山东省滨州市中考数学复习 第六章 圆 第21讲 与圆有关的计算课件.pptx
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B 画图如下，由正方形的性质、垂径定理，可得OE＝AE＝3， OA＝
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猜押预测►1.外接圆半径相等的正三角形和正六边形边长的比 为( )
C 设外接圆的半径为R，如图，连接OA，OB，则OB⊥AC.∵OA ＝R，∠OAG＝30°，∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形， AG＝OA·cos30°＝ R.∴AB＝R，AC＝2AG＝ R.∴外接圆半 径相等的正三角形、正六边形的边长之比为 R∶R＝ ∶1.
7
【自主解答】
(1)∵∠D＝60°，
∴∠B＝60°(圆周角定理)．
又∵OB＝OC，∴△OBC为等边三角形．
∴BC＝OB＝
1 2
AB＝3.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∵OE⊥AC，∴OE∥BC.
又∵点O是AB中点，
∴OE是△ABC的中位线．
8
技法点拨►(1)在理解的基础上必须熟记弧长公式和扇形面积 公式，并灵活运用．(2)求不规则图形的面积时，一般要转化 为规则图形面积的和差来求解．如果求旋转后的图形的周长或 面积，一定要注意旋转的半径是多少，旋转角是多少度．
第六章 圆 第21讲 与圆有关的计算
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考点梳理过关 考点1 正多边形与圆 6年2考
拓展► (1)正n边形的对称性：正n边形是轴对称图形，有n条对称 轴；当n是偶数时，正n边形也是中心对称图形．(2)同一个圆的内接 正三边形、正四边形、正六边形的边长比为 3∶ 2 ∶1.(3)正多边形2 的内切圆半径与外接圆半径领►(1)要准确理解正多边形的外接圆和内切圆的区别 和联系；(2)会构造直角三角形并准确求解．
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命题点2 弧长与扇形的相关计算
3．[2016·滨州，16,4分]如图，△ABC是等边三角形，AB＝2，
分别以A，B，C为圆心，以2为半径作弧，则图中阴影部分的
面积是
.
2π－3
∵等边△ABC的边长为2，∴△ABC的面积为
(3)如图，连接OE， 则∠OED＝∠OEB＝30°. ∵OD＝OB＝2，∴DE＝BE＝2 3 . ∴S阴影部分＝S四边形OBED－S扇形OBD ＝S△OBE＋S△ODE－S扇形OBD
得分要领►(1)熟记扇形面积公式并能准确运用；(2)会把 不规则图形进行转化；(3)能根据圆的有关性质确定圆心角 和半径．
5
变式运用►[2016·普陀区二模]如果圆形纸片的直径是8cm，用它 完全覆盖正六边形，那么正六边形的边长最大不能超过( )
C
6
类型2 弧长与扇形面积的运用 【例2】如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠D＝60°且 AB＝6，过O点作OE⊥AC，垂足为点E. (1)求OE的长； (2)求劣弧 AC 的长度； (3)若OE的延长线交⊙O于点F，求弦AF，AC和劣弧CF 围成的图形 (阴影部分)的面积S.
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扇形ABC的面积为
则图中阴影
部分的面积＝3×
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4．[2014·滨州，21,8分]如图，点D在⊙O的直径AB的延长 线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠ACD＝120°. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
解：(1)证明：如图，连接OC. ∵AC＝CD，∠ACD＝120°， ∴∠CAD＝∠D＝30°. ∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°. ∴∠OCD＝∠ACD－∠OCA＝120°－30°＝90°. ∴CD是⊙O的切线． (2)∵∠COD＝∠OAC＋∠OCA＝60°，
15
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猜押预测►2.如图，Rt△ABC中，∠ABC为直角，以AB为直径 作⊙O交AC于点D，点E为BC中点，连接DE，DB. (1)求证：DE与⊙O相切； (2)若∠C＝30°，求∠BOD的度数； (3)在(2)的条件下，若⊙O半径为2，求阴影部分的面积．
解：(1)如图，连接OD. ∵AB为⊙O为直径， ∴∠ADB＝∠BDC＝90°. 又∵E是BC的中点， ∴DE＝BE＝CE. ∴∠BDE＝∠DBE. ∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD. ∴∠ODE＝∠ODB＋∠BDE＝∠OBD＋∠DBE＝∠ABC＝90°. ∴DE与⊙O相切． (也可以通过证明△OBE≌△ODE得到∠ODE＝∠OBE＝90°) (2)若∠C＝30°，而DE＝CE， ∴∠DEB＝60°. 在四边形OBED中，∠BOD＝360°－90°－90°－60°＝120°1.7
考点2 弧长与扇形面积 6年2考 考点3 圆柱与圆锥
3
典型例题运用 类型1 正多边形的有关计算 【例1】 以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形 的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是( D )
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技法点拨►(1)准确掌握正多边形与圆的关系，特别是正三角形 与圆、正六边形与圆，正方形与圆的数量关系；正六边形的边 长等于其外接圆半径，中心角为60°；正方形的对角线等于其 外接圆的直径．(2)记住正n边形的相关计算，都是把正n边形转 化为直角三角形，运用三角函数或勾股定理来求解．
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六年真题全练 命题点1 正多边形与圆的相关计算 1．[2017·滨州，5,3分]若正方形的外接圆半径为2，则其内切 圆半径为( )
A 如图所示，连接OA，OE.∵AB是小圆的切线，∴OE⊥AB.∵ 四边形ABCD是正方形，∴∠AOE＝45°.∴△AOE是等腰直角三 角形．∴OE＝
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2．[2013·滨州，7,3分]若正方形的边长为6，则其外接圆 半径与内切圆半径的大小分别为( )
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猜押预测►1.外接圆半径相等的正三角形和正六边形边长的比 为( )
C 设外接圆的半径为R，如图，连接OA，OB，则OB⊥AC.∵OA ＝R，∠OAG＝30°，∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形， AG＝OA·cos30°＝ R.∴AB＝R，AC＝2AG＝ R.∴外接圆半 径相等的正三角形、正六边形的边长之比为 R∶R＝ ∶1.
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【自主解答】
(1)∵∠D＝60°，
∴∠B＝60°(圆周角定理)．
又∵OB＝OC，∴△OBC为等边三角形．
∴BC＝OB＝
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AB＝3.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∵OE⊥AC，∴OE∥BC.
又∵点O是AB中点，
∴OE是△ABC的中位线．
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技法点拨►(1)在理解的基础上必须熟记弧长公式和扇形面积 公式，并灵活运用．(2)求不规则图形的面积时，一般要转化 为规则图形面积的和差来求解．如果求旋转后的图形的周长或 面积，一定要注意旋转的半径是多少，旋转角是多少度．
第六章 圆 第21讲 与圆有关的计算
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考点梳理过关 考点1 正多边形与圆 6年2考
拓展► (1)正n边形的对称性：正n边形是轴对称图形，有n条对称 轴；当n是偶数时，正n边形也是中心对称图形．(2)同一个圆的内接 正三边形、正四边形、正六边形的边长比为 3∶ 2 ∶1.(3)正多边形2 的内切圆半径与外接圆半径领►(1)要准确理解正多边形的外接圆和内切圆的区别 和联系；(2)会构造直角三角形并准确求解．
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命题点2 弧长与扇形的相关计算
3．[2016·滨州，16,4分]如图，△ABC是等边三角形，AB＝2，
分别以A，B，C为圆心，以2为半径作弧，则图中阴影部分的
面积是
.
2π－3
∵等边△ABC的边长为2，∴△ABC的面积为
(3)如图，连接OE， 则∠OED＝∠OEB＝30°. ∵OD＝OB＝2，∴DE＝BE＝2 3 . ∴S阴影部分＝S四边形OBED－S扇形OBD ＝S△OBE＋S△ODE－S扇形OBD
得分要领►(1)熟记扇形面积公式并能准确运用；(2)会把 不规则图形进行转化；(3)能根据圆的有关性质确定圆心角 和半径．
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变式运用►[2016·普陀区二模]如果圆形纸片的直径是8cm，用它 完全覆盖正六边形，那么正六边形的边长最大不能超过( )
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类型2 弧长与扇形面积的运用 【例2】如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠D＝60°且 AB＝6，过O点作OE⊥AC，垂足为点E. (1)求OE的长； (2)求劣弧 AC 的长度； (3)若OE的延长线交⊙O于点F，求弦AF，AC和劣弧CF 围成的图形 (阴影部分)的面积S.
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扇形ABC的面积为
则图中阴影
部分的面积＝3×
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4．[2014·滨州，21,8分]如图，点D在⊙O的直径AB的延长 线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠ACD＝120°. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
解：(1)证明：如图，连接OC. ∵AC＝CD，∠ACD＝120°， ∴∠CAD＝∠D＝30°. ∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°. ∴∠OCD＝∠ACD－∠OCA＝120°－30°＝90°. ∴CD是⊙O的切线． (2)∵∠COD＝∠OAC＋∠OCA＝60°，
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猜押预测►2.如图，Rt△ABC中，∠ABC为直角，以AB为直径 作⊙O交AC于点D，点E为BC中点，连接DE，DB. (1)求证：DE与⊙O相切； (2)若∠C＝30°，求∠BOD的度数； (3)在(2)的条件下，若⊙O半径为2，求阴影部分的面积．
解：(1)如图，连接OD. ∵AB为⊙O为直径， ∴∠ADB＝∠BDC＝90°. 又∵E是BC的中点， ∴DE＝BE＝CE. ∴∠BDE＝∠DBE. ∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD. ∴∠ODE＝∠ODB＋∠BDE＝∠OBD＋∠DBE＝∠ABC＝90°. ∴DE与⊙O相切． (也可以通过证明△OBE≌△ODE得到∠ODE＝∠OBE＝90°) (2)若∠C＝30°，而DE＝CE， ∴∠DEB＝60°. 在四边形OBED中，∠BOD＝360°－90°－90°－60°＝120°1.7
考点2 弧长与扇形面积 6年2考 考点3 圆柱与圆锥
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典型例题运用 类型1 正多边形的有关计算 【例1】 以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形 的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是( D )
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技法点拨►(1)准确掌握正多边形与圆的关系，特别是正三角形 与圆、正六边形与圆，正方形与圆的数量关系；正六边形的边 长等于其外接圆半径，中心角为60°；正方形的对角线等于其 外接圆的直径．(2)记住正n边形的相关计算，都是把正n边形转 化为直角三角形，运用三角函数或勾股定理来求解．
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六年真题全练 命题点1 正多边形与圆的相关计算 1．[2017·滨州，5,3分]若正方形的外接圆半径为2，则其内切 圆半径为( )
A 如图所示，连接OA，OE.∵AB是小圆的切线，∴OE⊥AB.∵ 四边形ABCD是正方形，∴∠AOE＝45°.∴△AOE是等腰直角三 角形．∴OE＝
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2．[2013·滨州，7,3分]若正方形的边长为6，则其外接圆 半径与内切圆半径的大小分别为( )