华南师范大学考研数学分析试题汇总

2000年华南师范大学数学分析
一、填空题（3*１０＝30分)
1.设_______lim _______,lim ,,2,1,4sin
)1(===+-=∞→∞→n n n n n n a a n n a 则 π; 2.设处连续；在则为无理数为有理数____)(, , ,)(=∈⎩
⎨⎧-=x x f R x x x x x x f 3.
4.
5.方程在区间[0，1]中至多有＿________个根;
6._______;
__________),1()(1122=>+=++⎰n n n n I I n n a x dx I 的递推公式，写出为自然数设7、设_;__________)(,)(),(cos sin 0==⎰+du t f dt t f y x u y
x 是可微函数，则
8.在P 0(2,0)处可微,且在P 0处指向P 1(２，２)得方向导数就是1,指向原点得方向导数就是-3，则在P 0处指向P 2(1,2)得方向导数就是_____＿_____＿_;
9.写出函数在x ＝0处得幂级数展开式:
10.曲线得弧长s=__＿_＿___＿_＿___＿___＿、
二、(12分)设f （ｘ）在[0,＋∞)上连续,存在，证明:f(ｘ）在[0,＋∞）上可取得最大值或最小值、
三、(1２分)设函数z=z(ｘ,ｙ),由方程所确定,其中f 就是可微函数,试证：
、
四、(12分)求极限：、
五、（１２分)已知a,ｂ为实数,且1<ａ<ｂ，证明不等式:、
六、(12分）计算曲面积分:其中Ｓ就是球面得外侧、
七、(1０分）设,在［a ，b]上连续,n=1,２,…,在[a ，ｂ]上收敛于连续函数f(x),证明:在［a,ｂ]上一致收敛于ｆ(x ）、
２0０3年华南师范大学数学分析
一、(１２分)求极限
二、(12分)设
三、(12分)证明在[ａ，ｂ]上一致收敛(其中,０<a ＜b<+∞);在(0,+∞)上不一致收敛；并证明：函数S （x)=在(０，＋∞)上连续、
四、(1２分)求第二型曲线积分，其中，,取逆时针方向。

五、（１2分)f(ｘ)就是(ａ,+∞)上得连续函数，求证:如果与都存在(有限),那么,f(x)在（a,+∞）上一致连续。

问:逆命题就是否成立?如成立,请证明之；否则,请举反例。

六、（1５分)设关于一致收敛,而且,对于每个固定得,ｆ(x,y)关于ｘ在[ａ,+∞）上单调减少。

求证：当时,函数xf （x,y)与f （ｘ，ｙ)关于一致地收敛于0、
２004年华南师范大学数学分析
1.（1２分)设证明数列严格单调增加且收敛。

2.(12分)求函数得导函数，并讨论导函数得连续性。

3.(１2分）求幂级数得收敛半径与收敛域。

4.(12分)求函数得Ｆouri ｅr 级数,并由此求数列级数：
得与。

5.(1２分)设ｆ(x)在[a,ｂ］上连续,在(a,ｂ)内可导(0＜ａ<b),f(a）≠f(b)，证明:存在，使得。

6.(１5分)就是以为心，r为半径得球,就是以M0为心,ｒ为半径得球面,f（ｘ,y,ｚ)在R3上连续,证明:
2００５年华南师范大学数学分析
一、计算题（4*8=32分)
1.求、
2.求、
3.求、
4.求、其中,取逆时针方向。

二、证明题（3*9=２7分)
1.证明:对；
2.设,证明：；
3.设f(x）在(0,１)上连续,，证明:f(x)在(0，1）内取到最大值、
三、讨论题(2＊8=1６分)
1.讨论级数得敛散性。

2.设,讨论得敛散性(包括条件收敛与绝对收敛)。

2０06年华南师范大学数学分析
1.(15分)假设存在,试证明:、
2.(15分)假设f(ｘ)在[ａ,b]上为单调函数,试证明:ｆ(x)在［ａ，b］上可积。

3.(1５分）假设在［a,b]上连续,级数在（ａ,ｂ)上一致收敛,试证明：
(i),收敛; （ｉｉ)在[ａ,b]上一致收敛。

4.（15分）假设,试证明：ｆ（x,y）在(0,0)连续，且偏导数存在,但此点不可微。

5.(15分)计算曲面积分,其中s为锥面所示部分，方向为外侧。

2０0７年华南师范大学数学分析
1.(1５分)证明数列收敛,并求其极限、
2.（15分)ｆ(ｘ）在x＝0得邻域U（0)内有定义,且f（x)=ｆ(－x)、
(1)、(5分)如果f(x）在U(0)可导，证明;
(2)、(10分）只假定存在，证明、
3.(１5分)求积分:、
4.（15分)判别函数列得一致收敛性、
5.(15分)设,求与、
6.(15分)利用与分部积分法求,其中ａ>0、
7.(2０分)设L就是平面区域得边界曲线,L光滑。

u(x,y）在上二阶连续可微，用格林公式证明:、其中n就是L上得单位外法向量，就是ｕ沿n方向得方向导数、8.(2０分)设ｆ(x）得导函数在[0,1]上连续,且>0,证明瑕积分、当１<p<2时收敛,p2时发散、
9.（20分)设f(x)在[0,+∞)上一致连续,且对任何,有证明:
2０0８年华南师范大学数学分析
一.(1５分）设
二.(1５分)设为有界集,证明必存在数列
三.(１5分)设
(1)证明若，则f在x处不连续；(２)计算、
四.(15分）设n 为自然数,求不定积分得递推公式,并计算、
五.（20分)
(1)设,证明
(2)证明函数项级数在ｘ=0得邻域U(0)内不一致收敛、
六.(１5分)求函数在位于圆处沿这圆周切线方向得方向导数（切线倾斜角)。

七.(15分）设有n 个实数,证明方程中至少有一个根。

八.(20分)设收敛，证明函数上一致连续。

九.（20分)设,L 就是Ｄ得边界曲线,L 取逆时针方向为正向。

就是L 得外法线方向上得单位向量,Ｆ(P(x,y),Q(x,y ））就是定义在D 上得连续可微向量函数，计算极限:、
2００9年华南师范大学数学分析
一、(20分）
.)]()([lim .,,)(lim ,)(lim -∞=+-∈=-∞=→→→x g x f R A a A x g x f a
x a x a x 语言证明用这里设δε 二、(1５分)设数列无上界。

试证明存在得子列满足。

三、(２0分)设,求函数G （ｘ)=ｆ（ｘ)-F(x ）得导数，并判别函数G 得单调性。

四、(20分)求下列函数得偏导数或全微分:
1、；
2、设函数f 有一阶连续偏导数，求由方程ｆ(x-y ，ｙ-z,ｚ-x)=0所确定得函数z=z(x ，y)得全微分。

五、(１5分)求圆锥面
六、（20分)计算曲线积分经过上半椭圆。

七、(20分）设正项级数
求证：1)、发散收敛；∑∑⎰∑∞=∞=+∞+∞
=+-+∞==11111).3 ).2 ;1n n n n n n n a n n n S a S a a x dx S a 。

八、(2０分)设就是区间I 上定义得函数族。

若
εδδε<-Λ∈<-∈>∃>∀)()(,,,0,0212121x f x f f x x I x x 都有时，对所有且当,则称函数族在区间Ｉ上等度连续。

设函数列各项在[a,ｂ］上连续,且在[a,b]上一致收敛于函数f(x ）,证明:函数列在[a,b]上等度连续。

２010年华南师范大学数学分析
1.已知,求对y 进行ｎ阶求导得到得公式。

2.已知，求p 取不同值得敛散性。

3.已知,求ｆ（x ）得值。

4.在数列中,存在M>0时,,证明收敛。

5.已知函数f(ｘ)在［a,+∞)上连续,ｇ(x ）在［a,+∞）上一致连续,存在,证明ｆ(x)在［a,＋∞)上一致连续。

6.ｆ(x ）在（-∞,0)上有
、
7.f(x)、g(x)在[ａ,+∞)上可微,当
8.f(x,ｙ)在D内关于偏导数y连续，在D上存在且有界,求证ｆ(x,y）在Ｄ上连续。

9.已知一条封闭曲线L，n为它得外法向量,就是任意方向得向量，求证。