自动控制理论基础24(第7章(2))
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1
二曲线的交点频率为： T1T2
9
因为两曲线存在交点，系统存在自激振荡， 因而系统不稳定。可以判断该极限环为稳定 极限环。
注意：无论是稳定的极限环，还是不稳定的 极限环，都是系统所不希望的。对于上述系 统，只要线性部分K值足够小，二曲线才没 有交点，因此不产生极限环。
当-1/N(X)沿X增大的方向钻出G( j) 所包围的 区域时，二曲线的交点是稳定的极限环；反 之-1/N(X)曲线沿X增大方向进入G( j) 所包围 的区域时的交点是不稳定的极限环。
故有：
G( j) 900 tg 12 tg 1
即
2 tg900 1 22
1 0.707
2
16
（1）当 G( j) 轨迹通过 (-1, j0)点时，则
可求出系统的临界K值：
即
G( j) 1 0.707
则
K
1
0.707 3 1.5
解出K临界值为：
K 1.5 17
（2）当K=3时，则二曲线相交，交点A 为一 稳定的极限环，如图所示：
此时交点A的频率为：
Im
0.707
X
A
Re
交点A的振幅X可由下 K 3
1 0
式确定：
Baidu NhomakorabeaG( j)
1
0.707 N ( X )
0 K 1.5
即
18
3
j( j2 1)( j 1) 0.707
《自动控制理论基础》
第二十四讲
1
7-4 用描述函数法分析非线性系统
一、奈氏稳定判据的应用
非线性系统的典型结构如图所示：
R(s) X N(X ) Y
G(s)
C(s)
由于系统的线性部分具有低通滤波器特性，所
以在系统产生自激振荡时，非线性部分产生的
高次谐波被极大的衰减，则描述函数可以作为
一个实变量或复变量的增益来处理。
Im
线性系统部分为：
X
A
Re
G( j)
K
1 0
j( j2 1)( j 1)
0
15
可由 ImG( j) 0 或 G( j) 解出二
曲线交点所对应的 值，然后将此 代
入 Re G( j) , 或者代入 G( j) ,并令其 等 于-1/N(X),即可解出X。
B A
G( j) 0
(3)
随着X的增加,-1/N(X)对B点 是穿出G( j)曲线包围区域,对 A点是进入G( j)曲线包围区 域,故A点不是稳定的自振点, 而B点是稳定的极限环。
B A
G( j) 0
Im Re
0
Im Re
0
12
三、用描述函数法分析非线性系统
1、一般步骤：
（1）将非线性系统化成典型结构图形式； （2）桉定义求出非线性部分的描述函数N(X)；
10
例2：判断以下各系统中，二曲线的相交点是 稳定的自激振荡点，还是不稳定的极限环。
（1）
明显-1/N(X)曲线随着X 的增加进入曲线所包围 的区域,因而A点是不稳 定的自激振荡点。
X A
0
(2)
Im Re
0
11
随着X的增加,-1/N(X)对B点 是进入 G( j)曲线包围区域,对 A点是穿出G( j) 曲线包围区 域,故B点不是稳定的自振点, 而A点是稳定的极限环.
R(s)
1
1
K
C(s)
j( j2 1)( j 1)
当a=1，k1=1时，饱和非线性特性的描述函数为：
N(X)
2
sin
1
1 X
1 X
1( 1 X
)2
X
1
14
1
N(X )
2
sin
1
1 X
1 X
1( 1 X
)
2
当X变化时，-1/N(X)在复平面上是一条与负 实轴重合的直线，起于负实轴上的-1点，向 左延伸到负无穷，如图所示。
（1）如果在复平面上，-1/N(X)曲线不 被G( j) 曲线所包围，则非线性系统是 稳定的。
4
（2）如果在复平面上，-1/N(X)曲线 被G( j) 曲线所包围，则非线性系统 是不稳定的。
5
（3）如果在复平面上，-1/N(X)曲线 与G( j) 曲线相交，则非线性系统的输出可能出现持续 振荡，即极限环。振荡的幅值由-1/N(X)曲线交 点处对应的X值决定，振荡的频率由G( j)曲线
2
sin
1
1 X
1 X
2
7
2、例题：
例1：如图所示系统，判断系统是否稳定，以 及判定二曲线的交点是稳定的极限环还是不 稳定的极限环。
R(s)
ka
a
K j(T1 j 1)(T2 j 1)
C(s)
巳知饱和非线性特性的描述函数为：
N(X)
2k
sin
1
a X
a X
1( a X
)2
X
a
8
X a X
1 1 N(X) k 1 N(X)
对于系统线性部分：
Im
X
A
1 0
Re
k
0 G( j) 900
0
G( j) 0 2700
二曲线的交点坐标为：( KT1T2 , j0)
(T1 T2 )
（3）在复平面作出-1/N(X)和 G( j)的轨迹；
（4）判断系统是否稳定，是否存在极限环； （注意：假设线性部分为最小相位系统）
（5）如果系统存在极限环，进一步分析极限 环的稳定性，确定它的频率和幅值。
2、例题： 13
例1：非线性系统如图所示,试用描述函数法分析 当K=3时系统的稳定性,并求K的临界稳定值。
2
因此系统的闭环频率特性为：
C( j) N ( X )G( j) R( j) 1 N (X )G( j)
闭环特征方程式为：
1 N(X )G( j) 0
或 G( j) 1
N(X)
式中:-1/N(X)为描述函数的负倒特性，它相 当于线性系统的临界点(-1，j0).
3
在复平面同时作出线性部分的频率特性及非 线性部分描述函数的负倒特性，判别非线性 系统稳定性的方法为：
交点处的 值决定。
6
二、自激振荡的稳定性
1、稳定极限环与不稳定极限环 如果在复平面上，-1/N(X)曲线 与 G( j)曲线 相交，则非线性系统的输出可能出现持续振 荡，即极限环。极限环有稳定极限环和不稳 定极限环之分。
例如图示非线性系统：
a点是稳定的自激振荡工 作点，而b点是不稳定的 自激振荡工作点。
二曲线的交点频率为： T1T2
9
因为两曲线存在交点，系统存在自激振荡， 因而系统不稳定。可以判断该极限环为稳定 极限环。
注意：无论是稳定的极限环，还是不稳定的 极限环，都是系统所不希望的。对于上述系 统，只要线性部分K值足够小，二曲线才没 有交点，因此不产生极限环。
当-1/N(X)沿X增大的方向钻出G( j) 所包围的 区域时，二曲线的交点是稳定的极限环；反 之-1/N(X)曲线沿X增大方向进入G( j) 所包围 的区域时的交点是不稳定的极限环。
故有：
G( j) 900 tg 12 tg 1
即
2 tg900 1 22
1 0.707
2
16
（1）当 G( j) 轨迹通过 (-1, j0)点时，则
可求出系统的临界K值：
即
G( j) 1 0.707
则
K
1
0.707 3 1.5
解出K临界值为：
K 1.5 17
（2）当K=3时，则二曲线相交，交点A 为一 稳定的极限环，如图所示：
此时交点A的频率为：
Im
0.707
X
A
Re
交点A的振幅X可由下 K 3
1 0
式确定：
Baidu NhomakorabeaG( j)
1
0.707 N ( X )
0 K 1.5
即
18
3
j( j2 1)( j 1) 0.707
《自动控制理论基础》
第二十四讲
1
7-4 用描述函数法分析非线性系统
一、奈氏稳定判据的应用
非线性系统的典型结构如图所示：
R(s) X N(X ) Y
G(s)
C(s)
由于系统的线性部分具有低通滤波器特性，所
以在系统产生自激振荡时，非线性部分产生的
高次谐波被极大的衰减，则描述函数可以作为
一个实变量或复变量的增益来处理。
Im
线性系统部分为：
X
A
Re
G( j)
K
1 0
j( j2 1)( j 1)
0
15
可由 ImG( j) 0 或 G( j) 解出二
曲线交点所对应的 值，然后将此 代
入 Re G( j) , 或者代入 G( j) ,并令其 等 于-1/N(X),即可解出X。
B A
G( j) 0
(3)
随着X的增加,-1/N(X)对B点 是穿出G( j)曲线包围区域,对 A点是进入G( j)曲线包围区 域,故A点不是稳定的自振点, 而B点是稳定的极限环。
B A
G( j) 0
Im Re
0
Im Re
0
12
三、用描述函数法分析非线性系统
1、一般步骤：
（1）将非线性系统化成典型结构图形式； （2）桉定义求出非线性部分的描述函数N(X)；
10
例2：判断以下各系统中，二曲线的相交点是 稳定的自激振荡点，还是不稳定的极限环。
（1）
明显-1/N(X)曲线随着X 的增加进入曲线所包围 的区域,因而A点是不稳 定的自激振荡点。
X A
0
(2)
Im Re
0
11
随着X的增加,-1/N(X)对B点 是进入 G( j)曲线包围区域,对 A点是穿出G( j) 曲线包围区 域,故B点不是稳定的自振点, 而A点是稳定的极限环.
R(s)
1
1
K
C(s)
j( j2 1)( j 1)
当a=1，k1=1时，饱和非线性特性的描述函数为：
N(X)
2
sin
1
1 X
1 X
1( 1 X
)2
X
1
14
1
N(X )
2
sin
1
1 X
1 X
1( 1 X
)
2
当X变化时，-1/N(X)在复平面上是一条与负 实轴重合的直线，起于负实轴上的-1点，向 左延伸到负无穷，如图所示。
（1）如果在复平面上，-1/N(X)曲线不 被G( j) 曲线所包围，则非线性系统是 稳定的。
4
（2）如果在复平面上，-1/N(X)曲线 被G( j) 曲线所包围，则非线性系统 是不稳定的。
5
（3）如果在复平面上，-1/N(X)曲线 与G( j) 曲线相交，则非线性系统的输出可能出现持续 振荡，即极限环。振荡的幅值由-1/N(X)曲线交 点处对应的X值决定，振荡的频率由G( j)曲线
2
sin
1
1 X
1 X
2
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2、例题：
例1：如图所示系统，判断系统是否稳定，以 及判定二曲线的交点是稳定的极限环还是不 稳定的极限环。
R(s)
ka
a
K j(T1 j 1)(T2 j 1)
C(s)
巳知饱和非线性特性的描述函数为：
N(X)
2k
sin
1
a X
a X
1( a X
)2
X
a
8
X a X
1 1 N(X) k 1 N(X)
对于系统线性部分：
Im
X
A
1 0
Re
k
0 G( j) 900
0
G( j) 0 2700
二曲线的交点坐标为：( KT1T2 , j0)
(T1 T2 )
（3）在复平面作出-1/N(X)和 G( j)的轨迹；
（4）判断系统是否稳定，是否存在极限环； （注意：假设线性部分为最小相位系统）
（5）如果系统存在极限环，进一步分析极限 环的稳定性，确定它的频率和幅值。
2、例题： 13
例1：非线性系统如图所示,试用描述函数法分析 当K=3时系统的稳定性,并求K的临界稳定值。
2
因此系统的闭环频率特性为：
C( j) N ( X )G( j) R( j) 1 N (X )G( j)
闭环特征方程式为：
1 N(X )G( j) 0
或 G( j) 1
N(X)
式中:-1/N(X)为描述函数的负倒特性，它相 当于线性系统的临界点(-1，j0).
3
在复平面同时作出线性部分的频率特性及非 线性部分描述函数的负倒特性，判别非线性 系统稳定性的方法为：
交点处的 值决定。
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二、自激振荡的稳定性
1、稳定极限环与不稳定极限环 如果在复平面上，-1/N(X)曲线 与 G( j)曲线 相交，则非线性系统的输出可能出现持续振 荡，即极限环。极限环有稳定极限环和不稳 定极限环之分。
例如图示非线性系统：
a点是稳定的自激振荡工 作点，而b点是不稳定的 自激振荡工作点。