《力学》漆安慎第七章例题

xc
V
V
0 πR3 2 / 3
R
rx O x dx
z
3R 8 由对称性得
yc zc 0
第七章 刚体力学
[例2] 在半径为R的均质等厚大圆板的一侧挖掉半径为R/2
的小圆板,大小圆板相切,如图所示.求余下部分的质心.
[解] 由对称性，yc= 0
y
设平板面密度为,
大圆板 m πR2 xc 0
（2）此时棒末端A的速度和加速度。
l

[解]（1）细棒受重力矩作用，根据
定轴转动定理， C
mg 1l cos 1 ml2
2
3
3g cos
2l
mg A
d 3g cos d
2l
第七章 刚体力学

d
3g cos d
0
0 2l
3g sin
l
（2）根据线量和角量之间的关系，可得A点的速度和加速度
根据牛顿第三定律，飞轮作用于轴承的压力 为8.8N，方向由转轴指向质心。
第七章 刚体力学
[例4]水平桌面上铺一张纸，纸上放一个均匀球，球的质量
m=0.5 kg。将纸向右拉时会有f=0.1 N的摩擦力作用在球上。
求从静止开始的2s内，球相对桌面移动的距离。
[解] 对球运用质心运动定理 y
f mac
v l 3gl sin
at

l

3g cos
2
an

v2 l
3g sin
l
C
mg A
第七章 刚体力学
§7.4 刚体定轴转动的动能定理
[例1]装置如图所示，均质圆柱体质量为m1，半径为R，重 锤质量为m2 ，最初静止，后将重锤释放下落并带动柱体旋 转，求重锤下落 h 高度时的速率v，不计阻力，不计绳的
O
x
小圆板
m1

1 πR2
4
x1c R / 2
余下部分
m2

3 πR2
4
0
1 πR2
4

R 2

3 4
πR
2

x2c
R
πR 2
x2c 6
第七章 刚体力学
[例3]一圆盘形均质飞轮质量为m=5.0kg，半径为r=0.15m,
转 速 为 n=400r/min. 飞 轮 作 匀 速 转 动 . 飞 轮 质 心 距 转 轴
将
I

1 ml2 和 hC 3


l sin
2
代入上式，有
A
0 1 ml22 1 mgl sin
2
θ
cos 1
3m2v02
(3m M )(2m M )gl
l
m v0
第七章 刚体力学
[例3]如图，质量为m，长为l的均匀细棒绕过O点的转轴自水
平位置以零角速度自由下摆。
求细棒运动到与水平夹角为θ时的角速度。
[解] 方法1. 利用刚体定轴转动 的转动定理求解.
l
mg l cos 1 ml2
02
2 23
mg l sin 1 1 ml2 2
2
23
l
C mg
A
解得， 3g sin
l
第七章 刚体力学
方法3. 利用机械能守恒定律求解.
取杆和地球为一个系统。杆在
l
转动过程中只有保守力重力做

功，系统机械能守恒。取初始
状态为重力势能的零点。
C
0

1 2
I 2

mghC
mg
第七章 刚体力学
第七章 刚体力学
§7.1 刚体运动的描述
[例1]一条绳索绕过一定滑轮拉动一升降机，滑轮半径r， 如果升降机从静止开始以加速度a匀加速上升，求开始上
升后滑轮的角加速度 ，任意t时刻的角速度 和滑轮转
过的角度，以及滑轮边缘上一点的加速度a'.（假设绳索与 滑轮之间不打滑）。
a't a'
2
3
C
3g cos d 3g cos d
2l
2l
mg

d
3g cos d
0
0 2l 3g sin
A
l
第七章 刚体力学
方法2. 利用刚体定轴转动的动
能定理求解.

设刚体运动到角位置θ处的角速
度为ω，根据转动动能定理，有
mg l cos d 1 I2 1 1 ml2 2
dr
dm 2r h dr
r
y
I r2dm r2 2πr hdr
x
2πh R r3dr 0
1 πhR4 1 mR2
2
2
第七章 刚体力学
[例2]如图，质量为m，长为l的均匀细棒绕过O点的转轴自水
平位置以零角速度自由下摆。
（1）求细棒运动到与水平夹角为θ时的角加速度和角速度；
由此得球心的加速度为
C f
ac

f m

0.1 0.5

0.2
m/s2
O
x
从静止开始2s内球运动的距离为
s

1 2
act 2

1 2
0.2 4

0.4
m
第七章 刚体力学
§7.3 刚体定轴转动定理
[例1]求质量为m、半径为R、厚度为h的均质圆盘过
圆心且与板面垂直的转轴的转动惯量 .
z
[解] 盘由许多圆环组成
质量及伸长.
[解] 方法1. 利用质点和刚体转
R
动的动能定理求解.
m1
由质点动能定理
m2 gh

FT h

1 2
m2 v 2
h
m2
由刚体动能定理
FT R

1 2
I 2

1 4
m1R2 2
第七章 刚体力学
（2）杆在转动过程中机械能守恒：
1 (ml2 1 Ml2 ) 2
2
3
O
mgl(1 cos ) Mg l (1 cos )
a'n
第七章 刚体力学
[解] 滑轮边缘上一点的切向加速度
at a r
任意t时刻的角速度
a



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t
r
a
t
r
转过的角度 1 t 2 a t 2
2
2r
滑轮边缘上一点的法向加速度
an
2r

a2 r
t2
加速度 a
at2 an 2
a2

a4t 4 r2
d=0.001m，求飞轮作用于轴承的压力.计入飞轮质量但不
考虑飞轮重量（这意味着仅计算由于飞轮的转动使轴承受
到的压力，不考虑飞轮所受重力对该压力的影响）.
[解] nπ 4003.1416 rad/s 41.9 rad/s
30
30
根据质心运动定理，飞轮受到的压力为
F m2d 5.0 41.92 0.001N 8.8 N 方向由质心指向转轴
第七章 刚体力学
§7.2 刚体的动量和质心运动定理
[例1]求质量均匀，半径为R的半球的质心位置.
[解] 设半球的密度为，将半球分割成许多厚为dx的圆
片，任取其一
dV πr 2dx π(R2 x2 )dx
y
y
V 1 4 πR3 2 πR3
23
3
xdV R xπ(R2 x2 )dx