第四章根轨迹解读

（4－5）
KG
KG*
K
* G
KG
1
2 2
…
T1 T22…
（4－6）
l
(s zj )
H
(s)
K
* H
j 1 h
(s pj )
j 1
（4－7）
式中
K
* H
为反馈通道的根轨迹增益。
f
l
(s zi ) (s z j )
G(s)H
(s)
K
* G
K
* H
i 1 q
j 1 l
(s pi ) (s p j )
• 在实际应用中，用相角方程绘制根轨迹， 而模 值方程主要用来确定已知根轨迹上某一点
的 K *值。
已知系统的开环传递函数 G(s)H (s) 2K /(s 2)2
试证明复平面上点 s1 2 j4, s2 2 j4 是该系统的闭环极点。
证明： 该系统的开环极点 p1 2, p2 2
若系统闭环极点为 s1 , s2
如图所示系统闭环传递函数为
(s) G(s)
1 G(s)H (s)
图4－3 控制系统
（4－4）
将前向通道传递函数G（s）表示为：
G(s)
KG
(1s
1)(
2 2
s
2
21
2s
1)…
s (T1s 1)(T22s2 2 2T2s 1)…
f
(s zi )
KG*
i 1 q
(s pi )
i 1
根轨迹法
4-1 根轨迹与根轨迹方程
4-2 绘制根轨迹的基本法则 4-3 广义根轨迹 4-4 系统闭环零、极点分布与阶跃
响应的关系 4-5 系统阶跃响应的根轨迹
1.正确理解开环零、极点和闭环零、极点以及主导极 点、偶极子等概念。
2.正确理解和熟记根轨迹方程(模方程及相角方程)。 熟练运用模方程计算根轨迹上任一点的根轨迹增益 和开环增益。
一、根轨迹的分支数
分支数＝开环极点数 ＝开环特征方程的阶数
模值方程
K 1
| 0.5 j0.5 1|4
图4-5
•根据图4－5可得
| 0.5 j0.5 1| 2 2
所以
K1 4
图4-5
•上面两个例子说明如何应用根轨迹方程确定复平 面上一点是否是闭环极点以及确定根轨迹上一点 对应的 K *值。
•根轨迹法可以在已知开环零、极点时，迅速求
出开环增益（或其他参数）从零变到无穷时闭环 特征方程所有根在复平面上的分布，即根轨迹。
m
K * | s zi |
模值
i 1
方程
n
1
| s pi |
i 1
（4－14）
m
nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
相角
(s zi ) (s pi ) (2k 1)
方程 i1
i 1
k 0, 1, 2,
（4－15）
• 模值方程不但与开环零、极点有关，还与开 环根轨迹增益有关；而相角方程只与开环零、 极点有关。 • 相角方程是决定系统闭环根轨迹的充分必要 条件。
22
(k=0)
图4－4
可见， s1, s2 都满足相角方程， 所以， s1, s2 点是闭环极点。
证毕
例4－2
•已知系统开环传递函数 G(s)H (s) K /(s 1)4
当 K 0变化时其根轨迹如图4-5所示，求根轨
迹上点
s1 所 对0应.5的 Kj0值.5。
解 根据模值方程求解 K 值*
没有零点，开环增益为K。
闭环传递函数为
(s)
C(s) R(s)
s2
2K 2s
2K
•闭环特征方程为 D(s) s2 2s 2K 0
•闭环特征根为 s1 1 1 2K , s2 1 1 2K
K=0 K=0.5 K=1 K=2.5 K=+∞
s1 0, s2 2 s1 1, s2 1 s1 1 j, s2 1 j s1 1 2 j, s2 1 2 j s1 1 j, s2 1 j
3.正确理解根轨迹法则，法则的证明只需一般了解， 熟练运用根轨迹法则按步骤绘制反馈系统开环增益 K从零变化到正无穷时的闭环根轨迹。
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4.正确理解闭环零极点分布和阶跃响应的定性关系， 初步掌握运用根轨迹分析参数对响应的影响。能 熟练运用主导极点、偶极子等概念，将系统近似 为一、二阶系统给出定量估算。
一、根轨迹
定义：根轨迹是指系统开环传递函数中某个参
数（如开环增益K）从零变到无穷时，闭环特征 根在s平面上移动的轨迹。
•当闭环系统为正反馈时，对应的轨迹为零度
根轨迹；而负反馈系统的轨迹为180根 轨迹。
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如图所示二阶系统，系统的开环传递函数为：
G(s) K s(0.5s 1)
•开环传递函数有两个极点 p1 0, p2 2 。
②闭环系统零点由前向通道的零点和反 馈通道的极点组成；
③闭环系统的极点与开环系统的极点、
零点以及开环根轨迹增益 K * 有关。
根轨迹法的任务是在已知开环零、极点 分布的情况下，如何通过图解法求出闭 环极点。
• 闭环特征方程
D(s)=1+G(s)H(s)=0
（4-11）
闭环极点就是闭环特征方程的解，也称为特征根。
它们应满足相角方程（4－15）
图4－4 例4－1开环零、极点分布图
•以 s1为试验点，观察图4－4，可得
(s1 p1 ) (s1 p2 ) 90 90
(2k 1)
22 (k 1)
以 s2为试验点，可得
(s1 p1 ) (s1 p2 ) 900 900
(2k 1)
根轨迹方程
G(s)H(s)=-1
（4-12）
式中G(s)H(s)是系统开环传递函数，该式明确表示出 开环传递函数与闭环极点的关系。
m
(s zi )
G(s)H (s) K*
i 1 n
1
(s pi )
i 1
（4－13）
不难看出，式子为关于s的复数方程，因
此，可把它分解成模值方程和相角方程。
5.了解绘制广义根轨迹的思路、要点和方法。
闭环控制系统的稳定性和性能指标主要由闭环系统极 点在复平面的位置决定，因此，分析或设计系统时确 定出闭环极点位置是十分有意义的。
根轨迹法根据反馈控制系统的开、闭环传
递函数之间的关系，直接由开环传递函数零、 极点求出闭环极点（闭环特征根）。这给系
统的分析与设计带来了极大的方便。
i 1
i 1
f
l
(s zi ) (s z j )
K*
i 1 q
j 1 h
(s pi ) (s p j )
i 1
j 1
（4－8）
f h
(s zk )
(s) KG*
k 1 n
(s pk )
k 1
（4－10）
式中：zk , pk 分别为闭环零、极点。
①闭环系统根轨迹增益等于系统前向通 道的根轨迹增益；