的方法：傅里叶稳定性分析法．傅里叶稳定性分析法的基本思想是将解的误差做周期延拓并用傅里叶级数表示出来，然后考察每一个傅里叶级数分量的增大和衰减情况．如果每一个分量的强度(或振幅)是随时间的推移而增大的，则所讨论的差分格式是不稳定的；反之，若每一个分量的振幅是随时间的推移而衰减或保持不变的，则格式是稳定的．为了进行这种分析，可以把某一分量的表达式代入到误差传播方程中，以得出相邻两时间层该分量的振幅比(通常称为放大因子)．稳定性的条件要求放大因子的绝对值(或模)小于或等于1．当放大因子等于1时，称为中性稳定．在这种情况下，任何时刻引进的误差都不会衰减或放大．本文主要针对一维对流方程，利用傅里叶稳定性分析方法讨论其不同差分格式的稳定性．1 傅里叶稳定性分析法针对一个具体的方程来考察傅里叶稳定性分析法，然后再将该方法推广到其他差分格式．一维对流方程的初值问题如下：，(1)问题的定解域为x-t的上平面(图1)，分别引入平行于x轴和平行于t轴的两族直线，把求解域划分为矩形网格．网格线的交点称为节点，x方向上网格线之间的距离Δx称为空间步长，t方向上网格线之间的距离Δx称为时间步长．这样，两族网格可记为x=xi=iΔx,(i=0,±1,±2,…)，t=tn=nΔt,(n=0,1,2,…).网格划定后，就可针对其中的任一节点，如图1中的节点(xi,tn)．将函数u在该点记为,tn)=u(iΔx,nΔt).(2)方程(1)的FTCS(Forward Time Central Space)格式为α.(3)将式(3)改写为易于递推计算的差分格式，有，式中：λ为网格比．相应于上式的误差传播方程为,(4)式中：ε为各节点上的误差．如果对ε在正负方向上作周期延拓，即把ε看作是以某一定值为周期的周期函数，则εn，εn+1可以展开为以下的傅里叶级数[5-6]：.于是，，(5),(6)式中：将式(5)和(6)代入式(4)得.(7)式(7)相当于将零展开成傅里叶级数，式中{ }内相当于傅里叶系数，它对于所有的k都等于零，即，(8)令,(9)则式(8)成为(不失一般性，支掉式中的下标记号k)Cn+1=GCn,(10)表示误差从第n层传播到第n+1层时，以傅里叶级数表示的每一误差分量的振幅放大或衰减了G倍．所以，称G为放大因子．傅里叶稳定性分析法就集中在对G 的分析上，如果|G|>1，则误差的振幅随n的增大而增大，差分格式不稳定；如果|G|≤1，则误差的振幅随n的增大而减小或不变，差分格式稳定．应用欧拉公式e±iz=cos z±isin z，将式(9)改写为G=1-iαλsin kΔx，得|G|2=1+α2λ2sin2kΔx．当sin2kΔx≠0时，选取网格比λ总有|G|>1．因此，差分格式(3)是不稳定的．从上例的分析注意到，以傅里叶稳定性分析法判断差分格式稳定性时，是从误差传播方程出发，将计算节点的误差延拓为傅里叶级数，并通过分析式(7)中傅里叶级数任一系数来确定放大因子G，进而确定差分格式的稳定性．对于齐次线性微分方程，由于误差传播方程与其相应的差分方程形式相同，在傅里叶稳定性分析中，只要令，(11)并将它们代入相应的差分格式中，同样可以得到与上例相同的放大因子G的表达式．为方便起见，在以后的傅里叶稳定性分析讨论中将采用式(11)的方式．2 应用举例例1 试讨论一维对流方程(1)的FTCS隐式差分格式的稳定性．解：方程(1)的FTCS隐式差分格式为α,(12)或写为，λ,将式(11)代入上式，有Cn+1eik(xi-Δx)]=Cneikxi，约去公因子eikxi后，得，即，由此得放大因子为,即≤1，所以，式(12)是无条件稳定的.例2 试讨论一维对流方程(1)的格式的稳定性．解：方程(1)的格式为，(13)或，λ，将式(11)代入上式，有，约掉公因子eikxi，得，由此得放大因子为，有|G|2=1.所以，差分格式(13)是无条件稳定的.3 结论(1)本文利用傅里叶稳定性分析法仅讨论一维对流方程不同差分格式稳定性的判断，实际上，该方法对二维对流方程、一(二)维扩散方程、一维对流-扩散方程也是适用的．(2)本文没有给出一维对流方程迎风格式稳定性的判定，主要是因为需要考虑CFL(Courant-Friedrichs-Lewy)条件，并且要对α的正负进行讨论．限于篇幅，略去．(3)傅里叶稳定性分析法只适用于线性微分方程，对于非线性方程差分格式稳定性的判定，目前还没有严格的一般性理论处理．通常的做法是，从非线性方程对应的线性化模型得出的稳定性判定准则出发，对非线性方程差分格式的稳定性进行大致估计，然后在实际计算中采用试算方法将其扩展到非线性问题中去．参考文献：[1] 张国强，吴家鸣.流体力学[M].北京：机械工业出版社，2005.[2] 顾丽珍.求解对流扩散方程的一些高阶差分格式[J].清华大学学报：自然科学版，1996，36(2)：9-14.[3] 管秋琴.一类对流扩散方程组的差分格式与稳定性[J].上海电力学院学报，2009，25(2)：192-195.[4] 余德浩，汤华中.微分方程数值解法[M].北京：科学出版社，2003.[5] 范德辉，陈辉，王秀凤，等.对流扩散方程差分格式稳定性分析[J].暨南大学学报：自然科学与医学版，2006，27(1)：24-29.[6] 阴继翔，李国君，李卫华,等.对流扩散方程不同格式的数值稳定性分析[J].太原理工大学学报：自然科学版，2004，35(2)：121-124，133.[7] 马荣，石建省，张翼龙，等.对流-弥散方程显式差分法稳定性分析方法的初探[J].水资源与水工程学报，2010，21(1)：132-134.[8] 陆金甫，关治.偏微分方程数值解解法[M].北京：清华大学出版社，2004.[9] 王静，王艳.RICCATI方程有理展开法及其在非线性反应扩散方程中的应用[J].河南理工大学学报：自然科学版，2010，29(5)：689-694.[10] 王同科，马明书.二维对流扩散方程的二阶精度特征差分格式[J].工程数学学报，2004，21(5)：727-731.。
有限时滞差分方程的稳定性及有界性分析
在 时 滞 差 分 方 程 稳 定 性 ¨ 和 有 界 性 “ 的研 究 中 ， ｉｐ ｎ ｖ泛 函 得 到 广 泛 运 用 ． 在 大 部 分 的 结 Ｌａ ｕ ｏ 但
１ 预 备 知 识
首先给 出一些符号 和定义． 记 为 ｋ维 Ｅ ｃｉ ｕ ｌ ｄ
果 中 ， 使 用 了一 个 Ｌ ａ ｕ ｏ 仅 ｉｐ ｎ ｖ泛 函 ， 且 一 般 还 会 而 要 求 其 正 定 ， 就 使 得 在 应 用 中 构 造 相 应 的 Ｌ ａ 这 ｉ—
方便性 ．
空 间 ， 表 示 非 负 整 数 集 ， 表 示 非 负 实 数 集 ． ｚ Ｒ 对
某 正 整 数 ｒ 记 Ｃ＝ ｛ ： ～ｒ … ， １ ０ 一 Ｒ ｝ 对 ， ｌ ｛ ， 一 ， ｝ ． 任 一 ∈Ｃ， ｆ ｛一 ｍａ 令 ｆ ｛ ｘ 为 中的一种范数． 考 虑时滞差分方程 ：
Ａｂｓ ｒ ｔａｃｔ Ｔ ｈｉ ａｐ ｏ ｉ ｅｒ ｔ ｓ ｍ ｐｔ ｉ ｔ ｂｉｉｙ ｏｆｔ ｅ ｚ ｒ ｏ ｕｔｏ ｄ ｔ ｂ ： ｓ ｐ ｅｒ ｃ ｎｓ ｄ ｓ ｈｅ ａ ｙ ｏｔｃ ｓ ａ ｌｔ ｈ ｅ ｏ ｓ ｌ ｉ ｎ ａｎ ｈｅ ｏｕｎｄ ｄｎｅ ｓ ｏｆ ｓ ｌ ｅ ｓ ｏ ｕ— ｔｏ ｏ ｉ ｔ ｅｌ ｙ ｄｉｆ ｒ ｃ ｑｕａ ｉ ｉ ｎｓ ｆ ｒ ｆｎｉｅ ｄ ａ ｆｅ ｅｎ ｅ ｅ ｔｏｎｓ ｂｙ Ｌｉ ｐｕｎｏｖ ｆ ｃ ｉ ａ ｕｎ ｔｏｎａ ． Ｃｏｍ ｍ ｏｎｌ １ ｙ ｏｎｌ ｙ ｏｎｅ Ｌｉ ｐｕｎｏｖ ｆ ａ ｕｎｃ ｉ ｎａｌ ｔｏ ｉ ｅ ｏ ｒ ｓ ｖ ｈｅ ｐｒ ｂｌ ｍ ， ｗ ｈｉ ｈ ｉ ｅｒ ｆ ｉ ｌ ． Ｈ ｅ ｅ ｉ ｇａ ｈｅ ｒ ｓ ｔ ｈｅ ｓ ａ ｌｔ ｈ ｅ ｏ ｓ ｕｓ ｄ ｔ ｅ ｏｌ ｅ ｔ ｏ ｅ ｃ ｓ ｖ ｙ ｄｉｆｃｕ ｔ ｒ ｔ ｖｅ ｔ ｅ ｕｌｓ ｏｆｔ ｔ ｂｉｉｙ ｏｆ ｔ ｅ ｚ ｒ ｓ ｕｔｏｎ ａ ｄ ｔ ｕｎｄｅ ｅｓ ｏ ｕｔｏ ｗ ｏ Ｌ ｉ ｐｕｎ ｕｎｃ ｉ ｏｌ ｉ ｎ ｈｅ ｂｏ ｄｎ ｓ ｏｆｓ ｌ ｉ ｎｓ ｂｙ ｔ ａ ｏｖ ｆ ｔｏｎａ ｓ Ａ ｎ ｈ ａ ｉｉｙ ｉ ｐｐｌｃ ｔｏ ａ ｌ． ｄ ｔ ｅ ｆ ｃ ｌｔ ｎ ａ ｉａ ｉｎ ｗ ｓ ｅ ｘｐｌ ｉ ｄ ｂｙ ｅｘａ ｐ ｅ ． ａ ｎｅ ｍ ｌ ｓ Ｋｅｙ ｗ ｏｒ ｄｓ： ｆｎｉｅ ｄｅ ａ ｆｅｒ ｎｃ ｑ ｔｏｎｓ； Ｌｉ ｐｕｎｏ ｕｎｃ ｉ ｎａｌ ｕｎ ｆ ｍ ｌ ｓ ｉ ｔ ｌ ｙ ｄｉｆ ｅ ｅ ｅ ｕａ ｉ ａ ｖｆ ｔｏ ｓ； ｉｏｒ ｙ ａ ｙｍ ｐ ｏ ｉ ｔ ｂｉｉｙ ； ｕｎｉ ｔ ｔｃ ｓ ａ ｌｔ — ｆ ｍ ｕｎ ｄｎｅ ｓ； ｕ ｆ ｍ ｌ ｔｍ ａ ｅ ｂ ｏｒ ｂｏ ｄｅ ｓ ｎｉｏｒ ｙ ｕｌｉ ｔ ｏｕｎｄｅ ｎｅ ｓ ｄ ｓ
差分方程及其稳定性分析
差分方程及其稳定性分析随着科技的不断发展和应用，数学作为一门基础学科，得到了越来越广泛的应用。
其中，差分方程作为一种离散化的微积分，被广泛地运用于电子、天文、生物、经济等领域中的模型计算和分析。
本文将介绍差分方程的基本概念和常见类型，以及如何对其进行稳定性分析。
一、差分方程的基本概念差分方程是指在内插点上的函数值之间的关系方程，其通常形式为：$$x_{n+1} = f(x_n)$$其中，$x_{n}$ 表示第 $n$ 个内插点的函数值，$f$ 是描述$x$ 的随时间变化关系的任意函数。
当然，差分方程还可以有更多的变量和函数，形式也可以更加复杂。
二、差分方程的类型根据差分方程的形式和特征，可将其分为以下几种类型：1、线性差分方程线性差分方程的一般形式为：$$x_{n+1} = ax_n+b$$其中，$a,b$ 为常数，$x_n$ 为第 $n$ 个内插点的函数值。
线性差分方程的求解可以采用常数变易法、特征方程法、生成函数法等多种方法。
2、非线性差分方程非线性差分方程是指其中的关系函数 $f$ 不是线性函数。
一般来说，非线性差分方程更难于求解。
3、线性递推方程线性递推方程是指卷积和形式的一类差分方程。
其形式为：$$x_{n+k} = a_1x_{n+k-1} + a_2x_{n+k-2} + \cdots + a_kx_n$$其中，$a_1,a_2,\cdots,a_k$ 为常数。
三、稳定性分析差分方程作为一种离散化的微积分，常常代表系统的动态演化过程。
因此，判断差分方程的解在过程中是否保持稳定性非常重要。
下面将介绍两种常见的差分方程稳定性分析方法。
1、线性稳定性分析法线性稳定性分析法是指对线性差分方程的解进行稳定性分析。
对于一般型的线性差分方程：$$\Delta x_{n+1} = a\Delta x_n$$其中，$\Delta x_n = x_{n+1} - x_n$，$a$ 为常数。
通过求解特征方程 $r-1=ar$，求得 $a$ 的值，便可判断差分方程解的稳定性。
差分方程的特征方程
差分方程的特征方程摘要：一、差分方程的定义与背景1.差分方程的概念2.差分方程在实际生活中的应用二、差分方程的特征方程1.特征方程的定义2.特征方程的形式3.特征方程的求解方法三、特征方程的性质及其应用1.特征方程的性质2.特征方程在差分方程分析中的应用四、差分方程的稳定性分析1.稳定性的概念2.稳定性分析的方法3.稳定性与特征方程的关系正文：一、差分方程的定义与背景差分方程是一种数学模型，用于描述离散系统中变量之间的关系。
在实际生活中，许多问题都可以通过差分方程来描述，例如生物种群的增长、电子电路中的信号处理等。
差分方程的研究有助于我们理解和控制这些离散系统。
二、差分方程的特征方程1.特征方程的定义特征方程是差分方程的一个重要概念，它表示了差分方程的解的性质。
对于一个n 阶线性差分方程，其特征方程可以表示为：Δ^n + a_1Δ^(n-1) + a_2Δ^(n-2) + ...+ a_n = 0其中，Δ表示差分算子，a_1、a_2、...、a_n 是方程的系数。
2.特征方程的形式特征方程可以进一步化简为：(Δ + a_1)(Δ + a_2)(Δ + a_3)...(Δ + a_n) = 0这是一个n 次多项式方程，其根即为差分方程的特征根。
3.特征方程的求解方法求解特征方程的方法有多种，常用的方法有：因式分解法、迭代法、数值解法等。
根据特征方程的次数和系数的特性，可以选择合适的求解方法。
三、特征方程的性质及其应用1.特征方程的性质特征方程的根具有一定的性质，如：互异性、对称性、排列规律等。
这些性质有助于我们更好地理解差分方程的解的结构和性质。
2.特征方程在差分方程分析中的应用特征方程在差分方程的稳定性分析、解的收敛性分析等方面具有重要意义。
通过研究特征方程，我们可以了解差分方程的动态行为和稳定性能。
四、差分方程的稳定性分析1.稳定性的概念稳定性是指当系统初始状态发生变化时，系统状态是否会随着时间推移而趋于稳定。
一类高阶线性差分方程的全局稳定性
文章编号 １ ０ ０ ４ ． ６ ４ １ ０ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ２ ． ０ ０ ３ ２ ． ０ ４
一
类高 阶线性差分方程 的全局稳定性
王 琦 ， 张更容 ， 韩 松 ， 李乃 雄
（ １ ． 广 西 科 技 大 学 理学 院 ，广西 柳 州 ５ ４ ５ ０ ０ ６ ；２ ． 广 西 大 学 数 学 与 信 息科 学学 院 ， 广西 南宁 ５ ３ ０ ０ ０ ４ ）
第２ ４卷 第 ２期 ２ ０ １ ３年 ６月
广 西 科 技 大 学 学 报
Ｊ ＯＵ ＲＮＡＬ ＯＦ ＧＵＡＮ ＧＸＩ ＵＮＩ ＶＥ ＲＳ ｎＹ ＯＦ Ｓ Ｃ Ｉ ＥＮ ＣＥ ＡＮＤ Ｔ Ｅ ＣＨＮ０Ｌ ０ ＧＹ
Ｖｏ １ ． ２ ４ Ｎｏ ． ２
Ｊ ｕ ｎ ｅ ２ ０ １ ３
问题 ．
关键 词 ： 线性差分方程 ； 收敛 ； 有 界 性 中 圈分 类 号 ： Ｏ１ ７ ５ 文献 标 志 码 ： Ａ
０ 引 言
离 散 系统 理 论 在 经济 学 、 自动 控 制 工 程 、 通讯 、 雷达技术 、 生 物 医学 工 程 、 图像 技 术 、 电动 力 学 系 统 及 核 物 理 学 等 学 科 已发 挥 了 巨大 作 用 ， 随之 而来 的是 人 们 对 差 分 方程 理论 的 需 求 ． 而差 分 方 程 模 型 是 应 用 广 泛 的一 类 离 散 数 学 模 型 ， 它在生态学 、 生理学 、 物 理学 、 工程学 、 自动 控 制 与 设 计 、 数 值计 算 及 经 济 学 研 究
其中ｋ ＝ ７ ， ａ ＝ Ｏ ． ４ ， ａ ｌ ＝ ａ ２ ＝ ａ ４ ＝ ａ ￣ ＝ ａ ６ ＝ ０ ， 锄 ０ ． ３ ， ａ Ｔ ＝ ０ ． ５ ．
差分方程稳定性PPT课件
又对差分方程(1-1)的任意由初始条件确定
的解 xn= x(n)都有 xn→a (n→∞),
则称这个平衡点a是稳定的.
一阶常系数线性差分方程
xn+1 + axn= b, (其中a, b为常数, 且a ≠-1, 0)的通解为
xn=C(- a) n + b/(a + 1) 易知b/(a+1)是其平衡点, 由上式知, 当且 仅当|a|＜1时, b/(a +1)是稳定的平衡点.
讨论 x* 的稳定
性
SUCCESS
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2020/9/29
补充知识(刚学过的):
一阶非线性差分方程 xk1 f (xk ) (1) 的平衡点及稳定性
(1)的平衡点 x*——代数方程 x=f(x)的
根 (1)的近似线性方 xk1 f ( x*) f ( x*)( xk x*) (2) 程
b=2.6 0.2000 0.4160 0.6317 0.6049
0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154
b=3.3 0.2000 0.5280 0.8224 0.4820
0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236
离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性
y
yk 1
yk
ryk (1
k
N
)
(1)
变量 代换
xk
r (r 1)N
yk
yk 1
(r
1) yk
差分方程模型的稳定性分析
摘要I
AbstractII
目录III
引言1
1、差分方程的定义及其分类1
（1）差分算子：1
2.差分方程的求解与稳定性判断方法:2
（1）差分方程的求解：2
摘 要
微分方程是研究数学的一个重要分支，是本科期间我们必须掌握的基本知识，而本文我们研究的是一个递推关系式，也称差分方程。它是一种离散化的微分方程，是利用描述客观事物的数量关系的一种重要的数学思想来建立模型的。而利用差分方程建立模型解决问题的方法在生活中随处可见，比如在自由竞争市场经济中的蛛网模型是利用差分方程分析经济何时趋于稳定，又如金融问题中的养老保险也是利用差分方程来分析保险品种的实际投资价值。而差分方程模型是描述客观世界中随离散时间变量演化规律的有力建模工具。本文首先给出差分方程的定义以及求解过程并给出判断差分方程稳定性的判断方法，随后以同一环境下的羊群和草群的相互作用为模型分析其种群的数量变化过程，进而研究线性差分方程的稳定性，最后用一个实际模型来更好的说明差分方程的稳定性对解决实际问题有非常大的帮助。
（2)差分方程：
定义2：含有未知函数及未知函数差分的等式，我们称为差分方程，它的一般表达形式为：
由（1）与（2）的关系，可以将阶数为 的差分方程写为
或者
我们称 不显含 时的方程为自治差分方程。形如 表示一阶差分方程； 表示n阶差分方程。
（2）差分方程的分类：
差分方程可以分为两大类：其一为线性差分方程，它是指当 是 的线性函数时，称 为线性差分方程；也就是说 的次数都为 ，其二为非线性差分方程，它是指当 是 的非线性函数时，称 为非线性差分方程。显而易见，非线性差分方程求解比线性差分方程求解复杂，因此它的解的性态也比较难分析，本文我们只研究线性差分方程解的性态。
差分方程模型
设特解为 an D 代入 D 0.5D 0.1 得 D 0.2 ， 于是所求通解 an c(0.5) n 0.2 例3 (养老金) 解: 齐次特征方程 设特解 an D
an1 1.01an 1000
1.01 0,
* an c(1.01) n.
代入原方程得 D 100000
例 4 求非齐次差分方程
* 对应齐次方程的通解为 an c1 2n c2 n 2n
的通解
f (n) 2 中, 2 是2 重根, 设特解为
n
an A n 2 2 n
n 2 n1
代入
得 A 1 2 方法2 (化齐) :
故通解为 an c1 2 c2 n 2 n 2
Fn Fn 1 Fn 2 F1 F2 1
解：差分方程的特征方程为 x 2 x 1 0 特征根
x1
n
1 5 1 5 , x2 2 2
n
1 5 1 5 Fn c1 c2 2 2
n
2(an1 4an2 4an3 ) 2 2n1 相减得 an 6an1 12an2 8an3 0 特征方程 3 62 12 8 0 特征根 2 为三重根, 通解为：
an 4an1 4an2 2n
an c1 2n c2 n 2n c3n 2 2n
x k b1 x k 1 b2 x k 2 bk 0
称为差分方程的特征方程，其根称为特征根。 定理1（单根）若特征方程恰有k个相异的特 x1 , x2 ,, x 征根 ， k 则差分方程的通解为
an c x c x ck x
差分方程的稳定性
差分方程的稳定性汪宏远;崔成贤;张志旭;曹万昌【摘要】方程组Y( k +1) =F( k,Y( k) )的零解称为稳定的,如果对任意的k0∈Z+,都存在δ=δ(k0,ε >0),使得当‖Y0‖≤δ(ε,δ0)时,对一切k≥k0都有‖Y(k;ko,Y0)‖≤ε.反之,称主程组Y(k +1) =F(k,(Y(k))的零解为不稳定的.%The zero solution of equation Y(k +1) =F(k,Y(k)) is called stable, if for any k0 ∈Z+, there isδ=δ(k0,ε >0) , that makes‖Y(k;ko,Y0)‖≤εfor all k≥k0 .otherwise, called equation Y(k +1) =F( k,( Y( k) ) zero solution unstable.【期刊名称】《佳木斯大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(033)005【总页数】3页(P744-746)【关键词】线性方程组;非线性方程组;渐近稳定【作者】汪宏远;崔成贤;张志旭;曹万昌【作者单位】佳木斯大学理学院,黑龙江佳木斯 154007;佳木斯大学理学院,黑龙江佳木斯 154007;佳木斯大学理学院,黑龙江佳木斯 154007;佳木斯大学理学院,黑龙江佳木斯 154007【正文语种】中文【中图分类】O175.30 引言考虑差分方程组其中函数G(k，X(k))对k ∈Z+及相应的X(k)都有定义，保证方程组(1)的解存在唯一. 设)是方程组⑴的一个解，作变量代换则方程组(1)就化为所以方程组(1)的解φ(k)的稳定性等价于零解的稳定性.因此，不失一般性，总假设F(k，0)=0，并只研究方程组(2)的零解稳定性就够了. 差分方程组(2)的解Y(k)，在几何上可以表示为n 维向量空间Rn 的点列，用‖Y(k)‖记Y(k)的范数.若方程组⑵右边函数不显含k，即则(3)式称为自治差分方程组;否则，(2)式称为非自治差分方程组.1 自治线性差分方程组的稳定性考虑常系数线性差分方程组其中A 是n×n 阶常数矩阵.定义1［1］设矩阵A 的特征根为λi(i=1，2，…，n)，则称为矩阵A 的谱半径. 定理1［2］差分方程组(4)的零解全局渐近稳定的充要条件是r(A)＜1.定理2［2］差分方程组(4)的零解稳定的充要条件是r(A)≤1，且|λi|=1 的特征根只对应简单的初等因子.定理3［3］若r(A)＞1，则差分方程组⑷的零解是不稳定的.在上述这些稳定性定理中，验证关于谱半径的不等式一般比较困难，因此人们在不断寻找较容易验证的充要条件或充分条件.下面是其中著名的居利判据.假设A 矩阵的特征多项式为其中a0 =1.按如下来构造数表(共2n-3 行):其中这样继续下去，直到表中的同一行只有3 个元素为止.由上述数表就得到居利判据. 定理4［3］多项式P(λ)的所有零点都在复平面的单位圆内的充要条件是2 自治非线性差分方程组的稳定性考虑自治非线性差分方程组其中F(0)=0，2.1 代数方法定义2 n×n 阶常数矩阵A(aij)称为非负矩阵，若aij ≥0(i，j=1，2，…，n).定理5［5］假设方程组(5)右边的函数F 在Rn 中包含原点的某个开球B:‖Y‖＜H 内满足:对任意的X，Y ∈B，存在n×n 阶非负矩阵A，使得则当10 r(A)＜1 时，方程组(5)的零解渐近稳定;20 r(A)=1 时，且对应矩阵A 的模为1 的特征根只有简单的初等因子时，方程组⑸的零解是稳定的.特别地，若方程组⑸是纯量方程的情形其中y(k)∈R1，f(y)∈R1，f(0)=0，则还有如下定理6:定理6［5］假设函数f 在包含原点的某个开区间内有一阶连续导数.则当1) |f′(y)|＜1 时，方程组(6)的零解渐近稳定;2) |f(y)|＞1 时，方程组(6)的零解不稳定.2.2 按线性近似部分决定稳定性在某些情况下，非线性差分方程的稳定性可以用它的线性近似部分来决定.假设方程(5)右边的向量函数F(u)可以表示成其中A 是n×n 阶常数矩阵，而g(Y)满足条件(7)和(8)意味着函数F(Y)在Y=0 是可微的.同样，如果函数F 在Y=0 有一阶连续偏导数，(7)和(8)式也必然成立.这时，矩阵A 是函数F 是Y=0 的雅可比矩阵其中f1，f2，…，fn 是F 的分量，并且所有的偏导数在原点取值.定理7［5］设函数F 满足(7)和(8)式，则1) r(A)＜1 时，方程组(5)的零解是渐近稳定的;2)r(A)＞1时，方程组(5)的零解是不稳定的.3 应用举例例1解矩阵特征方程为λ2+1=0，特征根为λ1，2=±i，谱半径为r(A)=1，且|λ1，2|=1 是单根，因而只对应简单的初等因子.所以，差分方程组的零解是稳定的.事实上，矩阵是旋转矩阵，将它乘以Y(k)所得到的向量，是由Y(k)顺时针旋转得到的.因此，方程的每一个解都位于圆心在坐标原点、半径为‖Y(0)‖的圆周上.所以，方程组的零解显然是稳定的.例2其中α，β 为任意常数.解方程组右边的函数在原点关于y1 和y2 有一阶连续偏导数，因此条件(7)和(8)式成立.而这个方程组的雅可比矩阵注意到r(A)=0.7 ＜1.所以，方程组的零解是渐近稳定的.参考文献:［1］ Milne－Thomson L M.The calculus of finite differences［M］.New York:The Macmillan company，1951.［2］ Laks mikanthan V，Trigiante D.Theory of differenceequations;numericae methods and applications［M］.New York:Academic press，1988.［3］廖晓昕，李玉鹏.离散动力系统稳定性的代数判据［J］.数学物理学报，1986(4):375－377.［4］盖尔芳德AO.有限差计算:下册［M］.北京:高等教育出版社，1955.［5］王联，王慕秋.常差分方程［M］.乌鲁木齐:新疆大学出版社，1991.。
差分方程离散系统的z域分析法稳定性
0 对 应s平面的虚轴 z平面为单位圆
j j1
1 0
S平面
0 对应s左半平面 z平面为单位圆内
0 对 应s右 半 平 面 z平 面 为 单 位 圆 外 Z平面 Im
F(s) a s( s a )
求Z变换
解： F( s ) 1 - 1
s sa
f ( t ) 1 - e-at
F(
z
)
Z[
f
(
t
)]
1 1- z-1
-
1-
1 e -aT z -1
( 1 - e-aT ( 1 - z-1 )( 1 -
)z - 1 e-aT z -1
)
(
z
( 1 - e-aT )z - 1 )( z - e-aT
15
u( t )
1
0
uh( t )
1
0T
1 0 -1
零阶保持器的传递函数：
u( t )
零阶 uh ( t )
保持器
零阶保持器的单位脉冲响应可表示 为二个单位阶跃信号的叠加。
uh( t ) 1( t ) - 1( t - T )
单位脉冲响应的拉氏变换就是零阶
保持器的传递函数。
Gh (
s
)
1 s
n0
Z反变换为 Z -1 [ F ( z )] f ( t )
18
关于Z变换的几点说明：
Z变换的无穷级数表达式与信号在采样时刻的取值一一对
应。
F ( z ) f ( nT )z-n
差分方程稳定性
（10）
二阶方程的上述结果可以找到n阶线 形方程，即稳定平衡的条件是特征 方程—— n 次代数方程的根 λ i ( i = 1, 2 ,..., n ) 均有 | λ i |< 1 考虑到高阶方程和方程组的相互转化， 这个条件与（5）、（6）给出的结论是 一致的。
最后讨论一阶非线形差分方程
容易看出，可以用变量代换方法将方程 （1）的平衡点的稳定性问题转换为：
x k +1 + ax k = 0
（2）
的平衡点 x * = 0的稳定性问题。
而对于方程（2），因为其解显然可表为
x k = ( a ) k x 0 , k = 1, 2 ,...
所以立即可知当且仅当
（3）
| a |< 1
（4）
时方程（2）的平衡点（从而方程（1）的平衡点） 才是稳定的
顺便指出， 顺便指出，
对于 n 维向量 x ( k ) 和 n × n 常数 矩陈 A 构成的方程组
x(k + 1) + Ax(k ) = 0
λi , (i = 1,2,..., n )均有
（5）
其平衡点稳定的< 1
（12）
（12）是（11）的近似线形方程
x*也是（ ）的平衡点。 12
关于线形方程（12）的稳定平衡点 的讨论已由（1）——（4）给出
而当 | f / ( x * ) |≠ 1时方程（11）与（12） 平衡点的稳定性相同， 于是得到当
（13） x 时，对于非线形方程（11）， * 是稳定的；
| f / ( x * ) |< 1
差分方程的稳定性
本节主要是介绍差分方程稳定性的知识 差分方程的平衡点及其稳定性的慨念与微分方程 的有关概念是一致的 ，例如一阶线形常系数差 分方程： （1） x k +1 + ax k = b , k = 0 ,1,... 的平衡点由 解得：
差分方程的相容性收敛性和稳定性课件
相容性的判定方法
通过分析差分方程的形式和系数，可以判断其是否具有相容 性。
判断差分方程是否具有相容性的方法通常包括检查该方程是 否满足一定的数学性质，例如，是否具有一致的形式和系数 。此外，还可以通过求解该差分方程的初始值问题来验证其 相容性。
近似解。
有限元法的优势
有限元法能够处理复杂的几何形 状和边界条件，且能够处理非线 性问题，因此在工程领域应用广
泛。
06
差分方程的实际应用案例
在物理中的应用
1 2
量子力学
差分方程在量子力学中用于描述粒子在势能场中 的行为，例如在求解薛定谔方程时，差分法是一 种常用的数值解法。
热传导方程
在求解一维或二维的热传导方程时，可以使用差 分法将偏微分方程转化为差分方程进行求解。
3
波动方程
在处理波动问题时，如声波、电磁波等，差分法 可以用来模拟波的传播和干涉现象。
在金融中的应用
股票价格模型
差分方程可以用于描述股 票价格的变动规律，例如 著名的几何布朗运动模型 就是一种差分方程。
期货价格模型
在期货定价理论中，差分 方程被用来描述未来价格 的变化趋势，为投资者提 供决策依据。
图形法
通过绘制差分方程的解的 图像，观察其随时间的演 化趋势。
比较法
通过比较差分方程与已知 稳定或不稳定方程的性质 ，判断其稳定性。
稳定性的应用
控制工程
稳定性是控制系统的重要性能指 标，决定了系统的动态行为。
离散时间系统的稳定性分析
离散时间系统的稳定性分析离散时间系统是一种在离散时间点上进行状态变化的系统，与连续时间系统相对应。
稳定性分析是对系统行为的一个重要特征进行评估和判断的过程。
对于离散时间系统的稳定性分析，我们可以通过不同方法进行研究和判断，如利用差分方程、状态空间法、Lyapunov稳定性理论等。
本文将从这些角度出发，深入探讨离散时间系统的稳定性分析方法。
一、差分方程法差分方程法是一种基于离散时间点上变量之间的差分关系进行稳定性分析的方法。
对于离散时间系统，我们可以通过建立差分方程来描述系统的动态行为。
一般而言，稳定的离散时间系统在各个时间点上的状态变量都保持在某个有界范围内。
因此，我们可以通过差分方程的解析解或数值解来判断系统的稳定性。
二、状态空间法状态空间法是一种通过描述系统在不同离散时间点上状态变化的方法。
在状态空间中，系统的状态由一组关于时间的差分方程表示。
通过对系统状态进行迭代，我们可以从初始状态推导出系统在未来时间点上的状态。
根据这些状态的变化，我们可以判断系统是否稳定。
三、Lyapunov稳定性理论Lyapunov稳定性理论是一种通过利用Lyapunov函数来判断离散时间系统稳定性的方法。
Lyapunov函数是一个用于衡量系统状态的能量函数，它在系统稳定时具有稳定性的性质。
通过构造和分析Lyapunov函数，我们可以判断离散时间系统是否稳定。
如果能够找到一个Lyapunov函数，使得对于系统的每一个状态，该函数都是非负的，并且沿着系统的状态变化轨迹递减，那么系统就是稳定的。
四、其他稳定性分析方法除了以上介绍的几种常见方法外，还存在其他一些稳定性分析方法，如频率域方法、随机系统稳定性分析等。
这些方法可以根据具体问题的需求进行选择和应用，从而更好地评估离散时间系统的稳定性。
综上所述，离散时间系统的稳定性分析是研究系统动态行为的一个重要问题。
通过差分方程法、状态空间法、Lyapunov稳定性理论以及其他稳定性分析方法，我们可以对离散时间系统的稳定性进行全面评估和判断。
一类差分方程的稳定性研究
Ｏ Ｎ Ｔ ＨＥ Ｓ Ｔ ＡＢ Ｉ Ｌ Ｉ Ｔ Ｉ Ｅ Ｓ ＯＦ Ａ Ｃ Ｌ Ａ Ｓ Ｓ ＯＦ ＤＩ Ｆ Ｆ Ｅ Ｒ Ｅ ＮＣ Ｅ Ｅ ＱＵ ＡＴ Ｉ Ｏ ＮＳ
ＸＵ Ｓ ｈ ｅ ｎ ｇ—ｒ ｏ ｎ ｇ ， ＷＡ ＮＧ Ｘ ｉ —ｃ ｈ ａ ｏ ， Ｚ ＨＯＵ Ｙｉ ｎ ｇ—ｙ ｉ ｎ ｇ （ Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ｏ ｆ Ｉ ｎ ｆ ｏ ｒ ｍ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ａ ｎ ｄ Ｅ ｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｉ ｆ ｎ ｇ ， Ｓ ｈ ａ ｎ ｄ ｏ ｎ ｇ Ａ ｃ ｕ ｌ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ， Ｔ ａ ｉ ａ ｎ ２ ７ １ ０ １ ８ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
山东农业 大学学报 （ 自然科 学版） ，２ ０ １ ３ ，４ ４（ ４ ） ：６ ２ ４— ６ ２ ９ Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｈ ａ ｎ ｄ ｏ ｎ ｇ Ａ ｇ ｒ ｉ ｃ ｕ ｌ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ｌ ａ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ． Ｉ ｎ ｔ ｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ’ ｗ ｅ ｓ ｔ ｕ ｄ ｙ ｔ ｈ ｅ ｄ ｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｃ ｅ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ
川 ＝
， ｎ
， ２ ， …’ ｗ ｈ ｅ
ｅｐ ８ 。
ｒ ａ ｍ ｅ ｔ ｅ ｒ ｓ 卢 ， ７ ， Ａ ， Ｂ， Ｃ ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ｉ ｎ ｉ ｔ ｉ ａ ｌ ｃ ｏ ｎ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ 一 ， …， 一 ， …， 一 １ ， ０ ａ ｒ ｅ ａ ｌ ｌ ｐ ｏ ｓ ｉ ｔ ｉ ｖ ｅ ｒ ｅ ｌ ａ ｎ ｕ ｍ ｂ ｅ ｒ ｓ ， ｋ Ｅ｛ ０ ， １ ， ２ ， …｝ ， ｌ ∈｛ １ ， ２ ， 一 ・ ｝ ， ｋ ＜ １ ． Ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ ｈ ｔ ｅ ｃ ｈ ａ ｎ ｇ ｅ ｏ ｆ ｖ ａ ｉ ｒ ａ ｂ ｌ ｅ ｓ ， ｗ ｅ ｉ ｎ ｖ ｅ ｓ ｔ ｉ ｇ ａ ｔ ｅ ｈ ｔ ｅ ｌ ｏ ｃ ｌ ａ ａ ｓ ｙ ｍ ｐ ｔ ｏ ｔ ｅ ｓ ｔ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｂ ｙ ｌ ｉ ｎ ｅ —
差分方程的相容性 收敛性和稳定性
粗看起来，差分方程相容性要求时，差分方程逼近于微分 方程，似乎差分方程数值解也应该收敛于微分方程精确 解。事实上，当我们在证明相容性时，已经假定了差分 方程数值解就是微分方程精确解，在对微分方程进行展 开时，截断误差中已经忽略了离散化误差的存在。因此， 差分方程相容性并不能保证其收敛性。
(3) 差分方程同样也有两种不同形式的收敛性：有条件收敛 和无条件收敛。
由此可知，在n时刻的计算误差
n j
是不会大于
0 j
，因此，
当a＞0，a t 1 时，FTBS差分格式是稳定的（见图a）。这
x 是有条件的稳定，稳定的条件是a＞0，a
t
1 。但是，对于
x
不同的a，Δt，Δx，FTBS差分格式的稳定条件是不同的（见
图b）。
n j 1 n j rn j n j 1 1 rn j r n j 1
其中 r
t x
。设在n时刻计算误差为
n j
，n+1时刻计算误差
为
n 1 j
，则计算误差传播方程为：
n j 1r1 n j rn j 1
(a)
可以采用直观的数值试验法来分析误差传播规律。
在（a）式中设在tn时刻xj的计算误差为
n j
，而计算到n+100时
刻，（xj，tn+100）点的计算误差将发展到 r1100n j r100n j1，
(c)
1a xtmajxenj a xtmajxenj O(x,t)
式中 max
e
n j
表示在n层的所有节点上离散化误差
e nj绝对值最
j
大值，对于所有节点j有：
en1 j
majxen j
差分方法稳定性介绍
03
多尺度问题的求解
多尺度问题广泛存在于科学和工程领 域，对差分方法的稳定性提出更高要 求。未来研究中，将更加注重多尺度 问题的求解方法和技术研究。
THANKS
感谢观看
差分方法稳定性介绍
• 引言 • 差分方法的基本原理 • 差分方法的稳定性分析 • 差分方法的误差分析 • 提高差分方法稳定性的措施 • 差分方法稳定性的应用案例 • 总结与展望
01
引言
差分方法的概念
差分方法
差分方法是一种数值计算方法，用于求解微分方程的近似解。它通过构造差分 格式来逼近微分方程的导数，从而将微分方程转化为代数方程进行求解。
差分方法的稳定性分析
稳定性定义
数值稳定性
差分方法在数值计算过程中，对于初 始条件和边界条件的小扰动，解的变 化能够保持有界，即不会因计算步数 的增加而无限放大。
渐近稳定性
当计算步数趋于无穷时，差分方法的 解能够收敛到真实解，即误差能够逐 渐减小并趋于零。
稳定性判据
要点一
Lax-Richtmyer稳定性判据
对于线性偏微分方程，如果差分格式能够保持离散能量不 增长，则该格式是稳定的。该判据提供了判断差分格式稳 定性的一个充分条件。
要点二
Courant-Friedrichs-Lewy （CFL…
对于显式差分格式，为了保证计算的稳定性，时间步长与 空间步长之间需要满足一定的关系，即CFL条件。该条件 给出了时间步长的上限。
边界条件的处理
Dirichlet边界条件
直接给出边界上的函数值，处理简单。
Neumann边界条件
给出边界上的法向导数值，需要通过差分 近似进行处理。
Robin边界条件
周期边界条件
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O175.11306052104Stability analysis of difference equation model分类号学号密级10722公开题目（中、英文）差分方程模型的稳定性分析作者姓名指导教师学科门类提交论文日期专业名称学校代码成绩评定党臭燕数学与应用数学王振华二零一六年六月理学咸阳师范学院2016届本科毕业设计（论文）摘要微分方程是研究数学的一个重要分支，是本科期间我们必须掌握的基本知识，而本文我们研究的是一个递推关系式，也称差分方程。
它是一种离散化的微分方程，是利用描述客观事物的数量关系的一种重要的数学思想来建立模型的。
而利用差分方程建立模型解决问题的方法在生活中随处可见，比如在自由竞争市场经济中的蛛网模型是利用差分方程分析经济何时趋于稳定，又如金融问题中的养老保险也是利用差分方程来分析保险品种的实际投资价值。
而差分方程模型是描述客观世界中随离散时间变量演化规律的有力建模工具。
本文首先给出差分方程的定义以及求解过程并给出判断差分方程稳定性的判断方法，随后以同一环境下的羊群和草群的相互作用为模型分析其种群的数量变化过程，进而研究线性差分方程的稳定性，最后用一个实际模型来更好的说明差分方程的稳定性对解决实际问题有非常大的帮助。
关键字：差分方程；差分方程模型；平衡点；稳定性差分方程模型的稳定性分析AbstractDifference equation is also called recursive equation,it is to describe the relationship between the number of objective things of a kind of important mathematical model.And the use of the differential equation model of the solution can be found everywhere in life.Such as cobweb model in the free market economy is to use the difference equation analysis when the economic stability,and as the financial problem of pension insurance breed difference equation is used to analysis the actual investment value.This paper gives the judge the stability of difference equation to judge method,then in the same group of sheep and grass under the environment of interaction analysis for the model a process,the number of the population change,in turn,study the stability of the linear difference equation.In the end,one practical model to better explain the stability of difference equation.Key words:Difference equation;Difference equation model;Balance point; Stability咸阳师范学院2016届本科毕业设计（论文）目录摘要 (I)Abstract (II)目录 (III)引言 (1)1、差分方程的定义及其分类 (1)（1）差分算子： (1)2.差分方程的求解与稳定性判断方法: (2)（1）差分方程的求解： (2)（2）.差分方程的平衡解稳定性判断方法： (4)3.差分方程模型的应用： (4)3.1模型：种群模型 (4)3．11模型的引入与假设 (4)3．12线性差分方程模型的建立与求解 (5)3．13生态模型的平衡点及稳定性分析: (7)总结 (10)参考文献 (11)附录 (12)谢辞 (13)差分方程模型的稳定性分析咸阳师范学院2016届本科毕业设计（论文）引言随着科学技术的不断发展，将数学思想融入实际生活解决社会问题变得非常普遍。
所以利用差分方程建立模型也显得至关重要。
在经济、社会、生态、医疗、网络、遗传学得某些数据都是按时、日、周、星期、月份、年等汇总和统计的，这时将时间离散化后建立差分方程模型更为方便，从而解决社会问题趋于稳定的状态，它是描述客观世界中随离散变量演变规律的一种重要的建立模型的方法，在现实生活中有很多问题都是借助差分方程模型来刻画并求解的，利用数学的思路与想法来研究实际问题，从而确保某个体系稳定运作的条件，进一步再结合其他条件分析，为客观体系的安全稳定运作提供理论上的保障，因此差分方程模型的稳定性分析是我们数学中研究的一个重要课题。
本文以同一空间下的羊群和草群的相互作用为模型分析这两物种的数量变化过程，进而研究线性差分方程的平衡点及其稳定性；最后根据差分方程的平衡点及其稳定性分析的相关理论解决实际问题。
我相信差分方程的稳定性相关理论将在未来更为应用普遍。
1、差分方程的定义及其分类（1）差分算子：定义1：设()f x 是定义在R 上的函数，则()(1)()f x f x f x ∆=+-称()f x 在x 的差分，∆称为差分算子，()(1)Ef x f x =+称()f x 在x 的位移，E 称为位移算子；用I 表示恒等算子，即()()If x f x =,这些算子都是线性算子，都是针对函数所定义的映射。
（2)差分方程：定义2：含有未知函数及未知函数差分的等式，我们称为差分方程，它的一般表达形式为：(,(),(),......())0ng k x k x k x k ∆∆=由（1）与（2）的关系，可以将阶数为n 的差分方程写为(,(),(1)......())0f k x k x k x k n ++=或者(,(),().......())0n f k x k Ex k E x k =差分方程模型的稳定性分析我们称f 不显含k 时的方程为自治差分方程。
形如(1)(())x k f x k +=表示一阶差分方程；(1)((),(1)......())x k f x k x k x k n +=++表示n 阶差分方程。
（2）差分方程的分类：差分方程可以分为两大类：其一为线性差分方程，它是指当(,(),(1)......())f k x k x k x k n ++是(),(1).....()x k x k x k n ++的线性函数时，称(,(),(1)......())0f k x k x k x k n ++=为线性差分方程；也就是说(),(1).....()x k x k x k n ++的次数都为1，其二为非线性差分方程，它是指当(,(),(1)......())f k x k x k x k n ++是(),(1).....()x k x k x k n ++的非线性函数时，称(,(),(1)......())0f k x k x k x k n ++=为非线性差分方程。
显而易见，非线性差分方程求解比线性差分方程求解复杂，因此它的解的性态也比较难分析，本文我们只研究线性差分方程解的性态。
2.差分方程的求解与稳定性判断方法:（1）差分方程的求解：使得差分方程称为恒等式的序列称为差分方程的解。
满足方程及初始条件的序列称为初始值问题的解，形如()),()1(k x k f k x =+，()00x x =称为自治差分方程的初始问题；当f 含有k 时，()()(),,1k x k f k x =+()00x x =称为非自治差分方程的初始值问题。
那么，现在知道差分方程的解的定义，问题是如何求出一个差分方程的解呢？这里我们给出普遍的解法----迭代法定义3：连续用变量的原值推算出新值的一种递推过程称为迭代法。
下面介绍一个具体的迭代过程：类比常系数一阶微分方程的解法，我们可以容易求得常系数一阶差分方程的通解为：()()p k c x p x+-=1式中c 为任何常数。
现在将()00p p =代入通解中可得p p c -=0，所以满足初始条件()00p p =的特解为()()()p k p p x p x +--=10。
于是我们可得：咸阳师范学院2016届本科毕业设计（论文）()()()l p k p +--=011；()()()()()()()l l k p k l p k p +----=+--=101111222；()()()()()()()()l l k k p k l p k p +---+--=+--=11011213233；……()()()()011p k x p x x --=+()()()()()()ll k l k l k x x x x +--++--+------11...11112211=()()[⎥⎦⎤--k l p k x 01kl +现在我们利用该方法来求解以下方程的初始值问题：例1：()()k x k x 31=+()8.00=x 解:其解序列的前几个为：()8.00=x ；()()512.0013==x x ；()()1342.0123==x x ；()()0024.0233==x x ；…这个初始值问题解的一般形式是()kk x 38.0=。
那么此差分方程也满足其他初始条件的解，显然()0=k x 和()1=k x 都是此差分方程的解。
如果其方程满足初始值()00x x =，那么它的解的一般形式为()k x k x 30=。
这里注意此差分方程的解当∞→k 时的极限：当()10>x 时，有()∞=∞→k x n lim 。
例2()()21k k x k x =-+()10=x 解：将其转化为()()21k k x k x +=+其解序列的前几个利用迭代法可得：()11=x ；差分方程模型的稳定性分析()21122=+=x ；()62232=+=x ；()153642=+=x ；…（2）.差分方程的平衡解稳定性判断方法：定义4：若有*x ，使*x =*()f x ，则*x 为差分方程(1)(())x k f x k +=的平衡点，(,)x k x 是差分方程(1)(())x k f x k +=满足0(0)x x =的解，如果对任意给定的正数ε，有δ>0,使得当*0x x δ-<时，*0(,)x k x x ε-<对所有的k N ∈都成立，则称差分方程(1)(())x k f x k +=的平衡解*x 是稳定的，否则，称为不稳定的。