高中数学第三章圆锥曲线与方程3.4.2圆锥曲线的共同特征导学案无答案北师大版选修
北师大版选修21高中数学3.4.2圆锥曲线的共同特征word导学案
课 题学习目标 ：1．通过例子，归纳出圆锥曲线的共同特征．2．理解并掌握圆锥曲线的共同特征，感受圆锥曲线在解决实际问题中的作用，进一步体会数形结合的思想和变化统一观点．3.通过圆锥曲线的共同特征看三种圆锥曲线的联系，从变化的观点看待圆锥曲线，利用它们的共同特征解决一些与焦点、准线有关的问题.学习重点：理解并掌握圆锥曲线的共同特征，感受圆锥曲线在解决实际问题中的作用.学习难点：过圆锥曲线的共同特征看三种圆锥曲线的联系，从变化的观点看待圆锥曲线.学习方法：以讲学稿为依托的探究式教学方法.学习过程一、课前预习指导：圆锥曲线的共同特征圆锥曲线上的点到 的距离与它到 的距离之比为定值e.当 时，该圆锥曲线为椭圆；当 时，该圆锥曲线为抛物线；当 时，该圆锥曲线为双曲线．二、新课学习问题探究一 圆锥曲线的共同特征1 抛物线上的点满足什么条件？2 已知曲线上的点M(x ，y)到定点F(2,0)和它到定直线l ：x ＝8距离的比是常数12，求曲线方程，并说明特征．3 已知曲线上的点M (x ，y )到定点F (5,0)的距离和它到定直线l ：x ＝165的距离的比是常数54，求曲线方程，并说明特征． 4 三种圆锥曲线有共同特征，其中定点、定直线和常数有什么意义．例1 点M(x ，y)与定点(3,0)的距离和它到定直线l ：x ＝253的距离的比是常数35，求点M 的轨迹．学后检测1(1)双曲线2mx 2－my 2＝2的一条准线为y ＝1，则m 的值为( ) A ．－34 B ．－43C ．－3D ．－1 (2)点M 与F(0，－2)的距离比它到直线l ：y －3＝0的距离小1，则点M 的轨迹方程是__________．问题探究二 圆锥曲线共同特征的应用1 通过圆锥曲线的共同特征可以得到曲线上的点到焦点与到准线的什么关系？2 圆锥曲线的共同特征体现了一种什么数学思想？例2 试在抛物线y2＝4x 上求一点A ，使A 到点B(3，2)与到焦点的距离之和最小．三、当堂检测：(1)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( )A ．y 2＝－8xB ．y 2＝8xC ．y 2＝－4xD ．y 2＝4x(2)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.115 D.3716（3）．已知椭圆x24b2＋y2b2＝1上一点P 到右焦点F2的距离为b (b>1)，求P 到左准线的距离 四、课堂小结：五、课后作业六．板书设计七．教（学）后反思。
高中数学第三章圆锥曲线与方程4.2圆锥曲线的共同特征4.3直线与圆锥曲线的交点课件北师大版选修2_1
C(x3，y3)三点，F 是它的焦点，若|AF|，|BF|，
|CF|成等差数列，则
()
A．x1，x2，x3 成等差数列 B．y1，y2，y3 成等差数列 C．x1，x3，x2 成等差数列 D．y1，y3，y2 成等差数列
解析：由抛物线定义： |AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|CF|＝|CC′|. ∵2|BF|＝|AF|＋|CF|，∴2|BB′|＝|AA′|＋|CC′|. 又∵|AA′|＝x1＋p2，|BB′|＝x2＋p2，|CC′|＝x3＋p2， ∴2x2＋p2＝x1＋p2＋x3＋p2⇒2x2＝x1＋x3. 答案：A
[针对训练] 1．已知双曲线焦距为 4，焦点在 x 轴上，且过点 P(2,3)．
(1)求该双曲线的标准方程； (2)若直线 l 经过该双曲线的右焦点且斜率为 1，求直线 m 被 双解曲：线(1)截设得双的曲弦线长方．程为xa22－by22＝1(a，b＞0)， 由已知可得左、右焦点 F1，F2 的坐标分别为(－2,0)，(2,0)， 则|PF1|－|PF2|＝2＝2a，所以 a＝1， 又 c＝2，所以 b＝ 3， 所以双曲线方程为 x2－y32＝1. (2)由题意可知直线 l 的方程为 y＝x－2， 联立双曲线及直线方程消去 y 得 2x2＋4x－7＝0，
[类题通法] 圆锥曲线上点的横(纵)坐标与该点到定直线的距离和它到 焦点的距离有密不可分的联系，这种关系要通过圆锥曲线的共 同特征建立，这种关系的应用可以实现点到点的距离向点到直 线的距离的转化，从而使运算得以简化．
[针对训练]
1．抛物线 y2＝2px(p>0)上有 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
即直线 y＝1 与抛物线只有一个公共点． 当 k≠0 时，由 Δ＝4(k－1)2－4k2＝0，得 k＝12. 即直线 y＝12x＋1 与抛物线只有一个公共点． 综上所述，所求直线方程为 x＝0 或 y＝1 或 y＝12x＋1.
2017_2018学年高中数学第三章圆锥曲线与方程3_4曲线与方程教学案北师大版选修2_1
§4曲线与方程4．1 曲线与方程[对应学生用书P60]在平面直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程中．问题1：直线y＝x上任一点M到两坐标轴距离相等吗？提示：相等．问题2：到两坐标轴距离相等的点都在直线y＝x上吗？提示：不一定．问题3：到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？提示：y＝±x.方程的曲线、曲线的方程在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么，这条曲线叫作方程的曲线，这个方程叫作曲线的方程．判断方程是否是曲线的方程，要从两方面考虑，一是检验点的坐标是否都适合方程，二是检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上．[对应学生用书P61]曲线与方程的概念的理解[例1] (1)判断点A(－4,3)，B(－32，－4)，C(5，25)是否在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上；(2)方程x 2(x 2－1)＝y 2(y 2－1)所表示的曲线是C ，若点M (m ，2)与点N ⎝⎛⎭⎪⎫32，n 在曲线C 上，求m ，n 的值．[思路点拨] 由曲线与方程的关系知，只要点M 的坐标适合曲线的方程，则点M 就在方程所表示的曲线上；而若点M 为曲线上的点，则点M 的坐标(x 0，y 0)一定适合曲线的方程．[精解详析] (1)把点A (－4,3)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25中，满足方程，且点A 的横坐标满足x ≤0，则点A 在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上；把点B (－32，－4)的坐标代入x 2＋y 2＝25，因为(－32)2＋(－4)2＝34≠25，所以点B 不在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上．把点C (5，25)的坐标代入x 2＋y 2＝25，得(5)2＋(25)2＝25，满足方程，但因为横坐标5不满足x ≤0的条件，所以点C 不在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上．(2)因为点M (m ，2)，N ⎝⎛⎭⎪⎫32，n 在曲线C 上，所以它们的坐标都是方程的解，所以m 2(m 2－1)＝2×1，34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝n 2(n 2－1)，解得m ＝±2，n ＝±12或±32.[一点通]1．判断点与曲线的位置关系要从曲线与方程的定义入手．(1)要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐标是否满足方程即可； (2)若所给点在已知曲线上，则点的坐标适合已知曲线的方程，由此可求点或方程中的参数．2．判断方程是否是曲线的方程，要从两个方面着手，一是检验点的坐标是否都适合方程，二是检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上．1．“点M 在曲线y 2＝4x 上”是“点M 的坐标满足方程y ＝－2x ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：点M 在曲线y 2＝4x 上，若点M (x 0，y 0)，则y 20＝4x 0，不能得出y 0＝－2x 0；若点M (x 0，y 0)满足方程y ＝－2x ，则y 0＝－2x 0，∴y 20＝4x 0，故为必要不充分条件．答案：B2．判断下列结论的正误，并说明理由．(1)过点A (3,0)且垂直于x 轴的直线的方程为x ＝0；(2)到x 轴距离为2的点的轨迹方程为y ＝－2；(3)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy ＝1；(4)△ABC 的顶点A (0，－3)，B (1,0)，C (－1,0)，D 为BC 中点，则中线AD 的方程为x ＝0.解：(1)过点A (3,0)且垂直于x 轴的直线方程为x ＝3， ∴结论不正确．(2)∵到x 轴距离为2的点的轨迹方程是y ＝±2， ∴结论错误．(3)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程应为|x |·|y |＝1，即xy ＝±1，∴结论错误．(4)中线AD 是一条线段，而不是直线，应为x ＝0(－3≤y ≤0)， ∴结论错误.由方程确定曲线[例2] (1)方程(x ＋y －1)x －1＝0表示什么曲线？ (2)方程2x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0表示什么曲线？[思路点拨] 由曲线的方程研究曲线的特点，类似于用函数的解析式研究函数的图像，可由方程的特点入手分析．[精解详析] (1)由方程(x ＋y －1)x －1＝0可得：⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x ＋y －1＝0，或x －1＝0，即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1，∴方程表示直线x ＝1和射线x ＋y －1＝0(x ≥1)， (2)方程的左边配方得2(x －1)2＋(y ＋1)2＝0， 而2(x －1)2≥0，(y ＋1)2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －12＝0，y ＋12＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，∴方程表示的图形为点A (1，－1)． [一点通]曲线的方程是曲线的代数体现，判断方程表示什么曲线，可根据方程的特点利用配方、因式分解等方法对已知方程变形，转化为我们熟知的曲线方程，在变形时，应保证变形过程的等价性．3．方程|x |＋|y |＝1表示的曲线是( )解析：原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤0，x －y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≤0，x ＋y ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，－x ＋y ＝1.作出其曲线为D. 答案：D4．方程4x 2－y 2＋4x ＋2y ＝0表示的曲线是( ) A ．一个点B ．两条互相平行的直线C ．两条互相垂直的直线D ．两条相交但不垂直的直线 解析：∵4x 2－y 2＋4x ＋2y ＝0， ∴(2x ＋1)2－(y －1)2＝0， ∴2x ＋1＝±(y －1)，∴2x ＋y ＝0或2x －y ＋2＝0，这两条直线相交但不垂直． 答案：D5．方程1－|x |＝1－y 表示的曲线为( ) A ．两条线段 B ．两条直线C ．两条射线D ．一条射线和一条线段解析：由已知得1－|x |＝1－y,1－y ≥0,1－|x |≥0. ∴有y ＝|x |，|x |≤1. ∴曲线表示两条线段，故选A. 答案：A求曲线的方程[例3] 如图已知F(1,0)，直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为Q，且QP·QF＝FP·FQ，求动点P的轨迹方程．[思路点拨] 本题可设出P(x，y)，则Q(－1，y)．然后由QP·QF＝FP·FQ得出P(x，y)满足的关系式，整理后即可得P的轨迹方程．[精解详析] 设点P(x，y)，则Q(－1，y)，QP＝(x＋1,0)，QF＝(2，－y)，FP ＝(x－1，y)，FQ＝(－2，y)，由QP·QF＝FP·FQ，∴(x＋1,0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，∴2x＋2＝－2x＋2＋y2，即动点P的轨迹方程为y2＝4x.[一点通]1．求曲线方程的基本思路是：建系设点、列等式、代换、化简、证明(五步法)．在解题时，根据题意，正确列出方程是关键，还要注意最后一步，如果有不符合题意的特殊点要加以说明．一般情况下，求出曲线方程后的证明可以省去．2．直接法、定义法、代入法是求曲线方程的基本方法．6．已知定点A(－1,0)，B(1,0)，动点P满足直线PA，PB的斜率之积为－1，则动点P 满足的方程是( )A．x2＋y2＝1B．x2＋y2＝1(x≠±1)C．x2＋y2＝1(x≠0)D．y＝1－x2(x≠±1)解析：设动点P的坐标为(x，y)，则k PA＝yx＋1(x≠－1)，k PB＝yx－1(x≠1)．∵k PA·k PB＝－1，∴yx＋1·yx－1＝－1，整理得x2＋y2＝1(x≠±1)．答案：B7．已知△ABC 的两个顶点A (－2,0)，B (0，－2)，第三个顶点C 在曲线y ＝3x 2－1上移动，求△ABC 的重心G 的轨迹方程．解：设△ABC 的重心G (x ，y )，C (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0－23，y ＝y 0－23，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ＋2，y 0＝3y ＋2.∵点C 在y ＝3x 2－1上，∴y 0＝3x 20－1，即3y ＋2＝3(3x ＋2)2－1. 整理得y ＝9x 2＋12x ＋3.∴△ABC 的重心G 的轨迹方程为y ＝9x 2＋12x ＋3.8．等腰三角形ABC 中，若一腰的两个端点分别为A (4,2)，B (－2,0)，A 为顶点，求另一腰的一个端点C 的轨迹方程．解：设点C 的坐标为(x ，y )， ∵△ABC 为等腰三角形，且A 为顶点， ∴|AB |＝|AC | 又∵|AB |＝4＋22＋22＝210，∴|AC |＝x －42＋y －22＝210，∴(x －4)2＋(y －2)2＝40.又∵点C 不能与B 重合，也不能使A 、B 、C 三点共线， ∴x ≠－2且x ≠10， ∴点C 的轨迹方程为(x －4)2＋(y －2)2＝40(x ≠－2且x ≠10)．1．理解曲线的方程与方程的曲线的概念必须注意： (1)曲线上点的坐标都是方程的解． (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．2．求曲线的方程时，若题设条件中无坐标系，则需要恰当建系，要遵循垂直性和对称性的原则，即借助图形中互相垂直的直线建系，借助图形的对称性建系．一方面让尽量多的点落在坐标轴上，另一方面能使求出的轨迹方程形式简洁．[对应课时跟踪训练二十]1．下面四组方程表示同一条曲线的一组是( )A．y2＝x与y＝xB．y＝lg x2与y＝2lg xC.y＋1x－2＝1与lg(y＋1)＝lg(x－2)D．x2＋y2＝1与|y|＝1－x2解析：考察每一组曲线方程中x和y的取值范围，不难发现A，B，C中各对曲线的x 与y的取值范围不一致．答案：D2．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P满足的方程的曲线所围成的图形的面积为( )A．πB．4πC．8π D．9π解析：设P为(x，y)，由|PA|＝2|PB|，得x＋22＋y2＝2x－12＋y2，即(x－2)2＋y2＝4，∴点P满足的方程的曲线是以2为半径的圆，其面积为4π.答案：B3．方程x2＋xy＝x的曲线是( )A．一个点B．一个点和一条直线C．一条直线D．两条直线解析：x2＋xy＝x，即x2＋xy－x＝0，∴x(x＋y－1)＝0，∴x＝0或x＋y－1＝0.故方程表示两条直线．答案：D4．已知点A(0，－1)，点B是抛物线y＝2x2＋1上的一动点，则线段AB的中点M满足的方程为( )A．y＝2x2B．y＝4x2C．y＝6x2D．y＝8x2解析：设B (x 0，y 0)，M (x ，y )． ∵M 是AB 的中点， ∴x ＝x 0＋02，y ＝y 0－12，得x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1.又∵B (x 0，y 0)在抛物线y ＝2x 2＋1上，∴y 0＝2x 20＋1，即2y ＋1＝2(2x )2＋1，因此y ＝4x 2，故M 满足的方程为y ＝4x 2. 答案：B5．在△ABC 中，已知A (2,0)，B (－1,2)，点C 在直线2x ＋y －3＝0上移动．则△ABC 的重心G 满足的方程为________．解析：设△ABC 的重心G 的坐标为(x ，y )，点C 的坐标为(x 0，y 0)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋－1＋x 03，y ＝0＋2＋y 03，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x －1，y 0＝3y －2，∵ 点C 在直线2x ＋y －3＝0上，故有6x ＋3y －7＝0， 又∵重心G 不在AB 上，故x ≠34，y ≠56，∴重心G 满足的方程为6x ＋3y －7＝0(x ≠34)．答案：6x ＋3y －7＝0(x ≠34)6．方程x 24－k ＋y 2k －1＝1表示的曲线为C ，给出下列四个命题：①曲线C 不可能是圆； ②若1<k <4，则曲线C 为椭圆； ③若曲线C 为双曲线，则k <1或k >4；④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<k <52.其中正确的命题是________．解析：当4－k ＝k －1，即k ＝52时表示圆，命题①不正确；显然k ＝52∈(1,4)，∴命题②不正确；若曲线C 为双曲线，则有(4－k )(k －1)<0，即k <1或k >4，故命题③正确；若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则4－k >k －1>0，解得1<k <52，命题④正确．答案：③④7．已知直角三角形ABC ，∠C 为直角，A (－1,0)，B (1,0)，求满足条件的点C 的轨迹方程．解：设C (x ，y )，则AC ＝(x ＋1，y )，BC ＝(x －1，y )． ∵∠C 为直角，∴AC ⊥BC ，即AC ·BC ＝0， 即(x ＋1)(x －1)＋y 2＝0.化简得x 2＋y 2＝1.∵A ，B ，C 三点要构成三角形， ∴A ，B ，C 不共线，∴y ≠0， ∴C 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1(y ≠0)．8．设F (1,0)，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN ＝2MP ，PM ⊥PF .当点P 在y 轴上运动时， 求N 点的轨迹C 的方程．解：∵MN ＝2MP ，故P 为MN 中点． 又∵PM ⊥PF ，P 在y 轴上，F 为(1,0)． 故M 在x 轴的负方向上，设N (x ，y )(x >0)， 则M (－x,0)，P (0，y2)，∴PM ＝(－x ，－y2)，PF ＝(1，－y2)．又∵PM ⊥PF ，故PM ·PF ＝0， 即－x ＋y 24＝0，∴y 2＝4x (x >0)．即N 点的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x >0)．4．2 & 4.3 圆锥曲线的共同特征 直线与圆锥曲线的交点[对应学生用书P63]圆锥曲线的共同特征圆锥曲线上点M (x ，y )到定点F (c,0)的距离和它到定直线x ＝a 2c的距离比是常数e .问题1：若F (4,0)，l ：x ＝254，e ＝45，则点M 的轨迹方程是什么？轨迹呢？ 提示：x 225＋y 29＝1，椭圆．问题2：若F (5,0)，l ：x ＝165，e ＝54，则点M 的轨迹方程是什么？轨迹呢？ 提示：x 216－y 29＝1，双曲线．圆锥曲线的共同特征圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e . 当0<e <1时，圆锥曲线是椭圆； 当e >1时，圆锥曲线是双曲线； 当e ＝1时，圆锥曲线是抛物线．直线与圆锥曲线的交点问题1：若直线与椭圆有一个公共点，则直线与椭圆相切．正确吗？ 提示：正确．问题2：若直线与抛物线有一个公共点，则直线与抛物线一定相切吗？ 提示：不一定．当直线与抛物线的对称轴平行时，也只有一个交点． 问题3：过(2,0)点能作几条直线和双曲线x 24－y 23＝1仅有一个交点？提示：3条．曲线的交点设曲线C 1：f (x ，y )＝0，C 2：g (x ，y )＝0，曲线C 1和C 2的任意一个交点的坐标都满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧f x ，y ＝0，g x ，y ＝0.反过来，该方程组的任何一组实数解都对应着这两条曲线的某一交点的坐标．1．椭圆、双曲线、抛物线上的点都满足到定点的距离与到定直线的距离的比值是常数e .2．直线方程与曲线方程联立方程组转化为一元二次方程是解决直线与曲线相交问题的基本方法．[对应学生用书P63]圆锥曲线共同特征的应用[例1] 曲线上的点M (x ，y )到定点F (5,0)的距离和它到直线l ：x ＝165的距离之比是常数54，(1)求此曲线方程；(2)在曲线求一点P 使|PF |＝5. [思路点拨] (1)可由|MF |与d (d 为M 到l ：x ＝165的距离)比为54，列出M (x ，y )满足的关系，进而求出曲线的方程．(2)由|PF |＝5，可得P 到l 的距离为4，从而可求得P 的坐标．[精解详析] (1)设d 是点M 到定直线l 的距离，根据题意，曲线上的点M 满足|MF |d ＝54，由此得x －52＋y2⎪⎪⎪⎪⎪⎪165－x ＝54， 即x －52＋y 2＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪165－x ，两边平方整理得x 216－y 29＝1. (2)设P (x ，y )到l 的距离为d ，由|PF |＝5，得d ＝4. 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪165－x ＝4，解得x ＝365或x ＝－45.由于|x |≥4，故x ＝－45不合题意，舍去．由x ＝365得y ＝±6514.∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫365，±6145.[一点通]圆锥曲线上点的横(纵)坐标与该点到定直线的距离和它到焦点的距离有密不可分的联系，这种关系要通过圆锥曲线的共同特征建立，这种关系的应用可以实现点到点的距离向点到直线的距离的转化，从而使运算得以简化．1.抛物线y 2＝2px (p >0)上有A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点，F 是它的焦点，若|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，则( )A ．x 1，x 2，x 3成等差数列B ．y 1，y 2，y 3成等差数列C ．x 1，x 3，x 2成等差数列D ．y 1，y 3，y 2成等差数列 解析：由抛物线定义：|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，|CF |＝|CC ′|. ∵2|BF |＝|AF |＋|CF |，∴2|BB ′|＝|AA ′|＋|CC ′|. 又∵|AA ′|＝x 1＋p 2，|BB ′|＝x 2＋p 2，|CC ′|＝x 3＋p2，∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＝x 1＋p 2＋x 3＋p2⇒2x 2＝x 1＋x 3.答案：A2．已知点A (1,2)在椭圆x 216＋y 212＝1内，F 的坐标为(2,0)，在椭圆上求一点P 使|PA |＋2|PF |最小．解：∵a 2＝16，b 2＝12，∴c 2＝4，c ＝2. ∴F 为椭圆的右焦点，并且离心率为24＝12.设P 到右准线l 的距离为d ，则|PF |＝12d ，d ＝2|PF |.∴|PA |＋2|PF |＝|PA |＋D.当P 点的纵坐标(横坐标大于零)与A 点的纵坐标相同时，|PA |＋d 最小，如图．把y ＝2代入x 216＋y 212＝1，得x ＝463(负值舍去)，即P ⎝⎛⎭⎪⎫463，2为所求的点. 直线与圆锥曲线的交点[例2] 若直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，求m 的取值范围．[思路点拨] 几何法：由于直线过定点(0,1)，而直线与椭圆总有公共点，所以(0,1)必在椭圆内部或边界上，结合椭圆的位置关系可求m 的范围．代数法：联立直线与椭圆方程组成方程组，根据方程组有解来求m 的范围．[精解详析] 法一：由于椭圆的焦点在x 轴上，知 0<m <5.又∵直线与椭圆总有公共点，∴直线所经过的定点(0,1)必在椭圆内部或边界上， ∴025＋12m ≤1，即m ≥1， 故m 的取值范围是m ∈[1,5)．法二：由椭圆方程及椭圆焦点在x 轴上知0<m <5.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 25＋y2m＝1得(m ＋5k 2)x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0， 又直线与椭圆有公共点，∴上述方程的Δ≥0对一切k 都成立， 即(10k )2－4(m ＋5k 2)×5(1－m )≥0， 亦即5k 2≥1－m 对一切k 都成立，∴1－m ≤0，即m ≥1，故m 的取值范围是m ∈[1,5)．[一点通]解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，有两种方法，代数法是一般方法，思路易得，但运算量较大，利用几何法求解思路灵活，方法简捷，故在解题时选择适当的方法可达到事半功倍的效果．3．已知直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支相交于不同两点，则k 的取值范围是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0 ①，直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支相交于不同两点，即方程①有两个不同的正实数解，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16k 2＋401－k 2＞0，4k 1－k 2＞0，－101－k 2＞0，解得－153＜k ＜－1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，－1 4．求过点P (0,1)且与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线方程． 解：①若直线的斜率不存在，则过点P (0,1)的直线方程为x ＝0.显然与抛物线只有一个公共点，即直线x ＝0与抛物线只有一个公共点．②若直线的斜率存在，设方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝kx ＋1，得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0，当k ＝0时，解得y ＝1，即直线y ＝1与抛物线只有一个公共点． 当k ≠0时，由Δ＝4(k －1)2－4k 2＝0，得k ＝12.即直线y ＝12x ＋1与抛物线只有一个公共点．综上所述，所求直线方程为x ＝0或y ＝1或y ＝12x ＋1.中点弦、弦长问题[例3] 过点P (－1,1)的直线与椭圆x 24＋y 22＝1交于A ，B 两点，若线段AB 的中点恰为点P ，求AB 所在的直线方程及弦长|AB |.[思路点拨] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把A ，B 两点的坐标代入椭圆方程相减(点差法)再结合中点坐标公式求出直线AB 的斜率，从而可求直线AB 的方程，再联立方程求得A ，B 的坐标，根据两点间的距离公式求|AB |.[精解详析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由A ，B 两点在椭圆上得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋2(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.① 显然x 1≠x 2，故由①得k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22y 1＋y 2.因为点P 是AB 的中点，所以有x 1＋x 2＝－2，y 1＋y 2＝2.②把②代入①得k AB ＝12，故AB 的直线方程是y －1＝12(x ＋1)，即x －2y ＋3＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，x 24＋y22＝1，消去y 得3x 2＋6x ＋1＝0.∴x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝13，|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝x 1－x 22＋[k x 1－x 2]2＝1＋k 2x 1－x 22＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋14·243＝303.[一点通]1．在解决直线和圆锥曲线相交中的中点弦问题时，“点差法”是常用的方法，但是利用该法不能保证直线与圆锥曲线有两个交点，因此必须判断满足条件的直线是否存在，即把求出的直线方程与圆锥曲线方程联立，看是否满足Δ>0.2．直线y ＝kx ＋b 与曲线交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，弦长公式为|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|或|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|(k ≠0)．5．已知双曲线焦距为4，焦点在x 轴上，且过点P (2,3)． (1)求该双曲线的标准方程；(2)若直线l 经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m 被双曲线截得的弦长．解：(1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b ＞0)，由已知可得左、右焦点F 1，F 2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)， 则|PF 1|－|PF 2|＝2＝2a ，所以a ＝1， 又c ＝2，所以b ＝3， 所以双曲线方程为x 2－y 23＝1.(2)由题意可知直线l 的方程为y ＝x －2， 联立双曲线及直线方程消去y 得2x 2＋4x －7＝0，设两交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－72，由弦长公式得|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝6.6．已知椭圆x 216＋y 24＝1，过点P (2,1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程．解：设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵P 为弦AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 又∵A ，B 在椭圆上， ∴x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16.两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0， 即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24y 1＋y 2＝－12，即k AB ＝－12.∴所求直线方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.直线与圆锥曲线的位置关系的常见类型及解法如下：(1)直线与圆锥曲线的位置关系问题可联立方程消元构造一元方程，利用判别式来解决，并应注意讨论，不要漏项，也可利用图形直观判断．(2)涉及圆锥曲线的弦长问题，一般用弦长公式|AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2·|y 1－y 2|，弦过焦点时，也可用定义来解决．(3)解决与弦中点有关的问题的常用方法：一是联立方程用韦达定理及中点坐标公式求解．二是把端点坐标代入曲线方程，作差构造出中点坐标和直线的斜率．[对应课时跟踪训练(二十一)]1．过点(2,4)作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：点(2,4)位于抛物线y 2＝8x 上，故过(2,4)且与抛物线只有一个交点的直线有两条，一条平行于对称轴，另一条与抛物线相切．答案：B2．若直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(1，＋∞)B ．(1,3)∪(3，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(－3,0)D ．(1,3)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y23＝1消去y ，整理得(3＋m )x 2＋4mx ＋m ＝0.若直线与椭圆有两个公共点，则⎩⎪⎨⎪⎧3＋m ≠0，Δ＝4m 2－4m 3＋m ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠－3，m ＜0或m ＞1.由x 2m ＋y 23＝1表示椭圆知，m ＞0且m ≠3. 综上可知，m 的取值范围是m ＞1且m ≠3. 答案：B3．已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过P (1,0)的直线L 与双曲线只有一个公共点，则共有L ( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条解析：因为双曲线方程为x 2－y 24＝1，所以P (1,0)是双曲线的右顶点，所以过P (1,0)并且和x 轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过P (1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条．答案：B4．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2解析：抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p2，即x ＝y＋p2，将其代入y 2＝2px ＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋p 2＝2py ＋p 2，所以y 2－2py －p 2＝0，所以y 1＋y 22＝p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1. 答案：B5．已知双曲线x 2－y 23＝1，过P (2,1)点作一直线交双曲线于A ，B 两点，并使P 为AB的中点，则直线AB 的斜率为________．解析：法一：显然直线AB 存在斜率， 设AB 斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则AB 方程为y －1＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2＋1，x 2－y 23＝1，得(3－k 2)x 2＋(4k 2－2k )x －4k 2＋4k －4＝0， ∴x 1＋x 2＝2k －4k 23－k2＝4，∴k ＝6.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，且x 21－y 213＝1，x 22－y 223＝1.两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝y 1－y 2y 1＋y 23.显然x 1－x 2≠0， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝3x 1＋x 2y 1＋y 2＝6，即k AB ＝6. 答案：66．已知点M 到定点F (1,0)的距离与M 到定直线l ：x ＝3的距离的比为33，则动点M 的轨迹方程为________．解析：设M (x ，y )，则x －12＋y 2|x －3|＝33，∴3(x －1)2＋3y 2＝(x －3)2. ∴2x 2＋3y 2＝6. ∴所求方程为x 23＋y 22＝1.答案：x 23＋y 22＝17．已知直线l 与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，点A (8,8)，求线段AB 的中点到准线的距离．解：设AB 的中点是P ，到准线的距离是|PQ |，由题意知点F (2,0)，直线AB 的方程是：y ＝43(x －2)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝43x －2，消去x 得y 2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫34y ＋2⇒y 2－6y －16＝0⇒y 1＝8，y 2＝－2.∴|AB |＝1＋342|y 1－y 2|＝252，由抛物线的定义知：|PQ |＝12|AB |＝254.8．已知椭圆x 23＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且倾斜角为45°的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点．(1)求AB 的中点坐标； (2)求△ABF 2的周长与面积．解：(1)由x 23＋y 22＝1，知a ＝3，b ＝2，c ＝1.∴F 1(－1,0)，F 2(1,0)，∴l 的方程为y ＝x ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 22＝1，y ＝x ＋1，消去y 得5x 2＋6x －3＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－35，x 0＝x 1＋x 22＝－35，y 0＝y 1＋y 22＝x 1＋1＋x 2＋12＝x 1＋x 22＋1＝25⎝⎛⎭⎪⎫或y 0＝x 0＋1＝－35＋1＝25，∴中点坐标为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，25. (2)由题意知，F 2到直线AB 的距离d ＝|1－0＋1|12＋12＝22＝2， |AB |＝1＋k 2l ·x 1＋x 22－4x 1x 2＝835， ∴S △ABF 2＝12|AB |d ＝12×835×2＝465，△ABF 2的周长＝4a ＝4 3.[对应学生用书P66]一、圆锥曲线的定义 1．椭圆：平面内到两定点F 1，F 2距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的集合． 2．抛物线：平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过F )的距离相等的点的集合． 3．双曲线：平面内到两定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数(大于零小于|F 1F 2|)的点的集合． 圆锥曲线的定义是相对应标准方程和几何性质的“源”，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．二、圆锥曲线的标准方程与简单性质 1．圆锥曲线的标准方程：椭圆、双曲线有两种形式的标准方程，抛物线有四种形式的标准方程．根据曲线方程的形式来确定焦点的位置，根据焦点的位置选择恰当的方程形式．2．圆锥曲线的简单几何性质：(1)圆锥曲线的范围往往作为解题的隐含条件．(2)椭圆、双曲线有两条对称轴和一个对称中心，抛物线只有一条对称轴． (3)椭圆有四个顶点，双曲线有两个顶点，抛物线有一个顶点． (4)双曲线焦点位置不同，渐近线方程也不同．(5)圆锥曲线中基本量a ，b ，c ，e ，p 的几何意义及相互转化是解题的重要依据． 三、轨迹方程的问题 求轨迹方程的几种常用方法：(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x ，y )，根据几何条件直接寻求x ，y 之间的关系式．(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x ，y 来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x ，y 之间的关系式．(3)定义法：如果所给动点的几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等某一曲线的定义，则可直接利用这一已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．(4)参数法：选择一个(或几个)与动点变化密切相关的量作为参数，用参数表示动点的坐标(x ，y )，即得动点轨迹的参数方程，消去参数，可得动点轨迹的普通方程．四、直线与圆锥曲线位置关系1．直线与圆锥曲线位置关系问题是高考热点，涉及直线与圆锥曲线中的弦长、焦点弦、中点弦、取值范围、最值、定点、定值等问题．2．这类问题往往综合性强，注重与一元二次方程中的判别式以及根与系数的关系相结合，与函数的单调性、不等式、平面向量等知识综合，解决方法主要是通过解方程组，转化为一元方程，与中点弦有关的问题也可用“点差法”，解决问题的过程中，要注意“整体代换”思想的应用．⎣⎢⎡⎦⎥⎤对应阶段质量检测三 见8开试卷 (时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标是( ) A ．(2,0)B ．(－2,0)C ．(4,0)D ．(－4,0)解析：抛物线焦点位于x 轴负半轴上，为(－2,0)． 答案：B2．已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，则椭圆的离心率为( ) A.32 B.63C.22D.12解析：因为椭圆的长轴长2a 是短轴长2b 的3倍，所以a ＝3b ，则c ＝a 2－b 2＝2b ，所以椭圆的离心率e ＝c a＝2b 3b＝63. 答案：B3．以椭圆x 216＋y 29＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线的标准方程为( )A.x 216－y 248＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 216－y 248＝1或y 29－x 227＝1 D ．以上都不对解析：当顶点为(±4,0)时， 对于双曲线，a ＝4，c ＝8，b ＝43，则双曲线的标准方程为x 216－y 248＝1；当顶点为(0，±3)时，对于双曲线，a ＝3，c ＝6，b ＝33，则双曲线的标准方程为y 29－x 227＝1.答案：C4．直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B ，该椭圆的离心率为( ) A.15 B.25 C.55D.255解析：直线l 与x 轴交于(－2,0)，与y 轴交于(0,1)．由题意知c ＝2，b ＝1，∴a ＝5，∴e ＝c a ＝255.答案：D5．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( ) A.12 B ．1 C ．2D ．4解析：由题意知，圆的圆心为(3,0)，半径为4；抛物线的准线为x ＝－p2.∴3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2＝4，∴p ＝2.答案：C6．一动圆P 与圆O ：x 2＋y 2＝1外切，而与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8＝0内切，那么动圆的圆心P 的轨迹是( )A ．双曲线的一支B ．椭圆C ．抛物线D ．圆解析：圆C 的方程即(x －3)2＋y 2＝1，圆C 与圆O 相离，设动圆P 的半径为R . ∵圆P 与圆O 外切而与圆C 内切，∴R >1，且|PO |＝R ＋1，|PC |＝R －1，又|OC |＝3，∴|PO |－|PC |＝2<|OC |，即点P 在以O ，C 为焦点的双曲线的右支上． 答案：A7．已知F 1，F 20的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 解析：由题意知，点M 的轨迹为以焦距为直径的圆，则c <b ，∴c 2<b 2.又b 2＝a 2－c 2，∴e 2<12.又e ∈(0,1)，∴e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22. 答案：C8．两个正数a ，b 的等差中项是92，一个等比中项是25，且a >b ，则双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的离心率为( )A.53 B.414 C.54D.415解析：由题意知⎩⎨⎧a ＋b ＝9，ab ＝252，a >b ，解得a ＝5，b ＝4，∴c ＝a 2＋b 2＝25＋16＝41. ∴双曲线的离心率e ＝c a ＝415. 答案：D9．(浙江高考)如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点．若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )A ．3B ．2 C. 3D. 2解析：设焦点F (±c,0)，双曲线的实半轴长为a ，则双曲线的离心率e 1＝c a，椭圆的离心率e 2＝c 2a ，所以e 1e 2＝2.答案：B10．(浙江高考)如图F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62解析：由椭圆可知|AF 1|＋|AF 2|＝4，|F 1F 2|＝2 3. 因为四边形AF 1BF 2为矩形， 所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝12，所以2|AF 1||AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)2－(|AF 1|2＋|AF 2|2)＝16－12＝4，所以(|AF 2|－|AF 1|)2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|＝12－4＝8，所以|AF 2|－|AF 1|＝22，因此对于双曲线有a ＝2，c ＝3， 所以C 2的离心率e ＝c a ＝62. 答案：D11．若椭圆C 的焦点和顶点分别是双曲线x 25－y 24＝1的顶点和焦点，则椭圆C 的方程是________．解析：由题意可知，双曲线x 25－y 24＝1的一个焦点和一个顶点的坐标分别为(3,0)，(5，0)，设椭圆C 的方程是x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则a ＝3，c ＝5，b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 24＝1.答案：x 29＋y 24＝112．若曲线x 2k －2＋y 2k ＋5＝1的焦距与k 无关，则它的焦点坐标是________．解析：∵k ＋5>k －2，∴当k ＋5>k －2>0时，方程x 2k －2＋y 2k ＋5＝1表示焦点在y 轴上的椭圆．此时c 2＝(k ＋5)－(k －2)＝7，焦点坐标为(0，±7)．当k ＋5>0>k －2时，方程y 2k ＋5－x 22－k＝1表示焦点在y 轴上的双曲线．此时c 2＝(k ＋5)＋(2－k )＝7焦点坐标为(0，±7)．答案：(0，±7)13．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，其面积为________．解析：据题意知，△FPM 为等边三角形，|PF |＝|PM |＝|FM |，∴PM ⊥抛物线的准线．设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 24，m ， 则M (－1，m )，等边三角形边长为1＋m 24，又由F (1,0)，|PM |＝|FM |，得1＋m 24＝1＋12＋m 2，得m ＝23，∴等边三角形的边长为4，其面积为4 3. 答案：4 314．以下是关于圆锥曲线的命题：①设A ，B 为两个定点，k 为非零常数，||PA |－|PB ||＝k ，则动点P 的轨迹为双曲线；②过定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若OP ―→＝12(OA ＋OB )，则动点P 的轨迹为椭圆；③方程2x 2－5x ＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线x 225－y 29＝1与椭圆x 235＋y 2＝1有相同的焦点．其中，真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)解析：对于①，其中的常数k 与A ，B 间的距离大小关系不定，所以动点P 的轨迹未必是双曲线；对于②，动点P 为AB 的中点，其轨迹为以AC 为直径的圆；对于③④，显然成立．答案：③④三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知点A (0,4)，B (0，－2)，动点P (x ，y )满足PA ·PB －y2＋8＝0.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)设(1)中所求轨迹与直线y ＝x ＋2交于C ，D 两点，求证：OC ⊥OD (O 为原点)． 解：(1)由题意可知，PA ＝(－x,4－y )，PB ＝(－x ，－2－y )， ∴x 2＋(4－y )(－2－y )－y 2＋8＝0，∴x 2＝2y 为所求动点P 的轨迹方程．(2)证明：设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2＝2y ，整理得x 2－2x －4＝0，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－4， ∵k OC ·k OD ＝y 1x 1·y 2x 2＝x 1＋2x 2＋2x 1x 2＝x 1x 2＋2x 1＋x 2＋4x 1x 2＝－4＋4＋4－4＝－1， ∴OC ⊥OD.16．(本小题满分12分)已知直线y ＝22x 与椭圆在第一象限内交于M 点，又MF 2⊥x 轴，F 2是椭圆的右焦点，另一个焦点为F 1，若1MF ·2MF ＝2，求椭圆的标准方程．解：由已知设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1(－c,0)，F 2(c ，0)，则M 点的横坐标为c . ∴M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，22c . ∴1MF ＝⎝⎛⎭⎪⎫－2c ，－22c ， 2MF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－22c .∴1MF ·2MF ＝12c 2.由已知得12c 2＝2，∴c ＝2.又在Rt △MF 1F 2中， |F 1F 2|＝4，|MF 2|＝2，。
高中数学第三章圆锥曲线与方程3.4曲线与方程3.4.2圆锥曲线的共同特征3.4.3直线与圆锥曲线的交
||
1
=e= ,∴|MN|=2|MF|,
||
2
则
即|AM|+2|MF|=|AM|+|MN|,
当A,M,N同时在垂直于右准线的一条直线上时,|AM|+2|MF|取得最小值,
此时
2
2
yM=yA=√3,代入 + =1,
16 12
得 xM=±2√3,
由题意知点 M 在第一象限,∴M(2√3, √3).
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
一题多解
弦长问题
【例 3】
2
已知椭圆 C: 2
+
2
2 =1(a>b>0),直线 l 1: − =1 被椭圆 C
截得的弦长为 2√2,过椭圆 C 的右焦点且斜率为 √3的直线 l2 被椭圆
2
5
思维点拨:由直线l1方程的特点,知直线l1恰好过椭圆的两个顶点,即有
3.4.2
圆锥曲线(yuán zhuī qǔ xiàn)
的共同特征
3.4.3 直线与圆锥曲线(yuán zhuī qǔ
xiàn)的交点
第一页，共31页。
学 习 目 标
思
1.通过例子,归纳出圆锥曲线的共
同特征.
2.理解并掌握圆锥曲线的共同特
征,感受圆锥曲线在解决实际问题
中的作用,进一步体会数形结合的
(3)直线l与双曲线没有公共点.
思维点拨:在解决直线与双曲线位置关系时,对消元后的方程的二次项系
数是否为零应分类讨论,且要结合判别式讨论.
第十二页，共31页。
高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.2.2 抛物线的简单
3.2.2抛物线的简单性质（一）学习目标1.掌握抛物线的性质，理解焦点弦的概念，理解抛物线性质与标准方程的关系.2.通过对抛物线标准方程的讨论，进一步理解用代数方法研究几何性质的优越性，感受坐标法和数形结合的基本思想3.会用方程的思想研究直线与抛物线的位置关系．4.结合椭圆和双曲线的几何性质，类比抛物线的性质；由抛物线的方程研究性质，巩固数形结合思想．学习重点：抛物线的性质，理解抛物线性质与标准方程的关系.学习难点：由抛物线的方程研究性质学习方法：以讲学稿为依托的探究式教学方法。
学习过程一、课前预习指导：1．抛物线的几何性质2、抛物线的通径：3、抛物线的离心率：二、新课学习问题探究一抛物线的几何性质1 类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，说出抛物线y2＝2px (p>0)的范围、对称性、顶点、离心率．,3 ），并以坐标轴为轴的抛物线的标准方程。
（理科）例1、求顶点在原点，通过点（6例2、点M到点F（4,0）的距离比它到直线l：x+6=0的距离小2，求点M满足的方程。
（文科）学后检测1：文科：1--1书P37页练习1,2,3；理科2--1书P75页练习1,2问题探究二直线与抛物线的位置关系问题结合直线与椭圆的位置关系，请你思考一下怎样讨论直线与抛物线的位置关系？例2 已知抛物线的方程为y2＝2x，直线l的方程为y＝kx＋1 (k∈R)，当k分别为何值时，直线l与抛物线：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．三、当堂检测：1．设点A 为抛物线y 2＝4x 上一点，点B (1,0)，且|AB |＝1，则A 的横坐标的值为 ( )A ．－2B ．0C ．－2或0D ．－2或22．以x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x 轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝8x 或y 2＝－8x D ．x 2＝8y 或x 2＝－8y3．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是 ( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1] D ．[－4,4]4．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为 ( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．325．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |等于 ( ) A ．4 3 B ．8 C ．8 3 D ．16四、课堂小结五、课后作业课题 3.2.2抛物线的简单性质（二）第二课时 教学目标：应用椭圆的标准方程解决有关问题。
高中数学第三章圆锥曲线与方程3.4.2圆锥曲线的共同特征3.4.3直线与圆锥曲线的交点学案北师大版选
高中数学第三章圆锥曲线与方程3.4.2圆锥曲线的共同特征3.4.3直线与圆锥曲线的交点学案北师大版选修213.4.3 直线与圆锥曲线的交点1．掌握圆锥曲线的共同特征．(重点)2．了解直线与圆锥曲线的三种位置关系．(重点) 3．掌握求解直线与圆锥曲线有关问题的方法．(难点)[基础·初探]教材整理1 圆锥曲线的共同特征阅读教材P 87“抽象概括”与“练习”之间的部分，完成下列问题.圆锥曲线 共同特征 e 的值或范围椭圆 圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e0＜e ＜1抛物线 e ＝1 双曲线e ＞11．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比可以是2.( ) (2)曲线上的点M (x ，y )到定点(5,0)的距离和它到定直线l ：x ＝165的比是常数54，则曲线是双曲线．( )(3)直线y ＝x 与抛物线y 2＝x 的交点是(0,0)与(1,1)．( ) 【解析】 根据圆锥曲线的共同特征知(1)中的比不可能大于1. (2)正确．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝xy 2＝x 解得(0,0)，(1,1)，故交点为(0,0)，(1,1)．【答案】 (1)× (2)√ (3)√2．如果双曲线x 216－y 29＝1上一点P 到右焦点的距离等于3，那么点P 到右准线的距离是________．【解析】 由题知a ＝4，b ＝3，c ＝5，∴e ＝54.由双曲线的第二定义，设所求距离为d ，则3d ＝54.∴d ＝125. 【答案】125教材整理2 曲线的交点阅读教材P 89“抽象概括”与“练习”之间的部分，完成下列问题．设曲线C 1：f (x ，y )＝0，C 2：g (x ，y )＝0，求曲线C 1与C 2的交点，即求方程组⎩⎪⎨⎪⎧f x ，y ＝0g x ，y ＝0的实数解．1．过点(2,4)与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条【解析】 由于点(2,4)在抛物线y 2＝8x 上，所以满足条件的直线有2条，一条为切线，一条与x 轴平行．【答案】 B2．求直线y ＝x －1与x 2－y 2＝1的交点． 【解】 两方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，x 2－y 2＝1，消元得x 2－(x －1)2＝1.则2x ＝2，x ＝1，代入y＝x －1得y ＝0.所以交点坐标为(1,0)．[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：________________________________________________ 解惑：________________________________________________ 疑问2：________________________________________________ 解惑：________________________________________________ 疑问3：________________________________________________ 解惑：________________________________________________[小组合作型]圆锥曲线的共同特征的应用(1)已知动点P (x ，y )满足|3x －4y －1|5＝13x －12＋y －52，则动点P的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线 【自主解答】 点P (x ，y )到直线3x －4y －1＝0的距离为d ＝|3x －4y －1|5；点P (x ，y )到A (1,5)的距离为|PA |＝x －12＋y －52，∴|PA |d＝3＞1，∴点P 的轨迹是双曲线． 【答案】 B(2)在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为( )A. 2 B ．22 C.12D ．24【自主解答】 结合题意，由椭圆第二定义知e ＝221＝22.【答案】 B(3)椭圆x 225＋y 29＝1上有一点P ，它到左准线的距离等于2.5，那么P 到右焦点的距离为________．【导学号：32550094】【自主解答】 设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 到左准线的距离d ＝2.5，则P 到左焦点的距离|PF 1|＝e ·d ＝45×52＝2.∴|PF 2|＝2a －|PF 1|＝10－2＝8.【答案】 81．圆锥曲线的共同特征中，到定点的距离与到定直线的距离之比是一个常数，这本身就是一个几何关系．由此求曲线方程时，直接进行坐标的代换即可求出曲线方程．2．利用圆锥曲线的共同特征可将其上一点到焦点的距离与相应准线的距离进行转化，进而实现求解．直线与圆锥曲线的位置关系在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (1,0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2,1)．求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围．【精彩点拨】 在第(1)问中，可先设点M (x ，y )，由题意可求得点M 的轨迹方程．在第(2)问中，可先由点斜式把直线方程写出来，将直线方程与第(1)问所求的轨迹方程联立，需注意考虑k ＝0及k ≠0的情况，当k ≠0时，联立后得到的关系式，还需讨论方程的判别式Δ及直线与x 轴交点的横坐标的正负．【自主解答】 (1)设点M (x ，y )，依题意得|MF |＝|x |＋1，即x －12＋y 2＝|x |＋1，化简整理得y 2＝2(|x |＋x )．故点M 的轨迹C 的方程为y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，0，x ＜0.(2)在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2＝4x ，C 2：y ＝0(x ＜0)． 依题意，可设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝kx ＋2，y 2＝4x ，可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.①①当k ＝0时，此时y ＝1.把y ＝1代入轨迹C 的方程，得x ＝14.故此时直线l ：y ＝1与轨迹C 恰好有一个公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1. ②当k ≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k 2＋k －1)．② 设直线l 与x 轴的交点为(x 0,0)，则由y －1＝k (x ＋2)，令y ＝0，得x 0＝－2k ＋1k.③(a)若⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＜0，x 0＜0，由②③解得k ＜－1，或k ＞12.即当k ∈(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，直线l 与C 1没有公共点，与C 2有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点．(b)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，x 0＜0，或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，x 0≥0，由②③解得k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，或－12≤k ＜0.即当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与C 1只有一个公共点，与C 2有一个公共点．当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2没有公共点．故当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点．(c)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，x 0＜0，由②③解得－1＜k ＜－12，或0＜k ＜12.即当k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．综合①，②可知，当k ∈(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞∪{0}时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当k ∈⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．1．用判别式可以判断直线与圆锥曲线的位置关系，当Δ>0时，直线与圆锥曲线相交；当Δ＝0时，直线与圆锥曲线相切；当Δ<0时，直线与圆锥曲线相离． 2．联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况． [再练一题]1．若直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有公共点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的公共点个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．不确定【解析】 由题意，得|－4|m 2＋n2＞2，即m 2＋n 2＜4，∴m 29＋n 24≤m 2＋n 24<1，∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1内，∴过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1相交，∴过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有两个公共点．【答案】 C [探究共研型]圆锥曲线的统一定义探究1 在圆锥曲线的统一定义中，定点F 和定直线l 是如何对应的？【提示】 在统一定义中，若圆锥曲线是椭圆或双曲线，如果定点是左焦点，则定直线是左准线；如果定点是右焦点，则定直线是右准线．而抛物线有唯一一个焦点，对应唯一一条准线．也就是说，定点F 和定直线l 是“相对应”的．探究2 椭圆、抛物线、双曲线的共同特征是什么？【提示】 椭圆、抛物线、双曲线三种圆锥曲线的共同特征表现在以下三个方面： (1)从方程的形式来看：在直角坐标系中，这几种曲线的方程(包括圆)f (x ，y )＝0都是二元二次方程，所以统称为二次曲线．(2)从点的集合(或轨迹)的观点来看：它们都是平面内与定点和定直线的距离的比是常数e 的点的集合(或轨迹)，只是当0＜e ＜1时为椭圆，当e ＝1时为抛物线，当e ＞1时为双曲线．(3)从曲线的形状生成过程来看：圆锥曲线可看成不同的平面截圆锥面所得到的截面的周界，因此，椭圆(包括圆)、抛物线、双曲线又统称为圆锥曲线．直线与圆锥曲线的位置关系探究1 【提示】 (1)直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度看有三种：相离、相交和相切．相离时，直线与圆锥曲线无公共点；相切时，直线与圆锥曲线有一个公共点；相交时，直线与椭圆有两个公共点，但直线与双曲线、抛物线的公共点个数可能为一个(直线与双曲线的渐近线平行时，直线与抛物线的对称轴平行时)或两个．(2)直线与圆锥曲线的位置关系，从代数角度看来(几何问题代数化)是直线方程和圆锥曲线的方程组成的方程组，无解时必相离；有两组解必相交；一组解时，若化为x 或y 的方程，二次项系数非零，判别式为零时必相切，若二次项系数为零，有一组解时必相交(代数结果几何化)．(3)判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，可将直线l 的方程代入曲线C 的方程，消去y (或x )得一个关于变量x (或y )的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0.①当a ≠0时，若Δ>0，则直线l 与曲线C 相交；若Δ＝0，则直线l 与曲线C 相切；若Δ<0，直线l 与曲线C 相离．②当a ＝0时，即得到一个一次方程，则l 与C 相交，且只有一个交点．此时，若C 为双曲线，则l 平行于双曲线的渐近线；若C 为抛物线，则l 平行于抛物线的对称轴．③当直线与双曲线或抛物线只有一个公共点时，直线与双曲线或抛物线可能相切，也可能相交．若直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，求m 的取值范围．【精彩点拨】 几何法：由于直线过定点(0,1)，而直线与椭圆总有公共点，所以(0,1)必在椭圆内部或边界上，结合椭圆的位置关系可求m 的范围．代数法：联立直线与椭圆方程组成方程组，根据方程组有解来求m 的范围．【自主解答】 法一：由于椭圆的焦点在x 轴上，知0＜m ＜5. 又∵直线与椭圆总有公共点，∴直线所经过的定点(0,1)必在椭圆内部或边界上， ∴025＋12m ≤1，即m ≥1， 故m 的取值范围是m ∈[1,5)．法二：由椭圆方程及椭圆焦点在x 轴上知0＜m ＜5.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 25＋y2m＝1得(m ＋5k 2)x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0， 又直线与椭圆有公共点，∴上述方程的Δ≥0对一切k 都成立， 即(10k )2－4(m ＋5k 2)×5(1－m )≥0， 亦即5k 2≥1－m 对一切k 都成立，∴1－m ≤0，即m ≥1，故m 的取值范围是m ∈[1,5)．解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，有两种方法，代数法是一般方法，思路易得，但运算量较大，利用几何法求解思路灵活，方法简捷，故在解题时选择适当的方法可达到事半功倍的效果．[再练一题]2．求过点(0,1)，且与抛物线y 2＝2x 有且只有一个公共点的直线方程．【解】 ①当所求直线斜率不存在，即直线垂直x 轴时，因为过点(0,1)，所以x ＝0，即y 轴，它正好与抛物线y 2＝2x 相切．②当所求直线斜率为零时，直线为y ＝1平行x 轴，它正好与抛物线y 2＝2x 只有一个交点．③一般地，设所求的过点(0,1)的直线为y ＝kx ＋1(k ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝2x ，∴k 2x 2＋(2k －2)x ＋1＝0. 令Δ＝0，解得k ＝12，∴所求直线为y ＝12x ＋1.综上，满足条件的直线为：y ＝1或x ＝0或y ＝12x ＋1.探究2 如何解决直线与圆锥曲线的相交弦长问题？【提示】 (1)正确求出直线与圆锥曲线的交点坐标，代入两点间距离公式易求弦长． (2)利用根与系数的关系求直线与圆锥曲线相交弦长的步骤为：①联立直线方程与圆锥曲线的方程，消元得到关于x (或y )的一元二次方程； ②设出交点坐标A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，利用根与系数的关系求出x 1＋x 2，x 1x 2，进而得到(x 1－x 2)2，(y 1－y 2)2.③弦长|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22.＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋1k2·|y 1－y 2|，(3)解决弦的问题，大多涉及到圆锥曲线的弦长、弦的中点、弦的斜率．常用的办法是将直线与圆锥曲线联立，转化为关于x 或y 的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点．尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用．(4)过圆锥曲线的焦点的弦长(简称焦点弦)问题，也可用定义来解决．例如抛物线的焦点弦问题．若直线y ＝x －1与双曲线x 2－y 22＝1相交于A ，B 两点，求A ，B 两点间的距离．【精彩点拨】 解方程组求出直线与双曲线的交点A 、B 的坐标，或者将方程组消元为一元二次方程，求出交点的横坐标之差的平方与纵坐标之差的平方，代入两点间距离公式可解．【自主解答】 联立直线方程与双曲线方程得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，x 2－y 22＝1，消去y ，得x 2＋2x －3＝0 ①.法一：由方程①解得x 1＝1，x 2＝－3，代入y ＝x －1得y 1＝0，y 2＝－4，于是A ，B 两点坐标分别为(1,0)，(－3，－4)，则|AB |＝1＋32＋0＋42＝4 2.法二：设方程①的两根为x 1，x 2，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－3，则(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝16，(y 1－y 2)2＝[(x 1－1)－(x 2－1)]2＝(x 1－x 2)2＝16，则|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝16＋16＝4 2.直线与圆锥曲线相交，弦长多通过根与系数的关系，设而不求得到，这样可以避免求交点坐标的繁杂运算．在求参数范围时还要注意“相交”(Δ＞0)这个条件．[再练一题]3．已知顶点在原点，焦点在y 轴上的抛物线被直线x －2y －1＝0截得的弦长为15，求此抛物线方程．【解】 设抛物线方程为x 2＝ay (a ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，x －2y －1＝0，消去y ，得2x 2－ax ＋a ＝0.Δ＝a 2－8a ＞0，a ＜0或a ＞8.设直线与抛物线的交点为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)， 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝a 2，x 1x 2＝a 2.由弦长公式得1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝15，∴54⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24－2a ＝15，整理得a 2－8a －48＝0. 解得a ＝12或a ＝－4.符合题意．所以，所求的抛物线方程为x 2＝12y 或x 2＝－4y .[构建·体系]1．平面内到定点(0，－3)的距离与到定直线y ＝3的距离之比为12的动点的轨迹是( ) A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线【解析】 由于点(0，－3)不在直线y ＝3上，且0<12<1，所以，由圆锥曲线的统一定义知：动点的轨迹是椭圆．【答案】 A2．已知双曲线x 23－y 24＝1，则其离心率为( ) A.73B ．212 C.72 D ．213【解析】 由双曲线x 23－y 24＝1得a 2＝3，b 2＝4，则a ＝3，c ＝a 2＋b 2＝7，故离心率e ＝ca ＝213. 【答案】 D3．函数y ＝ax 2＋1的图像与直线y ＝x 相切，则a ＝( ) A.18B ．14C ．12D ．1 【解析】 ∵函数y ＝ax 2＋1的图像与直线y ＝x 相切，∴它们有且仅有一个交点．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝ax 2＋1，y ＝x ，得x ＝ax 2＋1，即ax 2－x ＋1＝0，∴Δ＝1－4a ＝0，∴a ＝14. 【答案】 B 4．已知直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支相交于不同两点，则k 的取值范围是________．【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0 ①，直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支相交于不同两点，即方程①有两个不同的正实数解，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16k 2＋401－k 2＞0，4k 1－k 2＞0，－101－k 2＞0，解得－153＜k ＜－1. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，－1 5．若直线y ＝x －1与椭圆x 2＋y 22＝1相交于A ，B 两点，求A ，B 两点间的距离． 【解】 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －1x 2＋y 22＝1消去y 得3x 2－2x －1＝0， ∴|AB |＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋43＝423， ∴A 、B 两点间的距离为423.我还有这些不足：(1)________________________________________________(2)________________________________________________我的课下提升方案：(1)________________________________________________(2)________________________________________________。
高中数学第三章圆锥曲线与方程3.4.2-4.3圆锥曲线的共同特征直线与圆锥曲线的交点训练案北师大版
2018-2019学年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.4.2-4.3 圆锥曲线的共同特征直线与圆锥曲线的交点训练案北师大版选修2-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.4.2-4.3 圆锥曲线的共同特征直线与圆锥曲线的交点训练案北师大版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3.4。
2-4。
3 圆锥曲线的共同特征直线与圆锥曲线的交点，[学生用书单独成册］)［A。
基础达标］1．过点（2，4)作直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点,这样的直线有( ）A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选B.易知点（2，4)在抛物线上，从而这样的直线有两条，一条为切线，一条与x 轴平行．2．方程（x－12＋(y－1）2)＝|x＋y＋2|表示的曲线是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．线段解析：选B。
因为错误!＝｜x＋y＋2|，所以错误!＝错误!>1。
所以由圆锥曲线的共同特征知该方程表示双曲线．3．已知椭圆C：错误!＋x2＝1，直线l：9x＋y－5＝0与椭圆C相交于A、B两点，点P为弦AB的中点,则点P的坐标为（）A。
错误! B.错误!C．（1,－4) D．(－1，14)解析：选A.设A(x1,y1），B（x2，y2）,P(x,y），把y＝5－9x代入错误!＋x2＝1整理得45x2－45x＋8＝0，x1＋x2＝1，y1＋y2＝5－9x1＋5－9x2＝1，故x＝错误!＝错误!，y＝错误!＝错误!,因此P的坐标为错误!。
2020学年高中数学第3章圆锥曲线与方程44.2圆锥曲线的共同特征4.3直线与圆锥曲线的交点学案北师大版选修2_1
4.2 圆锥曲线的共同特征 4.3 直线与圆锥曲线的交点学习目标：1.掌握圆锥曲线的共同特征．(重点) 2.了解直线与圆锥曲线的三种位置关系．(重点) 3.掌握求解直线与圆锥曲线有关问题的方法．(难点)1．圆锥曲线的共同特征将其变形为：（x －c ）2＋y2a 2c－x ＝c a.(1)你能解释这个式子的意义吗？(2)具有这个关系的点的轨迹一定是椭圆吗？[提示] (1)这个式子表示一个动点P (x ，y )到定点(c ，0)与到定直线x ＝a 2c的距离之比等于定值ca.(2)不一定．当a >c 时，是椭圆，当a ＝c 时是抛物线，当a <c 时，是双曲线． 思考：2.在圆锥曲线的统一定义中，定点F 和定直线l 是如何对应的？[提示] 在统一定义中，若圆锥曲线是椭圆或双曲线，如果定点是左焦点，则定直线是左准线；如果定点是右焦点，则定直线是右准线．而抛物线有唯一一个焦点，对应唯一一条准线．也就是说，定点F 和定直线l 是“相对应”的．2．曲线的交点(1)设曲线C 1：f (x ，y )＝0，C 2：g (x ，y )＝0，求曲线C 1与C 2的交点，即求方程组⎩⎪⎨⎪⎧f （x ，y ）＝0g （x ，y ）＝0的实数解．(2)直线与圆锥曲线的位置关系有三种：相切、相交和相离． ①相离时，直线与圆锥曲线没有公共点； ②相切时，直线与圆锥曲线有一个公共点；③相交时，直线与椭圆有两个公共点，而拋物线和双曲线则可能有一个或两个交点．1.判断正误(1)椭圆上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比可以是2.( )(2)曲线上的点M (x ，y )到定点(5，0)的距离和它到定直线l ：x ＝165的比是常数54，则曲线是双曲线．( ) (3)直线y ＝x 与抛物线y 2＝x 的交点是(0，0)与(1，1)． ( )[答案] (1)× (2)√ (3)√2．已知抛物线y 2＝8x 的弦AB 过它的焦点，直线AB 的斜率为2，则弦AB 的长为( ) A ．6 B ．8 C ．10D ．12C [由y 2＝8x 得p ＝4，焦点(2，0)，则直线方程为y ＝2(x －2)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2（x －2），y 2＝8x ，有x 2－6x ＋4＝0，∴x 1＋x 2＝6.∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋4＝10.]3．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定A [因为直线过定点(1，1)，而(1，1)点在椭圆内部，故直线与椭圆必相交．] 4．如果双曲线x 216－y 29＝1上一点P 到右焦点的距离等于3，那么点P 到右准线的距离是________．125 [由题知a ＝4，b ＝3，c ＝5，∴e ＝54.由双曲线的第二定义，设所求距离为d ，则3d ＝54. ∴d ＝125.]【例1】 (1)已知动点P (x ，y )满足5＝13（x －1）2＋（y －5）2，则动点P的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线(2)在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为( )A. 2B.22C.12D.24(3)椭圆x 225＋y 29＝1上有一点P ，它到左准线的距离等于2.5，那么P 到右焦点的距离为________．(1)B (2)B (3)8 [(1)点P (x ，y )到直线3x －4y －1＝0的距离为d ＝|3x －4y －1|5；点P (x ，y )到A (1，5)的距离为|PA |＝（x －1）2＋（y －5）2，∴|PA |d＝3＞1，∴点P 的轨迹是双曲线．(2)结合题意，由椭圆第二定义知e ＝221＝22.(3)设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 到左准线的距离d ＝2.5，则P 到左焦点的距离|PF 1|＝e ·d ＝45×52＝2.∴|PF 2|＝2a －|PF 1|＝10－2＝8.]1．圆锥曲线的共同特征中，到定点的距离与到定直线的距离之比是一个常数，这本身就是一个几何关系．由此求曲线方程时，直接进行坐标的代换即可求出曲线方程．2．利用圆锥曲线的共同特征可将其上一点到焦点的距离与相应准线的距离进行转化，进而实现求解．1．根据下列条件分别求椭圆的标准方程． (1)经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，455，且一条准线为直线x ＝5；(2)两准线间的距离为1855，焦距为2 5.[解] (1)因为椭圆的一条准线为直线x ＝5，所以椭圆的焦点在x 轴上．设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋165b 2＝1，a2a 2－b2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝21，b 2＝8425.故所求椭圆的标准方程为x 25＋y 24＝1或x 221＋y 28425＝1.(2)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2·a 2c ＝1855，2c ＝25，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a＝3，b ＝2，c ＝ 5.故所求椭圆的标准方程为x 29＋y 24＝1或x 24＋y 29＝1.1．若直线与椭圆有一个公共点，则直线与椭圆相切．正确吗？ [提示] 正确．2．若直线与抛物线有一个公共点，则直线与抛物线一定相切吗？ [提示] 不一定．当直线与抛物线的对称轴平行时，也只有一个交点． 3．过(2，0)点能作几条直线和双曲线x 24－y 23＝1仅有一个交点？[提示] 3条．4．如何用代数法判断直线与圆锥曲线的位置关系？[提示] 判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，可将直线l 的方程代入曲线C 的方程，消去y (或x )得一个关于变量x (或y )的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0.①当a ≠0时，若Δ>0，则直线l 与曲线C 相交；若Δ＝0，则直线l 与曲线C 相切；若Δ<0，直线l 与曲线C 相离．②当a ＝0时，即得到一个一次方程，则l 与C 相交，且只有一个交点．此时，若C 为双曲线，则l 平行于双曲线的渐近线；若C 为抛物线，则l 平行于抛物线的对称轴．③当直线与双曲线或抛物线只有一个公共点时，直线与双曲线或抛物线可能相切，也可能相交．【例2】 已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．[思路探究] 联立方程，消去y (或x )转化成关于x (或y )的一元二次方程，利用判别式的符号求解本题．[解] 直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ， ①x 24＋y22＝1， ②将①代入②得 9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0，③判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ＞0，即－32＜m ＜32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(3)当Δ＜0，即m ＜－32或m ＞32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．1.(变条件)1．用判别式可以判断直线与圆锥曲线的位置关系，当Δ>0时，直线与圆锥曲线相交；当Δ＝0时，直线与圆锥曲线相切；当Δ<0时，直线与圆锥曲线相离．2．联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况．【例3】过点P(－1，1)的直线与椭圆4＋2＝1交于A，B两点，若线段AB的中点恰为点P，求AB所在的直线方程及弦长|AB|.[思路探究] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把A，B两点的坐标代入椭圆方程相减(点差法)再结合中点坐标公式求出直线AB 的斜率，从而可求直线AB 的方程，再联立方程求得A ，B 的坐标，根据两点间的距离公式求|AB |.[解] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由A ，B 两点在椭圆上得错误!两式相减得 (x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋2(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. ① 显然x 1≠x 2，故由①得k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22（y 1＋y 2）. 因为点P 是AB 的中点，所以有x 1＋x 2＝－2，y 1＋y 2＝2. ②把②代入①得k AB ＝12，故AB 的直线方程是y －1＝12(x ＋1)，即x －2y ＋3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，x 24＋y 22＝1，消去y 得3x 2＋6x ＋1＝0.∴x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝13，|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（x 1－x 2）2＋[k （x 1－x 2）]2＝1＋k 2（x 1－x 2）2＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋14·243＝303.1．解决中点弦问题主要有如下两种方法：(1)根与系数的关系法：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解．(2)“点差法”：若直线l 与圆锥曲线C 有两个交点A 和B ，一般先设出交点坐标A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入曲线方程，通过作差，构造出x 1＋x 2，y 1＋y 2，x 1－x 2，y 1－y 2，从而建立中点坐标和斜率的关系公式．提醒： “点差法”不能保证直线与圆锥曲线有两个交点，因此必须把求出的直线方程与圆锥曲线方程联立，看是否满足Δ>0.2．利用根与系数的关系求直线与圆锥曲线相交弦长的步骤：①联立直线方程与圆锥曲线的方程，消元得到关于x (或y )的一元二次方程； ②设出交点坐标A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，利用根与系数的关系求出x 1＋x 2，x 1x 2，③弦长|AB |1＋k 2|x 1－x 2|或|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|(k ≠0)．2．已知双曲线的一个焦点为F 1(－3，0)，且渐近线为y ＝±2x ，过点A (2，1)的直线l 与该双曲线交于P 1，P 2两点．(1)求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程；(2)过点B (1，1)，能否作直线l ′，使l ′与已知双曲线交于Q 1，Q 2两点，且B 是线段Q 1Q 2的中点？请说明理由．[解] (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．∵c ＝3，b a ＝2⇒c 2－a 2a 2＝2⇒3－a2a2＝2，∴a 2＝1，b 2＝2.故双曲线方程为x 2－y 22＝1.设P 1和P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点为P (x ，y )，则x 21－y 212＝1，x 22－y 222＝1.②①－②得2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝(y 1＋y 2)(y 1－y 2)， 当x 1≠x 2，y ≠0时，2x y ＝y 1－y 2x 1－x 2.③ 又∵P 1，P 2，P ，A 四点共线，∴y －1x －2＝y 1－y 2x 1－x 2. ④由③④得2x y ＝y －1x －2，即2x 2－y 2－4x ＋y ＝0，故中点P 的轨迹方程为2x 2－y 2－4x ＋y ＝0.(2)假设存在直线l ′，同(1)可得l ′的斜率为2，l ′的方程为y ＝2x －1.∵⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x 2－y 22＝1无解，与假设矛盾，∴满足条件的直线l ′不存在.1．平面内到定点(0，－3)的距离与到定直线y ＝3的距离之比为12的动点的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线A [由于点(0，－3)不在直线y ＝3上，且0<12<1，所以，由圆锥曲线的统一定义知：动点的轨迹是椭圆．]2．函数y ＝ax 2＋1的图像与直线y ＝x 相切，则a ＝( ) A.18 B.14 C.12D ．1B [∵函数y ＝ax 2＋1的图像与直线y ＝x 相切，∴它们有且仅有一个交点．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax 2＋1，y ＝x ，得x ＝ax 2＋1，即ax 2－x ＋1＝0，∴Δ＝1－4a＝0，∴a ＝14.]3．直线y ＝x －1与双曲线x 2－y 22＝1相交于A ，B 两点，则弦长|AB |＝________．4 2 [联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，x 2－y 22＝1，消去y ，得x 2＋2x －3＝0.①由方程①解得x 1＝1，x 2＝－3，代入y ＝x －1.得y 1＝0，y 2＝－4，于是A ，B 两点坐标分别为(1，0)， (－3，－4)，则|AB |＝（1＋3）2＋（0＋4）2＝4 2.]4．点P (1，1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一弦，使此弦在P 点被平分，则此弦所在的直线方程为________．x ＋2y －3＝0 [法一：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y －1＝k (x －1)，弦的两端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k （x －1），x 24＋y 22＝1.消去y 得，(2k 2＋1)x 2－4k (k －1)x ＋2(k 2－2k －1)＝0， ∴x 1＋x 2＝4k （k －1）2k 2＋1， 又∵x 1＋x 2＝2，∴4k （k －1）2k 2＋1＝2，得k ＝－12. 故弦所在直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.法二：由于此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k ，且设弦的两端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1，x 224＋y 222＝1，两式相减得 （x 1＋x 2）（x 1－x 2）4＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）2＝0，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴x 1－x 22＋(y 1－y 2)＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12. ∴此弦所在直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.]5．求过点P (0，1)且与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线方程．[解] ①若直线的斜率不存在，则过点P (0，1)的直线方程为x ＝0.显然与抛物线只有一个公共点，即直线x ＝0与抛物线只有一个公共点．②若直线的斜率存在，设方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝kx ＋1，消去y 得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0，当k ＝0时，解得y ＝1，即直线y ＝1与抛物线只有一个公共点．当k ≠0时，由Δ＝4(k －1)2－4k 2＝0，得k ＝12.即直线y ＝12x ＋1与抛物线只有一个公共点．综上所述，所求直线方程为x ＝0或y ＝1或y ＝12x ＋1.。
数学新学案同步实用课件选修2-1北师大版：第三章 圆锥曲线与方程 §4 4.2~4.3
四、听方法。
在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”
的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物
理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
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解析 如图，设点M到直线l的距离为d，根据题意知， d＝2|MN|，
由此得|4－x|＝2 x－12＋y2，
化简得x42＋y32＝1， 所以动点 M 的轨迹 C 的方程为x42＋y32＝1.
解析
答案
(2)已知双曲线1x62 －y92＝1 的左、右焦点分别为 F1，F2，其上一点 P 满足|PF1| ＝5|PF2|，则点 P 直线 x＝156的距离为__85__.
解 由x22y＋2＋y23－x＋4x3－＝50＝，0，
得2x2－11x－13＝0， 即(2x－13)(x＋1)＝0，解得 x1＝－1，x2＝123. 将 x＝－1 代入①，得xy＝ ＝－ 0. 1， 将 x2＝123代入①，方程无解.
高中数学第三章圆锥曲线与方程4.2_4.3圆锥曲线的共同特征直线与圆锥曲线的交点北师大版选修
将上式两边平方，化简得x22＋y2＝1.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 1 曲线上的点 M(x，y)到定点 F( 3，0)的距离和它到定直线 l：x＝233
的距离的比是常数 26，求曲线方程.
解
设
d
是点
M
到直线
l
的距离，根据题意，曲线上的点
M
满足：|MdF|＝
6 2.
由此得，
x－ 32＋y2
2
3
3－x
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 3 已知双曲线的一个焦点为 F1(－ 3，0)，且渐近线为 y＝± 2x， 过点 A(2,1)的直线 l 与该双曲线交于 P1、P2 两点. (1)求线段P1P2的中点P的轨迹方程；
解析答案
(2)过点B(1,1)，能否作直线l′，使l′与已知双曲线交于Q1、Q2两点，且 B是线段Q1Q2的中点？请说明理由. 解 假设存在直线l′，同(1)可得l′的斜率为2，l′的方程为y＝2x－1.
解析答案
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1.直线 y＝x＋m 与椭圆x42＋y2＝1 有两个不同的交点，则 m 的范围是( D )
A.－5＜m＜5
B.m＜－ 5，或 m＞ 5
C.m＜ 5
D.－ 5＜m＜ 5
解析 将 y＝x＋m 代入x42＋y2＝1，
有5x2＋8mx＋4m2－4＝0，
Δ＝64m2－80(m2－1)＞0，得m2＜5，
解析答案
(3)求过点 P12，12且被 P 点平分的弦所在直线的方程. 解 由①式，弦所在的直线的斜率 k＝－2xy00＝－12，故其方程为 y－12＝－12x－21， 即2x＋4y－3＝0. 反思与感悟 将圆锥曲线上的两点A、B的坐标代入圆锥曲线的方程，然 后将两式作差并进行变形，可得到弦AB的斜率与弦中点的坐标之间的关 系式.(这种方法一般称之为点差法)此关系式可用于解决如下问题： (1)以定点为中点的弦的方程；(2)平行弦中点的轨迹； (3)过定点的弦的中点的轨迹；(4)对称问题.
高中数学 3.4.2 圆锥曲线的共同特征学案 北师大选修2-1
01,1,1e M e M e M <<=>的轨迹为椭圆的轨迹为抛物线的轨迹为双曲线3.4.2 圆锥曲线的共同特征学习目标：1．通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想； 学习重点：直线与圆锥曲线的位置关系及其有关弦的问题 学习难点：如何灵活应用有关知识解决问题； 学习过程：问题1：曲线上的点(,)(2,0)M x y F 到定点的距离和它到定直线:8l x =的距离的比是常数是12，求曲线方程。
解：由题意可知12MF d =12=|8|x =-化简得：2211612x y += 分析：由标准方程可知：214,2,,82a a b c e c===== 问题2：曲线上的点16(,)(5,0):5M x y F l x =到定点的距离和它到定直线的距离比是 5,.4M 常数求的轨迹方程解略：54MF d = 221169x y -= 25164,3,5,,45a abc e c =====2．思考、分析点M(x,y)与定点F(c,0)距离和它到定直线2:a l x c=的距离之比是常数c e a =,求点M 的轨迹方程为圆锥曲线。
（F 为焦点，线2:a l x c=为对应的准线，）2||||||a PF ed e x a ex c==-=-1．求221169x y +=的准线方程、两准线间的距离。
2．已知双曲线 3x 2－y 2= 9，则双曲线右支上的点 P 到右焦点 的距离与点 P 到右准线的距离之比等于( )。
(A) 2 (B) 233(C) 2(D) 43．2213120,123A F P PA PF y x =+-已知点（，）、（，）在双曲线上求一点，使得的值最小，并求出最小值。
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高中数学 第三章圆锥曲线与方程全部教案 北师大版选修2
北师大版高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》全部教案第一课时 3.1.1椭圆及其标准方程（一）一、教学目标：1、知识目标：掌握椭圆的定义及其标准方程，能正确推导椭圆的标准方程．2、能力目标：培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力；培养学生运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力．3、情感目标：激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索，敢于创新的精神．二、教学重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．教学难点：椭圆标准方程的推导．三、教学方法：探究式教学法，即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力． 四、教学过程： （一）、复习引入：1．1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长（说明椭圆在天文学和实际生产生活实践中的广泛应用，指出研究椭圆的重要性和必要性，从而导入本节课的主题） 2.复习求轨迹方程的基本步骤：3．手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在 画图板上的21,F F 两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉 近，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆分析：（1）轨迹上的点是怎么来的？（2）在这个运动过程中，什么是不变的？答：两个定点，绳长即不论运动到何处，绳长不变（即轨迹上与两个定点距离之和不变） （二）、探究新课：1椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方：（1）两个定点---两点间距离确定（2）绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定 思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（→线段）在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（→圆）由此，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫) 2.根据定义推导椭圆标准方程：取过焦点21,F F 的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴设),(y x P 为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是c 2（0>c ）.则)0,(),0,(21c F c F -，又设M 与21,F F 距离之和等于a 2(c a 22>)（常数）{}a PF PF P P 221=+=∴221)(y c x PF ++= 又，a y c x y c x 2)()(2222=+-+++∴，化简，得 )()(22222222c a a y a x c a -=+-，由定义c a 22>,022>-∴c a 令222b c a =-∴代入，得 222222b a y a x b =+，两边同除22b a 得 12222=+by a x ，此即为椭圆的标准方程它所表示的椭圆的焦点在x 轴上，焦点是)0,()0,(21c F c F -，中心在坐标原点的椭圆方程 其中222b c a += 注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程 如果椭圆的焦点在y 轴上（选取方式不同，调换y x ,轴）焦点则变成),0(),,0(21c F c F -,只要将方程12222=+b y a x 中的y x ,调换，即可得12222=+bx a y ，也是椭圆的标准方程理解：所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在12222=+b y a x 与12222=+bx a y 这两个标准方程中，都有0>>b a 的要求，如方程),0,0(122n m n m n y m x ≠>>=+就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式1=+b y a x 类比，如12222=+by a x 中，由于b a >，所以在x 轴上的“截距”更大，因而焦点在x 轴上(即看22,y x 分母的大小) （三）、探析例题：例1、写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10；⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23-,25） 解：（1）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为12222=+by a x )0(>>b a9454,582,10222222=-=-=∴==∴==c a b c a c a 所以所求椭圆标准方程为192522=+y x 因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为12222=+bx a y )0(>>b a由椭圆的定义知，22)225()23(2++-=a ＋22)225()23(-+-10211023+=102= 10=∴a 又2=c 6410222=-=-=∴c a b 所以所求标准方程为161022=+x y 另法：∵ 42222-=-=a c a b ∴可设所求方程142222=-+a x a y ，后将点（23-,25）的坐标代入可求出a ，从而求出椭圆方程点评：题（１）根据定义求若将焦点改为(0,-4)、（0，4）其结果如何；题（２）由学生的思考与练习，总结有两种求法：其一由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是由已知焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程 （四）、课堂练习：1 椭圆192522=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ）A.5B.6C.4D.102.椭圆11692522=+y x 的焦点坐标是（ ） A.(±5，0) B.(0，±5)C.(0，±12)D.(±12，0)3.已知椭圆的方程为18222=+my x ，焦点在x 轴上，则其焦距为（ ） A.228m - B.2m -22 C.282-m D.222-m4.1,6==c a ,焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是5.方程1)42sin(322=+-παy x 表示椭圆，则α的取值范围是（ ） .838παπ≤≤-Ｂ.k k k (838ππαππ+<<-∈Ｚ） Ｃ.838παπ<<- Ｄ. k k k (83282ππαππ+<<-∈Ｚ） 参考答案： 1.A 2.C 3.A4.1353622=+x y5.（五）、小结 ：本节课学习了椭圆的定义及标准方程,应注意以下几点: ①椭圆的定义中,022>>c a ； ②椭圆的标准方程中,焦点的位置看x ,y 的分母大小来确定； ③a 、b 、c 的几何意义（六）、课后作业：1．判断下列方程是否表上椭圆，若是，求出c b a ,,的值①12222=+y x ；②12422=+y x ；③12422=-y x ；④369422=+x y 答案：①表示园；②是椭圆2,2,2===c b a ；③不是椭圆（是双曲线）；④369422=+x y 可以表示为1322222=+y x ，是椭圆，5,2,3===c b a2 椭圆191622=+y x 的焦距是 ，焦点坐标为 ；若CD 为过左焦点1F 的弦，则CD F 2∆的周长为 答案：164);0,7(),0,7(;72221=-=a F F c3． 方程1422=+ky x 的曲线是焦点在y 上的椭圆 ，求k 的取值范围 答案：40<<k4 化简方程：10)3()3(2222=-++++y x y x 答案：1251622=+y x 5 椭圆13610022=+y x 上一点P 到焦点F 1的距离等于6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是 答案：46 动点P 到两定点1F (-4,0)，2F (4,0)的距离的和是8，则动点P 的轨迹为 _______ 答案：是线段21F F ，即)44(0≤≤-=x y 五、教后反思：第二课时3.1.1椭圆及其标准方程（二）一、教学目标：熟练掌握椭圆的两个标准方程 二、教学重点：两种椭圆标准方程的应用 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 (一)、复习： 1、椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 2、椭圆的标准方程 （二）、引入新课例1、已知B 、C 是两个定点，∣BC ∣=6，且△ABC 的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程. 分析：在解析几何里，求符合某种条件的点的轨迹方程，要建立适当的坐标系，而选择坐标系的原则，通常欲使得到的曲线方程形式简单.在右图中，由△ABC 的周长等于16，∣BC ∣=6可知，点A 到B 、C 两点的距离之和是常数，即∣AB ∣+∣AC ∣=16－6=10，因此，点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，据此可建立坐标系并画出草图（如图）解：如右图，建立坐标系，使x 轴经过点B 、C ，原点O 与BC 的中点重合.由已知∣AB ∣+∣AC ∣+∣BC ∣=16，∣BC ∣=6，有∣AB ∣+∣AC ∣=10，即点A 的轨迹是椭圆，且2c =6, 2a =16－6=10 ∴c =3, a =5, b 2=52－32=16但当点A 在直线BC 上，即y =0时，A 、B 、C 三点不能构成三角形，所以点A 的轨迹方程是)0(1162522≠=+y y x 说明：①求出曲线后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如果有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件；②例1要求学生对椭圆的定义比较熟悉，这样可以在求曲线轨迹方程时，简化求解步骤，快速准确得到所求的轨迹方程，并且在课堂练习中对这点予以强调. 例2、 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0).(2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26. 解：(1)∵椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为：)0(12222>>=+b a by a x∵100)35(0)35(222=+-+++=a ，2c =6.∴3,5==c a∴163522222=-=-=c a b∴所求椭圆的方程为：1162522=+y x . (2)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为)0(12222>>=+b a b x a y . ∴.144222=-=c a b∴所求椭圆方程为：114416922=+x y 例3、 已知椭圆经过两点（)5,3()25,23与-，求椭圆的标准方程 解：设椭圆的标准方程),0,0(122n m n m ny m x ≠>>=+ 则有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-1)5()3(1)25()23(2222n mnm ，解得 10,6==n m 所以，所求椭圆的标准方程为110622=+y x 例4、已知B ，C 是两个定点，｜BC ｜＝6，且ABC ∆的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程 解：以BC 所在直线为x 轴，BC 中垂线为y 轴建立直角坐标系，设顶点),(y x A ，根据已知条件得|AB|+|AC|=10再根据椭圆定义得4,3,5===b c a所以顶点A 的轨迹方程为1162522=+y x （y ≠0）（特别强调检验） （三）、课堂练习：课本P65页1、2、3补充题：写出适合下列条件的椭圆的标准方程:(口答)(1)a=4,b=3,焦点在x 轴；(2)a=5,c=2,焦点在y 轴上.（答案：19y 16x 22=+；121x 25y 22=+） (2)已知三角形ΔABC 的一边∠长为6,周长为16,求顶点A 的轨迹方程解：以BC 边为x 轴，BC 线段的中垂线为y 轴建立直角坐标系，则A 点的轨迹是椭圆，其方程为：116y 25x 22=+ 若以BC 边为y 轴，BC 线段的中垂线为x 轴建立直角坐标系，则A 点的轨迹是椭圆，其方程为：125y 16x 22=+ （四）、小结：本节课我们学习了椭圆的标准方程的简单应用；①求出曲线后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如果有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件；②例1要求学生对椭圆的定义比较熟悉，这样可以在求曲线轨迹方程时，简化求解步骤，快速准确得到所求的轨迹方程，并且在课堂练习中对这点予以强调.注意待定系数法的运用。
高中数学 第三章《圆锥曲线与方程》全部教案 北师大版选修2
北师大版高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》全部教案第一课时 3.1.1椭圆及其标准方程（一）一、教学目标：1、知识目标：掌握椭圆的定义及其标准方程，能正确推导椭圆的标准方程．2、能力目标：培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力；培养学生运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力．3、情感目标：激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索，敢于创新的精神．二、教学重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．教学难点：椭圆标准方程的推导．三、教学方法：探究式教学法，即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力． 四、教学过程： （一）、复习引入：1．1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空 1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长（说明椭圆在天文学和实际生产生活实践中的广泛应用，指出研究椭圆的重要性和必要性，从而导入本节课的主题） 2.复习求轨迹方程的基本步骤：3．手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在 画图板上的21,F F 两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉 近，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆 分析：（1）轨迹上的点是怎么来的？（2）在这个运动过程中，什么是不变的？答：两个定点，绳长即不论运动到何处，绳长不变（即轨迹上与两个定点距离之和不变）（二）、探究新课：1 椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方：（1）两个定点---两点间距离确定（2）绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（→线段）在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（→圆）点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫)2.根据定义推导椭圆标准方程：取过焦点21,F F 的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴设),(y x P 为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是c 2（0>c ）.则)0,(),0,(21c F c F -，又设M 与21,F F 距离之和等于a 2(c a 22>)（常数）{}a PF PF P P 221=+=∴221)(y c x PF ++= 又，a y c x y c x 2)()(2222=+-+++∴，化简，得 )()(22222222c a a y a x c a -=+-，由定义c a 22>,022>-∴c a 令222b c a =-∴代入，得 222222b a y a x b =+，两边同除22b a 得 12222=+by a x ，此即为椭圆的标准方程x 轴上，焦点是)0,()0,(21c F c F -，中心在坐标原点的椭圆方程 其中22b c a +=注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程如果椭圆的焦点在y 轴上（选取方式不同，调换y x ,轴）焦点则变成),0(),,0(21c F c F -,只要将方程12222=+b y a x 中的y x ,调换，即可得12222=+bx a y ，也是椭圆的标准方程理解：所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在12222=+b y a x 与12222=+bx a y 这两个标准方程中，都有0>>b a 的要求，如方程),0,0(122n m n m n y m x ≠>>=+就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式1=+b y a x 类比，如12222=+by a x 中，由于b a >，所以在x 轴上的“截距”更大，因而焦点在x 轴上(即看22,y x 分母的大小)（三）、探析例题：例1、写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10；⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23-,25）解：（1）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为12222=+by a x )0(>>b a9454,582,10222222=-=-=∴==∴==c a b c a c a 所以所求椭圆标准方程为192522=+y x 因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为12222=+bx a y )0(>>b a由椭圆的定义知，22)225()23(2++-=a ＋22)225()23(-+-10211023+=102= 10=∴a 又2=c 6410222=-=-=∴c a b 所以所求标准方程为161022=+x y 另法：∵ 42222-=-=a c a b ∴可设所求方程142222=-+a x a y ，后将点（23-,25）的坐标代入可求出a ，从而求出椭圆方程点评：题（１）根据定义求 若将焦点改为(0,-4)、（0，4）其结果如何；题（２）由学生的思考与练习，总结有两种求法：其一由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是由已知焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程（四）、课堂练习：1 椭圆1925=+上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ） A.5 B.6 C.4 D.102.椭圆11692522=+y x 的焦点坐标是（ ） A.(±5，0) B.(0，±5)C.(0，±12)D.(±12，0)3.已知椭圆的方程为18222=+m y x ，焦点在x 轴上，则其焦距为（ ） A.228m - B.2m -22 C.282-m D.222-m4.1,6==c a ,焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是5.方程1)42sin(322=+-παy x 表示椭圆，则α的取值范围是（ ） .838παπ≤≤-Ｂ.k k k (838ππαππ+<<-∈Ｚ） Ｃ.838παπ<<- Ｄ. k k k (83282ππαππ+<<-∈Ｚ） 参考答案： 1.A 2.C 3.A4.1353622=+x y 5.Ｂ（五）、小结 ：本节课学习了椭圆的定义及标准方程,应注意以下几点: ①椭圆的定义中,022>>c a ； ②椭圆的标准方程中,焦点的位置看x ,y 的分母大小来确定； ③a 、b 、c 的几何意义（六）、课后作业：1．判断下列方程是否表上椭圆，若是，求出c b a ,,的值①12222=+y x ；②12422=+y x ；③12422=-y x ；④9422=+x y 答案：①表示园；②是椭圆2,2,2===c b a ；③不是椭圆（是双曲线）；④369422=+x y 可以表示为1322222=+y x ，是椭圆，,2,3===c b a2 椭圆1916=+的焦距是 ，焦点坐标为 ；若CD 为过左焦点1F 的弦，则CD F 2∆的周长为 答案：4);0,7(),0,7(;72221=-=a F F c3． 方程1422=+ky x 的曲线是焦点在y 上的椭圆 ，求k 的取值范围 答案：40<<k4 化简方程：10)3()3(2222=-++++y x y x 答案：1251622=+y x 5 椭圆13610022=+y x 上一点P 到焦点F 1的距离等于6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是 答案：46 动点P 到两定点1F (-4,0)，2F (4,0)的距离的和是8，则动点P 的轨迹为 _______答案：是线段21F F ，即)44(0≤≤-=x y五、教后反思：第二课时3.1.1椭圆及其标准方程（二）一、教学目标：熟练掌握椭圆的两个标准方程 二、教学重点：两种椭圆标准方程的应用 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 (一)、复习： 1、椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距2、椭圆的标准方程 （二）、引入新课例1、已知B 、C 是两个定点，∣BC ∣=6，且△ABC 的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程. 分析：在解析几何里，求符合某种条件的点的轨迹方程，要建立适当的坐标系，而选择坐标系的原则，通常欲使得到的曲线方程形式简单.在右图中，由△ABC 的周长等于16，∣BC ∣=6可知，点A 到B 、C 两点的距离之和是常数，即∣AB ∣+∣AC ∣=16－6=10，因此，点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，据此可建立坐标系并画出草图（如图）解：如右图，建立坐标系，使x 轴经过点B 、C ，原点O 与BC 的中点重合.由已知∣AB ∣+∣AC ∣+∣BC ∣=16，∣BC ∣=6，有∣AB ∣+∣AC ∣=10，即点A 的轨迹是椭圆，且2c =6, 2a =16－6=10 ∴c =3, a =5, b 2=52－32=16但当点A 在直线BC 上，即y =0时，A 、B 、C 三点不能构成三角形，所以点A 的轨迹方程是)0(1162522≠=+y y x说明：①求出曲线后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如果有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件；②例1要求学生对椭圆的定义比较熟悉，这样可以在求曲线轨迹方程时，简化求解步骤，快速准确得到所求的轨迹方程，并且在课堂练习中对这点予以强调. 例2、 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0).(2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26. 解：(1)∵椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为：)0(12222>>=+b a by a x∵100)35(0)35(222=+-+++=a ，2c =6.∴3,5==c a∴163522222=-=-=c a b∴所求椭圆的方程为：1162522=+y x . (2)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为)0(12222>>=+b a bx a y . ∴.144222=-=c a b∴所求椭圆方程为：114416922=+x y 例3、 已知椭圆经过两点（)5,3()25,23与-，求椭圆的标准方程 解：设椭圆的标准方程),0,0(122n m n m ny m x ≠>>=+ 则有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-1)5()3(1)25()23(2222n mnm ，解得 ,6==n m 所以，所求椭圆的标准方程为10622=+y x例4、已知B ，C 是两个定点，｜BC ｜＝6，且ABC ∆的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程解：以BC 所在直线为x 轴，BC 中垂线为y 轴建立直角坐标系，设顶点),(y x A ，根据已知条件得|AB|+|AC|=10再根据椭圆定义得,3,5===b c a所以顶点A 的轨迹方程为1162522=+y x （y ≠0）（特别强调检验） （三）、课堂练习：课本P65页1、2、3补充题：写出适合下列条件的椭圆的标准方程:(口答)(1)a=4,b=3,焦点在x 轴；(2)a=5,c=2,焦点在y 轴上.（答案：19y 16x 22=+；121x 25y 22=+） (2)已知三角形ΔABC 的一边∠长为6,周长为16,求顶点A 的轨迹方程解：以BC 边为x 轴，BC 线段的中垂线为y 轴建立直角坐标系，则A 点的轨迹是椭圆，其方程为：116y 25x 22=+ 若以BC 边为y 轴，BC 线段的中垂线为x 轴建立直角坐标系，则A 点的轨迹是椭圆，其方程为：125y 16x 22=+ （四）、小结：本节课我们学习了椭圆的标准方程的简单应用；①求出曲线后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如果有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件；②例1要求学生对椭圆的定义比较熟悉，这样可以在求曲线轨迹方程时，简化求解步骤，快速准确得到所求的轨迹方程，并且在课堂练习中对这点予以强调.注意待定系数法的运用。
北师版数学高二《圆锥曲线的共同特征》名师导学案 北师大
01,1,1e M e M e M <<=>的轨迹为椭圆的轨迹为抛物线的轨迹为双曲线3.4.2 圆锥曲线的共同特征学习目标：1．通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想； 学习重点：直线与圆锥曲线的位置关系及其有关弦的问题 学习难点：如何灵活应用有关知识解决问题； 学习过程：问题1：曲线上的点(,)(2,0)M x y F 到定点的距离和它到定直线:8l x =的距离的比是常数是12，求曲线方程。
解：由题意可知12MF d =12=|8|x =-化简得：2211612x y += 分析：由标准方程可知：214,2,,82a a b c e c===== 问题2：曲线上的点16(,)(5,0):5M x y F l x =到定点的距离和它到定直线的距离比是 5,.4M 常数求的轨迹方程解略：54MF d = 221169x y -= 25164,3,5,,45a abc e c =====2．思考、分析点M(x,y)与定点F(c,0)距离和它到定直线2:a l x c =的距离之比是常数ce a=,求点M 的轨迹方程为圆锥曲线。
（F 为焦点，线2:a l x c=为对应的准线，）2||||||a PF ed e x a ex c==-=-1．求221169x y +=的准线方程、两准线间的距离。
2．已知双曲线 3x 2－y 2 = 9，则双曲线右支上的点 P 到右焦点 的距离与点 P 到右准线的距离之比等于( )。
(A) 2 (B)233(C ) 2(D) 43．2213120,123A F P PA PF y x =+-已知点（，）、（，）在双曲线上求一点，使得的值最小，并求出最小值。
APPHH F 2x2a cF 1oy。
2021年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.4.2圆锥曲线的共同特征课件3北师大版选修2_1
课后练习
1、椭圆 (x2)2(y2)2|3x4y8| 的离心率为 25
A、1/25 B、1/5 C、1/10 D、无法确定
2、椭圆长轴长为10,短轴长为8,那么椭圆上点到原点距离的取值范围是
A、[8,10]
B、[4,5] C、[6,10]
D、[2,8]
平面内到定点F的距离和到定直线的距离相等的点的 轨迹 表达式|PF|=d (d为动点到定直线距离〕
平面内动点P到一个定点F的距离PF和到一条定 直线l (F不在l上)的距离d相等时,动点P的轨迹为抛 物线,此时PF/d=1.
探究与思考: 假设PF/d≠1呢?
在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样 一个式子：
虚轴长分别为2a,2b的双曲线.
圆锥曲线统一定义:
平面内到一定点F 与到一条定直线l 的距离之比为 常数 e 的点的轨迹.( 点F 不在直线l 上〕 (1)当 0< e <1 时, 点的轨迹是椭圆. (2)当 e >1 时, 点的轨迹是双曲线.
(3)当 e = 1 时, 点的轨迹是抛物线.
其中常数e叫做圆锥曲线的离心率, 定点F叫做圆锥曲线的焦点, 定直线l就是该圆锥曲线的准线.
1(a0,b0)
l1 y
l2
M2 d2 P
.
F1
O
.
F2
x
M1 d1
P′
准线: x a 2 c
定义式:
PF1 PF2 d1 d2
e
标准方程
x2 a2
y2 b2
1
(a b 0)
y2 a2
x2 b2
1
(a b 0)
x2 y2 a2 b2 1 (a 0,b 0)
高中数学第三章圆锥曲线与方程3.4曲线与方程3.4.2圆锥
又∵|PF1|+|PF2|=2a,∴e(d1+d2)=2a,
即������������×18=2a,∴c=���9���2=5.
∴b2=a2-c2=45-25=20.
∴椭圆方程为������2
45
+
2������02=1.
反思椭圆的统一定义可以将椭圆上一点到焦点的距离与到相应
准线的距离进行相互转化,解题时要灵活把握这一转化.
题型一 题型二
解:如图所示,P 到 l1 的距离为 d1,P 到 l2 的距离为 d2,由椭圆的统
一定义知|PF1|=ed1,|PF2|=ed2.
又∵|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
∴e2������12+e2������22=(2c)2.∴������������22(62+122)=4c2. ∴a2=36+4144=45.
+
������
∶
������-
������2 ������
=3∶2,解得 e=
5.
答案:D
12345
3.已知椭圆
������2 5
+
���4���2=1的中心为A,右准线为l,那么以A为顶.y2=-20x
B.y2=20x
C.y2=-10x
D.y2=10x
解析:椭圆的右准线方程为x=5,从而 ������ =5,由题意知,抛物线开口向
则动点到直线x=8的距离为|x-8|, 到点 A 的距离为 (������-2)2 + ������2.
由已知条件,得|x-8|=2 (������-2)2 + ������2 ,
∴|������������|
2018年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.4.2圆锥曲线的共同特征课件7北师大版选修
思考交流
例2：点M(x,y)到定点F(5,0)的距离和它到定直
5 16 线l: x 的距离的比是常数 ， 5 4
（1）求曲线方程。
（2）指出与例1的相同处和不同处。 （3）仿照例1的结论，尝试猜想本例的结论， 并证明。
小组展示 提示:已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直
c a 线 l : x 的距离的比是常数 (c>a>0),求P的轨迹. a c
探究新知
猜想：椭圆也是平面内到一个定点的距离与 到一条定直线l（F不在l上）的距离之比为常 数的点所形成的曲线。
探究新知
思考：椭圆标准方程的推导过程：
a cx a ( x c ) y
2 2
2
将其变形为:
你能解释这个式子的几何意义吗？
探究新知 结论：平面内到一个定点的距离与到一条定直线l（F 不在l上）的距离之比为(0,1)内的常数的点所形成的 曲线为椭圆。
温故知新
圆锥曲线？ 圆锥曲线方程共同特征？
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
x y 2 1(a 0, b 0) 2 a b
2 2
二元二次方程
y 2 px( p 0)
2
温故知新
回顾：抛物线的定义：
平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l（F不
在l上）的距离之比等于1的动点P的轨迹是抛物线。 思考：当这个比值是一个不等于1的正数时，动点 P的轨迹又是什么曲线呢？
析:
2
( x c )2 y 2 a2 x c
c a
2 2
x y 2 1(a 0, b 0) 上式化为: 2 a b
思考交流 结论：平面内到一个定点的距离与到一条定直线l（F 不在l上）的距离之比为(1,+∞)内的常数的点所形成 的曲线为双曲线。
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3.4.2圆锥曲线的共同特征
学习目标 ：
1．通过例子，归纳出圆锥曲线的共同特征．
2．理解并掌握圆锥曲线的共同特征，感受圆锥曲线在解决实际问题中的作用，进一步体会
数形结合的思想和变化统一观点．
3.通过圆锥曲线的共同特征看三种圆锥曲线的联系，从变化的观点看待圆锥曲线，利用它们
的共同特征解决一些与焦点、准线有关的问题.
学习重点：理解并掌握圆锥曲线的共同特征，感受圆锥曲线在解决实际问题中的作用. 学习难点：过圆锥曲线的共同特征看三种圆锥曲线的联系，从变化的观点看待圆锥曲线. 学习方法：以讲学稿为依托的探究式教学方法.
学习过程
一、课前预习指导： 圆锥曲线的共同特征
圆锥曲线上的点到 的距离与它到 的距离之比为
定值e.
当 时，该圆锥曲线为椭圆；
当 时，该圆锥曲线为抛物线；
当 时，该圆锥曲线为双曲线．
二、新课学习
问题探究一 圆锥曲线的共同特征
1 抛物线上的点满足什么条件？
2 已知曲线上的点M(x ，y)到定点F(2,0)和它到定直线l ：x ＝8距离的比是常数12
，求曲线方程，并说明特征．
3 已知曲线上的点M (x ，y )到定点F (5,0)的距离和它到定直线l ：x ＝165
的距离的比是常数54
，求曲线方程，并说明特征．
4 三种圆锥曲线有共同特征，其中定点、定直线和常数有什么意义．
例1 点M(x ，y)与定点(3,0)的距离和它到定直线l ：x ＝253的距离的比是常数35
，求点M 的轨迹．
学后检测1
(1)双曲线2mx 2－my 2＝2的一条准线为y ＝1，则m 的值为
( ) A ．－34 B ．－43
C ．－3
D ．－1
(2)点M 与F(0，－2)的距离比它到直线l ：y －3＝0的距离小1，则点M 的轨迹方程是
__________．
问题探究二 圆锥曲线共同特征的应用
1 通过圆锥曲线的共同特征可以得到曲线上的点到焦点与到准线的什么关系？
2 圆锥曲线的共同特征体现了一种什么数学思想？
例2 试在抛物线y2＝4x 上求一点A ，使A 到点B(3，2)与到焦点的距离之和最小．
三、当堂检测：
(1)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是
( )
A ．y 2＝－8x
B ．y 2＝8x
C ．y 2＝－4x
D ．y 2＝4x
(2)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和
直线l 2的距离之和的最小值是( )
A ．2
B ．3 C.115 D.3716
（3）．已知椭圆x24b2＋y2b2
＝1上一点P 到右焦点F2的距离为b (b>1)，求P 到左准线的距离
四、课堂小结：
五、课后作业。