4 信号分离电路答案

第四章

信号分离电路

4-1 简述滤波器功能、分类及主要特性参数

滤波器是具有频率选择作用的电路或运算处理系统。按所处理信号形式不同，滤波器可分为模拟滤波器与数字滤波器两类；按功能滤波器可分为低通、高通、带通与带阻四类。滤波器主要特性参数包括： 1) 特征频率 滤波器的频率参数主要有：①通带截频π2/p p ω=f 为通带与过渡带的边界点，在该点信号增益下降到一个人为规定的下限。②阻带截频π2/r r ω=f 为阻带与过渡带的边界点，在该点信号衰耗(增益的倒数)下降到一个人为规定的下限。③转折频率π2/c c ω=f 为信号功率衰减到12/(约3dB)时的频率，在很多情况下，也常以c f 作为通带或阻带截频。④当电路没有损耗时，固有频率π2/00ω=f ，就是其谐振频率，复杂电路往往有多个固有频率。

2)增益与衰耗 滤波器在通带内的增益并非常数。①对低通滤波器通带增益P K 一般指ω=0时的增益；高通指ω→∞时的增益；带通则指中心频率处的增益。②对带阻滤波器，应给出阻带衰耗，衰耗定义为增益的倒数。③通带增益变化量p K ∆指通带内各点增益的最大变化量，如果p K ∆以dB 为单位，则指增益dB 值的变化量。

3） 阻尼系数与品质因数 阻尼系数α是表征滤波器对角频率为ω0信号的阻尼作用，是滤波器中表示能量衰耗的一项指标，它是与传递函数的极点实部大小相关的一项系数。它可由式（4-3）所示的传递函数的分母多项式系数求得:

21ωαj j a a =

α的倒数α1/=Q 称为品质因数，是评价带通与带阻滤波器频率选择特性的一个重要指标，Q 为：

ω

ω∆=0

Q

式中的ω∆为带通或带阻滤波器的3dB 带宽，0ω为中心频率，

在很多情况下中心频率与固有频率ω0相等。 4）灵敏度 滤波电路由许多元件构成，每个元件参数值的变化都会影响滤波器的性能。滤波器某一性能指标y 对某一元件参数x 变化的灵敏度记作S x y

，定义为：

x

x y y S y

x d d =

灵敏度是滤波电路设计中的一个重要参数，可以用来分析元件实际值偏离设计值时，电路实际性能与

设计性能的偏离；也可以用来估计在使用过程中元件参数值变化时，电路性能变化情况。该灵敏度与测量仪器或电路系统灵敏度不是一个概念，该灵敏度越小，标志着电路容错能力越强，稳定性也越高。

5）群时延函数 当滤波器幅频特性满足设计要求时，为保证输出信号失真度不超过允许范围，对其相频特性ϕω()也应提出一定要求。在滤波器设计中，常用群时延函数τωϕωω

()()=d d 评价信号经滤波

后相位失真程度。τω()越接近常数，信号相位失真越小。

4-2 证明二阶电路传递函数分母系数均为正时电路是稳定的(提示：极点位置均位于s 平面左半部分)

假设二阶传递函数具有如下形式

12

2012

2)(d s d s d n s n s n s H ++++=

其极点位置为：

2

202

11P2P1,24d d d d d s -±-=

1)当d d d 12

024<时

1

2

1

2021P1242d d d d j

d d s -+-=

1

2

1

202

1P2242d d d d j

d d s ---=

02/)Re()Re(21P2P1<-==d d s s )0,

(21>>d d

2)当d d d 12

024≥时

02421

2

02

121P1<-+

-=

d d d d d d s

02421

2

02

12

1P2<---=

d d d d d d s

极点均位于s 平面左半部分，因此电路是稳定的。

4-3 试确定图4-3所示的低通滤波器的群时延函数τω()，并证明当ωω<<0时，贝赛尔逼近

Q =13/

可使τω()最接近常数。

(提示：将τω()展成幂级数，并略去(/)ωω04

及更高次项) 由式(4-12)

⎪⎪⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

>-+-≤-=0

2

0200

2020arctg

πarctg )(ωωωωω

αωωωωωωαωωϕ

可以得到

2

2

02

2

2

02

2

02

0)()

()(d d )(ω

ωαωω

ωω

αωωϕω

ωτ+-+-

==

4

02

02

02

0])/()/(2)/(1[]

)/(1[ωωωωωωαωωωα+-++-

=

当0ωω<<时，将其展成幂级数又可以得到

])(

)(

)(

21][)(

1[)(4

2

2

2

O

o ωωωαωωωωωωαωτ'+-++-

≈

])(

)(

)(

31[4

2

2

ωωωαωωωωαo '+-+-

=

当3=

α时略去(/)ωω04

及更高次项

4

])(

1[)(ωαωωωαωτ-

≈'+-

=o

4-4 如果带通滤波器可等效成低通与高通滤波电路的级联，那么带阻滤波器呢？试以式(4-18)证明之。

带阻滤波器可等效成低通与高通滤波电路的并联，但是要求低通滤波器的通带截频低于高通滤波器的通带截频，并且相位相同。设电路原理框图如下

)()]()([)()()()()(i 21i 2i 1o s V s H s H s V s H s V s H s V +=+=

如果

20

02

2

p 20

02

2

p 1/)(H ω

ωωω

αωω++=

++=

Q s s K s s K s

2

02

2

p 20

02

2

p 2/)(H ωωω

αω++=

++=

Q s s

s K s s

s K s

V s i ()

H s 1() H s 2()

V s o ()

+

+