★面积等分问题
中考25题常考类型------面积均分问题
中考 25 题常考类型 ------ 面积均分问题本节课讲了两种类型，第一种三角形和不规则四边形面积均分问题；第二种特殊的四边形面积均分问题。
在讲三角形面积均分时学生很容易就理解三角形的中线就能均分三角形面积。
但是在具体的题中要求过三角形一边的某一个定点均分三角形面积。
这道题学生觉得有难度，需要老师架一个梯度，帮助学生突破这种过定点等分的情形，其中需要用到蝴蝶模型，所以在讲过定点面积等分问题前给学生铺垫了蝴蝶模型。
即就是平行线剪的三角形面积相等，借助同底等高，不仅可以面积相等，还可以根据平行线做的位置不同转变三角形的位置。
引入：等腰三角形面积等分---一般三角形面积等分得到结论：三角形的中线能够等分三角形的面积。
师：在没有任何条件限制下，等分三角形面积我们知道找三角形中线即可。
那么要是有条件限制呢？比如过三角形ABC一边BC上的一定点P的直线如何等分三角形面积？先抛出问题，引发学生独立思考，再进行小组合作。
师：在解决这个问题前我们先来看一个模型---蝴蝶模型。
引入蝴蝶模型。
小结：我们发现蝴蝶模型存在等积转化的方法，即可以构造平行线，转化面积。
师：我们思考这个问题，已经会用中线等分面积了，那如何使得过定点的直线等分三角形面积？生：（思考中）生：（小组合作中）生：我考虑借助蝴蝶模型进行等积转化。
师：很好，给其他同学也提供了思路，可以朝这个方向思考。
再思考蝴蝶模型在什么线中产生的？生：平行线中产生，所以要构造平行线。
师：很棒，那么我们是等积转化，如何转化？在什么情况下可以转化成等分面积的情形呢？生：在已知中线可以等分面积的基础上，考虑结合中点构造平行线和蝴蝶模型。
生：我连接AP，取BC边上的中点M，连接AM，过M作MD平行于AP交AB于点D，连接DP，构造平行线，得到等积模型，从而得到三角形APM和三角形ADP面积相等，将这两个三角形面积进行转化，得到四边形DPCA的面积等于三角形AMC的面积，即就是四边形DPCA的面积等于三角形ABC的一半，即直线DP即为所求的直线。
五年级下册数学-等分思想求面积
图形等分求面积一、练习题1、如下图所示，四边形ABCD 是正方形，面积是40，E 和F 是AD 和BC 的四等分点，求长方形ABFE 的面积。
2、如下图所示，四边形ABCD 是正方形，面积是24，E 和F 是AB 和AD 的中点，G 是正方形的中心点，求正方形AFGE 的面积。
ACDBE FACDBEGF3、如下图所示，三角形ABC 是等边三角形，面积是12，D 、E 是AB 、AC 边的中点，求三角形ADE 的面积。
4、如下图所示，四边形ABCD 是正方形，面积是36，E 是AB 的中点，求三角形AED 的面积。
ABCDEACDBE5、如下图所示，大正六边形的面积是24，图中阴影部分是一个等边三角形，求阴影部分的面积。
二、答案1、答案解析：如下图，将正方形ABCD 分成完全相同的四个长方形，每个长方形面积相等，所以长方形ABFE 的面积=40÷4=10。
2、答案解析：如下图，将正方形ABCD 分成完全相同的四个小正方形，每个小正方形面积相等，所以正方形AFGE 的面积=24÷4=6。
3、答案解析：如下图，将正三角形分成完全相同的四个小三角形，每个小三角形面积相等，所以三角形ADE 的面积=12÷4=3。
A CDB EFACDBEGFABCDE4、答案解析：如下图，将正方形ABCD 分成完全相同的四个三角形，每个三角形面积相等，所以三角形ADE 的面积=36÷4=9。
5、答案解析：如下图，将正六边形等分成6份，阴影部分有3份，已知大六边形的面积是24，所以一份是24÷6=4，阴影部分的面积是4×3=12。
ACDBE。
多边形面积二等分问题
多边形面积二等分问题在初中阶段平面几何中，图形的等分问题比较多，常见的有以下几种:等分线段，等分角，等分圆，多边形面积二等分等。
线段和角的二等分比较简单，任意等分就稍显复杂；特别是角的任意等分，著名的“尺规作图不能问题”中就有角的三等分问题。
现在据说有人发明了一种工具叫做弧金规，这种工具不但可以任意等分任意角（包括三等分任意角），还能作一个正方形与已知圆的面积相等，即化圆为方问题；这样一来“尺规作图不能问题”中的三个就被其解决掉了两个，只还剩一个“立方倍积” 了。
非但如此，这种工具还能在圆弧上取黄金分割点及在任意曲线上任意取段;也就是说能任意等分圆周及任意曲线。
这项发明可以说是意义重大，但是，这种工具毕竟现在没有推广、普及，而且其操作也肯定不如传统中的直尺和圆规操作简单, 再说了，使用这种工具作图是否属于尺规作图还有待于进一步论证; 所以,本文还是想从传统的尺规作图的角度来论述一下初中数学中常见的有关几何图形特别是多边形的面积二等分问题。
无论是什么样的多边形，都可以用一条直线把它分成两部分；由于直线相对于多边形的方向与位置不同,被分出来的两部分面积可能相等，也可能不相等。
但无论直线开始时如何放置，只要放置好以后我们让它沿着与直线垂直的方向来回平移，在直线扫过整个多边形的过程中，总有一个位置是使被分出来的两部分面积相等，因此，对于任意多边形，都应该存在无数条直线能把它分成面积相等的两部分;或者换句话说，过多边形任意边上的任意一点也都应该存在一条直线能把多边形分成面积相等的两部分。
先说三角形的面积二等分问题。
对于三角形来说，由于等底等高的三角形面积相等，所以，三角形任意一边上的中线都可以把它分成面积相等的两部分，这个问题比较简单；下面说一下过任意边上的任意一点作直线平分三角形的问题。
如图，已知P为的边BC上的任意一点，求作直线戸（3,把厶ABC分成面积相等的两部分。
作法：1.连接AP; 2,取BC的中点D,作DQ〃AP,交AC于点Q;3,作直线PQ,如图0.则直线PQ就是所求作的直线。
模型43 几何中等分面积问题(解析版)-中考数学解题大招复习讲义
模型介绍线段分三角形面积问题.☑当三角形具有公共顶点，并且底边共线时，三角形面积比等于底边边长比.如图当S △ABD ∶S △ADC ＝m ∶n 时，则BD CD ＝m n .例题精讲【例1】．如图，△ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点为G ，且AG ：GD ＝2：1，若S △ABC ＝12，则图中阴影部分的面积是4．解：∵△ABC 的三条中线AD 、BE ，CF 交于点G ，AG ：GD ＝2：1，∴AE ＝CE ，∴S △CGE ＝S △AGE ＝S △ACF ，S △BGF ＝S △BGD ＝S △BCF ，∵S △ACF ＝S △BCF ＝S △ABC ＝×12＝6，∴S△CGE＝S△ACF＝×6＝2，S△BGF＝S△BCF＝×6＝2，∴S阴影＝S△CGE+S△BGF＝4．故答案为：4．变式训练【变式1-1】．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝8cm2，则S△BEF的面积是（）A．4cm2B．3cm2C．2cm2D．1cm2解：∵D是BC的中点，∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，∵E是AD的中点，∴S△ABE＝S△BDE＝S△ABD，S△AEC＝S△CDE＝S△ADC，∵F是EC的中点，∴S△BEF＝S△BCF＝S△BCE，∵S△ABC＝8cm2，∴S△BCE＝4cm2，∴S△BCF＝2cm2，故选：C．【变式1-2】．如图，在直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点坐标B（17，6），C（5，6），直线y＝x+b恰好将平行四边形OABC的面积分成相等的两部分，那么b＝﹣．解：连接AC、BO，交于D．∵平行四边形OCBA，∴BC∥OA，DB＝OD，DC＝DA，∴∠MCD＝∠DAN，∠CMD＝∠DNA，∴△CMD≌△AND，同理△BMD≌△OND，∴过D的任意直线都能把平行四边形的面积分成面积相等的两部分．过D作DF⊥x轴于F，过B作BE⊥x轴于E．∵平行四边形OCBA，B（17，6），C（5，6），∴DO＝BD，DF∥BE，∴OF＝EF，∴DF＝3，OF＝×17＝8.5，∴D（8.5，3），代入y＝x+b得：3＝×8.5+b，∴b＝﹣，故答案为：﹣．【例2】．如图，在平面直角坐标系xOy中，长方形OABC的顶点B的坐标为（6，4），直线y＝﹣x+b恰好将长方形OABC分成面积相等的两部分，那么b＝5．解：∵直线y＝﹣x+b恰好将长方形OABC分成面积相等的两部分∴直线y＝﹣x+b要经过矩形的中心∵矩形的中心为（3，2）∴把点（3，2）代入y＝﹣x+b，解得：b＝5．变式训练【变式2-1】．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为2．解：如图，过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，得矩形AGHE，∴GH＝AE＝2，∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，∴BG＝3，AG＝3＝EH，∴HC＝BC﹣BG﹣GH＝6﹣3﹣2＝1，∵EF平分菱形面积，EF经过菱形对角线交点，∴FC＝AE＝2，∴FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，在Rt△EFH中，根据勾股定理，得EF＝＝＝2．故答案为：2．【变式2-2】．如图，△ABC的面积为1，D、E分别为AB、AC的中点，F、G是BC边上的三等分点．那么△DEF的面积是多少？△DOE的面积是多少？解：①如图，过点A作AQ⊥BC于Q，过点D作DM⊥BC于M，∵D是AB的中点，DM∥AQ，∴M是BQ的中点，∴DM＝AQ，∴三角形ABC的面积是＝BC×AQ＝1，∴BC×AQ＝2，∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE＝BC，∴三角形DEF的面积为＝DE×DM＝××BC××AQ＝；②∵DE＝，FG＝，∴＝，∴三角形DOE面积＝三角形DEF面积×＝．【变式2-3】．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，求直线l 的函数表达式．解：如图，延长BC交x轴于点F，连接OB，AF，DF，CE，DF和CE相交于点N，∵O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．∴四边形OABF为矩形，四边形CDEF为矩形，∴点M（2，3）是矩形OABF对角线的交点，即点M为矩形ABFO的中心，∴直线l把矩形ABFO分成面积相等的两部分又∵点N（5，2）是矩形CDEF的中心，∴过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分．∴直线MN即为所求的直线L，设直线l的解析式为y＝kx+b，则2k+b＝3，5k+b＝2，解得k＝，b＝，因此所求直线l的函数表达式是：y＝﹣x+．1．如图，长方形ABCD的面积为36cm2，E，F，G分别为AB，BC，CD的中点，H为AD上任一点，则图中阴影部分的面积为（）A．18cm2B．16cm2C．20cm2D．24cm2解：设长方形ABCD中，AD＝a，AB＝b，则AE＝b＝GC，BF＝a，∴S阴＝S长方形ABCD﹣S△AEH﹣S△HFC﹣S△HCG，＝36﹣AE•AH﹣FC•AB﹣HD•CG，＝36﹣AD•AE﹣FC•AB，＝36﹣ab，＝18cm2．故选：A．2．已知梯形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（5，0），C（2，2），D（0，2），直线y＝kx+2将梯形分成面积相等的两部分，则k的值为（）A．B．C．D．解：∵梯形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（5，0），C（2，2），D（0，2），∴梯形的面积为：＝8，∵直线y＝kx+2将梯形分成面积相等的两部分，∴直线y＝kx+2与AD、AB围成的三角形的面积为4，设直线与x轴交于点（x，0），∴（x+1）×2＝4，∴x＝3，∴直线y＝kx+2与x轴的交点为（3，0）∴0＝3k+2解得k＝﹣故选：A．3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD 于点G，交BE于点H．①△ABE的面积＝△BCE的面积；②AF＝FB；③∠FAG＝2∠ACF．以上说法正确的是（）A．①③B．①②C．②③D．①②③解：∵E是AC的中点，∴AE＝EC，∴△ABE的面积＝△BCE的面积，故①符合题意；若AF＝FB，则F是AB的中点，∵CF是∠ACB的平分线，∴BC＝AC与BC＞AC矛盾，故②不符合题意；∵∠BAC＝90°，∴∠FAG+∠CAD＝90°，∵AD⊥BC，∴∠CAD+∠ACB＝90°，∴∠FAG＝∠ACD，∵CF平分∠ACB，∴∠ACD＝2∠ADF，∴∠FAG＝2∠ACF，故③符合题意；故选：A．4．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，若阴影部分的面积为4，则△ABC的面积为16．解：∵点E是AD的中点，＝S△ABD，S△ACE＝S△ADC，∴S△ABE+S△ACE＝S△ABC，∴S△ABE＝S△ABC，∴S△BCE∵点F是CE的中点，＝S△BCE，∴S△BEF＝4S△BEF＝4×4＝16．∴S△ABC故答案为：16．5．如图，已知在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD顶点A（0，0），C（10，4），直线y＝ax﹣2a﹣1将平行四边形ABCD分成面积相等的两部分，求a的值．解：连接AC、BD，AC与BD相交于点M，过点M作ME⊥x轴于点E，过点C作CF ⊥x轴于点F，∵C（10，4），∴AF＝10，CF＝4，…（2分）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AM＝CM，即＝，∵ME⊥x轴，CF⊥x轴，∴∠MEA＝∠CFA＝90°，∴ME∥CF，∴∠AME＝∠ACF，∠AEM＝∠AFC，∴△AME∽△ACF，∴＝＝，即E为AF的中点，∴ME为△AFC的中位线，…（4分）∴AE＝AF＝5，ME＝CF＝2，∴M（5，2），…（6分）∵直线y＝ax﹣2a﹣1将平行四边形ABCD分成面积相等的两部分，∴直线y＝ax﹣2a﹣1经过点M，…（8分）将M（5，2）代入y＝ax﹣2a﹣1得：a＝1．…（9分）6．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，点B的坐标为（4，4），直线y ＝mx﹣2恰好把正方形ABCO的面积分成相等的两部分，则m＝2．解：∵直线y＝mx﹣2恰好把正方形ABCO的面积分成相等的两部分∴直线必经过正方形的中心∵点B的坐标为（4，4）∴中心为（2，2），代入直线中得：2＝2m﹣2，m＝27．已知平面上四点A（0，0），B（10，0），C（14，6），D（4，6），若直线y＝mx﹣3m﹣1将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则m的值为1．解：∵点A（0，0），B（10，0），C（14，6），D（4，6），∴四边形ABCD为平行四边形，∵直线y＝mx﹣3m﹣1四边形ABCD分成面积相等的两部分，∴直线y＝mx﹣3m﹣1过矩形的对角线的交点，而平行四边形的对角线的交点坐标为（7，3），∴7m﹣3m﹣1＝3，∴m＝1．故答案为：1．8．在△ABC中，BC＝5，AC＝12，AB＝13，在AB、AC上分别取点D、E，使线段DE将△ABC分成面积相等的两部分，则这样线段的最小值是2．解：∵BC2+AC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，过D作DF⊥AC于F，设DF＝x，则＝，∴AF＝x，＝x•AE＝S△ABC＝15，∵S△ADE∴AE＝，EF＝﹣x，∴DE2＝DF2+EF2＝x2+（﹣x）2＝x2+﹣144＝（x﹣）2+12≥12，故可得DE2最小值是12，∴DE最小值为2．故答案为：2．9．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（15，6），直线恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，那么b＝．解：由B的坐标（15，6），得到矩形中心的坐标为（7.5，3），直线y＝x+b恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，将（7.5，3）代入直线y＝x+b得：3＝×7.5+b，解得：b＝．故答案为：．10．如图，△ABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE＝AD，DF是△DCE的中线．已知△ABC的面积为2，求：△CDF的面积．解：∵AD是△ABC的中线，＝S△ABC＝×2＝1，∴S△ACD∵CD是△ACE的中线，＝S△ACD＝1，∴S△CDE＝S△CDE＝×1＝．∵DF是△CDE的中线，∴S△CDF∴△CDF的面积为．11．正方形ABCD的边长为4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB边落在X轴的正半轴上，且A点的坐标是（1，0）．（1）直线y＝x经过点C，且与x轴交于点E，求四边形AECD的面积；（2）若直线l经过点E，且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线l的解析式；（3）若直线l1经过点F（﹣，0），且与直线y＝3x平行，将（2）中直线l沿着y轴向上平移个单位交轴x于点M，交直线l1于点N，求△NMF的面积．解：（1）在y＝x中，令y＝4，即x＝4，解得：x＝5，则B的坐标是（5，0）；令y＝0，即x＝0，解得：x＝2，则E的坐标是（2，0）．则OB＝5，OE＝2，BE＝OB﹣OA＝5﹣2＝3，∴AE＝AB﹣BE＝4﹣3＝1，S四边形AECD＝（AE+CD）•AD＝（4+1）×4＝10；（2）经过点E且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，则直线与CD的交点F，必有CF＝AE＝1，则F的坐标是（4，4）．设直线的解析式是y＝kx+b，则，解得：．则直线l的解析式是：y＝2x﹣4；（3）∵直线l1经过点F（﹣，0）且与直线y＝3x平行，设直线l1的解析式是y1＝kx+b，则：k＝3，代入得：0＝3×（﹣）+b，解得：b＝，∴y1＝3x+，已知将（2）中直线l沿着y轴向上平移个单位，则所得的直线的解析式是y＝2x﹣4+，即：y＝2x﹣3，当y＝0时，x＝，∴M（，0），解方程组得：，即：N（﹣7，﹣19），S△NMF＝×[﹣（﹣）]×|﹣19|＝．答：△NMF的面积是．12．如图，直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OCD．（1）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；（2）在所求的抛物线上是否存在一点P，使直线CP把△OCD分成面积相等的两部分？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）在y＝2x+4中，分别令y＝0和x＝0来得到：A（﹣2，0）、B（0，4）、D点是因为旋转，OD＝OB，所以，D点（4，0）；C点也是因为旋转，OA＝OC，所以，C点（0，2）；设经过A、B、D的抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，则有：4a﹣2b+c＝0①，c＝4②，16a+4b+c＝0③（3分）解①②③得：，b＝1，c＝4，∴抛物线的解析式为：．（4分）（2）若存在点P满足条件，则直线CP必经过OD的中点E（2，0）；（5分）易知经过C、E的直线为y＝﹣x+2，（6分）于是可设点P的坐标为P（m，﹣m+2）；将P（m，﹣m+2）代入得：，（7分）整理，得：m2﹣4m﹣4＝0，解得：，；所以满足条件的点P有两个：P1（2+2，﹣2），．（9分）13．已知菱形OABC在坐标系中的位置如图所示，O是坐标原点，点C（1，2），点A在x 轴上．点M（0，2）．（1）点P是直线OB上的动点，求PM+PC最小值．（2）将直线y＝﹣x﹣1向上平移，得到直线y＝kx+b．①当直线y＝kx+b与线段OC有公共点时，结合图象，直接写出b的取值范围．②当直线y＝kx+b将四边形OABC分成面积相等的两部分时，求k，b．解：（1）由已知，OA＝OC＝，连接AC、AM，如图1所示．∵四边形OABC是菱形，∴PC＝PA，∴PC+PM＝PM+PA≤AM，即PC+PM≤＝＝3．（2）∵y＝kx+b为y＝﹣x﹣1平移得来的，∴k＝﹣1．①依照题意画出图形，如图2所示．结合函数图象可知，当点O在直线y＝﹣x+b上时，b最小，此时b＝0；当点C在直线y＝﹣x+b上时，b值最大，∵点C（1，2），∴2＝﹣1+b，解得：b＝3．故0≤b≤3．②连接AC、OB，设AC与OB的交点为D，当直线y＝﹣x+b过点D时，直线y＝﹣x+b 将四边形OABC分成面积相等的两部分，如图3所示．∵OA＝OC＝，∴点A（，0）．∵四边形OABC为菱形，C（1，2），A（，0），∴点D（，1）．∵直线y＝﹣x+b过点D，∴1＝﹣+b，解得：b＝．∴当直线y＝kx+b将四边形OABC分成面积相等的两部分时，k＝﹣1，b＝．14．已知，y＝ax2+bx﹣3过（2，﹣3），与x轴交于A（﹣1，0），B（x2，0），交y轴于C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点C作CD∥x轴，交抛物线于D，是否存在直线y＝kx+1将四边形ACDB分成面积相等的两部分，若存在，请求k的值；若不存在，请说明理由；（3）若直线y＝m（﹣3＜m＜0）与线段AC、BC分别交于D、E两点，则在x轴上是否存在点P，使得△DPE为等腰直角三角形，若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵y＝ax2+bx﹣3过（2，﹣3），A（﹣1，0），∴，解得a＝1，b＝﹣2，所以抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）设直线y＝kx+1与x轴交于点E，于CD交于点F，A（﹣1，0），B（3，0），E（），F（）；S四边形ACFE＝（CF+AE）•OC＝（1）；S四边形EFDB＝（DF+BE）•OC＝（5）；即（1）＝（5），k＝．（3）存在点P．直线y＝m与y轴交点为F（0，m），①当DE为腰时，分别过D、E作DP1⊥x轴于P1，作EP2⊥x轴于P2；如图，则△DP1E和△DEP2均为等腰直角三角形，又DP1＝DE＝EP2＝OF＝﹣m，又AB＝x B﹣x A＝3+1＝4，又△ECD∽△BCA，即，即m＝；P1（，0），P2（，0）；②当DE为底时，过P3作GP3⊥DE于G，如图，又DG＝GE＝GP3＝OF＝﹣m，由△ECD∽△BCA，，即m＝；P3（，0）综上所述，P1（，0），P2（，0），P3（，0）．15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝50，AC＝30，矩形DEFG的顶点G与△ABC 的顶点C重合，边GD、GF分别与AC，BC重合．GD＝12，GF＝16，矩形DEFG沿射线CB的方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，点Q从点B出发沿BA方向以每秒5个单位长的速度匀速运动，过点Q作射线QK⊥AB，交折线BC﹣CA于点H，矩形DEFG、点Q同时出发，当点Q到达点A时停止运动，矩形DEFG也随之停止运动．设矩形DEFG、点Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）求线段DF的长；（2）求运动过程中，矩形DEFG与Rt△ABC重叠部分的面积s与t的函数关系式（写出自变量的取值范围）；（3）射线QK能否把矩形DEFG分成面积相等的两部分？若能，求出t值；若不能，说明理由；（4）连接DH，当DH∥AB时，请直接写出t值．解：（1）如图1：连接DF，在Rt△CDF中，CD＝12，CF＝16，根据勾股定理：DF＝＝20；（2）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝50，AC＝30，∴BC＝＝40，根据题意得：当t＝＝10时，停止运动；如图2：当点E在AB上时，∵∠C＝90°，∠EFG＝90°，∴EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴EF：AC＝BF：BC，∴12：30＝BF：40，∴BF＝16，∴CG＝BC﹣BF﹣GF＝40﹣16﹣16＝8，此时，t＝8÷4＝2；如图3：当F与B重合时，CG＝BC﹣BG＝40﹣16＝24，此时，t＝24÷4＝6，∵tan∠ABC＝＝，tan∠GBD＝＝，∴此时，点D在直线AB上；①当0＜t≤2时，s＝S矩形DEFG＝12×16＝192，②如图4：当2＜t≤6时，设矩形DEFG的边EF交BC于点M，边DE交AB于点N ∵BF＝24﹣4t tan B＝∴MF＝（24﹣4t）＝18﹣3t，∴EM＝EF﹣FM＝12﹣（18﹣33t﹣6，∴NE＝EM＝4t﹣8，﹣S△EMN＝192﹣EM•EN＝192﹣6（t﹣2）2，∴s＝S矩形DEFG③如图5：当6＜t≤10时，设DG与AB交于点M，BG＝40﹣4t，则MG＝BG＝30﹣3t，＝BG•MG＝×（40﹣4t）（30﹣3t）＝6（10﹣t）2；则s＝S△BMG（3）能，如图6：当QK经过矩形DEFG的对称中心O时，就可以把矩形DEFG分成面积相等的两部分；∵在Rt△GDF与Rt△CAB中，tan∠GDF＝＝＝，tan∠B＝＝，∴∠GFD＝∠B，∴DF∥AB，∴，∵DF＝20，∴OF＝10，∵BF＝24﹣4t，HF＝＝，QB＝5t，∴BH＝BF+FH＝24﹣4t+，∴，解得：t＝；（4）如图7：过点D作MN⊥AB于N，交BC于M，∵∠GMD+∠B＝90°，∠GMD+∠GDM＝90°，∴∠GDM＝∠B，∴GM＝GD•tan∠GDM＝×12＝9，∴DM＝＝15，∵BG＝40﹣4t，∴BM＝BG+GM＝40﹣4t+9＝49﹣4t，∴MN＝BM•cos∠B＝（49﹣4t），∴DN＝MN﹣DM＝（49﹣4t）﹣15，∵QH＝QB＝×5t＝t，∵DH∥AB，∴QH＝DN，则t＝（49﹣4t）﹣15，解得t＝．故t值为．16．已知m，n是方程x2﹣6x+5＝0的两个实数根，且m＜n．如图，若抛物线l：y＝﹣x2+bx+c 的图象经过点A（m，0），B（0，n）．（1）求抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，求C，D的坐标和△BCD的面积；（3）已知P是线段OC上一点，过点P作PH⊥x轴，交抛物线于点H，若直线BC把△PCH分成面积相等的两部分，求P点的坐标．解：（1）由方程x2﹣6x+5＝0得x1＝1，x2＝5，∵m＜n，∴m＝1，n＝5，∴A（1，0），B（0，5）．把A（1，0），B（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得，∴抛物线的解析式y＝﹣x2﹣4x+5；（2）C（﹣5，0），D（﹣2，9），过D作DE⊥x轴于E，∵易得E（﹣2，0）．＝S△CDE+S梯形OBDE﹣S OBC＝；∴S△BCD（3）设P（a，0），则H（a，﹣a2﹣4a+5），由于直线BC把△PCH分成面积相等的两部分，须且只须BC等分线段PH，亦即PH的中点在直线BC上．∵易得直线BC的解析式为y＝x+5，∴，解得a1＝﹣1，a2＝﹣5（不合题意，舍去），∴P点坐标为（﹣1，0）．17．【数学经验】三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分．【经验发展】面积比和线段比的联系：如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图1，△ABC的边AB上有一点M，请证明：＝．【结论应用】如图2，△CDE的面积为1，＝，＝，求△ABC的面积．【拓展延伸】如图3，△ABC的边AB上有一点M，D为CM上任意一点，请利用上述结论，证明：＝．【迁移应用】如图4，△ABC中，M是AB的三等分点（AM＝AB），N是BC的中点，若△ABC的面积是1，请直接写出四边形BMDN的面积．解：【经验发展】如图1，过C作CH⊥AB于H，＝AM×CH，S△BCM＝BM×CH，∵S△ACM∴＝＝，即＝．【结论应用】如图2，连接AE，∵＝，＝S△ACE，∴S△CDE又∵＝，＝S△ABC，∴S△ACE＝×S△ABC＝S△ABC，∴S△CDE又∵△CDE的面积为1，∴△ABC的面积12．【拓展延伸】如图3，∵M是AB上任意一点，∴＝，∵D是CM上任意一点，＝×S△ACM，S△BCD＝×S△BCM，∴S△ACD∴＝＝，即＝．【迁移应用】如图4，连接BD，∵M是AB的三等分点（AM＝AB），∴＝，∵N是BC的中点，∴＝＝1，＝a，则S△BDM＝2a，S△ACD＝3a，S△CDN＝S△BDN＝S△BCD＝3a，设S△ADM＝5a，S△ABC＝12a，∴S四边形BMDN＝S△ABC＝×1＝．∴S四边形BMDN故答案为：．18．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n），其中m、n是方程x2﹣6x+5＝0的两个实数根，且m＜n．（1）求抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，求C、D点的坐标和△BCD的面积；（3）P是线段OC上一点，过点P作PH⊥x轴，交抛物线于点H，若直线BC把△PCH 分成面积相等的两部分，求P点的坐标．解：（1）解方程x2﹣6x+5＝0，得x1＝5，x2＝1，由m＜n，知m＝1，n＝5，∴A（1，0），B（0，5），∴即；所求抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣4x+5．（2）由﹣x2﹣4x+5＝0，得x1＝﹣5，x2＝1，故C的坐标为（﹣5，0），由顶点坐标公式，得D（﹣2，9）；过D作DE⊥x轴于E，得E（﹣2，0），＝S△CDE+S梯形OBDE﹣S△OBC＝＝15．∴S△BCD＝S△CFD﹣S△CFB也可求得）（注：延长DB交x轴于F，由S△BCD（3）设P（a，0），则H（a，﹣a2﹣4a+5）；直线BC把△PCH分成面积相等的两部分，须且只需BC等分线段PH，亦即PH的中点，（）在直线BC上，易得直线BC方程为：y＝x+5；∴．解之得a1＝﹣1，a2＝﹣5（舍去），故所求P点坐标为（﹣1，0）．19．【背景知识】研究平面直角坐标系，我们可以发现一条重要的规律：若平面直角坐标系上有两个不同的点A（x A，y A）、B（x B，y B），则线段AB的中点坐标可以表示为（，）．【简单应用】如图1，直线AB与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B（4，0），过原点O的直线L将△ABO分成面积相等的两部分，请求出直线L的解析式；【探究升级】小明发现“若四边形一条对角线平分四边形的面积，则这条对角线必经过另一条对角线的中点”＝S△BCD．试说明AO＝如图2，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，S△ABDCO；【综合运用】如图3，在平面直角坐标系中A（1，4），B（3，﹣2），C（2m，﹣m+5），若OC恰好平分四边形OACB的面积，求点C的坐标．解：【简单应用】：∵直线L将△ABO分成面积相等的两部分，∴直线L必过线段AB的中点，设线段AB的中点为E，∵A（0，3），B（4，0），∴E（，），∴E（2，），∵直线L过原点，∴设直线L的解析式为y＝kx，∴2k＝，∴k＝，∴直线L的解析式为y＝x；【探究升级】：如图2，过点A作AF⊥BD于F，过点C作CG⊥BD于G，＝BD•AF，S△CBD＝BD•CG，∴S△ABD＝S△BCD，∵S△ABD∴BD•AF＝BD•CG，∴AF＝CG，在△AOF和△COG中，，∴△AOF≌△COG（AAS），∴OA＝OC；【综合运用】：如图3，由【探究升级】知，若四边形一条对角线平分四边形的面积，则这条对角线必经过另一条对角线的中点，∵OC恰好平分四边形OACB的面积，∴OC过四边形OACB的对角线AB的中点，连接AB，设线段AB的中点为H，∵A（1，4），B（3，﹣2），∴H（2，1），设直线OC的解析式为y＝k'x，∴2k'＝1，∴k'＝，∴直线OC的解析式为y＝x，∵点C（2m，﹣m+5）在直线OC上，∴﹣m+5＝×2m，∴m＝，∴C（5，）．。
平行四边形面积四等分的方法_概述说明
平行四边形面积四等分的方法概述说明1. 引言1.1 概述本文将探讨平行四边形面积四等分的方法，该问题涉及到如何将一个平行四边形分割成四个具有相同面积的部分。
通过研究和介绍不同的解决方法，我们可以深入理解这一几何难题，并找到有效的解决方案。
1.2 文章结构本文主要包括五个部分：引言、正文、方法介绍、实验与结果以及结论和展望。
接下来的正文部分将详细介绍平行四边形面积四等分问题，并对不同方法进行系统性的介绍和比较。
实验与结果部分将设计相关实验并进行数据分析。
最后，我们将总结主要研究结论并提出改进方向。
1.3 目的本文旨在描述并总结目前已知的平行四边形面积四等分方法，为读者提供一个全面了解该问题以及解决方案的资源。
同时，本研究也希望通过实验与结果的讨论，能够对各种方法的优劣进行评估，并提出进一步改进策略。
通过这一工作，我们期望能够为学术研究和实践中遇到类似问题的读者提供有价值的参考和启示。
2. 正文平行四边形是一种具有特殊性质的四边形，其两组对边分别平行且相等长度。
本篇文章旨在介绍平行四边形面积四等分的方法。
首先，我们需要了解什么是面积四等分。
所谓面积四等分，指的是将一个平行四边形划分为四个面积相等的部分。
这是一个具有一定难度的几何问题，但通过合理的方法与技巧，我们可以轻松地实现这一目标。
接下来，我们将介绍三种常用的方法来实现平行四边形面积的四等分。
3.1 方法一：对角线法该方法是最直观也最简单的一种方法。
即通过连接平行四边形的两组对角线，将其划分为两个不重叠的三角形。
由于三角形面积公式为底乘以高再除以2，因此使得两个三角形面积相等即可实现面积四等分。
3.2 方法二：高度法这种方法依托于平行四边形内部垂直相交线段之间长度之比与面积之比的关系。
通过找到合适位置并画出垂直交线段，在确定好长度比例后进行切割即可达到面积四等分的目标。
3.3 方法三：三角形切割法该方法利用平行四边形可以视为两个相等的三角形之和。
《面积等分问题》课件
情感态度与价值观
培养学生对数学的兴趣和 热爱，感受数学的美和价 值，形成积极的学习态度 和价值观。
02
面积等分问题的基本概念
面积等分的定义
面积等分
将一个封闭图形的面积平均分成若干 等份。
等分点
将图形分成面积相等的若干部分的点 。
等分线
将图形分成面积相等的若干部分的线 段。
面积等分的类型
完全等分
注意事项
计算机编程方法要求使用者 具备一定的编程基础和算法 知识，同时需要掌握相关图 形库或数学函数的使用。
04
面积等分问题的实际案例
土地划分问题
总结词：实际应用
详细描述：在土地划分问题中，经常需要将一块土地等分划分，以解决土地纠纷 或公平分配土地资源。面积等分问题在土地划分中具有广泛应用，如农村土地承 包、城市拆迁安置等。
通过作辅助线、分割图形或使用相似图形 等手段，将原始图形划分为若干个等面积 的部分。
适用范围
注意事项
几何方法适用于规则图形，如矩形、三角 形、圆形等。对于不规则图形，可能需要 特殊技巧或近似方法。
几何方法要求使用者具备一定的几何知识 和空间想象力，对于初学者可能有一定的 学习门槛。
代数方法
定义与性质
代数方法是利用代数方程和不 等式来求解面积等分问题。这 种方法基于数学逻辑和推理，
具有严谨性。
具体操作
通过建立代数方程或不等式， 解方程或优化解的范围，从而 找到等分面积的方案。
适用范围
代数方法适用于各种形状的图 形，特别是当图形不规则或无 法通过几何方法直接等分时。
注意事项
代数方法要求使用者具备扎实 的代数基础和逻辑推理能力， 对于数学基础薄弱的同学可能
将图形完全平均分成若干 等份，每一份的形状和大 小都相同。
初中数学专题---------直线等分面积问题
初中数学专题讲座---------直线等分面积问题一、直线等分常见的一些特殊图形二、直线等分三角形（1）不受限制的等分（2）过一边上一点等分三、直线等分梯形（1）不受限制的等分（2）过一腰上一点等分四、等分基本图形练习：1、作图题，请用学过的知识将下图所示的图形面积分成相等的两部分，请用一条直线把阴影部分的面积两等分．（保留作图痕迹）2、在一个矩形中，把此矩形面积二等分的直线最多有条，这些直线都必须经过此矩形的点（一个矩形只画一条直线，不写画法）．3、轴对称图形的对称轴将图形面积二等分，中心对称图形过对称中心的直线将图形面积二等分．请用学过的知识将下图所示的图形面积分成相等的两部分．4、在一个矩形中，把此矩形面积两等分的直线最多有条，这些直线都必须经过该矩形．5、在复习“四边形”时，刘老师出了这样一道题：如图1，已知四边形ABCD、BEFG都是矩形，点G、H分别在AB、CD上，点B、C、E在同一条直线上．（1）当S矩形AGHD=S矩形CEFH时，试画一条直线将整个图形面积2等分．（不写画法）（2）①当S矩形AGHD＜S矩形CEFH时，如图3；②当S矩形AGHD＞S矩形CEFH时，如图4．画一条直线将整个图形面积2等分，在（1）的基础上，应该如何画图呢？（不写画法，保留作图痕迹或简要的文字说明）（3）小娟和小宇两位同学的画法是图5和图6：刘老师看过之后说这两个图形实质上体现的是一种画法，请你用简要的文字说明两个图形画法的共同点：（把原图形分割或构造成两个矩形，再过这两个矩形对角线的交点画一条直线）．6、通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式7、如图所示，▱ABCD内有一圆，请你画一条直线，同时将圆和平行四边形的周长二等分．（保留画图痕迹，并简要说出画图步骤）8、提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（AB=BC，且BC≠AC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．背景介绍：这条分割直线即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角形的“等分积周线”．尝试解决：（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮小明在图1中画出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．（2）小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图1中过点C画了一条直线CD交AB于点D．你觉得小华会成功吗如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．请你解决下面的问题：若AB=BC=5cm，AC=6cm，请你找出△ABC的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．9、提出问题：如图，在“儿童节”前夕，小明和小华分别获得一块分布均匀且形状为等腰梯形和直角梯形的蛋糕（AD∥BC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将自己的这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．背景介绍：这条分割直线既平分了梯形的面积，又平分了梯形的周长，我们称这条线为梯形的“等分积周线”．尝试解决：（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮小明在图1中作出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．（2）小华觉得小明的方法很好，所以模仿着在自己的蛋糕（图2）中画了一条直线EF分别交AD、BC于点E、F．你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．若图2中AD∥BC，∠A=90°，AD＜BC，AB=4cm，BC=6cm，CD=5cm．请你找出梯形ABCD的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．10、阅读下面问题的解决过程：问题：已知△ABC 中，P 为BC 边上一定点，过点P 作一直线，使其等分△ABC 的面积． 解决：情形1：如图①，若点P 恰为BC 的中点，作直线AP 即可．情形2：如图②，若点P 不是BC 的中点，则取BC 的中点D ，连接AP ，过点D 作DE ∥AP 交AC 于E ，作直线PE ，直线PE 即为所求直线． 问题解决：如图③，已知四边形ABCD ，过点B 作一直线（不必写作法），使其等分四边形ABCD 的面积，并证明．11、如图，把一个等边三角形的顶点放置在正六边形的中心O 点，请你借助这个等边三角形的角，以角为工具等分正六边形的面积，等分的情况分别为 等分． 12、用一条直线把下图分成面积相等的两部分．13、用三种不同的方法把▱ABCD 的面积四等分，并简要说明分法．14、、如图，所示，张家兄弟要平分这块地，请你用一条直线把它分成面积相等的两部分．（至少有两种画法）15、抛物线y=x 2，212y x =-和直线x=a （a ＞0）分别交于A 、B 两点，已知∠AOB=90°．（1）求过原点O ，把△AOB 面积两等分的直线解析式； （2）为使直线2y x b =+与线段AB 相交，那么b 值应是怎样的范围才适合．16、如图长为2的线段PQ 在x 的正半轴上，从P 、Q 作x 轴的垂线与抛物线y=x 2交于点p '、12题Q′．（1）已知P的坐标为（k，0），求直线OP′的函数解析式；（2）若直线OP′把梯形P′PQQ′的面积二等分，求k的值．17、一条直线过△ABC的内心，且平分三角形的周长，那么该直线分成的两个图形的面积比为（）A．2：1 B．1：1 C．2：3 D．3：118、某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：（1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比；（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；…现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．（S表示面积）问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC，P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC．经探究知=S△ABC，请证明．问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的拼合成四边形ABCD，如图2，Q1，Q2三等分边DC．请探究与S四边形ABCD之间的数量关系．问题3：如图3，P1，P2，P3，P4五等分边AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分边DC．若S四边形ABCD=1，求．问题4：如图4，P1，P2，P3四等分边AB，Q1，Q2，Q3四等分边DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3将四边形ABCD分成四个部分，面积分别为S1，S2，S3，S4．请直接写出含有S1，S2，S3，S4的一个等式．19、阅读下面材料，再回答问题：有一些几何图形可以被某条直线分成面积相等的两部分，我们将“把一个几何图形分成面积相等的两部分的直线叫做该图形的二分线”，如：圆的直径所在的直线是圆的“二分线”，正方形的对角线所在的直线是正方形的“二分线”．解决下列问题：（1）菱形的“二分线”可以是（2）三角形的“二分线”可以是（3）在下图中，试用两种不同的方法分别画出等腰梯形ABCD的“二分线”，并说明你的画法．20、用一条直线将一个直角梯形分成面积相等的两部分，请你在下面的图中分别画出两种不同的分割图形．21、下图所示是一块木板的示意图，能不能用一条直线把这块木板分成面积相等的两部分．（3种画法）22、如图所示的图案是一个轴对称图形，直线l是它的一条对称轴，如果最大圆的半径为2，那么阴影部分面积是（）A．π B．2π C．3π D．4π23、如图所示是由7个完全相同的正方形拼成的图形，请你用一条直线将它分成面积相等的两部分．（在原图上作出）．24、九条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形．证明：这九条直线中至少有三条经过同一点．抽屉原理．专题：证明题．分析：首先根据抽屉定理证明9条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形中至少有5条直线穿过一对边，然后再根据抽屉原理证明至少必有三点经过同一点．解答：证明：按抽屉原理，9条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形，则至少有5条直线穿过一对边．又2：3≠1：1，根据“梯形的面积等于中位线长乘以高”，可知这5条直线必过正方形的一条对边中点连线上的两定点．故若5个点不全经过一点，则必经过这条直线上的两点，再据抽屉原理，至少必有三点经过同一点．25、一条直线平行于直线y=2x-1，且与两坐标轴围成的三角形面积是4，则直线的解析式是A．y=2x+4 B．y=2x-4 C．y=2x±4 D．y=x+2 （）26、把一个圆心为点O，半径为r的圆的面积四等分，请你尽可能多地设想各种分割方法．如图，如果圆心也是点O的三个圆把大圆O的面积四等分．求这三个圆的半径OB、OC、OD的长．27、已知直线AB与x，y轴分别交于A、B（如图），AB=5，OA=3，（1）求直线AB的函数表达式；（2）如果P是线段AB上的一个动点（不运动到A，B），过P作x轴的垂线，垂足是M，连接PO，设OM=x，图中哪些量可以表示成x的函数？试写出5个不同的量关于x的函数关系式．（这里的量是指图中某些线段的长度或某些几何图形的面积等）28、（1）如图1所示，已知△ABC中，D为BC的中点，请写出图1中，面积相等的三角形：，理由是（2）如图2所示，已知：平行四边形A′ABC，D为BC中点，请你在图中过D作一条线段将平行四边形A′ABC的面积平分，平分平行四边形A′ABC的方法很多，一般地过画直线总能将平行四边形A′ABC的面积平分．（3）如图3所示，已知：梯形ABCA′中，AA′∥BC，D为BC中点，请你在图3中过D作一条线段将梯形的面积等分．（4）如图4所示，某承包人要在自己梯形ABCD（AD∥BC）区域内种两种等面积的作物，并在河岸AD与公路BC间挖一条水渠EF，EF左右两侧分别种植了玉米、小麦，为了提高效益，要求EF最短．①请你画出相应的图形．②说明方案设计的理由．19、如图，抛物线y=ax2-3ax+b经过A（-1，0），C（3，2）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B．（1）求此抛物线的解析式；（2）若直线y=kx-1（k≠0）将四边形ABCD面积二等分，求k的值．。
三角形边的三等分线分割面积问题证明探究
三角形边的三等分线分割面积问题证明探究在几何学里，三角形是一个有趣的主题。
它象征着鼓励我们去探索和挑战自己，也可以唤起读者对数学知识的好奇心和兴趣。
那么，如何在三角形中寻找三条等分线，用它们以半分的形式将三角形的面积分割？今天，我们就来探究一下如何证明这一特定问题。
一、问题背景1.三角形面积分割问题1.三角形面积分割问题：给定一个三角形ABC，假设将它的边AB的一个点D等分成两等分（即DB：BD=1：1），将CD以D分割成两等分（即DC：CD=1：1），求三角形ABC面积的分割比例。
此问题一般称为三角形面积分割问题，可以通过以下步骤来求解：（1）连结CD，于AB上作AE，与CD平行，得到三角形ADE。
（2）将三角形ADE分割成两个子三角形ABC，ADC，设这两个三角形的面积分别为S1，S2。
（3）由三角形三条边的分割比计算出两个三角形的面积比为r：r＝（AD：AE）＊（DC：CD）＝2：3（4）可知S1：S2＝r：（1－r）＝2：1，也就是说三角形ABC的面积比为2：1。
2.三角形边的三等分线三角形边的三等分线是指，在三角形中，从某边的一点引出一条直线，将该边分割成三等份，其中每两个等份之间的点称为三角形边的三等分点。
由此可见，它是一条连接三角形的三个顶点的虚线。
因此，三角形中的三等分线可以将三角形分成四个小三角形，小三角形的各边与原大三角形的边成比例。
另外，三角形的三等分线经常被用来构建一系列的三角形，如等腰三角形、直角三角形等。
比如，用三角形的三等分线将一个正三角形分成三个等腰三角形；将一个等腰三角形分割成一个钝角三角形和两个直角三角形等。
二、最优解决方案1.三角形边的三等分线能给面积分割带来最优解决方案三角形边的三等分线可以把整个三角形分割成三个小三角形，而每一个小三角形的面积比原来的大三角形的面积都小。
这样，在分割三角形的面积时，利用三等分线分割可以得到更优的解决方案。
以普通三角形AB，AC，BC为例，假设其面积为S，其中AB的中点为D，AC的中点为E，BC的中点为F，则三等分线DF，AE，BF可以把三角形分割成三个小三角形ADF，AEF，BDF，它们的面积分别为S1，S2，S3，且有S = S1 + S2 + S3，即原三角形面积等于三个小三角形面积之和，这样，S1，S2，S3的和比S小，因此三等分线可以给三角形的面积分割提供最优解决方案。
等分法(图形面积)
等分法知识与方法：通过在课本中面积地学习，我们已经知道了，连接三角形地一个顶点和对边地中点，可以把一个三角形分成两个面积相等地三角形，即等底等高地三角形面积相等.今天我们主要学习等分法在面积中地实际应用.例题1、求下列各图形中阴影部分地面积（单位：平方厘米）（1）在△ABC中，CD=2BD （2）在△ABC中，AE=BE，BC=4BD （3）AD=BD，CE=2BE，CF=3AF △ABC地面积是12 △ABC地面积是18 △ABC地面积是48【模仿练习】：（1）AD=2BD，BE =2 CE，△BDE地面积是4，求△ABC地面积（单位：平方厘米）（2）AD=BD，BE=CE，AF=2CF，△DEF地面积是3，求△ABC地面积（单位：平方厘米）例题2、求下列各图形中阴影部分地面积（单位：平方厘米）（1）长方形地面积是10，AE=BE,CF=3BF （2）E是长方形BC边上任意一点，已知长方形地面积是16【模仿练习】：求下列各图形中阴影部分地面积（单位：平方厘米）（1）平行四边形地面积是18，AE=2BE ，BF=CF （2）长方形地面积是16例题3、梯形ABCD地对角线相交于O，BC=3AD，三角形地面积是9平方厘米，求梯形地面积.【模仿练习】：在下列地梯形中，所标注部分为三角形地面积，求梯形地面积（单位：平方厘米）例题4、△ABC地面积是12，将AB边延长3倍到D，将BC边延长2倍到E，将CA边延长1倍到F，求△DEF地面积.（单位：平方厘米）文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途【模仿练习】：三角形ABC地面积是2平方厘米，将三边各延长1倍，求三角形DEF地面积.例题5、三角形ABC地面积是36平方厘米，AE=DE， BC=5BD，求阴影部分地面积.【模仿练习】：BD=2CD ，AE=DE ，将BE 延长与AC 交于点F ，已知三角形ABC 地面积是15平方厘米，求阴影部分地面积.变量之间地关系一、 基础知识回顾：1、表示两个变量之间关系地方法有（ ）、（ ）、（ ）． ２．图象法表示两个变量之间关系地特点是（ ）３．用图象法表示两个变量之间关系时，通常用水平方向地数轴（横轴）上地点表示（ ），用竖直方向地数轴（纵轴）上地点表示（ ）．专题一、速度随时间地变化1、 汽车速度与行驶时间之间地关系可以用图象来表示，下图中A 、B 、C 、D 四个图象，可以分别用一句话来描述：（1）在某段时间里，速度先越来越快，接着越来越慢. （ ）（2）在某段时间里，汽车速度始终保持不变. （ ） （3）在某段时间里，汽车速度越来越快. （ ） （4）在某段时间里，汽车速度越来越慢. （ ）2、描述一名跳水运动员从起跳到落水这一运动过程中，速度v 与时间t 之间关系地图象大致是（ ）3、李明骑车上学，一开始以某一速度行进，途中车子发生故障，只好停下修车，车修好后，因怕耽误时时间速度 Ao速度D速度时间C速度 时间Booo OOVOVOVｔVｔ间，于是加快了车速．如用s 表示李明离家地距离，t 为时间．在下面给出地表示s 与t 地关系图6—41中，符合上述情况地是 ( ) 4、一辆轿车在公路上行驶，不时遇到各种情况，速度随之改变，先加速，再匀速又遇到情况而减速，过后再加速然后匀速，下公路、上小路，到达目地地．图6—43哪幅图象可近似描述上面情况 ( )5、“龟兔赛跑”讲述了这样地故事：领先地兔子看着缓慢爬行地乌龟，骄傲起来，睡了一觉.当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…….用S 1、S 2分别表示乌龟和兔子所行地路程，t 为时间，则下列图象中与故事情节相吻合地是（ ）6、星期天晚饭后，小红从家里出发去散步，下图描述了她散步过程中离家地距离s （米）与散步所用地时间t （分）之间地关系，依据图象下面描述符合小红散步情景地是（ ） 从家出发，到了一个公共阅读报栏，看了一会儿报，就回家了.B.从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报，继续向前走了一段后，然后回家了.C.从家里出发，一直散步（没有停留），然后回家了 D.从家里出发，散了一会儿步，就找同学去了，18分钟后才开始返回.7、A 、B 两地相距500千米，一辆汽车以50千米/时地速度由A 地驶向B 地.汽车距B 地地距离y(千米)与stS 1S 2 AstBS 1S 2 stS 1S 2 CstS 2S 1D行驶时间t(之间)地关系式为 .在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 .8、下表是春汛期间某条河流在一天中涨水情况记录表格：时间/时 0 4 8 12 16 20 24 超警戒水位/米+0.2+0.25+0.35+0.5+0.7+0.9+1.0⑴时间从0时变化到24时，超警戒水位从 上升到 ; ⑵借助表格可知，时间从 到 水位上升最快 某机动车辆出发前油箱中有油42升，行驶若干小时后，在途中加油站加油若干.油箱中余油量Q(升)与行驶时间t(时) 之间地关系如图，请根据图像填空： ⑴机动车辆行驶了 小时后加油.⑻中途加油 升.⑵加油后油箱中地油最多可行驶 小时.⑶如果加油站距目地地还有230公里，机动车每小时走40公里，油箱中 地油能否使机动车到达目地地？答： .10、.声音在空气中传播地速度y （米/秒）（简称音速）与气温x （℃）之间地关系如下：气温（x ℃） 0 5 10 15 20 音速y （米/秒）331334337340343从表中可知音速y 随温度x 地升高而__________.在气温为20 ℃地一天召开运动会，某人看到发令枪地烟0.2秒后，听到了枪声，则由此可知，这个人距发令地点__________米.11、如图6－31，表示一骑自行车者与一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程地图象，两地间地距离是100千米，请根据图象回答或解决下面地问题.（1）谁出发地较早？早多长时间？谁到达乙地早？早到多长时间？ （2）两人在途中行驶地速度分别是多少？· · · · · · ·· · · · · · · 1 2 3 4 5 6 7 8 6 18 24 3012 Q/升· · · · 36 42（3）指出在什么时间段内两车均行驶在途中；在这段时间内，①自行车行驶在摩托车前面；②自行车与摩托车相遇；③自行车行驶在摩托车后面？12、小明某天上午9时骑自行车离开家，15时回家，他有意描绘了离家地距离与时间地变化情况（如图6－32所示）.（1）图象表示了哪两个变量地关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）10时和13时，他分别离家多远？（3）他到达离家最远地地方是什么时间？离家多远？ （4）11时到12时他行驶了多少千米？（5）他可能在哪段时间内休息，并吃午餐？ （6）他由离家最远地地方返回时地平均速度是多少？13、小明上午6时起床，7时30分上学，他有意描绘了他自己离家地距离与时间地变化情况，如图10所示.(h )(1)图象表示了哪两个变量地关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)小明什么时间离家最远？最远距离是多少？(3)在哪段时间离家地距离增加？在哪段时间离家地距离减少？哪段时间离家地距离 不变？(4)在7:30~7:45之间，小明运动地平均速度是多少？(5)你能结合上面地图象，编写一则故事，反映小明离家距离和时间地关系吗？请你动手把它写出,并与同学交流专题二、温度与时间地关系1、夏天,一杯热水越来越凉，图中可表示这杯水地水温T 与时间t 地函数关系地是（ ）2、气温与海拔高度有关，一般情况下，每升高1 km,气温下降6℃.某山地面温度为28℃，请写出气温t (℃)与高度h (km)之间地关系式：________.3、.下面是某人某一天正常体温地变化图(如图7).0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2437 36.5 36 35.8 35.5AB时间(时)(1)大约什么时间其体温最高？最高体温是多少？(2)大约什么时间其体温最低？最低体温是多少？ (3)在什么时间内其体温在降低？(4)在什么时间内其体温在升高？(5)A 、B 两点分别表示什么？(6)从大体上说说体温在24小时内地变化情况. 4、大山在一天中地体温变化情况如图6-44：(1)大约在_______时，大山地体温最高，这时最高体温是_________.(2)大约在_______时，大山地体温最底，最低体温是__________.(3)大山地体温在升高地时段是_________；(4)大山地体温在降低地时段是_________.专题三、高度（深度）与时间地变化1、如图是某蓄水池地横断面示意图，分深水区和浅水区，如果这个蓄水池以固定地流量注水，下面哪个图象能大致表示水地最大深度h 和时间t 之间地关系？( )A B C D第10题图2、如图：向放在水槽底部地烧杯注水（流量一定）注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度与注水时间之间地关系大致是下列图象中地（ ）3、气温随高度而变化地过程中，________是自变量，_______因变量4、一圆锥地底面半径是5cm ，当圆锥地高由2cm 变到10cm 时，圆锥地体积由________3cm 变到_________3cm ．5、.弹簧地长度与所挂物体地质量地关系如图6－29所示，由图可知不挂重物时弹簧地长度为6、.在弹性限度内，某弹簧伸长地总长度y (cm)与所挂重物质量x (g)之间地关系如下表.重物质量x (g) 0 1 2 3 4 5 弹簧伸长地总长度y (cm)88+0.28+0.48+0.68+0.88+1.0(1)上表反映了________和________两个量之间地关系；(2)关于y 与x 之间地关系式是________.7、△ABC 地底边BC ＝8 cm,当BC 边上地高线从小到大变化时，△ABC 地面积也随之变化.(1)在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么？(2)△ABC 地面积y (cm 2)与高线x (cm)地关系式是什么？(3)用表格表示当x 由5 cm 变到10 cm 时(每次增加1cm),y 地相应值.(4)当x 每增加1 cm 时，y 如何变化？专题四、数学与生活1、我国从1949年到1999年地人口统计数据如下：（精确到0.01亿）：t hAt hBt hCt hD时间/年x 1949 1959 1969 1979 1989 1999人口/亿y 5.42 6.72 8.07 9.75 11.07 12.59(1)如果用x 表示时间，y 表示我国人口总数，那么随着x 地变化，y 地变化趋势是什么？(2)X 和y 哪个是自变量?哪个是因变量(3)从1949年起，时间每向后推移10年，我国人口是怎样地变化？(4)你能根据此表格预测2009年时我国人口将会是多少？2、研究表明，当钾肥和磷肥地施用量一定 时，土豆地产量与氮肥地施用量有如下关系： (1)上表反映了哪两个变量之间地关系？ 哪个是自变量？哪 个是因变量？(2)当氮肥地施用量是101千克/公顷时，土豆地产量是多少？ 如果不施氮肥呢？(3)根据表格中地数据，你认为氮肥地施用量是多少时比较适宜？说说你地理由(4)粗略说一说氮肥地施用量对土豆产量地影响.3、一年中，每天日照（从日出到日落）地时间是不同地，下图表示了某地区从1998年1月1日到1998年12月26日地日照时间.文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途⑴右图描述是哪两个变量之间地关系？其中自变量是什么？因变量是什么？ ⑵哪天地日照时间最短？这一天地日照 时间约是多少？⑶哪天地日照时间最长？这一天地日照 时间约是多少？ ⑷大约在什么时间段内，日照时间在增 加？在什么时间段内，日照时间在减少？ 4、某人用新充值地50元IC 卡打长途电话，按通话时间3分钟内收2.4元，超过1分钟加收一元钱地方式缴纳话费.若通话时间为t 分钟（t 大于等于3分钟），那么电话费用w 可以表示为 ；当通话时间达到10分钟时，卡中所剩话费从50元减少到 元5、在弹簧限度内，弹簧挂上物体后弹簧地长度与所挂物体地质量之间地关系如下表：所挂物体地质量/千克 0 1 2 3 4 5 6 7 8 弹簧地长度/cm1212.51313.51414.51515.516⑴弹簧不挂物体时地长度是多少？⑵如果用x 表示弹性限度内物体地质量，用y 表示弹簧地长度，那么随着x 地变化，y 地变化趋势如何？写出y 与x 地关系式.⑶如果此时弹簧最大挂重量为25千克，你能预测当挂重为14千克时，弹簧地长度是多少？ 5、一种豆子每千克售2元，豆子总地售价y (元)与所售豆子地质量x (kg)之间地关系如下表.日照时间/时 30 60 90 1201518212427303336910 11 12 1314 1516 17一年之中第几天所售豆子地质量/kg0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 4 5 总价/元123456810(1)在这个表中反映哪两个变量之间地关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)当豆子卖出5 kg 时，总价是多少？(3)如果用x 表示豆子卖出地质量，y 表示总价，按表中给出地关系,用一个式子把x 和y 之间地关系表示出来.(4)当豆子卖出20 kg 时，总价是多少？6、一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶地时间为x(h)，两车之间地距离为 y(km)，图中地折线表示y 与x 之间地函数关系，根据图像进行以下探究，信息读取（1）、甲、乙两地之间地距离为 km （2）、请解释图中B 点地意义:(3)、求慢车和快车地速度，（4）、求线段BC 所表示地y 与x 之间地函数关系式，并写出自变量x 地取值范围；（5）、若第二列快车也冲甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同，在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇，求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？x/hy/kmDC BA900124O专题五：中考真题1、（2013•重庆）2013年“中国好声音”全国巡演重庆站在奥体中心举行．童童从家出发前往观看，先匀速步行至轻轨车站，等了一会儿，童童搭乘轻轨至奥体中心观看演出，演出结束后，童童搭乘邻居刘叔叔地车顺利回到家．其中x 表示童童从家出发后所用时间，y 表示童童离家地距离．下面能反映y 与x 地函数关系地大致图象是（ ）文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途A ．B ．C ．D ．2、（2013•湘西州）小芳地爷爷每天坚持体育锻炼，某天他慢步行走到离家较远地公园，打了一会儿太极拳，然后沿原路跑步到家里，下面能够反映当天小芳爷爷离家地距离y （米）与时间x （分钟）之间地关系地大致图象是（ ）文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途A． B．C．D．3、（2013•东营）若定义：f（a，b）=（-a，b），g（m，n）=（m，-n），例如f（1，2）=（-1，2），g（-4，-5）=（-4，5），则g（f（2，-3））=（）A．（2，-3）B．（-2，3） C．（2，3）D．（-2，-3）文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途4、（2013•济南）甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程s（米）与赛跑时间t（秒）地关系如图所示，则下列说法正确地是（）A．甲、乙两人地速度相同B．甲先到达终点C．乙用地时间短D．乙比甲跑地路程多文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途5、（2013•潍坊）用固定地速度如图所示形状地杯子里注水，则能表示杯子里水面地高度和注水时间地关系地大致图象是（）文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途A． B． C． D．6、（2013•邵阳）如图是我市几个旅游景点地大致位置示意图，如果用（0，0）表示新宁莨山地位置，用（1，5）表示隆回花瑶地位置，那么城市南山地位置可以表示为（）文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途A．（2，1） B．（0，1）C．（-2，-1）D．（-2，1）7、（2013•玉林）均匀地向一个瓶子注水，最后把瓶子注满．在注水过程中，水面高度h随时间t地变化规律如图所示，则这个瓶子地形状是下列地（）文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途A． B． C． D．8、（2013•乌鲁木齐）某仓库调拨一批物资，调进物资共用8小时，调进物资4小时后同时开始调出物资（调进与调出地速度保持不变）．该仓库库存物资m（吨）与时间t（小时）之间地函数关系如图所示．则这批物资从开始调进到全部调出所需要地时间是（）文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途A．8.4小时B．8.6小时C．8.8小时D．9小时9、（2013•黄冈）一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车地速度为100千米/小时，特快车地速度为150千米/小时，甲乙两地之间地距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间地距离y（千米）与快车行驶时间（小时）之间地函数图象是（）文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途10、（2013•绍兴）如图是我国古代计时器“漏壶”地示意图，在壶内盛一定量地水，水从壶底地小孔漏出．壶壁内画有刻度，人们根据壶中水面地位置计时，用x表示时间，y表示壶底到水面地高度，则y与x地函数关系式地图象是（）文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途A．B．C．D．11、（2013•天津）如图，是一对变量满足地函数关系地图象，有下列3个不同地问题情境：①小明骑车以400米/分地速度匀速骑了5分，在原地休息了4分，然后以500米/分地速度匀速骑回出发地，设时间为x分，离出发地地距离为y千米；②有一个容积为6升地开口空桶，小亮以1.2升/分地速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，等4分后，再以2升/分地速度匀速倒空桶中地水，设时间为x 分，桶内地水量为y升；③矩形ABCD中，AB=4，BC=3，动点P从点A出发，依次沿对角线AC、边CD、边DA运动至点A停止，设点P地运动路程为x，当点P与点A不重合时，y=S△ABP；当点P与点A重合时，y=0．其中，符合图中所示函数关系地问题情境地个数为（）文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途A．0 B．1 C．2 D．312、（2013•新疆）某书定价25元，如果一次购买20本以上，超过20本地部分打八折，试写出付款金额y （单位：元）与购书数量x（单位：本）之间地函数关系．文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途19．（2013•咸宁）“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛地兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中地函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”地故事（x表示乌龟从起点出发所行地时间，y1表示乌龟所行地路程，y2表示兔子所行地路程）．有下列说法：①“龟兔再次赛跑”地路程为1000米；②兔子和乌龟同时从起点出发；③乌龟在途中休息了10分钟；④兔子在途中750米处追上乌龟．其中正确地说法是．（把你认为正确说法地序号都填上）版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. 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等分法巧求图形面积
例 5 如下图所示，正方形 ABCD 中套着一个长方形 EFGH， 长方形的面积是 48 平方厘米，长方形的四个顶点 E、F、 G、H 恰好分别把正方形四条边都分成两段，其中长的一 段是短的一段的 2 倍。求阴影部分的面积。
将正方形 ABCD 等分成 18 个小三角形，其中空白 部分（即长方形 EFGH）占8 份，阴影部分占 10 份（见图）。 因此，阴影部分的面积为 48÷8×10＝60（平 方厘米）。 答：阴影部分的面积是 60 平方厘米。
例 3 一个长方形（见下图）被两条直线分成 4 个长方形， 其中 3 个长方形的面积分别是 20 平方厘米、25 平方厘米和 30 平方厘米。求另一个长方形（图中阴影部分）的面积。
将大长方形进行等分（见图）大长方形右边部 分上面是 20 平方厘米，下面是 30 平方厘米， 20﹕30=2﹕3，所以大长方形可按虚线等分成 5 份。同样，长方形的左边部分按虚线也被等分 成 5份。左边部分上面是 25 平方厘米，每份是 25÷2=12.5（平方厘米），因此，阴影部分的 面积为 12.5×3＝37.5（平方厘米）。
1．如下图所示，一个正方形中套着一个长方形，已知正方形的边 长是 20 分米，长方形的四个角的顶点恰好把正方形四条边都分成 两段，其中长的一段是短的一段的 3 倍。这个长方形的面积是多少 平方分米？ 2．将边长 3 厘米的正方形的四条边分别向两端各延长一倍，连接 8 个端点得到一个八边形（见下图），求阴影部分的面积。 3．将等腰 Rt△ABC 和等腰 Rt△DEC 按下图重叠在一起，阴影部分是 一个正方形。已知△ABC 的面积是 36 平方厘米，求△DEC 的面积。
例 4 如下图所示，长方形 ABCD 的长是 10 厘米，宽是 6 厘 米，E、F 分别是 AB 和 AD 的中点。求阴影部分的面积。
三角形中线等分面积的应用
第5讲例说三角形中线等分面积的应用如图1，线段AD 是△ABC 的中线，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，则S △ABD ＝12BD ·AE ，S △ADC ＝12DC ·AE ，因为BD ＝DC ，所以S △ABD ＝S △ADC 。
因此，三角形的中线把△ABC 分成两个面积相等的三角形.利用这一性质，可以解决许多有关面积的问题。
一、求图形的面积例1、如图2，长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，DE 、BF 交于点G ，求四边形ABGD 的面积.分析：因为E 、F 分别是BC 和CD 的中点，则连接CG 后，可知GF 、GE 分别是△DGC 、△BGC 的中线，而由S △ＢＣＦ=S △ＤＣＥ=4ab，可得S △ＢＥＧ=S △ＤＦＧ，所以△DGF 、△CFG 、△CEG 、△BEG 的面积相等，问题得解。
解：连接CG ，由E 、F 分别是BC 和CD 的中点，所以S △ＢＣＦ=S △ＤＣＥ=4ab，从而得S △ＢＥＧ=S △ＤＦＧ，可得△DGF 、△CFG 、△CEG 、△BEG 的面积相等且等于31×4ab =12ab ，因此S 四边形ＡＢＧＤ=ab －4×12ab =32ab。
例2、在如图3至图5中，△ABC 的面积为a ．（1）如图2, 延长△ABC 的边BC 到点D ，使CD =BC ，连结DA ．若△ACD 的面积为S 1，则S 1=________（用含a 的代数式表示）；（2）如图3，延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD =BC ，AE =CA ，连结DE ．若△DEC 的面积为S 2，则S 2=__________（用含a 的代数式表示），并写出理由；（3）在图4的基础上延长AB 到点F ，使BF =AB ，连结FD ，FE ，得到△DEF （如图6）．若阴影部分的面积为S 3，则S 3=__________（用含a 的代数式表示）．发现：像上面那样，将△ABC 各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF （如图6），此时，我们称△ABC 向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的_______倍．图1图2图4F 图5图3应用：去年在面积为10m 2的△ABC 空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC 向外进行两次扩展，第一次由△ABC 扩展成△DEF ，第二次由△DEF 扩展成△MGH （如图5）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少m 2？分析：从第1个图可以发现AC 就是△ABD 的中线，第2个图通过连接DA ，可得到△ECD 的中线DA ，后面扩展的部分都可以通过这样的方法得到三角形的中线，从而求出扩展部分的面积，发现规律。
初中数学专题---------直线等分 面积问题
初中数学专题讲座---------直线等分面积问题一、直线等分常见的一些特殊图形二、直线等分三角形（1）不受限制的等分（2）过一边上一点等分三、直线等分梯形（1）不受限制的等分（2）过一腰上一点等分四、等分基本图形练 习：1、作图题，请用学过的知识将下图所示的图形面积分成相等的两部分，请用一条直线把阴影部分的面积两等分．（保留作图痕迹）2、在一个矩形中，把此矩形面积二等分的直线最多有 条，这些直线都必须经过此矩形的 点（一个矩形只画一条直线，不写画法）．3、轴对称图形的对称轴将图形面积二等分，中心对称图形过对称中心的直线将图形面积二等分．请用学过的知识将下图所示的图形面积分成相等的两部分．4、在一个矩形中，把此矩形面积两等分的直线最多有 条，这些直线都必须经过该矩形 ．5、在复习“四边形”时，刘老师出了这样一道题：如图1，已知四边形ABCD、BEFG都是矩形，点G、H分别在AB、CD上，点B、C、E在同一条直线上．（1）当S矩形AGHD=S矩形CEFH时，试画一条直线将整个图形面积2等分．（不写画法）（2）①当S矩形AGHD＜S矩形CEFH时，如图3；②当S矩形AGHD＞S矩形CEFH时，如图4．画一条直线将整个图形面积2等分，在（1）的基础上，应该如何画图呢？（不写画法，保留作图痕迹或简要的文字说明）（3）小娟和小宇两位同学的画法是图5和图6：刘老师看过之后说这两个图形实质上体现的是一种画法，请你用简要的文字说明两个图形画法的共同点：（把原图形分割或构造成两个矩形，再过这两个矩形对角线的交点画一条直线）．6、通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式7、如图所示，▱ABCD内有一圆，请你画一条直线，同时将圆和平行四边形的周长二等分．（保留画图痕迹，并简要说出画图步骤）8、提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（AB=BC，且BC≠AC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．背景介绍：这条分割直线即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角形的“等分积周线”．尝试解决：（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮小明在图1中画出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．（2）小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图1中过点C画了一条直线CD交AB于点D．你觉得小华会成功吗如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．请你解决下面的问题：若AB=BC=5cm，AC=6cm，请你找出△ABC的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．9、提出问题：如图，在“儿童节”前夕，小明和小华分别获得一块分布均匀且形状为等腰梯形和直角梯形的蛋糕（AD∥BC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将自己的这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．背景介绍：这条分割直线既平分了梯形的面积，又平分了梯形的周长，我们称这条线为梯形的“等分积周线”．尝试解决：（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮小明在图1中作出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．（2）小华觉得小明的方法很好，所以模仿着在自己的蛋糕（图2）中画了一条直线EF分别交AD、BC于点E、F．你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．若图2中AD∥BC，∠A=90°，AD＜BC，AB=4cm，BC=6cm，CD=5cm．请你找出梯形ABCD的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．10、阅读下面问题的解决过程：问题：已知△ABC中，P为BC边上一定点，过点P作一直线，使其等分△ABC的面积．解决：情形1：如图①，若点P恰为BC的中点，作直线AP即可．情形2：如图②，若点P不是BC的中点，则取BC的中点D，连接AP，过点D作DE∥AP交AC于E，作直线PE，直线PE即为所求直线．问题解决：如图③，已知四边形ABCD，过点B作一直线（不必写作法），使其等分四边形ABCD的面积，并证明．11、如图，把一个等边三角形的顶点放置在正六边形的中心O点，请你借助这个等边三角形的角，以角为工具等分正六边形的面积，等分的情况分别为 等分．12、用一条直线把下图分成面积相等的两部分．13、用三种不同的方法把▱ABCD的面积四等分，并简要说明分法．12题图14、、如图，所示，张家兄弟要平分这块地，请你用一条直线把它分成面积相等的两部分．（至少有两种画法）15、抛物线y=x2， 和直线x=a（a＞0）分别交于A、B两点，已知∠AOB=90°．（1）求过原点O，把△AOB面积两等分的直线解析式；（2）为使直线与线段AB相交，那么b值应是怎样的范围才适合．16、如图长为2的线段PQ在x的正半轴上，从P、Q作x轴的垂线与抛物线y=x2交于点、Q′．（1）已知P的坐标为（k，0），求直线OP′的函数解析式；（2）若直线OP′把梯形P′PQQ′的面积二等分，求k的值．17、一条直线过△ABC的内心，且平分三角形的周长，那么该直线分成的两个图形的面积比为（ ）A．2：1 B．1：1 C．2：3 D．3：118、某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：（1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比；（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；…现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．（S 表示面积）问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC，P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC．经探究知=S△ABC，请证明．问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的拼合成四边形ABCD，如图2，Q1，Q2三等分边DC．请探究与S四边形ABCD之间的数量关系．问题3：如图3，P1，P2，P3，P4五等分边AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分边DC．若S四边形ABCD=1，求．问题4：如图4，P1，P2，P3四等分边AB，Q1，Q2，Q3四等分边DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3将四边形ABCD分成四个部分，面积分别为S1，S2，S3，S4．请直接写出含有S1，S2，S3，S4的一个等式．19、阅读下面材料，再回答问题：有一些几何图形可以被某条直线分成面积相等的两部分，我们将“把一个几何图形分成面积相等的两部分的直线叫做该图形的二分线”，如：圆的直径所在的直线是圆的“二分线”，正方形的对角线所在的直线是正方形的“二分线”．解决下列问题：（1）菱形的“二分线”可以是（2）三角形的“二分线”可以是（3）在下图中，试用两种不同的方法分别画出等腰梯形ABCD的“二分线”，并说明你的画法．20、用一条直线将一个直角梯形分成面积相等的两部分，请你在下面的图中分别画出两种不同的分割图形．21、下图所示是一块木板的示意图，能不能用一条直线把这块木板分成面积相等的两部分．（3种画法）22、如图所示的图案是一个轴对称图形，直线l是它的一条对称轴，如果最大圆的半径为2，那么阴影部分面积是（ ）A．π B．2π C．3π D．4π23、如图所示是由7个完全相同的正方形拼成的图形，请你用一条直线将它分成面积相等的两部分．（在原图上作出）．24、九条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形．证明：这九条直线中至少有三条经过同一点．抽屉原理．专题：证明题．分析：首先根据抽屉定理证明9条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形中至少有5条直线穿过一对边，然后再根据抽屉原理证明至少必有三点经过同一点．解答：证明：按抽屉原理，9条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形，则至少有5条直线穿过一对边．又2：3≠1：1，根据“梯形的面积等于中位线长乘以高”，可知这5条直线必过正方形的一条对边中点连线上的两定点．故若5个点不全经过一点，则必经过这条直线上的两点，再据抽屉原理，至少必有三点经过同一点．25、一条直线平行于直线y=2x-1，且与两坐标轴围成的三角形面积是4，则直线的解析式是A．y=2x+4 B．y=2x-4 C．y=2x±4 D．y=x+2 （ ）26、把一个圆心为点O，半径为r的圆的面积四等分，请你尽可能多地设想各种分割方法．如图，如果圆心也是点O的三个圆把大圆O的面积四等分．求这三个圆的半径OB、OC、OD的长．27、已知直线AB与x，y轴分别交于A、B（如图），AB=5，OA=3，（1）求直线AB的函数表达式；（2）如果P是线段AB上的一个动点（不运动到A，B），过P作x轴的垂线，垂足是M，连接PO，设OM=x，图中哪些量可以表示成x的函数？试写出5个不同的量关于x的函数关系式．（这里的量是指图中某些线段的长度或某些几何图形的面积等）28、（1）如图1所示，已知△ABC中，D为BC的中点，请写出图1中，面积相等的三角形： ，理由是（2）如图2所示，已知：平行四边形A′ABC，D为BC中点，请你在图中过D作一条线段将平行四边形A′ABC的面积平分，平分平行四边形A′ABC的方法很多，一般地过画直线总能将平行四边形A′ABC的面积平分．（3）如图3所示，已知：梯形ABCA′中，AA′∥BC，D为BC中点，请你在图3中过D作一条线段将梯形的面积等分．（4）如图4所示，某承包人要在自己梯形ABCD（AD∥BC）区域内种两种等面积的作物，并在河岸AD与公路BC间挖一条水渠EF，EF左右两侧分别种植了玉米、小麦，为了提高效益，要求EF最短．①请你画出相应的图形．②说明方案设计的理由．19、如图，抛物线y=ax2-3ax+b经过A（-1，0），C（3，2）两点，与y 轴交于点D，与x轴交于另一点B．（1）求此抛物线的解析式；（2）若直线y=kx-1（k≠0）将四边形ABCD面积二等分，求k的值．。
中考数学 面积等分 解题技巧
中考数学面积等分解题技巧
面积等分问题在中考数学中是一个常见的题型，这类问题通常涉及到将一个给定的图形分成面积相等的若干部分。
解决这类问题需要一定的技巧和策略，下面是一些解题技巧：
1. 理解题意：首先，要仔细阅读题目，理解题目的要求和给定的条件。
明确需要将哪个图形进行等分，以及等分的具体要求。
2. 选择合适的等分方法：对于不同的图形，等分的方法也不同。
例如，对于矩形或平行四边形，可以考虑使用对角线或中垂线进行等分；对于圆形，可以考虑使用直径或半径进行等分。
根据题目的具体情况，选择合适的等分方法。
3. 利用面积公式计算：在等分图形时，需要计算每一部分的面积。
因此，需要熟练掌握各种图形的面积公式，以便在解题过程中快速准确地计算面积。
4. 注意等分点的位置：在等分图形时，需要注意等分点的位置。
有时，等分点可能不在图形的中心或对称轴上，这时需要仔细分析并确定等分点的位置。
5. 利用辅助线：在某些情况下，为了更好地进行等分，可能需要添加辅助线。
通过辅助线，可以将复杂的图形转化为简单的基本图形，从而更容易地进行等分。
6. 检查答案：在得出答案后，需要仔细检查答案的正确性。
可以通过重新计算或检查解题过程来验证答案是否正确。
综上所述，解决面积等分问题需要一定的技巧和策略。
通过理解题意、选择合适的等分方法、利用面积公式计算、注意等分点的位置、利用辅助线和检查答案等方法，可以有效地解决这类问题。
面积等分问题
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1.3 组合图形
• 对于组合图形而言，通过割补法变成我们 熟知的图形再进行等分。
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1.4 三角形
• 对于任意三角形而言，最常见的就是三角 形的中线
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1.5 梯形
• 梯形的面积等分线画法较多。1、上下底中 点的连线。Fra bibliotek整理课件
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1.5 梯形
• 2、转化为三角形。
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1.5 梯形
• 3、转化为平行四边形。
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1.6 任意四边形
任意四边形等分面积通常转化为三角形，然 后等分。也可以通过等积变换来等分。
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1.6 任意四边形
连接AC，过点D作AC的平行线，交BC延长线 与点E，连接AE，则AE所在直线就是四边形 ABCD的面积等分线
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1.2 中心对称图形
• 中心对称图形的面积等分线是过对称中心 的任意一条直线
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6
1.3 组合图形
• 对于组合图形而言，通过割补法变成我们 熟知的图形再进行等分。
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1.3 组合图形
• 对于组合图形而言，通过割补法变成我们 熟知的图形再进行等分。
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1.3 组合图形
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2.3 任意四边形
• 先将梯形面积转化为三角形，再通过三角形过 定点平分面积的方法来完成。
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•1、（4）如图4所
示，某承包人要
在自己梯形ABCD
（AD∥BC）区域
内种两种等面积
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• 3、（3）通过上面的实践，你一定有了更 深刻的认识．请你解决下面的问题：若 AB=BC=6cm，AC=8cm，请你找出△ABC的所 有“等分积周线”，并简要的说明确定的 方法．
数学活动中心对称图形与面积等分
探究问题一：
（1）将图中阴影分成面积相等的两部分。
B A
平分组合图形的阴影面积，关键是什么？
探究问题二：
（1）将图中阴影分成面积相等的两部分。
（2）将图中阴影分成面积相等的两部分。
总结规律：
由两个中心对称图形组合成的图形，
过两个对称中心 的直线可以平分组合图形的面积。
小小设计师
有一块不规则空地，现在物业公司要对其进行绿化，要求用一条直线 为分界线把这块空地分成面积相等的两块，一块用来种花，一块用来植绿 色植被，如果你是设计师，你应该怎样设计，才能满足要求？
课堂回顾：
O
A B
A
D
B
O
A
AA
O
DD A
B
DA O
C
D O
BB
CC B
CB
C
A
D
A
D
B
CB
C
D
A
D
CB
C
A
G
B
H
D F EC
A
F
E
D
B
C
课堂总结：
今天，我学会了…… 体验到…… 领悟到……
还有，我的疑惑是…… （知识、方法、学习态度……）
课外探究：
1、用一条直线下列图形的面积分成相ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的两部分。
过两个对称中心小小设计师有一块不规则空地现在物业公司要对其进行绿化要求用一条直线为分界线把这块空地分成面积相等的两块一块用来种花一块用来植绿色植被如果你是设计师你应该怎样设计才能满足要求
1) 常见的中心对称图形有哪些?
2）中心对称图形的性质是什么? 如果两个图形关于某一点成中心对称,那么对应点
初中数学等分面积问题
E 图1 A B C D 图2 等分面积问题1．如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．如，平行四边形的一条对线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线．（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有________；（2）如图1，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，如果延长DC 到E ，使CE ＝AB ，连接AE ，那么有S 梯形ABCD＝S △ABE ．请你给出这个结论成立的理由，并过点A 作出梯形ABCD 的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；（3）如图，四边形ABCD 中，AB 与CD 不平行，S △ADC ＞S △ABC ，过点A 能否作出四边形ABCD 的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由．2．如图，张大爷家有一块四边形的菜地，在A 处有一口井，张大爷欲想从A 处引一条笔直的水渠，且这条笔直的水渠将四边形菜地分成面积相等的两部分．请你为张大爷设计一种引水渠的方案，画出图形并说明理由．3．问题探究：(1)请你在图①中作一条．．直线，使它将矩形ABCD 分成面积相等的两部分； （2）如图②点M 是矩形ABCD 内一点，请你在图②中过点M 作一条直线，使它将矩形ABCD 分成面积相等的两部分。
问题解决如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD 是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC ∥OB ,OB =6,CD =4开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P （4,2）处。
为了方便驻区单位准备过点P 修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所在的直线l 将直角梯形OBCD 分成面积相等的了部分，你认为直线l 是否存在？若存在求出直线l 的表达式；若不存在，请说明理由A B C D ①4．问题探究（1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；（2）如图②，M 是正方形ABCD 内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M ），使它们将正方形ABCD 的面积四等分，并说明理由．问题解决（3）如图③，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB +CD =BC ，点P 是AD 的中点，如果AB =a ，CD =b ，且a b ，那么在边BC 上是否存在一点Q ，使PQ 所在直线将四边形ABCD 的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ 的长；若不存在，说明理由．图① 图② ABB 图③ A CD P （第4题图）。
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面积等分问题
过对称中心的任意一条直线均可等分中心对称图形的面积与周长 ★模型图★
要求：画出一条直线等分下列图形的面积或周长。
平行四边形、菱形、矩形、正
方形
1. 如图，反比例函数8
y x
=
的图象过矩形OABC 的顶点B ，OA 、0C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA ：0C=2：1． （1）设矩形OABC 的对角线交于点E ，求出E 点的坐标； （2）若直线2y x m =+平分矩形OABC 面积，求m 的值．
2.（09北京）如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABC △三个顶点的坐标分别为()60A -，，()60B ，
，
(0C ，延长AC 到点D ，使CD =1
2
AC ，过D 点作DE ∥AB 交BC 的延长线于点E ． （1）求D 点的坐标；
（2）作C 点关于直线DE 的对称点F ，分别连结DF 、EF ，若过B 点的直线y kx b =+将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；
（第22题）
5、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A的坐标为4(，)0，点C的坐标为0(，)2，O为坐标原点。
设P点在第一象限，以P为圆心，半径为1的⊙P与y轴及矩形OABC的边BC都相切. 已知抛物线2(0)
y ax bx c a
=++≠经过O、P、A三点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若⊙P与矩形OABC组合得到的图形的面积能被一条直线l平分，求这条直线l的解析式；。