★面积等分问题
面积等分问题
过对称中心的任意一条直线均可等分中心对称图形的面积与周长 ★模型图★
要求：画出一条直线等分下列图形的面积或周长。
平行四边形、菱形、矩形、正
方形
1. 如图，反比例函数8
y x
=
的图象过矩形OABC 的顶点B ，OA 、0C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA ：0C=2：1． （1）设矩形OABC 的对角线交于点E ，求出E 点的坐标； （2）若直线2y x m =+平分矩形OABC 面积，求m 的值．
2.（09北京）如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABC △三个顶点的坐标分别为()60A -，，()60B ，
，
(0C ，延长AC 到点D ，使CD =1
2
AC ，过D 点作DE ∥AB 交BC 的延长线于点E ． （1）求D 点的坐标；
（2）作C 点关于直线DE 的对称点F ，分别连结DF 、EF ，若过B 点的直线y kx b =+将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；
（第22题）
5、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A的坐标为4(，)0，点C的坐标为0(，)2，O为坐标原点。设P点在第一象限，以P为圆心，半径为1的⊙P与y轴及矩形OABC的边BC都相切. 已知抛物线2(0)
y ax bx c a
=++≠经过O、P、A三点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若⊙P与矩形OABC组合得到的图形的面积能被一条直线l平分，求这条直线l的解析式；
等分法(图形的面积)
等分法 知识与方法：通过在课本中面积的学习，我们已经知道了，连接三角形的一个顶点和对边的中点，可以把一个三角形分成两个面积相等的三角形，即等底等高的三角形面积相等。今天我们主要学习等分法在面积中的实际应用。 例题1、求下列各图形中阴影部分的面积（单位：平方厘米） （1）在△ABC中，CD=2BD （2）在△ABC中，AE=BE，BC=4BD （3）AD=BD，CE=2BE，CF=3AF △ABC的面积是12 △ABC的面积是18 △ABC的面积是48 【模仿练习】：（1）AD=2BD，BE =2 CE，△BDE的面积是4，求△ABC的面积（单位：平方厘米） （2）AD=BD，BE=CE，AF=2CF，△DEF的面积是3，求△ABC的面积（单位：平方厘米） 例题2、求下列各图形中阴影部分的面积（单位：平方厘米） （1）长方形的面积是10，AE=BE,CF=3BF （2）E是长方形BC边上任意一点， 已知长方形的面积是16
【模仿练习】：求下列各图形中阴影部分的面积（单位：平方厘米） （1）平行四边形的面积是18，AE=2BE ，BF=CF （2）长方形的面积是16 例题3、梯形ABCD的对角线相交于O，BC=3AD，三角形的面积是9平方厘米，求梯形的面积。 【模仿练习】：在下列的梯形中，所标注部分为三角形的面积，求梯形的面积（单位：平方厘米） 例题4、△ABC的面积是12，将AB边延长3倍到D，将BC边延长2倍到E，将CA边延长1倍到F，求△DEF的面积。（单位：平方厘米） 【模仿练习】：三角形ABC的面积是2平方厘米，将三边各延长1倍，求三角形DEF的面积。
中考培优 中考综合题 面积平分问题
2018年4月35日中考综合题-------面积平分问题 1．问题探究： （1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分； （2）如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M）使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由． 问题解决： （3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？如若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由． 2．探索发现： （1）如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABC的面积为S，则△ACD的面积为． 联系拓展： （2）在图2中，E、F分别是?ABCD的边AB、BC的中点，若?ABCD的面积为S，求四边形BEDF的面积？并说明理由． （3）在图3中，E、F分别是?ABCD的边AB、BC上的点，且AE=AB，BF=BC，若?ABCD 的面积为S，则四边形BEDF的面积为． 解决问题： （4）如图4中，矩形ABCD中，AB=nBC（n为常数，且n＞0）．E是AB边上的一个动点，F是BC边上的一个动点．若在两点运动的过程中，四边形BEDF的面积始终等于矩形面积的，请探究线段AE、BF应满足怎样的数量关系，并说明理由． 3．如果图1，已知直线m∥n，A、B为直线n上两定点，C、D为直线m上两动点，容易证明：△ABC的面积=△ABD的面积； 问题探究 （1）在图2中画出与四边形ABCD面积相等且以AB为一条边的三角形． （2）在图3中，已知正方形ABCD的边长为4，G是边CD上一点，以CD为边作正方形GCEF，当CG=a时，求△BDF的面积． 问题解决
面积平分问题(原卷版)
面积平分问题 ★1.问题探究 在矩形ABCD中，AD＝a，AB＝b(b>a)，P为AB边上一点，且PB＝m(m S，则△ACD的面积为________； (2)在图②中，当点E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、BC的中点时，记四边形BEDF的面积为S1；当点E、F分别在平行四边形ABCD 的边AB、BC上时，且满足AE＝1 3AB，BF＝1 3BC，记此时的四边形 BEDF的面积为S2.证明：S1＝S2； (3)如图③，在矩形ABCD中，AB＝nBC(n为常数，且n＞0)，点E是AB边上任意一点，点F是BC边上任意一点，若四边形BEDF的面积始终等于矩形面积的1 2 ，请探究线段AE、BF应满足怎样的数量关系，并说明理由． 第2题图 ★3.问题提出 (1)如图①，请你过△ABC的顶点A作一条直线AD，使得AD将△ABC 的面积分成相等的两部分； 问题探究 (2)如图②，已知矩形ABCD.若在边AD、BC上分别存在一点E、F(不含端点)，且直线EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，画出图形，并探究AE和CF的数量关系，写出证明过程； 第5讲 例说三角形中线等分面积的应用 如图1，线段AD 是△ABC 的中线，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，则S △ABD ＝12BD·AE ，S △ADC ＝12DC·AE ，因为BD ＝DC ，所以S △ABD ＝S △ADC 。因此，三角形的中线把△ABC 分成两个面积相等的三角形.利用这一性质，可以解决许多有关面积的问题。 一、求图形的面积 例1、如图2，长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，DE 、BF 交于点G ，求四边形ABGD 的面积. 分析：因为E 、F 分别是BC 和CD 的中点，则连接CG 后，可知 GF 、GE 分别是△DGC 、△BGC 的中线，而由S △ＢＣＦ=S △ＤＣＥ=4 ab ，可得S △ＢＥＧ=S △ＤＦＧ，所以△DGF 、△CFG 、△CEG 、△BEG 的面积相等，问题得解。 解：连接CG ，由E 、F 分别是BC 和CD 的中点，所以S △ＢＣＦ=S △ＤＣＥ=4ab ，从而得S △ＢＥＧ=S △ＤＦＧ，可得△DGF 、△CFG 、△CEG 、△BEG 的面积相等且等于31×4ab =12ab ，因此S 四边形ＡＢＧＤ=a b －4×12ab =3 2ab 。 例2、在如图3至图5中，△ABC 的面积为a ． （1）如图2, 延长△ABC 的边BC 到点D ，使CD =BC ，连结DA ．若△ACD 的面积为S 1， 则S 1=________（用含a 的代数式表示）； （2）如图3，延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD =BC ，AE =CA ，连结 DE ．若△DEC 的面积为S 2，则S 2=__________（用含a 的代数式表示），并写出理由； （3）在图4的基础上延长AB 到点F ，使BF =AB ，连结FD ，FE ，得到△DEF （如图6）．若阴影部分的面积为S 3，则S 3=__________（用含a 的代数式表示）． 发现：像上面那样，将△ABC 各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF （如 图1 图2 A E 图4 D A B C F 图5 图3 A B 多边形面积二等分问题 在初中阶段平面几何中，图形的等分问题比较多，常见的有以下几种:等分线段，等分角，等分圆，多边形面积二等分等。线段和角的二等分比较简单，任意等分就稍显复杂；特别是角的任意等分，著名的“尺规作图不能问题”中就有角的三等分问题。现在据说有人发明了一种工具叫做弧金规，这种工具不但可以任意等分任意角（包括三等分任意角），还能作一个正方形与已知圆的面积相等，即化圆为方问题；这样一来“尺规作图不能问题”中的三个就被其解决掉了两个，只还剩一个“立方倍积”了。非但如此，这种工具还能在圆弧上取黄金分割点及在任意曲线上任意取段；也就是说能任意等分圆周及任意曲线。这项发明可以说是意义重大，但是，这种工具毕竟现在没有推广、普及，而且其操作也肯定不如传统中的直尺和圆规操作简单，再说了，使用这种工具作图是否属于尺规作图还有待于进一步论证；所以，本文还是想从传统的尺规作图的角度来论述一下初中数学中常见的有关几何图形特别是多边形的面积二等分问题。 无论是什么样的多边形，都可以用一条直线把它分成两部分；由于直线相对于多边形的方向与位置不同，被分出来的两部分面积可能相等，也可能不相等。但无论直线开始时如何放置，只要放置好以后我们让它沿着与直线垂直的方向来回平移，在直线扫过整个多边形的过程中，总有一个位置是使被分出来的两部分面积相等，因此，对于任意多边形，都应该存在无数条直线能把它分成面积相等的两部分； 或者换句话说，过多边形任意边上的任意一点也都应该存在一条直线能把多边形分成面积相等的两部分。 先说三角形的面积二等分问题。 对于三角形来说，由于等底等高的三角形面积相等，所以，三角形任意一边上的中线都可以把它分成面积相等的两部分，这个问题比较简单；下面说一下过任意边上的任意一点作直线平分三角形的问题。如图，已知P 为△ABC 的边BC 上的任意一点，求作直线PQ,把△ABC 分成面积相等的两部分。 作法：1.连接AP ；2，取BC 的中点D ，作D Q ∥AP ，交AC 于点Q;3,作直线PQ ，如图0.则直线PQ 就是所求作的直线。 证明：设AD 、PQ 的交点为O ;∵D 为BC 的中点，∴S △ABD =S △ACD =2 1 S △ABC , ∵D Q ∥AP, ∴S △APQ =S △APD ，∴S △AOQ =S △POD ∴S 四边ABPQ =S △ABD - S △POD + S △AOQ = S △ABD =21 S △ABC 。 ∴直线PQ 把△ABC 分成面积相等的两部分。 为了作出直线PQ ，先作出BC 边上的中线AD ，然后以这条中线为一条对角线，以A 、P 、D 为顶点构造梯形，这个梯形的第四个顶点一定要在三角形的边上，则另一条对角线所在的直线PQ 就是所求作的直线。这里除了利用了三角形的中线的性质以外，还用到了梯 中考专题复习十——等分面积 1（1）已知：如图（1）AD是△ABC中BC边的中线，则S△ABD=S△ACD，依据是 （2）如图2梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，请找出图中三对面积相等的三角形。 （3）如图（2），在四边形ABCD中，对角线BD的中点为O，连结OA、OC．显然，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，再过点O作OE∥AC交CD于E，则直线AE即为一条“好线”．试说明直线AE是“好线”的理由； （4）李明家有一块四边形田地，如图3所示．AE是一条小路，它把田地分成了面积相等的两部分（小路宽忽略不计）．在CD边上点F处有一口水井，为方便灌溉田地，李明打算过点F修一条笔直的水渠，且要求水渠也把整个田地分成面积相等的两部分（水渠宽忽略不计）．请你帮李明设计出修水渠的方案，作图并写出设计方案． 2.如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线，例如平行四边形的一条对角线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线． （1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有 （2）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延长DC到E，使CE=AB，连接AE，那么有S梯形ABCD=S△ADE．请你给出这个结论成立的理由，并过点A作出梯形ABCD 的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）； （3）如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，S△ADC＞S△ABC，过点A能否作出四边形ABCD的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由． 3.如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线． （1）矩形有 条面积等分线； （2）如图①，在矩形中剪去一个小正方形，这个图形有 条面积等分线，请画出这个图形的一条面积等分线，并说明理由； （3）如图②，在矩形中剪去两个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线，并说明理由． 4.果一条直线能够将一个封闭图形的周长和面积同时平分，那么就把这条直线称作这个封闭图形的二分线． （1）请在图1的三个图形中，分别作一条二分线． （2）请你在图2中用尺规作图法作一条直线l，使得它既是矩形的二分线，又是圆的二分线．（保留作图痕迹，不写画法）． （3）如图3，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，是否存在过AB边上的点P的二分线？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由． 去伪存真，探求问题本质 —三角形中线等分面积问题的教学思考 三角形中线等分面积是义务教育教科书(苏科版)七年级下册数学一认识三角形专题中重要问题，它既是对三角形三边，三线(中线，角平分线，高线)关系的应用，同时也为后续三角形全等，相似等知识作铺垫.笔者在此以练习课的一道习题为例，通过两次解题教学的研究，谈谈自己在实践中一些体会与思考. 一、习题呈现 如图1，已知ABC ?,,,D E F 分别是,BC AD 和EC 的中点，ABC ?的面积为16，求BEF ?的面积. 二、第一次教学 1.看似很简单，学生为什么不会做 首先回顾三角形中线等分面积的性质，借助于图象直观讲解如图2，以点,,D E F 为中点为例，探究: ,,ABD EBD ADF S S S ???与ABC S ?的关系.学生较容易掌握到中线等分面积的结论.通过引导，图114EBD EDC ABC S S S ???==，由BF 是EC 的中线，得出18 EBF ABC S S ??=.运用三次中线等分面积的性质进行求解，学生看似将问题理解透彻了，笔者一周后又以相同问题做了一次反馈调查，能正确求解的同学不足三分之一，教学效果引起笔者深思. 2.反思失败之因 问题根源:学生没有领悟中线等分面积问题的实质，三角形的中线为何能等分面积?多数同学无法从复杂的图形中分离出简单图形的模型.七年级下学期，刚刚涉及到几何，大多数学生对于几何图形的辨析能力比较薄弱.在第一次教学中，学生缺乏理解与参与思考的立足点，整个教学过程是老师领着学生的思维在走，学生并没能形成有效的启发与思考，因而不能形成有效的教学. 三、第二次教学 3. 1教学更注重从形式到思想的点拨 提问1 从三角形的面积公式入手(学生容易得出三角形的面积大小是通过底和高这两个量决定的，为下面研究中线等分面积作铺垫) 《图形的面积等分问题》教案 开发区实验中学张文敏 一、背景分析 二、教学目标 1.知识与技能：了解几类特殊图形用一条直线将其面积两等分，掌握三类一般图形用一条直线将其面积两等分的方法，并能运用解决相关的实际问题。 2.过程与方法：培训学生类比，转化的数学思想方法，以及一般与特殊的辩证思想 3.情感态度与价值观：让学生体验知识等于“财富”、“成功”，以及知识的价值，并产生巨大的求知动力。 教学重点：任意三角形、平形四边形、梯形等几类图形用一直线将其面积两等分的方法，并能灵活运用。 教学难点：任意梯形用一条直线将其面积两等分的方法及其应用。 三、教法与学法 实践法，小组合作法 四、教学过程 (一)创设情境，引入新课 问题：在我家小区内，物业公司要对一块三角形区 域进行绿化，要求用一条直线为分界线把这块三角 形空地分成面积相等的两块，一块用来种花，一块 用来植绿色植被，让我们来帮助他们解决这个问题， 同学们你们是否能用你们学的知识来帮镇政府解决 这个问题呢？ 要解决这个实际问题，它的实质就是我们几何学中 的“一直线两等分图形面积”的问题。 今天我就和同学们一起来探索研究这类问题。 (二)实验引导 问题： 你能在下列图形中作一直线将其分成面积相等的两块吗？ （请同学们借助准备好的纸片进行操作，同学间进行交流，最后得出结论） 2 教师提问： 通过刚才的实验操作，你们发现了什么？有何疑问？ （这些图形都是特殊的三角形、四边形，都能通过折叠，剪切分成两个面积相等的部分；这些图形都是轴对称图形，只要画出对称轴就能分成面积相等的两块了）学生或教师提问： 是不是任何一个图形都能作一条直线将其面积两等分呢？ 今天我们主要来探讨一下一般三角形、平形四边形和梯形中能不能作一条直线将其面积两等分？ (三)问题引导 问题： 如图，在△ABC中，能作一直线将其分成面积相等的 两部分吗？（只要作它一边上的中线所在的直线就 可以了，因为中线分面的两个三角形等底同高） 问题： 如图，矩形ABCD中，能作一直线将其分成面积相等的两部分吗？ （1）画出它的任一条对角线，因为对角线 分成的两个三角形全等。 （2）还可以作过对边中点的直线，这样分成 的两个四边形都是矩形且等底等高。 （3）过对角线的交点的任一条直线，就能把 面积两等分 [因为平行四边形是中心对称图形，根据中心 对称图形的性质，经过对称中心的任一条直 线都把它分成两个全等形，面积当然相等。] 教师点拨： 如果把上述问题中的平行四边形换成矩形、菱形、正方形是否也有类似的方法？（是的，因为矩形、菱形、正方形都是平行四边形，也是中心对称图形） 问题： 3 如图，在梯形ABCD中，AD／／BC，能作一条直线将其分成面积相等的两部分吗？ 注意：①这里可能有的学生会提出连结对角线，这是不正确的。 ②也有可能有的同学提出作中位线，这也是不正确的。 （1）作过两底中点的连线。 （由在平行四边形中作过对边中点的直线可两等分面积联想而得）。 （2）先把梯形问题转化为三角形问题，取CD的中点E延长AE交BC的延长线与F，再取BF的中点G，作直线AG，则AG将梯形面积两等分。 （3）再将梯形问题转化为平行四边形问题：取CD的中点E，过E作PQ//AB，交AD的延长线与点D，AC于Q，这时只要作直线AQ，则可将梯形面积两等分了。 如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线． (1)三角形有____________条面积等分线，平行四边形有____________条面积等分线； (2)如图①所示，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线； (3)如图②，四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB≠CD，且S△ABC＜S△ACD，过点A画出四边形ABCD的面积等分线，并写出理由． 答案： 解：(1)根据“面积等分线”的定义知，一定是三角形的面积等分线的是三角形的中线所在的直线，所以三角形有3条面积等分线；平行四边形的一条对角线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线、平行四边形的中位线所在的直线也是平行四边形的面积等分线，所以平行四边形有2+2=4条面积等分线； (2)如图①所示：正方形BF的中垂线交CD于点E，连接AE，AE即为这个图形的一条面积等分线； (3)如图②所示．能，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE． ∵BE∥AC， ∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等， ∴有S△ABC=S△AEC， ∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED； ∵S△ACD＞S△ABC， 所以面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线． 解析： 分析： (1)读懂面积等分线的定义，不难得出：一定是三角形的面积等分线的是三角形的中线所在的直线；平行四边形的一条对角线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线； (2)由(1)知，矩形的一条对角线所在的直线就是矩形的一条面积等分线； (3)能．过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE．根据“△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等”推知S△ABC=S△AEC；然后由“割补法”可以求得S四边形 ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED． 点评：本题考查了学生的阅读理解能力、运用作图工具的能力，以及运用三角形、等底 第5讲 例说三角形中线等分面积的应用 如图1，线段AD 是△ABC 的中线，过点A 作AE⊥BC，垂足为E ，则S △ABD ＝ 1 2 BD·AE，S △ADC ＝ 1 2 DC·AE，因为BD ＝DC ，所以S △ABD ＝S △ADC 。因此，三角形的中线把△ABC 分成两个面积相等的三角形.利用这一性质，可以解决许多有关面积的问题。 一、求图形的面积 例1、如图2，长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，DE 、BF 交于点G ，求四边形ABGD 的面积. 分析：因为E 、F 分别是BC 和CD 的中点，则连接CG 后，可知GF 、GE 分别是△DGC 、△BGC 的中线，而由S △ＢＣＦ=S △ＤＣＥ= 4 ab ，可得S △ＢＥＧ=S △ＤＦＧ，所以△DGF、△CFG、△CEG、△BEG 的面积相等，问题得解。 解：连接CG ，由E 、F 分别是BC 和CD 的中点，所以S △ＢＣＦ=S △ＤＣＥ= 4 ab ，从而得S △ＢＥＧ=S △ＤＦＧ，可得△DGF、△CFG、△CEG、△BEG 的面积相等且等于 31×4ab =12 ab ，因此S 四边形ＡＢＧＤ =ab －4× 12ab =3 2ab 。 例2、在如图3至图5中，△ABC 的面积为a ． （1）如图2, 延长△ABC 的边BC 到点D ，使CD =BC ，连结DA ．若△ACD 的面积为S 1， 则S 1=________（用含a 的代数式表示）； @ （2）如图3，延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD =BC ，AE =CA ，连结 DE ．若△DEC 的面积为S 2，则S 2=__________（用含a 的代数式表示），并写出理由； @ （3）在图4的基础上延长AB 到点F ，使BF =AB ，连结FD ，FE ，得到△DEF （如图6）．若阴影部分的面积为S 3，则S 3=__________（用含a 的代数式表示）． 发现：像上面那样，将△ABC 各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF （如图6）， 图1 图2 A C E 图4 D A B C F 图5 图3 A 例说三角形中线等分面积的应用 丄 BD-AE , S A ADC = -DC-AE ,因为 BD = DC ,所以 2 2 三角形的中线把厶 ABC 分成两个面积相等的三角形 ?利用这一性质，可以 解决许多有关面积的问题。 、求图形的面积 例1、如图2，长方形ABCD 的长为a ,宽为b , E 、F 分别是BC 和CD 的中点，DE 、 BF 交于点G ,求四边形 ABGD 的面积. 」 分析：因为E 、F 分别是BC 和CD 的中点，则连接 CG 后，可知 ab GF 、GE 分别是△ DGC 、△ BGC 的中线，而由 S ABCF =S ADCE = ，可 _ 4 图2 得 S ABEG =S ADFG ，所以△ DGF 、△ CFG 、A CEG 、△ BEG 的面积相等， 问题得解。 ab 解：连接CG ,由E 、F 分别是BC 和CD 的中点，所以S ABCF =S ADCE = ，从而得S A 4 1 ab ab BEG =S ADFG ，可得△ DGF 、△ CFG 、△ CEG >△ BEG 的面积相等且等于 X =—，因此 3 4 12 」 ab 2ab S 四边形 ABGD =a b — 4 X —= -------- 。 12 3 例2、在如图3至图5中，△ ABC 的面积为a （1）如图2,延长△ ABC 的边BC 到点D ,使CD=BC ,连结DA .若厶ACD 的面积为 3, 则S 1= _____________ （用含a 的代数式表示）； （2）如图3，延长△ ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ,使CD=BC , AE=CA ，连结 DE .若△ DEC 的面积为S 2,则S 2= ___________ （用含a 的代数式表示），并写出理 由; 如图1，线段AD 是厶ABC 的中线，过点 A 作AE 丄BC ,垂足为 E ,则 S A ABD = S A ABD = S A ADC 。因此， 图1 类型1面积平分问题 1?问题探究 (1)定义：两组邻边对应相等的四边形为筝形?写出一个你所学过的是筝形的特殊四边形：;如图 ①，已知筝形ABCD连接AC试证明直线AC平分该筝形ABC啲面积； ⑵如图②，已知四边形ABCD AB= AD BC= DC在四边形ABC曲找一点P,连接PB PD 使折线B—P-D平分筝形ABC啲面积，并说明理由； 问题解决 (3)现有一块如图③所示的菜田ABCD且D处有一水井，现要过水井D修一条灌溉水渠，该 水渠近似为一条直线，且水渠两边菜田的面积相等，已知AB= AD= 20 m BC= DC= 20 5 m, / BAD= 90°，则是否能修出这样的水渠？若能，求出该水渠的长度；若不能，请说明理由. 第1题图 解：(1)菱形(或正方形); 证明：如解图①， c 第1题解图① 在厶ABCm ADC中, AB= AD SBC= DC AC= AC ???△ ABC^A ADC SSS) ? ???直线AC平分筝形ABCD勺面积； ⑵如解图②，连接AC取AC的中点P,连接BP DP则折线B-P-D平分筝形ABC啲面 积. 图①图②图③ 第1题解图③ ■/ OOOA 贝V S A ABD 等分法 知识与方法：通过在课本中面积地学习，我们已经知道了，连接三角形地一个顶点和对边地中点，可以把一个三角形分成两个面积相等地三角形，即等底等高地三角形面积相等.今天我们主要学习等分法在面积中地实际应用. 例题1、求下列各图形中阴影部分地面积（单位：平方厘米） （1）在△ABC中，CD=2BD （2）在△ABC中，AE=BE，BC=4BD （3）AD=BD，CE=2BE，CF=3AF △ABC地面积是12 △ABC地面积是18 △ABC地面积是48 【模仿练习】：（1）AD=2BD，BE =2 CE，△BDE地面积是4，求△ABC地面积（单位：平方厘米） （2）AD=BD，BE=CE，AF=2CF，△DEF地面积是3，求△ABC地面积（单位：平方厘米） 例题2、求下列各图形中阴影部分地面积（单位：平方厘米） （1）长方形地面积是10，AE=BE,CF=3BF （2）E是长方形BC边上任意一点， 已知长方形地面积是16 【模仿练习】：求下列各图形中阴影部分地面积（单位：平方厘米） （1）平行四边形地面积是18，AE=2BE ，BF=CF （2）长方形地面积是16 例题3、梯形ABCD地对角线相交于O，BC=3AD，三角形地面积是9平方厘米，求梯形地面积. 【模仿练习】：在下列地梯形中，所标注部分为三角形地面积，求梯形地面积（单位：平方厘米） 例题4、△ABC地面积是12，将AB边延长3倍到D，将BC边延长2倍到E，将CA边延长1倍到F，求△DEF地面积.（单位：平方厘米）文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途 【模仿练习】：三角形ABC地面积是2平方厘米，将三边各延长1倍，求三角形DEF地面积. 例题5、三角形ABC地面积是36平方厘米，AE=DE， BC=5BD，求阴影部分地面积. 复习专题九----面积等分问题 命题人：杨守德审核人：孙银清班级：姓名：时间： 一、问题提出 有一块不规则的四边形空地，现在物业公司要对其进行绿化，要求以一条直 线为分界线把这块空地分成面积相等的两块，一块用来种花，一块用来植绿色植被， 如果你是设计师，如何设计？画出图形。 二、探索与化归 1、有一块圆形空地，现在物业公司要对其进行绿化，要求以一条直线为分界线把这 块空地分成面积相等的两块，一块用来种花，一块用来植绿色植被，如果你是设计师， 如何设计？画出图形。 结论：圆是图形，过圆的任一条直线就是 它的面积等分线，圆有条面积等分线。 2、有一块平行四边形空地，要求以一条直线为分界线把这块空地分成面积相 等的两块，一块用来种花，一块用来植绿色植被，如果你是设计师，如何设 计？画出图形。 结论：平行四边形是图形，过平行四边形的任一条直线就是它的面积等分线，平行四边形有条面积等分线。 练一练： ⑴、画出下列图形的一条面积等分线 ⑵、画出下列图形的面积等分线（用3种不同的方法） 3、有一块三角形空地，要求以一条直线为分界线把这块空地分成面积相等的两块，一块用来种花，一块用来植绿色植被，如果你是设计师，如何设计？画出图形。 ⑴、过三角形一个顶点作面积等分线（在图1中画） ⑵、过三角形一边上任意一点作面积等分线（在图1中画） 结论：三角形有条面积等分线。图1 图2 三、探索与实践 回答上面的问题 四、综合与应用 1. 如图，反比例函数8y x =的图象过矩形OABC 的顶点B ，OA 、0C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA ：0C=2：1． （1）设矩形OABC 的对角线交于点E ，求出E 点的坐标； （2）若直线2y x m =+平分矩形OABC 面积，求m 的值． 2、如图，在平面直角坐标系中，矩形O ABC 的顶点A 的坐标为4(，)0，点C 的坐标为0(，)2，O 为坐标原点。设P 点在第一象限，以P 为圆心，半径为1的⊙P 与y 轴及矩形OABC 的边BC 都相切. 已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过O 、P 、A 三点. （1）求抛物线的解析式； （2）若⊙P 与矩形O ABC 组合得到的图形的面积能被一条直线l 平 分，求这条直线l 的解析式； 3、（2012?贵阳）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线． （1）三角形有 条面积等分线，平行四边形有 条面积等分线； （2）如图①所示，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线； （3）如图②，四边形ABCD 中，AB 与CD 不平行，AB≠CD ，且S △ABC ＜S △ACD ，过点 A 画出四边形ABCD 的面积等分线，并写出理由． （第1题） 等分法姓名 知识与方法：通过在课本中面积的学习，我们已经知道了，连接三角形的一个顶点和对边的中点，可以把一个三角形分成两个面积相等的三角形，即等底等高的三角形面积相等。今天我们主要学习等分法在面积中的实际应用。 例题1、求下列各图形中阴影部分的面积（单位：平方厘米） （1）在△ABC中，CD=2BD （2）在△ABC中，AE=BE，BC=4BD （3）AD=BD，CE=2BE，CF=3AF △ABC的面积是12 △ABC的面积是18 △ABC的面积是48 【模仿练习】：（1）AD=2BD，BE =2 CE，△BDE的面积是4，求△ABC的面积（单位：平方厘米） （2）AD=BD，BE=CE，AF=2CF，△DEF的面积是3，求△ABC的面积（单位：平方厘米） 例题2、求下列各图形中阴影部分的面积（单位：平方厘米） （1）长方形的面积是10，AE=BE,CF=3BF （2）E是长方形BC边上任意一点， 已知长方形的面积是16 【模仿练习】：求下列各图形中阴影部分的面积（单位：平方厘米） （1）平行四边形的面积是18，AE=2BE ，BF=CF （2）长方形的面积是16 例题3、梯形ABCD的对角线相交于O，BC=3AD，三角形的面积是9平方厘米，求梯形的面积。 【模仿练习】：在下列的梯形中，所标注部分为三角形的面积，求梯形的面积（单位：平方厘米） 例题4、△ABC的面积是12，将AB边延长3倍到D，将BC边延长2倍到E，将CA边延长1倍到F，求△DEF的面积。（单位：平方厘米） 【模仿练习】：三角形ABC的面积是2平方厘米，将三边各延长1倍，求三角形DEF的面积。 面积问题（讲义） 一、 知识点睛 1. 处理面积问题的三种方法 （1）公式法； （2）割补法； （3）转化法． 2. 实际应用举例 （1）使用公式法和割补法，常常借助特殊角（15°，30°，45°， 60°，75°，120°，135°，150°），构造直角三角形进行计算． 32 130° 1 2 145° （2）转化法，常常借助等（同）底、等（同）高等模型 ①两个三角形底相等（同）时，面积比等于_________之比，高相等（同）时，面积比等于__________之比． ②特别地，同底等高时可利用平行转移面积， l 2 l 1 如图，满足S △ABP =S △ABC 的点P 都在直线l 1，l 2上． 二、精讲精练 1. 如图，AB =AC ，∠BAC =120°，AB =10cm ，则S △ABC =__________． C B A 2. 面积为2的等边三角形的边长是__________． 3. 将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB =14cm ，则阴影部 分的面积是________cm 2． 4. 某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC 环境，已知∠A =150°，这种草皮每平方米售价为a 元，则购买这种草皮至少 需要（ ） A ．300a 元 B ．150a 元 C ．450a 元 D ．225a 元 30m 20m A B C 5. 如图，在△ABC 中，∠A =45°，∠B =30°，AB =1，则 △ABC 的面积为___________． A C F C B A D E 第5题图 第6题图 6. 已知：如图，△ABC 的等边三角形，△ADE 也是等边三角形， 且AD 1 2 =AB ，∠BAD =45°，AC 与DE 相交于点F ，则△AEF 的面积为 ___________．（结果保留根号） 7. 如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∠A =135°，BC =6，AB =2， 则四边形ABCD 的面积为__________． 135° D A B C 8. 如图，在四边形ABCD 中，AB =2，CD =1，∠A =60°， ∠B =∠D =90°，求四边形ABCD 的面积． 1.用三种方法把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形. 引例：如图，已知直线m∥n，点A、B在直线n上，点C、P在直线m上； （1）写出图中面积相等的各对三角形：； （2）如图A、B、C为三个顶点，点P在直线m上移动到任意位置时，总有与△ABC 的面积相等，因为 . 2．如图△ ABC，过A点的中线能把三角形分成面积相同的两部分.你能过AB边上一点E作一条直线EF，使它也将这个三角形分成两个面积相等的部分吗？ 3.有一块形状如图的耕地，兄弟二人要把它分成两等份，请你设计一种方案把它分成所需要的份数．如果只允许引一条直线，你能办到吗？ 4.如图，欲将一块四方形的耕地中间的一条折路MPN改直，但不能改变折路两边的耕地面积的大小，应如何画线？ 练习： 如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4:5，四边形2的面积为36，则三角形1的面积为________． 3 2 1 5.已知五边形ABCDE，用三角尺和直尺作一个三角形，使该三角形的面积与所给的五边形的ABCDE的面积相等. 6.一个五边形ABCDE，你能否过E点作一条直线交BC（或）延长线于点M，使四边形ABME 的面积等于五边形ABCDE的面积. 7.（2012?开平区二模）已知：正方形ABCD的边长为a，P是边CD上一个动点不与C、D重合，CP=b，以CP为一边在正方形ABCD外作正方形PCEF，连接BF、DF． 观察计算： （1）如图1，当a=4，b=1时，四边形ABFD的面积为； （2）如图2，当a=4，b=2时，四边形ABFD的面积为； （3）如图3，当a=4，b=3时，四边形ABFD的面积为 . （4）根据上述计算的结果，你认为四边形ABFD的面积与正方形ABCD的面积之间有怎样的关系？证明你的结论；三角形中线等分面积应用
多边形面积二等分问题
中考专题辅导十——等分面积
2017年中考数学二轮专题复习《三角形中线等分面积问题的教学思考》素材苏教版
八下图形的面积等分问题
面积等分线)练习
三角形中线等分面积的应用
三角形中线等分面积的应用
中考数学试题研究类型面积平分问题练习
等分法(图形面积)
面积等分问题
等分法(图形的面积)
面积问题(讲义)
等分面积的试题
面积平分问题