常见不等式的几何直观
刘蒋巍：3道考察“几何直观与直观想象”素养的中考数学原创小题的命制
3道考察“几何直观与直观想象”素养中考数学原创小题的命制文/刘蒋巍近期，应老师们的要求，出了一些原创题，以引领“核心素养”大背景下的教学，让复习课教学更有针对性。
【试题呈现】【试题1——几何直观】如图所示的是一个直径为1的圆，以及圆上的两个锐角θ和ϕ，记ϕsin =a ，θsin =b 这幅图说明了：若θϕ>，则a 与b 的大小关系为_____________【试题2——几何直观】如图1所示，四个b a ⨯的矩形可以放进一个边长为b a +的正方形之中（如果b a ≠，正方形的中间将会多出一部分空间）。
由图1，我们可以“直观”地解释不等式“2)(4b a ab +≤”。
如图2所示，考虑两个直角边长分别是a 和b 的等腰三角形，它们的面积分别是22a 和22b 。
将这两个直角三角形拼在一起，形成了一个边长是a 和b 的矩形（如果b a ≠，矩形的外部将会多出一部分），由图2，我们可以“直观”解释的不等式为__________________图1 图2【试题3——直观想象能力】在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中（即：1111111111111============DD CC BB AA A D D C C B B A DA CD BC AB ），Q 为正方形1111D C B A 内一动点（含边界），Q B BB 11⊥；若26=BQ ，则Q 点的轨迹长度为________；若点P 为侧面正方形C C BB 11上的一个动点（包含边界），则满足BP P B 21=的点P 的轨迹长度为___________【命制背景】【试题1、2——几何直观】用几何图形去解释常见的不等式。
【试题3——直观想象能力】立体几何出题背景，考察核心素养——直观想象。
【参考答案】【试题1——几何直观】b a >【试题2——几何直观】)0,0(222>>+≤b a b a ab 【试题3——直观想象能力】π42;92π 解题思路：Q 点的运动轨迹为以1B 为圆心，22为半径的41圆，则Q 点的轨迹长度为π2221⋅，即：π42 由BP P B 21=且点P 为侧面正方形C C BB 11上的一个动点（包含边界），可知:P 点的轨迹为一段60°的圆弧（阿波罗尼斯圆☉O 的一部分）。
几个不等式的几何证明
几个不等式的几何证明
几何证明是数学研究中广泛使用的方法，它由一系列规则、定理和复杂的分析步骤组成，可以提供有效、可信的证明。
在几何证明中，一系列不等式的论证是常见的现象。
本文将以几个例子说明这些不等式的几何证明，主要包括：解三角型不等式、多边形内角和多边形外接圆的面积和周长的不等式。
首先，解三角型不等式，一般以三角形的腰或边长作为不等式的两个变量，公式为：
a+b>c
另一种三角形不等式为：
a +
b > c
这些不等式通过三角形的定义，包括腰和边的定义，可以得出结论。
为了证明这些不等式，可以用图形证明法和不等式归纳法来进行论证。
其次，多边形内角和外接圆的面积和周长的不等式，一般来说，多边形的内角之和与外接圆的面积和周长成正比，公式可以写为：Σ(内角) >r
Σ(周长) > 2πr
首先要证明的是，多边形的内角之和必须大于πr，以证明这一点，可以用奥尔特罗定理来证明：如果一个多边形的顶点在一个圆内，那么它的内角和必须大于它的外接圆的面积，即πr。
然后，要证明多边形的周长之和大于2πr，这一证明也十分简
单，只需要根据多边形的定义，将其周长之和相加即可得出结论。
此外，有一些更复杂的不等式，例如多边形的内角和它的外接圆的周长之间的关系，这一不等式还没有得到满意的证明，感兴趣的学者仍在继续深入研究。
综上所述，几何证明中出现的一系列不等式是一个极其重要的论证课题，本文仅介绍了其中几个，后续还有很多不等式论证可以学习，同学们可以多多练习，扩大视野。
高考数学知识点：不等式
高考数学知识点：不等式1500字高考数学中的不等式是一个重要的知识点，几乎在每年的高考试卷中都会出现。
不等式在很多实际问题中都有重要的应用，如经济学中的利润最大化问题、几何学中的面积最大最小问题等。
下面将对高考数学中常见的不等式知识点进行详细介绍。
一、一元一次不等式一元一次不等式的形式为ax+b>0（或ax+b≥0）、ax+b<0（或ax+b≤0），其中a和b为已知实数，x为未知数。
要求解这类不等式，需要注意以下几点：1. 若a>0，则当a>0时，不等式两侧都乘以正数a；当a<0时，不等式两侧都乘以负数a，不等号方向不变。
2. 若a<0，则当a>0时，解的不等式两侧都乘以负数a，不等号方向相反；当a<0时，解的不等式两侧都乘以正数a，不等号方向不变。
3. 若a=0，则不等式只有在b>0（或b≥0）和b<0（或b≤0）时有解。
二、一元二次不等式一元二次不等式是形如ax²+bx+c>0（或ax²+bx+c≥0）、ax²+bx+c<0（或ax²+bx+c≤0）的不等式，其中a、b、c为已知实数，a≠0。
要求解一元二次不等式，需要经过以下几个步骤：1. 确定a的正负性，若a>0则为开口向上的抛物线，若a<0则为开口向下的抛物线。
2. 计算抛物线的顶点坐标，即x₀=-b/2a。
3. 根据a的正负性确定抛物线的上升段或下降段。
4. 根据a的正负性确定不等式的解集。
三、绝对值不等式绝对值不等式是形如|ax+b|>c（或|ax+b|≥c）、|ax+b<c（或|ax+b|≤c）的不等式，其中a、b、c为已知实数，a≠0且c>0。
要求解绝对值不等式，需要根据绝对值的定义和性质进行推导，具体步骤如下：1. 根据绝对值的定义，将不等式分为正数和负数两个部分。
2. 对于正数部分，去掉绝对值符号，并得到一个二次不等式。
6几何不等式
§6几何不等式几何中表示量的不等关系的式子叫做几何不等式.几何不等式就其形式来说分为线段不等式、角不等式以及面积不等式三类.下面给出一些基本的几何不等式性质. (1) 在三角形中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边. (2) 在同一个三角形中,大边对大角,小边对小角;反之也成立.(3) 两组对边对应相等的两个三角形中,夹角大的第三边也大;反之也成立.(4) 三角形内任一点到两顶点的距离之和小于另一顶点到这两个顶点的距离之和. (5) 三角形一边上的中线小于另外两边之和的一半. (6) 在△ABC 中,点P 是边BC 上任意一点,则有 PA ≤max{AB ,AC }, 当点P 与点B 或C 重合时,等号成立.在解决几何不等式问题时,经常要用到一些已经学过的基本定理和已经证明过的结论,运用不等式的基本性质,通过几何、三角、代数等解题方法进行计算和证明.同时,还需考虑几何图形的特点和性质. 1、与线段有关的不等式问题 例1、已知BC 是△ABC 的最长边,O 是△ABC 内部任意一点,直线OA 、OB 、OC 分别交对边于点1A 、1B 、1C .证明:(1)1OA +1OB +1OC <BC ;(2)1OA +1OB +1OC ≤max{1AA ,1BB ,1CC }.证明:(1)如图1,过点O 作OX ∥AB ,OY ∥AC ,分别交BC 点X 、Y . 再过点X 、Y 分别作XS ∥1CC ,YT ∥1BB ,分别交AB 、AC 于点S 、T .因为△OXY ∽△ABC ,则XY 是△OXY 的最大边.由性质6知 1OA <max{OX ,OY }≤XY .又△BXS ∽△BC 1C ,△YCT ∽△BC 1B ,所以,由1CC <max{CA ,BC }=BC ,可得BX >XS =1OC .同理,CY >YT =1OB . 故BC =XY +BX +YC >1OA +1OB +1OC .(2)设11OA AA =x , 11OB BB =y , 11OC CC =z . 则 x +y +z =OBC ABC S S +OCA ABC S S +OABABCS S =1.故1OA +1OB +1OC =x 1AA +y 1BB +z 1CC ≤(x +y +z )max{1AA ,1BB ,1CC } =max{AA 1 ,BB 1 , CC 1 }.说明:其实,(2)比(1)更强,由(2)可以推得(1). 例2、如图2,在△ABC 中,∠B =2∠C .求证:AC <2AB.证明:延长CB 至D ,使得DB =AB .则有∠D =∠BAD ,∠ABC =2∠D . 由题设知∠ABC =2∠C .所以,∠D =∠C .故AD = AC .在△ABC 中,因为DB +AB >AD ,即2AB >AD ,所以,AC <2AB .说明:(1)把问题中的不等量尽量集中到一个三角形(或者 两个具有紧密关系的三角形) 中,利用三角形中的线段不 等关系(或角的不等关系)解决问题.这是一种常用的解题 思路.(2)若将题中的“∠B =2∠C ”改为“∠B =n ∠C ”,可以得到相似的结论:在△ABC 中, 若∠B =n ∠C (n 是不小于2的正整数),则AC ≤nAB .例3、已知P 是△ABC 内任一点.(1)求证: 12(AB +BC +CA )<PA +PB +PC <AB +BC +CA ; (2)若△ABC 是正三角形,且边长为1,求证: 32<PA +PB +PC <2. 分析:不等式12(AB +BC +CA )<PA +PB +PC 可化为AB +BC +CA <2(PA +PB +PC )=(PA +PB )+(PB +PC )+ (PC +PA ),由“三角形两边之和大于第三边”即可得证.由不等式PA +PB +PC <AB +BC +CA 的轮换对 称性,只要证明PA +PB <CA +CB 即可.证明:(1)在△PAB 中,PA +PB >AB .同理,PB +PC >BC ,PC +PA >CA .三式相加得 2(PA +PB +PC )>AB +BC +CA ,即12(AB +BC +CA )<PA +PB +PC .又由性质4知PA +PB <CA +CB .同理,PB +PC <AB +AC ,PC +PA <BC +BA .三式相加得 PA +PB +PC <AB +BC +CA . 综上可知12(AB +BC +CA )<PA +PB +PC <AB +BC +CA .(2)如图3,若△ABC 是正三角形,过P 作MN ∥BC ,交AB 于M 、交AC 于N , 则△AMN 也是正三角形.由(1)的结论知PA +PB +PC >12(AB +BC +CA )=32.又由性质6有AP ≤max{AM ,AN }=AM ,且BP <BM +MP ,CP <NC +NP . 三式相加得AP +BP +CP <AB +MN +NC =AB +AN +NC =AB +AC =2.所以,32<PA +PB +PC <2.例4、已知凸六边形ABCDEF 的边长都为1.证明:对角线AD 、BE 、CF 中至少有一条不超过2. 证明:如图4,由于∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =720,故不妨设∠A +∠F ≤7203=240°.作菱形ABGF ,则∠GFE ≤60°,FG =FE =1.于是,GE 是△FGE 的最小边. 故GE ≤1.又BG =1,则BE ≤BG +GE ≤2.例5、有A 、B 、C 三个村庄成三角形(如图5),A 、B 、C 三个村 庄上小学人数的比为1∶2∶3.现需要办一所小学.问小学应设在什么地方,才能使得上学儿童所走的路程的总和S 最小?解:设小学办在点P ,A 、B 、C 三个村庄的上学人数分别为a 、2a 、3a .则 S =aPA +2aPB +3aPC =a (PA +PC )+2a (PB +PC )≥aAC +2aBC . 当且仅当P =C 时,上式等号成立. 所以,小学设在C 村庄,可以使得上学 儿童所走的路程的总和S 最小.2、与角有关的不等式问题例6、在△ABC 中,已知12AC >AB .求证:12∠ABC >∠ACB . 证明:因为AC >2AB >AB ,所以,∠ABC >∠ACB . 如图6,作∠ABD =∠ACB ,交AC 于D . 下面只要证明∠CBD >∠ACB .因为△BAD ∽△CAB ,所以,BC BD =ACAB>2,即BC >2BD . 又CD >BC -BD ,两式相加得BC +CD >2BD +BC -BD =BD +BC ,即CD >BD .所以,∠CBD >∠ACB .故∠ABC =∠ABD +∠DBC >∠ACB +∠ACB =2∠ACB . 从而,12∠ABC >∠ACB .说明:与角有关的不等式常常转化为边的不等式进行证明. 例7、已知平面内的任意四点,其中任意三点不共线.试问:是否一定能从这样的四个点中选出三点构成一个三角形,使得这个三角形至少有一个内角不大于45°?试证明你的结论.证明:根据内角的大小分情况讨论.(1)如图7,若四边形ABCD 是凸四边形,那么,必有一个内 角不大于90°,不妨设为∠A .于是,∠A =∠BAC +∠CAD ≤90. 所以,∠BAC 与∠CAD 中必有一个不大于45°.(2)如图8,若四边形ABCD 是凹四边形,联结AC ,则△ABC 中必有一个内角小于或等于60,不妨设为∠A .于是,∠A =∠BAD +∠CAD .所以,∠BAD 与∠CAD 中必有一个不大于12×60=30≤45.综上可知,一定可以从中选出三点符合题意.说明:由不等式的性质“若1a +2a +⋯+n a =m (1a ，2a ，⋯，n a 为正数),则必存在i a (i =1,2,⋯,n ),满足i a ≤mn”,得出“凸四边形必有角不大于90°,三角形中必有角不大于60°”的结论,由此找出不大于90°的∠A .再将∠A 分成两个角,得到含有不大于45°内角的三角形. 3、与面积有关的不等式问题例8、在△ABC 中,点D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上.求证:min{AEF S ,BFD S , CDE S }≤14ABC S .证明:设min{AEF S ,BFD S , CDE S }=S .如图9,注意到又由均值不等式知同理,则故min{AEF S ,BFD S , CDE S }≤14ABC S说明:在处理几何不等式最大值与最小值问题时,常常会用到一些代数不等式.本题用到了不等式2()x y +≥4xy .例9、正△ABC 的边长为1,点M 、N 、P 分别在边BC 、CA 、AB 上,且MB +CN +AP =1.求△MNP 面积的最大值.解:如图10,设BM =x ,CN =y ,AP =z .则0≤x 、y 、z ≤1,x +y +z =1.故ANP S +BPM S +CMN S =12[x (1-z )+y (1-x )+z (1-y )]sin60°=34[x (1-z )+y (1-x )+z (1-y )]. 由2()x y z ++≥3(xy +yz +zx ),易得xy +yz +zx ≤13.从而,x (1-z )+y (1-x )+z (1-y )=x +y +z -(xy +yz +zx )≥1-13=23.故NMP S =ABC S -（ANP S +BPM S +CMN S当x =y =z =13时,上式等号成立.因此,△MNP 例10、△ABC 是边长为8的正三角形,M 是边AB 上一点,MP ⊥AC 于点P ,MQ ⊥BC 于点Q ,联结PQ . (1)求PQ 的长的最小值;(2)求△CPQ 面积的最大值.解:(1)设△ABC 的高为h ,则h =由ACM S +BCM S =ABC S ,得MP +MQ =h =如图11,过点P 、Q 分别作边AB 的垂线,垂足分别为1P 、1Q . 因为∠PMA =∠QMB =30°,所以,1PM =PM ,1Q M =QM QM ,PQ ≥11PQ =1PM +1MQ PM +QM )=6. 当M 为AB 的中点时,上式等号成立. 因此,PQ 的最小值为6.(2)因为∠PMA =∠QMB =30°,所以,AP +BQ =12AM +12BM =12AB =4,CP +CQ =16-(AP +BQ )=12.故CPQ S =12CP ·CQ sin C ·CQ 2()4CP CQ =.当M 为AB 的中点时,上式等号成立.因此,△CPQ 面积的最大值为4、费马点问题例11、在已知平面内找一点P ,使得它到△ABC 三个顶点的距离之和最小(此点称为费马(Fermat)点).解:(1)证明点P 不会在△ABC 外.如图12,将△ABC 外部分为6个区域. 若点P 在区域Ⅰ中(如图13),则有 AB +AC ≤PB +PC <PA +PB +PC ,即点A 到三顶点的距离之和比点P 到三顶点的距离之和小. 若点P 在区域Ⅲ和Ⅴ,也有同样的结论.若点P 在区域Ⅵ中(如图14),设BP 交AC 于点Q .则有 QA +QB +QC =QB +AC <BP +AC <PA +PB +PC ,即点Q 到A 、B 、C 三点的距离之和比点P 到A 、B 、C 三点 的距离之和小.若点P 在区域Ⅱ和Ⅳ,也有同样的结论. 因此,点P 一定在△ABC 的内部或边上.(2)当△ABC 的三个内角均小于120时,以BC 、CA 、AB 为边分别向△ABC 外作等边△BCD 、等边△CAE 、等边△ABF ,再分别作 三个等边三角形的外接圆.三个外接圆的圆周在△ABC 内的交点,即对△ABC 三边张角均 为120°的点记为点P (如图15).下面证明:对于△ABC 内任意一点Q ,都有PA +PB +PC ≤QA +QB +QC .过A 、B 、C 三点分别作PA 、PB 、PC 的垂线,三条垂线相交所成 的三角形记为△111A B C .因为P 对△ABC 三边张角均为120°,则 ∠111B AC =∠111C B A =∠111ACB =60°. 所以,△111A BC 是正三角形,设其边长为a .任取不同于P 的一点Q ,向△111A B C 的三边作垂线,得到距离1h 、2h 、3h . 由“正三角形内任一点到三边距离之和等于正三角形的高”得 2111A B C S =a (PA +PB +PC )=a (1h +2h +3h )≤a (QA +QB +QC ). 因此,PA +PB +PC ≤QA +QB +QC .当且仅当Q =P 时,上式等号成立.如图16,将△BAQ 绕点A 旋转,使B 成为CA 延长线上一点B ′,Q 为Q ′. 因为旋转角小于或等于60°,所以,QQ ′≤AQ . 则QA +QB +QC ≥QQ ′+Q ′B ′+QC ≥CB ′=CA +AB . 当且仅当Q =A 时,上式等号成立.综上所述,当△ABC 各个内角均小于120°时,费马点为△ABC 内部对三角形的三边张角均为120°的点. 若△ABC 中有一 内角不小于120°,则此内角的顶点即为费马点. 练习题1.在△ABC 中,若∠B =n ∠C (n 是不小于2的正整数),则AC ≤nAB .(提示:如图18,在△ABC 的外接圆上,将∠B所对的AC n 等分,联结相邻分点得n 条彼此相等的弦,且这些弦都与AB 相等. 因为折线A 12A A ⋯1n A -C 的长大于AC ,所以,AC ≤nAB .)2.在△ABC 中,AB >AC ,AM 为中线,P 为△AMC 内一点.证明:PB >PC .(提示: 易知 ∠AMB >∠AMC .于是,∠AMC <90°.过P 作PH ⊥BC 于点H ,则垂足H 必在MC 的内部 或其延长线上.从而,BH >CH .因此,PB >PC .)3.在Rt △ABC 中,P 是斜边BC 的中点,Q 、R 分别是AB 、AC 上的点.求证:△PQR的周长大于BC 的长.(提示:如图19,分别作点P 关于AB 、AC 的对称点M 、N ,联结 MQ 、NR .由对称性知PQ =MQ ,PR =NR .联结AP ,由对称性知M 、A 、N 三点共线,且 ∠MPN =90°.所以,MN =2AP =BC .故PQ +QR +RP =MQ +QR +RN >MN =BC .)4.如图20,将任意△ABC 的三边四等分,边BC 、CA 、AB 上的分点分别为1A 、2A 、3A ,1B 、2B 、3B ,1C 、2C 、3C . 记△ABC 、△111A B C 的周长分别为p 、1p .求证:12p <1p <34p .(提示:易知13C B =14BC . 在△131B B C 中,有 13C B +31B B >11B C ,即14BC +12CA >11B C .同理,14CA +12AB >11C A ,14AB +12BC >11A B . 三式相加即得1p <34p .在△11AB C 中, 11B C >1AB -1AC =34CA -14AB .同理,11C A > 34AB -14BC ,11A B > 34BC -14AC .三式相加即得12p <1p .)5.凸四边形ABCD 中,AB +AC +CD =16.问:当对角线AC 、BD 为何值时,四边形ABCD 面积最大?面积最大值是多少?(提示:设AB =x ,AC =y ,则CD =16-x -y .而ABCD S =ABC S +ACD S ≤12xy +12y (16-x -y )=- 122(8)y -+32.所以,当∠BAC =∠ACD =90°,AC =8,BD =,四边形ABCD 的最大面积为32.)6.如图21,在△ABC 中,AB =AC ,D 为BC 的中点,E 为△ABD 中任意一点,联结AE 、BE 、CE . 求证:∠AEB >∠AEC . (提示:如图21,作点E 关于AD 的对称点E ′,联结AE ′、CE ′、 EE ′,并延长EE ′交AC 于点F .根据对称性得△ABE ≌△ACE ′.所以,∠AEB =∠AE ′C .易知∠AE ′C =∠AE ′F +∠CE ′F >∠AEF +∠CEF =∠AEC ,即∠AEB >∠AEC .)7.已知凸六边形ABCDEF 的边长至多为1.证明:对角线AD 、BE 、CF 中至少有一条不超过2. (提示:如图22,联结AC 、CE 、EA .在△AEC 中,不妨设边CE 最大,即CE ≥AC ,CE ≥AE .对A 、C 、D 、E 四点用托勒密不等式,有AD ·CE ≤AC ·ED +CD ·AE ,故AD ≤AC CE ·DE +CD ·ACCE≤1×1+1×1=2.)8.如图23,在凸四边形ABCD 中,M 、P 分别是BC 、CD 的中点,已知AM +AP =a .求证:ABCD S <212a .(提示:如图23,联结AC 、MP .则AMP S +14BDC S =AMCP S =12ABCD S .又BDC S <ABCD S ,AMP S ≤12AM ·AP ≤12·2()4AM AP =218a ,从而,ABCD S <212a .)。
几何图形证明不等式例举
几何图形证明不等式是一种有效的方法，用于证明不等式的真实性。
它通过利用几何图形来证明不等式的结论，从而有助于我们理解不等式的真实性。
下面我们来看一些不等式的例子，可以用几何图形证明不等式的真实性。
例如，我们可以用几何图形证明不等式 a < b，即a小于b。
我们可以在坐标平面中画出一条直线，将a点和b点标记在直线上，如果a点在b点的左边，则证明了a < b，即a小于b。
另一个例子是，我们可以用几何图形证明不等式a ≤ b，即a小于等于b。
我们可以在坐标平面中画出一条直线，将a点和b点标记在直线上，如果a点在b点的左边或者在b点上，则证明了a ≤ b，即a小于等于b。
最后，我们可以用几何图形证明不等式a ≥ b，即a大于等于b。
我们可以在坐标平面中画出一条直线，将a点和b点标记在直线上，如果a点在b点的右边或者在b点上，则证明了a ≥ b，即a大于等于b。
总之，几何图形证明不等式是一种有效的方法，它可以有效地帮助我们证明不等式的真实性，从而有助于我们更好地理解不等式。
常见不等式的几何直观
常见不等式的几何直观数学与统计学院 2008级 1212408087 陈小丽研究不等式的出发点是实数的大小关系。
我们知道，数轴上的点与实数一一对应，因此可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小：设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B。
那么，当点A 在点B 的左边时，a<b；当点A在点B的右边时，a>b（图1）。
图1不等式的基础性质也可以通过作图来表示：用线段AB的长表示a，线段BA表示-a；线段CD表示b，线段DC表示-b。
如：（1）如果 a>b，b>c，那么a>c。
画图2表示：绝对值|a|表示数a到原点的距离。
即若a>0, |a|=a；若a<0, |a|=-a；若a=0, |a|=0。
对于任意的两个实数a,b,设它们在数轴上的对应点分别是A,B，那么|a-b|的几何意义是数轴上A，B两点之间的距离。
为了在直观上刻画绝对值，我们做函数y=x,y=-x,y=|x|,y=-|x|的图像。
图3图3-1图3-2 图3-3由图易得-|x|≤x≤|x|，于是对每个实数a，有-|a|≤a≤|a|。
绝对值的几何意义是我们认识绝对值不等式的重要工具。
实际上，我们可把“距离大小”作为研究绝对值不等式的基本出发点，解决相应的问题。
把|a|+|b|≥|a+b|，等号成立当且仅当ab≥0中a,b 用向量α，β代替，可以很明显地看出其几何意义。
当向量α，β不共线时，那么由向量加法的三角形法则，向量α，β，α+β构成三角形，因此我们有向量形式的不等式|α|+|β|≥|α+β|，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边。
所以我们称该不等式为绝对值三角不等式。
如|x|≤1的解如图4：图4|x-1|≤2的解如图5：图5|x|+|y|≤1的解如图6：图6√a2 =|a|（|a|的代数刻划）实际上表达了毕达哥拉斯关系式c=√a2+b2，b=0时的特殊情形。
x2+y2=r2的解——点（x,y）的集合（轨迹）构成以原点为圆心，r为半径的圆周。
基本不等式的几何表征
基本不等式的几何表征是以图像和几何概念来描述不等式的性质和关系。
以下是几个基本不等式的几何表征：
1. 数轴表示：对于一元不等式，可以使用数轴来表示。
在数轴上，可以将不等式的解集表示为某个点或一段区间。
例如，对于不等式x > 2，可以在数轴上将2标记出来，然后表示为从2开始往正无穷方向的箭头或区间。
2. 平面图形表示：对于二元不等式，可以使用平面图形来表示。
例如，对于二元不等式x + y < 4，可以将x和y构成的平面上x轴和y轴之间的区域阴影化，表示不等式的解集。
3. 几何图形的包围关系：不等式可以用于描述几何图形的包围关系。
例如，对于一个正方形，可以使用不等式来描述内接圆的半径与正方形边长之间的关系。
4. 图形的交点：不等式的解集可以被视为在坐标系中的一些点的集合。
通过求解方程组可以确定不等式的解集与特定几何图形的交点。
这样可以确定不等式在图形上的具体位置和特征。
这些是基本不等式的一些几何表征方式。
在代数中，我们通
常使用符号来表示不等式，但通过几何表示法，可以更直观地理解不等式的含义和解集的性质。
两个常用不等式
两个常用不等式标题一：柯西不等式柯西不等式是数学中常用的一个不等式，它描述了内积空间中两个向量的乘积的上界。
柯西不等式的表达式为：|⟨x, y⟨| ≤ ‖x‖ · ‖y‖其中⟨x, y⟨表示向量x和向量y的内积，‖x‖表示向量x的范数。
柯西不等式告诉我们，两个向量的内积的绝对值不会超过它们各自范数的乘积。
柯西不等式有很多应用，例如在证明向量范数的性质时经常使用。
另外，柯西不等式也可以用来证明其他数学定理，如三角不等式。
在实际应用中，柯西不等式也有一些有趣的应用。
例如，我们可以利用柯西不等式来证明两个随机变量的协方差的绝对值不会超过它们各自标准差的乘积。
这个结论在统计学中有重要的意义。
柯西不等式的证明可以通过使用向量的线性组合和内积的定义来进行推导。
通过对向量的线性组合进行适当的选择，我们可以得到柯西不等式的形式。
这个证明过程比较简洁，但需要一定的数学基础和逻辑推理能力。
柯西不等式是数学中常用的一个不等式，它在向量空间和内积空间中具有重要的应用。
掌握柯西不等式的性质和应用，对于理解和应用相关数学理论具有重要意义。
标题二：三角不等式三角不等式是数学中常用的一个不等式，它描述了三角形中两边之和大于第三边的关系。
三角不等式的表达式为：|a + b| ≤ |a| + |b|其中a和b为任意实数。
三角不等式告诉我们，两个数的和的绝对值不会超过它们各自绝对值的和。
三角不等式在几何学和代数学中有广泛的应用。
在几何学中，三角不等式可以用来证明两点之间的最短路径是直线。
在代数学中，三角不等式可以用来证明两个复数的模的乘积不会超过它们各自模的乘积。
在实际应用中，三角不等式也有一些有趣的应用。
例如，在计算机图形学中，我们常常需要计算两个向量之间的距离。
通过利用三角不等式，我们可以快速估算两个向量之间的距离，并进行相应的优化处理。
三角不等式的证明可以通过对不等式的几何直观解释和代数推导来进行。
通过将不等式转化为等式，我们可以得到三角不等式的形式。
不等式的图像与解集
不等式的图像与解集一、不等式的图像1.斜率与方向不等式的图像是一条直线，其斜率由不等式中的系数决定，方向由系数的正负决定。
不等式的图像与y轴的交点称为截距，截距的值由不等式中的常数项决定。
2.开口方向当不等式中的系数为正时，图像开口向上；当不等式中的系数为负时，图像开口向下。
不等式中的“或”关系对应的图像间隔为两条平行线之间的区域；不等式中的“且”关系对应的图像间隔为一条线段。
二、不等式的解集1.一元一次不等式解集为直线一侧的区间，区间包括端点。
2.一元二次不等式解集为开口方向对应的区间，区间包括端点。
3.多元不等式解集为各不等式解集的交集。
4.不等式的组解集为各不等式解集的并集。
5.不等式的绝对值解集为绝对值符号内的区间，区间包括端点。
6.不等式的分式解集为分式不等式两侧的区间，区间包括端点。
7.不等式的无理数解集为无理数不等式两侧的区间，区间包括端点。
8.图像与解集的包含关系图像完全包含在解集中，解集为图像内部的区域。
9.图像与解集的交集关系图像与解集有交集，解集为图像交点之间的区域。
10.图像与解集的并集关系图像与解集没有交集，解集为图像两侧的区间。
四、求解不等式的方法根据不等式的图像，确定解集的位置。
通过变形、求解等步骤，得到不等式的解集。
选取不等式中的关键点，代入原不等式，判断是否满足条件，从而确定解集。
根据已知条件，逐一排除不满足不等式的值，得到解集。
五、不等式在实际问题中的应用1.线性规划利用不等式表示约束条件，求解最优解。
2.最大值与最小值问题通过不等式表示最大值或最小值的条件，求解问题。
3.概率问题利用不等式表示事件的发生条件，求解概率。
4.物理问题用不等式表示物体运动的约束条件，求解问题。
5.经济问题利用不等式表示市场供求关系，求解问题。
通过以上知识点的学习，学生可以掌握不等式的图像与解集的基本概念和方法，并能运用不等式解决实际问题。
习题及方法：一、一元一次不等式答案：x > 5解题思路：将不等式中的常数项移到右边，变量项移到左边，然后进行简化得到 x > 5。
函数方程不等式以及它们的图像
解：
1 若P正确且Q不正确 P Q {c 0 c } 2
若P不正确且Q正确 P Q {c c 1}
1 c 的取值范围是 (0, 2 ] [1,) 。
解： P：函数 y c 在R上单调递减 0 c 1
x
Q：不等式 x x 2c 1 的解集为R
函数 y x x 2c 在R上恒大于1
解：
2x 2c x 2c y x x 2c ， 2c x 2c
又当 x 2c 2x 2c 2c
显然 x 0 不是方程 a x
x
的解，所以存在非零常数T，使得 a T
T
解： 对于 f (x) a ，有
x
f (x T) a
x T
a a T a Tf(x)
T x x x
f (x) a M
解：（3）
f ( x ) 0，显然 f (x) 0 M 当 k 0 时，
sin k ( x 1) sin(kx k ) sin kx ①当 T 1 时， mZ 恒成立 k 2m ，
②当T 1时， sin k ( x 1) sin(kx k ) sin kx 恒成立
解： sin(kx k ) sin kx
f (x n1 ) 2f (x n ) 2 f (x n )
证明（2）：
{f ( x n )} 是以 1 为首项，2为
公比的等比数列
f (x n ) (1) 2
n 1
证明（3）：由（2）
基本不等式难题
基本不等式难题引言基本不等式是高中数学中的重要内容之一，也是解决各类数学问题的基础。
在解题过程中，我们常常需要运用基本不等式来推导和证明各种不等式关系。
本文将介绍基本不等式的概念、性质以及解题方法，并通过一些难题来展示其应用。
什么是基本不等式？基本不等式是指在数学中常见且重要的一类不等式，它们具有一些特定的性质和规律。
常见的基本不等式包括：1.三角形两边之和大于第三边；2.平均值-均方差不等式（AM-GM 不等式）；3.柯西-施瓦茨不等式；4.马尔科夫不等式；5.切比雪夫不等式；这些基本不等式在解决各类数学问题时经常被使用。
接下来我们将逐一介绍这些基本不等式及其性质。
三角形两边之和大于第三边对于一个三角形来说，任意两边之和大于第三边。
这个性质可以通过几何直观地理解：对于一个三角形，两边之和必须大于第三边才能够构成一个封闭的图形。
平均值-均方差不等式（AM-GM 不等式）平均值-均方差不等式（AM-GM 不等式）是数学中常见的一种基本不等式，它表达了若干个非负实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。
具体地，对于任意非负实数a1,a2,…,a n，有以下不等式成立：a1+a2+⋯+a nn ≥√a1⋅a2⋯a n n其中n表示实数的个数。
柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是一种常用的基本不等式，它表达了向量内积与向量模长之间的关系。
对于任意两个 n 维实向量a和b，有以下不等式成立：|a⋅b|2≤(a⋅a)(b⋅b)其中⋅表示向量的内积。
马尔科夫不等式马尔科夫不等式是一种常用的基本不等式，它给出了非负实数函数的平均值与其上界之间的关系。
对于任意非负实数函数f(x)和正实数a，有以下不等式成立：1 a ∫fa(x)dx≤1a∫Madx其中M是f(x)在区间[0,a]上的一个上界。
切比雪夫不等式切比雪夫不等式是一种常用的基本不等式，它表达了随机变量与其期望值之间的关系。
对于任意一个随机变量X和正实数ϵ，有以下不等式成立：P(|X−E(X)|≥ϵ)≤Var(X)ϵ2其中E(X)表示随机变量X的期望值，Var(X)表示随机变量X的方差。
一些重要不等式
一些重要不等式标题一：柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）柯西不等式是数学中的一条重要不等式，它是线性代数中的基本定理之一。
柯西不等式描述了两个向量内积的上界，它的形式如下：对于任意两个向量x和y，它们的内积满足以下不等式：|x·y| ≤ ||x|| ||y||其中，x·y表示向量x和y的内积，||x||和||y||分别表示向量x和y 的模。
柯西不等式的几何意义是：两个向量的内积的绝对值小于等于两个向量的模的乘积。
换句话说，两个向量的夹角的余弦值的绝对值不大于1。
柯西不等式的应用非常广泛。
在实际问题中，我们经常会遇到需要估计两个向量之间的关系的情况。
通过柯西不等式，我们可以得到两个向量的内积的上界，从而对它们之间的关系进行合理的估计。
例如，在信号处理领域，柯西不等式被广泛应用于衡量信号的相似度。
通过计算信号之间的内积，我们可以估计信号之间的相似程度。
在机器学习中，柯西不等式可以用来证明支持向量机（Support Vector Machine）算法的有效性，从而提高分类准确率。
除了在向量空间中的应用，柯西不等式在概率论中也有重要的应用。
在概率论中，我们经常需要计算两个随机变量之间的相关性。
通过柯西不等式，我们可以得到两个随机变量之间相关系数的上界，从而对它们之间的相关性进行合理的估计。
柯西不等式作为一条重要的数学定理，具有广泛的应用价值。
它不仅在线性代数、信号处理和机器学习等领域发挥着重要作用，还在概率论中用于相关性分析。
通过柯西不等式，我们可以对向量和随机变量之间的关系进行合理的估计，从而提高问题的解决效率。
绝对值不等式的几何解法
绝对值不等式的几何解法绝对值不等式是初等代数中的重要概念，它可以用来解决各种实际问题。
除了代数解法外，我们还可以用几何的方法来解决绝对值不等式问题。
本文将介绍绝对值不等式的几何解法，并通过几个例子来说明其应用。
我们来回顾一下绝对值的几何意义。
对于一个实数a，其绝对值|a|表示a到原点的距离。
因此，当我们遇到一个绝对值不等式时，可以将其转化为距离的关系，从而用几何的方法来解决。
考虑一个简单的例子：|x| < 2。
我们可以将其转化为距离的关系：x到原点的距离小于2。
根据几何直观，我们可以得到一个解集：-2 < x < 2，即x的取值范围在-2和2之间。
类似地，我们可以考虑一个稍复杂的例子：|x - 3| > 4。
我们可以将其转化为距离的关系：x到3的距离大于4。
根据几何直观，我们可以得到两个解集：x < -1或x > 7，即x的取值范围在负无穷到-1以及7到正无穷之间。
通过上述例子，我们可以发现绝对值不等式的几何解法的基本思路：将不等式转化为距离的关系，然后通过对距离进行适当的判断来得到解集。
接下来，我们通过一些实际问题来说明绝对值不等式的几何解法的应用。
问题一：某学校一次考试的平均分为80分，已知不及格分数线为60分。
求及格学生的分数范围。
解法：设及格学生的分数为x，根据平均分的定义，我们可以得到一个绝对值不等式：|x - 80| < 20。
将其转化为距离的关系：x到80的距离小于20。
根据几何直观，我们可以得到一个解集：60 < x < 100，即及格学生的分数范围在60到100之间。
问题二：某车间生产的零件长度在10cm和12cm之间，要求零件的长度误差不超过0.5cm。
求符合要求的零件长度范围。
解法：设零件的长度为x，根据要求，我们可以得到一个绝对值不等式：|x - 11| < 0.5。
将其转化为距离的关系：x到11的距离小于0.5。
基本不等式的几何意义
在数学中，基本不等式是一种重要的数学工具，不仅可以用于证明和推导， 还可以应用于几何学中的各种问题。
基本不等式的定义
1 不等式表示
基本不等式是一个数学不等式，由一组数和一个不等于零的实数构成。
2 基本不等式的形式
形式上，基本不等式可以写成a≤b或a
3 例子
例如，一个简单的基本不等式是2＜3。
基本不等式的几何意义
几何意义
基本不等式在几何中表示了一 种大小关系。例如，对于平面 中的两个点A和B，基本不等式 a≤b可以表示点A与点B的距离。
空间几何
在三维空间中，基本不等式可 以表示平面与平面的位置关系， 例如判断两个平面是Байду номын сангаас相交。
几何图形
基本不等式还可以用于描述和 比较不同几何图形的尺寸、面 积和体积。
示例
基本不等式可以用于证明和推导三角形的性质， 如三边关系和角关系。
基本不等式可以用于比较和判断四边形的大小关 系，如长方形和正方形的面积比较。
基本不等式可以用于比较和判断多边形的大小关 系，如多边形的周长和面积。
基本不等式与面积的关系
几何图形
基本不等式可以应用于几何图形 的面积计算和比较，如三角形、 矩形和圆形的面积。
基本不等式的证明方法
1
数学归纳法
使用数学归纳法可以证明基本不等式，这种方法通常适用于递增或递减的数列。
2
反证法
通过假设基本不等式不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明基本不等式。
3
数学推导
利用已知的数学定理和公式，可以直接推导出基本不等式的正确性。
基本不等式在几何中的应用
应用领域
三角形 四边形 多边形
p范数的三角不等式
p范数的三角不等式
关于范数的三角不等式如下：
范数的三角不等式是线性代数中一个重要的不等式定
理，它描述了向量空间中范数的性质。
该不等式表明，向量的范数满足一种特定的几何性质，即对于任意的向量a和b，其范数之和不会超过这两个向量相加的范数。
具体来说，对于向量空间中的任意两个向量a和b，有如下不等式成立：||a+b||≤||a||+||b||下面将从几何直观、证明以及重要应用三个方面分别对范数的三角不等式进行详细描述。
一、几何直观
范数的三角不等式可以通过几何上的直观解释来理解。
我们可以将a 和b视为向量空间中的两个点，而向量a+b可以视为连接这两个点的线段。
那么范数||a+b||即表示该线段的长度，而范数||a||和||b||分别表示从原点到这两个点的离。
由于三角形中的任意两边之和大于第三边，
因此我们可以得出结论：向量空间中连接两个点的线段的长度不会超过从原点到这两个点的距离之和。
二、不等式的应用
1.几何学中的应用：
在几何学中，三角不等式用于证明三角形内任意两点之间的距离不超过两点与第三点之间距离之和。
2.物理学和工程学中的应用：
在物理学和工程学中，三角不等式用于计算真实测量值与理论值之间的误差范围。
在物理学中，我们可以使用三角不等式来计算两个物理量之间的误差。
假设我们需要通过测量物体的重量来计算它的密度，我们可以使用称重器来测量物体的重量并计算其平均值。
然而，在实际测量中，由于各种因素的影响，我们无法准确地测量物体的重量。
这时，我们可以使用三角不等式来计算真实重量与测量值之间的误差范围。
几何不等式讲解
几何不等式讲解∴CD BE AC AB =，ADAE AC AB = ∴BE AC CD AB ⋅=⋅ （1） 又DAE BAC ∠=∠ ∴ABC ∆∽AED ∆∴ADAC DE BC =∴DE AC AD BC ⋅=⋅ ∴BD AC DE BE AC DE AC BE AC AD BC CD AB ⋅≥+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅)(上式等号成立当且仅当E 在对角线BD 上.此时ACD ABD ∠=∠，从而四边形内接于圆.证明2：复数法：设A 、B 、C 、D 对应的复数分别是1z 、2z 、3z 、4z用到下面的恒等式142324313412()()()()()()0z z z z z z z z z z z z --+--+--=则12341423|()()||()()|AB CD AD BC z z zz z z z z ⋅+⋅=--+--12341423|()()()()|z z z z z z z z ≥--+--2431|()()|z z z z AC BD=---=⋅（2）（嵌入不等式） 设,,,(21),x y z R A B C k k Z π∈++=+∈， 求证：Cxy B zx A yz z y xcos 2cos 2cos 2222++≥++等号成立的充要条件是：B z C y x cos cos +=及B z C y sin sin =. 证明：Cxy B zx A yz z y xcos 2cos 2cos 2222---++)cos(2)cos cos (2222C B yz z y x C y B z x +++++-=222)sin sin ()cos cos ()cos cos (2C y B z C y B z x C y B z x -++++-=)sin sin ()cos cos (22≥-+--=C y B z C y B z x 当且仅当Bz C y x cos cos +=且Bz C y sin sin =时取等号CC（3）艾尔多斯——莫迪尔（Erdos —Mordell ）不等式：在ABC∆内部任取点P ，,Ad Bd ,Cd 分别表示由点P 到顶点C B A ,,之间的距离，cb ad d d ,,分别表示由点P 到边ABCA BC ,,的距离，则)(2c b a C B Ad d d d d d++≥++证明1：过P 作直线XY 分别交AC AB ,于Y X ,，使ABC AYX ∠=∠则AYX ∆∽ABC ∆ ∴BCABXY AY BC AC XY AX ==, 又∵Ab c AXYd XY d AY d AX S ⋅≤⋅+⋅=∆212121∴b c Ad XYAY d XY AX d⋅+⋅≥即b c Ad BCABd BC AC d⋅+⋅≥同理：a c B d ACABd AC BC d ⋅+⋅≥a b C d ABACd AB BC d ⋅+⋅≥∴)(2c b a C B A d d d d d d ++≥++证明2：F A E P ,,,四点共圆 则Ad AEF=sin 在EFP∆中，由余弦定理)cos(2222C B d d d d EF b c b c +⋅⋅-+=22)sin sin ()cos cos (C d B d C d B d b c b c ++-=2)sin sin (C d B d b c +≥∴Cd B d EF b c sin sin +≥ ∴bc Ad ACd A B dsin sin sin sin +≥同理ac Bd BCd B A d sin sin sin sin +≥ac Cd CBd C A d sin sin sin sin +≥∴)(2c b a C B A d d d d d d ++≥++证明3：设γβα=∠=∠=∠CPA BPC APB ,,则αcos 2222⋅⋅-+=B A B A d d d d ABβcos 2222⋅⋅-+=C B C B d d d d BC γcos 2222⋅⋅-+=A C A C d d d d CA又βsin 2121⋅⋅=⋅C B ad d dBC∴)cos 1(2)(sin cos 2sin 222ββββ-⋅⋅+-⋅⋅=⋅⋅-+⋅⋅=C B C B C B C B C B C B ad d d d d d d d d d d d d2cos 212sin 22sin )cos 1(2sin 2βββββC B C B C B C B C B d d d d d d d d d d ⋅=⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅⋅≤即2cos 21βC B ad d d⋅≤同理2cos 21γA C bd d d⋅≤2cos 21αB A cd d d⋅≤)2cos 2cos 2cos (21αγβB A A C C B c b a d d d d d d d d d ⋅+⋅+⋅≤++)(21C B A d d d ++≤（嵌入不等式） 证明四： 设2,2,2BPC CPA APB αβγ∠=∠=∠=，且αβγπ++=设它们的内角平分线长分别是a b cw w w 、、，且a ab bc cw d w d w d ≥≥≥、、只要证更强的结论2()AB C a b c dd d w w w ++≥++a B Cw =B C =又222cos 22B C B Cd d a d d α+-=，即2222cos 2B C B C dd a d d α+-=∴2cos B C B Ca B C B Cd d d d w d d d d αα==≤++ 同理b w β≤，c w γ=∵αβγπ++= ∴由嵌入不等式得2())a b c A B Cw w w d d d αβγ++≤≤++（4）外森比克不等式：设ABC ∆的边长和面积分别为c b a ,,和S ，则Sc b a34222≥++，当且仅当ABC ∆为正三角形时等号成立.证明方法很多，证明略5．费尔马(Fermat )问题：在ABC ∆中，使PC PB PA ++为最小的平面上的P 点称为费尔马点.当︒≥∠120BAC 时，A 点为费尔马点；当ABC ∆中任一内角都小于︒120时，则与三边张角为︒120的P 点为费尔马点.例1 已知ABC ∆，设I 是它的内心，C B A ∠∠∠,,的内角平分线分别交其对边于///,,C B A ，求证：27841///≤⋅⋅⋅⋅<CCBB AA CI BI AI .证明：令c AB b CA a BC ===,,由角平分线定理，易得cb ab C Ac B A IA IA +===///∴cb cb a IA AA +++=/∴cb ac b AAIA+++=/易得121<+++<++++=c b a c b c b c b c b ∴)1,21(/∈+++=c b a c b AAIA同理)1,21(/∈+++=cb ac a BB IB)1,21(/∈+++=cb a b a CC IC 则2/////=++CCIC BB IB AA IA处理（1）令3/2/1/21,21,21t CCIC t BB IB t AAIA+=+=+=，则21),1,21(,,321321=++∈t t t tt t∴2783)21()21()21()21)(21)(21(3321321=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++≤+++t t t t t t∴41)(21)(4181)21)(21)(21(321133221321321>+++++++=+++t t t t t t t t t t t tt t t∴27841///≤⋅⋅⋅⋅<CCBB AA CIBI AI处理（2）令z CC ICy BB IB x AAIA===///,,，则2=++z y x ，且1,,(,1)2x y z ∈ ∴278)3(3=++≤z y x xyz21113139(2)(2)()[()]22222416xyz x x z z z z z z z =-->--=-=--+又112z <<（2139[()]2416z --+在区间端点取到最小值）∴221391391[()][(1)]241624164xyz z >--+>--+=处理（3）利用内切圆与三角形的切点把每条边分成两部分作变换令m k c k n b n m a +=+=+=,,)(22)(22)(22///k n m kn m k n m k n m k n m k n m CC BB AA CI BI AI ++++⋅++++⋅++++=⋅⋅⋅⋅41)(8))(()()(333>+++++++++++++=k n m mnk k n m nk mk mn k n m k n m说明：证明关于三角形内各元素的各种不等式时，常作如下变换：（由于三角形的内切圆存在，三条边总可表示为）)0,,(,,,>+=+=+=z y x x z c z y b y x a ，反之，若三个正数c b a ,,可以表示为上述形式，则c b a ,,一定是某个三角形的三边，并且相应的三角形的其它元素也可以通过上面变换用z y x ,,表示，有关三角B形的一些几何不等式都可以化为关于z y x ,,的代数不等式 例2 设P 是ABC ∆内的一个点，S R Q ,,分别是C B A ,,与P 的连线与对边的交点（如图），求证：ABC QRSS S∆∆≤41.（QRS ∆三角形）（分析：利用补集思想）证ABC CQR BSQ ASR S S S S ∆∆∆∆≥++43证明1：令γβα===RA CR QC BQ SB AS ,,，则由塞瓦定理1=αβγ 则)1)(1(++=⋅⋅=∆∆γααAC AB AR AS SSABCASR同理)1)(1(++=⋅⋅=∆∆αββAB BC BS BQ SS ABCBSQ、)1)(1(++=⋅⋅=∆∆βγγAB BC CR CQ SS ABCCQR只要证明ABC CQR BSQ ASRS S S S∆∆∆∆≥++43即43)1)(1()1)(1()1)(1(≥++++++++βγγαββγαα只要证0)()(6≤++-++-γβαγαβγαβ只要证0)]()111[(6≤+++++-γβαγβα显然6)()111(≥+++++γβαγβα当12αβγ===时取等号，此时P 是ABC ∆的重心 证明2： 设zS y S x SPAB PBC PAC===∆∆∆,,则zxQB QC y z RC RA x y SA SB===,,、))((y z y x xzAC AB AR AS S S ABCASR ++=⋅⋅=∆∆同理))((x z x y yz AB BC BS BQ SS ABCBSQ++=⋅⋅=∆∆、))((z y z x xyAB BC CR CQ SS ABCCQR++=⋅⋅=∆∆ 只要证明ABC CQR BSQ ASRS S S S∆∆∆∆≥++43即43))(())(())((≥++++++++z y z x xy x z x y yz y z y x xzB通分整理3()()()()()()4xz x z yz y z xy x y x y y z z x +++++≥+++ 即22223()()()()()()4x y z y z x z x yx y y zz x +++++≥+++364xyz≥⋅=只要证xyz y x z z y x z x y 6)()()(222≥+++++事实上)()()(222y x z z y x z x y+++++ )()(222222zx yz xy x z z y y x+++++=xyzxyz xyz zx yz xy x z z y y x 6333332223222=+=⋅⋅+⋅⋅≥当且仅当z y x ==时取等号，此时P 是ABC ∆的重心证明3：令,,AS BQ CR AB BC CA αβγ===，且)1,0(,,∈γβα则1,1,1BS CQ ARAB BC CAαβγ=-=-=- 由塞瓦定理得)1)(1)(1(γβααβγ---=整理得()12αβγαββγγααβγ++-++=-)1(γα-=⋅⋅=∆∆ACAB ARAS S S ABC ASR 、同理)1(αβ-=⋅⋅=∆∆ABBC BS BQ SSABCBSQ 、)1(βγ-=⋅⋅=∆∆ABBC CRCQ SSABCCQR只要证43)1()1()1(≥-+-+-βγαβγα 事实上(1)(1)(1)()12αγβαγβαβγαββγγααβγ-+-+-=++-++=-))1(2)1(2)1(2(411)1)(1)(1(21γγββααγβααβγ-⋅-⋅-⋅-=----=43411=-≥当且仅当21===γβα时取等号，此时S R Q ,,是中点，P 是ABC ∆的重心例 3 已知ABC ∆的面积为S ，三边分别为c b a ,,，求证：2)3(43c b a S ++≤，且当c b a ==时等号成立.证明1：由海伦公式，设)(21c b a p ++=223)3(4393)3())()((c b a p p p c p b p a p p S ++==⋅≤---=当且仅当c p b p a p -=-=-即c b a ==时取等号 证明2： 欲证2)3(43c b a S ++≤只要证Sc b a 312)(2≥++∵)(3222)(2222ca bc ab ca bc ab c b a c b a ++≥+++++=++故只要证Sca bc ab 34≥++由柯西不等式2)sin sin sin ()sin sin )(sin (B ca A bc C ab C B A ca bc ab ++≥++++SS 18)23(2==∴CB A Sca bc ab sin sin sin 18++≥++ 又233sin sin sin ≤++C B A ∴SSCB A S ca bc ab 3423318sin sinsin 18=≥++≥++从而结论得证，当且仅当c b a ==时，取等号 例4 在ABC ∆中，求证：392cot 2cot 2cot333≥++CB A 证明1：设x z b CA z y a BC y x c AB +==+==+==,, 则3333333333)()()(2cot 2cot 2cot r z y x r z r y r x C B A ++=++=++又)())()((z y x xyz c p b p a p p S ++=---=、r z y x r c b a S )()(21++=++= ∴rz y x z y x xyz )()(++=++ ∴zy x xyz r ++=33333332cot 2cot 2cot r z y x C B A ++=++xyz z y x z y x r xyz ++++=≥)(3333933363=⋅⋅≥xyzxyz xyz证明2：设x z b CA z y a BC y x c AB +==+==+==,,/B //B /则3333333333)()()(2cot 2cot 2cot r z y x r z r y r x C B A ++=++=++ 由幂平均不等式333333z y x z y x ++≤++得3333)(91z y x z y x ++≥++（1） 由例3得22)(93)3(43z y x c b a S ++=++≤∴)(93z y x z y x S ++≤++，即)(93z y x r ++≤∴rz y x 33≥++代入（1）即可得到结论.例 5 设ABC ∆是锐角三角形，外接圆圆心为O，半径为R ，AO 交BOC 所在的圆于另一点/A ，BO 交所在的圆于另一点/B ，CO 交AOB /C，证明：3///8R OC OBOA ≥⋅⋅，并指出在什么情况下等号成立？证明1：作过BOC 的圆直径OD 则︒=∠=∠90/DCO O DAABCAOC BAC DOC ∠=∠∠=∠2,、ABC ACB AOC DOC OD A ∠-∠=∠-∠-︒=∠180/在COD Rt ∆中，BACOCDOC OC OD cos cos == 在OD A Rt /∆中)cos(cos //ABC ACB OD DOAOD O A ∠-∠⋅=⋅=OCBACABC ACB ⋅∠-∠=cos )cos(即RBACABC ACB OA cos )cos(/∠-∠=记为RAB C OA cos )cos(/-=同理RBC A OBcos )cos(/-=、CB A OCcos )cos(/-=B //只要证8cos )cos(cos )cos(cos )cos(≥-⋅-⋅-BA C A CBC B A ∵BA BA B A B A B A B A B A B A C B A cot cot 1cot cot 1sin sin cos cos sin sin cos cos )cos()cos(cos )cos(⋅-⋅+=+-+=+--=- 令A C z C B y B A x cot cot ,cot cot ,cot cot ⋅=⋅=⋅=A C CB B A z y x cot cot cot cot cot cot ⋅+⋅+⋅=++CB C B A cot cot )cot (cot cot ⋅++⋅=C B C B C B cot cot )cot (cot )cot(⋅++⋅+-=1cot cot )cot (cot cot cot 1cot cot =⋅++⋅+-⋅-=C B C B CB C B而对于ABC∆是锐角三角形，,,>z y x ∴zy x z y x z y x z y x x x C B A +++≥++++=-+=-))((2)()(11cos )cos(同理zx y z y x AC B +++≥-))((2cos )cos(、yx y z z x AC B +++≥-))((2cos )cos(显然成立证明2：如图，设BC AO ,交于D ，AC BO ,交于E ，AB CO ,交于F ，由C O B A ,,,/四点共圆，得CBO BCO O BA ∠=∠=∠/∴BOD ∆BOA /∆∴ODBOBO O A =/ ∴ODR O A 2/=从而OER O B 2/=，OFR O C 2/=处理方式（1）∴OF OCOE OB OD OA OF OE OD R RO C O B O A ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅33///令321,,S S S S S S COA BOC AOB===∆∆∆3///RO C O B O A ⋅⋅8132321231≥+⋅+⋅+=S S S S S S S S S 处理方式（2）令z OFOCy OE OB x OD OA ===,,则111,,111OBC OAC OBA ABC ABC ABC S S S OD OE OF AD S x BE S y CF S z ∆∆∆∆∆∆======+++/B /∴1111111=+++++z y x （利用面积关系）（再去分母，整理得2xyz x y z =+++）∴2323+≥+++=xyz z y x xyz令mxyz =3，则0233≥--m m，即2(1)(2)0m m +-≥∴02≥-m ，即8≥xyz证明3： 由CO B A ,,,/四点共圆，由托勒密定理，得)(///B A C A R BC O A +=⋅∴RBCB AC A O A ///+= 易知21∠=∠BCCA B A BD B A CD C A ////+==而BD A /∆∽COD ∆∴ODAOOD R OD OC BD B A ===/ ∴R OD AOO A =/同理R OEBOO B =/，R OF COO C =/令321,,S S S S S S COA BOC AOB ===∆∆∆∴OF OC OE OB OD OA R O C O B O A ⋅⋅=⋅⋅3///8132321231≥+⋅+⋅+=S S S S S S S S S证明4： 由CO B A ,,,/四点共圆，由托勒密定理，得)(///B AC A R BC O A +=⋅ ∴RBCB AC A O A ///+=设γβα=∠=∠=∠BOC AOB AOC ,, 在BC A /∆中，由正弦定理，得CBA BCBC A C A CB A B A /////sin sin sin ==又γαβsin sin ,sin sin sin ,sin sin sin /////=====C BA OC A BC A OB A CB A∴RR BC B A C A O A ⋅+=+=γβαsin sin sin ///同理RO B ⋅+=αγβsin sin sin /、RO C ⋅+=βγαsin sin sin / 以下略例6 如图所示，设1C ，2C 是同心圆，2C 的半径是1C 半径的2倍，四边形4321A A A A 内接于圆1C ，将14A A 延长交圆2C 于1B ，将21A A 延长交圆2C 于2B ，将32A A 延长交圆2C 于3B ，43A A 延长交圆2C 于4B ，试证明：四边形4321B B B B 的周长大于等于四边形4321A A A A 的 周长的2倍，并请确定等号成立的条件.证明：设公共圆圆心为O，连结211,,OB OB OA在四边形211B B OA 中，运用推广的托勒密定理112211211B A OB B B OA B A OB ⋅+⋅≤⋅ ∴11212122B A R B B R B A R ⋅+⋅≤⋅∴11212122B A B B B A +≤∴11222121222B A B A A A B B -+≥同理22333232222B A B A A A BB -+≥、33444343222B A B A A A BB -+≥、44111414222B A B A A A B B -+≥∴结论得证，当且仅当211,,,B B A O 四点共圆，∴21211241B OA B OB B OB AOA ∠=∠=∠=∠， ∴1OA 是214A A A ∠的角平分线，∴O 到214A A A ∠的两边的距离相等 ∴1214A A AA =同理四边形4321A A A A 的各边相等，进而四边形4321A A A A 是正方形时，等号成立.O1. 如图，在ABC ∆中，,AB AC AM >为中线，P 为AMC ∆证明：PB PC >证明：在AMC ∆与AMB ∆中，有两组对边对应相等，且AB AC >，所以AMB AMC ∠>∠，于是90AMC ∠<︒，过P 作PH BC ⊥于H ，则垂足H 必在MC 的内部或延长线上，从而BH CH>，因此PB PC >（斜线长与射影长的关系）2. 如图，20MON ∠=︒，A 为OM 上一点，OA =B是ON 上一点，D 为ON 上一点， OD =，C 为AM 上任意一点，则12AB BC CD ++≥分析：以OM 为对称轴，作D 点关于OM 的对称点/D ，以ON 为对称轴，作A 点关于ON 的对称点/A ，连结/OA 、/OD ，则//60A OD∠=︒，连结/BA 、/CD 、//A D ，则有//AB BC CD BA BCCD ++=++ 因为//OAOD ==/A 、/D 为定点，而连结/A 、/D 以线段最短，∴//12AB BC CD A D ++≥=．说明：本题把“折线化直”，然后利用两点间线段距离最短来证明，这种“化直法”在解决几何不等式问题中是常用的．1CC13.设BC 是ABC ∆的最长边，OOA、OB 、OC 分别交对边于1A 、1B 、1C ，证明：（1）111OA OB OC BC++<；（2）111111max{,,}OA OB OC AA BB CC ++≤分析：我们先证明一个简单但非常有用的引理： 设点M 是PQR ∆的边QR 上的一点，则max{,}PM PQ PR <．事实上，过P 作PH QR ⊥，则利用斜线长和射影长的关系很容易说明便知引理成立．（1）过O 分别作//,//OX AB OY AC ，分别交BC 于X 、Y 点，再过X 、Y分别作11//,//XS CC YT BB 分别交AB 、AC 于S 、T 易知，OXY ∆∽ABC ∆，故XY 是OXY ∆的最大边， 由引理知，1max{,}OAOX OY XY<≤；又因为BXS ∆∽1BCC ∆，YCT ∆∽1BCB ∆，所以1BX XS OC >=（1max{,}CCCA BC BC <=），1CY YT OB >=所以111BC XY BX YC OA OB OC =++>++（2）令z CC OC y AB OB x AA OA ===111111,,，那么1=++=++∆∆∆∆∆∆ABCOABABC OCA ABC OBC S S S S S S z y x ．所以111111OA OB OC xAA yBB zCC ++=++111111()max{,,}max{,,}x y z AA BB CC AA BB CC ≤++=说明：其实，由（2）和引理知（1）成立，所以我们也可以先证明（2），然后推得（1）．4. 设凸四边形ABCD 的面积为1，证：在它的边上（包括顶点）或内部可以找出四个点，使得以其中任意三个点为顶点的三角形的面积均不小于41析：如果ABCD 是平行四边形，那么41====∆∆∆∆ABD ADC BCD ABCS S S S，因此A B C D 、、、即为所求的点；如果ABCD 不是平行四边形，不妨设AD 与BC 不平行，且DAB CBA π∠+∠<，AD 与BC 交于E ，D 到AB 的距离不超过C 到AB 的距离，过D 作//DF AB ，交BC 于F ， 分两种情况讨论：（1）DF 不超过AB 的一半，此时可在边AD ，BC上分别取P ，Q ，使得PQ 与AB 平行，PQ 等于AB 的一半，则有111444APQBPQ ABE ABCD SS S S ∆∆∆∆==>=,、11122222ABQABP APQ BPQ ABE ABCD SS S S S S ∆∆∆∆∆∆====>=即A B P Q 、、、即为所求的四个点.（2）若DF 大于AB 的一半，则在线段DC 与FC 上分别取P ，Q ，同样使//PQ AB ，且12PQ AB =，延长AP 交AE 于/E ，则PQ 是/ABE ∆的中位线再过A 作BC 的平行线l ，它与CD 的延长线的交点为G ，则/AGP PDAPCE S S S ∆∆∆=>,故有//ABCP PDA ABCP ABCD E ABPCE SS S S S S ∆∆∆∆∆=+>+=，于是同样可以证明A B P Q 、、、即为所求的四个点.说明：在遇到比较复杂的情形时，要注意从简单情形起步，合理规划，通过分类讨论，适时化归，使问题得以圆满解决.到ABC ∆三个顶点距离之和为最小的点，通常称为费尔马点.当ABC ∆各角均小于120︒时，与三边的张角均为120︒的点即为费尔马点；当有一个角大于120︒时，这角项点就是费尔马点.下面这个命题是与费尔马问题“反向”的问题. 5. 在ABC ∆的内部或边界上找一点P ，使得它到三个顶点距离之和为最大.分析：若点P 在ABC ∆内，作一个以B 、C 为焦点，过P 点的椭圆，设椭圆与AB 、AC 交于1P 、2P 点，连结AP 并延长与12P P 交于/P 点，如图，那么/12max{,}P A P A P A <不妨设/1P A P A <则11111()P A P B P C PA P B P C PA PB PC ++>++=++所以点P 必定在边界上.下证P 只能是ABC ∆的顶点， 不妨设点P 在线段BC 的内部，因max{,}PA AB AC <，设PA AB <，那么PA PB PC PA BC AB BC++=+<+综上所述，所求的点必为ABC ∆的顶点，易知它是最短边所对的顶点.说明：本题所用的方法是“局部调整”法，这是一种重要的思想方法.6．凸六边形ABCDEF 的每边长至多为1.证明：对角线AD 、BE 、CF 中至少有一条不超过2.分析：连结AC 、CE 、EA ，在AEC ∆中，不妨设边CE 最大，即,CE AC CE AE ≥≥，如图，对A 、C 、D 、E 四点用托勒密定理，有AE CD ED AC CE AD ⨯+⨯≤⨯ 所以21111=⨯+⨯≤⋅+⋅≤CEAE CD DE CE AC AD ，从而命题得证. 在证明与面积和周长有关的不等式时，下面的几个结论是很有用的，它们就是著名的等周问题.命题1 在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大；命题2 在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小；命题3 在给定边长为12,,,n a a a 的所有n 边形中，能够内接于圆的n 边形具有最大的面积命题4 在周长一定的n 边形的集合中，正n 边形的面积最大；命题5 在面积一定的n 边形的集合中，正n 边形的周长最小运用等周定理可以解决很多与几何不等式有关的问题，看下面一例：7．曲线L 将正ABC ∆分成两个等积的部分，那么它的长432a l π≥，其中a 是正ABC ∆的边长.分析： 以A 为圆心，R 为半径作圆弧/L 将ABC ∆的面积等分，那么有22432161a R ⋅=π，所以π2274=R ，/L 的周长/126l R π=⋅=，现在证明/l l ≥. 将ABC ∆连续翻转5次，由曲线L 形成了一条闭曲线，如图所示，由/L 形成了一个圆，而两者所围成的面积相等.根据命题2，知/66l l ≥，即/l l ≥=。
几何不等式
几何不等式几何问题中出现的不等式称为几何不等式证明方法证明几何不等式的方法大致有三种：几何方法，代数方法，三角方法。
几何方法：通过一些变化或者平移旋转来证明。
代数方法：也就是方程。
三角方法（函数法）：利用三角函数来证明。
重要的几何不等式Ptolemy（托勒密）不等式若ABCD为四边形，则AB×CD+AD×BC≥ AC×BD。
等号成立ÛA,B,C,D四点共圆证明：在任意四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD因为△ABE∽△ACD所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)又有比例式AB/AC=AE/AD而∠BAC=∠DAE所以△ABC∽△AED相似.BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2)(1)+(2),得AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC又因为BE+ED≥BD仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）所以命题得证Erdos－Mordell（埃尔多斯—莫德尔）不等式设P是ΔABC内任意一点，P到ΔABC三边BC,CA,AB的距离分别为PD=p,PE=q,PF=r，记PA=x,PB=y,PC=z。
则x+y+z≥2*(p+q+r)证明：设P是ΔABC内任意一点，P到ΔABC三边BC,CA,AB的距离分别为PD=p,PE=q,PF=r，记PA=x,PB=y,PC=z。
则x+y+z≥2*(p+q+r)证法二因为P,E,A,F四点共圆，PA为直径，则有:EF=PA*sinA。
在ΔPEF中，据余弦定理得:EF^2=q^2+r^2-2*q*r*cos(π-A)=q^2+r^2-2*q*r*cos(B+C)=(q*sinC+r*sinB)^2-(q*cosC-r*cosB)^2≥(q*sinC+r*sinB)^2，所以有PA*sinA≥q*sinC+r*sinB，即PA=x≥q*(simC/sinA)+r*(sinB/sinA) (1)。
常见不等式的几何直观
常见不等式的几何直观数学与统计学院2008级1212408087 陈小丽研究不等式的出发点就是实数的大小关系。
我们知道,数轴上的点与实数一一对应,因此可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小:设a,b就是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别就是A,B。
那么,当点A 在点B 的左边时,a<b;当点A在点B的右边时,a>b(图1)。
图1不等式的基础性质也可以通过作图来表示:用线段AB的长表示a,线段BA表示-a;线段CD 表示b,线段DC表示-b。
如:(1)如果a>b,b>c,那么a>c。
画图2表示:绝对值|a|表示数a到原点的距离。
即若a>0, |a|=a;若a<0, |a|=-a;若a=0, |a|=0。
对于任意的两个实数a,b,设它们在数轴上的对应点分别就是A,B,那么|a-b|的几何意义就是数轴上A,B两点之间的距离。
为了在直观上刻画绝对值 ,我们做函数y=x,y=-x,y=|x|,y=-|x|的图像。
图3图3-1图3-2 图3-3由图易得-|x|≤x≤|x|,于就是对每个实数a,有-|a|≤a≤|a|。
绝对值的几何意义就是我们认识绝对值不等式的重要工具。
实际上,我们可把“距离大小”作为研究绝对值不等式的基本出发点,解决相应的问题。
把|a|+|b|≥|a+b|,等号成立当且仅当ab≥0中a,b 用向量代替,可以很明显地瞧出其几何意义。
当向量不共线时,那么由向量加法的三角形法则,向量构成三角形,因此我们有向量形式的不等式,它的几何意义就就是三角形的两边之与大于第三边。
所以我们称该不等式为绝对值三角不等式。
如|x|≤1的解如图4:图4|x-1|≤2的解如图5:图5|x|+|y|≤1的解如图6:图6=|a|(|a|的代数刻划)实际上表达了毕达哥拉斯关系式c=,b=0时的特殊情形。
的解——点(x,y)的集合(轨迹)构成以原点为圆心,r为半径的圆周。
故的解——点(x,y)的集合(轨迹)构成以原点为圆心,r为半径的圆盘。
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常见不等式的几何直观
数学与统计学院2008级1212408087 陈小丽
研究不等式的出发点是实数的大小关系。
我们知道，数轴上的点与实数一一对应，因此可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小：
设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B。
那么，当点A 在点B 的左边时，a<b；当点A在点B的右边时，a>b（图1）。
图1
不等式的基础性质也可以通过作图来表示：用线段AB的长表示a，线段BA表示-a；线段CD表示b，线段DC表示-b。
如：
（1）如果a>b，b>c，那么a>c。
画图2表示：
绝对值|a|表示数a到原点的距离。
即若a>0, |a|=a；若a<0, |a|=-a；若a=0, |a|=0。
对于任意的两个实数a,b,设它们在数轴上的对应点分别是A,B，那么|a-b|的几何意义是数轴上A，B两点之间的距离。
为了在直观上刻画绝对值，我们做函数y=x,y=-x,y=|x|,y=-|x|的图像。
图3
图3-1
图3-2 图3-3
由图易得-|x|≤x≤|x|，于是对每个实数a，有-|a|≤a≤|a|。
绝对值的几何意义是我们认识绝对值不等式的重要工具。
实际上，我们可把“距离大小”作为研究绝对值不等式的基本出发点，解决相应的问题。
把|a|+|b|≥|a+b|，等号成立当且仅当ab≥0中a,b 用向量α，β代替，可以很明显地看出其几何意义。
当向量α，β不共线时，那么由向量加法的三角形法则，向量α，β，α+β构成三角形，因此我们有向量形式的不等式|α|+|β|≥|α+β|，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边。
所以我们称该不等式为绝对值三角不等式。
如|x|≤1的解如图4：
图4
|x-1|≤2的解如图5：
图5
|x|+|y|≤1的解如图6：
图6
√a2=|a|（|a|的代数刻划）实际上表达了毕达哥拉斯关系式c=√a2+b2，b=0时的特殊情形。
x2+y2=r2的解——点（x,y）的集合（轨迹）构成以原点为圆心，r为半径的圆周。
故x2+y2≤r2的解——点（x,y）的集合（轨迹）构成以原点为圆心，r为半径的圆盘。
图7
图7 图8 定义：|x+yi|=√x2+y2,则1≤|x+yi|≤2的解表示以原点为圆心，半径为1和2构成的圆环：图8
基本不等式：
1.①a2+b2≥2ab如果把实数a,b作为线段长度，那么它的几何解释（a≥b）：
图9-1
如图9-1所示：在正方形ABCD中，AB=a,在正方形CEFG中，EF=b。
那么S正方形ABCD+S正方形CEFG=a2+b2。
矩形BCGH和矩形JCDI的长均为a,宽均为b，它们的面积和是S矩形BCGH+S矩形JCDI=2ab。
矩形BCGH和矩形JCDI的公共部分是CEGK,边长为b,其面积与正方形CEFG相等。
所以a2+b2≥2ab。
当且仅当a=b时，两个矩形成为两个正方形，阴影部分面积等于正方形ABCD与正方形CEFG的面积的和。
图9-2
如图9-2所示：S ∆OAB =a 22
,S ∆OCD =
b 22
，S
矩OAEC
≤S ∆OAB + S ∆OCD ，即ab ≤a 22
+
b 22。
我们
进一步看到，当且仅当三角形S ∆BDE =0 ，即D 与B 重合，因而 当且仅当a=b 时S 矩OAEC
=S ∆OAB + S ∆OCD ，即ab=a 22+
b 22。
将①a
2
+b 2≥2ab 恒等变形，就可以得到以下基本不等式：
如果a,b>0,那么②a+b 2
≥√ab ，当且仅当a=b 时等号成立。
其几何意义是直角三
角形斜边上的中线不小于斜边上的高。
如图9：
图10
CD 是Rt △ABC 中斜边AB 上的高，OC 是斜边AB 上的中线，AD=a,BD=b 。
OC=a+b 2
，
CD=√ab 。
推论：在所有周长相同的矩形中，正方形面积最大； 在所有面积相同的矩形中，正方形周长最短。
推广1 3个正数的算术-几何平均不等式：
a+b+c 3
≥√abc 3
当且仅当a=b=c 时等号成立。
推广2 n 个正数的算术-几何平均不等式:
a 1+a 2+⋯+a n
n
≥√a 1a 2…a n n
当且仅当a 1=a 2=⋯=a n
非常自然地出现在光学和电网研究中的平均值是调和平均值2
1a +
1
b
=
2ab
a+b
.
统计学有一个重要的均方根√a 2+b 22。
有这样的不等式关系：√
a 2+
b 22
≥
a+b 2
≥√ab ≥
2ab a+b
，其几何解释如图
10：
图11-1
如图10-1所示：设ABCD 为一梯形，其中AB=a ，CD=b ，设O 为其对角线的中点。
（a ） a 与b 的算术中项
a+b 2
由平行于两底且与它们等距离的线段GH 表示；
（b ） 几何中项√ab 由平行于两底且使梯形ABLK 与KLDC 成相似形的线段KL 表示； （c ） 调和中项
2ab
a+b
由平行于两底且过O 点的线段EF 表示； （d ） 均方根√
a 2+
b 22
由平行于两底且将梯形
ABCD 分成面积相等的两个梯形的线段
MN 表示。
如图11-2所示：O 为圆心 ，MH<MG<MO<MR
设MP=a,MQ=b ，（a>b ），则MO=
a+b 2
，MG=√ab ，MH=
2ab
a+b
，MR=√
a 2+
b 22
Cauchy 不等式：
（a ） 二维形式：（(a 12
+a 22)(b 12+b 22)≥(a 1b 1+a 2b 2)2）
当且仅当
a i
b i
=λ(i =1，2) 时等号成立。
其几何意义如图11：
图12
Cos θ=
α·β
|α|·|β|
=
1122√a 12+a 22 √b 12+b 22
又由（Cos θ）2
≤1即得
（(a 12+a 22)(b 12+b 22)≥(a 1b 1+a 2b 2)2）。
其中等号成立的条件是（Cos θ）2
=1 ，即θ=0或π。
也就是说α，β 平行。
坐标（a 1,b 1），
（a 2,b 2）成比例。
即a i
b i
=λ(i =1，2)时等号成立。
推广1 3维柯西不等式
(a 12+a 22+a 32)(b 12+b 22+b 32)≥(a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3)2
当且仅当
a i
b i
=λ(i =1，2，3) 时等号成立。
推广2 n 维柯西不等式
(a12+a22+⋯+a n2)(b12+b22+⋯+b n2)≥(a1b1+a2b2+⋯+a n b n)2
当且仅当a i
b i
=λ(i=1，2，3，…)时等号成立。
赫德尔不等式
a i，
b i>0，
(a1p+a2p+⋯+a n p)1
p(b1q+b2q+⋯+b n q)
1
q≥a1b1+a2b2+⋯+a n b n，
1
p
+
1
q
=1当p=2，q=2时即是柯西不等式。
三角不等式：（二维形式）
√x12+y12+√x22+y22≥√(x1+x2)2+(y1+y2)2
当且仅当x1=k x2；y1=ky2。
其几何解释如图13
图13
一维形式：√x12+√x22≥√(x1+x2)2，即|x1|+|x2|≥|x1+x2|，当且仅当x1=k x2，这时三角形退化成一条直线。
推广√x12+x22+⋯+x n2+√y12+y22+⋯+y n2≥√(x12+y12)+⋯(x n2+y n2)此式对一切实数x i，y i都成立，当且仅当x i=ky i时等号成立。
闵可夫斯基不等式
任意非负数x1，y1，x2，y2及任意的p>1，有
（x1p+y1p）1
p+(x
2
p+y2p)1p≥[(x1+x2)p+(y1+y2)p]1p三
角不等式是这里p=2特殊情形。
推广n维闵可夫斯基不等式
（x1p+x2p+⋯+x n p）1
p+(y
1
p+y2p+⋯+y n p)1p≥[(x1+y1)p+⋯+(x n+y n)p]1p，其中p≥1，当p<1时，不等号要反过来。