培优专题-用分组分解法进行因式分解(含标准答案)

培优专题-用分组分解法进行因式分解(含答案)

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

3、用分组分解法进行因式分解

【知识精读】

分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。

应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。

下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。

【分类解析】

1. 在数学计算、化简、证明题中的应用

例1. 把多项式211242a a a a a ()+++++分解因式，所得的结果为（ ）

A a a

B a a

C a a

D a a .().().().()22

2222221111+--+++--

分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。

解：原式=+++++211242a a a a a (()

=++++=+++++=++++=++a a a a a a a a a a a a a a a 4324322222222321

2221

21

1()()()()()

故选择C

例2. 分解因式x x x x x 54321-+-+-

分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x x x x x 54321-+-+-和分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把x x 54-，x x x 321--和分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。 解法1：

原式=-+--+=--+=-++-+()()

()()

()()()x x x x x x x x x x x x x 54323222111111

解法2：

原式=-+-+-=-+-+-=-++=-++-=-++-+()()()

()()()

()()

()[()]

()()()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 5432424242222111111121111

2. 在几何学中的应用

例：已知三条线段长分别为a 、b 、c ，且满足a b a c b ac >+<+，2222

证明：以a 、b 、c 为三边能构成三角形

分析：构成三角形的条件，即三边关系定理，是“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”

证明：Θa c b ac 2222+<+

∴+--<∴-+-<--<∴-+--<-+>--∴-+>--<∴+>-<-<<+∴a c b ac a ac c b a c b a c b a c b a c b a c b

a c

b a

c b a b c a b c

a b c a b

a b c 2222222220

200

00

，即又，，即以、、为三边能构成三角形()()()Θ

3. 在方程中的应用

例：求方程x y xy -=的整数解

分析：这是一道求不定方程的整数解问题，直接求解有困难，因等式两边都含有x 与y ，故可考虑借助因式分解求解

解：Θx y xy -=

∴-+=∴-+-=--+-=-∴-+=-∴+=-=-⎧⎨⎩+=--=⎧⎨⎩xy x y xy x y x y y y x x y x y x y 0

11

111

111

11111111

即是整数

或()()()(),Θ

∴==⎧⎨⎩=-=⎧⎨⎩x y x y 0022或

4、中考点拨

例1.分解因式：1222--+=m n mn _____________。

解：1222--+m n mn

=--+=--=+--+12111222

()

()()()m mn n m n m n m n

说明：观察此题是四项式，应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式，但搭配在一起不能分解到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。

例2．分解因式：x y x y 22--+=____________

解：x y x y 22--+=()()x y x y 22---

=+---=-+-()()()

()()x y x y x y x y x y 1

说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。

例3. 分解因式：x x x 323412+--=____________

解：x x x 323412+--=x x x 324312-+-

=-+-=++-x x x x x x ()()

()()()22434322

说明：分组的目的是能够继续分解。

5、题型展示：

例1. 分解因式：m n mn n 222141()-+-+

解：m n mn n 222141()-+-+

=-+-+=++---=+--=-+++-+m n m mn n m n mn m mn n mn m n mn m n mn m n 222222222241

212111()()

()()()()

说明：观察此题，直接分解比较困难，不妨先去括号，再分组，把4mn 分成2mn 和2mn ，配成完全平方和平方差公式。