机械波 波动方程

沿x轴负向传播的 平面简谐波的波动方程 相位落后法
x y A cos (t ) u
y A
O
u
P
A
x
*

x
点 P 比点 O 落后的相位
p O
x x x p 2 π 2 π Tu u x y p A cos (t ) 点 P 振动方程 u
x x0

) )
沿 沿
x x
轴传播 轴传播
x x0

或
x y A cos[ (t ) ] u x y A cos[ (t ) ] u
沿
x x
轴传播
沿
轴传播
例1
已知波动方程如下，求波长、周期和波速.
y 0.05 cos π[2.50 t x] (SI )
在液体和气体只能传播纵波，其波速为：
u //
B

B为介质的容变弹性模量 为密度
2、波的周期和频率 波的周期：一个完整波形通过介质中某固定点所需 的时间，用T表示。
波的频率：单位时间内通过介质中某固定点完整波 的数目，用表示。
3、波长
T
2


1

介质决定
同一波线上相邻的位相差为2 的两质点的距离。
1）波动方程 解 写出原点处质点的振动方程
y0 A cos(t )
O
t 0 x0
A
y
y y 0, v 0 t

π 2
2 /T y0 1.0cos( t

2
)
x y 1.0 cos( t 2 ) 2 2

2）求 t 1.0s 波形图.
简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作 简谐运动时，在介质中所形成的波. 平面简谐波：波面为平面的简谐波.
一、平面简谐波的波动方程 一平面简谐波在理想介质中沿x轴正向传播， x轴即为某一波线 设原点振动表达式： x为p点在x轴的坐标
y0 A cos t
y表示该处质点偏离平衡位置的位移
波源
介质 注意
+
弹性作用
机 械 波
波是运动状态的传播，介质的 质点并不随波传播.
二、横波和纵波 (1)横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波. 如绳波(机械横波仅在固体中传播)、电磁波
特征：具有交替出现的波峰和波谷.
(2) 纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波. 如声波（纵波可在固体、液体和气体中传播）
时间推迟方法
x O点振动状态传到p点需用 t u
y
O
u
x
x
p
t 时刻p处质点的振动状态重复 x t 时刻O处质点的振动状态 u x p点的振动方程： y A cos (t ) u 沿x轴正向传播的平面简谐波的波动方程 沿着波传播方向，各质点的振动依次落后于波源振动. x 为p点的振动落后与原点振动的时间 u
则y=y(t) 为x0处质点的振动方程 2x0 y( t ) A cos( t 0 ) 2x 0 0 x0处质点的振动初相为
2x 0
t
T

若x0= 则 x0处质点落后于原点的位相为2
为x0处质点落后于原点的位相
是波在空间上的周期性的标志
波线上各点的简谐运动图
在水中的波长
2
2
u1
0.17 m
u2 1450 m s 1 7.25 m 2 0.725 m 2 1 200 Hz
u2
1
13-2 平面简谐波的波动方程
波动方程：描述介质中各质点的位移随时间的变化关系
y y ( x, t )
各质点相对平 衡位置的位移 波线上各质点 平衡位置
在时间t内整个波形沿波的 传播方向平移了一段距离x
y
O
u
t
t t
x x
x
三、平面波的波动微分方程
x y A cos[ ( t ) 0 ] u
求t 的二阶导数
wenku.baidu.comy x 2 A cos[ ( t ) 0 ] 2 t u
求x的二阶导数
y x 1 y A 2 cos[ ( t ) 0 ] 2 2 2 x u u u t
沿波线方向各质点的振动相位依次落后。
波前 波面

*
球面波
波线
平面波
四、描述波动的几个物理量 1、波速 u 振动状态（即位相）在单位时间内传播 的距离称为波速 ，也称之相速
u G
在固体媒质中横波波速为

E
在固体媒质中纵波波速为 u //

G、 E为媒质的切变弹性模量和杨氏弹性模量 为介质的密度 在同一种固体媒质中，横波波速比纵波波速小些
3）写出传播方向上点C、点D 的简谐运动方程
y A (3 102 m) cos 4 π t
u
C
8m
B
5m
9m
D
10 m
oA
2
x

点 C 的相位比点 A 超前
AC yC 3 10 cos[4 π t 2π ]
2
13 3 10 cos[4 π t π ] 5 点 D 的相位落后于点 A
解：方法一（比较系数法）.
t x y A cos 2π ( ) T
把题中波动方程改写成
比较得
2.50 x y 0.05 cos 2π[ t ] 2 2
2 T 0.8 s 2.5
2.00 m
u 2.50 m s 1 T
例2 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播， 已知振 幅 A 1.0m ，T 2.0s， 2.0m. 在 t 0时坐标原 点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动. 求
u
8m C B 5m 9m D
oA
x
1）以 A 为坐标原点，写出波动方程
A 3 10 m T 0.5s 0
2
y A cos(t 2
2
x x0
uT 10m
x y 3 10 cos(4 t 2 )(m) 10

)
2）以 B 为坐标原点，写出波动方程
同一波线上任意两点的振动位相差 x2 x1 x 2 1 2 2


2、如果给定t，即t=t0 则y=y(x) Y x y A cos[ ( t 0 ) 0 ] u 表示给定时刻波线上各质 O 点在同一时刻的位移分布 ，即给定了t0 时刻的波形

y 1.0cos[π t π ]
y
3 4
O
y/m
1.0 2 0 -1.0*1 2 * 3 *
1

1.0
4 *
2.0
*
*
t /s
x 0.5 m 处质点的振动曲线
例3 一平面简谐波以速度 u 20m / s 沿直线传播,波 2 线上点 A 的简谐运动方程 y A 3 10 cos 4 π t .
大学物理学电子教案
机械波、波动方程
13-1 13-2
机械波的基本概念 平面简谐波的波动方程
第十三章
机械波和电磁波
波动是振动的传播过程. 振动是激发波动的波源. 波动 机械波 机械振动在弹性介质中的传播. 电磁波 交变电磁场在空间的传播.
13-1 机械波的基本概念
一、机械波产生的条件 机械波：机械振动在弹性介质中的传播. 产生条件：1、有做机械振动的物体，即波源； 2、有连续的介质—弹性介质.
x ut y( x x , t t ) A cos[ ( t t ) 0 ] u x A cos[ ( t ) 0 ] u
y( x x , t t ) y( x , t )
y( x x , t t ) y( x , t )
2 2 2
2y 1 2y 2 2 x u t 2
平面波的波动 微分方程
小结 求解波动方程方法:
1 找任意一点 x0 的振动方程
y0 A cos(t )
2 写出沿 x 轴传播的波动方程
y A cos(t 2 y A cos(t 2
y A 3 10 cos 4 π t
2
u
8m C 5m 9m A D
oB
x
B A 2π
xB x A

5 2π π 10
2
B π
yB 3 10 cos(4 π t π)
2
x y 3 10 cos(4 t π 2 )(m) 10
式中 A, B , C 为正常数，求波长、波速、波传播方 向上相距为 d 的两点间的相位差.
y A cos( Bt Cx )
2π 2π T C B
B u T C

数目。
质点的振动速度，加速度
y x v A sin[ (t ) ] t u 2 y x 2 a 2 A cos[ (t ) ] t u
二、波动方程的物理意义
y
T
x y A cos[ ( t ) 0 ] O u 1、如果给定x，即x=x0
xB xC
思考
1）给出下列波动方程所表示的波的传播方 向和 x 0 点的初相位.
t x y A cos 2π ( ) (向x 轴正向传播 , π ) T x y A cos (t ) (向x 轴负向传播 , π ) u 2）平面简谐波的波函数为 y A cos( Bt Cx )
T u
u

波源决定
例1 在室温下，已知空气中的声速 u1 为340 m/s， 水中的声速 u 2 为1450 m/s ，求频率为200 Hz和2000 Hz 的声波在空气中和水中的波长各为多少？
解 由
u ，频率为200 Hz和2000 Hz 的声波在
空气中的波长
340 m s 1 1 1.7 m 1 200 Hz u1
特征：具有交替出现的密部和疏部.
注:生活中常见的水波不是简单的横波或者纵波,情况比较复杂
三、波线和波面 波场--波传播到的空间。
波线（波射线）--代表波的传播方向的射线。
波面--波场中同一时刻振动位相相同的点的轨迹。
波前（波阵面）--某时刻波源最初的振动状态 传到的波面。 各向同性均匀介质中，波线恒与波面垂直.
x y 1.0 cos( t 2 ) 2 2
t 1.0s
波形方程
y/m
1.0

π y (1.0m) cos[ π x] 2
(1.0m) sinπ x
o
-1.0
2.0
x/m
t 1.0 s 时刻波形图
3） x 0.5m 处质点的振动规律并做图 .
x y 1.0 cos( t 2 ) 2 2 x 0.5m 处质点的振动方程
若波源（原点）振动初位相不为零 y0 A cos( t 0 )
x y A cos[ (t ) 0 ] u
或
t x y A cos[ 2 ( ) 0 ] T 2x y A cos[ 2 t ) 0 ] 2 y A cos[ ( ut x ) 0 ] A cos[ k ( ut x ) 0 ] 2 波矢，表示在2 长度内所具有的完整波的 k
2
AD yD 3 10 cos[4 π t 2π ]
9 3 10 cos[4 π t π ] 5
2

4）分别求出 BC ，CD 两点间的相位差
y A 3 102 cos 4 π t
u
8m 5m 9m
10 m
D
C
B
oA
x
8 B C 2π 2π 1.6π 10 xC xD 22 C D 2π 2π 4.4π 10
同一质点在相邻两时刻的振动位相差
u

x1 x2 X
2 1 ( t 2 t1 )
t
T
2
T是波在时间上的 周期性的标志
3.如x,t 均变化y=y(x,t)包含了不同时刻的波形
t时刻的波形方程 u t t t y x y( x ) A cos[ ( t ) 0 ] u O t+t时刻的波形方程 x x x x y( x ) A cos[ ( t t ) 0 ] u t时刻,x处的某个振动状态经过t ，传播了x的距离