材料力学 内部习题集及答案

第二章 轴向拉伸和压缩

2-1 一圆截面直杆，其直径d ＝20mm, 长L =40m ，材料的弹性模量E =200GPa ，容重γ＝80kN/m 3, 杆的上端固定，下端作用有拉力F =4KN ，试求此杆的：

⑴最大正应力； ⑵最大线应变； ⑶最大切应力；

⑷下端处横截面的位移∆。

题 2 - 1 图

+

5004.8N

4000N

解：首先作直杆的轴力图

⑴最大的轴向拉力为2

32N,max 80100.024*********.8N 44

d F V F L F ππ

γγ=+=+=⨯⨯⨯⨯+=

故最大正应力为：N,max

N,max

N,max

max 2

2

2

445004.8

=

15.94MPa 3.140.024

F F F A

d d σππ⨯=

=

=

=⨯

⑵最大线应变为:6

4max

max

9

15.94100.7971020010

E σε-⨯===⨯⨯ ⑶当α（α为杆内斜截面与横截面的夹角）为45︒时，max

max 7.97MPa 2

ασττ===

⑷取A 点为x 轴起点，2

N (25.124000)N 4

d F Vx F x F x πγγ=+=+=+

故下端处横截面的位移为：240

N 0

025.1240001d d (12.564000)

2.87mm L

L F x x x x x EA EA EA

+∆=

==⋅+=⎰

⎰

2-2 试求垂直悬挂且仅受自重作用的等截面直杆的总伸长△L 。已知杆横截面面积为A ，长度为L

,材料的容重为γ。

A

B

题 2-2 图

A B

解：距离A 为x 处的轴力为

N ()F x Ax γ=⋅ 所以总伸长 2

N 0

0()L d d 2L

L F x Ax L x x EA EA E

γγ∆=

==

⎰

⎰ 2-3 图示结构，已知两杆的横截面面积均为A =200mm 2,材料的弹性模量E =200GPa 。在结点A 处受荷载F 作用，今通过试验测得两杆的纵向线应变分别为ε1＝4×10－4，ε2＝2×10－4，试确定荷载P 及其方位角θ的大小。

题 2 - 3 图

解: 由胡克定律得

945112001041080010Pa E σε-=⨯=⨯⨯⨯=⨯

945222001021040010Pa E σε-=⨯=⨯⨯⨯=⨯

相应杆上的轴力为

11N A σ=g 22N A σ=g

56

1800102001016N KN -=⨯⨯⨯=

111

82

N N KN =

= 取A 节点为研究对象，由力的平衡方程得

1212sin 30sin 30sin cos30cos30cos N N P N N P θθ

⎧=+⎪⎨++⎪⎩o o o o g g g g g g

解上述方程组得

10.8921.17P KN

θ⎧=⎨

=⎩o

2-4 图示杆受轴向荷载F 1、F 2作用，且F 1＝F 2＝F ，已知杆的横截面面积为A ，材料的应力－应变关系为ε＝c σn ，其中c 、n 为由试验测定的常数。

(1) 试计算杆的总伸长；

(2) 如果用叠加法计算上述伸长，则所得的结果如何？ (3) 当n ＝1时，上述两解答是否相同？由此可得什么结论？

+

F

F

F N 图

（a ）

F N 图F

+

（b ）F N 图

F

+

（c ）题 2 - 4 图

解：（１）轴力图如图（a ）所示。

根据n

c ε=σ： 112()n l l F c l a A ∆∆== 12n n n F l ac A

∆=

22()n

l l F c l a A ∆∆== 2n n F l ac A

∆=

则 12(21)n n

n

acF l l l A +∆=∆+∆=

（２）采用叠加法。

单独作用F 1时，轴力图如图（b ）所示。 1()n

l F c a A ∆= 1n n F l ac A ∆=

单独作用F 2时，轴力图如图（c ）所示。 2()2n

l F c a A ∆= 22n n F l ac A ∆=

则 3n

n

acF l A ∆=

（３）当n =1时，上述两解答相同。结论：只有当ε与σ成线性关系时，叠加法才适用于求伸长。

2-5 试求图示构架点C 的铅垂位移和水平位移，已知两根杆的抗拉刚度均为EA 。

(a)

(c)

题 2 - 5 图

(b)

F CD

F BC

C

C'

Δl CD

解： 取C 点分析受力情况，如图（b ）所示，得,0CD BC F F F == 因此只有CD 杆有伸长 CD FL

l EA

=

变形几何图如图（c ）所示 ，得FL x y EA

∆=∆=

。 2-6 刚性梁ABCD 在B 、D 两点用钢丝绳悬挂，钢丝绳绕过定滑轮G 、H 。已知钢丝的E ＝210GPa ，

绳横截面面积A ＝100mm 2，荷载F ＝20KN ，试求C 点的

铅垂位移（不计绳与滑轮间的摩擦）。

解：首先要求绳的内力T 。刚性梁ABCD 的受力分析如图

()b ，

由平衡方程：

0A

M

=∑

解得： 80

KN 7

T =

绳的原长 2428m L =++= 绳的伸长量为

(a)