常见不等式的几何直观

常见不等式的几何直观

数学与统计学院2008级1212408087 陈小丽

研究不等式的出发点是实数的大小关系。我们知道，数轴上的点与实数一一对应，因此可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小：

设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B。那么，当点A 在点B 的左边时，ab（图1）。

图1

不等式的基础性质也可以通过作图来表示：用线段AB的长表示a，线段BA表示-a；线段CD表示b，线段DC表示-b。如：

（1）如果a>b，b>c，那么a>c。

画图2表示：

绝对值|a|表示数a到原点的距离。即若a>0, |a|=a；若a<0, |a|=-a；若a=0, |a|=0。

对于任意的两个实数a,b,设它们在数轴上的对应点分别是A,B，那么|a-b|的几何意义是数轴上A，B两点之间的距离。

为了在直观上刻画绝对值，我们做函数y=x,y=-x,y=|x|,y=-|x|的图像。图3

图3-1

图3-2 图3-3

由图易得-|x|≤x≤|x|，于是对每个实数a，有-|a|≤a≤|a|。绝对值的几何意义是我们认识绝对值不等式的重要工具。实际上，我们可把“距离大小”作为研究绝对值不等式的基本出发点，解决相应的问题。

把|a|+|b|≥|a+b|，等号成立当且仅当ab≥0中a,b 用向量α，β代替，可以很明显地看出其几何意义。

当向量α，β不共线时，那么由向量加法的三角形法则，向量α，β，α+β构成三角形，因此我们有向量形式的不等式|α|+|β|≥|α+β|，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边。所以我们称该不等式为绝对值三角不等式。

如|x|≤1的解如图4：

图4

|x-1|≤2的解如图5：

图5

|x|+|y|≤1的解如图6：

图6

√a2=|a|（|a|的代数刻划）实际上表达了毕达哥拉斯关系式c=√a2+b2，b=0时的特殊情形。x2+y2=r2的解——点（x,y）的集合（轨迹）构成以原点为圆心，r为半径的圆周。故x2+y2≤r2的解——点（x,y）的集合（轨迹）构成以原点为圆心，r为半径的圆盘。图7

图7 图8 定义：|x+yi|=√x2+y2,则1≤|x+yi|≤2的解表示以原点为圆心，半径为1和2构成的圆环：图8

基本不等式：

1.①a2+b2≥2ab如果把实数a,b作为线段长度，那么它的几何解释（a≥b）：

图9-1

如图9-1所示：在正方形ABCD中，AB=a,在正方形CEFG中，EF=b。

那么S正方形ABCD+S正方形CEFG=a2+b2。矩形BCGH和矩形JCDI的长均为a,宽均为b，它们的面积和是S矩形BCGH+S矩形JCDI=2ab。矩形BCGH和矩形JCDI的公共部分是CEGK,边长为b,其面积与正方形CEFG相等。所以a2+b2≥2ab。当且仅当a=b时，两个矩形成为两个正方形，阴影部分面积等于正方形ABCD与正方形CEFG的面积的和。

图9-2

如图9-2所示：S ∆OAB =a 22

,S ∆OCD =

b 22

，S

矩OAEC

≤S ∆OAB + S ∆OCD ，即ab ≤a 22

+

b 22

。我们

进一步看到，当且仅当三角形S ∆BDE =0 ，即D 与B 重合，因而 当且仅当a=b 时S 矩OAEC

=S ∆OAB + S ∆OCD ，即ab=a 22+

b 22

。

将①a

2

+b 2≥2ab 恒等变形，就可以得到以下基本不等式：

如果a,b>0,那么②a+b 2

≥√ab ，当且仅当a=b 时等号成立。其几何意义是直角三

角形斜边上的中线不小于斜边上的高。如图9：

图10

CD 是Rt △ABC 中斜边AB 上的高，OC 是斜边AB 上的中线，AD=a,BD=b 。OC=a+b 2

，

CD=√ab 。

推论：在所有周长相同的矩形中，正方形面积最大； 在所有面积相同的矩形中，正方形周长最短。 推广1 3个正数的算术-几何平均不等式：

a+b+c 3

≥√abc 3

当且仅当a=b=c 时等号成立。

推广2 n 个正数的算术-几何平均不等式:

a 1+a 2+⋯+a n

n

≥√a 1a 2…a n n

当且仅当a 1=a 2=⋯=a n

非常自然地出现在光学和电网研究中的平均值是调和平均值2

1a +

1

b

=

2ab

a+b

.

统计学有一个重要的均方根√a 2+b 22

。

有这样的不等式关系：√

a 2+

b 22

≥

a+b 2

≥√ab ≥

2ab a+b

，其几何解释如图

10：

图11-1

如图10-1所示：设ABCD 为一梯形，其中AB=a ，CD=b ，设O 为其对角线的中点。 （a ） a 与b 的算术中项

a+b 2

由平行于两底且与它们等距离的线段GH 表示；

（b ） 几何中项√ab 由平行于两底且使梯形ABLK 与KLDC 成相似形的线段KL 表示； （c ） 调和中项

2ab

a+b

由平行于两底且过O 点的线段EF 表示； （d ） 均方根√

a 2+

b 22

由平行于两底且将梯形

ABCD 分成面积相等的两个梯形的线段

MN 表示。

如图11-2所示：O 为圆心 ，MH