考点48 基本不等式——2021年高考数学专题复习讲义附解析

考点48 基本不等式(讲解)

【思维导图】

【常见考法】

考法一：直接型

1．若1

03

x <<，则()13x x -取最大值时x 的值是 。

2．已知正数a 、b 满足236a b +=，则ab 的最大值为 。

3()())3663a a a -+-≤≤的最大值为 。

考法二：换1型

1．已知实数0,0,31x y x y >>+=，则11

x y

+的最小值为 。

2．已知0,0,1x y x y >>+=,则11

x y

+的最小值是 。

3．已知0x >，0y >，且

21

1x y

+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是______.

考法三：配凑型

1．已知1x >，则4

1

x x +-的最小值为 。

2．已知1,1a b >>，且11111

a b +=--，则4a b +的最小值为 。

3．函数233

(1)1

x x y x x ++=>-+的最小值为 。

4．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－，则2a ＋b ＋c 的最小值为 。

考法四：消元型

1．若正数,x y 满足2

20x xy +-=，则3x y +的最小值是 。

2．若正数,a b 满足

111a b +=，则1411

a b +--的最小值为 。

3．若实数,x y 满足0xy >，则

的最大值为 、

考法五：求参数

1．设a 、b 、c 都是正实数，且a 、b 满足19

1a b

+=，则使a b c +≥恒成立的c 的范围是。

2．已知0x >，0y >，且280x y xy +-=，若不等式a x y ≤+恒成立，则实数a 的范围是 。

考法六： 综合运用

1．已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，则角B 的取值范围为 。

2．已知正项等比数列{}n a 满足：7652a a a =+，若存在两项m a 、n a 14m n a a a =，则14

m n

+的最小值为 。

3．已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4

b ＋1c

的最小值是 。

4．若直线MN 过△ABC 的重心G ，且AM mAB =，AN nAC =，其中0m >，0n >，则2m n +的最小值是 。 解析附后

考点48 基本不等式(讲解)

【思维导图】

【常见考法】

考法一：直接型

1．若1

03

x <<，则()13x x -取最大值时x 的值是 。 【答案】

16

【解析】1

(13)3(13)3x x x x -=⨯-

103x <<

，130x ∴->，∴由基本不等式得211313111

(13)3(13)

()3323412

x x x x x x +--=⨯-==， 当且仅当313x x =-，即61x =，1

6

x =时取等号， (13)x x ∴-取最大值时x 的值是16

x =

． 2．已知正数a 、b 满足236a b +=，则ab 的最大值为 。

【答案】

14

【解析】因为正数a 、b 满足236a b +=

故可得()()()2

111123236644

ab a b a b =

⨯⨯≤⨯+=，

当且仅当23,23a b a b =+=

a b =

=

.

3)63a -≤≤的最大值为 。

【答案】

9

2

【解析】因为63a -≤≤，所以30,60a a ->+>

369

22

a a -++≤=

当且仅当36a a -=+，即3

2

a =-

时，等号成立， 考法二：换1型

1．已知实数0,0,31x y x y >>+=，则

11

x y

+的最小值为 。

【答案】4+

【解析】

()11113344y x

x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭

2．已知0,0,1x y x y >>+=,则11x y

+的最小值是 。

【答案】4

【解析】()1111224y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭（当且仅当y x x y =，即x y =时取等号）11

x y

∴+的最小值为4 3．已知0x >，0y >，且21

1x y

+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是______. 【答案】()4,2-

【解析】因为()2142244228y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+⨯=

⎪⎝⎭

，要使222x y m m +>+恒成立，所

以228m m +<，解得42m -<<.故答案为：(4,2)-．

考法三：配凑型