高等数学导数公式大全

例3
解
x -1 设 y x 2 1 , 求 y .
根据除法公式，有
2 2 x - 1 ( x 1)( x - 1) - ( x 1)( x - 1) y 2 2 2 x 1 ( x 1 )

( x 2 1)[(x ) - (1)] - [( x 2 ) (1)]( x - 1) ( x 2 1)2
y
解：上式两边对x求导，则有y '＝(1) ' ( xe ) ', 即
y
y ' e x (e ) e x e y '
y y y y
(1 - xe ) y ' e
y
y
ey y' y 1 - xe
隐函数的求导步骤： 得到一个含有y '的等式;
（）方程两边对 1 x求导，求导过程中把y视为中间变量，
导数的基本公式与运算法则 基本初等函数的导数公式
c 0 (c为任意常数)
'
(x ) = x - 1 . (ax) = ax lna .
(ex) = ex.
1 1 (log a x ) . (ln x ) . x x ln a
(sin x) = cos x. (tan x) = sec2x . (sec x) = sec x tan x .
= 12x3 - ex - 5sin x .
f (0) = (12x3 - ex - 5sin x)|x=0 = - 1
例2
设 y = xlnx ， 求 y .
解 根据乘法公式，有
y = (xlnx) = x (lnx) (x)lnx
1 x 1 ln x x
1 ln x .
例4.求下列函数的导数： 1 ）y (3x 1) ;
2 3
2) y sin( x - 2); 4) y e
3
3) y ln cos x; 5) y 2
3
tan x
;
2
-x
解： (1)函数可以分解为y u ( x), u ( x) 3x 1, y ' [u ( x)]' 3u ( x) u ( x) ' 3(3x 1) (3x 1) '
d 2 y 如对二阶导数再求导，则 . 记作 f (x) 或 y 或 2 dx d3 y 称三阶导数， . 四阶或四阶以上导 记作 f (x) 或 3 dx
数记为
y(4)，y(5)，· · · ，y(n)
f (x) 称为 f (x) 的一阶导数.
d4 y dn y 或 · ·， n , ,· 4 dx dx
练习：求下列函数的导数(课堂练习) (2) y cos 3x； (3) y x 2 - 3x 2； （4） lg cos(3 2 x 2 )
（） 1 y (-1 x 2 )3 ;
解: (1) y ' 6 x(-1 x 2 ) 2 (2) y ' -3x ln 3 sin 3x (3) y ' 2x - 3 2 x 2 - 3x 2
( x 2 1) - 2 x( x - 1) 2 x - x 2 1 . 2 2 2 2 ( x 1) ( x 1)
教材P32 例2 求下列函数的导数：
(1) y x - cos x (2) y x e x 3 2 (4) y 2x 3x sin x e (3) y 2 1- x
解：
(4) y ' (2 x3 )' (3x sin x)' (e2 )' 2( x 3 )'-3( x sin x)'0 2 6 x - 3(sin x x cos x)
高阶导数
如果可以对函数 f(x) 的导函数 f (x) 再求导，
所得到的一个新函数， 称为函数 y = f(x) 的二阶导数，
2
解：两边分别对x求导，得 ( xy ) ' ( y ) ' 2
2
y x y ' 2 y y ' 2 ( x 2 y) y ' 2 - y 2- y y' x 2y
二元函数的偏导数的求法
求 z f ( x, y) 对自变量 x (或 y )的偏导数时,只须将另一 自变量 y (或 x )看作常数, 直接利用一元函数求导公式和 四则运算法则进行计算. 例1 设函数 f ( x, y) x3 - 2x2 y 3 y 4 , ( x, y ), f ( x, y ), f (1,1), f (1, -1), f 求 x y y x
x 2 -3 x-2
（3）y ln ln ln x （4）y ln(x
x 1)
2
来自百度文库
隐函数的导数
y与x的关系由方程（ F x，y）＝0确定，未解出因变量的 方程（ F x，y）=0所确定的函数y y( x)称为隐函数
dy 例6 设函数y y ( x)由方程y 1 xe 所确定，求 . dx
2 2 2 2
[1 2 y sin( x y )] y ' 1 - 2 x sin( x y )
2 2 2 2
1 - 2 x sin( x y ) y' 1 2 y sin( x 2 y 2 )
2 2
dy 练习：设函数y y ( x)由方程xy y 2 x所确定，求 . dx
（2）从所得等式中解出y '.
dy 例7 设函数y y ( x)由方程y - cos( x y ) x所确定，求 . dx
2 2
解：方程两边分别对x求导，得 x ' y ' sin( x 2 y 2 ) ( x 2 y 2 ) '
2 2
1 y ' sin( x y ) (2 x 2 yy ') 1 y ' 2 x sin( x y ) 2 y sin( x y ) y '
dy 或记作： f '(u ) u '( x) dx
推论 设 y = f (u) ， u = (v)， v = (x) 均
可导，则复合函数 y = f [ ( (x))] 也可导，
y x yu uv v x .
以上法则说明：复合函数对自变量的导数等于复合 函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.
2 2 2 2
3(3x 1) 6 x 18 x(3x 1)
2 2 2
2
Microsoft Office PowerPoint，是 微软公司的演示文稿软件。用户可以在投影 仪或者计算机上进行演示，也可以将演示文 稿打印出来，制作成胶片，以便应用到更广 泛的领域中。利用Microsoft Office PowerPoint不仅可以创建演示文稿，还可 以在互联网上召开面对面会议、远程会议或 在网上给观众展示演示文稿。 Microsoft Office PowerPoint做出来的东 西叫演示文稿，其格式后缀名为：ppt、 pptx；或者也可以保存为：pdf、图片格式 等
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(2)把 x - 2当作中间变量， y ' cos( x - 2) ( x - 2) ' 1 cos( x - 2) 2 x cos( x - 2) 2 x
(3)把 cos x当作中间变量， 1 sin x y' (cos x) ' - tan x cos x cos x
乘法法则的推广：
(uvw) ' u ' vw uv ' w uvw '
补充例题： 求下列函数的导数： 例 1 设 f (x) = 3x4 – ex + 5cos x - 1，求 f (x) 及 f (0). 解 根据推论 1 可得 (3x4) = 3(x4)， (5cos x) = 5(cos x)， 又(x4) = 4x3，(cos x) = - sin x， (ex) = ex， (1) = 0， 故 f (x) = (3x4 - ex + 5cos x - 1) = (3x4) -(ex ) + (5cos x) - (1)
[cos(3 2 x 2 )]' - sin(3 2 x 2 ) 2 2 (4) y ' (3 2 x ) ' 4 x tan(3 2 x ) 2 2 cos(3 2 x ) cos(3 2 x )
例5：求下列函数的导数
y （1 ）
cos x
2
（2）y e
(1 x )' y" 2 2 (1 x )
2
二阶以上的导数可利用后面的数学软件来计算
复合函数的求导法则
定理2.2 若函数u u ( x)在点x可导，函数y＝f (u ) 在点u处可导，则复合函数y f (u ( x)) 在点x可导，且 dy dy du dx du dx
3 2 4 2 f ( x , y ) ( x 2 x y 3 y ) 3 x - 4xy 解： x x f y ( x, y) ( x 3 - 2x 2 y 3y 4 )y -2x 2 12y 3 f x(1,1) 3 12 - 4 11 -1
3
2 x
(1) y ' ( x3 - cos x)' ( x3 )'- (cos x)' 3x2 sin x
(2) y ' ( x2ex )' ( x2 )' ex x2 (ex )' 2xex x2e x ( x 2) xe x
x x '(1 - x 2 ) - x(1 - x 2 ) ' 1 - x 2 - x(-2 x) (3) y ' ( )' 2 2 2 2 2 1- x 2 (1 - x ) (1 - x ) 1 x (1 - x 2 ) 2
(4) 把 tan x 当作中间变量， y ' (e
tan x
)' e
tan x
(tan x)' sec xe
2
tan x
(5) 把 - x 当作中间变量， y ' (2 )' 2 ln 2 (- x)' -2 ln 2
-x -x -x
求导方法小结： 先将要求导的函数分解成基本初等函数,或 常数与基本初等函数的和、差、积、商. 任何初等函数的导数都可以按常数和基本 初等函数的求导公式和上述复合函数的求导 法则求出. 复合函数求导的关键: 正确分解初等函数 的复合结构.
(cos x) = - sin x. (cot x) = - csc2x . (csc x) = - csc x cot x .
另外还有反三角函数的导数公式：
(arcsinx ) (arccosx )
1 1 - x2 -1
, ,
1 - x2 1 (arctan x ) , 2 1 x -1 (arc cot x ) . 2 1 x
而把
例3 求下列函数的二阶导数
(1) y x cos x
解：
(2) y arctan x
(1) y ' cos x x(- sin x) cos x - x sin x
y" - sin x - (sin x x cos x) -2 sin x - x cos x
1 2x (2) y ' 2 2 2 1 x (1 x )
v( x ) u( x )v ( x ) - u( x )v ( x ) . 2 u( x ) [u( x )]
推论 1 推论 2
(cu(x)) = cu(x) (c 为常数).
1 u( x ) u( x ) - u2 ( x ) .
导数的四则运算
设函数 u(x)、v(x) 在 x 处可导， v( x ) ( u( x ) 0) 则它们的和、差、积与商 u( x ) 在 x 处也可导，且 定理2. 1
(u(x) v(x)) = u(x) v (x); (u(x)v(x)) = u(x)v(x) + u(x)v(x);