考点48 基本不等式——2021年高考数学专题复习讲义附解析

考点48 基本不等式(讲解)
【思维导图】
【常见考法】
考法一：直接型
1．若1
03
x <<，则()13x x -取最大值时x 的值是 。

2．已知正数a 、b 满足236a b +=，则ab 的最大值为 。

3()())3663a a a -+-≤≤的最大值为 。

考法二：换1型
1．已知实数0,0,31x y x y >>+=，则11
x y
+的最小值为 。

2．已知0,0,1x y x y >>+=,则11
x y
+的最小值是 。

3．已知0x >，0y >，且
21
1x y
+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是______.
考法三：配凑型
1．已知1x >，则4
1
x x +-的最小值为 。

2．已知1,1a b >>，且11111
a b +=--，则4a b +的最小值为 。

3．函数233
(1)1
x x y x x ++=>-+的最小值为 。

4．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－，则2a ＋b ＋c 的最小值为 。

考法四：消元型
1．若正数,x y 满足2
20x xy +-=，则3x y +的最小值是 。

2．若正数,a b 满足
111a b +=，则1411
a b +--的最小值为 。

3．若实数,x y 满足0xy >，则
的最大值为 、
考法五：求参数
1．设a 、b 、c 都是正实数，且a 、b 满足19
1a b
+=，则使a b c +≥恒成立的c 的范围是。

2．已知0x >，0y >，且280x y xy +-=，若不等式a x y ≤+恒成立，则实数a 的范围是 。

考法六： 综合运用
1．已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，则角B 的取值范围为 。

2．已知正项等比数列{}n a 满足：7652a a a =+，若存在两项m a 、n a 14m n a a a =，则14
m n
+的最小值为 。

3．已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4
b ＋1c
的最小值是 。

4．若直线MN 过△ABC 的重心G ，且AM mAB =，AN nAC =，其中0m >，0n >，则2m n +的最小值是 。

解析附后
考点48 基本不等式(讲解)
【思维导图】
【常见考法】
考法一：直接型
1．若1
03
x <<，则()13x x -取最大值时x 的值是 。

【答案】
16
【解析】1
(13)3(13)3x x x x -=⨯-
103x <<
，130x ∴->，∴由基本不等式得211313111
(13)3(13)
()3323412
x x x x x x +--=⨯-==， 当且仅当313x x =-，即61x =，1
6
x =时取等号， (13)x x ∴-取最大值时x 的值是16
x =
． 2．已知正数a 、b 满足236a b +=，则ab 的最大值为 。

【答案】
14
【解析】因为正数a 、b 满足236a b +=
故可得()()()2
111123236644
ab a b a b =
⨯⨯≤⨯+=，
当且仅当23,23a b a b =+=
a b =
=
.
3)63a -≤≤的最大值为 。

【答案】
9
2
【解析】因为63a -≤≤，所以30,60a a ->+>
369
22
a a -++≤=
当且仅当36a a -=+，即3
2
a =-
时，等号成立， 考法二：换1型
1．已知实数0,0,31x y x y >>+=，则
11
x y
+的最小值为 。

【答案】4+
【解析】
()11113344y x
x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭
2．已知0,0,1x y x y >>+=,则11x y
+的最小值是 。

【答案】4
【解析】()1111224y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭（当且仅当y x x y =，即x y =时取等号）11
x y
∴+的最小值为4 3．已知0x >，0y >，且21
1x y
+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是______. 【答案】()4,2-
【解析】因为()2142244228y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+⨯=
⎪⎝⎭
，要使222x y m m +>+恒成立，所
以228m m +<，解得42m -<<.故答案为：(4,2)-．
考法三：配凑型
1．已知1x >，则4
1
x x +-的最小值为 。

【答案】5
【解析】由题意，因为1x >，则10x ->，
所以44111511x x x x +
=-++≥=--， 当且仅当411
x x -=
-时，即3x =时取等号，所以4
1
x x +
-的最小值为5． 2．已知1,1a b >>，且11111
a b +=--，则4a b +的最小值为 。

【答案】14
【解析】()()()()()411
11414151415101111b a a b a b a b a b b a --⎛⎫⎡⎤+=-+-+=-+-++=++ ⎪⎣⎦----⎝⎭
1014≥+=，当且仅当
()41111
b a b a --=
--时等号成立，取得最小值14 3．函数233
(1)1
x x y x x ++=>-+的最小值为 。

【答案】3
【解析】1x >-，则10x +>，()()()2
2
111
331
1131
1
1
x x x x y x x x x ++++++===++
+≥+++，当0x =时取“=”．
4．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－，则2a ＋b ＋c 的最小值为 。

【答案】 2
【解析】由a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－
得(a ＋c )·(a ＋b )＝4－. ∵a 、b 、c >0.
∴(a ＋c )·(a ＋b )≤2
2b c 2a ++⎛⎫ ⎪
⎝⎭
(当且仅当a ＋c ＝b ＋a ，即b ＝c 时取“＝”)，
∴2a ＋b ＋c ＝1)＝ 2.。