统计与概率上课课件

一、 简单随机抽样1. 总体、个体、样本、样本容量的概念以及统计的基本思想方法总体：所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合看作总体． 个体：构成总体的每一个元素作为个体．样本：从总体中抽出若干个体所组成的集合叫做样本． 样本容量：样本中个体的数目叫样本容量．统计的基本思想方法：用样本估计总体，即通常不去直接去研究总体，而是通过从总体中随机抽取一个样本，根据样本的情况去估计总体的相应情况．2. 简单随机抽样的概念：从元素个数为N 的总体中不放回地抽取容量为n 样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样． 3. 简单随机抽样的特点：（1） 被抽取样本的总体的个数有限；（2） 从总体中逐个地进行抽取，使抽样便于在实践中操作； （3） 它是不放回抽样，使其具有广泛的应用性； （4） 它是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是nN，保证了抽样方法的公平性． 4. 常用的简单随机抽样方法：（1） 抽签法：把总体中的N 个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一张号签，连续抽取n 次，就得到一个容量为n 的样本． ① 抽签法的步骤：a 编号，即给总体中的所有个体编号，号码可以从1到N ．.b 制签，即将1~N 这N 个号码写在形状、大小相同的号签上（号签可以用小球、卡片、纸条等制作）.c 搅拌均匀，即将号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀．.d 逐个不放回抽取，即从容器中每次抽取一个号签，并记录其编号，连续抽取n 次．② 抽签法的优缺点：.a 优点：简单易行．内容随机抽样.b缺点：当总体的容量非常大时，费时、费力又不方便．况且，如果号签搅拌的不均匀，可能导致抽样的不公平．（2）随机数表法:随机数表是由0,1,2,,9这10个数字组成的数表，并且表中的每一位置出现各个数字的可能性相同．通过，随机数表，根据实际需要和方便使用的原则，将几个数组合成一组，然后通过随机数表抽取样本．①随机数表法的步骤：.a编号，即将总体中的所有个体进行编号（每个号码位数一致）；.b在随机数表中任选一个数作为起始号码；.c从选定的数开始按一定的方向读下去，得到的号码若不在编号中，则跳过，若再编号中，则取出，如果得到的号码前面已经取出，也跳过，如此继续下去，直到取满为止；②随机数表法的优缺点：.a优点：简单易行，它很好的解决了用抽签法当总体中的个体数较多时制签难的问题．.b缺点：当总体中的个体数很多，需要的样本容量也很大时，用随机数表法抽取仍不方便．5.简单随机抽样的应用常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数表法．抽签法一般适用于容量较小的总体，易于操作；随机数表法解决了制签比较麻烦的问题，但在利用“随机数表法”进行简单随机抽样时，要严格按照课本中介绍的步骤，否则易出错误．结合具体的问题，我们应灵活使用这两种方法．二、系统抽样1.系统抽样的概念：当总体元素个数很大时，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样．（由于抽样样的间隔相等，因此系统抽样也被称作等距抽样）2.系统抽样的步骤：①编号，即将总体中的个体编号．为方便起见，也可直接利用个体所带有的号码，如准考证号、门牌号等；②分段，即为将整个的编号进行分段，要确定分段的间隔k．当Nn是整数时，Nkn=；当Nn不是整数时，则可用简单随机抽样的方法从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体个数'N能被n整除，这时'Nkn =．③确定起始个体编号，即由数字1~k中随机抽取一个数S．④按照预先确定的规则抽取样本，即通常是将S依次加上间隔k的倍数，这样样本的编号依次是：,,2,,(1).S S k S k S n k+++-3.系统抽样的公平性当Nn是整数时，Nkn=；当Nn不是整数时，则可用简单随机抽样的方法从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体个数'N能被n整除，这时'Nkn，上述过程中，总体的每个个体被剔除的可能性相同，也就是说每个个体不被剔除的可能性相同，所以在整个抽样过程中每个个体抽取的可能性仍然相同．4.系统抽样的特点①适用于总体容量较大的情况；②剔除多余个体及第一段抽样都用简单随机抽样，因而与简单随机抽样有密切联系；③它是等可能抽抽样，每个个体被抽到的可能性都是nN．三、分层抽样1.分层抽样的概念：当总体由有明显差别的几部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，我们经常将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样，这样的抽样方法叫做分层抽样．2.分层抽样的步骤：①分层，即将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分；②按比例确定每层抽取个体的个数；③各层抽样，即各层中采用简单随机抽样或系统抽样抽取相应的个数；④汇合成样本．3.分层抽样的特点①适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；②更充分的反映了总体的情况；③它是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是nN．四、三种抽样方法的比较1.简单随机抽样【例1】 为了调查全国人口的寿命，抽查了十一个省市的2500名城镇居民，则该问题中的2500名城镇居民是（ ）A ．总体B ．个体C ．样本D ．样本容量【例2】 在简单抽样中，某一个个体被抽的可能是（ ）A ．与第n 次抽样有关，第一次抽中的可能性大些B ．与第n 次抽样无关，每次抽中的可能性相等C ．与第n 次抽样有关，最后一次抽中的可能性较大D ．与第n 次抽样无关，每次都是等可能抽取，但各次抽取的可能性不一样【例3】 现从80件产品中随机抽出20件进行质量检验．下列说法正确的是（ ）A ．80件产品是总体B ．20件产品是样本C ．样本容量是20D ．样本容量是80【例4】 利用简单随机抽样从含有6个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，则总体中每个个体被抽到的可能是（ ）A ．21B ．31 C ．61 D ．41【例5】 对总数为N 的一批零件抽取一容量为30的样本，若每个零件被抽取的可能性为25%，则N 为（ ）A ．150B ．200C ．100D ．1202.系统抽样【例6】 下列抽样试验中，最适宜用系统抽样法的是（ ）A ．某市的4个区共有2000名学生，且4个区的学生人数之比为3:2:8:2，从中抽取200人入样B ．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个入样C ．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个入样D ．从某厂生产的20个电子元件随机抽取5个入样【例7】 有40件产品，编号从1至40，现在从中抽取4件检验，用系统抽样法所抽的编号可能为（ ）A ．5101520，，， B ．2122232，，， C ．2142638，，， D ．583136，，， 3.分层抽样【例8】 某中学高中部有三个年级，其中高一有学生400人，采用分层抽样抽取一个容量为45的样本，高二年级抽取15人，高三年级抽取10人，问高中部共有多少学生？【例9】 某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1~200编号，并按编号顺序平均分为40组（1~5号，6~10号，…，196~200号）．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是 ．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取______人．一、 用样本的频率分布估计总体的频率分布1. 频率分布直方图（1）列出样本数据的频率分布表和频率分布直方图的步骤：①计算极差：找出数据的最大值与最小值，计算它们的差； ②决定组距与组数：取组距，用极差组距决定组数； ③决定分点：决定起点，进行分组；④列频率分布直方图：对落入各小组的数据累计，算出各小数的频数，除以样本容量，得到各小组的频率．⑤绘制频率分布直方图：以数据的值为横坐标，以频率组距的值为纵坐标绘制直方图。

（2）易知小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率；所有长方形的面积之和等于1； （3）频率分布折线图：将频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连接起来，就得到频率分布折线图，一般把折线图画成与横轴相连，所以横轴左右两端点没有实际意义．（4）总体密度曲线：样本容量不断增大时，所分组数不断增加，分组的组距不断缩小，频率分布直方图可以用一条光滑曲线()y f x 来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线．总体密度曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的规律． 2. 茎叶图（1）制作茎叶图的步骤：40－50岁50岁以上40岁以下用样本估计总体②将最大茎与最小茎之间的数字按大小顺序排成一列，并画上竖线作为分隔线； ③将各个数据的“叶”在分界线的一侧对应茎处同行列出． （2）茎叶图的优点：①没有原始信息的损失，所有的数据信息都可以从茎叶图中得到； ②茎叶图可以在比赛时随时记录，方便记录与表示二、用样本的数字特征估计总体的数字特征1. 用样本的平均数估计总体平均数（1）众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据；（2）中位数：将样本数据按大小顺序排列，若数据的个数为奇数，则最中间的数据为中位数，若样本数据个数为偶数，则取中间两个数据的平均数作为中位数。

（3）平均数：一般地，设样本的数据为12n x x x ，，，,则样本的算术平均数为12nx x x x n+++=；（4）众数、中位数、平均数的异同：①众数、中位数、平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量；②平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动； ③众数考察各数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题；④中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给数据中，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势；⑤实际问题中求得的平均数、众数和中位数应带上单位。

（5）平均数相关结论：①如果两组数12,,,n x x x 和12,,,n y y y 的平均数分别是x 和y ，则一组数1122,,,n nx y x y x y +++的平均数是x y +； ②如果一组数12,,,n x x x 的平均数为x ，则一组数12,,,n kx kx kx 的平均数为kx 。

③如果一组数12,,,n x x x 的平均数为x ，则一组数12,,,n x a x a x a +++的平均数为x a +2. 用样本的标准差估计总体的标准差（1）数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述；（2）极差（又叫全距）是一组数据的最大值和最小值之差，反映一组数据的变动幅度； （3）样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小；一般地，设样本的数据为12n x x x ，，，，样本的平均数为x ， 定义样本方差为222212()()()n x x x x x x s n-+-++-=；简化公式：22222121[()]n s x x x nx n=+++-=2222121()n x x x x n+++-（方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方）（4）样本的标准差是方差的算术平方根．样本标准差s =（5）方差相关结论： ①如果一组数12,,,n x x x 的方差为2s ，则一组数12,,,n x a x a x a +++的方差为2s ；②如果一组数12,,,n x x x 的方差为2s ，则一组数12,,,n kx kx kx 的方差为22k s 。