二次函数：面积最大,周长最小

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二次函数的最值问题——求线段，三角形周长及面积的最值

二次函数的最值问题——求线段，三角形周长及面积的最值摘要：二次函数作为初中最重要的函数，近几年来，中考拉分题常常利用二次函数求线段的最值、三角形周长的最小值及面积的最大值问题。

在解决二次函数的最值问题时，一般构建二次函数模型，通过数形结合把求三角形的周长、三角形面积的最值问题转化为求线段长度的问题。

关键词：二次函数；最值问题；轴对称；数形结合一、将军饮马“K”字形，两点之间线段最短问题1.二次函数与x轴交于点A（-1，0），B（3,0），与y轴交于点C（0,3）．在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的分析：由已知，可求得二次函数的对称轴为，又因为二次函数图像关于对称轴对称可知：A、B两点关于对称，,连接BC与对称轴的交点为所求P点，则,所以CH＋EH的最小值为。

小结：利用二次函数求两线段和的最小值问题，我们通常是作其中一点关于对称轴的对称点，连接对称点与另一点得到的线段长度为我们所求的两线段和的最小值。

变式1.如问题1改为：的周长是否存在最小值？若存在，请求出的周长；若不存在，请说明理由。

分析：延伸1看起来跟问题1不一样，但实际上，万变不离其宗。

，已知A,C两点坐标，由勾股定理可得，,题目中要求周长的最小值可转化为求的最小值，也就转化为问题1，即：,问题2.如图，直线与抛物线交于点A（0,3），B(3,0) ,点F是线段AB上的动点，FE x轴，E在抛物线上，若点F的横坐标为m，请用含m的代数式表示EF的长并求EF的最大值。

分析：利用E、F分别在抛物线及一次函数上可得到，,因为,所以,可求得当时，EF的最大值为小结：利用二次函数求竖直线段的最大值，一般是通过设未知数表示出二次函数及一次函数图像上的两点，由横坐标相等，利用两点纵坐标相减可得到线段的长度，再利用二次函数求最值方法可求出线段的最大值。

变式1：问题2改为过E作,求的最大值是多少？分析：因为该一次函数，可知为等腰直角三角形，，要求的最大值只需求得的最大值，由此就转化为问题2，所以小结：求斜线段的最大值问题，一般转化为求平行于y轴线段的最值问题，再利用三角函数可求得斜线段的最大值。

考点11 二次函数的图象性质及相关考点【无答案】

考点11 二次函数的图象性质及其相关考点二次函数作为初中三大函数中考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要的考点。

而对于二次函数图象和性质的考察，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面。

出题形式虽然多是选择、填空题，但解答题中也时有出现，且题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习。

一、二次函数的表达式二、二次函数的图象特征与最值三、二次函数图象与系数的关系四、二次函数与方程、不等式（组）五、二次函数图象上点的坐标特征考向一、二次函数的表达式2.二次函数平移的方法：①转化成顶点式（已经是顶点式的此步忽略），②“左加右减（x），上加下减（y）”；1．把y＝（2﹣3x）（6+x）变成y＝ax2+bx+c的形式，二次项，一次项系数为，常数项为．2．用配方法将二次函数y＝x2﹣2x﹣4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣2）2﹣4B．y＝（x﹣1）2﹣3C ．y ＝（x ﹣2）2﹣5D ．y ＝（x ﹣2）2﹣63．在平面直角坐标系中，若将抛物线y ＝2x 2+1先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的解析式是（） A ．y ＝2（x ﹣3）2+3 B ．y ＝2（x +3）2+3 C ．y ＝2（x ﹣3）2+1D ．y ＝2（x +3）2+24．抛物线y ＝2x 2向下平移3个单位长度后所得新抛物线的顶点坐标为（） A ．（﹣3，0）B ．（3，0）C ．（0，﹣3）D ．（0，3）5．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（0，3），点B 的坐标为（6，3）．若抛物线y ＝mx 2+2mx +m +3（m 为常数，m ≠0）向右平移a （a ＞0）个单位长度，平移后的抛物线的顶点在线段AB 上，则a 的取值范围为．考向二、二次函数的图象特征与最值1. 对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）：对称轴：直线a bx 2-=；顶点坐标：)442(2a b ac a b --，；开口向上 a ＞二次函数有最小值ab ac 442-；开口向下 a ＜二次函数有最大值ab ac 442-；2. 图象的增减性问题：抛物线的增减性问题，由a 的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y 随x 的增大而增大（或减小）是不对的，必须附加一定的自变量x 取值范围；1．已知二次函数的图象（0≤x ≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是平面直角坐标系内两图象的存在性问题，一般先假设简单函数图象成立，再验证复杂函数是否成立，利用排除法，得到最后答案。

二次函数：面积最大-周长最小

二次函数综合题专题训练一、面积最大1、如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；2、如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（-3，0）．（1）求点B的坐标；（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC．求点P的坐标；②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．3、如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0），B（1.0），C（0，-3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；二、周长最小4、已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （-3，0），B （1，0），C （0，3）三点，其顶点为D ，对称轴是直线l ，l 与x 轴交于点H ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点，求△PBC 周长的最小值；5如图，已知抛物线y=ax 2+bx+3与x 轴交于A 、B 两点，过点A 的直线l 与抛物线交于点C ，其中A 点的坐标是（1，0），C 点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D ，使△BCD 的周长最小？若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E 是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC 的下方，试求△ACE 的最大面积及E 点的坐标．6如图，已知抛物线y=a1（x-2）（x+a ）（a ＞0）与x 轴交于点B 、C ，与y 轴交于点E ，且点B 在点C 的左侧．（1）若抛物线过点M （-2，-2），求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题；①求出△BCE的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标．。

初中数学二次函数知识点总结

初中数学二次函数知识点总结初中数学初中二次函数知识点剖析二次函数的图象与性质二次函数开口方向对称轴顶点增减性最大（小）值y=ax2a;0时，开口向上；a0时，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大；当a0时，当x=0时，=0；当a0时，当x=0时，=c；当a0时，当x=h时，y最小=0；当a0时，当x=h时，y最小=k；当a0时，当x=h 时，y最小=k；当a0时，开口方向向上；a1.二次函数图像是轴对称图形。

对称轴为直线x=h或者x=-b/2a对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。

特别地，当h=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）a,b同号，对称轴在y轴左侧b=0,对称轴是y轴a,b异号，对称轴在y轴右侧顶点2.二次函数人脸有一个顶点P，坐标为P(h,k)当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。

h=-b/2ak=(4ac-b2)/4a开口3.二次项系数a决定大小二次函数图像的开口西向和大小。

当a;0时，二次函数图像向上尾端；当a0），对称轴在y轴左；因为对称轴在右边则对称轴小于0，也就是-b/2a0），对称轴在y轴左；当a与b 异号时（即ab;0），对称轴在y轴右。

事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。

可通过对二次函数求导得到。

提议二次函数图像与y轴交点的因素5.常数项c决定二次函数幻灯片与y轴交点。

二次函数图像与y 轴交于（0,C）注意：顶点坐标为（h,k)与y轴交于（0,C)二次函数图像与x轴交点个数6.二次函数图像与x轴交点个数a0或a;0;k0时，函数在x=h处取得最小值ymix=k，在xh范围内是增函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向上，函数的值域是y;k当ah范围内事增函数，在x且X（X1+X2）/2时Y随X的增大而减小此刻，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程动名词）。

《二次函数》优质PPT课件(共65页ppt)

抛物线
y 2x 32 1
2
y 1 x 12 5
3
y 2x 32 5
y 0.5x 12
y 3 x2 1 4
y 2x 22 5
y 0.5x 42 2 y 3 x 32
4
开口方向
向上向下向上向下向下向上向上向下
对称轴
直线x=-3 直线x=-1 直线x=3 直线x=-1 直线x=0 直线x=2 直线x=-4 直线x=3
__10_0___x棵橙子树，这时平均每棵树结_______个橙6子00。 5x
（3）如果果园橙子的总产量为y个，那么y与x
之间的关系式为_____y____6_0_0__5_x_。100 x
y 5x2 100 x 60000
y 5x2 100 x 60000 在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？
-2
-1
2
4
6
-2
y x2
-3
-4
-5
1.二次函数所描述的关系 2.结识抛物线 3.刹车距离与二次函数 4.二次函数的图象 5.用三种方式表示二次函数 6.何时获得最大利润 7.最大面积是多少 8.二次函数与一元二次方程
影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数。
有研究表明，晴天在某段公路上行驶时，速度为v（km/h）的汽车的刹车距离s（m）可以由公
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
棵
y 个
60095
60180
60255
60320
60375
60420
60455
60480
60495
60500

二次函数与三角形面积(周长最小与面积最大问题2)

1．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 经过点A （1，0），C （0，3），且对称轴为直线x=﹣1．（1）求二次函数的表达式；（2）在抛物线上是否存在点P ，使△PAB 得面积为10，请写出所有点P 的坐标．2、（2016秋·新泰市月考）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=212x -+bx+c 经过点A （-2,0），C （4,0）两点，和y 轴相交于点B ，连接AB ，BC.（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC 上方的抛物线上，找一点D ，使S △BCD ：S △ABC =1:4，并求出此时点D 的坐标.3、（永州）如图，在平面直角坐标系中，点A 、C 的坐标分别为（-1，0）、（0点B 在x 轴上．已知某二次函数的图象经过A 、B 、C 三点，且它的对称轴为直线x=1，点P 为直线BC 下方的二次函数图象上的一个动点（点P 与B 、C 不重合），过点P 作y 轴的平行线交BC 于点F ．（1）求该二次函数的解析式；（2）若设点P 的横坐标为m ，用含m 的代数式表示线段PF 的长；（3）求△PBC 面积的最大值，并求此时点P 的坐标．4．（2012•广西）已知抛物线y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标；（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2011•茂名）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线对称轴l与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（3）连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由．6．（2013•新疆）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点A、C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．7．（2009•江津区）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．8、如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0,4），B（1,0），C（5,0）,对称轴与x轴相交于点M.（1）求抛物线的解析式和对称轴.（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由.（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，求出点N坐标；若不存在，请说明理由.9、（广安）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过点（1，-5）和（-2，4）（1）求这条抛物线的解析式；（2）设此抛物线与直线y=x相交于点A，B（点B在点A的侧），平行于y轴的直线x=m（0＜m）与抛物线交于点M，与直线y=x交于点N，交x轴于点P，求线段MN的长（用含m的代数式表示）；（3）在条件（2）的情况下，连接OM、BM，是否存在m的值，使△BOM的面积S最大？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．10、（2017春·新泰市校级月考）如图所示，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，-3）.（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积.11、（2016泰安）28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标为（2，9），与y 轴交于点A （0，5），与x 轴交于点E 、B ．（1）求二次函数y=ax 2+bx+c 的表达式；（2）过点A 作AC 平行于x 轴，交抛物线于点C ，点P 为抛物线上的一点（点P 在AC 上方），作PD 平行与y 轴交AB 于点D ，问当点P 在何位置时，四边形APCD 的面积最大？并求出最大面积；12、已知：抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．其中点A 在x轴的负半轴上，点C 在y 轴的负半轴上，线段OA 、OC 的长（OA<OC ）是方程2540x x -+=的两个根，且抛物线的对称轴是直线1x =．（1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）求此抛物线的解析式；（3）若点D 是线段AB 上的一个动点（与点A 、B 不重合），过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，连结CD ，设BD 的长为m ，△CDE 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围．S 是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D 点坐标；若不存在，请说明理由．。

二次函数中周长最小的问题

3.求点Q的坐标
B，
A
O
B
X
Q
P
文昌市华侨中学郑鼐庆
问题：抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于A,B(3,0)两点，与Y轴
交于C,(1)求m的值及抛物线的顶点坐标
0
（2）设点P是抛物线对称轴l上的
一个动点，当△PAC周长的最小
值时，求点P的坐标
Y
O
X
C
A
1
5
文昌市华侨中学郑鼐庆
文昌市华侨中学郑鼐庆
问题：抛物线y=ax2+bx+c经过点A(1,0)、点 B(3,0)、点C(0,3)，对称轴为直线l
(2)已知点P是对称轴上的动点，是否存在点P
使得△PAC的周长最小?若存在，求出点P的坐标；
若不存在请说明理由
Y
l
解答
C
A O
B
X
P
文昌市华侨中学郑鼐庆
问题：抛物线y=ax2+bx+c经过点A(1,0)、点 B(3,0)、点C(0,3)，对称轴为直线l
（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何
值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．
文昌市华侨中学郑鼐庆
问题：二次函数中周长最小值的问题的解题思路？
1.确定点Q的位置
取其中一个定点关于相应直线的对称点 Y
连接对称点与另一个定点
所连线段与已知直线的交点为所求点
2.求点Q所在直线
C
的解析式
使得PC-PA的值最大?若存在，求出点P的坐标；
若不存在请说明理由
Y
l
C
A O
B
X
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二次函数中的最值问题

二次函数中的最值问题作者：陈卓来源：《初中生世界·九年级》2019年第12期最值问题的研究，有着悠久的历史。

早在古希腊时，就研究了“等周问题”。

在欧几里得的著作《几何原本》中，实际上已证明了如下的最值问题：具有相同周长的矩形中，正方形的面积最大。

研究函数的最值，是学习数学与其他学科的基础，是生活生产的必备工具。

二次函数的最值问题也是中考的热点内容之一，今天我们就一起来认识一下吧。

初中阶段确定二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）最值的方法：方法1：将二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）配方化为y=a（x-h）2+k的形式，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。

若a>0，y有最小值，当x=h时，y最小值=k;若a<E：＼初中生＼9年级语文＼陈卓-1.tif>方法2：直接利用顶点公式求其顶点为（[-b2a]，[4ac-b24a]），对称轴是直线x=[-b2a]。

若a>0，y有最小值，当x=[-b2a]时，y最小值=[4ac-b24a];若a<E：＼初中生＼9年级语文＼陈卓-2.tif>二次函数的图像是一条抛物线，根据实际情况它的最值又分为以下几种情况：1.自变量x没有范围限制，可以取到整个实数。

这时抛物线的顶点对应的y值是这个函数的最值，也就是说，当x取抛物线的对称轴的值时，即x=[-b2a]时，所得的y值是这个函数的最值。

2.自变量x有范围限制，它只能取到抛物线的一部分，这时需要判断x能够取到的范围是否包括抛物线的对称轴x=[-b2a]。

如果包括，那它的一个最值一定在对称轴处得到（最大值还是最小值要由a的正負判断，a正就是最小值，a负就是最大值）。

另外一个最值出现在所给范围的端点，此时可以把两个端点值都代入函数，分别计算y值，比较一下就可以。

如果给的是代数形式，也可以用与对称轴距离的大小来判断，与对称轴距离大的那个端点能够取到最值。

如果x的取值范围不包括对称轴，则它的最值一定出现在范围的端点处。

第1讲二次函数的图像及性质

第1讲二次函数的图形及性质题型1：二次函数的概念1.下列函数表达式中，一定为二次函数的是（）A．y=5x−1B．y=ax2+bx+c C．y=3x2+1D．y=x2+1x题型2：利用二次函数定义求字母的值2.已知y=(m+1)x|m−1|+2m是y关于x的二次函数，则m的值为（）A．−1B．3C．−1或3D．0题型3：二次函数的一般形式3.二次函数y＝2x2﹣3的二次项系数、一次项系数和常数项分別是（）A．2、0、﹣3B．2、﹣3、0C．2、3、0D．2、0、3A．2B．﹣2C．﹣1D．﹣4题型4：根据实际问题列二次函数4.一个矩形的周长为16cm，设一边长为xcm，面积为y cm2，那么y与x的关系式是【变式4-1】如图，用长为20米的篱笆（AB+BC+CD=20），一边利用墙（墙足够长），围成一个长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，围成的花圃面积为y米2，则y关于x的函数关系式是．【变式4-2】某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y （单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（）A．y＝（200﹣5x）（40﹣20＋x）B．y＝（200＋5x）（40﹣20﹣x）C．y＝200（40﹣20﹣x）D．y＝200﹣5x题型5：自变量的取值范围5.．若y=(a−2)x2−3x+4是二次函数，则a的取值范围是（）A．a≠2B．a>0C．a>2D．a≠0【变式5-1】函数y=√x+2的自变量取值范围是（）x−1A．x≥−2B．−2≤x<1C．x>1D．x≥−2且x≠1【变式5-2】若y=(m+1)x m2−2m−1是二次函数，则m=，其中自变量x的取值范围是．22.1.2二次函数y=ax2的图像和性质二次函数y=ax2(a≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.二次函数y=ax2(a ≠0)的图象的画法用描点法画二次函数y=ax 2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x 的值，然后计算出对应的y 值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确.注意：用描点法画二次函数y=ax 2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y 轴．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.题型1：利用描点法作函数图像1.在直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2的图象（取值、描点、连线、画图）．【变式1-1】在如图所示的同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2，y ＝x 2，y ＝﹣2x 2与y ＝﹣x 2的图象．x y ＝2x 2 y ＝x 2 y ＝﹣2x 2 y ＝﹣x 2x ya>0a<0题型2：二次函数y=ax2的图像2.在同一坐标系中画出y1＝2x2，y2＝﹣2x2，y3＝x2的图象，正确的是（）A．B．C．D．【变式2-1】下列图象中，是二次函数y＝x2的图象的是（）A．B．C．D．【变式2-2】如图，在同一平面直角坐标系中，作出函数①y＝3x2；②y＝；③y＝x2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（）A．①②③B．①③②C．②③①D．③②①题型3：二次函数y=ax2的性质3.抛物线y＝﹣3x2的顶点坐标为（）A．（0，0）B．（0，﹣3）C．（﹣3，0）D．（﹣3，﹣3）【变式3-1】抛物线，y＝x2，y＝﹣x2的共同性质是：①都开口向上；②都以点（0，0）为顶点；③都以y轴为对称轴．其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【变式3-2】．对于函数y＝4x2，下列说法正确的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而减小B．当x＞0时，y随x的增大而增大C．y随x的增大而减小D．y随x的增大而增大【变式3-3】二次函数y＝﹣3x2的图象一定经过（）A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一、三象限D．第二、四象限题型4：函数图像位置的识别4.已知a≠0，b＜0，一次函数是y＝ax+b，二次函数是y＝ax2，则下面图中，可以成立的是（）A．B．C．D．【变式4-1】函数y＝ax2与y＝ax+a，在第一象限内y随x的减小而减小，则它们在同一平面直角坐标系中的图象大致位置是（）A．B．C．D．【变式4-2】在图中，函数y＝﹣ax2与y＝ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．题型5：函数值的大小比较5.二次函数y1＝﹣3x2，y2＝﹣x2，y3＝5x2，它们的图象开口大小由小到大的顺序是（）A．y3＜y1＜y2B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y2＜y1＜y3题型6：简单综合-三角形面积6.求直线y＝3x+4与抛物线y＝x2的交点坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形面积．22.1.3二次函数y=a（x-h）²+k的图像和性质二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象（1）（2）0 a>0 a<题型1：二次函数y=ax²+k的图象1.建立坐标系，画出二次函数y＝﹣x2及y＝﹣x2+3的图象．向上向下题型2：二次函数y=ax²+k的性质2.抛物线的开口方向是（）A．向下B．向上C．向左D．向右【变式2-2】抛物线y＝2x2+1的对称轴是（）A．直线x＝B．直线x＝﹣C．直线x＝2D．y轴题型3：二次函数y=a（x-h）²的图象3.画出二次函数（1）y＝（x﹣2）2（2）y＝（x+2）2的图象．课堂总结：题型4：二次函数y=a（x-h）²的性质4.对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝1C．顶点坐标为（1，0）D．当x＜1时，y随x的增大而减小题型5：二次函数y=a（x-h ）²+k 的图象和性质5.对于二次函数y ＝﹣5（x +4）2﹣1的图象，下列说法正确的是（） A ．图象与y 轴交点的坐标是（0，﹣1） B ．对称轴是直线x ＝4C ．顶点坐标为（﹣4，1）D ．当x ＜﹣4时，y 随x 的增大而增大【变式5-1】再同一直角坐标系中画出下列函数的图象（1）y ＝（x ﹣2）2+3 （2）y ＝（x +2）2﹣3【变式5-2】画函数y ＝（x ﹣2）2﹣1的图象，并根据图象回答：（1）当x 为何值时，y 随x 的增大而减小．（2）当x 为何值时，y ＞0．【变式5-3】写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1）y ＝5（x +2）2﹣3；（2）y ＝﹣（x ﹣2）2+3；（3）y ＝（x +3）2+6．二次函数的平移 1.平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： ()2y a x h k =-+()h k ，2y ax =()h k ，2.平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左h k加右减，上加下减”．题型6：二次函数几种形式之间的关系（平移）6.将抛物线y＝（x﹣3）2﹣4先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（）A．y＝（x﹣4）2﹣6B．y＝（x﹣1）2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣2D．y＝（x﹣4）2﹣2【变式6-1】将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，能得到抛物线y ＝2（x﹣2）2+3的是（）A．y＝2（x﹣1）2+1B．y＝2（x﹣3）2+1C．y＝﹣2（x﹣1）2+1D．y＝﹣2x2﹣1【变式6-2】将二次函数y＝x2﹣3的图象向右平移3个单位，再向上平移5个单位后，所得抛物线的表达式是．题型7：利用增减性求字母取值范围7.抛物线y＝（k﹣7）x2﹣5的开口向下，那么k的取值范围是（）A．k＜7B．k＞7C．k＜0D．k＞0【变式7-1】已知点（x1，y1）、（x2，y2）是函数y＝（m﹣3）x2的图象上的两点，且当0＜x1＜x2时，有y1＞y2，则m的取值范围是（）A．m＞3B．m≥3C．m≤3D．m＜3【变式7-2】二次函数y＝（x﹣h）2+k（h、k均为常数）的图象经过P1（﹣3，y1）、P2（﹣1，y2）、P3（1，y3）三点．若y2＜y1＜y3，则h的取值范围是．题型8：识别图象位置8.如果二次函数y＝ax2+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+c的图象大致是（）A．B．C．D．【变式8-1】在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝ax+b的图象不可能是（）A．B．C．D．【变式8-2】已知m是不为0的常数，函数y＝mx和函数y＝mx2﹣m2在同一平面直角坐标系内的图象可以是（）A．B．C．D．题型9：比较函数值的大小9.已知二次函数y＝（x﹣1）2+h的图象上有三点，A（0，y1），B（2，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＝y2＜y3B．y1＜y2＜y3C．y1＜y2＝y3D．y3＜y1＝y2题型10：简单综合问题10.已知抛物线y＝（x﹣5）2的顶点为A，抛物线与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交抛物线于另外一点C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）试判断△ABC 的形状并说明理由．【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+3与y 轴交于点A ，过点A 与x 轴平行的直线交抛物线y ＝x 2于点B 、C ，求BC 的长度．【变式10-2】在同一坐标系内，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝x +b 相交于A ，B 两点，若点A 的坐标是（2，3）．（1）求B 点的坐标；（2）连接OA ，OB ，AB ，求△AOB 的面积．22.1.4 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与性质二次函数一般式与顶点式之间的相互关系 1.顶点式化成一般式从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2.一般式化成顶点式． 2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2y ax bx c =++2222222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22424b ac b a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．题型1：一般式化成顶点式-配方法1.将二次函数y=x2−4x+5用配方法化为y=(x−ℎ)2+k的形式，结果为（）A．y=(x−4)2+1B．y=(x−4)2−1C．y=(x−2)2−1D．y=(x−2)2+1题型2：一般式化成顶点式-应用2.已知：二次函数y＝x2﹣2x﹣3．将y＝x2﹣2x﹣3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并求此函数图象与x轴、y轴的交点坐标．题型3：公式法求顶点坐标及对称轴3.已知二次函数 y =−12x 2+bx +3 ，当 x >1 时，y 随x 的增大而减小，则b 的取值范围是（） A ．b ≥−1B ．b ≤−1C ．b ≥1D ．b ≤10a >0a <题型4：二次函数y=ax2+bx+c图像与性质4.若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列说法不正确的是()A．当1<x<3时，y>0B．当x=2时，y有最大值C．图像经过点(4，−3)D．当y<−3时，x<0【变式4-2】二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，当x>0时，函数值y的取值范围是()A．y⩽9B．y⩽2C．y<2D．y⩽3 4题型5：利用二次函数的性质比较函数值5.函数y＝﹣x2﹣2x+m的图象上有两点A（1，y1），B（2，y2），则（）A．y1＜y2B．y1＞y2几种常考的关系式的解题方法题型6：二次函数y=ax2+bx+c图像与系数的关系6.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数），如果a＞b＞c，且a+b+c＝0，则它的图象可能是（）A．B．C．D．【变式6-1】已知函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−4．若x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个根，且x1<x2，1<x2<2，则下列说法正确的是A．x1x2>0B．−10<x1<−9C．b2−4ac<0D．abc>0【变式6-2】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点(2，0)，，有下列结论：①b<0；②a+b>0；③4a+2b+3c<0；④无且对称轴为直线x=12，0)．其中正确结论有（）论a，b，c取何值，抛物线一定经过(c2aA．1个B．2个C．3个D．4个【变式6-3】如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C；对称轴为直线x=−1，点B的坐标为(1，0)，则下列结论：①AB=4；②b2−4ac>0；③b>0；④a−b+c<0，其中正确的结论有（）个.A．1个B．2个C．3个D．4个7.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中x，y的部分对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…0﹣4﹣6﹣6﹣4…则该二次函数图象的对称轴为（）A．y轴B．直线x=12C．直线x＝1D．直线x=32题型8：利用二次函数的性质求字母的范围8.已知二次函数y＝x2+bx+1当0<x<12的范围内，都有y≥0，则b的取值范围是A．b≥0B．b≥﹣2C．b≥﹣52D．b≥﹣32a题型9：利用二次函数的性质求最值9.二次函数y=−x2+2x+4的最大值是.题型10：给定范围内的最值问题10.已知二次函数y=ax2+bx+1.5的图象（0≤x≤4）如图，则该函数在所给自变量的取值范围内，最大值为，最小值为.。

二次函数的最大值公式

二次函数的最大值公式二次函数是一种常见的数学函数，它的一般形式是y=ax2+bx+c，其中a,b,c是常数，且a≠0。

二次函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线，它的最值出现在抛物线的顶点处。

本文将介绍如何求解二次函数的最大值公式，以及它的几何意义和应用。

一、最大值公式的推导要求解二次函数的最大值公式，首先要确定二次函数是否有最大值。

根据二次函数的性质，我们知道：当a>0时，二次函数开口向上，函数有最小值，没有最大值；当a<0时，二次函数开口向下，函数有最大值，没有最小值；当a=0时，二次函数退化为一次函数，没有最值。

因此，我们只考虑a<0的情况，即开口向下的抛物线。

为了方便起见，我们假设a=−1，则二次函数可以写成：y=−x2+bx+c要求解这个函数的最大值，我们可以利用配方法，将它化为标准形式：y=−(x2−2b2x+b24)+c+b24y=−(x−b2)2+c+b24由于(x−b2)2≥0对任意的x都成立，所以当且仅当(x−b2)2=0时，即x=b2时，函数取得最大值。

此时，最大值为：y max=c+b2 4这就是二次函数的最大值公式。

如果将a=−1恢复为一般情况，则有：y max=4ac−b2 4a二、最大值公式的几何意义二次函数的最大值公式可以从几何角度来理解。

如下图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(h,k)，其中h=−b2a 是对称轴的方程，k=4ac−b24a是顶点的纵坐标。

当a<0时，顶点是抛物线的最高点，也就是函数的最大值。

三、最大值公式的应用二次函数的最大值公式在实际问题中有很多应用，例如：投掷物体的最高点：如果一个物体以初速度v0从地面以角度θ抛出，忽略空气阻力，那么它的运动轨迹可以用一个二次函数来描述：y=x tanθ−gx22v20cos2θ其中x是水平方向的位移，y是竖直方向的高度，g是重力加速度。

这个函数的系数为a=−g2v20cos2θ<0，所以它有一个最大值，表示物体抛出后能达到的最高点。

二次函数实际问题易考题型总结(全)

二次函数实际问题易考题型总结技巧1．二次函数的应用：（1）二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大（小）值；（2）二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值．注意：二次函数实际问题主要分为两个方面的问题，几何图形面积问题和经济问题。

解几何图形面积问题时要把面积公式中的各个部分分别用同一个未知数表示1，我们要用x分别把h，l表示出来。

经济问题：总利润=出来，如三角形S=hl2总销售额－总成本；总利润=单件利润×销售数量。

解最值问题时，一定要注意自变量的取值范围。

分为三类：①对称轴在取值范围内；②取值范围在对称轴左边；③取值范围在对称轴右边。

2．解决实际问题时的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等．题型：一、利润最值问题1、某商店销售一种商品，每件的进价为2.50元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.50元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件.请你分析，销售单价多少时，可以获利最大.2.某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价y(元)与销售月份x (月)满足关系式1336 8y x=-+，而其每千克成本2y(元)与销售月份x(月)满足的函数关系如图所示．(1)试确定b，c的值；(2)求出这种水产品每千克的利润y(元)与销售月份x(月)之间的函数关系式；(3)“五一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大?最大利润是多少?3、某食品零售店为食品厂供销一种面包，未售出的面包可退回厂家．经统计销售情况发现，当这种面包的单价定为7角时，每天卖出160个．在此基础上，这种面包的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个．考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角．设这种面包的单价为x(角)，零售店每天销售这种面包所获得的利润为y（角）．⑴用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数；⑵求y与x之间的函数关系式；⑶当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为多少？二、面积最值问题1.蒋老师的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，蒋老师准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？2、小王家在农村，他家想利用房屋侧面的一面墙，围成一个矩形猪圈（以墙为长人现在已备足可以砌10米长的墙的材料．他想使猪圈的面积最大，你能帮他计算一下矩形的长和宽应当分别是多少米吗？此时猪圈的面积有多大？3.如图，把一张长10cm ，宽8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．（1）要使长方体盒子的底面积为48cm 2，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．三、图形问题1、学校要建造一个圆形喷水池,在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA ．O 恰好在水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．且在过OA 的任意平面上的抛物线如图l －2－36所示，建立平面直角坐标系（如图l －2－37），水流喷出的高度y (m)与水面距离x (m)之间的函数关系式是25322y x x =-++，请回答下列问题：（1）花形柱子OA 的高度；（2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不至于落在池外？O 2.某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势时，距池边的水平距离为米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．2103335四、图像问题（一）长度最值、平行四边形问题8.如图，抛物线1417452++-=x y 与y 轴交于A 点，过点A 的直线与抛物线交于另一点B ，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C(3，0).（1）求直线AB 的函数关系式；（2）动点P 在线段OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向C 移动，过点P 作PN ⊥x 轴，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N. 设点P 移动的时间为t 秒，MN 的长度为s 个单位，求s 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P 与点O ，点C 重合的情况），连接CM ，BN ，当t 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？问对于所求的t 值，平行四边形BCMN 是否菱形？请说明理由.O xAMNBPC 题22图（二）周长与面积最值问题9.如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E 点的坐标．（三）等腰三角形问题10.如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．（四）直角三角形如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A （0，1），B （2，0），O （0，0），将此三角板绕原点O 逆时针旋转90°，得到△A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B ，求该抛物线的解析式；（2）设点P 是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P ，使四边形PB′A′B 的面积是△A′B′O 面积4倍？若存在，请求出P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B 是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B 的两条性质．A CB y x0 1 1（五）圆如图，半径为2的⊙C 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的正半轴交于点B ，点C 的坐标为（1，0）．若抛物线23y x bx c =-++过A 、B 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P ，使得∠PBO=∠POB？若存在，求出点P 的坐标；若不存在说明理由；（3）若点M 是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB 的面积为S ，求S 的最大（小）值．（六）分段函数、累计二次函数问题11.启优学堂积极应对2018年世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线，由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次），公司累积获得的利润y（万元）与销售时间第x月之间的函数关系（即前x个月的利润总和y 与x之间的关系）对应的点都在如图所示的图象上，该图象从左至右，依次是线段OA、曲线AB和曲线BC，其中曲线AB为抛物线的一部分，点A为该抛物线的顶点，曲线BC为另一抛物线y=-5x2+205x-1230的一部分，且点A、B、C的横坐标分别为4、10、12。

初中数学二次函数大汇总

初中数学二次函数大汇总二次函数是一个非常重要的数学概念，在初中数学中占有重要的地位。

它是一种形式为y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b和c都是实数，而且a不等于0。

在数学中，我们会学习许多与二次函数相关的概念、性质和应用，本篇文章将对初中数学中的二次函数知识进行大汇总。

一、基本概念1.二次函数的定义：二次函数是一个以x的二次方为最高次幂的函数。

2. 二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c，其中a、b和c为实数，且a不等于0。

3.二次函数的图像：二次函数的图像通常是一个称为抛物线的曲线。

二、二次函数的图像和性质1.二次函数的对称轴：二次函数的图像关于一条垂直于x轴的直线对称，称为对称轴。

2.二次函数的顶点和最值：二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，而最值就是顶点的纵坐标。

3.二次函数的开口方向：当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。

4. 二次函数的平移：在一般式y=ax^2+bx+c中，若b平移b个单位，则f(x) = a(x-b)^2+c。

三、一元二次方程1. 一元二次方程的定义：一元二次方程是形如ax^2+bx+c=0（其中a、b和c为实数，且a不等于0）的方程。

2. 一元二次方程的求根公式：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，其根的公式为x=(-b±√(b^2-4ac))/2a。

3. 一元二次方程的判别式：一元二次方程的判别式为D=b^2-4ac，可以判断方程的根的情况。

四、二次函数的应用1.面积问题：二次函数常常用于求解最大/最小面积问题，如给定周长的矩形的最大面积、最小切线段等。

2.轨迹问题：二次函数的图像可以用来表示物体的轨迹，如抛物线轨迹、卫星轨道等。

3.弹射问题：二次函数可以用来描述弹射物体在竖直方向上的运动，如空中抛物运动等。

4.正比例问题：在一些实际问题中，两个变量之间可能存在二次函数的正比例关系，如重力加速度与高度的关系等。

以上内容仅仅是初中数学中关于二次函数的一些基本知识和常见应用，二次函数在高中和大学阶段还有更深入的研究和应用。

二次函数知识点归纳总结

二次函数知识点归纳总结二次函数知识点总结二次函数是形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。

与一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b和c可以为零。

二次函数的定义域是全体实数。

二次函数的根本形式是y=ax²。

a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a的符号决定开口方向。

当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。

顶点坐标是（0,0），对称轴是y轴。

当x增大时，y随之增大，当x减小时，y随之减小，当x=0时，y有最小值。

当二次函数的形式为y=ax²+c时，顶点坐标是（0,c），对称轴是y轴。

其他性质与y=ax²相同。

当二次函数的形式为y=a(x-h)²时，顶点坐标是（h,0），对称轴是以顶点为中心的垂直于x轴的直线。

当x增大时，y随之增大，当x减小时，y随之减小，当x=h时，y有最小值。

当二次函数的形式为y=a(x-h)²+k时，顶点坐标是（h,k），对称轴是以顶点为中心的垂直于x轴的直线。

其他性质与y=a(x-h)²相同。

平移二次函数的图像，可以将抛物线的顶点平移到（h,k）处。

具体方法是保持抛物线形状不变，将其顶点平移到（h,k）处。

如果k>0，则向上平移|k|个单位；如果k<0，则向下平移|k|个单位。

y=ax^2+k向右移动h个单位（h>0）或向左移动|h|个单位（h0）或向下移动|k|个单位（k<0）。

y=a(x-h)^2向上移动k个单位（k>0）或向下移动|k|个单位（k<0），平移规律为“左加右减，上加下减”，概括为八个字。

另一种方法是对于y=ax^2+bx+c，沿y轴平移m个单位向上（下）为y=ax^2+bx+c+m（或y=ax^2+bx+c-m），沿轴平移m个单位向左（右）为y=a(x+m)^2+b(x+m)+c（或y=a(x-m)^2+b(x-m)+c）。

对于二次函数y=a(x-h)^2+k和y=ax+bx+c，两者是不同的表达形式，通过配方可以得到y=ax^2+bx+c，其中h=-b/2a，k=a(h^2)+b(h)+c。

二次函数知识再归纳

二次函数知识再归纳一. 二次函数的性质1.抛物线开口向上(即a ＞0)：抛物线上的点到对称轴的距离越远，y 值越大，到对称轴的距离越近，y 值越小.即：抛物线上的三点A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，顶点C(0x ，0y )，若|1x -0x |＞|2x -0x |，则1y ＞2y ；若|1x -0x |＜|2x -0x |，则1y ＜2y ；2.抛物线开口向下(即a ＜0)：抛物线上的点到对称轴的距离越远，y 值越小，到对称轴的距离越近，y 值越大.即：抛物线上的三点A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，顶点C(0x ，0y )，若|1x -0x |＞|2x -0x |，则1y ＜2y ；若|1x -0x |＜|2x -0x |，则1y ＞2y ；3.无论开口向上还是向下，抛物线上的点到对称轴的距离相等，则y 值相等；反之，抛物线上的点y 值相同，那么它们到对称轴的距离相等(即横坐标相加除以2就是对称轴)；4.若抛物线上的三点A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，C(0x ，0y )，若1y ＞2y ≥0y ，则a ＞0；若1y ＜2y ≤0y ，则a ＜0.二.平移1.图象(或图象上的)点的平移法则：左减右加，上加下减；2.表达式的平移法则：左加右减，上加下减；例如：将y=-2x ²+x-2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到：y=-2(x+1)²+(x+1)-2-2=y=-2x ²-3x-5；(1)平移不改变二次项系数“a ”①左右平移：不改变函数值(即y 值)，若图象与x 轴有两个交点，那么两交点之间的距离不变；若与x 轴交于点A(1x ，1y )，点B(2x ，2y )，则：|AB|=|21x -x |=221)x x (-=21221x x 4-)x x (+②上下平移:不改变自变量(即x)的值，对称轴不变(即a ，b 都不变)；三.轴对称(即翻折)1.关于x 轴对称(1)一般式:y=ax ²+bx+c(a ≠0)变为y=-ax ²-bx-c 顶点式:y=a(x-h)²+k(a ≠0)变为y=-a(x-h)²-k2.关于y 轴对称(1)一般式:y=ax ²+bx+c(a ≠0)变为y=ax ²-bx+c顶点式:y=a(x-h)²+k(a ≠0)变为y=a(x+h)²+k3.关于x=m 对称(1)y=ax ²+bx+c(a ≠0)思路:如图：A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，C(0，c)，作出这三点关于直线x=m 的对称点A ´、B ´、C ´，利用中点坐标公式求出三点的坐标分别为A ´(2m-1x ，0)，B ´(2m-2x ，0)，C ´(2m ，c)，再代入新抛物线的表达式中求即可.(2)顶点式：y=a(x-h)²+k(a ≠0)如上图，作出顶点P(h ，k)关于直线x=m 的对称点P ´，利用中点坐标公式求得P ´(2m-h ，k)，然后代入新抛物线的表达式中求得：y=a(x-2m+h)²+k4.关于y=n 对称(1)y=ax ²+bx+c(a ≠0)思路:如图：A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，C(0，c)，作出这三点关于直线x=m 的对称点A ´、B ´、C ´，利用中点坐标公式求出三点的坐标分别为A ´(1x ，2n-1y )，B ´(2x ，2n-2y )，C ´(0，2n-c)，然后代入新抛物线的表达式中求即可.(2)顶点式：y=a(x-h)²+k(a ≠0)如图，作出顶点P(h ，k)关于直线x=m 的对称点P ´，利用中点坐标公式求得P ´(h ，2n-k)，然后代入新抛物线的表达式中求得：y=-a(x-h)²+2n-k四.成中心对称(即绕着某一点旋转180°)【注:旋转180°，二次项系数“a ”变为了“-a ”】1.关于原点对称(即绕着原点旋转180°)一般式：y=ax ²+bx+c(a ≠0)变为y=-ax ²+bx-c 顶点式:y=a(x-h)²+k(a ≠0)变为y=-a(x+h)²-k2.关于任意一点成中心对称(即绕任意一点旋转180°)(1)y=ax ²+bx+c(a ≠0)思路:如图：A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，C(0，c)，作出这三点关于点P(m ，n)的对称点A ´、B ´、C ´，利用中点坐标公式求出三点的坐标分别为A ´(2m-1x ，2n-1y )，B ´(2m-2x ，2n-2y )，C´(2m，2n-c)，然后代入新抛物线的表达式中求即可.(2)顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0)如图，作出顶点Q(h，k)关于点P(m，n)的对称点Q´，利用中点坐标公式求得Q´(2m-h，2n-k)，然后代入新抛物线的表达式中求得：y=-a(x-2m+h)²+2n-k五.动点问题1.求PA+PC最小思路:作A点关于P点所在直线l的对称点B，连接BC与l相交的点即所求点P.变式：求△PAC周长的最小值 (提示:求出PA+PC的最小值，再加上AC)2.求|PA-PC|最大值思路:若点A、C在P点所在直线l的同侧，直接连接AC并延长与l相交的点即P点；若点A、C在P点所在直线l的异侧，任选一定点(如点A)作关于l的对称点(B)，转化到l同侧，再连接BC并延长与l相交的点即P点.3.等腰三角形例如：已知：y=x²-2x-3，与x轴的交点A(-1,0)，C(3，0)，B(0，-3)，P为对称轴上一点.求△PBC为等腰三角形时，P点的坐标.思路：设点P(1，m)，∵B(0，-3)，C(3，0)，∴PB=22)3m ()01(++-=10m 6m 2++， PC=22)0m ()31(-+-=4m 2+，BC=22)03()30(--+-=32，然后分①PB=BC ；②PC=BC ；③PB=PC 三种情况讨论.4.等边三角形(例如：如图，y=x ²-2x-3，则顶点P(1，-4)，在抛物线上是否存在M 、N 两点，使得△PMN 为等边三角形.思路：设M(t ，t ²-2t-3)，则MQ=1-t ，PQ=t ²-2t-3-(-4)=t ²-2t+1，∴PQ=3MQ ，即t ²-2t+1=3(1-t)，解出t ，就可求出M 点的坐标，进而求出N 点的坐标(当然M 点也可能在右边，N 点在左边)5.直角三角形(1)动点在对称轴或其它直线上思路:设出动点的坐标，并其它两个已知点的坐标，利用两点间的距离公式，表示出三边，再分直角顶点讨论.例如:如图，y=x ²-2x-3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，对称轴为l ，问l 上是否存在点P 使得△PBC 为直角三角形？解析：设点P(1，m)，∵B(3，0)，C(0，-3)，∴PB ²=(1-3)²+(m-0)²=m ²+4，PC ²=(1-0)²+(m+3)²=m ²+6m+10，BC ²=(3-0)²+(0+3)²=18，然后分：①∠PBC=90°，即PB ²+BC ²=PC ²；②∠PCB=90°，即PC ²+BC ²=PB ²；③∠BPC=90°，即PB ²+PC ²=BC ²三种情况讨论.(2)动点在抛物线上若直角顶点的坐标已知，利用1k .k 21-=求；若直角顶点为动点，过直角顶点分别向x 轴、y 轴作垂线，构造“三垂直(K 字型)”，利用相似求.例如：如图，y=x ²-2x-3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，问在抛物线上是否存在点P 使得△PBC 为直角三角形？解析:若∠1P CB=90°，由题意可得直线BC 的表达式为：y=x-3，∴可设BP 1的表达式为y=-x+m ，将B(3，0)代入求得m=3，∴BP 1的表达式为：y=-x+3.将y=-x+3与y=x ²-2x-3联立即可求出点P 1的坐标.若∠2P CB=90°，方法同上，先求出P 2C 的表达式为y=-x-3，然后与y=x ²-2x-3联立即可求出点P 2的坐标.若∠C 3P B=90°，过点P 3分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为M 、N ，则BM=|p y |=-x ²+2x+3， P 3M=3-x ，P 3N=x ，CN=-3-(x ²-2x-3)=-x ²+2x ，而△CNP 3∽△P 3MB ， ∴BM N P M P CN 33=，即3x 2x x x 3x 2x -22++-=-+，解得x=2131+或x=213-1，然后代入表达式即可求出y 值.【同时也求出了满足题意的另一个点P 的坐标】6.等腰直角三角形(1)动点在对称轴或其它直线上思路:设出动点的坐标，并其它两个已知点的坐标，利用两点间的距离公式，表示出三边，再分直角顶点讨论，同时让两条直角边相等.例如:如图，y=x ²-2x-3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，对称轴为l ，问l 上是否存在点P 使得△PBC 为等腰直角三角形？解析：设点P(1，m)，∵B(3，0)，C(0，-3)，∴PB ²=(1-3)²+(m-0)²=m ²+4，PC²=(1-0)²+(m+3)²=m²+6m+10，BC²=(3-0)²+(0+3)²=18，然后分：①∠PBC=90°，即PB²+BC²=PC²，且PB²=BC²；②∠PCB=90°，即PC²+BC²=PB²，且PC²=BC²；③∠BPC=90°，即PB²+PC²=BC²，且PB²=PC²三种情况讨论.(2)动点在抛物线上思路：现在图中找出满足题意的点，分别过各自的直角顶点作垂线，构造“三垂直(K字型)”，利用全等求.例如：y=x²-2x-3的图象上是否存在一点P使△PBC为等腰直角三角形？解析:①∠BCP1时，由△CMP1≌△BOC可求得P1(3，-6)，将x=3代入得9-6-3=0，∴P1不在抛物线上，舍去；②∠CBP2时，由△CNB≌△BQP2可求得P2(3，3)，将x=3代入得9-6-3=0，∴P2也不在抛物线上，舍去；③∠CP3B=90°时，此时P3(0,0)也不满足题意.∴不存在满足题意的点P.【提示：若让在平面内找点P，那么以上三个点都满足题意】7.三角形相似【注意：“∽”只有一种情况；“相似”需分类讨论】思路：一般能够确定一组对应角相等，不确定的角，找出其中一个，然后分情况(一般有两种)讨论.例如:二次函数的图象经过点A（1，0）、B（3，0）两点．设该二次函数的顶点为D，与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点E，连接AD、DE和DB，当△AOC与△DEB相似时，求这个二次函数的表达式.解:∵A（1，0）、B（3，0），所以设y=a(x-1)(x-3)即y=ax²-4ax+3a，当x=0时，y=3a，当x=2时，y=-a，∴C（0，3a），D(2,-a) ∴OC=|3a|,∵A（1，0）、E（2，0），∴OA=1,EB=1,DE=}-a|=|a|，在△AOC与△DEB中，∵∠AOC=∠DEB=90°，∴当DEEB OC AO =时，△AOC ∽△BED ，∴||1|3|1a a =时，此方程无解， ∴当EB DE OC AO =时，△AOC ∽△DEB ，∴1|||3|1a a =时，解得33=a 或33-=a 综上所得：所求二次函数的表达式为：3334332+-=x x y 或3334332-+-=x x y 8.平行四边形 (1)一般的平行四边形【先在图中画出满足题的平行四边形是正确解题的关键】注意:□ABCD 和以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边的区别，前者字母顺序确定，后者字母顺序不确定.①以已知边为边求解时，利用“平移”的方法求解；②以已知边为对角线利用中点坐标公式求.例如：已知：y=x ²-2x-3，A ，B ，C 三点如图所示，问在x 轴上是否存在点Q ，抛物线上是否存在点P ，使得以点B,C,P ，Q 为顶点的四边形为平行四边？解析:连接BC.i) 以BC 为边(P 1、P 2、P 3)设Q(m ，0)，由图可知，当C 点向右平移3个单位，再向上平移3个单位后到达B 点，此时Q 1平移到了P 1，Q 3平移到了P 3，得到P 1、P 3的纵坐标均为3，代入表达式即可求出P 1、P 3两个点的坐标；当B 点向左平移3个单位，再向下平移3个单位后到达C 点，此时Q 2平移到了P 2，得到P 2的纵坐标均为-3，代入表达式即可求出P 2的坐标.ii)以BC 为对角线(P 4)求出BC 的中点坐标M(23-23，)，由中点坐标公式可得到P 4的纵坐标为-3，此时和P 2重合.(2)特殊的平行四边形①菱形思路：先确定它为平行四边形，再让邻边相等或对角线垂直.②矩形思路:先确定它为平行四边形，再保证有一个内角为90°(用勾股定理逆定理：a ²+b ²=c ²)或对角线相等.例如:抛物线C:y=x ²+bx(b ＜0)与x 轴的一个交点为A ，顶点为P ，将其绕着原点旋转180°后得到抛物线C ´，点A 的对应点为点A ´，顶点为P ´，若以点A 、A ´、P 、P ´为顶点的四边形是矩形，求抛物线的表达式.解析:由题意可得P(4b -2b 2， )，OA=OA ´，OP=OP ´，∴四边形APP ´A ´是平行四边形，∴只需OP=OP ´即OA=OP ，∵OP=AP ，∴△OPA 为等边三角形，∴PE=3AE ，即4b 2=3(-2b )，解得b=-23或b=0(舍去)，∴C ´的表达式为：y=x ²-23x.③正方形思路:先确定它为平行四边，再让一组邻边垂直且相等或对角线垂直且相等.例如:已知：y=x ²-2x-3，A ，B ，C 三点如图所示，问在平面内是否存在点P 、Q ，使得以点A,C,P ，Q 为顶点且以AC 为边的四边形是正方形？解析:连接AC.当四边形ACQ 1P 1是正方形时，△AOC ≌△P 1NO ，得P 1(2,1)，又由平移得Q 1(3，-2)；当四边形ACQ 2P 2是正方形时，△AOC ≌△P 2MA ，得P 2(-4,-1)，又由平移得Q 2(-3，-4).9.线段、面积的最值(1)求线段最大例如:已知：y=x ²-2x-3，A ，B ，C 三点如图所示，P 为线段BC 上一点，过P 点作PQ ⊥x 轴交抛物线于点Q ，求PQ 的最大值及点Q 的坐标.解析:由题意可求得BC 的表达式为:y=x-3，可设点P(m ，m-3))(0＜m ＜3)，∴Q(m ，m ²-2m-3)，∴PQ=m-3-m ²+2m+3=-(m-23)²+49，∵-1＜0，∴当m=23时，PQ 最大，最大值为49，然后将m=2代入m ²-2m-3求得y=-415，∴Q(23，-415)，PQ 的最大值为49. (2)求面积最大例如:已知：y=-x ²+2x+3，A ，B ，C 三点如图所示，在BC 上方的抛物线上是否存在一点P 使得四边形ABPC 面积最大？若存在，求出最大面积及点P 的坐标；若不存在，请说明理由.解析:存在.连接PB ，PC ，BC ，过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，设P(m ，-m ²+2m+3)(0＜m ＜3)，由题意可求得BC 的表达式为：y=-x+3，∴Q(m ，-m+3)，PBC ABC ABPC S S S △△四边形+==21AB.OC+21OB.PQ=21×4×3+21×3(-m ²+2m+3+m-3) =-23(m-23)²+875，∴当m=23时，四边形ABPC 的面积最大，最大面积为875，将m=23代入-m ²+2m+3得y=415，∴P(23，415)，四边形ABPC 的面积最大值为875.10.面积相等(1)公共边已知(公共边为底)思路:过(除公共边外的)另一定点作公共边的平行线与抛物线相交的点即所求点. 例如:已知：y=-x ²+2x+3，A ，B ，C 三点如图所示，在抛物线上找一点M.①使ABM ABC S S △△= ②使OBC MBC S S △△=(2)公共边未知(公共边为底)思路:先忽略掉公共底，连接剩下的两个点，然后过公共底的已知点作连成的线段的平行线，与抛物线相交，交点即所求点.例如:已知：y=x ²-2x-3，B(1，0)，D(2,-3)，在抛物线上找一点P ，使得PCD PBD S S △△=. 解析:过点D 作DP ∥BC 交抛物线于一点，这点即点P.∵BC 的表达式为:y=3x-3，∴可设PD 的表达式为:y=3x+m ，将D(2，-3)代入得：m=-9，∴PD 的表达式为y=3x-9，将其和y=x ²-2x-3联立即可求出点P 的坐标.(3)高相等(或相同)思路:截取相等的底例如:已知：y=-x ²+6x-5与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为P ，过点C 作l ∥x 轴，l 上是否存在点Q ，使PAC PBQ S S △△=.解析:存在. CAE PAE PAC S S S △△△+=，QMB PMB PBQ S S S △△△+=，而△PAE 和△PMB 高相同，△CAE 和△QMB 高相等，∴只需底BM=AE 即可.∵A(1,0)，B(5，0)，C(0,-5)，P(3,4)，∴PC 的表达式为:y=3x-5，∴E(35，0)，∴AE=32， ∴BM=32，∴M 1(313，0)，M 2(317，0)，∴PM 1的表达式为：y=-3x+13，将其和y=-x ²+6x-5联立即可求出点Q 1的坐标；PM 2的表达式为：y=-23x+217，将其和y=-x ²+6x-5联立即可求出点Q 2的坐标；(4)不同底，也不等高思路:用21×底×高(或21×水平宽×铅垂高)表示出面积，使其和已知三角形(或四边形)的面积相等.例如:已知:y=-x ²+2x+3，A 、B 、C 三点如图所示，M 为顶点，连接BC ，BM ，CM ，在x 轴下方的抛物线上是否存在一点P ，使BCM ABP S S △△=解析:利用21×水平宽×铅垂高求出BCM S △=21OB.MN=21×3×2=3，ABP S △=21AB.|P y | =21×4×|-x ²+2x+3|=2(x ²-2x-3)=2x ²-4x-6，∴3=2x ²-4x-6，解出x 即可求出点P 的坐标.(即图中的P 1，P 2)(5)面积的倍、分关系例如:已知：y=x ²-2x-3，A ，B ，C 三点如图所示，D(4,5)，抛物线上是否存在一点P ，使 2ABP S △=ACBD S 四边形.解析:存在. ∵2ABP S △=ACBD S 四边形，∴2×21AB|P y |=21AB.D y +21AB.OC ∴4|P y |=21×4×5+21×4×3,即|x ²-2x-3|=4，求出x 即可求出满足题意的点P 的坐标. 11.角相等这类题目比较灵活，常见的解题方法有:①利用“△的相似”求解；②利用“三角函数值相等”求解；③利用“△全等”求解；④“作平行线”求解等.(1)作平行线、作对称(△全等)例如:已知：y=x ²-2x-3，A ，B ，C 三点如图所示，在抛物线上是否存在点P ，使∠ABP=∠CAB ？解析:存在. 若P 点在x 轴上方的抛物线上，过点B 作BP ∥AC 交抛物线于点P 1，由两直线平行，内错角相等得∠ABP 1=∠CAB ；若P 点在x 轴下方的抛物线上，作C 点关于对称轴的对称点P 2，过P 2作P 2M ⊥x 轴于点M ，则△P 2BM ≌△CAO ，∴∠ABP 2=∠CAB.例如:已知:y=-x ²+2x+3，A 、B 、C 三点如图所示，D(2，3)，问抛物线上是否存在一点P 使∠CBD=∠CBP ？分析:存在.由题意可得CD ⊥y 轴，OB=OC ，∴∠OBC=∠OCB=45°，∴∠DCB=45°，CD=2，在y 轴上截取CG=CD=2，∴G(0,1)，△DCB ≌△GCB(SAS)，∴∠CBD=∠CBP ，延长BG 交抛物线于一点，这点就是所求的点P.求出BG 的表达式为:y=-31x+1，将其与y=-x ²+2x+3联立即可求出点P 的坐标.(2)利用“三角函数值相等”(或“△的相似”)求例如:已知：y=x ²-4x+3，与x 轴交于点A ，B 与y 轴交于点C ，顶点为D ，对称轴为l ，在l 上是否存在一点M 使∠ABC=∠AMD ？解析:存在.过点A 作AE ⊥BC 于点E ，利用ABC S △=21AB.OC=21BC.AE ，得AE=BC OC AB .=2332⨯=2，∴ CE=22AE AC -=22，∴tan ∠ACB=CE AE =21222=，设M(2，m)，AN=1， ∴tan ∠AMD=MN AN =|m |1=21，∴m=±2，∴M(2，2)或(2，-2).。

二次函数中的三角形问题二

文档收集于互联网，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.文档收集于互联网，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.文档收集于互联网，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.文档收集于互联网，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.文档收集于互联网，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.学习过程一、复习预习1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.文档收集于互联网，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持. （一）三角形的性质和判定：1、等腰三角形性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。

判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。

2、直角三角形性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。

1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.文档收集于互联网，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持. 判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。

3、等腰直角三角形性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45°。

判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形4、等边三角形性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。

1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.文档收集于互联网，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持. 判定：三边相等，三个角相等，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

（二）求作等腰三角形、直角三角形的方法：图一两圆一线图解图二两线一圆图解总结：（1）通过“两圆一线”可以找到所有满足条件的等腰三角形，要求的点（不与A、B点重合）即在两圆上以及两圆的公共弦上（2）通过“两线一圆”可以找到所有满足条件的直角三角形，要求的点（不与A、B点重合）即在圆上以及在两条与直径AB垂直的直线上。

二次函数问题周长最小或最值问题

二次函数问题周长最小或最值问题(共4页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-二次函数问题周长最小或面积倍分专题复习1如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（-2，0）、B（6，0）、C（0，3），2抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点。

（1）求直线AC的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）若抛物线的顶点为D，在直线AC上是否存一点P，使得△BDP的周长最小，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。

2、（9分）如图13，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0）（1）求抛物线的解析式（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.（3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.3．如图，二次函数y=ax2－5ax＋4a(a≠0)的图象与x轴交于Ａ、B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C，点C关于抛物线对称轴的对称点为D，连结BD．(1)求A、Ｂ两点的坐标；(2)若AD⊥BC，垂足为P，求二次函数的表达式；(3)在(2)的条件下，若直线x=m把△ABD的面积分为1∶2的两部分，求m的值．4已知一元二次方程x2﹣4x+3=0的两根是m，n且m＜n．如图，若抛物线y=﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n）．（1）求抛物线的解析式．（2）若（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C．根据图象回答，当x取何值时，抛物线的图象在直线BC的上方（3）点P在线段OC上，作PE⊥x轴与抛物线交于点E，若直线BC将△CPE的面积分成相等的两部分，求点P的坐标．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，一抛物线的顶点坐标是（0，1），且过点（﹣2，2），平行四边形OABC的顶点A、B在此抛物线上，AB与y轴相交于点M．已知点C的坐标是（﹣4，0），点Q（x，y）是抛物线上任意一点．（1）求此抛物线的解析式及点M的坐标；（2）在x轴上有一点P（t，0），若PQ∥CM，试用x的代数式表示t；（3）在抛物线上是否存在点Q，使得△BAQ的面积是△BMC的面积的2倍若存在，求此时点Q的坐标．6在梯形OABC中，CB∥OA，∠AOC=60°，∠OAB=90°，OC=2，BC=4，以点O为原点，OA所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，另有一边长为2的等边△DEF，DE在x轴上（如图（1）），如果让△DEF以每秒1个单位的速度向左作匀速直线运动，开始时点D与点A重合，当点D到达坐标原点时运动停止．（1）设△DEF运动时间为t，△DEF与梯形OABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式．（2）探究：在△DEF运动过程中，如果射线DF交经过O、C、B三点的抛物线于点G，是否存在这样的时刻t，使得△OAG的面积与梯形OABC的面积相等若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．7．如图，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（8，6），直线AC和直线OB相交于点M，点P是OA的中点，PD⊥AC，垂足为D．（1）求直线AC的解析式；（2）求经过点O、M、A的抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否存在Q，使得S△PAD ：S△QOA=8：25，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．。

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二次函数综合题专题训练
一、面积最大
1、如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．
（1）求直线BC与抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；
2、如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（-3，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．
①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC．求点P的坐标；
②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．
3、如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0），B（1.0），C（0，-3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；
二、周长最小
4、已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；
5如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．
6如图，已知抛物线y=a 1（x-2）（x+a ）（a ＞0）与x 轴交于点B 、C ，与y 轴交于点E ，且点B 在点C 的左侧．
（1）若抛物线过点M （-2，-2），求实数a 的值；
（2）在（1）的条件下，解答下列问题；
①求出△BCE 的面积；
②在抛物线的对称轴上找一点H ，使CH+EH 的值最小，直接写出点H 的坐标．。