专题比较二次根式大小(供参考)
比较二次根式大小的几种方法
比较二次根式大小的几种方法一、比较系数法：对于形如√a和√b的二次根式，如果a>b，那么√a>√b；如果a<b，那么√a<√b。
例如，比较√5和√7的大小。
由于5<7，所以√5<√7二、平方法：对于形如√a和√b的二次根式，如果a²>b²，那么√a>√b；如果a²<b²，那么√a<√b。
例如，比较√3和√8的大小。
由于3²=9，8²=64，所以√3<√8三、绝对值法：对于形如√a和√b的二次根式，如果，a，>，b，那么√a>√b；如果，a，<，b，那么√a<√b。
例如，比较√(-2)和√(-5)的大小。
由于，-2，=2，-5，=5，所以√(-5)<√(-2)。
四、化简法：对于形如√a的二次根式，如果a可以化简为形式p²×q（p和q为正整数），那么√a=√(p²×q)=p√q。
例如，化简√72、首先可以将72分解为2²×3²×2，然后利用根式的乘法法则和化简法则，得到√72=2×3√2=6√2五、近似法：如果无法直接通过上述方法比较二次根式的大小，可以使用近似法。
通过计算近似值，可以比较二次根式的大小。
例如，比较√3和√2的大小。
可以使用计算器或手算，得到√3≈1.732，√2≈1.414，所以√2<√3需要注意的是，以上方法比较的是二次根式的大小，而不是数值的大小。
当a和b的大小关系无法确定时，使用以上方法可以对二次根式的大小关系进行比较。
冀教版数学八年级上册专训1比较二次根式大小的八种方法.docx
专训1 比较二次根式大小的八种方法名师点金：二次根式的大小比较，是教与学的一个难点，如能根据二次根式的特征，灵活地、有针对性地采用不同的方法，将会得到简捷的解法．较常见的比较方法有：平方法、作商法、分子有理化法、分母有理化法、作差法、倒数法、特殊值法、定义法等．平方法1．比较6＋11与14＋3的大小．作商法2．比较4－3与2＋3的大小．分子有理化法3．比较15－14与14－13的大小．分母有理化法4．比较12－3与13－2的大小．作差法5．比较19－13与23的大小．倒数法6．已知x＝n＋3－n＋1，y＝n＋2－n，试比较x，y的大小．特殊值法7．用“<”连接x ，1x，x 2，x.(0<x<1) 定义法8．比较5－a 与3a －6的大小．答案1．解：因为(6＋11)2＝17＋266，(14＋3)2＝17＋242，17＋266＞17＋242，所以(6＋11)2>(14＋3)2. 又因为6＋11>0，14＋3>0， 所以6＋11＞14＋ 3.2．解：因为4－32＋3＝(4－3)(2－3)＝11－63，63≈10.39， 所以11－63＜1.又因为4－3>0，2＋3>0，所以4－3＜2＋ 3.3．解：因为15－14 ＝（15－14）（15＋14）15＋14＝115＋14， 14－13 ＝（14－13）（14＋13）14＋13＝114＋13， 且15＋14＞14＋13，15＋14>0，14＋13>0， 所以115＋14<114＋13，即15－14＜14－13.4．解：因为12－3＝2＋3，13－2＝3＋2，2＋3＞3＋2， 所以12－3＞13－2. 5．解：因为19－13－23＝19－33，19－3>0，所以19－33>0.所以19－13>23. 6．解：1x ＝1n ＋3－n ＋1＝ n ＋3＋n ＋12＞0， 1y ＝1n ＋2－n＝n ＋2＋n 2＞0. 因为n ＋3＋n ＋1＞n ＋2＋n ＞0，所以1x ＞1y ＞0.所以x ＜y. 7．解：因为0＜x ＜1，所以不妨取特殊值x ＝14，则x 2＝116，x ＝12，1x＝4. 所以x 2＜x ＜x ＜1x. 8．解：因为5－a ≥0，所以a ≤5.所以a －6＜0.所以3a －6＜0.所以5－a ＞3a －6.初中数学试卷桑水出品。
二次根式比较大小的方法
二次根式比较大小的方法，最好详细点。
最佳答案1 比被开方数法例1 比较6*√7与7*√6的大小．分析将根号外的因式移入根号内，再比较被开方数的大小．解答因为6*6*7=252，7*7*6，而252<294，所以6*√7<7*√6.2 比平方法例2(1)试比较√5+√13，√7+√11与√8十√10的大小；(分析观察发现，每组均为两个二次根式之和，可将其平方后再进行比较；(2)进一步观察发现，每组中两个二次根式的被开方数之和相等，两个被开方数越来越接近。
结合考虑每组的大小关系，便可提出猜想．解答略猜想：若0<a<b≤c<d，则√a+√d<√b+√c3 比差法比较√2003-1/√2004-1与√2003+1/√2004+1的大小．分析观察到两个式子的分母相乘可用平方差公式，结果为一整数，于是作差进行比较．(具体自己计算，打出来实在很麻烦）4 比商法例4比较√a+1/√a+4与√a+2/√a+3的打消分析观察发现，本题仍可运用“比差法”比较大小，但作商进行比较，计算也很方便．解答略5 有理化法这个应该都很熟悉，不再说明了6 比中间量法例7已知0<x<l，比较√1+x^2+√1+(1一x)^2与2√2一1的大小分析由条件0<z<1，可知√1+x^2>1，√1+(1一x)^2>l，于是√1+x^2+√1+(1一x)^2>2，而2√2一1<2，谁大谁小，不言自明．7 特殊值法最简单最实用的方法8数形结合法不常用，不举例，如有需要再说9 运用已知不等式高中课本中的几个基本不等式10 运用放缩变换ll 运用隐含条件比较大小根号下8-m的三次方与√m-15的大小．分析本题有隐含条件m一15≥0，所以m≥15，从8一m<0．。
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二次根式的化简具有极强的技巧性，而在不求近似值的情况下比较两个无理数（即二次根式）的大小同样具有很强的技巧性，对初中生来说是一个难点，但掌握一些常见的方法对它的学习有很大的帮助和促进作用．
1．根式变形法．
【例1】比较35与53的大小．
【解】将两个二次根式作变形得35＝5×32＝45，52×3＝53＝75；
∵75＞45；∴75＞45，即35＜53．
【解后评注】本解法依据是：当a＞0，b＞0时，①a＞b，则a＞b；
②若a＜b，则a＜b．
2．平方法．
【例2】比较32与23的大小．
【解】（32）2＝18，（23）2＝12．
∵18＞12；∴32＞23．
【解后评注】本法的依据是：当a＞0，b＞0 时，如果a2＞b2，则a＞b，如果a2＜b2，则a ＜b．
另外根式的无理数大小的比较往往可采用：分母有理化法、分子有理化法、等式的基本性质法、作差比较法、求商比较法等多种方法，来求解．有时还需各种方法配合使用，其中根式变形法，平方法是最基本的，对于具体的问题要作具体分析，以求用最佳的方法解出正确的结果．
1。
【解析】专题二 二次根式大小比较
5 1
4
4
7 3
4
4
5 1 7 3
9. 已知 M 101 100 ， N 99 98 ，则 M 与 N 的大小关系是（
）
A. M N
B. M N
【考点】根式的大小比较
C. M N
D. M ≤ N
【解析】∵ M 101 100
1
， N 99 98 1
bc
ac
ab
∴ abc 1 abc 1 abc 1
bc
ac
ab
∴ ab ac bc ∴ a b c ，选 B．
王文君老师
保持优秀是种习惯
不进则退
18. 正实数 a ， b ， c ， d 满足 a b c d 1 ，
设 p 3a 1 3b 1 3c 1 3d 1 ，则（
101 100
99 98
∴ M N ，选 B ．
10. 已知 a 2 1， b 2 2 6 ， c 6 2 ，那么 a ， b ， c 的大小关系是＿＿＿＿.
A. a b c B. b a c 【考点】根式的大小比较
C. c b a D. c b a
⑵ 2 3 2 与 1 3 20
2
【考点】根式的大小比较
【解析】⑴ 23 7 3 23 7 3 56 ， 33 2 3 33 2 3 54 ，因为 3 56 3 54 ，所以 2 3 7 33 2
⑵ 2 3 2 3 16 ， 1 3 20 3 5 ，因为 3 16 3 5 ，所以 2 3 2 1 3 20
1
1
比较二次根式大小的方法
．＋
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◆ 致掌夫世暴 。０ ▲ ． ．．．．． 一． ． 。。。。。 ４ 。
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山垄 吏 ＿ 兰然 煎 蔓兰…整壹雪
，２ ｏ ／ ０ ８＋１
…
．
根 据 二 次 根 式 的 数值 和结 构 特 点 ， 较 二 次 根 式 大 比
，
／ ０ ８—１ ２０
五 、 用 分 母 有 理化 的方 法 比较 利
比 大，． Ｊ 、
．
３ ＞ ÷
三 、 用 求差 的 方 法 比较 利
而Ｉ ＝ 面
：＿ ： ：２ ＋
：
根 据 若 ｎ一 ＞０ 贝 ６口一ｂ ０贝 口＝ｂａ—ｂ ０ ６ ，０ ０＞ ； ＝ ０ ； ＜
则 ａ＜ ． ｂ
５ 一 、２
六 、 用 求 倒 数 的 方 法 比 较 利
一１ （ｖ ）
＋１ ）一（
２ ９—１ ｏｏ
例６ 比 ￣ 较 ， 一厕 俪
与厕
一厕
的大小
（ 转 ３页 ） 下
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２０ ０８
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Hale Waihona Puke 例 ５ 如 图， 边 形 Ａ Ｅ 四 Ｂ Ｇ、Ａ
２ 一
又・ ． ・
１
．
（ 西 （＋ ２一 ２
＋ （２＋ ，
，
例 ３ 比较 与 的大 小． ／ ０ ９—１ ２ ｏ ２ｏ ０ ９＋１
．
Ｉ
解： ￣ ／ 厮
． ． ．
， ，
(完整word)二次根式大小比较方法
比较二次根式大小的巧妙方法一、移动因式法将根号外的正因式移入根号内,从而转化为比较被开方数的大小。
例1：比较的大小.解:＞∴＞二、运用平方法两边同时平方,转化为比较幂的大小。
此法的依据是：两个正数的平方是正数,平方大的数就大；两个负数的平方也是正数，平方大的数反而小。
例2：比较与的大小。
解：∵,＞0，＞0∴＜三、分母有理化法此法是先将各自的分母有理化，再进行比较。
例3:比较与的大小。
解:∴＞四、分子有理化法此法是先将各自的分子有理化，再比较大小.例4：比较与的大小解:∵＞∴＞五、求差或求商法求差法的基本思路是:设为任意两个实数，先求出与的差，再根据“当＜0时，＜;当时，;当＞0时,＞"来比较与的大小。
求商法的基本思路是：设为任意两个实数，先求出与的商，再根据“①同号:当＞1时，＞；＝1时，；＜1时，＜。
②异号：正数大于负数”来比较与的大小.例5:比较的大小。
解：∵＜∴＜例6：比较的大小。
解：∵＞1∴＞六、求倒数法先求两数的倒数，而后再进行比较.例7：比较的大小。
解：∵＞∴＜七、设特定值法如果要比较的二次根式中含有字母，为了快速比较,解答时可在许可的条件下设定特殊值来进行比较。
例9：比较与的大小.解:设，则：＝1,＝∵＜1，∴＞九、局部缩放法如果要比较的二次根式一眼看不出有什么特点，又不准求近似值,可采取局部缩放法，以确定它们的取值范围，从而达到比较大小的目的.例10:比较的大小.解：设，∵，7＜＜8，即7＜＜8，8＜＜9，即8＜＜9∴＜,即＜例11：比较与的大小.解：∵＞∴＞十、“结论”推理通过二次根式的不断学习,不难得出这样的结论：“＞（＞＞0)”，利用此结论也可以比较一些二次根式的大小（结论证明见文末）。
例12:比较1与的大小。
解：∵,由＞（＞＞0)可知：＞即＞又∵＞∴＞，即1＞总的来说，比较二次根式大小的方法不仅仅局限于以上十种,除此之外诸如移项、拆项法，类比推理法，数形结合法，数轴法，还有假设推理法等等，但不管使用哪种方法，都必须在掌握二次根式的基本性质和运算法则上进行，要根据问题的特征，二次根式的结构特点，多角度地探索思考，做到具体问题具体分析，针对不同问题采取不同的策略，另外还应多做这方面的训练,方能达到熟练而又快捷，运用自如的程度.附：“＞（＞＞0）"的证明。
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比较二次根式大小的几种方法
山东省昌邑市北孟第二中学（261318）刘希政
比较含有二次根式的式子的大小，如果不允许查表和使用计算器，会感到棘手，因此在学习中掌握几种比较的方法是非常必要的。
一、移动法
把根号外的非负因式移到根号内比较被开方数大小。
例1. 比较和的大小。
解：因为
所以
二、平方法
例2. 比较和的大小.
解：因为
所以.
三、作差法
例3. 比较和的大小.
解：因为
又因为
所以
所以
四、配方法
例4. 比较和的大小.解：
因为
所以
五、分子或分母有理化
例5. 比较和的大小.解：因为
因为
所以
例6. 比较和的大小.
解：将分母有理化
因为，
因为
所以
六、借助中间值比较法
例7. 比较和的大小.
解：因为
所以
因为
所以
所以
七、缩放法
在解题时，有时则需要将某个式子适当地放大或缩小，进行比较。
例8. 比较与的大小.
解：
所以
例9. 比较与的大小.
解：因为
所以
年级初中学科数学版本期数
内容标题比较二次根式大小的几种方法
分类索引
号
G.622.46分类索引描述 辅导与自学
主题词比较二次根式大小的几种方法栏目名
称 专题辅导
供稿老师审稿老
师
录入吕春艳一校王佳娣二校审核。
【常考压轴题】专题04 二次根式比较大小的四种考法(解析版)八年级数学上册压轴题攻略
【点睛】此题主要考查了有理化因式的概念，正确化简二次根式是解题关键
【变式训练 1】比较大小： 2 3 【答案】＞
1 ．（用＞，＝或＜填空）
3 2
1
【分析】先根据分母有理化的法则进行计算，
3
化简为 2
3
2 ，再根据实数比较大小
的方法：若 A B 0 ，则 A B ；若 A B 0 ，则 A B ；若 A B 0 ，则 A B ，即可得
2 3 （填“ ”、“ ”或“ ”）．
【答案】
【分析】将两数平方，根据结果比较大小．
2
2
【详解】解： 5 5 ， 2 3 2 3 2 6 5 2 6 ，
∵52 6 5，
∴ 5 2 3，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，涉及了二次根式的运算，解题的关键是灵活运用平方
法进行比较．
【变式训练 2】比较大小 10
3； 3 10
3 13 ； 2 5
6．（填“＞”“＜”或“＝”）
【答案】 ＞ ＜ ＜
【分析】根据 3 9 ，可比较 10 与 3 的大小； 3 10 与 3 13 可直接比较；根据
2 5 20，6 36 ，比较 20 与 36 的大小即可．
【详解】∵ 10 9 ， 3 9 ，
（2）计算：
1 2 1
1 3
1 ； 2 2 3
（3）若实数 a
1 ，b 5 2
1 6
，判断 a 和 b 的大小，并说明理由． 5
【答案】（1） 2 7 ， 2 1；（2）3；（3） a b ，理由见解析 7
【分析】（1）直接利用有理化因式的概念分析得出答案；
（2）利用有理化因式的概念化简求出答案；
比较二次根式大小的8种方法
比较二次根式大小的8种方法要比较二次根式的大小，我们可以使用以下八种方法：方法一：使用绝对值对于任意两个正实数a和b，如果a>b，则√a>√b。
这是因为二次根式对应的数值是非负数，而且二次根式是单调递增的。
因此，我们可以比较二次根式的大小，先计算其数值，然后使用绝对值比较大小。
方法二：使用二次根式的平方对于任意正实数a和b，如果a>b，则a²>b²。
因此，我们可以比较二次根式的大小，先计算其平方，然后比较平方的大小。
注意这种方法只适用于非负的二次根式，对于负二次根式需要使用其他方法。
方法三：使用分数形式将二次根式转换为分数形式可以更直观地比较大小。
对于任意正实数a和b，如果a>b，则√a>√b。
通过将二次根式转换成相同的分母，我们可以直接比较分子的大小。
方法四：使用当量形式对于任意非负实数a和b，如果a>b，则√a>√b。
但对于负实数，我们需要使用当量形式来进行比较。
当a和b都是负数时，如果a>b，则√a<√b。
因此，在比较负二次根式大小时，我们需要将其写成当量形式。
方法五：使用图形方法可以通过绘制二次根式的图形来比较大小。
对于平方根函数√x来说，当x增大时，其图像也增大。
因此，我们可以绘制二次根式的图像，并观察两个二次根式的位置关系，从而比较其大小。
方法六：使用近似值如果我们只是需要大致比较二次根式的大小，而不需要精确值，可以使用近似值来进行比较。
通过计算二次根式的近似值（如保留小数点后两位），然后比较近似值的大小，可以得到二次根式大小的一个估计。
方法七：使用指数运算对于任意正实数a和b以及正整数n，如果a>b，则aⁿ>bⁿ。
因此，我们可以将二次根式的指数提取出来，然后比较指数运算的结果。
这种方法适用于有多项式表达式中的二次根式。
方法八：使用代数方法对于给定的二次根式，我们可以使用代数方法将其转化为有理数。
二次根式比大小的八种方法。
二次根式比大小的八种方法。
方法一：平方法
平方法是对要比较大小的两个数先平方，根据平方后数据的大小来确定原数的大小。
方法二：作商法
作商法是把要比较大小的两个数相除，根据除得的商来判断原来数值的大小，除得的商分大于1，等于1，或小于1。
方法三：分子有理化法
分子有理化法是专门针对二次根式比较大小来说的，通过对分子有理化来判断出大小，再确定原数值的大小。
方法四：分母有理化法
分母有理化是通过对二次根式乘以有理化因式后，将原来的二次根式化简成最简二次根式再比较大小。
方法五：作差法（最常用）
作差法就是将比较大小的两个数相减，根据所得的差来看两数的大小，也是平时比较大小最常用的方法。
方法六：倒数法
倒数法就是先求出原数倒数的大小，再根据倒数的大小来确定原来数值的大小。
方法七：特殊值法
特殊值法就是通过对比较大小的代数式子赋特殊值的方法来确定大小的方法。
方法八：定义法。
二次根式的大小比较方法
（一）
蒙娜丽莎那微抿的双唇，微挑（ ）的嘴角，好像有话要跟你说。在 那极富 个性的 嘴角和 眼神里 ，悄然 流露出 恬静、 淡雅的 微笑。 那微笑 ，有时 让人觉 得舒畅 温柔， 有时让 人觉得 略含哀 伤，有 时让人 觉得十 分亲切 ，有时 又让人 觉得有 几分矜 （ ）持。蒙娜丽莎那“神秘的微笑”是 那样耐 人寻味 ，难以 捉摸。 达·芬奇 凭着他 的天才 想象为 和他那 神奇的 画笔， 使蒙娜 丽莎转 瞬即逝 的面部 表情， 成了永 恒的美 的象征 。
方法 1 平方法
1．比较 6 11 与 14 3 的大小． 解：因为( 6 11 )2＝17＋2 66 , ( 14 3 )2＝17＋
2 42 ，17＋2 66 ＞17＋2 42 ， 所以( 6 11 )2>( 14 3 )2，又因为 6 11 >0，
14 3 >0，所以 6 11 ＞ 14 3 .
21、怠惰是贫穷的制造厂。 22、先知三日，富贵十年。 23、自信是向成功迈出的第一步。——爱因斯 坦 24、一个人除非自己有信心，否则不能 带给别 人信心 ；已经 信服的 人，方 能使人 信服。 ——麦 修·阿诺 德 25、凡是挣扎过来的人都是真金不怕火 炼的； 任何幻 灭都不 能动摇 他们的 信仰： 因为他 们一开 始就知 道信仰 之路和 幸福之 路全然 不同， 而他们 是不能 选选择 的，只 有往这 条路走 ，别的 都是死 路。这 样的自 信不是 一朝一 夕所能 养成的 。你绝 不能以 此期待 那些十 五岁左 右的孩 子。在 得到这 个信念 之之前 ，先得 受尽悲 痛，流 尽眼泪 。可是 这样是 好的， 应该要 这样… …——罗 曼·罗 兰 26、一个人在科学探索的道路上，走过 弯路， 犯过错 误，并 不是坏 事，更 不是什 么耻辱 ，要在 实践中 勇于承 认和改 正错误 。——爱因斯 坦88我 们的理 想应该 是高尚 的。我 们不能 登上顶 峰，但 可以爬 上半山 腰，这 总比待 在平地 上要好 得多。 如果我 们的内 心为爱 的光辉 所照亮 ，我们 面前前 又有理 想，那 么就不 会有战 胜不了 的困难 。——普列姆 昌德 27、旁观者的姓名永远爬不到比赛的计 分板上 。
二次根式比较大小
Байду номын сангаас方法
当 时 a 0, b 0
①若
②若
a b，则: a ＞ b
2 2
a b，则： a ＜ b
2 2
分子、分母有理化法
通过分子（母）有理化，利用分母（子）的 大小来比较。
比如：比较
2 3 1
与
1 2 1
的大小。
3 1,
2 1
解：
3 1,
2 2( 3 1) 3 1 ( 3 1)( 3 1)
二次根式的大小比较
问题
有甲、乙两个正方形，已经甲的面积（8 2 15） cm
2
2
，乙的面积为（12 2 35） cm ，你能计算出它们的边 长吗？并判断哪个正方形边长较大？
甲：8 2 15
乙：12 2 35
2
（ 5 3）
5 3
（ 7 5）
7
与
2
5
5
大小？
设问：请比较
5
3
7
1、探究一 当 a 0, b 0 时，
①如果 a b，则：
②如果
a
＞
b b
，则： ab
a
∠
注意：反之亦成立！！
例1、用上述的方法比较 2
3 与 3 2 的大小。
3 43 12
解： ∵2
3
2
2
3 2
3
2
3
18
9 2 18
12∠18
b
②
1 a＞ b
a b
1 a＜ b
例3、用上述规律比较
2 3 与 3 2的大小。
比较二次根式大小的8种方法
比较二次根式大小得8种方法比较大小就是学习数学过程中经常会遇到得,通常用到得方法就就是作差法,但就是有时要对两个数进行大小得比较,仅仅用作差法就是不行得，那怎么办呢?别担心，本节整理得8种比较大小得方法,如果您能全掌握,那就可以对比较大小得题目“通吃”了,这８种方法不仅适用于二次根式大小得比较，对于其她数得大小比较也适用。
当然,本节就是结合二次根式比较大小得题型来讲述这8种方法，既学会了二次根式大小得比较,又掌握了8种比较大小得方法，可谓收获良多。
接下来就让带大家一起来学习比较二次根式大小得8种方法:平方法、作商法、分子有理化、分母有理化、作差法、倒数法、特殊值法、定义法方法一:平方法……根号内得数相加为同一个数时。
平方法就是对要比较大小得两个数先平方,根据平方后数据得大小来确定原数得大小。
方法二:作商法……向1靠拢,化同类项。
作商法就是把要比较大小得两个数相除，根据除得得商来判断原来数值得大小,除得得商分大于1,等于1，或小于1。
方法三:分子有理化法……根号内得数差为同一个数时,将分子化1,比分母。
分子有理化法就是专门针对二次根式比较大小来说得,通过对分子有理化来判断出大小，再确定原数值得大小。
方法四:分母有理化法……根号内得数相似,化同为目标。
分母有理化就是通过对二次根式乘以有理化因式后,将原来得二次根式化简成最简二次根式再比较大小。
方法五:作差法(最常用）作差法就就是将比较大小得两个数相减，根据所得得差来瞧两数得大小,也就是平时比较大小最常用得方法。
方法六：倒数法倒数法就就是先求出原数倒数得大小，再根据倒数得大小来确定原来数值得大小。
方法七：特殊值法特殊值法就就是通过对比较大小得代数式子赋特殊值得方法来确定大小得方法。
方法八：定义法以上就就是比较二次根式大小得8种方法，其中第５种最常用!这8种方法您掌握了几种呢？。
比较二次根式大小的巧妙方法
比较二次根式大小的巧妙方法二次根式是数学中常见的一种数形式，可以写成形如根号下a的形式，其中a是一个非负实数。
在比较二次根式大小时，可以使用一些巧妙的方法来简化计算和判断。
下面将介绍几种比较二次根式大小的巧妙方法：1.平方比较法：对于非负实数a和b，如果a>b，则a的平方大于b的平方，即a^2>b^2、因此，对于任意非负实数a和b，如果a>b，那么根号下a的值大于根号下b的值。
这种方法适用于比较两个非负实数的根号值大小。
例如，要比较根号下3和根号下2的大小：首先，计算3的平方和2的平方，得到3^2=9和2^2=4、由于9>4，可以得出根号下3>根号下22.平方和比较法：对于非负实数a、b和非负整数n，如果a^2+b^2>(a+n)^2，则a^2+b^2大于(a+n)^2、因此，对于任意非负实数a和b，如果a^2+b^2>(a+n)^2，那么根号下a的值大于根号下(a+n)的值。
这种方法适用于比较一个非负实数和一个非负整数之和的平方和与平方的大小。
例如，要比较根号下7和根号下6+1的大小：首先，计算7和(6+1)^2，得到7和(6+1)^2=7和49、由于7<49，可以得出根号下7<根号下6+13.有理化分子法：对于非负实数a和b，可以使用有理化分子法将二次根式的分子有理化，然后比较分子的大小。
有理化分子的基本原理是将根号a的分子乘以根号a的共轭形式，即分子为a，分母为1、例如，有理化分子根号3的过程为：根号3*根号3=3、然后，可以比较有理化分子后的值的大小。
例如首先，有理化分子根号下3得到3，有理化分子根号下2得到2、因此，可以得出根号下3>根号下24.二次根式近似法：对于无法直接比较大小的二次根式，可以将其转化为十进制近似值，然后比较近似值的大小。
使用计算器或其他计算工具可以方便地进行这种近似计算。
例如，要比较根号下3和根号下2的大小：首先，使用计算器计算根号下3的近似值为1.732，根号下2的近似值为1.414、由于1.732>1.414，可以得出根号下3>根号下2总之，比较二次根式大小可以使用平方比较法、平方和比较法、有理化分子法和二次根式近似法等巧妙方法。
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专题：比较二次根式大小
二次根式是初中数学中的基础知识，也是初中数学学习中的重点内容；而比较二次根式的大小又是二次根式知识中的难点，也是中考和数学竞赛中常见的题型，经常会考到不查表、不求二次根式的值，来比较几个不含分母的二次根式的大小的问题。
尽管教材上介绍了比较二次根式大小的几种基本方法，如求近似值法、比较被开方数法等，尽管很多教辅材料中也总结了不少诸如“作差”、“做商”、“有理化”、“取倒数”、“平方”等方法，但许多学生在考试中仍显得力不从心，并不清楚到底什么时候用哪种方法最合适？解答这类题目时缺少方法与对策，以至于无从下手。
下面就举例介绍几种比较二次根式大小的有效方法。
一、移动因式法
将根号外的正因式移入根号内，从而转化为比较被开方数的大小。
例1：比较的大小。
解：
＞
∴＞
二、运用平方法
两边同时平方,转化为比较幂的大小。
此法的依据是：两个正数的平方是正数，平方大的数就大；两个负数的平方也是正数，平方大的数反而小。
例2：比较与的大小。
解：∵，
＞0，＞0
∴＜
三、分母有理化法
此法是先将各自的分母有理化，再进行比较。
例3：比较与的大小。
解：
∴＞
四、分子有理化法
此法是先将各自的分子有理化，再比较大小。
例4：比较与的大小
解：∵
＞
∴＞
五、求差或求商法
求差法的基本思路是：设为任意两个实数，先求出与的差，再根据“当
＜0时，＜；当时，；当＞0时，＞”来比较与的大小。
求商法的基本思路是：设为任意两个实数，先求出与的商，再根据“①
同号：当＞1时，＞；＝1时，；＜1时，＜。
②异号：正数大于负数”来比较与的大小。
例5：比较的大小。
解：∵
＜
∴＜
例6：比较的大小。
解：∵＞1
∴＞
六、求倒数法
先求两数的倒数，而后再进行比较。
例7：比较的大小。
解：∵
＞
∴＜
七、运用媒介法
此法是借助中间量（定量或变量）巧妙转换达到直观比较的方法，类似于解方程中的换元法。
例8：已知，，试比较的大小。
解：设，
则，
∵＜，∴＜，即＜
八、设特定值法
如果要比较的二次根式中含有字母，为了快速比较，解答时可在许可的条件下设定特殊值来进行比较。
例9：比较与的大小。
解：设，则：
＝1，＝
∵＜1，∴＞
九、局部缩放法
如果要比较的二次根式一眼看不出有什么特点，又不准求近似值，可采取局部缩放法，以确定它们的取值范围，从而达到比较大小的目的。
例10：比较的大小。
解：设，
∵，7＜＜8，即7＜＜8
，8＜＜9，即8＜＜9
∴＜，即＜
例11：比较与的大小。
解：∵＞
∴＞
十、“结论”推理法
通过二次根式的不断学习，不难得出这样的结论：“＞（
＞＞0）”，利用此结论也可以比较一些二次根式的大小（结论证明见文末）。
例12：比较1与的大小。
解：∵，
由＞（＞＞0）可知：
＞
即＞
又∵＞
∴＞，即1＞
总的来说，比较二次根式大小的方法不仅仅局限于以上十种，除此之外诸如移项、拆项法，类比推理法，数形结合法，数轴法，还有假设推理法等等，但不管使用哪种方法，都必须在掌握二次根式的基本性质和运算法则上进行，要根据问题的特征，二次根式的结构特点，多角度地探索思考，做到具体问题具体分析，针对不同问题采取不同的策略，另外还应多做这方面的训练，方能达到熟练而又快捷，运用自如的程度。
附：“＞（＞＞0）”。
【典题新练】：
1、比较与的大小；
2、比较与的大小；
3、比较与的大小；
4、比较与的大小；
5、比较与的大小；
6、比较与的大小（其中为正整数）；
7、设，，试比较它们的大小；
8、比较与的大小；
9、比较与的大小；
10、比较与的大小；
11、比较与的大小；
12、比较的大小；
13、比较与的大小；
14、比较与的大小；
15、若为正整数，试比较的大小；
16、比较的大小；
17、比较与的大小。