(整理)计算结构动力学2

第2章 分析动力学基础

2.1 基本概念 2.1.1 约束

对质点系各质点的位移和速度提供的限制，约束在数学上通过约束方程来表达。对于n 个质点组成的系统，约束方程的一般形式为：

m k t r r r r r r f

n n k ,1,0),,...,,,,...,,(2

121== 或简写为：

m k t r

r f i i k ,1,0),,(== 式中，i r 、i r

分别为质点i 的位置矢量和速度矢量，t 为时间，m 为约束方程的个数。

注：弹性支座不对位置和速度提供直接限制，不作为约束。 约束方程的分类： （1） 几何约束和运动约束

几何约束：约束方程中不显含速度项，如：0),(=t r f i k

运动约束：约束方程中显含速度项，如：0),,(=t r

r f i i k 下图中，如果圆轮与地面之间无滑动，则其约束方程为：0=-ϕ a x

c

（2） 定常约束和非定常约束

定常约束：约束方程中不显含时间t ，如：0),(=i i k r r f 非定常约束：约束方程中显含时间t ，如：0),,(=t r

r f i i k

222l y x =+ 222)(ut l y x -=+

（3） 完整约束与非完整约束

完整约束：几何约束以及可积分的运动约束 非完整约束：不可积分的运动约束

方程0=-ϕ a x

c 可积分为0=-ϕa x c ，因此是完整约束。 （4） 单面约束与双面约束

单面约束：约束方程为不等式，如：0),,(≤t r r f i i k 双面约束：约束方程为等式，如：0),,(=t r

r f i i k 下图中，如果考虑到绳子可以缩短，则其约束方程为：222l y x ≤+，表现为不等式形式，就是一个单面约束。

一般分析力学的研究对象为：完整的双面约束，方程为：0),(=t r f i k

。

2.1.2 广义坐标与自由度

广义坐标：描述系统位置状态的独立参数，称为系统

的广义坐标。

广义坐标的个数：

（1） 空间质点系：m n N -=3 （2） 平面质点系：m n N -=2

对于如图双连刚杆的平面两质点系统，约束方程为：

⎩⎨⎧=-+-=+22

2

122122

1

2121)()(l y y x x l y x 广义坐标个数为：2222=-⨯=N ，具体地可选择为：),(21x x ；),(21y y ；

),(21y x ；),(21x y ；),(21ϕϕ等。

如果系统的位移状态),(t x u 可以通过一组基函数)(x f i 来线性组合，如：

∑=i

i i x f t q t x u )()(),(，由于各系数)(t q i 相互独立，因此系数)(t q i 也是一种广义坐

标。

例：简支梁的挠度曲线可表示为∑=i

i l

x

i t q t x y πsin

)(),(，)(t q i 为与基函数l

x

i πsin

对应的广义坐标。 根据广义坐标的概念，设系统的广义坐标个数为N ，当选定系统的广义坐

标),1(N k q k =后，系统的位置状态可以由全部广义坐标来表示，也即有：

),(),,...,,(21t q r t q q q r r k i N i i

==，n i ,1=

自由度：某瞬时，系统独立运动的个数。自由度强调的是独立运动也即独立速度，广义坐标强调的是独立坐标（位移）。对于完整系统，自由度与广义坐标的个数相同；对于非完整系统，由于存在非完整约束，对独立速度的限制多于对独立坐标的限制，因此自由度数比广义坐标个数少。

2.1.3 力的功

对于力k t Z j t Y i t X t F

)()()()(++=，设在微小时间间隔dt 内力作用点的位移为k dz j dy i dx r d

++=，则该力做的功称为元功：

dz t X dy t X dx t X dr t F r d t F W )()()(cos )()(++==⋅=θδ

式中，θ为)(t F 与r d

的夹角。

经过一段路径AB ，做的总功为：

⎰⎰

++=⋅=B A

B

A

dz t Z dy t Y dx t X r d t F W )()()()(

对于力偶)(t M ，设在微小时间间隔dt 内物体在力偶作用下的转角为ϕd ，则元功为：

ϕδd t M W )(=

转过一定角度121ϕϕϕ-=∆，做的总功为：

⎰=2

1

)(ϕϕϕδd t M W

力、力偶在单位时间内做的功称为功率：

r t F dt r d t F dt W dt dW p

⋅=⋅===)()(δ ϕ

ϕ

δ )()(t M dt

d t M dt W dt dW p ==== 2.1.4 有势力与势能

有势力：在作用点变化过程中，力做的功如果只与起止位置有关，而与中间路径无关，则这个力称为有势力，有势力所在的空间称为该有势力的势力场，如重力与重力场。

势能：在势力场中，物体从位置),,(z y x M 运动到任选的位置),,(0000z y x M ，有势力所作的功称为物体在位置M 相对于位置0M 的势能，以V 表示：

⎰⎰

++=⋅=0

M M

M M

Zdz Ydy Xdx r d F V

位置0M 的势能等于零，称为零势能位置（点、状态）。

势能V 是位置),,(z y x M 的函数，记为),,(z y x V 。有势力分量与势能具有如下关系：

x V X ∂∂-

=，y V Y ∂∂-=，z

V

Z ∂∂-=

证明如下：

当),,(z y x M 具有微小变化变为),,('dz z dy y dx x M +++时，势能的增量为：