量子习题-2012

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例 7 在康谱顿效应中，入射光子为 0.050 埃， 光子的
散射角为 1 =30o , 2 =90o 时，求散射光波长。
解： 散射光波长改变 0 2h sin 2 2c sin 2
m0c
2
o
2
式中康普顿波长c 0.0243 A
光子散射角
散射波长为
h
0
r k0
h
r k
同理
mv
6
1. 康普顿效应是光子和静止自由电子发生完全弹性碰撞，
而光电效应则是光子被受一定束缚作用的电子吸收，相 当于发生完全非弹性碰撞。
2. 康普顿效应所用 X 射线或γ射线，光子能量较大，要考虑
相对论效应。
电子动能 Ek mc2 m0c2
光电效应中采用可见光或紫外光，光子能量较小，为非相对
论效应。
电子动能
(3)动量守恒：
Pe
1
h( 02
1
2
)1/
2
h
0
(02
2
)1/ 2
Pe
2.281023 kg m / s
arctan 0 43.30
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例10：证明在康普顿散射实验中，波长为0的一个光子与质量
二.光电效应
4
1.光电效应的实验规律(1887, 赫兹)
a.存在饱和电流;
b.存在截止电压;
eU a
1 2
mvm2
c.存在截止频率;
0
A h
d.具有瞬时性。
2.爱因斯坦的光子理论(1905年)
a.光量子假设: E
b.光电效应方程：h
h p
1 2
mvm2
h
A
1 2
mvm2
h 0
三.康普顿散射（1920）
吴 有 训 ， 字 正 之 ， 1897 年 4 月 26 日 出生于江西省高安县。物理学家、 教育家，我国近代物理学奠基人之 一。以系统、精湛的实验为康普顿 效应的确立做出了重要贡献。是我 国科学事业的杰出领导人和组织者， 对我国科学事业特别是新学科的建 立和发展起了积极的推动作用。
康普顿效应和光电效应之比较
E mc2 h h
hh
p mv
De Broglie (1892~1987)，法国公爵、德国亲王，世界著名物理学家，1929年诺贝 尔物理奖得主。
导师郎之万的评语是：“这个博士生的想法近似荒诞，但是其中物 理思想展现的很是完美动人。”
8
郎之万把论文交给爱因斯坦点评。
尊敬的爱因斯坦阁下：在我这里有一位研究生，已经攻读了五年的博士学 位，如今即将毕业，在他提交的毕业论文中有一些新的想法请对他的论文 作出您的评价。另外顺便向您提及，该研究生的父亲是弊国的一位公爵，内阁 部长，若您，将来您来法国定会受到隆重的接待。
解 ：由 解得 动量
答案 （E）
例3：以一定频率的单
I
色光照射某种金属上，
测出其电流曲线如图中
实线所示，然后保持光
的频率不变，增大照射
u
光的强度，测出其光电
0
流如图虚线所示，满足 题意的是（）
（A）
I
u 0
（C）
I
18
u 0 （B）
I
u 0 （D）
以一定频率的单色光照
I
射某种金属上，测出其
电流曲线如图中实线所
散射光波长：
0
0.04 0.0024 0.0424nm
（2）反冲电子动能等于入射X射线与散射光波能量之差
28
hc hc
11
Ek
0
hc( )
0
h n
6.631034 3108 ( 1 1 ) 1010
0.4 0.424
h 0
n0
2.811016 J 1.76103eV
解 ： 太阳单位时间辐射能量为
4 R2M (T ) 4 r2I0
M
(T
)
r2I0 R2
,
由 M0 (T ) T 4
得T 4
r2 R2
I0
太阳与地球之间的平均距离为
r
r 1.496 1011m
R
地球
太阳半径为 R 6.960108 m
故太阳表面温度为
15
当高炉的温度保持在 2500K 时，计算观察窗发出的辐射的λm 。 这个波长是否在可见光范围？如果利用以维恩位移定律为依据的 可见光范围光测高温计来测量炉温，其测量范围 是多少？
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例 8. 用强度为I，波长为的X射线分别照射锂（Z=3）和铁 （Z=26）。若在同一散射角下测得康普顿效应的X射线波长分别 为Li和Fe（ Li，Fe > ），它们对应的强度分别为Ili和IFe则：
（A） LiFe ， Ili<IFe
（B）Li=Fe ， Ili=IFe
（C）Li=Fe ， Ili IFe
国大物理学家，
1925年创立量子
力学的矩阵力学，
1927年提出不确
定关系原理
(Uncertainty
Relation
Principle)，1932
年获诺贝尔物理
奖
。
物理意义： （1）经典描述不适合微观粒子；
（2）微观粒子不能静止； （3）给出了经典物理和微观物理的区别
12
Energic! Creative! Diligent! Virtuous!
相 对
（D） Li<Fe ，Ili IFe
强 度
同一散射角下
26
例 8. 用强度为I，波长为的X射线分别照射锂（Z=3）和铁 （Z=26）。若在同一散射角下测得康普顿效应的X射线波长分别 为Li和Fe（ Li，Fe > ），它们对应的强度分别为Ili和IFe则：
（A） LiFe ， Ili<IFe （B）Li=Fe ， Ili=IFe （C）Li=Fe ， Ili IFe （D） Li<Fe ，Ili IFe
n 2hc2 1 A 5 ehc/ kT 1 h c
其中： A r 2 2.5109
4
n 1.31015
1 2 500.5nm
2
太阳辐射到地球大气层外表面单位面积的辐射通量 I0 称为太 14 阳常量，实验测得其值为 I0 =1.35 kW /m2 。试把太阳近 似当作黑体，由太阳常量估计太阳表面温度。
解： 由维恩位移定律: mT b,
对在可见光范围 400 ~760 nm 的光测高温计：
可测温度范围：
16
例2：已知金属钨的逸出功是 7.2 10-19 J ,分别用频率为 7 1014 H z 的紫光和频率为 5 1015 H z的紫外光照射金属钨的表面，试 求能否产生光电效应？
解：由爱因斯坦光电效应方程：
h
A
1 2
mvm2
能使金属钨产生光电效应的红限频率为：
0
A h
7.2 1019 6.63 1034
1.09 1015 Hz
紫光频率小于此值，不能产生光电效应；紫外光频率大于此值，可 以产生光电效应。
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某金属产生光电效应的红限波长为 λ0 ，今以波长为λ（ λ<λ0 ） 的单色光照射该金属，金属释放出的电子（质量为 me ）的动 量大小为
部分用于克服电子从金属表面逸出所需的逸出功 A ，
余下的便成为了光子逸出后所具有的初动能
1 2
mVm2
.
*入射光频率一定时，饱和光电流强度与入射光强度成正比。
例6. 波长为的单色光照射某金属M表面发生光电效应，发射 23
的感光应电强子度(为电B量的绝均对匀值磁为场e，(如质图量示为)m，)今经已狭测缝出S后电垂子直在进该入磁磁场
5
散射规律：
波长变长的散射光波长增 加量Δλ 只和散射角φ有关，与 散射物质无关，且满足下式：
h m0c
(1
cos
)
2c
sin
2
2
康普顿波长：
C 2.426103 nm
康 普 顿 (Arthur Compton,1892~1962) ， 美国著名物理学家， 因对康普顿效应的研 究 而 被授 予 1927 年 诺 贝尔物理奖。
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例9：波长为0.04 nm 的X射线经物质散射后产生康普顿效应。若 散射角等于 900 ，试求：（1）散射光波长；（2）反冲电 子获得的能量；（3）反冲电子动量的大小和方向。
h n
h 0
n0
Pe
解：（1）康普顿散射公式：
0 2c sin 2
2 2 0.024sin 2 450 0.0024nm
（C） 2 =21- 0
（D） 2= 1-20
解：由光电效应方程 可知：
eU a
1 2
mvm2
及
h
1 2
mvm2
A
h1
1 2
mvm2
A
eU a1
h 0
（1）
h 2
1 2
mvm2
A
eU a 2
h 0（2）
两式相减得： 2 1
再将（1）代入得：
eUa1 h
2 1
（3） eUa1
h
h1
h 0
h
1 0
朗之万
出乎人们意料，爱因斯坦予以了高度评价，称德布罗意“揭开了巨 大帷幕的一角” 。他写信告诉洛仑兹：“我相信这是照亮我们最难 解开的物理学之迷的第一缕微弱的光。”
爱因斯坦给洛仑兹的信的内容，直到爱因斯坦去世后德布罗意才看到， 这使他无法不怀念这位“伟大的导师”。
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德布罗意物质波的实验验证：
戴维逊-革末实验， 汤姆逊电子衍射实验
量子力学发展史
1
19世纪末，经典物理学（牛顿力学，热力 学及统计物理学，电动力学）的发展
实际困难：以太，物体比热，氢原子光谱， 黑体辐射，光电效应等
1900，普朗克能量子理论；1905，爱因 斯坦光量子理论；1913，玻尔应用量子 化概念解释了氢原子光谱；1922，康普 顿效应
1924，德布罗意的物质波概念；1925， 海森伯矩阵力学；1926年，薛定谔波动 力学；1928，狄拉克相对论量子力学。
Ek
1 2
mV
2
3. 康普顿效应中散射光中最大波长改变量为
2c 0.0048 nm
可见光范围内，Δλ/λ太小，微不足道，康普顿效应只 对波长小的 X 射线或γ射线 表现明显。
光电效应则可出现在可见光范围。
四.德布罗意物质波假设
7
1924年德布罗意直接地把光的波粒二象性 推广到实物粒子，认为实物粒子也具有波动性, 有与其动量相联系的一个波长，及与其能量相 联系的一个频率。
即为2 =21- 0
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例5：设用频率为1和2的两种单色光，先后照射同一金属产生光电效应，测得
两次照射时的饱和电流I1>I2,则这两种单色光的频率有如下关系： （A） 2 <1 ； （B） 2> 1 ； （C） 2 =1 ； （D） 不能确定大小关系
金属中的电子吸收一个光子获得能量 hν，该能量中一
（A） 2 =1- 0
（C） 2 =21- 0
（B） 2= 1+ 0 （D） 2= 1-20
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设用频率为1和2的两种单色光，先后照射同一金属产生光电效应。已知金属的 红限频率为0，测得两次照射时的遏止电压为Ua2 =2 Ua1 ,则这两种单色光的 频率有如下关系：
（A） 2 =1- 0
（B） 2= 1+ 0
中作圆运动的最大半径为R。求：(1)金属材料的逸出功；
(2)遏止电势差。
解: (1) Q eBV mVm2
e,m
v B
R
Vm
ReB / m
1 2
mvm2
e2B2R2 2m
M
由光电效应方程： h
A
1 2
mvm2
A h c e2B2R2
2m
(2)
eU a
1 2
mvm2
e B2R2 Ua 2m
C. J. Davisson (1881~1958) ， 美 国物理学家，
1937 年 诺 贝 尔 物 理奖得主。
G. P. Thomson (1892~1975) ， 英 国物理学家， 1937 年 诺 贝 尔 物 理奖得主。
10
五.概率波与概率幅
德布罗意波是概率波，它描述粒子在各处被发现的概率。
例1：有一空腔辐射体，在壁上钻有直径为 50m的小圆孔，腔内1温3 度为7500K 。试求500nm到501nm的范围内从小孔辐射出来的 光子数。
解：设从小孔面上逃出的波长在 500nm 到501nm范围内的 光子数为n，则：
n M (T ) A h
2 hc2 1 Q M (T ) 5 ehc/kT 1
用波函数 描述微观粒子的状态。 为概率幅， 2 为概
率密度。波函数 即概率幅具有叠加性。
波函数的性质： 有限 单值 连续 归一化条件
2
dV 1
全空间
六.海森堡不确定关系
(Uncertainty Relation)
xpx 2
Et 2
海
森
堡
(
We
11
rner
Heisenberg,
1901~1976)，德
示，然后保持光的频率
不变，增大照射光的强
u
度，测出其光电流如图
0
虚线所示，满足题意的 是（）
（A）
I
19
I
u 0 （B）
I
u 0
（C）
u 0
（D）
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例4：设用频率为1和2的两种单色光，先后照射同一金属 产生光电效应。已知金属的红限频率为0，测得两次照射 时的遏止电压为Ua2 =2 Ua1 ,则这两种单色光的频率 有如下关系：
2
早期量子论
3
一.黑体辐射
黑体辐射基本规律：
(1).普朗克公式：
M
(T
)
2 hc2 5
1 ehc/kT 1
(2).斯特藩--玻耳兹曼定律：
M0(T ) 0 M (T )d
M0(T ) T 4 5.6705110ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱW m2 K 4
(3).维恩位移定律：
mT b b 2.897756103m K