2011高一数学学案：3.1.1《实数指数幂及其运算》(第二课时)(新人教B版必修一)
人教B版高中数学必修一3.实数指数幂及其运算课件
考纲要求：理解有理指数幂的含义, 了解实数指数幂的意义, 掌握幂的运算.
高考能力要求：其一运算求解能力， 会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理, 能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径, 能根据要求对数据进行估计和近似计算.
复习回顾
实数分类:
有理数 实 数
人教B版高中数学必修一3. 实数指数幂及其运算课件
1
1
1
1
1
1
⑤（a 2 b 2）（a 2 b 2）（a 2）2 （b 2）2
ab
1
1
11
⑥（a 2 b 2）2 a b 2a 2 b 2
人教B版高中数学必修一3. 实数指数幂及其运算课件
本课小结 人教B版高中数学必修一3. 实数指数幂及其运算课件
a35
a2
1 a2
将正整数指数幂推广到整数指数幂
于是，我们规定
a0 1a 0
a n
1 an
a
0, n N
运算法则（1）am an amn
2 am n amn
3
am an
amn
m n, a 0
4abm ambm
限时练习:
80 1
（ 8）0 1
（a b）0 1
（
1 ）6 2
⑤4（3）4 | 3 | 3
那么，根式与分数指数幂有什么 关系？1(a3 )31 3
a3
=a
2
(a 3
)3
2 3
a 3 =a2
1
a3 3 a
2
a3 3 a2
分数指数幂与根式互化
1
a n n a (a 0)
两者要 区别开
高中数学人教B版必修一学案：3.1.1 实数指数幂及其运算
3.1 指数与指数函数 3.1.1 实数指数幂及其运算[学习目标] 1.理解有理指数幂的含义，会用幂的运算法则进行有关运算.2.了解实数指数幂的意义.[知识链接]1.4的平方根为±2，8的立方根为2. 2.23·22＝32，(22)2＝16，(2·3)2＝36，2523＝4.[预习导引] 1.基本概念＝a 0＝1(a ≠0) (1)(na )n ＝a (n ＞1且n ∈N ＋)；(2)na n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (n 为奇数且n ＞1，n ∈N ＋)，|a | (n 为偶数且n ＞1，n ∈N ＋).3.有理指数幂的运算法则若a >0，b >0，则有任意有理数α，β有如下运算法则： (1)a αa β＝a α＋β；(2)(a α)β＝a α·β；(3)(ab )α＝a α·b α. 解决学生疑难点要点一 根式的运算 例1 求下列各式的值： (1) 3(－2)3；(2)4(－3)2；(3)8(3－π)8；(4)x 2－2x ＋1－ x 2＋6x ＋9，x ∈(－3,3)解 (1)3(－2)3＝－2.(2) 4(－3)2＝432＝ 3. (3)8(3－π)8＝|3－π|＝π－3.(4)原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|，当－3＜x ≤1时，原式＝1－x －(x ＋3)＝－2x －2. 当1＜x ＜3时，原式＝x －1－(x ＋3)＝－4.因此，原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3＜x ≤1，－4，1＜x ＜3.规律方法 1.解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值.2.开偶次方根时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论.跟踪演练1 化简下列各式： (1)5(－2)5；(2)4(－10)4；(3)4(a －b )4.解 (1)5(－2)5＝－2.(2)4(－10)4＝|－10|＝10.(3)4(a －b )4＝|a －b |＝⎩⎪⎨⎪⎧a －b (a ≥b )，b －a (a ＜b ).要点二 根式与分数指数幂的互化 例2 将下列根式化成分数指数幂形式： (1)3a ·4a ； (2)a a a ；(3)3a 2·a 3； (4)(3a )2·ab 3. 解 (1)3a ·4a ＝31a ·41a ＝127a ； (2)原式＝a ·21a ＝ a ·21a ·41a ＝21a ·41a ·18b ＝87a ；(3)原式＝32a ·23a ＝613a ； (4)原式＝(31a )2·21a ·23b ＝76a 23b . 规律方法 在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：nma ＝na m 和-m na＝1nma ＝1n a m，其中字母a 要使式子有意义.跟踪演练2 用分数指数幂表示下列各式： (1) 3a ·6－a (a ＜0)； (2)3ab 2(ab )3(a ，b ＞0)；(3)23)(b ＜0)； (4)13x (5x 2)2(x ≠0).解 (1)原式＝31a ·16()-a ＝－13()-a ·16()-a ＝－12()-a (a ＜0)；(2)原式＝323232b a ab ⋅＝157322()⋅a b ＝56a 76b (a ，b ＞0)； (3)原式＝23)＝212343()⨯⨯-b ＝19()-b (b ＜0)； (4)原式＝3154311⨯⋅xx ＝531x＝35-x.要点三 分数指数幂的运算例3 (1)计算：130.064-－⎝⎛⎭⎫－780＋433[(2)]--＋16－0.75＋|－0.01|12；(2)化简：3329-a aa ＞0).解 (1)原式＝(0.43)31-－1＋(－2)－4＋(24)－0.75＋(0.12)12＝0.4－1－1＋116＋18＋0.1＝14380.(2)原式＝[19133232⨯⨯⋅（-）a a]÷[171132323⨯⨯⋅（-）（）aa]＝613676369-+-a＝a 0＝1.规律方法 指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算.负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质. 跟踪演练3 计算或化简：(1)⎝⎛⎭⎫－33832-＋(0.002)21-－10(5－2)－1＋(2－3)0；(2)323a ·a －3·(a －5)21-·(a21-)13.解 (1)原式＝(－1)32-⎝⎛⎭⎫33832-＋⎝⎛⎭⎫150021-－105－2＋1 ＝⎝⎛⎭⎫27832-＋(500)21－10(5＋2)＋1 ＝49＋105－105－20＋1 ＝－1679.(2)原式＝(23a ·32-a )31·[(a －5)21-·(a21-)13]21＝(a 0)31·(52a ·132-a)21＝(a －4)21＝a －2.1.下列各式正确的是( ) A.(3a )3＝a B.(47)4＝－7 C.(5a )5＝|a | D.6a 6＝a答案 A解析 (47)4＝7，(5a )5＝a ，6a 6＝|a |. 2.(a －b )2＋5(a －b )5的值是( ) A.0B.2(a －b )C.0或2(a －b )D.a －b答案 C解析 当a －b ≥0时，原式＝a －b ＋a －b ＝2(a －b )； 当a －b ＜0时，原式＝b －a ＋a －b ＝0. 3.计算[(－2)2]21的结果是( ) A. 2 B.－ 2 C.22D.－22答案 A解析 [(－2)2]21＝[(2)2]21＝ 2. 4.下列各式运算错误的是( ) A.(－a 2b )2·(－ab 2)3＝－a 7b 8 B.(－a 2b 3)3÷(－ab 2)3＝a 3b 3 C.(－a 3)2·(－b 2)3＝a 6b 6 D.[－(a 3)2·(－b 2)3]3＝a 18b 18.答案 C解析 直接运用指数幂的运算法则分别计算后选择.对于A ，(－a 2b )2·(－ab 2)3＝a 4b 2·(－a )3b 6＝－a 7·b 8，故正确.对于B ，(－a 2b 3)3÷(－ab 2)3＝－a 6b 9÷(－a 3b 6)＝a 6－3b 9－6＝a 3b 3，故正确.对于C ，(－a 3)2·(－b 2)3＝a 6·(－b 6)＝－a 6b 6，故C 项错误.对于D ，易知正确，故选C. 5.221-＋(－4)02＋12－1－(1－5)0·238＝________.答案 22－3 解析 原式＝12＋12＋2＋1－22＝22－3.1.掌握两个公式：(1)(na )n＝a ；(2)n 为奇数，na n＝a ，n 为偶数，na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a ＜0).2.根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解.。
数学人教B版必修1学案：3-1-1 实数指数幂及其运算 含
3.1.1 实数指数幂及其运算1．整数指数(1)一个数a 的n 次幂等于n 个a 的连乘积，即n n n a a a a a =⋅⋅⋅⋅个叫做a 的n 次幂，a叫做幂的底数，n 叫做幂的指数．并规定a 1＝a .(2)正整指数幂在a n 中，n 是正整数时，a n 叫做正整指数幂． 正整指数幂具有以下运算法则：①a m ·a n ＝a m ＋n ；②(a m )n ＝a mn；③a m an ＝a m －n (a ≠0，m ＞n )；④(ab )m ＝a m b m .其中m ，n ∈N＋.(3)整数指数幂在上述法则③中，限制了m ＞n ，如果取消这种限制，那么正整指数幂就推广到了整数指数幂．规定：①a 0＝1(a ≠0)；②a －n ＝1an (a ≠0，n ∈N ＋)．这样，上面的四条法则可以归纳为三条：①a m ·a n ＝a m ＋n ；②(ab )n ＝a n b n；③(a m )n ＝a mn .其中m ，n ∈Z .同时，将指数的范围由正整数扩大为整数．0的零次幂没有意义，0的负整数次幂也没有意义，因此对于整数指数幂，要求“底数不等于0”．【例1】化简：(a 2b 3)－2·(a 5b －2)0÷(a 4b 3)2.解：原式＝223246423286()()1=()()a b a b a b a b----⋅⋅⋅ ＝(a －4·a －8)·(b －6·b －6)＝a －12b －12. 2．根式如果存在实数x ，使得x n ＝a (a ∈R ，n ＞1，n ∈N ＋)，则x 叫做a 的n 次方根．求a 的n 次方根，叫做把a 开n 次方，称作开方运算．当n a 有意义时，式子na 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数．正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根．n 次方根具有以下性质：(1)在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数；(2)在实数范围内，正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，负数的偶次方根不存在；(3)零的任何次方根都是零．根式有两个重要性质：(1)(na )n ＝a (n ＞1，n ∈N ＋)，当n 为奇数时，a ∈R ，当n 为偶数时，a ≥0(a ＜0时无意义)；(2)n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |，n 为偶数.析规律 关于根式的知识总结正数开方要分清，根指奇偶大不同， 根指为奇根一个，根指为偶双胞生． 负数只有奇次根，算术方根零或正， 正数若求偶次根，符号相反值相同． 负数开方要慎重，根指为奇才可行， 根指为负无意义，零取方根仍为零．【例2－1】＝－a －1，则实数a 的取值范围是__________．解析：＝|a＋1|，∴|a＋1|＝－a－1＝－(a＋1)．∴a＋1≤0，即a≤－1. 答案：(－∞，－1]【例2－2】化简下列各式：；.解：(1)原式＝(－2)＋2|＋2)＝－2＋(2＋2)＝－2.(2)＝(1＋(1)＝辨误区根式运算应注意的问题利用na n的性质求值运算时，要注意n的奇偶性．特别地，当n为偶数时，要注意a的正负．3．分数指数幂(1)分数指数幂的意义正分数指数幂可定义为：①1na＝n a(a＞0)；②mna＝(n a)m＝n a m⎝⎛⎭⎫a＞0，n，m∈N＋，且mn为既约分数.负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相同，可定义为：1=mnmnaa-⎝⎛⎭⎫a＞0，n，m∈N＋，且mn为既约分数.提示：所谓既约分数，就是约分后化成最简形式的分数．感悟：1.规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理指数；2．mna与n a m表示相同的意义，所以分数指数幂与根式可以相互转化；3．通常规定分数指数幂的底数a＞0，但要注意在像14()a-＝4－a中的a，则需要a≤0.(2)有理指数幂的运算法则：①aαaβ＝aα＋β；②(aα)β＝aαβ；(3)(ab)α＝aαbα(其中a＞0，b＞0，α，β∈Q)．析规律有理指数幂的运算1．有理指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推广而来，可以用文字语言叙述为：(1)同底数幂相乘，底数不变，指数相加；(2)幂的幂，底数不变，指数相乘；(3)积的幂等于幂的积．2．乘法公式仍适用于有理指数幂的运算，例如：11112222()()a b a b+⋅-＝a－b(a＞0，b＞0)；111122222()2a b a b a b±=+±(a＞0，b＞0)．【例3－1】求值：(1)438-；(2)3481；(3)323-⎛⎫⎪⎝⎭；(4)2327125-⎛⎫⎪⎝⎭.解：(1)44433433318=(2)=2=2=16⎛⎫⨯--- ⎪-⎝⎭.(2)33344344481=(3)=3=3=27⨯.(3)332327==328-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(4)2223323332733325====1255559⎛⎫--⨯-- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.点技巧 有理指数幂运算时把根式转化为幂进行有理指数幂的运算要首先考虑利用幂的运算性质，而不要将幂转化为根式的运算，像238【例3－2】求下列各式的值：(1)1123331222x x x --⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2)2解：(1)原式＝11121333314222=14=12x x x x x x ----⋅-⋅--.(2)原式＝125222362132==a a a a a --⋅4．无理指数幂(1)一般地，无理指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数； (2)有理指数幂的运算性质同样适用于无理指数幂，即：①a α·a β＝a α＋β(a ＞0，α，β是无理数)； ②(a α)β＝a αβ(a ＞0，α，β是无理数)；③(ab )α＝a αb α(a ＞0，b ＞0，α是无理数)． 【例4】求值：(1)213328--⋅⋅；(2)12+解：(1)原式＝221333(22(2)--⋅⋅＝2322323222=2=2=8--+-⋅⋅. (2)原式＝12+52＋21＝27.5．指数幂(根式)的化简与计算化简、计算指数幂(根式)时，应注意以下几点：(1)运算顺序：先进行幂的运算，再进行乘除运算，最后进行加减运算，有括号的先算括号内的．(2)如果指数是小数，那么通常化为分数指数，这样可以随时检验运算的正确性，是常用的化简技巧．比如，(－3)2.1＝2110(3)-＝10(－3)21，由于(－3)21是一个负数，所以(－3)2.1无意义．(3)将其中的根式化为分数指数幂，利用指数幂的运算性质进行计算．比如，化简a a ，如果不将根式a化为指数幂，就很难完成化简：1131222==a a a a +⋅.(4)计算或化简的结果尽量最简，如果没有特殊要求，用正分数指数幂或根式来表示均可．析规律 多重根号化为有理指数幂此类问题应熟练应用na m＝m na ⎝⎛⎭⎫a ＞0，m ，n ∈N ＋，且mn 为既约分数.当各式中含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再利用指数运算法则化简．【例5－1】求下列各式的值：(1)121203170.027279--⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (2)11223412220.00154--⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(3)分析：结合指数幂的运算性质，应首先将小数化为分数，根式转化为指数幂的形式，负指数幂转化为正指数幂，再根据指数幂的运算性质求解．解：(1)原式＝11232227125105(1)1=491=4510007933---⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+--+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (2)原式＝112314111161=1=49100061015⎛⎫⎛⎫+⨯-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (3)原式＝11111111111113312636333236223123(32)=23332=2322-+++⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝2×3＝6.【例5－2】化简下列各式： (1)1373412a a a ；(2)131234()x y -；.解：(1)1137537334123412==a a a a a ++.(2)1133121212493344()==x yx yx y ⨯--⨯-.1125152331123336363442125364()===xy x y x y x yx yx y------⋅⋅⋅⋅⋅.辨误区 化简时注意运算顺序化简时要弄清开方、乘方等的运算顺序，同时注意运算性质及乘法公式的应用．6．知值求值问题已知代数式的值求其他代数式的值，通常又简称为“知值求值”，解决此类题目要从整体上把握已知的代数式和所求的代数式的特点，然后采取“整体代换．．．．”或“求值后代换”两种方法求值．要注意正确地变形，像平方、立方等以及一些公式的应用问题，还要注意开方时的取值符号问题．例如，已知1122=3a a-+，求下列各式的值：(1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2；(3)33221122a a a a----.显然，从已知条件中解出a 的值，然后再代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件1122=3a a-+的联系，进而整体代入求值．将1122=3a a-+两边平方，得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7.再将上式平方，有a2＋a－2＋2＝49，即a2＋a－2＝47.由于3311332222=()()a a a a----，所以有331111122222211112222()()=a a a a a a a aa a a a--------++⋅--＝a＋a－1＋1＝8.【例6－1】已知2x＋2－x＝5，求下列各式的值：(1)4x＋4－x；(2)8x＋8－x.解：(1)4x＋4－x＝(22)x＋(22)－x＝(2x)2＋(2－x)2＝(2x)2＋2·2x·2－x＋(2－x)2－2＝(2x＋2－x)2－2＝52－2＝23.(2)8x＋8－x＝(23)x＋(23)－x＝(2x)3＋(2－x)3＝(2x＋2－x)·[(2x)2－2x·2－x＋(2－x)2]＝(2x＋2－x)(4x＋4－x－1)＝5×(23－1)＝110.析规律平方在知值求值中的应用遇到式子中含有指数互为相反数的数，通常用平方进行解决，平方后观察条件和结论的关系，变形求解即可．本题中用到了两个公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab ＋b2)．【例6－2】已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a＞b＞0的值．分析：观察所求式子，将所求式子平方后出现了ab和a＋b的形式．又a，b为方程的两根，所以可利用根与系数的关系求解．解：由根与系数的关系可得=6,=4.a b ab+⎧⎨⎩∵a＞b＞0，>又∵221=105.5。
实数指数幂及运算法则教案
实数指数幂及运算法则教案一、教学目标1. 理解实数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的性质。
2. 掌握实数指数幂的运算法则，能够熟练进行相关计算。
3. 能够运用实数指数幂及运算法则解决实际问题。
二、教学重点与难点1. 教学重点：实数指数幂的概念，有理数指数幂的性质，实数指数幂的运算法则。
2. 教学难点：实数指数幂的运算法则的应用。
三、教学方法1. 采用讲授法，讲解实数指数幂的概念、性质和运算法则。
2. 利用例题解析，让学生掌握实数指数幂的运算方法。
3. 开展小组讨论，引导学生探索实数指数幂的运算法则的应用。
四、教学内容1. 实数指数幂的概念2. 有理数指数幂的性质3. 实数指数幂的运算法则4. 实数指数幂的运算法则在实际问题中的应用五、教学安排1. 第一课时：实数指数幂的概念、有理数指数幂的性质2. 第二课时：实数指数幂的运算法则、例题解析3. 第三课时：实数指数幂的运算法则的应用、小组讨论4. 第四课时：课堂小结、作业布置5. 第五课时：作业批改与讲解、课后辅导六、教学过程1. 导入新课：回顾上一节课的内容，引出实数指数幂的运算法则。
2. 讲解实数指数幂的运算法则：引导学生通过观察、分析、归纳实数指数幂的运算法则。
3. 例题解析：讲解典型例题，让学生掌握实数指数幂的运算方法。
4. 小组讨论：让学生探讨实数指数幂的运算法则的应用，分享解题心得。
5. 课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调实数指数幂的运算法则的重要性。
七、课后作业1. 复习实数指数幂的运算法则。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 思考实际问题，运用实数指数幂的运算法则解决问题。
八、作业批改与讲解1. 及时批改学生作业，了解学生掌握情况。
2. 针对学生作业中出现的问题，进行讲解和辅导。
3. 鼓励学生提问，解答学生心中的疑惑。
九、课后辅导1. 针对学习有困难的学生，进行个别辅导。
2. 组织课后讨论小组，帮助学生巩固实数指数幂的运算法则。
实数指数幂及运算法则教案
实数指数幂及运算法则教案一、教学目标1. 理解实数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质。
2. 掌握实数指数幂的运算法则，能够运用运算法则解决实际问题。
3. 培养学生的数学思维能力，提高学生的数学素养。
二、教学重点与难点1. 教学重点：实数指数幂的概念，有理数指数幂的运算性质，实数指数幂的运算法则。
2. 教学难点：实数指数幂的运算法则的应用。
三、教学方法采用问题驱动法、案例分析法、分组讨论法等多种教学方法，引导学生主动探究、合作学习，提高学生解决问题的能力。
四、教学准备1. 教师准备：实数指数幂的相关知识，运算法则的案例，教学PPT等。
2. 学生准备：预习实数指数幂的相关知识，准备好笔记本。
五、教学过程1. 导入新课教师通过复习实数的基本概念，引导学生进入实数指数幂的学习。
2. 知识讲解（1）实数指数幂的概念教师讲解实数指数幂的定义，引导学生理解指数幂的意义。
（2）有理数指数幂的运算性质教师讲解有理数指数幂的运算性质，引导学生掌握运算规律。
（3）实数指数幂的运算法则教师讲解实数指数幂的运算法则，引导学生掌握运算法则。
3. 案例分析教师展示实数指数幂的运算案例，引导学生运用运算法则解决问题。
4. 课堂练习教师布置课堂练习题，学生独立完成，教师进行讲解和辅导。
5. 总结与拓展教师对本节课的知识进行总结，引导学生思考实数指数幂在实际问题中的应用。
6. 课后作业教师布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学反思教师在课后对教学情况进行反思，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学效果。
七、教学评价通过课堂表现、课后作业和课堂练习，评价学生对实数指数幂及运算法则的掌握程度。
八、教学时间本节课计划用2课时完成。
九、教学资源1. 教学PPT2. 实数指数幂的案例分析资料3. 课堂练习题十、教学拓展引导学生学习实数指数幂在实际问题中的应用，如科学计算、经济学等领域。
六、教学活动设计1. 导入新课：通过复习实数的乘方概念，引导学生自然过渡到实数指数幂的学习。
高中数学(人教B版)必修第二册：实数指数幂及其运算【精品课件】
(2)原式= ( − 1)2 − ( + 3)2 = | − 1| − | + 3|.
∵ −3 < < 3,∴当−3 < < 1时,原式= −( − 1) − ( + 3) = −2 − 2;
当1 ≤ < 3时,原式= ( − 1) − ( + 3) = −4.
∴a,b,c均不为1.∴1<a≤b≤c.又70=2×5×7,∴a=2,b=5,c=7
随堂小测
3
1.计算 (2 − π)3 + (3 − π)2 的值为(
A.5
B.-1
3
解析
B
D.5-2π
C.2π-5
)
(2 − π)3 + (3 − π)2 = 2 − π + π − 3 = −1.
2.下列各式正确的是( D )
∴原式=
−2 − 2, −3 < < 1,
−4,1 ≤ < 3.
反思感悟
(1)化简 时,首先明确根指数是奇数还是偶数,然后依据根式的性质进行化简;化简( )时,关键是明确
是否有意义,只要 有意义,则( ) = .
(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的取值范围,即确定
÷
=
−
,
=
.
2.在幂和根式的化简运算中,一般将根式化为分数指数幂的形式,再利用幂的运算性质进行计算.
即时巩固
下列运算中正确的是( D )
A.a2·a3=a6
B.(-a2)3=(-a3)2
【三维设计】高中数学 教师用书 第1部分 第三章 3.1.1 实数指数幂及其运算课件 新人教版B版必
2 3
b
16 3 3 ＝(10a)4·(10b)－23＝24·3－23＝ 3 .
(1)在根式的化简与运算中，一般是先将根式化成 分数指数幂，再进行运算．
(2)幂的运算中，结果不能同时含有根号和分数指 数幂，也不能同时含有分母和负分数指数幂.若无特 殊说明，结果一般用分数指数幂的形式表示．
2
5．计算(2a－3b－3)·(－3a－1b)÷(4a－4b－35)得
()
A．－32b2
B.32b2
C．－32b73
D.32b37
解析：原式＝[2×(－3)÷4]a－3－1－(－4)b－32＋1－(－53)
＝－32a0b2＝－32b2.
答案：A
6．已知a＋a－1＝5，则a2＋a－2＝________． 解析：法一：由a＋a－1＝5两边平方得 a2＋2aa－1＋a－2＝25， 即a2＋a－2＝23. 法二：a2＋a－2＝a2＋2aa－1＋a－2－2aa－1 ＝(a＋a－1)2－2＝25－2＝23. 答案：23
1．化简( a－1)2＋ （1－a）2＋ 3 (1 a)3 ＝________．
解析：由题意得a－1≥0，即a≥1. ∴原式＝a－1＋|1－a|＋1－a
＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1. 答案：a－1
2．计算下列各式的值： (1) 3 (4)3 ； (2) 4 (9)2 ； (3) 6 (3 )6 ； (4) 8 ( x 2)8 .
2．根式的意义和性质
n
当式子n a有意义时， a 叫做根式，n 叫做根指数． 根式的性质：
n
(1)(
a)n＝
a
(n>1，且
n∈N＋)；
n
(2)
an＝
a， |a| ，
高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算教案新人教B版必修1
3。
1。
1 实数指数幂及其运算错误!教学分析在初中,学生已了解了整数指数幂的概念和运算性质．从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义,从而把整数指数推广到分数指数,进而推广到有理数指数幂,再推广到无理指数幂,并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂．本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)等，同时，充分关注与实际问题的结合,体现数学的应用价值．根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持．三维目标1．通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念,进而学习指数幂的性质．2．掌握分数指数幂和根式之间的互化,掌握分数指数幂的运算性质．培养学生观察分析、抽象类比的能力．3．掌握根式与分数指数幂的互化,渗透“转化"的数学思想．通过运算训练，养成学生严谨治学、一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理．4．能熟练地运用实数指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力．重点难点教学重点：(1)分数指数幂和根式概念的理解．(2）掌握并运用分数指数幂的运算性质．(3）运用实数指数幂性质进行化简、求值．教学难点:(1）分数指数幂及根式概念的理解．（2)实数指数幂性质的灵活应用．课时安排2课时错误!第1课时导入新课思路1.碳14测年法．原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14,并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织,先为植物吸收,再为动物吸收，只要植物和动物生存着，它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平．而当有机体死亡后，即会停止吸收碳14，其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并消失．对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量，便可推断其年代（半衰期：经过一定的时间，变为原来的一半)．引出本节课题．思路 2.同学们，我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的．这就是本节的主讲内容,教师板书本节课题．推进新课错误!提出问题错误!讨论结果:（1）整数指数幂的运算性质:a n＝a·a·a·…·a，a0＝1（a≠0)；00无意义;a－n＝错误!(a≠0）；a m·a n＝a m＋n；（a m）n＝a mn;(a n）m＝a mn；（ab）n＝a n b n.其中n、m∈N＋.(2)①a2是a10的5次方根;②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根;④a5是a10的2次方根．实质上①错误!＝a错误!，②错误!＝a错误!,③错误!＝a错误!，④错误!＝a错误!结果的a的指数是2，4,3,5分别写成了错误!，错误!,错误!，错误!,形式上变了，本质没变．根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式）．(3)利用（2）的规律,错误!＝5错误!，错误!＝7错误!,错误!＝a错误!,错误!＝x错误!。
人教版高中必修1(B版)3.1.1实数指数幂及其运算教学设计
人教版高中必修1(B版)3.1.1实数指数幂及其运算教学设计一、教学目标•掌握实数指数幂的概念•熟练掌握实数指数幂的运算方法•能够解决实际问题中的运算问题二、教学重难点教学重点•实数指数幂的概念•实数指数幂的运算方法教学难点•运用实数指数幂解决实际问题三、教学内容1.实数指数幂的概念2.实数指数幂的运算方法四、教学步骤第一步：引入实数指数幂通过引入一道具体问题，引导学生了解实数指数幂的概念。
例如：一张面积为1平方米的圆形纸片折成相等的两半，再将其中一个部分继续折成相等的两半，不断折下去，直到最后纸片的面积只剩下了1/1024平方米，问这张纸片折了几次？学生根据已知条件推理出实数指数幂的概念。
第二步：讲解实数指数幂的概念通过引入具体案例，对实数指数幂的概念进行详细讲解。
例如：若正整数a>1，x为实数，则a的x次方就是x个a相乘得到的积，记作a^x。
第三步：讲解实数指数幂的运算方法引入具体运算方式，对实数指数幂的运算方法进行讲解。
例如：a^x*a y=a(x+y)a x/a y=a^(x-y)(a x)y=a^(xy)第四步：举例操作通过实例展示具体的运算过程，引导学生应用实数指数幂的运算方法。
例如：计算2^3*2^(-1)2^3*2(-1)=2(3-1)=2^2=4第五步：练习巩固让学生进行相关的练习和巩固，加深对实数指数幂的理解。
例如：计算下面的值：(1)5^(-2)*10^(3)(2)(1/3)^2*(2/3)^(-3)五、教学方法案例法通过实例引导学生了解实数指数幂的概念。
讲解法让学生了解实数指数幂的运算方法。
实践操作让学生通过练习和操作巩固所学内容。
六、教学时长本次教学所需时间约为2个课时。
七、教学评价针对学生的学习情况，进行适时的小结和评价。
例如：通过课堂互动和练习，学生对实数指数幂的概念和运算方法进行了深入的了解和掌握，课堂效果良好。
高中数学 实数指数幂及其运算学案 新人教B版必修1
2020年高中数学 实数指数幂及其运算学案 新人教B 版必修1一、三维目标：1.掌握实数指数幂的拓展过程过程中的不变性质。
2.掌握根式和有理数指数幂的意义3.注意指数幂的拓展过程中的底数的约束条件 二、学习重、难点：重点：实数指数幂的运算和底数的限制条件；难点：实数指数幂的运算；一、正整数指数幂（复习）：1．()na n N +∈的意义： n na a aa =⋅2．()na n N +∈的运算：（1）m n m na a a+⋅= （2）()m n m na a⋅=（3）(,0)m m n n a a m n a a-=>≠ （4）()m m ma b a b ⋅=⋅二、负整数指数幂（拓展）：规定： 01(0)a a =≠ 1(0)nna a a -=≠ 三、分数指数：1．复习：问题： 2x a = 3x a = 则x 的取值是什么？ 2．拓展：如果存在实数x ，使得nx a =(,1,)a R n n N +∈>∈，则x 叫做a 的n 次方根；求a 的n 次方根，叫做把a 开n 次方，称作开方运算， 正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根。
n 叫做根指数。
3．根式性质：(1) (1,)n a n n N +=>∈a n a n ⎧=⎨-⎩，当为正奇数时，当为正偶数时4．分数指数幂（有理指数幂）： （1）正分数指数幂：10)n a a =>0,,,)m nma a n m N n+=>∈且为既约分数 （2）负分数指数幂：1(0,,,)m nm nmaa n m N na-+=>∈且为既约分数 5、有理指数幂运算法则：0,0a b >>，,αβ是有理数 (1) aa a αβαβ+⋅= (2) ()a a αβαβ⋅= (3) ()a b a b ααα⋅=⋅四、无理指数幂：1、0,0a b >>，,αβ是无理数 (1) aa a αβαβ+⋅= (2) ()a a αβαβ⋅= (3) ()a b a b ααα⋅=⋅2、实数指数幂： 0,0a b >>，,αβ是实数(1) aa a αβαβ+⋅= (2) ()a a αβαβ⋅= (3) ()a b a b ααα⋅=⋅一、典型例题：例1、化简下列各式：（1）()03.14π- （2）512-⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）()42x - （4）13()()a ab b -（5）()32212339a b a b a b -----⋅⋅-例2、（根式）求下列各式的值： （1） 21.53(0.027)-； （2（3（4（52 （6）（7）)0(322>⋅a aa a例3、计算下列各式：（1）1020.5231(2)2(2)(0.01)54--+⋅-（2）141030.753327(0.064)()[(2)]16|0.01|8-----+-+--例4、根据条件求值 1、 已知32121=+-aa ，求下列各式的值。
高中数学人教B版必修一课件3.1.1实数指数幂及其运算(42张PPT)
(1)(n a)n＝___a___(n＞1，且 n∈N*)；
n (2)
an＝
a n为奇数， |a| n为偶数.
5．分数指数幂的运算法则
1
(1)an
n ＝____a____(a＞0)；
m
(2)a n
＝__(_n_a_)_m__＝____n_a_m__(a＞0，m、n∈N*，且mn 为既
约分数)；
m
(3)a－ n
＝____(a＞0，m、n∈N*，且mn 为既约分数)．
预习效果展示
1.如果 a＞0，b＞0，m、n 都是有理数，则下列各式错误的
是( )
A．(am)－n＝a－mn
B．ama－n＝am－n
C．(ab)n＝an·b－n [答案] D
D．am＋an＝am＋n
[解析] 根据有理指数幂的运算法则可知选项D错误．
3.1 指数与指数函数 第三章
3.1.1 实数指数幂及其运算 第三章
课前自主预习
情境引入导学
2010年11月1日，全国人口普查全面展开，而2000年我国 约有13亿人口．我国政府现在实行计划生育政策，人口年增 长率较低．若按年增长率1%计算，到2010年底，我国人口将 增加多少？到2020年底，我国人口总数将达到多少？如果我 们放开计划生育政策，年增长率是2%，甚至是5%，那么结果 将会是怎样的呢？会带来灾难性后果吗？
×－760＋80.25×4 2＋(3 2×
3)6－
－3223；
(2) a3b2·3 ab2 (a＞b，b＞0)．
4 a
3 b4·
b a
[解析]
(1)原式＝3213
3
＋24
1
×24
＋22×33－3213
2011年高一数学教案3.1.1《实数指数幂及其运算》(新人教B版必修1)
例：对于正整数 和非零实数 ，若 ， ，求 的值。
4. ，求
解：
课堂练习
教师打印的习题
课后作业
复习课上所讲习题、教材完全解读相应习题
课后记
本节课教学计划完成情况：照常完成□提前完成□延后完成□照常完成
学生接受程度：完全能接受□部分能接受□不能接受□部分能接受
学生的课堂表现：很积极□比较积极□一般□不积极□比较积极
教学过程
教师活动
学生活动
一、简单回顾上节课知识内容，并检查作业
二、讲授新课
（一）整数指数、分数指数幂
有理指数幂的运算性质：
； ； （ ）
例1：计算下列各式，并把结果化为只含正整数指数的形式（式子中的 ）
（1）
（2）
例2：化简下列各式
（1） （2） （3）
（4）
(二)带有附加条件的求值问题
例1：（1） （常数）， 的值。
学生上次作业完成情况：数量70%完成质量70分存在问题忘记解题思路
配合需求：家长督促学生认真复习，督促学生及时完成作业，课下多做习题。
学管师督促学生认真复习，督促学生及时完成作业，课下多做习题。
备注
一、回顾上节课知识，检查作业
二、学习新课
三、练习
1.化简
解： =
2. ，化简
解：
3. 有意义，化简 。
解：因为 有意义，
所以 。
教学过程
教师活动
学生活动
（2） ，且 ，求 的值。
例2：已知函数 。
（1）求 的值；
（2）设 ，求 的值。
（三）幂的综合问题
解决幂的综合问题时，首先要善于观察、分析，并对它进行适当地加工、处理、变形，以创造运用公式和幂的有关性质和条件，然后再进行化简、求值即可；其次，要注意方程思想、整体思想、
高中数学3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算课件新人教b必修1
设 a＞0，b＞0，对任意有理数 α，β，有理指数幂有
如下三条运算法则：
aαaβ＝_a_α_＋_β ；(aα)β＝_a_α_β_；(ab)α＝_a_αb_α_.
[点睛]
分数指数幂
m
an
不可以理解为mn 个
a
相乘．
[小试身手]
1．判断．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任意实数的奇次方根只有一个．
2．根式
(1)当式子n a有意义时，n a叫做根式，n 叫做根指数． (2)根式的性质：
①(n a)n＝a(n＞1，且 n∈N＋)；
②n an＝a|a，|，当当nn为为奇偶数数时时，.
n
[点睛] ( a)n 中当 n 为奇数时，a∈R；n 为偶数时，a≥0，
n
而 an中 a∈R.
3．分数指数幂
[新知初探]
1．a 的 n 次方根的概念与性质 (1)a 的 n 次方根的意义： 如果_存 __在 __实 ___数__x_，使得 xn＝a(a∈R，n＞1，n∈N＋)， 则 x 叫做 a 的 n 次方根．求 a 的 n 次方根，叫做把 a 开 n 次方，称作_开__方__运__算__．
(2)a 的 n 次方根的性质： ①正数 a 的偶次方根有两个，它们_互__为__相__反__数__，分别表
3.1
指数与指数函数
3．1.1 实数指数幂及其运算
预习课本 P85～89，思考并完成以下问题
(1)n 次方根是怎样定义的？ (2)根式的定义是什么？它有哪些性质？ (3)有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？ (4)根式与分数指数幂的互化遵循哪些规律？ (5)如何利用分数指数幂的运算性质进行化简？
示为_n__a_，__－__n__a_ (a＞0，n 为偶数)； ②负数的偶次方根在实数范围内_不__存__在__； ③正数的奇次方根是一个_正__数__，负数的奇次方根是一个
数学人教B版必修1学案：3-1-1 实数指数幂及其运算 1
数学人教B 必修1第三章3.1.1 实数指数幂及其运算1．理解有理指数幂的含义，会用幂的运算法则进行有关计算． 2．通过具体实例了解实数指数幂的意义．3．通过本节的学习，进一步体会“用有理数逼近无理数”的思想，可以利用计算器或计算机实际操作，感受“逼近”的过程．1．整数指数幂(1)正整指数幂的定义：______＝n a a a a ⋅⋅⋅⋅个(n ∈N ＋)． (2)正整指数幂的运算法则： ①a m ·a n ＝______； ②(a m )n ＝______；③a m ÷a n ＝____________(m ＞n ，a ≠0)； ④(ab )n ＝________； ⑤⎝⎛⎭⎫a b n ＝a n bn (b ≠0)．在上述法则③中，限定m ＞n ，如果取消这种限制，则正整指数幂就推广到了整数指数幂．但要规定a 0＝1(a ≠0)．a －n ＝1an (a ≠0，n ∈N ＋)．这样一来，上面的五条运算法则就可以归纳为三条：①a m ·a n ＝______； ②(ab )n ＝______； ③(a m )n ＝______.同时，将指数的范围扩大到了整数．【做一做1】已知a ＞0，m ，n 为整数，则下列各式中正确的有( ) A ．a m÷a n＝mnaB ．a n ·a m ＝a m ·nC ．(a n )m ＝a m ＋nD ．1÷a n ＝a 0－n 2．根式(1)根式的定义：式子______叫做根式，这里n 叫做________，a 叫做________．(2)n 次方根的定义：如果存在实数x ，使得______(a ∈R ，n ＞1，n ∈N ＋)，则____叫做____的n 次方根．(3)n 次方根的性质：①在实数范围内，正数的奇次方根是一个______，负数的奇次方根是一个______，零的奇次方根是____．设a ∈R ，n 是大于1的奇数，则a 的n 次方根是________．②在实数范围内，正数的偶次方根是________________的数，零的偶次方根是______，负数的偶次方根________．设a ≥0，n 是大于1的偶数，则a 的n 次方根是________．其中________叫做a 的n 次算术根．(4)根式的性质：①(na )n ＝____(n ＞1，且n ∈N ＋)；②n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧，当n 为奇数时， ，当n 为偶数时.正数开方要分清，根指奇偶大不同，根指为奇根一个，根指为偶双胞生． 负数只有奇次根，算术方根零或正， 正数若求偶次根，符号相反值相同． 负数开方要慎重，根指为奇才可行， 根指为偶无意义，零取方根仍为零．【做一做2】计算3(－8)3＋4(3－2)4－(2－3)2＝________. 3．分数指数幂(1)如不特别说明，我们约定底数a ＞0.于是，正分数指数幂可定义为1na =________(a ＞0)；m na =________(a ＞0，m ，n ∈N ＋，且mn 为既约分数)．负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相同，同样可定义为m na-=________(a ＞0，m ，n ∈N ＋，且mn为既约分数)．(2)有理指数幂的运算法则：①a αa β＝a α＋β(a ＞0，α，β∈Q )； ②(a α)β＝a αβ(a ＞0，α，β∈Q )；③(ab )α＝a αb α(a ＞0，b ＞0，α∈Q )．0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义，有理指数幂的三条运算法则实际上可推广到实数指数幂．【做一做3－1】把根式a a 化成分数指数幂是( )A ．32()a -B ．32()a -- C ．32a - D ．32a【做一做3－2】计算：23×31.5×612. 4．无理指数幂教材中通过实例利用______的思想理解无理指数幂的意义． 一般地，无理指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数． 另外，我们要熟记经常要用的公式：(1)a －b ＝(a －b )(a ＋b )(a ＞0，b ＞0)； (2)a ±2ab ＋b ＝(a ±b )2(a ＞0，b ＞0)． 【做一做4】判断正误： (1)23是一个有理数．( )(2)23不是一个确定的数，而是一个近似值．( ) (3)23没有意义．( ) (4)23是一个实数．( )一、辨析(n a )n 和na n剖析：(na )n 是实数a 的n 次方根的n 次幂，其中实数a 的取值由n 的奇偶性来决定： ①当n 为大于1的奇数时，a ∈R .例如，(327)3＝27，(5－32)5＝－32，(70)7＝0； ②当n 为大于1的偶数时，a ≥0.例如，(427)4＝27，(3)2＝3，(60)6＝0；若a ＜0，式子(na )n 无意义，例如，(－2)2，(4－54)4均无意义．由此只要(n a )n 有意义，其值恒等于a ，即(na )n ＝a .na n 是实数a n 的n 次方根，是一个恒有意义的式子，不受n 的奇偶性限制，a ∈R .但是这个式子的值受n 的奇偶性限制：①当n 为大于1的奇数时，其值为a ，即n a n ＝a ，例如，3(－2)3＝－2，56.15＝6.1； ②当n 为大于1的偶数时，其值为|a |，即n a n ＝|a |.例如，434＝3，(－3)2＝|－3|＝3.由此n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n ＝2k －1，k ∈N ＋，且k >1，|a |，n ＝2k ，k ∈N ＋.二、根式与分数指数幂互化的条件探究 剖析：(1)引入分数指数幂之后，任何有意义的根式都能化成分数指数幂，即na ＝1na ，这时被开方数a 即是分数指数幂的底数，根指数的倒数即是分数指数幂的幂指数，显然1na 是m na 当m ＝1时的特例．(2)分数指数幂的意义来源于根式，而要使na m 对任意的n ∈N ＋且n ＞1都有意义，必须限定a ＞0，否则，当a ＝0时，若m ＝0或mn 为分母是偶数的负分数，mn a 没有意义；当a ＜0时，若m 为奇数，n 为偶数，m na 没有意义．(3)我们可以从一实例看看为什么会加上这个限制条件，如：－3＝3－27＝1236(27)(27)-=-6(－27)2＝6729＝3.为什么会出现－3＝3这种情况？看看错在了哪里？因为这里的－3＜0，在1236(27)(27)-=-中发生了错误，分数的分子、分母扩大相同的倍数分数值不变，有这个性质，必须限制条件“a ＞0”或“a ＞0，b ＞0”．在进行幂和根式的化简时，一般是先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，且尽可能地统一成分数指数幂的形式，再利用幂的性质进行化简、求值、计算，以利于运算，达到化繁为简的目的．对于根式计算结果，并不强求统一的表示形式，一般用分数指数幂的形式来表示．如果有特殊要求，则按要求给出结果，但结果中不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既含有分母又含有负指数，即结果必须化为最简形式．题型一 简单的指数幂运算 【例1】计算：(1)2312527-⎛⎫⎪⎝⎭； (2)230.008-； (3)34812401-⎛⎫⎪⎝⎭；(4)(2a ＋1)0； (5)⎣⎡⎦⎤56－⎝⎛⎭⎫35－1－1.分析：在幂的运算中，首先观察幂的底数，如果幂的底数能化成幂的形式时(如(1)(2)(3))，就先把幂的底数写成幂的形式，再进行幂的乘、除、乘方、开方运算，这样比较简便．在幂的运算中，对于形如m 0的式子，要注意对底数m 是否为零进行讨论，因为只有在m ≠0时，m 0才有意义；而对于形如⎝⎛⎭⎫b a －n 的式子，我们一般是先变形为⎝⎛⎭⎫a b n ，然后再进行运算．反思：在进行有关幂的运算时，要注意化归思想的运用；另外化繁为简一直是我们解题的一条基本原则．熟悉幂的运算条件和幂的运算性质是正确解题的关键．题型二 利用根式的性质化简根式 【例2】化简下列各式：(1)3a 3； (2)2 010(x －4)2 010； (3)a 6； (4)2 011(x －7)2 011.分析：根据n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |，n 为偶数来化简．反思：通过对本题的解答，大家一定要注意区分好n a n 与(na )n 的形式，并且要建立分类讨论的思想意识．题型三 根式与分数指数幂的互化【例3】(1)把2112 011-化为根式为__________；(2)把13x (5x 2)2(x ≠0)化为分数指数幂的形式为__________；(3)把23-(b ＞0)化为分数指数幂的形式为__________．反思：通过本例题，我们能得到如下结论：(1)分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法，分数指数幂与根式可以相互转化．(2)当所求根式含有多重根号时，由里向外用分数指数幂形式写出，然后再用性质进行化简．题型四 整体代入法求值【例4】已知11223a a-+=，求a ＋a －1，a 2＋a －2的值．分析：本题主要考查分数指数幂及其应用．观察到11221a a -=，对已知等式两边平方即可求解．反思：本题是已知代数式的值求其他代数式的值，通常又简称为“知值求值”．解决此类题目要从整体上把握已知的代数式和所求的代数式的特点，常以整体代入来求值．【例5】已知x ＋y ＝12，xy ＝9，且x ＜y ，求11221122x y x y-+的值．分析：此题不宜采用直接求值的方法，要考虑把x ＋y 及xy 整体代入求值．反思：整体代入法在条件求值中非常重要，也是高中数学中一种重要的解题方法．在此题的解题过程中，不宜求出x ，y 后再代入，而应考虑把x ＋y 及xy 整体代入求值．1下列等式中一定成立的有( ) ①36a 3＝2a ；②3－2＝6(－2)2； ③－342＝4(－3)4×2.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2当2－x 有意义时，化简x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9的结果为( ) A ．2x －5 B ．－2x －1 C ．－1 D ．5－2x 3求下列各式的值：(1)(325－125)÷45；(2)a 3a ·5a 3(a ＞0)．答案： 基础知识·梳理1．(1)a n(2)①a m ＋n ②a mn ③a m －n ④a n b n ①a m ＋n ②a n b n ③a mn【做一做1】D 只有选项D 是按照幂的运算法则进行的．选项A 应为a m －n ，选项B 应为a m ＋n ，选项C 应为a mn .2．(1)n a 根指数 被开方数 (2)x n ＝a x a (3)①正数 负数 零 n a ②两个绝对值相等符号相反 零 没有意义 ±n a na (4)①a ②a |a |【做一做2】－8 原式＝－8＋|3－2|－(2－3)＝－8＋2－3－2＋3＝－8.3．(1)n a n a m 1m na【做一做3－1】D【做一做3－2】解：23×31.5×612＝1113262323(32)2⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭＝1111113323623236-+++⨯=⨯=. 4．逼近【做一做4】(1)× (2)× (3)× (4)√ 典型例题·领悟【例1】解：(1)2233331255273--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝5－23－2＝3252＝925. (2)2223223310.008(0.2)0.25255----⎛⎫===== ⎪⎝⎭.(3) 33444481324017--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝3－37－3＝7333＝34327. (4)(2a ＋1)0＝⎩⎨⎧1， a ≠－12，无意义， a ＝－12.(5)⎣⎡⎦⎤56－⎝⎛⎭⎫35－1－1＝⎝⎛⎭⎫56－53－1＝⎝⎛⎭⎫－56－1＝－65. 【例2】解：(1)3a 3＝a .(2)2 010(x －4)2 010＝|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥4，4－x ，x <4.(3)a 6＝(a 3)2＝|a 3|＝⎩⎪⎨⎪⎧a 3，a ≥0，－a 3，a <0.(4)2 011(x －7)2 011＝x －7.【例3】(1)1112 0112(2)35x- (3)19b利用m na=a ＞0，m ，n ∈N ＋，且mn 为既约分数)和1m nm na a-=(a ＞0，m ，n ∈N ＋，且mn 为既约分数)转化即可．(1)原式＝12 011211＝1112 0112；(2)==＝3591353511()x x x-==.(3)原式＝2221211()3334394[()]b bb ---⨯⨯-==.【例4】解：∵11223a a-+=，∴211229a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∴a ＋2＋a －1＝9.∴a ＋a －1＝7.∴(a ＋a －1)2＝49，∴a 2＋2＋a －2＝49.∴a 2＋a －2＝47.【例5】解：211221122111111222222x y x y x y x y x y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭=⎛⎫⎛⎫++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝12()2()x y xy x y+--.①∵x ＋y ＝12，xy ＝9，②∴(x －y )2＝(x ＋y )2－4xy ＝122－4×9＝108. ∵x ＜y ，∴x －y ＝－6 3.③ 将式②③代入式①，得111222112293x y x y-==-+.随堂练习·巩固1．A 36a 3＝36·a ≠2a ；3－2＜0，而6(－2)2＞0；－342＜0，而4(－3)4×2＞0. 2．C 由2－x 有意义，得x ≤2，∴原式＝(x －2)2－(x －3)2＝|x －2|－|x －3|＝2－x －(3－x )＝－1.3．解：(1)原式＝23 23132 3241455 (55)55--÷=＝213155 3424124 5555 ---=-.(2)原式＝1319 3325103152aa aa a--==⋅.。
高中数学 3.1 指数与指数函数 3.1.1 实数指数幂及其运算导学案(无答案)
3。
1。
1 实数指数幂及其运算学习目标：掌握实数指数幂的拓展过程过程中的不变性质。
掌握根式和有理数指数幂的意义注意指数幂的拓展过程中的底数的约束条件 学习重点:实数指数幂的运算和底数的限制条件 学习难点：实数指数幂的运算 学习过程：一、正整数指数幂（复习)：1．()n a n N +∈的意义： n na a aa =⋅2．()n a n N +∈的运算：（1）m n m n a a a +⋅= （2）()m nm na a⋅=（3）(,0)m m n n a a m n a a-=>≠ (4）()m m ma b a b ⋅=⋅二、负整数指数幂（拓展）:规定： 01(0)a a =≠ 1(0)n n a a a-=≠ 三、分数指数：1．复习：问题： 2x a = 3x a = 则x 的取值是什么？ 2．拓展：如果存在实数x ,使得n x a =(,1,)a R n n N +∈>∈，则x 叫做a 的n 次方根; 求a 的n 次方根，叫做把a 开n 次方，称作开方运算， 正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根。
有意义时叫做根式，n 叫做根指数。
3．根式性质：（1）(1,)na n n N +=>∈ （2）a n a n ⎧=⎨-⎩，当为正奇数时，当为正偶数时4．分数指数幂(有理指数幂）：（1）正分数指数幂：10)n a a =>0,,,)m nma a n m N n+=>∈且为既约分数 （2）负分数指数幂：1(0,,,)m nm nmaa n m N na-+=>∈且为既约分数 5、有理指数幂运算法则：0,0a b >>，,αβ是有理数 (1） aa a αβαβ+⋅= （2) ()a a αβαβ⋅= (3) ()a b a b ααα⋅=⋅四、无理指数幂:1、0,0a b >>，,αβ是无理数 (1） aa a αβαβ+⋅= (2) ()a a αβαβ⋅= （3） ()a b a b ααα⋅=⋅2、实数指数幂： 0,0a b >>，,αβ是实数(1) aa a αβαβ+⋅= (2) ()a a αβαβ⋅= (3） ()a b a b ααα⋅=⋅五、典型例题:例1、（整数指数幂)化简下列各式：（1）()03.14π- (2）512-⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）()42x -(4)))10922+-（5)()32212339a b a b a b-----⋅⋅- （6）()()()()33334411aa a a aa a a----+-++-练习： 一组：（1）57x x (2）232(2)a b --- (3）23(2)()x x -- （4）13()()a ab b- （5）2222(2)()a a a a ---+÷- （6）2222()()x y x y ---÷-二组：（1)若,m n Z ∈,满足5m a =，15n b=，则25m n -= .（2)已知21na=+,*()n N ∈,则33n nn na a a a ---=-（3）已知11a a --=，则66a a -+的值为 例2、（根式）求下列各式的值：(1 （2（3 （4)a b <练习：求下列各式的值(1)（2(3） 63⋅ （4）若42xa=，求x xxxa a a a--+-例3(3a =-成立的实数a 的取值范围=，求实数a 的取值范围 例4．（有理指数幂）计算下列各式：（1）1020.5231(2)2(2)(0.01)54--+⋅-(2）20.520371037(2)0.1(2)392748π--++-+（3)141030.753327(0.064)()[(2)]16|0.01|8-----+-+--(4）2110323(3)(0.002)2)8----+--+练习:计算下列各式：（1）0212121236253----⨯⨯⨯-； （2)-;（3）12113142[(1](111212----+÷ （4）2111333324()3a b a b ---÷-例5．(1)已知0x >，0y >，化简y xy x x y y x（2）已知22()xxa -+=常数,求88x x -+的值练习： （1）设0x >，0y >yyx x--=，求y y x x -+的值小结：1、根式和根式的性质:2、指数幂的拓展:3、实数指数幂的运算律：4、实数指数幂的运算律的应用攀上山峰，见识险峰，你的人生中，也许你就会有苍松不惧风吹和不惧雨打的大无畏精神,也许就会有腊梅的凌寒独自开的气魄，也许就会有春天的百花争艳的画卷，也许就会有钢铁般的意志.。
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3.1.1实数指数幂及其运算（2）
【学习目标要求】要求学生理解分数指数幂的概念和性质，根式和分数指数幂的互化，实数
指数幂的概念和性质，并会进行相关运算。
【知识再现】1 ① 当n =；
② 当n a ⎧
==⎨⎩
（要注意分清n 是偶数还是奇数)
2 整数数指数幂的性质（1） ，
（2） ，（3） 。
（4） 。
3 如果存在实数x ，使得(,1,)n x a a R n n N +=∈>∈，则x 叫作 。
求a 的n 次方根，叫作把a 开n 次方，称作 。
4规定正分数指数幂的定义是：（1） （2） 。
规定负分数指数幂的定义是： 。
规定0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂和0次幂 。
规定了分数指数幂以后，指数的概念也就从整数指数扩展到了 指数。
5 有理指数幂的运算性质有：（1） （2）
（3） 。
【概念探究】阅读教材86页88页例题1以前，思考并完成以下问题
1分数指数幂是根式的另一种表示，根式的运算可利用 之间的关系转化为分数指数幂的运算．对于问题计算化简的结果，不强求统一用何种形式来表示．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
2 为什么有理指数幂可以扩展到无理指数幂？
例题
例1 化简：332
b a a b b
a
练习：（1
例2：已知：221
21
=+-a a 求下列各式的值
（1）22-+a a ；（2）33-+a a ；（3）44-+a a .
练习：
已知12,9x y xy +==，且x y <，求11221
122x y
x y -+的值。
【课堂检测】
1 下列运算正确的是（ ）
A 2332()()a a -=-
B 235()a a -=-
C 235()a a -=
D 236()a a -=- 2 下列说法正确的是（ ）
A -2是16的四次方根
B 正数的n 次方根有两个
C a 的n
D a =
3 下列各式成立的是（ ） A 7177n n m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭ B
= C
34()x y =+ D
=
4. （1）4325)12525(÷-
（22
a＞0）
5. 化简
2115
11
3366
22
1
()(3)()
3
a b a b a b
-÷，(0)
b≠
6. 0
=，求x y。