北京市朝阳区高二上期末数学试题(理)(含答案)
2020-2021年北京市朝阳区高二数学上学期期末试题及答案
2020-2021年北京市朝阳区高二数学上学期期末试题及答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 圆的圆心C 的坐标为（ ） 22:210C x x y ++-=A. （1，0） B. （－1，0） C. （2，0） D. （－2，0）【答案】B2. 已知直线l 的方向向量为，平面α的法向量为，若，，则an (1,0,1)a =-- (1,0,1)n = 直线l 与平面α（ ） A. 垂直 B. 平行C. 相交但不垂直D. 位置关系无法确定【答案】A3. 双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）22126x y -=C.D. 【答案】B4. 如图，已知直线l 与圆相交于A ，B 两点，若平面向量，满足22:4O x y +=OA OB，则和的夹角为（ ）2OA OB ⋅=-OA OBA. 45°B. 90°C. 120°D. 150°【答案】C5. 光圈是一个用来控制光线透过镜头，进入机身内感光面的光量的装置.表达光圈的大小我们可以用光圈的F 值表示，光圈的F 值系列如下：F 1，F 1.4，F 2，F 2.8，F 4，F 5.6，F 8，…，F 64.光圈的F 值越小，表示在同一单位时间内进光量越多，而且上一级的进光量是下一级的2倍，如光圈从F 8调整到F 5.6，进光量是原来的2倍.若光圈从F 4调整到F 1.4，则单位时间内的进光量为原来的（ ） A. 2倍 B. 4倍C. 8倍D. 16倍【答案】C6. 过抛物线上的一点作其准线的垂线，垂足为，抛物线的焦点24y x =()()003,0A y y >B 为，直线在轴下方交抛物线于点，则（ ） F BF x E FE =A. 1 C. 3D. 4【答案】D7. 下列有四个说法：①若直线与抛物线相切，则直线与抛物线有且只有一个公共点： ②函数在定义域上单调递减； 1()f x x=③某质点沿直线运动，位移（单位：m ）与时间t （单位：s ）满足关系式则y 256y t =+1t s =时的瞬时速度是10 m/s ； ④设x ＞0，，，则在（0，＋∞）上函数的图象比的图象()ln f x x =1()1g x x=-()f x ()g x 要“陡峭”.其中正确的序号是（ ） A. ①③ B. ②③C. ①④D. ③④【答案】A8. 如图，将边长为4的正方形折成一个正四棱柱的侧面，则异面直线AK 和LM 所成角的大小为（ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】D9. 已知椭圆：，椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆C ()222210x y a b a b +=>>1F 2F P C上的任意一点，且满足，则椭圆离心率的取值范围是（ ） 120PF PF ⋅>A. B. C. D. 10,2⎛⎤⎥⎝⎦⎛⎝12⎛⎝⎤⎥⎦【答案】B10. 如图，在三棱锥O -ABC 中，三条侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA ，OB ，OC 的长分别为a ，b ，c . M 为△ABC 内部及其边界上的任意一点，点M 到平面OBC ，平面OAC ，平面OAB 的距离分别为a 0，b 0，c 0，则（ ） 000a b c a b c++=A.B.C. 1D. 21412【答案】C二、填空题：本大题共6小题每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.11. 只知两条直线，平行，则m 的值为______. 1:210l x y ++=2:20()l x my m R +=∈【答案】4解：两条直线，平行，则，得1:210l x y ++=2:20()l x my m R +=∈122m ⨯=⨯，4m =12. 等差数列满足，，则_________. {}n a 1212a a +=344a a +=56a a +=【答案】4-解：等差数列满足，，设公差为，则{}n a 1212a a +=344a a +=d ，()134248a a d a a ++-==-则， 563444a a a a d +=++=-13. 已知函数（a ∈R ），且，则a 的值为_________. ()sin f x x ax =+12f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭【答案】1解：对函数求导得，()cos f x x a '=+则，得. cos 122f a ππ⎛⎫'=+= ⎪⎝⎭1a =14. 如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD ＝60°.CD ＝CC 1＝1.则A 1C 与平面C 1BD _______（填“垂直”或“不垂直”）；A 1C 的长为_______.【答案】 ①. 垂直 ②解：设，，，由题意可得，CB a = CD b = 1CC c =1CA a b c =++ 则()()()2211CA BD CA CD CB a b c b a b a c b c a ⋅=⋅-=++⋅-=-+⋅-⋅ ，，同理可证， cos 60cos 600c b c a =⋅-⋅=1CA BD ∴⊥11CA BC ⊥，故平面．1BD BC B ⋂= 1CA ⊥1C BD ∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD ＝60°.CD ＝CC 1＝1，,11CD CB CC ∴===222221111()2()1112()6222CA a b c a b c a b b c a c ∴=++=+++⋅+⋅+⋅=+++++=,1CA →∴=即A 1C .故答案为：垂直；15. 2020年11月24日我国在中国文昌航天发射场，用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程“嫦娥五号”探测器，开启我国首次地外天体采样返回之旅.2004年，中国正式开展月球探测工程，并命名为“嫦娥工程”.2007年10月24日“嫦娥一号”成功发射升空，探月卫星运行到地月转移轨道之前在以地心为椭圆焦点的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个轨道飞行（如图所F 示），三个椭圆轨道的长半轴长、半焦距和离心率分别为，探月卫星沿三(),,1,2,3i i i a c e i =个椭圆轨道的飞行周期（环绕轨道一周的时间）分别为16小时，24小时和48小时，已知对于同一个中心天体的卫星，它们运动周期的平方与长半轴长的三次方之比是定值.现有以下命题：①；②；③；④.则以上112233a c a c a c -=-=-21a <31a =123e e e <<命题为真命题的是___________.（写出所有真命题的序号）【答案】①③④解：由题意知：三个椭圆轨道的近地点相同且都以地心为焦点， F ∴，故①正确，112233a c a c a c -=-=-，即，则且，故②错误，③3331232565762304a aa ==3331234936a a a ==211a >=31a =正确，∵若地球半径为，则， R 112233a c a c a c R -=-=-≈∴，，，故， 11c a R =-22c a R =-33c a R =-123123,11,1R R Re a a e e a =-=-=-由上知：，所以，故④正确. 321a a a >>123e e e <<故答案为：①③④16. 把正奇数列按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，则在第n （n ∈N *）组里有________个数；第9组中的所有数之和为________.【答案】 ①. ②. 2465 21n -解：第1组有1个数， 第2组有3个数， 第3组有5个数， ……第n 组有个数.()12121n n +-=-前8组的数字个数分别为1,3……15，共64项，第9组中的数字个数有2×9-1=17个， 设把正奇数列的前n 项和为，则第9组中的所有数之和：n S .()()81648181164641=81126412=246522S S ⎛⎫⎛⎫⨯-⨯--⨯+⨯-⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：；2465. 21n -三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证朋过程. 17. 已知函数()ln .f x x x =（1）求曲线在点（e ，）的切线方程； ()y f x =()f e （2）求函数的单调区间.()f x 【答案】（1）； （2）在单调递减，在单调递增． 2y x e =-1(0,e1(,)e+∞解：（1）由得， ()ln f x x x =()()ln 10f x x x '=+>所以切线斜率为 ()ln 12f e e '=+=切点坐标为，(,)e e 所以切线方程为，即； 2()y e x e -=-2y x e =-（2）， ()()ln 10f x x x '=+>令，得． ()0f x '=1=x e当时，；∴1(0,∈x e()0f x '<当时，，1(,)∈+∞x e()0f x '>∴在单调递减，在单调递增． ()ln f x x x =1(0,)e1(,)e+∞18. 已知圆，若直线与圆C 相交于A ，B 两点，且222:(0)C x y r r +=>1:20l x y -+=.AB =（I ）求圆C 的方程.（II ）请从条件①条件②这两个条件中选择一个作为点P 的坐标，求过点P 与圆C 相切的直线l 2的方程.①（2，－3）；②（1）.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【答案】（I ）；（II ）选①：或；选②：224x y +=512260x y ++=2x =.40x +-=解：（I ）设圆心到直线的距离为，则，即，1l d 222||2AB r d ⎛⎫-= ⎪⎝⎭222d r =-又， d ==24r ∴=故圆C 的方程为；224x y +=（II ）选①：当直线斜率不存在时，的方程为，恰好与圆相切，满足题意； 2l 2l 2x =当直线斜率存在时，设的方程为，即， 2l 2l 3(2)y k x +=-230kx y k ---=则圆心到直线，解得， 2l 2=512k =-此时直线的方程为，即， 2l 53(2)12y x +=--512260x y ++=综上，直线的方程为或； 2l 512260x y++=2x =选②，可得在圆上，即为切点，=所以直线的方程为，即. 2l 1)y x =-40x +-=19. 已知是各项均为正数的等比数列，.{}n a *31260,16,a a a n N -==∈（I ）求数列{a n }的通项公式； （II ）若数列{b n }的通项b n 满足，求{b n }的前n 项和S n 的最小值及取得最小值时92n b n a +=n 的值.【答案】（I ）；（II ）当时，取得最小值为 4nn a =4n =n S 16-解：（I ）设等比数列的公比为，且，{}n a q 0q >则，解得，23111216016a a a q a a a q ⎧-=-=⎨==⎩144a q =⎧⎨=⎩4n n a ∴=（II ），，92n b n a +=()22log 9log 4929n n n b a n ∴=-=-=-，()()2272984162n n n S n n n -+-∴==-=--则当时，取得最小值为. 4n =n S 16-20. 在如图所示的多面体中，且，，且//AD BC 2AD BC =AD CD ⊥//EG AD ，且，平面ABCD ，，M ，N 分EG AD =//CD FG 2CD FG =DG ⊥2DA DC DG ===别为棱的中点.,FC EG（I ）求点F 到直线EC 的距离；（II ）求平面BED 与平面EDC 夹角的余弦值；（III ）在棱GF 上是否存在一点Q ，使得平面MNQ //平而EDC ？若存在.指出点Q 的位置，若不存在，说明理由.【答案】（I ；（II ；（III ）不存在，证明见解析； 解：（I ）由平面ABCD 知，，，又， DG ⊥DG DC ⊥DG DA ⊥AD CD ⊥则建立以D 点为原点的空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，，，(0,0,0)D (2,0,0)A (0,2,0)C (0,0,2)G (2,0,2)E (0,1,2)F (1,2,0)B则，3(0,,1)2M (1,0,2)N ，，(2,2,2)CE →=-(2,1,0)EF →=-所以点F 到直线EC==（II ）由（I ）知，，， (1,2,0)DB →=(2,0,2)DE →=(0,2,0)DC →=设平面BED 的法向量为，(,,)m x y z →=则，令，则 20220m DB x y m DE x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1y =(2,1,2)m →=-设平面EDC 的法向量为，n (x,y,z)→=则，令，则 22020n DE x z n DC y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 1x =(1,0,1)n →=-故cos ,m nm n m n→→→→→→⋅<>===由图知，二面角B EDC --（III ）设GF 上存在一点Q ，设，(0,,2)Q λ[0,1]λ∈则，3(0,,1)2MQ λ→=-3(1,,1)2MN →=-设平面MNQ 的法向量为(,,)p x y z →=则，令，则 3023()02p MN x y z p MQ y z λ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩1y =3(,1,)2p λλ→=-若平面平面，则，//MNQ EDC //n p →→故不存在，即不存在点Q 使得平面平面 λ//MNQ EDC21. 在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，是动点，且xOy DE ())P 直线与的斜率之积等于. DP EP 13-（1）求动点的轨迹的方程；P C （2）设是曲线的左焦点，过点的直线与曲线相交于，两点，过，分别F C F l C A B A B 作直线的垂线与轴相交于，两点.若的斜率.l x M N MN =l 【答案】（1）；（2）. (2213x y x +=≠1k =±解：（1）设，则， (),P xy (13EP DP k k x =-≠所以可得动点P 的轨迹C 的方程为 (2213x y x +=≠（2）可得，设直线l 的方程为，()F (y k x =+()()1122,,,A x yB x y 联立可得 (2213y k x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩()222231630k x xk +++-=所以 2121226331k x x x x k -+==+因为过A ，B 分别作直线l 的垂线与x 轴相交于M ，N 两点所以 1AM BN k k k==-所以直线的方程为，令可得，同理可得AM ()111y y x x k -=--0y =11M x x ky =+22N x x ky =+所以()()21122121MN x ky x ky k x x =+--=+-=所以(21k +==解得，所以21k =1k =±。
北京市2022年高二上期末数学试卷(理科)含答案解析
高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每题5分共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知双曲线=1的一条渐近线方程为y=，则双曲线的焦距为（）A． B．2C．2 D．102．（5分）太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种互相转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被y=3sin x的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．3．（5分）将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a和b，则方程ax2+bx+1=0有实数解的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）如表是某单位1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：月份x1234用水量y45a7由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其回归方程是，则a等于（）A．6 B．6.05 C．6.2 D．5.955．（5分）下列四个命题：①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”②“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的必要不充分条件③若p∧q为假命题，则p，q均为假命题④对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，使得x2+x+1≥0．其中，错误的命题个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（5分）抛物线y=ax2的准线方程是y=﹣2，则a的值为（）A．4 B．8 C．D．7．（5分）某单位有若干名员工，现采用分层抽样的方式抽取n人去体检，若老、中、青人数之比为4：1：5，已知抽到10位中年人，则样本的容量为（）A．40 B．100 C．80 D．508．（5分）下列程序框图中，输出的A的值是（）A．B．C．D．9．（5分）若双曲线C1以椭圆C2：+=1的焦点为顶点，以椭圆C2长轴的端点为焦点，则双曲线C1的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=110．（5分）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列对立的两个事件是（）A．“至少1名男生”与“至少有1名是女生”B．“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”C．“至少1名男生”与“全是男生”D．“至少1名男生”与“全是女生”11．（5分）为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第1小组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是（）A．32 B．40 C．48 D．5612．（5分）设双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2c，过F2作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A，已知，|F2Q|＞|F2A|，点P是双曲线C右支上的动点，且|PF1|+|PQ|＞|恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B． C．D．二、填空题（每小题5分，共20分，.将答案填入答卷指定位置）.13．（5分）已知向量=（k，12，1），=（4，5，1），=（﹣k，10，1），且A、B、C三点共线，则k=．14．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的过焦点的弦为AB，且|AB|=9，x A+x B=6，则p=．15．（5分）某校开展“爱我漳州、爱我华安”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91．复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清．若记分员计算无误，则数字x应该是．16．（5分）设圆（x+1）2+y2=25的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为．三．解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤）17．（10分）已知集合Z={（x，y）|x∈[0，2]，y∈[﹣1，1]}．（1）若x，y∈Z，求x+y≥0的概率；（2）若x，y∈R，求x+y≥0的概率．18．（12分）命题p：；命题q：方程表示焦点在y轴上的椭圆．若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数m的取值范围．19．（12分）某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题．（1）求全班人数及分数在[80，90）之间的频数，并估计该班的平均分数；（2）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90，100]之间的概率．20．（12分）已知O为坐标原点，M是椭圆=1上的点，设动点P满足．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若直线l：y=x+m（m≠0）与曲线C相交于A，B两个不同点，求△OAB 面积的最大值．21．（12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．22．（12分）已知椭圆=1（a＞b＞0）过点，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过椭圆的上顶点作直线l交抛物线x2=2y于A、B两点，O为原点．①求证：OA⊥OB；②设OA、OB分别与椭圆相交于C、D两点，过原点O作直线CD的垂线OH，垂足为H，证明：|OH|为定值．高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知双曲线=1的一条渐近线方程为y=，则双曲线的焦距为（）A． B．2C．2 D．10【解答】解：曲线=1的一条渐近线方程为y=，可得：=，解得m=4，则b=2，a=3，∴c=．双曲线的焦距为2．故选：B．2．（5分）太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种互相转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被y=3sin x的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，大圆的直径为y=3sin x的周期，且T==12，面积为S=π•=36π，一个小圆的面积为S′=π•12=π，在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为：P===．故选：B．3．（5分）将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a和b，则方程ax2+bx+1=0有实数解的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a和b，基本事件总数n=6×6=36，∵方程ax2+bx+1=0有实数解，∴△=b2﹣4a≥0，∴方程ax2+bx+1=0有实数解包含的基本事件（a，b）有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，4），（4，5），（4，6），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共19个，∴方程ax2+bx+1=0有实数解的概率p=．故选：C．4．（5分）如表是某单位1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：月份x1234用水量y45a7由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其回归方程是，则a等于（）A．6 B．6.05 C．6.2 D．5.95【解答】解：∵=（1+2+3+4）=2.5，=（4+5+a+7）=4+∴4+=2.5+3.05，解得：a=6.2，故选：C．5．（5分）下列四个命题：①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”②“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的必要不充分条件③若p∧q为假命题，则p，q均为假命题④对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，使得x2+x+1≥0．其中，错误的命题个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，正确，②由x2﹣3x+2＞0得x＞2或x＜1，即“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件，故②错误，③若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故③错误，④对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，使得x2+x+1≥0．正确，故错误的个数为2个，故选：B6．（5分）抛物线y=ax2的准线方程是y=﹣2，则a的值为（）A．4 B．8 C．D．【解答】解：由抛物线y=ax2，得，由其准线方程为y=﹣2，可知抛物线开口向上，则a＞0．∴2p=，则．∴，得a=．故选：C．7．（5分）某单位有若干名员工，现采用分层抽样的方式抽取n人去体检，若老、中、青人数之比为4：1：5，已知抽到10位中年人，则样本的容量为（）A．40 B．100 C．80 D．50【解答】解：某单位有若干名员工，现采用分层抽样的方式抽取n人去体检，若老、中、青人数之比为4：1：5，已知抽到10位中年人，则10则，解得样本的容量n=100．故答案为：100．8．（5分）下列程序框图中，输出的A的值是（）A．B．C．D．【解答】解：由程序框图可得：A i第一次循环后2第二次循环后3第三次循环后4…观察规律可知A的值为，可得：第九次循环后10不满足条件i＜10，跳出循环．则输出的A为．故选：A．9．（5分）若双曲线C1以椭圆C2：+=1的焦点为顶点，以椭圆C2长轴的端点为焦点，则双曲线C1的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：根据题意，椭圆C2：+=1的焦点坐标为（0，±3），长轴的端点坐标为（0，±5），若双曲线C1以椭圆C2的焦点为顶点，以椭圆C2长轴的端点为焦点，则双曲线C1的焦点为（0，±5），顶点为（0，±3），则双曲线中c=5，a=3，则b2=c2﹣a2=16，则双曲线的方程为：﹣=1，故选：B．10．（5分）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列对立的两个事件是（）A．“至少1名男生”与“至少有1名是女生”B．“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”C．“至少1名男生”与“全是男生”D．“至少1名男生”与“全是女生”【解答】解：某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，在A中，“至少1名男生”与“至少有1名是女生”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；在B中，“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”是互斥不对立事件，故B错误；在C中，“至少1名男生”与“全是男生”能同时发生，不是互斥事件，故C错误；在D中，“至少1名男生”与“全是女生”是对立事件，故D正确．故选：D．11．（5分）为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第1小组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是（）A．32 B．40 C．48 D．56【解答】解：设第一小组的频率为a，由频率分布直方图，得：a+2a+3a+0.0375×5+0.0125×5=1，a=0.125．∵第1小组的频数为6，∴报考飞行员的学生人数为：=48．故选：C．12．（5分）设双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2c，过F2作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A，已知，|F2Q|＞|F2A|，点P是双曲线C右支上的动点，且|PF1|+|PQ|＞|恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B． C．D．【解答】解：令x=c代入双曲线的方程可得y=±b=±，由|F2Q|＞|F2A|，可得＞，即为3a2＞2b2=2（c2﹣a2），即有e=＜①又|PF1|+|PQ|＞|F1F2|恒成立，由双曲线的定义，可得2a+|PF2|+|PQ|＞3c恒成立，由F2，P，Q共线时，|PF2|+|PQ|取得最小值|F2Q|=，可得3c＜2a+，即有e=＜②由e＞1，结合①②可得，e的范围是（1，）．故选：B．二、填空题（每小题5分，共20分，.将答案填入答卷指定位置）.13．（5分）已知向量=（k，12，1），=（4，5，1），=（﹣k，10，1），且A、B、C三点共线，则k=．【解答】解：∵向量=（k，12，1），=（4，5，1），=（﹣k，10，1），∴=（4﹣k，﹣7，0），=（﹣2k，﹣2，0）．又A、B、C三点共线，∴存在实数λ使得，∴，解得．故答案为：﹣．14．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的过焦点的弦为AB，且|AB|=9，x A+x B=6，则p=3．【解答】解：如图，∵AB过焦点F，且|AB|=9，x A+x B=6，∴|AB|=x A+x B+p=6+p=9，即p=3．故答案为：3．15．（5分）某校开展“爱我漳州、爱我华安”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91．复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清．若记分员计算无误，则数字x应该是1．【解答】解：由题意知去掉一个最高分94和一个最低分88后，余下的7个数字的平均数是91，即×（89+89+92+93+90+x+92+91）=91，∴636+x=91×7=637，解得x=1．故答案为：1．16．（5分）设圆（x+1）2+y2=25的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为+=1．【解答】解：由圆的方程可知，圆心C（﹣1，0），半径等于5，设点M的坐标为（x，y ），∵AQ的垂直平分线交CQ于M，∴|MA|=|MQ|．又|MQ|+|MC|=半径5，∴|MC|+|MA|=5＞|AC|．依据椭圆的定义可得，点M的轨迹是以A、C 为焦点的椭圆，且2a=5，c=1，∴b=，故椭圆方程为+=1，即+=1．故答案为：三．解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤）17．（10分）已知集合Z={（x，y）|x∈[0，2]，y∈[﹣1，1]}．（1）若x，y∈Z，求x+y≥0的概率；（2）若x，y∈R，求x+y≥0的概率．【解答】解：（1）设“x+y≥0，x，y∈Z”为事件A，x，y∈Z，x∈[0，2]，即x=0，1，2；y∈[﹣1，1]，即y=﹣1，0，1．则基本事件有：（0，﹣1），（0，0），（0，1），（1，﹣1），（1，0），（1，1），（2，﹣1），（2，0），（2，1）共9个．其中满足“x+y≥0”的基本事件有8个，∴P（A）=．故x，y∈Z，x+y≥0的概率为．（2）设“x+y≥0，x，y∈R”为事件B，∵x∈[0，2]，y∈[﹣1，1]，则基本事件为如图四边形ABCD区域，事件B包括的区域为其中的阴影部分．基本事件如图四边形ABCD区域S=4，事件B包括的区域如阴影部分S′=S﹣=∴P（B）==．18．（12分）命题p：；命题q：方程表示焦点在y轴上的椭圆．若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数m的取值范围．【解答】解：命题p：∀x∈R，x2+mx+1≥0为真，∴△=m2﹣4≤0⇒﹣2≤m≤2…（2分）命题q为真，即方程是焦点在y轴上的椭圆，∴0＜m＜2…（4分）又∵“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，∴p是真命题且q是假命题，或p是假命题且q是真命题…（6分）∴或…（10分），∴m的取值范围是[﹣2，0]∪{2}…（12分）19．（12分）某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题．（1）求全班人数及分数在[80，90）之间的频数，并估计该班的平均分数；（2）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90，100]之间的概率．【解答】解：（1）由茎叶图知，分数在[50，60）之间的频数为2，频率为0.008×10=0.08，全班人数为；所以分数在[80，90）之间的频数为25﹣2﹣7﹣10﹣2=4，分数在[50，60）之间的总分为56+58=114；分数在[60，70）之间的总分为60×7+2+3+3+5+6+8+9=456；分数在[70，80）之间的总分数为70×10+1+2+3+3+4+5+6+7+8+9=747；分数在[80，90）之间的总分约为85×4=340；分数在[90，100]之间的总分数为95+98=193；所以，该班的平均分数为；（2）将[80，90）之间的4个分数编号为1，2，3，4，[90，100]之间的2个分数编号为5，6，在[80，100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15个，其中，至少有一个在[90，100]之间的基本事件有9个，∴至少有一份分数在[90，100]之间的概率是．20．（12分）已知O为坐标原点，M是椭圆=1上的点，设动点P满足．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若直线l：y=x+m（m≠0）与曲线C相交于A，B两个不同点，求△OAB 面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设点P（x，y），M（x1，y1），由．，得x=2x1，y=2y1，因为点M在椭圆圆=1上，所以，故，即动点P的轨迹C的方程为．（Ⅱ）由曲线C与直线l联立得，消y得3x2+4mx+2m2﹣8=0，因为直线l与曲线C交于A，B两点，所以△=16m2﹣4×3×（2m2﹣8）＞0，又m≠0，所以0＜m2＜12．设设A（x3，y3），B（x4，y4），则，，因为点O到直线A：x﹣y+m=0的距离d=，|AB|===，所以S×=，×=2，当且仅当m2=12﹣m2，即m2=6时取等号，所以△OAB面积的最大值为221．（12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．【解答】证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE．…（4分）解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，所以．由AD=3，可知，．则A（3，0，0），，，B（3，3，0），C（0，3，0），所以，．设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即．令，则=．因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．所以cos．因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…（8分）（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则．因为AM∥平面BEF，所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．此时，点M坐标为（2，2，0），即当时，AM∥平面BEF．…（12分）22．（12分）已知椭圆=1（a＞b＞0）过点，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过椭圆的上顶点作直线l交抛物线x2=2y于A、B两点，O为原点．①求证：OA⊥OB；②设OA、OB分别与椭圆相交于C、D两点，过原点O作直线CD的垂线OH，垂足为H，证明：|OH|为定值．【解答】解：（Ⅰ）∵e=，∴，则，又∵在椭圆上，∴，解得a=2，，∴椭圆的方程为；（Ⅱ）①证明：设A（x1，y1）、B（x2，y2），依题意，直线l一定有斜率k，l的方程为y=kx+2，联立方程，消去y得：x2﹣2kx﹣4=0，∴x1x2=﹣4，则，∴=x1x2+y1y2=﹣4+4=0，∴OA⊥OB；②证明：设C（x3，y3）、D（x4，y4），直线CD的方程为y=mx+n，∵OA⊥OB，∴OC⊥OD，则x3x4+y3y4=0．联立，消去y得：（3m2+4）x2+6mnx+3n2﹣12=0，∴，，∴．由，得7n2=12（1+m2），即|n|=，∵OH⊥CD，∴．∴|OH|为定值．。
北京市朝阳区2019-2020学年高二第一学期期末数学试题及答案
北京市朝阳区2019-2020学年度第一学期期末质量检测高二年级数学试卷 2020.1(考试时间120分钟 满分150分)本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分第一部分 （选择题 共50分）一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. 不等式(2)0x x -<的解集是（A ）{}02x x << （B ）{}0x x >（C ）{}2x x < （D ）{}02<<或x x x2. 已知1x ≥，则当4x x +取得最小值时，x 的值为 （A ）1（B ）2（C ）3（D ）43. 已知双曲线2221(0)16x y a a -=>的一个焦点为(5,0)，则a 的值为（A ）9（B ）6（C ）5（D ）34. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为，过1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，且2ABF 的周长为16，则椭圆C 的方程为 （A ）22184x y += （B ）221164x y += （C ）221816x y += （D ）221168x y +=5. 若向量,,a b c 不共面，则下列选项中三个向量不共面的是（A ）,,-+b c b b c （B ）,,a b c a b c +++ （C ）,,a b a b c +- （D ）,,a b a b a -+6.已知,m l 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列各组条件中能推出⊥m l 的所有序号是①,,αβαβ⊥⊥⊥m l ②,,αβαβ⊥∥∥m l③,,αβαβ⊂⊥∥m l ④,,αβαβ⊂⊥∥m l （A ）①②③（B ）①②（C ）②③④ （D ）③④7. 已知0>mn ，21+=m n ，则12+m n的最小值是 （A ）4（B ）6（C ）8（D ）168. 已知数列{}n a 和{}n b 满足=n n b a ，则“数列{}n a 为等比数列”是“数列{}n b 为等比数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件9. 经过双曲线2222:1(0,0)-=>>x y M a b a b的左焦点作倾斜角为60°的直线l ，若l 与双曲线M 的左支有两个不同的交点，则M 的离心率的取值范围是（A ）(2,)+∞（B ）(1,2) （C ）(1,（D ）)+∞10. 已知球O 的直径为3，,,,A B C D 是球O 上四个不同的点，且满足0⋅=AB AC ，0⋅=AC AD ，0⋅=AD AB ，分别用123,,S S S 表示,,ABC ACD ABD 的面积，则123++S S S 的最大值是（A ）14（B ）92（C ）9 （D ）18第二部分（非选择题 共100分）二.填空题:本大题共6小题,每空5分,共30分，答案写在答题卡上.11. 双曲线2214-=x y 的渐近线方程是________.12. 抛物线22=y x 的焦点坐标是________；准线方程是_________.13. 已知公比不为1的等比数列{}n a 满足12=a ，234+=a a ，则4=a _________. 14. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为________，面积最大的侧面的面积为________.15. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，其中一道题目的背景是这样的：把100片面包分给5个人，使每个人分得的面包数成等差数列，且使较大的三个数之和的17是较小的两个数之和，若将这5个数从小到大排列成递增的等差数列，则该数列的公差为_________.16. 不等式222()-≤-x y cx y x 对满足0>>x y 的任意实数,x y 恒成立，则实数c 的最大值是________.俯视图三.解答题:本大题共4小题,共70分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 17. （本小题满分16分）已知数列{}n a 是递增的等差数列，23=a ，且125,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2=+n n n b a ，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （Ⅲ）若12+=n n n c a a ，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求满足2425>n T 的n 的最小值.18. （本小题满分18分）如图，在四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面⊥PAD 平面ABCD .已知==PA PD AB ，090∠=APD .（Ⅰ）证明：∥AD平面PBC ； （Ⅱ）证明：⊥AB PD ；（Ⅲ）求二面角--A PB C 的余弦值.PDCBA19. （本小题满分18分）已知抛物线22(0)=>y px p 经过点(1,2). （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）过抛物线C 的焦点F 的直线l 交C 于,A B 两点，设O 为原点（ⅰ）当直线l 的斜率为1时，求∆AOB 的面积； （ⅱ）当3=FA FB 时，求直线l 的方程.20. （本小题满分18分）已知椭圆2222:10)+=>>（x y C a b a b ，直线20++=x y 经过椭圆C 的左焦点A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线:=+l y kx m （0≠k ）交椭圆C 于,M N 两点（,M N 不同于点A ）.过原点O 的一条直线与直线l 交于点P ，与直线,AM AN 分别交于点,D E .（ⅰ）当k MN 的最大值；（ⅱ）若=OD OE ，求证：点P 在一条定直线上.北京市朝阳区2019~2020学年度第一学期期末质量检测高二年级数学试卷 参考答案 2020．1三、解答题：（本题满分70分） 17．（本小题满分16分）解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d （0d >），由条件可得121113,(4)(),0,a d a a d a d d +=⎧⎪+=+⎨⎪>⎩解得11,2.a d =⎧⎨=⎩所以12(1)21n a n n =+-=-，*n ∈N ．…………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知2212n n n n b a n =+=-+，则12323121135(21)2222(121)222122 2.n nnn n S b b b b n n n n ++=++++=++++-++++++--=+-=+-所以数列{}n b 的前n 项和2122n n S n +=+-． (11)分（Ⅲ）因为122(21)(21)n n n c a a n n +==-+11,2121n n =--+ 所以1111121335212121n nT n n n =-+-++-=-++. 由2242125n n >+得12n >，又因为*n ∈N ， 所以满足2425n T >的n 的最小值为13. ……………………………………16分 18．（本小题满分18分）解：（Ⅰ）因为四边形ABCD 为矩形，所以AD BC ∥． 又因为BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，所以AD ∥平面PBC ． ……………………………………………………4分（Ⅱ）根据题意，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，因为AB平面ABCD ，且AB AD ⊥，所以AB ⊥平面PAD ． 又因为PD ⊂平面PAD ，所以AB PD ⊥． ……………………………………………………9分（Ⅲ）取AD 的中点为O ，取BC 的中点为E ，连接,OP OE ，则OE AD ⊥，又因为PA PD =，所以PO AD ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，分别以,,OA OE OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图． 不妨设2AB =，因为PA PD AB ==，90APD ∠=︒，所以2PA PD ==，2AD =，1OP =．所以(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(1,2,0)C -，(0,0,1)P ，(1,0,0)D -．所以(1,2,1)PB =-，(2,0,0)BC =-，(1,0,1)=--PD ．由（Ⅱ）可知，AB PD ⊥．因为90APD ∠=︒，所以⊥PA PD ．O xyz PA BC D E所以⊥PD 平面PAB ．所以PD 为平面PAB 的一个法向量． 设平面PBC 的一个法向量为(),,x y z =n ，则0,0,PB BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩n n即0,20.x z x ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩取1y =，得平面PBC的一个法向量为=n ．则cos ,3PD PD PD ⋅〈〉===-⋅n n n，由图可知，二面角--A PBC 为钝角， 所以二面角--A PB C 的余弦值是-…………………………………18分 19．（本小题满分18分）解：（Ⅰ）由抛物线22y px =过点(1,2)，得24p =．于是2p =，所以该抛物线的方程为24y x =，准线方程为1x =-．……………………………………………………………4分 （Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ．焦点F 的坐标为(10)，．（i ）由题可知，直线l 的方程为1y x =-．联立24,1,y x y x ⎧=⎨=-⎩得2440y y --=．由韦达定理可得12124,4.y y y y +=⎧⎨=-⎩因为||1OF =，1212||||||y y y y+=-，所以()121212111||||||||||||||2221||2OB OF O A A FBS S S OF y OF y OF y y y y =+=⋅+⋅=+=-===△△△所以AOB △的面积为 (10)分（ii ）易知直线l 的斜率存在且不为0，焦点坐标为(10)，， 设直线():1l y k x =-．联立()24,1,y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得2222(24)0k x k x k -++=．由韦达定理可得1221242,1.x x kx x ⎧+=+⎪⎨⎪=⎩①② 由题意，||3||FA FB =，因为,A B 分别到准线的距离等于,A B 到焦点F 的距离， 所以1213(1)x x +=+，即1232x x =+．③ 联立②③，解得1213,3x x ==，代入①得23k =，所以k = 所以直线l的方程为)1y x =-． …………………………………18分20．（本小题满分18分）解：（Ⅰ）设0(,0)A x ，因为点A 在直线20x y ++=上，所以020x +=，得02x =-，所以(2,0)A -． 所以2a =．又因为离心率c e a ==，所以c =1b =． 所以椭圆C 的方程为2214x y +=. ……………………………………5分 （Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ．（i）因为k =22,1,4y m x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y可得22)14x m ++=，即229440x m ++-=，由2161440m ∆=-+>得29m <．由韦达定理，2121244,.99m x x x x -+=-= 由弦长公式得||MN ===由于216144144m -+≤，所以||MN =≤=当且仅当0m =时，||MN. ……………………………11分 （ii ）若||||OD OE =，则O 为DE 的中点，所以0D E x x +=. 设直线0:DE y k x =，直线11:(2)2y AM y x x =++， 两个方程联立可得：101(2)2y x k x x +=+． 解得10112(2)D y x k x y =+-，同理20222.(2)E y x k x y =+- 所以12011022220,(2)(2)D E y y x x k x y k x y +=+=+-+-即0121202112(2)(2)0.k y x y y k y x y y +-++-=所以210102012122()20.y m y mk y k y k y y y y k k --⋅+⋅++-= 化简得：00120122(1)(2)()0.k mky y k y y k k-+-+=① 由22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得: 2222()44y m k y k -+=，即2222(14)240k y my m k +-+-=，11 / 11 由222244(14)(4)0m k m k ∆=-+->，得2214m k <+． 所以2212122224,.1414m m k y y y y k k -+==++ 代入①得到：2200022422(1)(2)0.1414k mk m k m k k k k k--+-=++ 所以2200()(4)(2)0,k k m k mk m k ----=即0(2)(22)0.m k k k k m ---=若2m k =，则直线l 过点A ，与已知不符合.又0k ≠，所以0220k k m --=.又由0:DE y k x =，联立:l y kx m =+，消去y 得：02P m x k k==-， 所以，点P 在定直线2x =上. ………………………………………………18分。
北京朝阳实验小学2022年高二数学理上学期期末试题含解析
北京朝阳实验小学2022年高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 等比数列的前项和，若，则（）A.11B.21C.－11D.－21参考答案：B2. （x+﹣2）5展开式中常数项为（）A．252 B．﹣252 C．160 D．﹣160参考答案：B【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】把所给的三项式变为二项式，利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中常数项．【解答】解：（x+﹣2）5的展开式的通项公式为T r+1=??（﹣2）r，0≤r≤5，对于，它的通项为?x5﹣r﹣2k，令5﹣r﹣2k=0，求得r+2k=5，0≤k≤5﹣r，故当r=1，k=2；或r=3，k=1，或r=5，k=0；可得展开式的常数项，故展开式中常数项为?（﹣2）?+?（﹣8）?+（﹣2）5=﹣60﹣160﹣32=﹣252，故答案为：B．3. 下列命题中：①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③垂直于同一直线的两直线平行；④垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有（）A、1B、2C、3 D、4参考答案：B略4. 已知p：-x2+8x+20≥0，q：x2－2x＋1－m2≤0（m＞0）．若“?p”是“?q”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．参考答案：解：p：，q：…………………4分∵“非p”是“非q”的充分不必要条件∴q是p的充分不必要条件…………………6分…………………10分∴实数m的取值范围为。
…………………12分略5. 已知数列为等比数列，若，则等于参考答案：C6. 已知集合，，则A∩B=（）A. {1}B. {2}C. {1,2}D. {1,2,3}参考答案：C【分析】根据交集的定义直接求解即可【详解】，直接求解得【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题7. 设，则A． B． C． D．参考答案：C8. 已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，圆M与线段MF 相交于点A，且被直线截得的弦长为，若，则p= （）A. 3B. 2C.D. 1参考答案：B【分析】根据所给条件画出示意图，用表示出、的长度，根据比值关系即可求得p的值。
北京市朝阳区高二数学上学期期末试卷 理(含解析)
北京市朝阳区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）椭圆+=1的离心率是（）A．B．C．D．2．（5分）已知两条不同的直线a，b和平面α，那么下列命题中的真命题是（）A．若a⊥b，b⊥α，则a∥αB．若a∥α，b∥α，则a∥bC．若a⊥α，b⊥α，则a∥b D．若a∥b，b∥α，则a∥α3．（5分）直线截圆x2+y2=4所得劣弧所对圆心角为（）A．B．C．D．4．（5分）已知a，b是两条不同的直线，且b⊂平面α，则“a⊥b”是“a⊥α”的（）A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知抛物线x2=4y上的一点M到此抛物线的焦点的距离为3，则点M的纵坐标是（）A．0 B．C．26．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）A．2 B．4 C．8 D．127．（5分）已知双曲线M的焦点与椭圆+=1的焦点相同．如果直线y=﹣x是M的一条渐近线，那么M的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=18．（5分）给出如下四个命题：①已知p，q都是命题，若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；②命题“若a＞b，则3a＞3b﹣1”的否命题为“若a≤b，则3a≤3b﹣1”；③命题“对任意x∈R，x2+1≥0”的否定是“存在x0∈R，x02+1＜0”；④“a≥0”是“∃x∈R，使得ax2+x+1≥0”的充分必要条件．其中正确命题的序号是（）A．①③B．②③C．②③④D．②④9．（5分）已知点A的坐标为（1，0），点P（x，y）（x≠1）为圆（x﹣2）2+y2=1上的任意一点，设直线AP的倾斜角为θ，若|AP|=d，则函数d=f（θ）的大致图象是（）A．B．C．D．10．（5分）已知E，F分别为正方体ABCD﹣A1B1C1D的棱AB，AA1上的点，且AE=AB，AF=AA1，M，N分别为线段D1E和线段C1F上的点，则与平面ABCD平行的直线MN有（）A．1条B．3条C．6条D．无数条二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，答案写在答题卡上.11．（5分）在空间直角坐标系中，点（4，﹣1，2）与原点的距离是．12．（5分）以椭圆的右焦点为焦点，且顶点在原点的抛物线标准方程为．13．（5分）已知F1，F2是椭圆C：+=1的两个焦点，过F1的直线与椭圆C交于M，N两点，则△F2MN的周长为．14．（5分）如图，某三棱柱的正视图中的实线部分是边长为4的正方形，俯视图是等边三角形，则该三棱柱的侧视图的面积为．15．（5分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，抛物线C上的两点A，B满足=2．若点T（﹣，0），则的值为．16．（5分）已知等边△ABC的边长为2，沿△ABC的高AD将△BAD折起到△B′AD，使得B′C=，则此时四面体B′﹣ADC的体积为，该四面体外接球的表面积为．三、解答题：本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，侧棱DD1⊥平面ABCD，且AD=AA1=1，AB=2．（Ⅰ）求证：平面BCD1⊥平面DCC1D1；（Ⅱ）求异面直线CD1与A1D所成角的余弦值．18．（10分）在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=，点E 在棱PD上，且PE：ED=2：1．（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角P﹣AE﹣C的余弦值；（Ⅲ）在棱PC上是否存在点F，使得BF∥平面AEC？若存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由．19．（10分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，3），设圆C的半径为，且圆心C 在直线l：y=2x﹣4上．（Ⅰ）若圆心C又在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求此切线的方程；（Ⅱ）若圆C上存在点M，使得|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标的取值范围．20．（10分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其短轴的一个端点到它的左焦点距离为2，直线l：y=kx与椭圆C交于M，N两点，P为椭圆C上异于M，N的点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线PM，PN的斜率都存在，判断PM，PN的斜率之积是否为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由；（Ⅲ）求△PMN面积的最大值．北京市朝阳区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）椭圆+=1的离心率是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由椭圆+=1，可得a2=25，b2=16，利用c2=a2﹣b2可得c，再利用离心率计算公式即可得出．解答：解：由椭圆+=1，可得a2=25，b2=16，∴a=5，c2=a2﹣b2=9，解得c=3．∴椭圆的离心率e==．故选：A．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（5分）已知两条不同的直线a，b和平面α，那么下列命题中的真命题是（）A．若a⊥b，b⊥α，则a∥αB．若a∥α，b∥α，则a∥bC．若a⊥α，b⊥α，则a∥b D．若a∥b，b∥α，则a∥α考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用线面垂直的性质以及线面平行即垂直的判定定理解答．解答：解：对于A，若a⊥b，b⊥α，那么a∥α或者a⊂α，故A错误；对于B，若a∥α，b∥α，则a，b可能平行、相交或者异面；故B错误；对于C，如果a⊥α，b⊥α，则a∥b，正确；对于D，若a∥b，b∥α，则a∥α或者a⊂α，故D错误；故选C．点评：本题考查了线面垂直、线面平行的性质、直线平行的性质，熟练运用定理是关键．3．（5分）直线截圆x2+y2=4所得劣弧所对圆心角为（）A．B．C．D．考点：直线与圆的位置关系．分析：先解劣弧所对圆心角的一半，就是利用弦心距和半径之比求之．解答：解：圆到直线的距离为：=1，又因为半径是2，设劣弧所对圆心角的一半为α，cosα=0.5，∴α=60°，劣弧所对圆心角为120°．故选 D．点评：直线与圆的关系中，弦心距、半径、弦长的关系，是2015届高考考点，本题是基础题．4．（5分）已知a，b是两条不同的直线，且b⊂平面α，则“a⊥b”是“a⊥α”的（）A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义分别判断其充分性和必要性即可．解答：解：若a⊥b，则a不一定垂直于α，不是充分条件，若a⊥α，则a⊥b，是必要条件，故选：B．点评：本题考查了充分必要条件，考查了直线和平面的判定定理，是一道基础题．5．（5分）已知抛物线x2=4y上的一点M到此抛物线的焦点的距离为3，则点M的纵坐标是（）A．0 B．C．2考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求得抛物线x2=4y的焦点为（0，1），准线方程为y=﹣1，设M（m，n），则由抛物线的定义可得，可得n+1=3，即可求得点M的纵坐标．解答：解：抛物线x2=4y的焦点为（0，1），准线方程为y=﹣1，设M（m，n），则由抛物线的定义可得，M到此抛物线的焦点的距离即为M到准线的距离，即有n+1=3，解得n=2．故选C．点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义法的运用，以及准线方程的运用，属于基础题．6．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）A．2 B．4 C．8 D．12考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据三视图判断几何体由两部分组成，左边部分是四棱锥，且四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为2；右边部分是三棱锥，且三棱锥的高为2，底面是直角边长为2的等腰直角三角形，把数据代入棱锥的体积公式计算．解答：解：由三视图知几何体的左边部分是四棱锥，且四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为2；几何体的右边部分是三棱锥，且三棱锥的高为2，底面是直角边长为2的等腰直角三角形，其直观图如图：∴几何体的体积V=×22×2+××2×2×2=4．故选：B点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量是解答本题的关键．7．（5分）已知双曲线M的焦点与椭圆+=1的焦点相同．如果直线y=﹣x是M的一条渐近线，那么M的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意可设双曲线的标准方程为，由直线y=﹣x是M 的一条渐近线，可得=．由椭圆+=1的焦点为（±3，0），可得c=3，再利用c2=a2+b2，解出即可．解答：解：由题意可设双曲线的标准方程为，∵直线y=﹣x是M的一条渐近线，∴=．椭圆+=1的焦点为（±3，0），∴c=3，联立，解得a2=3，b2=6．∴M的方程为：．故选：C．点评：本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质等基础知识与基本技能，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（5分）给出如下四个命题：①已知p，q都是命题，若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；②命题“若a＞b，则3a＞3b﹣1”的否命题为“若a≤b，则3a≤3b﹣1”；③命题“对任意x∈R，x2+1≥0”的否定是“存在x0∈R，x02+1＜0”；④“a≥0”是“∃x∈R，使得ax2+x+1≥0”的充分必要条件．其中正确命题的序号是（）A．①③B．②③C．②③④D．②④考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：①根据复合命题之间的关系进行判断；②根据否命题的定义进行判断”；③根据全称命题的否定是特称命题进行判断；④根据充分条件和必要条件的定义进行判断．解答：解：①已知p，q都是命题，若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故①错误；②命题“若a＞b，则3a＞3b﹣1”的否命题为“若a≤b，则3a≤3b﹣1”；故②正确，③命题“对任意x∈R，x2+1≥0”的否定是“存在x0∈R，x02+1＜0”；故③正确，④若a＜0，则判别式△=1﹣4a＜0，此时ax2+x+1≥0有解，即“a≥0”是“∃x∈R，使得ax2+x+1≥0”的充分必要条件错误，故④错误，故正确的命题为②③，故选：B点评：本题主要考查命题的真假判断，根据复合命题，四种命题之间的关系以及含有量词的命题的否定，充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．9．（5分）已知点A的坐标为（1，0），点P（x，y）（x≠1）为圆（x﹣2）2+y2=1上的任意一点，设直线AP的倾斜角为θ，若|AP|=d，则函数d=f（θ）的大致图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．分析：分两种情况考虑，当直线OP过第一象限与当直线OP过第四象限，画出函数图象，即可得到结果．解答：解：当直线OP过第一象限时，如图：由于AB为直径，故θ=，得到d=f（θ）=2cosθ（0≤θ＜），当直线OP过第四象限时，同理可得到d=f（π﹣θ）=2cos（π﹣θ）=﹣2cosθ（＜θ≤π），函数d=f（θ）的大致图象：故选：D．点评：此题考查了圆的标准方程，利用了数形结合的思想，弄清题意是解本题的关键．10．（5分）已知E，F分别为正方体ABCD﹣A1B1C1D的棱AB，AA1上的点，且AE=AB，AF=AA1，M，N分别为线段D1E和线段C1F上的点，则与平面ABCD平行的直线MN有（）A．1条B．3条C．6条D．无数条考点：直线与平面平行的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：取BH=BB1，连接FH，在D1E上任取一点M，过M在面D1HE中，作MG平行于HO，其中O满足线段OE=D1E，再过G作GN∥FH，交C1F于N，连接MN，根据线面平行的判定定理，得到GM∥平面ABCD，NG∥平面ABCD，再根据面面平行的判断定理得到平面MNG∥平面ABCD，由面面平行的性质得到则MN∥平面ABCD，由于M是任意的，故MN有无数条．解答：解：取BH=BB1，连接FH，则FH∥C1D连接HE，在D1E上任取一点M，过M在面D1HE中，作M G∥HO，交D1H于G，其中O为线段OE=D1E再过G作GN∥FH，交C1F于N，连接MN，由于GM∥HO，HO∥KB，KB⊂平面ABCD，GM⊄平面ABCD，所以GM∥平面ABCD，同理由NG∥FH，可推得NG∥平面ABCD，由面面平行的判定定理得，平面MNG∥平面ABCD，则MN∥平面ABCD．由于M为D1E上任一点，故这样的直线MN有无数条．故选D．点评：本题考查空间直线与平面的位置关系，主要是直线与平面平行的判断和面面平行的判定与性质，考查空间想象能力和简单推理能力．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，答案写在答题卡上.11．（5分）在空间直角坐标系中，点（4，﹣1，2）与原点的距离是．考点：空间两点间的距离公式．专题：空间位置关系与距离．分析：根据空间两点间的距离公式进行求解即可．解答：解：根据两点间的距离公式得点（4，﹣1，2）与原点的距离是==，故答案为：点评：本题主要考查空间两点间的距离公式的计算，比较基础．12．（5分）以椭圆的右焦点为焦点，且顶点在原点的抛物线标准方程为y2=4x．考点：抛物线的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：依题意，可求得椭圆+y2=1的右焦点，利用抛物线的简单性质即可求得答案．解答：解：∵椭圆+y2=1的右焦点F（，0），∴以F（，0）为焦点，顶点在原点的抛物线标准方程为y2=4x．故答案为：y2=4x．点评：本题考查抛物线的标准方程，考查椭圆与抛物线的简单性质，属于中档题．13．（5分）已知F1，F2是椭圆C：+=1的两个焦点，过F1的直线与椭圆C交于M，N两点，则△F2MN的周长为8．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用椭圆的定义可知|F1M|+|F2M|和|F1N|+|F2N|的值，进而把四段距离相加即可求得答案．解答：解：利用椭圆的定义可知，|F1M|+|F2M|=2a=4，|F1N|+|F2N|=2a=4，∴△MNF2的周长为|F1M|+|F2M|+F1N|+|F2N|=4+4=8．故答案为：8．点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．解题的关键是利用椭圆的定义．14．（5分）如图，某三棱柱的正视图中的实线部分是边长为4的正方形，俯视图是等边三角形，则该三棱柱的侧视图的面积为8．考点：简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：由正视图与俯视图可知：该三棱柱是直三棱柱、高与底边边长都为4．即可得出．解答：解：由正视图与俯视图可知：该三棱柱是直三棱柱、高与底边边长都为4．∴该三棱柱的侧视图的面积=8．故答案为：8．点评：本题考查了正三棱柱的三视图及其侧面积，属于基础题．15．（5分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，抛物线C上的两点A，B满足=2．若点T（﹣，0），则的值为2．考点：抛物线的简单性质．专题：平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设A（，m），B（，n），y2=2x的焦点为F（，0），求得向量AF，FB的坐标，运用向量共线的坐标表示，解方程可得m，n，进而得到A，B的坐标，再由两点的距离公式计算即可得到．解答：解：设A（，m），B（，n），y2=2x的焦点为F（，0），=（﹣，﹣m），=（﹣，n），由=2，则有m=﹣2n，m2+2n2=3，解得m=﹣，n=，或m=，n=﹣，即有A（1，﹣），B（，）或A（1，），B（，﹣）．|TA|==，|TB|==．则的值为2．故答案为：2．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的方程的运用，同时考查向量共线的坐标表示和两点的距离公式的运用，属于中档题．16．（5分）已知等边△ABC的边长为2，沿△ABC的高AD将△BAD折起到△B′AD，使得B′C=，则此时四面体B′﹣ADC的体积为，该四面体外接球的表面积为π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离；球．分析：由题意可得，三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，可得AD⊥底面BCD，由三棱锥的体积公式计算即可得到；它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的体积即可．解答：解：根据题意可知三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，由BD=CD=1，B′C=，则底面是等腰直角三角形，则AD⊥底面BCD，AD=，即有四面体B′﹣ADC的体积为××1×1=；它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，三棱柱ABC﹣A1B1C1的中，底面边长为1，1，，由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心为O，外接球的半径为r，球心到底面的距离为，底面中心到底面三角形的顶点的距离为，∴球的半径为r==．四面体ABCD外接球体积为：r3=×（）3=π．故答案为：，π．点评：本题考查线面垂直的判定定理和三棱锥的体积公式和球的体积公式的运用，同时考查空间想象能力，计算能力；三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，是本题解题的关键，仔细观察和分析题意，是解好数学题目的前提．三、解答题：本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，侧棱DD1⊥平面ABCD，且AD=AA1=1，AB=2．（Ⅰ）求证：平面BCD1⊥平面DCC1D1；（Ⅱ）求异面直线CD1与A1D所成角的余弦值．考点：异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）由线面垂直得DD1⊥BC，由矩形性质得DC⊥BC．由此能证明BC⊥平面DCC1D1，从而得到平面BCD1⊥平面DCC1D1．（Ⅱ）取DA，DC，DD1所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，由=，利用向量法能求出异面直线CD1与A1D所成角的余弦值．解答：（本题满分10分）（Ⅰ）证明：在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，∴DD1⊥BC．…（2分）∵底面ABCD是矩形，所以DC⊥BC．又DD1∩DC=D，∴BC⊥平面DCC1D1．又BC⊂面BCD1，∴平面BCD1⊥平面DCC1D1．…（5分）（Ⅱ）解：取DA，DC，DD1所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，如图所示，∵AD=AA1=1，AB=2，则D（0，0，0），C（0，2，0），D1（0，0，1），A1（1，0，1），…（7分）∵=（0，﹣2，1），=（1，0，1），∴===．…（9分）∴异面直线CD1与A1D所成角的余弦值是．…（10分）点评：本题考查面面垂直的证明，考查异面直线所成角的求法，是中档题题，解题时要注意线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用，注意空间思维能力的培养．18．（10分）在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=，点E 在棱PD上，且PE：ED=2：1．（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角P﹣AE﹣C的余弦值；（Ⅲ）在棱PC上是否存在点F，使得BF∥平面AEC？若存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角P﹣AE﹣C的余弦值；（Ⅲ）利用向量法，结合线面平行的判定定理进行求解即可．解答：证明：（Ⅰ）因为底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°，所以△ABC是等边三角形，所以AB=AD=AC=PA=1．在△PAB中，PA=AB=1，PB=，所以PB2=PA2+AB2，即PA⊥AB．同理可证PA⊥AD，且AB∩AD=A，所以PA⊥平面ABCD．…（3分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知PA⊥平面ABCD，取CD中点G，连接AG．由已知条件易知AB⊥AG，如图以A为原点建立空间直角坐标系．…（4分）因为PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAD，所以平面ABCD⊥平面PAD．平面ABCD∩平面PAD=AD，取AD中点H，连接HC，则HC⊥AD．所以HC⊥平面PAD．所以是平面PAD的法向量，也是平面PAE的法向量．A（0，0，0），D（﹣，，0），H（，，0），C（，，0），E（，，），P（0，0，1），B（1，0，0），=（，，0），=（，，0），=（，，），…（5分）设平面AEC的法向量为=（x，y，z），所以，则，令x=，则=（，﹣1，2），…（6分）所以cos＜，＞===．由图可知，二面角P﹣AE﹣C的平面角为钝角，所以其余弦值为﹣．…（7分）（ III）存在，点F是棱PC的中点．设=λ=λ（，，﹣1），…（8分）则==（﹣1，0，1）+λ（，，﹣1）=（﹣1+λ，λ，1﹣λ），由（ II）知平面AEC的法向量为=（，﹣1，2）．由已题知BF∥平面AEC，等价于，即（﹣1+λ，λ，1﹣λ）•（，﹣1，2）=（﹣1+）λ+2（1﹣λ）=0．解得．…（9分），所以点F是棱PC的中点．…（10分）点评：本题主要考查线面平行和垂直的判定，以及二面角的求解，建立空间坐标系，利用向量法是解决二面角的常用方法．考查学生的运算和推理能力．19．（10分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，3），设圆C的半径为，且圆心C在直线l：y=2x﹣4上．（Ⅰ）若圆心C又在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求此切线的方程；（Ⅱ）若圆C上存在点M，使得|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标的取值范围．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）联立两直线方程求得圆心C的坐标，则圆的方程可得，设出切线方程，利用点到直线的距离求得k，则直线的方程可得．（Ⅱ）设出圆心C的坐标，表示出圆的方程，进而根据|MA|=2|MO|，设出M，利用等式关系整理求得M的轨迹方程，进而判断出点M应该既在圆C上又在圆D上，且圆C和圆D有交点．进而确定不等式关系求得a的范围．解答：M解：（Ⅰ）由得圆心C为（3，2），因为圆C的半径为1，所以圆C的方程为：（x﹣3）2+（y﹣2）2=1．显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为y=kx+3，即kx﹣y+3=0．所以=1，解得k=0或﹣．则所求圆C的切线方程为：y=3或3x+4y﹣12=0．（Ⅱ）因为圆C的圆心在直线y=2x﹣4上，所以设圆心C为（a，2a﹣4），则圆C的方程为：（x﹣a）2+[y﹣（2a﹣4）]2=1．又|MA|=2|MO|，设m为（x，y），则=2．整理得：x2+（y+1）2=4，设该方程对应的圆为D，所以点M应该既在圆C上又在圆D上，且圆C和圆D有交点．则|2﹣1|≤≤|2+1|．由5a2﹣12a+8≥0，得a∈R．由5a2﹣12a≤0得0≤a≤．所以圆心C的横坐标的取值范围为[0，]．点评：本题主要考查了直线与圆的方程的应用．考查了学生的分析推理和基本的运算能力．20．（10分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其短轴的一个端点到它的左焦点距离为2，直线l：y=kx与椭圆C交于M，N两点，P为椭圆C上异于M，N的点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线PM，PN的斜率都存在，判断PM，PN的斜率之积是否为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由；（Ⅲ）求△PMN面积的最大值．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由已知，=，且a=2，所以c=1，b=，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线PM，PN的斜率都存在，利用点差法，即可得出PM，PN的斜率之积是定值；（Ⅲ）求出点P到直线l：y=kx的距离最大值，|MN|，即可求△PMN面积的最大值．解答：解：（Ⅰ）由已知，=，且a=2，所以c=1，b=．所以椭圆C的方程为．…（3分）（Ⅱ）设P（x0，y0），M（x1，y1），n（﹣x1，﹣y1），则M，P的坐标代入椭圆方程，两式作差得=﹣．所以，当PM，PN的斜率都存在时，PM，PN的斜率之积是定值﹣．…（6分）（Ⅲ）过点P作与平行且与椭圆的相切的直线，设切线方程为y=kx+t，代入椭圆方程，得（3k2+4）x2+8ktx+4t2﹣12=0．令△=0，得|t|=．…（8分）这时，直线y=kx+t与直线l：y=kx的距离就是点P到直线l：y=kx的距离最大值．所以，点P到直线l：y=kx的距离最大值d=．又由y=kx与椭圆方程，解得|x1|=．所以|MN|=2|x1|=．所以，△PMN面积的最大值为=2…（10分）点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
北京市朝阳区2017-2018学年高二上学期期末考试数学理试题(有答案)
北京市朝阳区2017~2018学年度第一学期期末质量检测 高二年级数学理科试卷 2018.1（考试时间100分钟 满分 120分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 命题“x ∀∈R ，sin 0x x +>”的否定是A. x ∀∈R ，sin 0x x +≤B. 0x ∃∈R ，00sin 0x x +≤C. 0x ∃∈R ，00sin 0x x +>D. x ∀∈R ，sin 0x x +≥2.设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题为假命题．．．的是 A. 若//αβ，m α⊥，//n β，则m n ⊥ B. 若αβ⊥，αγ⊥，则//βγ C. 若//αβ，m α⊂，则//m β D. 若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n ⊥ 3．“3a =”是“直线40x y -+=与圆()()2238x a y -+-=相切”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 如图，在三棱锥P ABC -中，D ，E ，F 分别是侧棱PA ，PB ，PC 的中点. 给出下列三个结论：①//BC 平面DEF ；②平面//DEF 平面ABC ；③三棱锥P DEF -与三棱锥P ABC -的体积比为1:4．其中正确的个数是A. 0B. 1C. 2D. 35.已知圆1O ：224240x y x y +-++=，圆2O ：22(1)4x y -+=，则两圆的位置关系为 A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切6. 已知如图为某三棱锥的三视图，则该三棱锥的表面积为A. 1B.C. 3D. 37. 设F 是抛物线C ：28y x =的焦点，P 是抛物线C 上一点，点M 在抛物线C 的准线上，若4FM FP =，则直线FP 的方程为A. 2)y x =±-B.(2)y x =±-C. 2)y x =-D.(2)y x =- 8. 已知点(1,0)P -，过点(1,0)Q 作直线2()20ax a b y b +++=(a ，b 不同时为0)的垂线，垂足为H ，则PH 的最小值为A.B. 1C. 1D. 二、填空题：本大题共6小题,每小题5分，共30分，答案写在答题卡上.9. 在空间直角坐标系O xyz -中，点(1,2,3)P 关于平面xOz 对称的点的坐标为 ． 10. 若直线3450x y -+=与圆222(0)x y r r +=>相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且120AOB ︒∠=，则r 的值为 ．11. 设双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的—个焦点为F ，虚轴的—个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为_______.12. 如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1， E ，F ，K 分别为棱11A D ，1CC 和BC 的中点，则三棱锥1K EFB -的体积为 ．13. 已知平面内圆心为M 的圆的方程为22(3)16x y -+=，点P 一点，若线段PA 的垂直平分线交直线PM 于点Q ，则点Q 的轨迹可能是 ．（请将下列符合条件的序号都填入横线上）①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点.14．设平面内到点(1,0)和直线1x =-的距离相等的点的轨迹为曲线C ，则曲线C 的方程为 ；若直线l 与曲线C 相交于不同两点P ，Q ，与圆()()22230x y r r -+=>相切于点T ，且T 为线段PQ 的中点．在r 的变化过程中，满足条件的直线l 有n 条，则n 的所有可能值为 ．三、解答题：本大题共4小题，共50分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．1A15. （本小题满分11分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ． （Ⅰ）求证：CP BD ⊥；（Ⅱ）若E ，T 分别为线段PA ，BC 的中点，求证：//BE 平面PDT ．16. （本小题满分11分）在平面直角坐标系xOy 中，设动点P 到两定点(2,0)M -，(1,0)N 的距离的比值为2的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）若直线l 过点M ，且点N 到直线l 的距离为1，求直线l 的方程，并判断直线l 与曲线C 的位置关系．17. （本小题满分14分）如图1，在M B C △中，24BM BC ==，BM BC ⊥，A ，D 分别为BM ，MC 的中点．将MAD △沿AD 折起到PAD △的位置，使90PAB ∠= ，如图2，连结PB ，PC ． （Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若E 为PC 中点，求直线DE 与平面PBD 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段PC 上是否存在一点G ，使二面角G AD P --PGPC的值；若不存在，请说明理由．18. （本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ．过定点(0,2)P 的直线l 交椭圆C 于不同的两点A ，B （点B 在点A ，P 之间）． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若PB PA λ=，求实数λ的取值范围；（Ⅲ）若射线BO 交椭圆C 于点M （O 为原点），求ABM △面积的最大值．北京市朝阳区2017~2018学年度第一学期期末质量检测高二年级数学学科（理科）参考答案 2018.1一、选择题：本大题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.二、填空题：本大题共6小题,每小题5分，共30分，答案写在答题卡上.三、解答题：本大题共4小题，共50分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15） （本小题满分11分）（Ⅰ）证明：连结AC ，因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥． 因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA BD ⊥．又因为AC PA A = ，所以BD ⊥平面PAC ．故CP BD ⊥． ………………… 5分 （Ⅱ）证明：取PD 中点F ,连结EF ，TF ．又因为E 为线段PA 中点，所以//EF AD ，1=2EF AD ．因为四边形ABCD 为菱形，T 为线段BC 的中点，所以//BT AD ，1=2BT AD ． 所以//EF BT，=EF BT ．故四边形BEFT 为平行四边形，所以//BE FT ． 又因为BE ⊄平面PDT ，FT ⊂平面PDT ，所以//BE 平面PDT ． ………………… 11分（16）（本小题满分11分）解：（Ⅰ）设(,)P x y 为所求曲线C 上任意一点，DTPB由题意得，2PM PN=．又(2,0)M -，(1,0)N ，22(2)4x y -+=．故曲线C 的方程为22(2)4x y -+=． ………………… 5分 （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时,不符合题意． 设直线l 的方程为(2)y k x =+, 因为点N 到直线l 的距离为1,1=,解得k =所以直线l的方程为2)y x =+,即20x ±+=．因为圆心C 到直线l 的距离为423<(半径), 所以直线l 与曲线C 相交． ………………… 11分（17）（本小题满分14分）（Ⅰ）证法一：因为A ，D 分别为MB ，MC 中点，所以AD //BC ．因为BM BC ⊥，所以BM AD ⊥．所以PA AD ⊥． 因为90PAB ∠=︒，所以PA AB ⊥．又因为AB AD =A ，所以PA ⊥平面ABCD ．又因为PA ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ．证法二：因为A ，D 分别为MB ，MC 中点，所以AD //BC ．因为BM BC ⊥，所以BM AD ⊥．所以PA AD ⊥，AB AD ⊥． 所以PAB ∠为二面角P AD B --的平面角．因为90PAB ∠=︒，所以二面角P AD B --为直二面角，即平面PAD ⊥平面ABCD ． ………………… 4分（Ⅱ）解： 因为PA AB ⊥，PA AD ⊥，90PAB ∠=︒，所以AP ，AB ，AD 两两互相垂直．以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，依题意有(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,1,0)D ，(0,0,2)P ，(1,1,1)E ．则(2,2,2)PC =- ，(1,0,1)DE = ，(2,1,0)BD =- ，(2,0,2)BP =-，(2,2,0)AC = ，(2,0,0)AB =．设平面PBD 的一个法向量111(,,)x y z =n ，DCBP (M )A E则有0,0,BD BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即111120,220,x y x z -+=⎧⎨-+=⎩令12y =得11x =，11z =．所以=(1,2,1)n ． 设直线DE 与平面PBD 所成角为θ，则sin cos ,DE θ=<>==n 故直线DE 与平面PBD． ………………… 9分 （Ⅲ）解：假设线段PC 上存在一点G ，使二面角G AD P --设000(,,)G x y z ，(01)PGPCλλ=≤≤，则(01)PG PC λλ= ≤≤，即000(,,2)(2,2,2)PG x y z PC λλλλ=-==-．所以(2,2,22)G λλλ-，(0,1,0)AD = ，(2,2,22)AG λλλ=-.易得平面PAD 的一个法向量为1(1,0,0)=n ．设平面ADG 的一个法向量2222(,,)x y z =n ，则有220,0,AD AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 即22220,22(22)0y x y z λλλ=⎧⎨++-=⎩．令2z λ=，则2(1,0,)λλ=-n ．若二面角G AD P --则有121212cos ,⋅<>==n n n n n n=， 解得，112λ=-，214λ=．又因为01λ≤≤，所以14λ=．故线段PC 上存在一点G ，使二面角G AD P --14PG PC =． ……… 14分（18） （本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为(0)c c >，由题意，1c =，又因c e a ==a = 由222b ac =-，解得21b =．故椭圆C 的方程为2212x y +=． ………………… 4分（Ⅱ）当直线l 斜率不存在时，其方程为0x =，此时，(0,1)B ，(0,1)A -，(0,1)PB =-，(0,3)PA =- ，由PB PA λ= ，得13λ=．当直线l 斜率存在时，设其为k ，则直线l 方程为2(0)y kx k =+≠．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11(,2)PA x y =- ，22(,2)PB x y =-． 由PB PA λ= ，可得2121,2(2),x x y y λλ=⎧⎨-=-⎩则21212()12x x x x λλ++=- ． （1）由221,22,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(2)2x kx ++=，即22(12)860k x kx +++=．判别式226424(12)0k k ∆=-+>，解得232k >．且122812k x x k -+=+，122612x x k =+， 将其代入（1）得， 222132322213(12)3(2)k k k λλ+=-=-++，由21203k << ， 11023λλ<+<， 解得133λ<<．又因B 在A ，P 之间，所以113λ<<．综上可得，λ的取值范围是1[,1)3． ………………… 9分（Ⅲ）由椭圆的对称性可知，||||BO OM =，2ABM AOB S S ∆∆=． 设点O 到直线l 的距离为d ，由（Ⅱ）可知232k >， 且1||2AOB S AB d ∆=⨯121||2x x =-12||x x =-当且仅当22162323k k -=-23()2k >，即272k =时取“=”， 即max max ()2()ABM AOB S S ∆∆==， 故ABM ∆． ……… 14分。
北京市2022年高二上期末数学试卷(理科)含答案解析
高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每题5分共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知双曲线=1的一条渐近线方程为y=，则双曲线的焦距为（）A． B．2C．2 D．102．（5分）太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种互相转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被y=3sin x的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．3．（5分）将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a和b，则方程ax2+bx+1=0有实数解的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）如表是某单位1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：月份x1234用水量y45a7由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其回归方程是，则a等于（）A．6 B．6.05 C．6.2 D．5.955．（5分）下列四个命题：①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”②“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的必要不充分条件③若p∧q为假命题，则p，q均为假命题④对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，使得x2+x+1≥0．其中，错误的命题个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（5分）抛物线y=ax2的准线方程是y=﹣2，则a的值为（）A．4 B．8 C．D．7．（5分）某单位有若干名员工，现采用分层抽样的方式抽取n人去体检，若老、中、青人数之比为4：1：5，已知抽到10位中年人，则样本的容量为（）A．40 B．100 C．80 D．508．（5分）下列程序框图中，输出的A的值是（）A．B．C．D．9．（5分）若双曲线C1以椭圆C2：+=1的焦点为顶点，以椭圆C2长轴的端点为焦点，则双曲线C1的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=110．（5分）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列对立的两个事件是（）A．“至少1名男生”与“至少有1名是女生”B．“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”C．“至少1名男生”与“全是男生”D．“至少1名男生”与“全是女生”11．（5分）为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第1小组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是（）A．32 B．40 C．48 D．5612．（5分）设双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2c，过F2作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A，已知，|F2Q|＞|F2A|，点P是双曲线C右支上的动点，且|PF1|+|PQ|＞|恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B． C．D．二、填空题（每小题5分，共20分，.将答案填入答卷指定位置）.13．（5分）已知向量=（k，12，1），=（4，5，1），=（﹣k，10，1），且A、B、C三点共线，则k=．14．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的过焦点的弦为AB，且|AB|=9，x A+x B=6，则p=．15．（5分）某校开展“爱我漳州、爱我华安”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91．复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清．若记分员计算无误，则数字x应该是．16．（5分）设圆（x+1）2+y2=25的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为．三．解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤）17．（10分）已知集合Z={（x，y）|x∈[0，2]，y∈[﹣1，1]}．（1）若x，y∈Z，求x+y≥0的概率；（2）若x，y∈R，求x+y≥0的概率．18．（12分）命题p：；命题q：方程表示焦点在y轴上的椭圆．若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数m的取值范围．19．（12分）某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题．（1）求全班人数及分数在[80，90）之间的频数，并估计该班的平均分数；（2）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90，100]之间的概率．20．（12分）已知O为坐标原点，M是椭圆=1上的点，设动点P满足．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若直线l：y=x+m（m≠0）与曲线C相交于A，B两个不同点，求△OAB 面积的最大值．21．（12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．22．（12分）已知椭圆=1（a＞b＞0）过点，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过椭圆的上顶点作直线l交抛物线x2=2y于A、B两点，O为原点．①求证：OA⊥OB；②设OA、OB分别与椭圆相交于C、D两点，过原点O作直线CD的垂线OH，垂足为H，证明：|OH|为定值．高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知双曲线=1的一条渐近线方程为y=，则双曲线的焦距为（）A． B．2C．2 D．10【解答】解：曲线=1的一条渐近线方程为y=，可得：=，解得m=4，则b=2，a=3，∴c=．双曲线的焦距为2．故选：B．2．（5分）太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种互相转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被y=3sin x的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，大圆的直径为y=3sin x的周期，且T==12，面积为S=π•=36π，一个小圆的面积为S′=π•12=π，在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为：P===．故选：B．3．（5分）将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a和b，则方程ax2+bx+1=0有实数解的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a和b，基本事件总数n=6×6=36，∵方程ax2+bx+1=0有实数解，∴△=b2﹣4a≥0，∴方程ax2+bx+1=0有实数解包含的基本事件（a，b）有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，4），（4，5），（4，6），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共19个，∴方程ax2+bx+1=0有实数解的概率p=．故选：C．4．（5分）如表是某单位1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：月份x1234用水量y45a7由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其回归方程是，则a等于（）A．6 B．6.05 C．6.2 D．5.95【解答】解：∵=（1+2+3+4）=2.5，=（4+5+a+7）=4+∴4+=2.5+3.05，解得：a=6.2，故选：C．5．（5分）下列四个命题：①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”②“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的必要不充分条件③若p∧q为假命题，则p，q均为假命题④对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，使得x2+x+1≥0．其中，错误的命题个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，正确，②由x2﹣3x+2＞0得x＞2或x＜1，即“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件，故②错误，③若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故③错误，④对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，使得x2+x+1≥0．正确，故错误的个数为2个，故选：B6．（5分）抛物线y=ax2的准线方程是y=﹣2，则a的值为（）A．4 B．8 C．D．【解答】解：由抛物线y=ax2，得，由其准线方程为y=﹣2，可知抛物线开口向上，则a＞0．∴2p=，则．∴，得a=．故选：C．7．（5分）某单位有若干名员工，现采用分层抽样的方式抽取n人去体检，若老、中、青人数之比为4：1：5，已知抽到10位中年人，则样本的容量为（）A．40 B．100 C．80 D．50【解答】解：某单位有若干名员工，现采用分层抽样的方式抽取n人去体检，若老、中、青人数之比为4：1：5，已知抽到10位中年人，则10则，解得样本的容量n=100．故答案为：100．8．（5分）下列程序框图中，输出的A的值是（）A．B．C．D．【解答】解：由程序框图可得：A i第一次循环后2第二次循环后3第三次循环后4…观察规律可知A的值为，可得：第九次循环后10不满足条件i＜10，跳出循环．则输出的A为．故选：A．9．（5分）若双曲线C1以椭圆C2：+=1的焦点为顶点，以椭圆C2长轴的端点为焦点，则双曲线C1的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：根据题意，椭圆C2：+=1的焦点坐标为（0，±3），长轴的端点坐标为（0，±5），若双曲线C1以椭圆C2的焦点为顶点，以椭圆C2长轴的端点为焦点，则双曲线C1的焦点为（0，±5），顶点为（0，±3），则双曲线中c=5，a=3，则b2=c2﹣a2=16，则双曲线的方程为：﹣=1，故选：B．10．（5分）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列对立的两个事件是（）A．“至少1名男生”与“至少有1名是女生”B．“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”C．“至少1名男生”与“全是男生”D．“至少1名男生”与“全是女生”【解答】解：某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，在A中，“至少1名男生”与“至少有1名是女生”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；在B中，“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”是互斥不对立事件，故B错误；在C中，“至少1名男生”与“全是男生”能同时发生，不是互斥事件，故C错误；在D中，“至少1名男生”与“全是女生”是对立事件，故D正确．故选：D．11．（5分）为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第1小组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是（）A．32 B．40 C．48 D．56【解答】解：设第一小组的频率为a，由频率分布直方图，得：a+2a+3a+0.0375×5+0.0125×5=1，a=0.125．∵第1小组的频数为6，∴报考飞行员的学生人数为：=48．故选：C．12．（5分）设双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2c，过F2作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A，已知，|F2Q|＞|F2A|，点P是双曲线C右支上的动点，且|PF1|+|PQ|＞|恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B． C．D．【解答】解：令x=c代入双曲线的方程可得y=±b=±，由|F2Q|＞|F2A|，可得＞，即为3a2＞2b2=2（c2﹣a2），即有e=＜①又|PF1|+|PQ|＞|F1F2|恒成立，由双曲线的定义，可得2a+|PF2|+|PQ|＞3c恒成立，由F2，P，Q共线时，|PF2|+|PQ|取得最小值|F2Q|=，可得3c＜2a+，即有e=＜②由e＞1，结合①②可得，e的范围是（1，）．故选：B．二、填空题（每小题5分，共20分，.将答案填入答卷指定位置）.13．（5分）已知向量=（k，12，1），=（4，5，1），=（﹣k，10，1），且A、B、C三点共线，则k=．【解答】解：∵向量=（k，12，1），=（4，5，1），=（﹣k，10，1），∴=（4﹣k，﹣7，0），=（﹣2k，﹣2，0）．又A、B、C三点共线，∴存在实数λ使得，∴，解得．故答案为：﹣．14．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的过焦点的弦为AB，且|AB|=9，x A+x B=6，则p=3．【解答】解：如图，∵AB过焦点F，且|AB|=9，x A+x B=6，∴|AB|=x A+x B+p=6+p=9，即p=3．故答案为：3．15．（5分）某校开展“爱我漳州、爱我华安”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91．复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清．若记分员计算无误，则数字x应该是1．【解答】解：由题意知去掉一个最高分94和一个最低分88后，余下的7个数字的平均数是91，即×（89+89+92+93+90+x+92+91）=91，∴636+x=91×7=637，解得x=1．故答案为：1．16．（5分）设圆（x+1）2+y2=25的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为+=1．【解答】解：由圆的方程可知，圆心C（﹣1，0），半径等于5，设点M的坐标为（x，y ），∵AQ的垂直平分线交CQ于M，∴|MA|=|MQ|．又|MQ|+|MC|=半径5，∴|MC|+|MA|=5＞|AC|．依据椭圆的定义可得，点M的轨迹是以A、C 为焦点的椭圆，且2a=5，c=1，∴b=，故椭圆方程为+=1，即+=1．故答案为：三．解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤）17．（10分）已知集合Z={（x，y）|x∈[0，2]，y∈[﹣1，1]}．（1）若x，y∈Z，求x+y≥0的概率；（2）若x，y∈R，求x+y≥0的概率．【解答】解：（1）设“x+y≥0，x，y∈Z”为事件A，x，y∈Z，x∈[0，2]，即x=0，1，2；y∈[﹣1，1]，即y=﹣1，0，1．则基本事件有：（0，﹣1），（0，0），（0，1），（1，﹣1），（1，0），（1，1），（2，﹣1），（2，0），（2，1）共9个．其中满足“x+y≥0”的基本事件有8个，∴P（A）=．故x，y∈Z，x+y≥0的概率为．（2）设“x+y≥0，x，y∈R”为事件B，∵x∈[0，2]，y∈[﹣1，1]，则基本事件为如图四边形ABCD区域，事件B包括的区域为其中的阴影部分．基本事件如图四边形ABCD区域S=4，事件B包括的区域如阴影部分S′=S﹣=∴P（B）==．18．（12分）命题p：；命题q：方程表示焦点在y轴上的椭圆．若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数m的取值范围．【解答】解：命题p：∀x∈R，x2+mx+1≥0为真，∴△=m2﹣4≤0⇒﹣2≤m≤2…（2分）命题q为真，即方程是焦点在y轴上的椭圆，∴0＜m＜2…（4分）又∵“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，∴p是真命题且q是假命题，或p是假命题且q是真命题…（6分）∴或…（10分），∴m的取值范围是[﹣2，0]∪{2}…（12分）19．（12分）某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题．（1）求全班人数及分数在[80，90）之间的频数，并估计该班的平均分数；（2）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90，100]之间的概率．【解答】解：（1）由茎叶图知，分数在[50，60）之间的频数为2，频率为0.008×10=0.08，全班人数为；所以分数在[80，90）之间的频数为25﹣2﹣7﹣10﹣2=4，分数在[50，60）之间的总分为56+58=114；分数在[60，70）之间的总分为60×7+2+3+3+5+6+8+9=456；分数在[70，80）之间的总分数为70×10+1+2+3+3+4+5+6+7+8+9=747；分数在[80，90）之间的总分约为85×4=340；分数在[90，100]之间的总分数为95+98=193；所以，该班的平均分数为；（2）将[80，90）之间的4个分数编号为1，2，3，4，[90，100]之间的2个分数编号为5，6，在[80，100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15个，其中，至少有一个在[90，100]之间的基本事件有9个，∴至少有一份分数在[90，100]之间的概率是．20．（12分）已知O为坐标原点，M是椭圆=1上的点，设动点P满足．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若直线l：y=x+m（m≠0）与曲线C相交于A，B两个不同点，求△OAB 面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设点P（x，y），M（x1，y1），由．，得x=2x1，y=2y1，因为点M在椭圆圆=1上，所以，故，即动点P的轨迹C的方程为．（Ⅱ）由曲线C与直线l联立得，消y得3x2+4mx+2m2﹣8=0，因为直线l与曲线C交于A，B两点，所以△=16m2﹣4×3×（2m2﹣8）＞0，又m≠0，所以0＜m2＜12．设设A（x3，y3），B（x4，y4），则，，因为点O到直线A：x﹣y+m=0的距离d=，|AB|===，所以S×=，×=2，当且仅当m2=12﹣m2，即m2=6时取等号，所以△OAB面积的最大值为221．（12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．【解答】证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE．…（4分）解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，所以．由AD=3，可知，．则A（3，0，0），，，B（3，3，0），C（0，3，0），所以，．设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即．令，则=．因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．所以cos．因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…（8分）（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则．因为AM∥平面BEF，所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．此时，点M坐标为（2，2，0），即当时，AM∥平面BEF．…（12分）22．（12分）已知椭圆=1（a＞b＞0）过点，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过椭圆的上顶点作直线l交抛物线x2=2y于A、B两点，O为原点．①求证：OA⊥OB；②设OA、OB分别与椭圆相交于C、D两点，过原点O作直线CD的垂线OH，垂足为H，证明：|OH|为定值．【解答】解：（Ⅰ）∵e=，∴，则，又∵在椭圆上，∴，解得a=2，，∴椭圆的方程为；（Ⅱ）①证明：设A（x1，y1）、B（x2，y2），依题意，直线l一定有斜率k，l的方程为y=kx+2，联立方程，消去y得：x2﹣2kx﹣4=0，∴x1x2=﹣4，则，∴=x1x2+y1y2=﹣4+4=0，∴OA⊥OB；②证明：设C（x3，y3）、D（x4，y4），直线CD的方程为y=mx+n，∵OA⊥OB，∴OC⊥OD，则x3x4+y3y4=0．联立，消去y得：（3m2+4）x2+6mnx+3n2﹣12=0，∴，，∴．由，得7n2=12（1+m2），即|n|=，∵OH⊥CD，∴．∴|OH|为定值．。
北京市朝阳区2019-2020学年高二数学上学期期末考试质量检测试题(含解析)
a3
a1q
a1q2
2q
2q2
4
，解得：
q 2
a4 a1q3 16 故答案为： 16
【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的 计算，属于基础题.
14.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为_________；面积最大的侧面的面积
为_________.
【答案】 (1). 16 (2). 10
A. ①②③
B. ①②
C. ②③④
D. ③④
【答案】A
【解析】
【分析】
根据直线与平面、平面与平面位置关系相关定理依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】 m ， m// 或 m ，又 l m l ，①正确；
m ， // m ，又 l // m l ，②正确；
l ， // l ，又 m m l ，③正确；
北京市朝阳区 2019-2020 学年度第一学期期末质量检测 高二数学试卷
第一部分（选择题共 50 分）
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中,选出符
合题目要求的一项.
1.不等式 x(x 2) 0 的解集是( )
x 0 x 2
A.
x x 2
数最值.
3.已知双曲线
x2 a2
y2 16
1(a
0) 的一个焦点为 (5 ,
0)
，则 a
的值为(
)
A. 9
B. 6
C. 5
【答案】D
【解析】
【分析】
D. 3
根据双曲线中 a2 b2 c2 可构造方程求得结果.
【详解】双曲线焦点为 5, 0
故选： D
a2 16 25 ，解得： a 3
北京朝阳外国语学校 高二数学理上学期期末试题含解析
北京朝阳外国语学校高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若，则sin（π+2α）=（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】GS：二倍角的正弦．【分析】利用两角差的正弦函数公式化简已知等式，得：（cosα﹣sinα）=，两边平方后，利用二倍角公式可求sin2α的值，进而利用诱导公式化简所求即可得解．【解答】解：∵，可得：（cosα﹣sinα）=，∴两边平方可得：1﹣2sinαcosα=，解得：sin2α=，∴sin（π+2α）=﹣sin2α=﹣．故选：A．2. 设为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，且,下列说法正确的是 ( )(A) (B)．(C) (D)参考答案：B3. 若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a ＝－1，b＝－1参考答案：A略4. 设则“”是“”的( )A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要的条件参考答案：A5. 函数的最大值是（）A．B．C．D．参考答案：A6. 曲线y=x在点P（2，8）处的切线方程为A.y=6x-12B.y=12x-16C.y=8x+10D.y=12x-32参考答案：A7. 不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有(A)3个 (B)4个 (C)6个 (D)7个参考答案：D8. 在△ABC中，若sinBsinC=cos2，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形参考答案：A【考点】三角形的形状判断．【专题】计算题．【分析】利用cos2=可得，再利用两角和差的余弦可求．【解答】解：由题意，即sinBsinC=1﹣cosCcosB，亦即cos（C﹣B）=1，∵C，B∈（0，π），∴C=B，故选A．【点评】本题主要考查两角和差的余弦公式的运用，考查三角函数与解三角形的结合．属于基础题．9. 在△ABC中，B=45°，C=60°，c=1，则b=（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理即可得出．【解答】解：由正弦定理可得，．故选：A．10. 不等式组所表示的平面区域的面积为（）A． B．27 C． 30D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 曲线在点（－1，－3）处的切线方程是________．参考答案：y=x-212. 设若是与的等比中项，则的最小值为_______．参考答案：413. 若正数满足,则的最大值是___________.参考答案：2略14. 已知，是椭圆的两焦点，过点的直线交椭圆于，两点，则周长为__________．参考答案：由椭圆，可得：．的周长．15. 若直线y=﹣x+b与曲线x=恰有一个公共点，则b的取值范围是．参考答案：【考点】曲线与方程．【分析】曲线x=即 x2+y2=1（x≥0）表示一个半径为1的半圆，分类讨论求得当直线y=﹣x+b与曲线x=即恰有一个公共点时b的取值范围．【解答】解：曲线x=即 x2+y2=1（x≥0）表示一个半径为1的半圆．当直线y=﹣x+b经过点A（0，﹣1）时，求得b=﹣1，当直线y=﹣x+b经过点B（0，1）时，求得b=1，当直线和半圆相切于点D时，由圆心O到直线y=﹣x+b的距离等于半径，可得=1=1，求得b=，或b=﹣（舍去）．故当直线y=﹣x+b与曲线x=即有一个公共点时b的取值范围是，故答案为．16. 复数的虚部是参考答案：-217. 某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是____ ____．参考答案：分层抽样三、解答题：本大题共5小题，共72分。
北京市朝阳区2015-2016学年高二上学期期末考试理科数学
京市朝阳区2015-2016学年高二上学期期末考试数学一、选择题：共10题1．圆错误！未找到引用源。
被直线错误！未找到引用源。
截得的弦长为A.错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。
D.错误！未找到引用源。
【答案】D【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆的性质.由圆的方程可知，圆心坐标为(2,0),半径r=2,则圆心到直线x=1的距离为d=1，由垂径定理可知，弦长为错误！未找到引用源。
2．抛物线错误！未找到引用源。
上与其焦点距离等于错误！未找到引用源。
的点的横坐标是A.错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。
D. 错误！未找到引用源。
【答案】C【解析】本题主要考查抛物线的定义.设该点横坐标为x，由抛物线的定义可知，x+错误！未找到引用源。
=3，则x=错误！未找到引用源。
3．已知错误！未找到引用源。
,则错误！未找到引用源。
是错误！未找到引用源。
的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题主要考查充分条件与必要条件.因为错误！未找到引用源。
，所以,因此，错误！未找到引用源。
且错误！未找到引用源。
，故错误！未找到引用源。
是的充分而不必要条件.4．已知两条不同的直线错误！未找到引用源。
,三个不同的平面错误！未找到引用源。
,下列说法正确的是A.若错误！未找到引用源。
则错误！未找到引用源。
B.若错误！未找到引用源。
则错误！未找到引用源。
C.若错误！未找到引用源。
则错误！未找到引用源。
D.若错误！未找到引用源。
则错误！未找到引用源。
【答案】D【解析】本题主要考查线面、面面平行与垂直的判定与性质，考查空间想象能力.因为错误！未找到引用源。
，所以平面错误！未找到引用源。
内存在一条直线c与a平行，因为错误！未找到引用源。
所以b与c垂直，则b与错误！未找到引用源。
的位置关系不确定，故A错误；平行于同一条直线的两个平面不一定平行，故B错误；因为所以错误！未找到引用源。
2019—2020北京朝阳高二(上)期末数学试卷(含答案)
2020北京朝阳高二（上）期末数 学 2020.1(考试时间120分钟 满分150分)本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分第一部分（选择题 共50分）一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.不等式(2)0x x -<的解集是 （A ）{}02x x <<（B ）{}0x x >（C ）{}2x x < （D ）{}02<<或x x x2. 已知1x ≥，则当4x x+取得最小值时，x 的值为 （A ）1 （B ）2（C ）3（D ）43.已知双曲线2221(0)16x y a a -=>的一个焦点为(5,0)，则a 的值为 （A ）9（B ）6（C ）5（D ）34. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为，过1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，且2ABF 的周长为16，则椭圆C 的方程为（A ）22184x y +=（B ）221164x y +=（C ）221816x y +=（D ）221168x y +=5. 若向量,,a b c 不共面，则下列选项中三个向量不共面的是（A ）,,-+b c b b c （B ）,,a b c a b c +++ （C ）,,a b a b c +-（D ）,,a b a b a -+6. 已知,m l 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列各组条件中能推出⊥m l 的所有序号是①,,αβαβ⊥⊥⊥m l ②,,αβαβ⊥∥∥m l③,,αβαβ⊂⊥∥m l ④,,αβαβ⊂⊥∥m l （A ）①②③（B ）①②（C ）②③④（D ）③④7. 已知0>mn ，21+=m n ，则12+m n的最小值是 （A ）4 （B ）6（C ）8（D ）168. 已知数列{}n a 和{}n b 满足=n n b a ，则“数列{}n a 为等比数列”是“数列{}n b 为等比数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件9. 经过双曲线2222:1(0,0)-=>>x y M a b a b的左焦点作倾斜角为60°的直线l ，若l 与双曲线M 的左支有两个不同的交点，则M 的离心率的取值范围是 （A ）(2,)+∞（B ）(1,2) （C）(1,（D）,)+∞10. 已知球O 的直径为3，,,,A B C D 是球O 上四个不同的点，且满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ =0，分别用123,,S S S 表示,,ABC ACD ABD 的面积，则123++S S S 的最大值是（A ）14（B ）92（C ）9 （D ）18 第二部分（非选择题 共100分）二.填空题:本大题共6小题,每空5分,共30分，答案写在答题卡上.11. 双曲线2214-=x y 的渐近线方程是________.12. 抛物线22=y x 的焦点坐标是________；准线方程是_________.13. 已知公比不为1的等比数列{}n a 满足12=a ，234+=a a ，则4=a _________.14. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为________，面积最大的侧面的面积为________.俯视图正视图15. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，其中一道题目的背景是这样的：把100片面包分给5个人，使每个人分得的面包数成等差数列，且使较大的三个数之和的17是较小的两个数之和，若将这5个数从小到大排列成递增的等差数列，则该数列的公差为_________.16. 不等式222()-≤-x y cx y x 对满足0>>x y 的任意实数,x y 恒成立，则实数c 的最大值是________.三.解答题:本大题共4小题,共70分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 17.（本小题满分16分）已知数列{}n a 是递增的等差数列，23=a ，且125,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2=+n n n b a ，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （Ⅲ）若12+=n n n c a a ，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求满足2425>n T 的n的最小值.18. （本小题满分18分）如图，在四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面⊥PAD 平面ABCD .已知==PA PD AB ，090∠=APD .（Ⅰ）证明：∥AD 平面PBC ；（Ⅱ）证明：⊥AB PD ；（Ⅲ）求二面角--A PB C 的余弦值.PDCBA19. （本小题满分18分）已知抛物线22(0)=>y px p 经过点(1,2). （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）过抛物线C 的焦点F 的直线l 交C 于,A B 两点，设O 为原点（ⅰ）当直线l 的斜率为1时，求∆AOB 的面积； （ⅱ）当3=FA FB 时，求直线l 的方程.20. （本小题满分18分）已知椭圆2222:10)+=>>（x y C a b a b ，直线20++=x y 经过椭圆C 的左焦点A . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线:=+l y kx m （0≠k ）交椭圆C 于,M N 两点（,M N 不同于点A ）.过原点O 的一条直线与直线l交于点P ，与直线,AM AN 分别交于点,D E .（ⅰ）当k MN 的最大值；（ⅱ）若=OD OE ，求证：点P 在一条定直线上.2020北京朝阳高二（上）期末数学参考答案一、选择题：（本题满分50分）二、填空题：（本题满分30分）三、解答题：（本题满分70分） 17．（本小题满分16分）解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d （0d >），由条件可得121113,(4)(),0,a d a a d a d d +=⎧⎪+=+⎨⎪>⎩解得11,2.a d =⎧⎨=⎩所以12(1)21n a n n =+-=-，*n ∈N ．…………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知2212n n n n b a n =+=-+，则12323121135(21)2222(121)222122 2.n nnn n S b b b b n n n n ++=++++=++++-++++++--=+-=+-所以数列{}n b 的前n 项和2122n n S n +=+-．…………………………………11分（Ⅲ）因为122(21)(21)n n n c a a n n +==-+11,2121n n =--+ 所以1111121335212121n nT n n n =-+-++-=-++. 由2242125n n >+得12n >，又因为*n ∈N ， 所以满足2425n T >的n 的最小值为13. ……………………………………16分 18．（本小题满分18分）解：（Ⅰ）因为四边形ABCD 为矩形，所以AD BC ∥． 又因为BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，所以AD ∥平面PBC ． ……………………………………………………4分（Ⅱ）根据题意，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，因为AB平面ABCD ，且AB AD ⊥，所以AB ⊥平面PAD ． 又因为PD ⊂平面PAD ，所以AB PD ⊥． ……………………………………………………9分（Ⅲ）取AD 的中点为O ，取BC 的中点为E ，连接,OP OE ，则OE AD ⊥，又因为PA PD =，所以PO AD ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，分别以,,OA OE OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图． 不妨设2AB =，因为PA PD AB ==，90APD ∠=︒，所以2PA PD ==，2AD =，1OP =．所以(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(1,2,0)C -，(0,0,1)P ，(1,0,0)D -．所以(1,2,1)PB =-，(2,0,0)BC =-，(1,0,1)=--PD ．Oxyz PABC D E由（Ⅱ）可知，AB PD ⊥． 因为90APD ∠=︒，所以⊥PA PD ． 所以⊥PD 平面PAB ．所以PD 为平面PAB 的一个法向量． 设平面PBC 的一个法向量为(),,x y z =n ，则{n ⋅PB⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即0,20.x z x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩取1y =，得平面PBC的一个法向量为=n ．则cos ,PD PD PD ⋅〈〉===⋅n n n，由图可知，二面角--A PBC 为钝角， 所以二面角--A PB C 的余弦值是分 19．（本小题满分18分）解：（Ⅰ）由抛物线22y px =过点(1,2)，得24p =．于是2p =，所以该抛物线的方程为24y x =，准线方程为1x =-．……………………………………………………………4分 （Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ．焦点F 的坐标为(10)，．（i ）由题可知，直线l 的方程为1y x =-．联立24,1,y x y x ⎧=⎨=-⎩得2440y y --=．由韦达定理可得12124,4.y y y y +=⎧⎨=-⎩因为||1OF =，1212||||||y y y y +=-，所以()121212111||||||||||||||2221||2OB OF O A A FBS S S OF y OF y OF y y y y =+=⋅+⋅=+=-===△△△ 所以AOB △的面积为分（ii ）易知直线l 的斜率存在且不为0，焦点坐标为(10)，， 设直线():1l y k x =-．联立()24,1,y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得2222(24)0k x k x k -++=．由韦达定理可得1221242,1.x x kx x ⎧+=+⎪⎨⎪=⎩①② 由题意，||3||FA FB =，因为,A B 分别到准线的距离等于,A B 到焦点F 的距离， 所以1213(1)x x +=+，即1232x x =+．③ 联立②③，解得1213,3x x ==，代入①得23k =，所以k = 所以直线l的方程为)1y x =-． …………………………………18分20．（本小题满分18分）解：（Ⅰ）设0(,0)A x ，因为点A 在直线20x y ++=上，所以020x +=，得02x =-，所以(2,0)A -． 所以2a =．又因为离心率c e a ==，所以c =1b =． 所以椭圆C 的方程为2214x y +=. ……………………………………5分 （Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ．（i）因为k =22,1,4y m x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y可得22)14x m ++=，即229440x m ++-=，由2161440m ∆=-+>得29m <．由韦达定理，2121244,.99m x x x x -+=-= 由弦长公式得||MN ===由于216144144m -+≤，所以||MN =≤=当且仅当0m =时，||MN取到最大值3. ……………………………11分 （ii ）若||||OD OE =，则O 为DE 的中点，所以0D E x x +=. 设直线0:DE y k x =，直线11:(2)2y AM y x x =++， 两个方程联立可得：101(2)2y x k x x +=+． 解得10112(2)D y x k x y =+-，同理20222.(2)E y x k x y =+- 所以12011022220,(2)(2)D E y y x x k x y k x y +=+=+-+-即0121202112(2)(2)0.k y x y y k y x y y +-++-=所以210102012122()20.y m y mk y k y k y y y y k k --⋅+⋅++-= 化简得：00120122(1)(2)()0.k mky y k y y k k-+-+=① 由22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得: 2222()44y m k y k -+=，即2222(14)240k y my m k +-+-=，由222244(14)(4)0m k m k ∆=-+->，得2214m k <+．所以2212122224,.1414m m k y y y y k k-+==++ 代入①得到：2200022422(1)(2)0.1414k mk m k m k k k k k--+-=++ 所以2200()(4)(2)0,k k m k mk m k ----= 即0(2)(22)0.m k k k k m ---=若2m k =，则直线l 过点A ，与已知不符合. 又0k ≠，所以0220k k m --=.又由0:DE y k x =，联立:l y kx m =+，消去y 得：02P mx k k==-， 所以，点P 在定直线2x =上. ………………………………………………18分。
2022-2023学年北京市朝阳区高二年级上册学期期末练习数学试题【含答案】
2022-2023学年北京市朝阳区高二上学期期末练习数学试题一、单选题1．若向量()1,1,0a =，()1,0,2b =-，则a b +=（ ）A B ．4 C ．5 D 【答案】A【分析】由空间向量坐标的加减运算，和模长公式计算即可. 【详解】由题意，得()0,1,2a b +=，201a b ∴+=+=故选：A.2．已知点1,0A ，直线l ：30x y -+=，则点A 到直线l 的距离为（ ）A ．1B ．2CD ．【答案】D【分析】利用点到直线的距离公式计算即可.【详解】已知点(1,0)A ，直线:30l x y -+=，则点A 到直线l =故选：D .3．若直线y x m =+是圆2220x y y =++的一条对称轴，则m 的值为（ ） A ．12-B ．1-C ．2D ．1【答案】B【分析】依据题给条件列出关于m 的方程，解之即可求得m 的值 【详解】圆2220x y y =++的圆心坐标为()0,1-， 又直线y x m =+是圆2220x y y =++的一条对称轴， 则圆心()0,1-在直线y x m =+上，则10m -=+，则1m =- 故选：B4．已知椭圆()222104x y b b+=>的离心率为12，则b =（ ）AB C ．2 D ．3【答案】B【分析】由2222a b e a -=即可求解.【详解】椭圆的离心率满足222222224142c a b b e a a ，即可解得30b b .故选：B5．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，若11AA =，2AB AC ==，112B C =，则异面直线1A C 与11B C 所成的角的余弦值为（ ）A ．12B ．36C ．33D ．328【答案】C【分析】因为11B C ∥BC ，所以1A CB ∠或其补角为异面直线1A C 与11B C 所成的角，连接1A B ，根据余弦定理即可求得答案．【详解】如图，连接1A B ，则2211(2)3A B =+2211(2)3AC +2BC =， 因为11B C ∥BC ，所以1A CB ∠或其补角为异面直线1A C 与11B C 所成的角，22211113c 23os 22AC BC A B ACB AC BC ∠+-===⋅⨯⨯则异面直线1A C 与11B C 所成的角的余弦值为33. 故选：C ．6．已知抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 在抛物线上，PQ l ⊥于点Q ．若PQF △是锐角三角形，则点P 的横坐标的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．()1,+∞C ．()0,2D ．()2,+∞【答案】D【分析】在x 轴上取点()4,0A ，推导出AFP ∠为锐角，设点(),P x y ，可得出0FA FP ⋅>，可求得x 的范围.【详解】如图所示：在x 轴上取点()4,0A ，由抛物线的定义可得PQ PF =，则PFQ PQF ∠=∠， 由于PQF △为锐角三角形，则FPQ ∠为锐角，由已知可得PQ x ∥轴，所以AFP FPQ ∠=∠，则AFP ∠为锐角， 焦点()2,0F ，设点(),P x y ，则()2,0FA =，()2,FP x y =-， 则2(2)0FA FP x ⋅=->，解得2x >， 因此，点P 的横坐标的取值范围是()2,+∞. 故选：D.7．设直线1l 的方向向量为()1,u a →=，2l 的法向量为()1,2v a →=-，则“2a =”是“12l l ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】因为12l l ⊥，所以2a =或1a =-，再利用充分必要条件的定义判断得解.【详解】解：因为12l l ⊥，所以21()1,20,(2)(1)02a a a a a a -⨯-=-∴--=∴-+=， 所以2a =或1a =-.当2a =时，12l l ⊥成立，所以“2a =”是“12l l ⊥”的充分条件； 当12l l ⊥时，2a =不一定成立，所以“2a =”是“12l l ⊥”的非必要条件. 所以“2a =”是“12l l ⊥”的充分不必要条件. 故选：A8．设A 是圆()22:19C x y ++=上的动点，PA 是圆的切线，且4PA =，则点P 到点()8,0Q 距离的最小值为（ ） A ．15 B ．6 C ．5 D ．4【答案】D【分析】本题首先可根据题意得出5PC =，则点P 的轨迹方程为()22125x y ++=，然后用圆心到点()8,0Q 的距离减去半径即可得出结果.【详解】解：由圆的方程()2219x y ++=，易知圆心()1,0C -，半径为3，因为PA 是圆的切线，且4PA =， 所以222325PC PA =+=，5PC =， 所以，点P 的轨迹方程为()22125x y ++=，点P 到点()8,0Q 54=，故选：D.9．古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆雉，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用面积为64的矩形ABCD 截某圆锥得到椭圆τ，且τ与矩形ABCD 的四边相切.设椭圆τ在平面直角坐标系中的方程为()222210x y a b a b +=>>，下列选项中满足题意的方程为（ ） A ．2216416x y +=B ．221644x y +=C ．22125616x y +=D ．2216432x y +=【答案】B【分析】由题意可得到对于椭圆有16ab =成立，由此一一验证各选项是否满足，即得答案.【详解】∵用面积为64的矩形ABCD 截某圆锥得到椭圆τ，且τ与矩形ABCD 的四边相切， ∴464ab = ，即16ab =，对于A ，2216416x y +=,8,4a b == ，不满足16ab =，故A 错误； 对于B ，221644x y +=，8,2a b ==，满足0,16a b ab >>= ，故B 正确；对于C ，22125616x y +=，16,4a b == ，不满足16ab =，故C 错误；对于D ，2216432x y +=，8,a b ==不满足16ab =，故D 错误． 故选：B ．10．在等比数列{}n a 中，19a =-，51a =-记13521n n T a a a a -=⋯（1n =，2，…）.则数列{}n T （ ） A ．有最大项，有最小项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，有最小项 D ．无最大项，无最小项【答案】A【分析】根据题意易求得等比数列{}n a 的公比q ，设数列{}n b 为等比数列{}n a 的奇数项13521,,,,n a a a a -⋯（1n =，2，…），则数列{}n b 是以1a 为首项，2q 为公比的等比数列，再分奇偶讨论数列{}n T 的项，即可得出结论.【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ， 则45119a q a ==，所以213q =， 设数列{}n b 为等比数列{}n a 的奇数项13521,,,,n a a a a -⋯（1n =，2，…）， 则数列{}n b 是以9-为首项，13为公比的等比数列，则1311933n n n b --⎛⎫⎛⎫=-⨯=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以21323151n n n T b b a a a b b a -⋯==，当4n ≥时，1n b <，当13n ≤≤时，1n b ≥， 当n 为奇数时，0n T <，因为31b =-， 所以327n T T ≥=-，当n 为偶数时，0n T >，因为31b =-，所以227n T T ≤=，综上所述，数列{}n T 有最大项227T =和最小项327T =-. 故选：A.11．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在正方形11BCC B 内，且不在棱上，则（ ）A ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ∥B ．在正方形11DCCD 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ⊥C ．在正方形11DCCD 内一定存在一点Q ，使得平面1PQC ∥平面ABC D ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得AC ⊥平面1PQC 【答案】B【分析】对于A ，通过作辅助线，利用平行的性质，推出矛盾，可判断A;对于B ，找到特殊点，说明在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ⊥，判断B;利用面面平行的性质推出矛盾，判断C;利用线面垂直的性质定理推出矛盾，判断D.【详解】A 、假设在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ∥，作,PE BC QF CD ⊥⊥ ,垂足分别为,E F ,连接,E F ，则PEFQ 为矩形，且EF 与AC 相交， 故PQ EF ∥,由于PQ AC ∥，则AC EF ∥，这与,AC EF 相交矛盾，故A 错误； B 、假设P 为正方形11BCC B 的中心，Q 为正方形11DCC D 的中心，作,PH BC QG CD ⊥⊥ ,垂足分别为,H G ,连接,H G ，则PHGQ 为矩形， 则PQ HG ∥ ,且,H G 为,BC CD 的中点，连接,GH BD ,则GH BD ∥,因为AC BD ⊥ ，所以GH AC ⊥,即PQ AC ⊥，故B 正确； C 、在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得平面1PQC ∥平面ABC ，由于平面ABC ⋂平面11DCC D CD =,平面1PQC 平面111DCC D C Q =,故1CD C Q ∥ ,而11C D CD ∥ ,则Q 在11C D 上，这与题意矛盾，C 错误； D 、假设在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得AC ⊥平面1PQC ， 1C Q ⊂平面1PQC ,则1AC C Q ⊥,又1CC ⊥平面,ABCD AC 平面ABCD ，故1C C AC ⊥ ,而11111,C C C Q C C C C Q =⊂，平面11DCC D ，故AC ⊥平面11DCC D ， 由于AD ⊥平面11DCC D ,故,C D 重合，与题意不符，故D 错误， 故选∶B12．已知1F ，2F 分别椭圆()222210x y a b a b +=>>的左右焦点，P 为椭圆上一点，满足21π2PF F ∠=，线段1PF 交y 轴于点Q ，若22QF c =，则椭圆的离心率是（ ） A ．12 B ．22C 12+D 21【答案】D【分析】由题意得2PF 垂直于x 轴，2OQ PF ∥，Q 为1PF 的中点，利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，结合椭圆的方程可得22||b PF a=，由勾股定理和离心率公式，计算可得答案．【详解】由题意可得2PF 垂直于x 轴，2OQ PF ∥，因为O 为12F F 的中点，则Q 为1PF 的中点，可得12||2||22PF QF c ==， 由x c =可得22221c y a b +=，则2221c b y b a a=±-=±，即有22||b PF a =，在直角三角形12PF F 中，可得2221212||||||PF PF F F =+，即有422284b c c a=+，可得22b ac =，即2220c ac a +-=，由ce a=可得，2210e e +-=，解得21e =-或21e =--(舍去)， 故选：D.13．一些二次曲面常常用于现代建筑的设计中，常用的二次曲面有球面、椭球面、单叶双曲面和双曲抛物面、比如，中心在原点的椭球面的方程为()22222210,0,0x y z a b c a b c++=>>>，中国国家大剧院就用到了椭球面的形状（如图1），若某建筑准备采用半椭球面设计（如图2），半椭球面方程为()2221022x y z z ++=≥，该建筑设计图纸的比例（长度比）为1：50（单位：m ），则该建筑的占地面积为（ ）A ．2100m πB ．25000m πC ．28000m πD ．210000m π【答案】B【分析】令0z =，得到xOy 平面上的曲线方程为222x y +=，为一个圆，求出面积即可求解. 【详解】解析：求占地面积即求半椭球面的底面积， 所以，到xOy 平面上的曲线方程为222x y +=，为一个圆， 2的圆，因为该建筑设计图纸的比例（长度比）为1：50（单位：m ）50=所以，建筑的占地面积为(25000ππ⨯=平方米.故选：B二、填空题14．已知3,,32a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,,2b y =-，若a 与b 共线，则x y -=_________.【答案】52-＃＃ 2.5-【分析】由向量共线的坐标表示得出x y -的值.【详解】解：因为a 与b 共线，所以a b λ=，即3232x y λλλ=-⎧⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩,解得32x =-，1y =，则52x y -=-.故答案为：52-．15．在公差为d 的等差数列{}n a 中，1053S S =，则1a d等于_________. 【答案】3【分析】根据等差数列求和公式即可求解. 【详解】由1053S S =得111109541035322a d a d a d ⨯⨯⎛⎫+=+⇒= ⎪⎝⎭，所以13a =d ． 故答案为：3．16．设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足.若直线AF 的斜率为PF =__________. 【答案】4【分析】设准线与x 轴焦点为B ,可得B 的坐标为(1,0)-，2BF =, 由直线AF斜率为60AFB ︒∠=，结合抛物线的定义,可得PAF △是等边三角形，即可得答案. 【详解】如图由抛物线方程为24y x =，可得其焦点为(1,0)F ，准线方程为=1x -， 设准线与x 轴焦点为B ,则B 的坐标为(1,0)-， 2BF = 由直线AF 斜率为3-60AFB ︒∠=，可得4cos 60BF AF ︒==，因为AP x ∥轴，所以60PAF AFB ︒∠=∠=,又由抛物线的定义有PA PF =, 所以PAF △是等边三角形，故4PA PF ==， 故答案为：4.17．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.平面直角坐标系中，曲线C ：()2222220x y x y x y +=++≠就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：①曲线C 关于坐标轴和直线y x =±均对称；②曲线C 恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ③曲线C 围成的图形的面积是44π+； ④曲线C 上的任意两点间的距离不超过4；⑤若(),P m n 是曲线C 上任意一点，则6m n +-的最小值是2. 其中正确的结论序号是_________. 【答案】①⑤【分析】对绝对值里面的,x y 进行分类讨论，去掉绝对值，从而可作出曲线C . 根据曲线C 2①；曲线C 恰好经过8个整点()()()()()()()()2,0,2,0,0,2,0,2,2,2,2,2,2,2,2,2------即可判断②； 曲线C 所围成的面积为四个半圆的面积与边长为22③； 由图可知，曲线C 上的任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，即可判断④； 因为(,)P m n 到直线60x y +-=的距离为62m n d +-=，所以62m n d +-，转化为圆上的点到直线的距离最小的问题，求解即可判断⑤.【详解】由于222||2||+=+x y x y ，则当0,0x y ≥≥时，曲线C 的方程可化为2222x y x y +=+，化简得2(1)x -+2(1)2y -=，表示圆心为(1,1)，半径为2的半圆；当0,0x y ≥<时，曲线C 的方程可化为2222x y x y +=-，化简得2(1)(x y -+21)2+=，表示圆心为(1,1)-，半径为2的半圆；当0,0x y <≥时，曲线C 的方程可化为2222x y x y +=-+，化简得2(1)x ++2(1)2y -=，表示圆心为(1,1)-，半径为2的半圆；当0,0x y <<时，曲线C 的方程可化为2222x y x y +=--，化简得2(1)x ++2(1)2y +=，表示圆心为(1,1)--，半径为2的半圆．作出曲线22:2||2||C x y x y +=+如图所示：曲线C 是四个半径为2的半圆围成的图形，由图易知曲线C 关于坐标轴和直线y x =±均对称，故①正确；曲线C 恰好经过8个整点()()()()()()()()2,0,2,0,0,2,0,2,2,2,2,2,2,2,2,2------，故②错误； 曲线C 所围成的面积为四个半圆的面积与边长为22从而曲线C 所围成图形的面积为2214π(2)(22)84π2⨯⨯+=+，故③错误；由图可知，曲线C 上的任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，即222242+④错误；因为(,)P m n 到直线60x y +-=的距离为2266211m n m n d +-+-+62m n d +-=，当d 最小时，易知(,)P m n 在曲线C 的第一象限内的图象上，因为曲线C 的第一象限内的图象是圆心为(1,1)，半径为2r =圆心(1,1)到60x y +-=的距离1d ==从而min 1d d r =-=min 62m n +-=，故⑤正确. 故答案为：①⑤．18．已知等比数列{}n a 的公比12q =，且267a a =，则使1212111n n a a a a a a ++⋅⋅⋅+>++⋅⋅⋅成立的正整数n的最大值为___________. 【答案】8【分析】根据等比数列通项代入等式化简得116a =，再分别求出数列{}n a 和1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项的和，代入不等式即可求出n 的范围，则得到其最大值. 【详解】解：因为等比数列{}n a 的公比12q =，且267a a =， 所以()61152a q a q =，整理得:4111116a q a ==，解得116a =， 因为{}n a 为等比数列，所以，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以11a 为首项，公比为1q 的等比数列，所以原不等式等价为:()111111111nna q a q q q⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦>--①， 因为12q =，116a = 所以，将其代入①式整理得:9232162n <⨯=，解得9n <， 由n *∈N ，所以正整数n 的最大值为8， 故答案为：819．P 为抛物线22y x =上一动点，当点P 到直线440x y --=的距离最短时，P 点的坐标是___________. 【答案】(1,2)【分析】设200(,2)P x x ，求出P 到直线l 距离，结合绝对值变形后配方可得最小值．【详解】设200(,2)P x x ，则点200(,2)P x x 到直线440x y --=的距离为()2012d x =-+， 当01x =，即当(1,2)P 时，抛物线22y x = 上一点到直线440x y --==. 故答案为：(1,2)．20．设等比数列{}n a 满足1212a a +=，1312a a -=-，记m b 为{}n a 在区间(]()*0,N m m ∈中的项的个数，则数列{}m b 的前50项和50S =___________. 【答案】144【分析】根据已知条件求出等比数列{}n a 的首项和公比，得出12n n a +=，讨论当13m ≤≤时和+1222n n m +≤<时m b 值，代入计算即可得出结果.【详解】由题意得，1212131(1)12(1)12a a a q a a a q +=+=⎧⎨-=-=-⎩，所以解得14a =，2q =， 所以{}n a 是首项为4，公比为2的等比数列，所以12n n a +=，因为m b 为{}n a 在区间(]()*0,N m m ∈中的项的个数所以当13m ≤≤时，0m b =；当+1222n n m +≤<时，m b n =， 所以()5012345678915161731323350()()()()S b b b b b b b b b b b b b b b b =++++++++++++++++++，即23450031222324(5031)144S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-=. 故答案为: 144三、双空题21．已知直线l ：0x y m ++=是双曲线C ：22221x y a b-=的一条渐近线，则m =___________；双曲线C 的离心率为___________.【答案】 0【分析】根据双曲线的渐近线过原点，即可求得m 的值，由题意可得,a b 的关系，即可求得离心率. 【详解】由题意可知双曲线C ：22221,0,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =± ，过原点，由于直线l ：0x y m ++=是双曲线C ：22221x y a b-=的一条渐近线，故0,1bm a=-=-，即a b =，故c所以离心率为ce a=. 故答案为：0四、解答题22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n n n S S a +=++，__________.请在①471a a +=；②1a ，3a ，4a 成等比数列；③105S =，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求n S 的最小值. 【答案】(1)5n - (2)414【分析】（1）选①由等差数列性质列方程求1a ；选②由等比中项性质列方程求1a ；选③由求和公式列方程求1a . 最后由公式法写出通项公式； （2）由公式法写出n S ，讨论函数最小值即可.【详解】（1）由11n n n S S a +=++得111n n n n n a a S S a ++-=--=，故数列{}n a 为首项为1a ，公差1d =的等差数列，选①，471291a a a d +=+=，解得14a =-； 选②，1a ，3a ，4a 成等比数列，则2143a a a ，即211132a a a ，解得14a =-；选③，()111091052a a S ++==，解得14a =-.综上，故()4115n a n n =-+-⨯=-. （2）由（1）得5n a n =-，2299452222nn n n S ，*n ∈N ，故n S 的最小值为45414S S ==. 23．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，2AB AC ==，14AA =，AB AC ⊥，1BE AB ⊥交1AA 于点E ，D 为1CC 的中点.(1)求证：BE ⊥平面1AB C ；(2)求直线BD 与平面1AB C 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； 15【分析】（1）先证明AC BE ⊥，再根据线面垂直的判定定理即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，确定平面1AB C 的法向量，根据空间角的向量求法可得答案.【详解】（1）在直三棱柱111ABC A B C 中，1AA ⊥平面ABC ， 因为AC ⊂平面ABC ，所以1AA AC ⊥ ．因为AB AC ⊥ ，1AB AA A ⋂= ，1,AB AA ⊂平面11ABB A , 所以AC ⊥ 平面11ABB A ，因为BE ⊂平面11ABB A ， 所以AC BE ⊥ ．又因为11BE AB AC AB A ⊥=， ，1,AC AB ⊂平面1AB C ，所以BE ⊥平面1AB C .（2）由（1）知知1,,AB AC AA 两两垂直，则以点A 为原点，1,,AB AC AA 的方向分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则()()1,(),0,0,02,0,40,,2,200),(2,A B D B ， 设()0,0,E a ,1(2,0,4)AB =,(2,0,)BE a =- ， 因为1AB BE ⊥ ，∴440,1a a -+=∴= ， 故(2,0,1)BE =-,由（1）知BE ⊥平面1AB C故平面1AB C 的一个法向量为(2,0,1)BE =- ，(2,2,2)BD =-,设直线BD 与平面1AB C 所成角为π,[0,]2θθ∈，则|15sin |cos ,||||52||3BD BD BD BE BE BE θ⋅=〈〉==⋅⨯24．已知椭圆E 的焦点在x 331,⎛ ⎝⎭.(1)求椭圆E 的方程；(2)直线l ：2y kx =-与椭圆E 相交于,A B 两点，且原点O 在以AB 为直径的圆上，求直线l 斜率k 的值.【答案】(1)2214x y +=(2)2k =±【分析】（1）依题意设出椭圆E 的方程，根据离心率的值以及椭圆经过的点，待定系数法求出椭圆的方程；（2）把直线的方程代入椭圆的方程，使用根与系数的关系，再由原点O 在以AB 为直径的圆上，利用OA OB ⊥，即0OA OB ⋅=，解方程求出k 的值，并检验判别式是否大于0． 【详解】（1）解：依题意，可设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，c a =a ∴=，又222213b a c c =-=，椭圆经过点，则有221314a b +=，,即得2239144c c +=,解得c =2a =，1b =， ∴椭圆的方程为2214x y +=． （2）解：记A 、B 两点坐标分别为1(A x ,2)x ，B 2(x ,2)y ，由22244y kx x y =-⎧⎨+=⎩消去y ，得22(41)16120k x kx +-+=， 直线与椭圆有两个交点，∴22(16)4(41)120k k ∆=-+⨯>，即234k >， 由韦达定理1221641kx x k +=+，1221241x x k =+， 原点O 在以AB 为直径的圆上， OA OB ∴⊥，即0OA OB ⋅=，又1(OA x =,1)y ，2(OB x =,2)y ，∴12121212(2)(2)OA OB x x y y x x kx kx ⋅=+=+--2212122216(1)2()41(1)24041214kk x x k x x k k k k =+-++=+⋅-⋅+=++． 即得()22(1)122164410k k k k +⨯-⨯++=所以2416k = 2443k ∴=>， 2k ∴=±．25．设有限数列A ：()*12,,,N n a a a n ⋅⋅⋅∈，定义集合{}1i j M a a i j n =+≤<≤为数列A 的伴随集合.(1)已知有限数列P ：-1，0，1，2和数列Q ：1，2，4，8.分别写出P 和Q 的伴随集合；(2)已知有限等比数列A ：()2*4,4,,4N n n ⋅⋅⋅∈，求A 的伴随集合M 中各元素之和S ；(3)已知有限等差数列A ：122022,,,a a a ⋅⋅⋅，判断0，507，11100是否能同时属于A 的伴随集合M ，并说明理由.【答案】(1)数列P 的伴随集合为{}1,0,1,2,3-，数列Q 的伴随集合为{}3,5,6,9,10,12(2)()()14431n n S +--=(3)500,,117100不能同时属于数列A 的伴随集合M ,理由见解析【分析】（1）由数列A 的伴随集合定义可得P ，Q 的伴随集合；（2）先证明(1,1)i j k l a a a a i j n k l n +≠+<<≤≤≤≤，可得求集合M 中各元素之和时， 每个()1i a i n ≤≤均出现n ﹣1次，由等比数列的求和公式，计算可得所求和； （3）假设500,,117100同时属于数列A 的伴随集合M ．设数列A 的公差为d （d ≠0），运 用等差数列的定义和通项公式、性质，推理论证得到矛盾，即可判断．【详解】（1）数列P 的伴随集合为{}1,0,1,2,3-，数列Q 的伴随集合为{}3,5,6,9,10,12． （2）先证明:对任意i k ≠或j l ≠，则(1,1)i j k l a a a a i j n k l n +≠+<<≤≤≤≤． 假设()1,1i j k l a a a a i j n k l n +=+<<≤≤≤≤．当i k =且j l ≠，因为i j l k a a a a +=+，则j l a a =，即22j l =， 所以j l =，与j l ≠矛盾．同理，当i k ≠且j l =时，也不成立．当i k ≠且j l ≠时，不妨设i k <，因为i j l k a a a a +=+，则2222i j k l +=+， 所以1222j i k i l i ---+=+，左边为奇数，右边为偶数，所以1222j i k i l i ---+≠+，综上，对任意i k ≠或j l ≠，则(1,1)i j k l a a a a i j n k l n +≠+<<≤≤≤≤ 所以求集合M 中各元素之和时，每个()1i a i n ≤≤均出现n 1-次， 所以()()21444nS n =-+++ ()()()()()()1414441411141433nn n n n n +---=-=---=（3）假设500,,117100同时属于数列A 的伴随集合M ． 设数列A 的公差为()0d d ≠，则1122330,50,711,100i j i j i j a a a a a a ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩即()()()111122133220,5022,71122,100a i j d a i j d a i j d ⎧⎪++-=⎪⎪++-=⎨⎪⎪++-=⎪⎩①②③②-①得，()()()2211750-=i j i j d ++， ③-①得，()()()3311-=10011i j i j d ++， 两式相除得，()()()()22113311075070=i j i j i j i j +-++-+，因为*112233,,,,,N i j i j i j ∈，所以()()2211-5000i j i j k ++=，()()()3311-77Z,0i j i j k k k ++=∈≠，所以()()2211-5000i j i j ++≥． 又因为11221,,,2022i j i j ≤≤，所以()()()()2211-20222021214040i j i j ++≤+-+=，()()()()2211-12202120224040i j i j ++≥+-+=-，所以()()2211-4040i j i j ++≤，与()()2211-5000i j i j ++≥矛盾， 所以500,,117100不能同时属于数列A 的伴随集合M ．。
北京朝阳年上学期高二数学期末统一考试
北京朝阳年上学期高二数学期末统一考试（考试时间100分钟 得分100分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。
（1）不等式22x-1＜1的解集是 （ ）（A ）（21，1） （B ）（0，21） （C ）（21，∞） （D ）（-∞, 21） (2)“a+b ＞2c ”的一个充分条件是 （ ）（A ）a ＞c,或b ＞c (B)a ＞c ，且b ＜c (C)a ＞c,且 b ＞c (D)a ＞c,且b ＜c (3)arcsin53与arcsin 5π的关系是 （ ） （A ）arcsin 53＜arcsin 5π （B ）arcsin 53＞arcsin 5π （C ）arcsin 53＝arcsin 5π （D ）arcsin 53≥arcsin 5π （4）一条直线上顺次有A 、B 、C 三点，且│AB │=2，│BC │=3，则C 分有向线段AB 的比为 （ ）（A ）- 35 （B ）- 53 （C ）85 （D ）25 （5）下列函数中，最小值是4的是 （ ） （A ）y=x+x4 (B)=222222+++x x （C ）y=sinx+4cscx,x ∈(0，⎥⎦⎤ ⎝⎛2,0π （D ）y=2(7x +7-x ) （6）圆x 2+y 2=1与曲线xy-y=0的交点个数是 （ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个（7）不等式x -1＜x+1的解集是M ，│x+5│＞1的解集为N ，则M 与N 的关系是 （ ）（A ）M ⊂N （B ）N ⊂M （C ）M=N （D ）M ∩N=φ（8）一个等差数列的前4项之和是40，最后4项之和是80，所有项之和为210，则这个数列共有 （ ）（A ）12项 （B ）14项 （C ）16项 （D ）18项（9）已知直线l 1：y=kx+3（k ＜0 ＝被圆x 2+y 2=4截得的弦长为13，则l 1与直线l 2：y=（2+3）x 的夹角的大小是 （ ）（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）75°（10）已知数列｛a n ｝满足a 1=1,a n+1=13+n n a a ，则a 30= （ ） （A ）100 （B ）88 （C ）881 （D ）1001 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题后横线上.（11）在数列1，4，7，10，x ，16.中，x 的值是 .（12）已知点A （-1，-2），B （2，4），若直线ax+3y-5=0经过线段AB 的中点，则a=（13）关于x 的不等式（m 2-4m+3）x 2+2（m+1）x+1＞0对任意x ∈R 都成立，则实数m 的范围是 .（14）已知点P （x,y ）是第一象限的点，且点P 在直线3x+2y=6上运动，则使xy 取最大值的点P 的坐标为 .三、解答题：（本大题共6个小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）（15）（本小题满分6分）如图，ΔABC 中，已知A （-1，0），B （1，2），点B 关于y=0的对称点在AC 边上，且BC 边上的高所在的直线方程为x-2y+1=0.（Ⅰ）求AC 边所在直线的议程;（Ⅱ）求点C 的坐标.（16）（本小题满分6分）已知：a ＞0，b ＞0. 求证：ab b a 22+≥a+b. （17）（本小题满分6分）解关于x 的不等式log 2xx -+11＞log 2(1+x)-log 2k （k 是大于零的常数）. （18）（本小题满分8分）S2.已知数列｛a n｝中，S n表示前n项和，如果a n＞0, a n+2=2n求证数列｛a n｝为等差数列.(19)(本小题满分9分)某公司一年生产某种产品m件,并且分若干批生产(每批生产产品件数相同),已知每生产一批产品需用原料费15000万元,每批生产需直接消耗的管理等费用S与该批生产产品的件数x的立方．．成正比,当生产的一批产品为5件时，S=1000万元.（Ⅰ）求S关于x的函数表达式（Ⅱ）每批生产产品多少件时，一年生产的总费用最低（精确到1件，35.7≈）（本小题满分9分）（重点校学生做，普通校学生选做）已知点B是半圆x2+y2=1（y＞0）上的一个动点，点A的坐标为（2，0），ΔABC是以BC 为斜边的等腰直角三角形，且顶点A、B、C按顺时针方向排列.求点C的轨方程.（普通校学生做，重点校学生不做）已知圆x2+y2=25上的两个定点A（0，5），B（3，4）和一个动点D.求以AB、AD为两邻边的平行四边形ABCD的顶点C的轨迹方程.。
2020.1北京市朝阳区高二数学(上)期末试卷 答案
北京市朝阳区2019~2020学年度第一学期期末质量检测高二年级数学试卷 参考答案 2020．1三、解答题：（本题满分70分） 17．（本小题满分16分）解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d （0d >），由条件可得121113,(4)(),0,a d a a d a d d +=⎧⎪+=+⎨⎪>⎩解得11,2.a d =⎧⎨=⎩所以12(1)21n a n n =+-=-，*n ∈N ．…………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知2212n n n n b a n =+=-+，则12323121135(21)2222(121)222122 2.n nnn n S b b b b n n n n ++=++++=++++-++++++--=+-=+-所以数列{}n b 的前n 项和2122n n S n +=+-．…………………………………11分（Ⅲ）因为122(21)(21)n n n c a a n n +==-+11,2121n n =--+ 所以1111121335212121n nT n n n =-+-++-=-++. 由2242125n n >+得12n >，又因为*n ∈N ， 所以满足2425n T >的n 的最小值为13. ……………………………………16分 18．（本小题满分18分）解：（Ⅰ）因为四边形ABCD 为矩形，所以AD BC ∥． 又因为BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，所以AD ∥平面PBC ． ……………………………………………………4分（Ⅱ）根据题意，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，因为AB Ì平面ABCD ，且AB AD ⊥， 所以AB ⊥平面PAD ． 又因为PD ⊂平面PAD ，所以AB PD ⊥． ……………………………………………………9分（Ⅲ）取AD 的中点为O ，取BC 的中点为E ，连接,OP OE ，则OE AD ⊥，又因为PA PD =，所以POAD ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，分别以,,OA OE OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图． 不妨设AB =PA PD AB ==，90APD ∠=︒，所以PA PD==2AD =，1OP =．所以(1,0,0)A，B ，(C -，(0,0,1)P ，(D -所以1)PB =-，(2,0,0)BC =-，(1,0,1)=--PD ．由（Ⅱ）可知，AB PD ⊥．因为90APD ∠=︒，所以⊥PA PD ．所以⊥PD 平面PAB ．所以PD 为平面PAB 的一个法向量． 设平面PBC 的一个法向量为(),,x y z =n ，则0,0,PB BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩n n即0,20.x z x ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩取1y =，得平面PBC的一个法向量为=n ．则cos ,3PD PD PD ⋅〈〉===-⋅n n n，由图可知，二面角--A PBC 为钝角， 所以二面角--A PB C 的余弦值是3-．…………………………………18分 19．（本小题满分18分）解：（Ⅰ）由抛物线22y px =过点(1,2)，得24p =．于是2p =，所以该抛物线的方程为24y x =，准线方程为1x =-．……………………………………………………………4分 （Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ．焦点F 的坐标为(10)，．（i ）由题可知，直线l 的方程为1y x =-．联立24,1,y x y x ⎧=⎨=-⎩得2440y y --=．由韦达定理可得12124,4.y y y y +=⎧⎨=-⎩因为||1OF =，1212||||||y y y y+=-，所以()121212111||||||||||||||2221||2OB OF O A A FBS S S OF y OF y OF y y y y =+=⋅+⋅=+=-===△△△所以AOB △的面积为……………………………………………………10分（ii ）易知直线l 的斜率存在且不为0，焦点坐标为(10)，， 设直线():1l y k x =-．联立()24,1,y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得2222(24)0k x k x k -++=．由韦达定理可得1221242,1.x x k x x ⎧+=+⎪⎨⎪=⎩①② 由题意，||3||FA FB =，因为,A B 分别到准线的距离等于,A B 到焦点F 的距离， 所以1213(1)x x +=+，即1232x x =+．③ 联立②③，解得1213,3x x ==，代入①得23k =，所以k = 所以直线l的方程为)1y x =-． …………………………………18分20．（本小题满分18分）解：（Ⅰ）设0(,0)A x ，因为点A 在直线20x y ++=上，所以020x +=，得02x =-，所以(2,0)A -． 所以2a =．又因为离心率2c e a ==，所以c =1b =． 所以椭圆C 的方程为2214x y +=. ……………………………………5分 （Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ．（i）因为k =22,1,4y m x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y可得22)14x m ++=，即229440x m ++-=，由2161440m ∆=-+>得29m <．由韦达定理，2121244.9m x x x x -+==由弦长公式得||MN ===由于216144144m -+≤，所以||MN =≤=当且仅当0m =时，||MN取到最大值3. ……………………………11分 （ii ）若||||OD OE =，则O 为DE 的中点，所以0D E x x +=. 设直线0:DE y k x =，直线11:(2)2y AM y x x =++， 两个方程联立可得：101(2)2y x k x x +=+． 解得10112(2)D y x k x y =+-，同理20222.(2)E y x k x y =+- 所以12011022220,(2)(2)D E y y x x k x y k x y +=+=+-+-即0121202112(2)(2)0.k y x y y k y x y y +-++-=所以210102012122()20.y m y mk y k y k y y y y k k --⋅+⋅++-= 化简得：00120122(1)(2)()0.k mky y k y y k k-+-+=① 由22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得: 2222()44y m k y k -+=，即2222(14)240k y my m k +-+-=，由222244(14)(4)0m k m k ∆=-+->，得2214m k <+．所以2212122224,.1414m m k y y y y k k -+==++ 代入①得到：2200022422(1)(2)0.1414k mk m k m k k k k k--+-=++ 所以2200()(4)(2)0,k k m k mk m k ----= 即0(2)(22)0.m k k k k m ---=若2m k =，则直线l 过点A ，与已知不符合. 又0k ≠，所以0220k k m --=.又由0:DE y k x =，联立:l y kx m =+，消去y 得：02P mx k k==-， 所以，点P 在定直线2x =上. ………………………………………………18分。
2023-2024学年北京市朝阳区高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市朝阳区高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．若直线l的斜率为−√3，则l的倾斜角为（）A．−π3B．−π6C．2π3D．5π62．已知等差数列{a n}，其前n项和为S n，若a2+a5+a8＝3，则S9＝（）A．3B．6C．9D．273．已知双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的实轴长为2√2，其左焦点到双曲线的一条渐近线的距离为√2，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y=±√2x C．y=±√3x D．y＝±2x4．过抛物线x2＝4y的焦点F作倾斜角为30°的直线l与抛物线交于A，B两点，则|AB|＝（）A．103B．4C．133D．1635．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为CD和A1B1的中点，则异面直线AF与D1E所成角的余弦值是（）A．0B．35C．45D．2√556．若方程x24−m −y2m=1表示椭圆，则实数m的取值范围是（）A．（0，4）B．（﹣∞，0）C．（4，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，4）7．已知等比数列{a n}各项都为正数，前n项和为S n，则“{a n}是递增数列”是“∀n∈N*，S2n＜3S n”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．为了响应国家节能减排的号召，甲、乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月两厂污水的排放量W 与时间t的关系如图所示，下列说法正确的是（）A．该月内，甲乙两厂中甲厂污水排放量减少得更多B．该月内，甲厂污水排放量减少的速度是先慢后快C．在接近t0时，甲乙两厂中乙厂污水排放量减少得更快D．该月内存在某一时刻，甲、乙两厂污水排放量减少的速度相同9．A，B是圆C1：（x﹣2）2+（y﹣m）2＝4上两点，|AB|＝2√3，若在圆C2：（x﹣2）2+（y+1）2＝9上存在点P恰为线段AB的中点，则实数m的取值范围为（）A．[1，3]B．[﹣5，3]C．[﹣5，﹣3]∪[1，3]D．[﹣4，﹣2]∪[2，4]10．已知数列{a n}的通项公式a n＝2n，n∈N*．设t＝（a1+1）（a2+1）（a4+1）…（a2k−1+1），k∈N*，若log2（t+1）＝256，则k＝（）A．6B．7C．8D．9二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2022-2023学年北京市朝阳区高二(上)期末数学试卷+答案解析(附后)
2022-2023学年北京市朝阳区高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为等差数列，，则( )A. 4B. 6C. 8D. 102.已知点到直线的距离为1，则实数( )A. B. C. D.3.设函数，则曲线在点处的切线方程为( )A. B. C. D.4.已知F是抛物线C：的焦点，点在抛物线C上，则( )A. B. C. 3 D. 45.已知直线：，直线：，则“”是“”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.如图，在四面体OABC中，G是BC的中点，设，，，则( )A.B.C.D.7.已知函数有两个极值点，，则( )A. 或B. 是的极小值点C. D.8.在平面直角坐标系xOy中，设，是双曲线的两个焦点，点M在C上，且，则的面积为( )A. B. 2 C. D. 49.如图，平面平面，，A，B是直线l上的两点，C，D是平面内的两点，且，，，，，若平面内的动点P满足，则四棱锥的体积的最大值为( )A. 24B.C. 48D.10.斐波那契数列在很多领域都有广泛应用，它是由如下递推公式给出的：，当时，若，则( )A. 98B. 99C. 100D. 101二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.函数的导函数__________.12.已知平面的法向量为，直线l的方向向量为，且，则实数__________.13.过圆C：的圆心且与直线平行的直线的方程是__________.14.设点，分别为椭圆的左、右焦点，则椭圆C的离心率为__________；经过原点且斜率不为0的直线l与椭圆C交于P，Q两点，当四边形的面积最大时，__________.15.已知是首项为负数，公比为q的等比数列，若对任意的正整数n，恒成立，则q的值可以是__________只需写出一个16.数学家笛卡儿研究了许多优美的曲线，如笛卡儿叶形线D在平面直角坐标系xOy中的方程为当时，给出下列四个结论：①曲线D不经过第三象限；②曲线D关于直线轴对称；③对任意，曲线D与直线一定有公共点；④对任意，曲线D与直线一定有公共点．其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本题共5小题，共70分。
2022-2023学年北京市朝阳区高二上学期数学期末试题(解析版)
2022-2023学年北京市朝阳区高二上学期数学期末试题一、单选题1．已知{}n a 为等差数列，54a =，则46a a +=（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10【答案】C【分析】由等差数列性质，4652a a a +=，求出式子的值. 【详解】因为{}n a 是等差数列，所以4652248a a a +==⨯=. 故选：C.2．已知点(,2)(0)a a >到直线:30l x y -+=的距离为1，则a 等于（ ）A B ．2C 1 D 1【答案】C【分析】根据点到直线得距离公式即可得出答案. 【详解】1=．解得1a =-1a =-0a >，1a ∴=- 故选：C.3．设函数()ln f x x x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为（ ） A ．10x y --= B ．210x y --= C ．20x y --= D ．220x y --=【答案】B【分析】利用导数的几何意义求在1x =处切线的斜率，进而即可得切线方程. 【详解】因为()ln f x x x =+，所以1()1f x x'=+，所以(1)2f '=， 即()y f x =在1x =处切线方程的斜率为2，又因为(1)1f =，所以切线方程为12(1)y x -=-，整理得210x y --=， 故选：B4．已知F 是抛物线2:4C y x =的焦点，点()03,P y 在抛物线C 上，则||PF =（ ）A ．B ．1C ．3D ．4【答案】D【分析】根据抛物线的定义可得：2P pPF x =+，代入数据即可求解.【详解】因为抛物线方程为2:4C y x =，所以12p=， 又因为点()03,P y 在抛物线C 上，由抛物线的定义可得：3142P pPF x =+=+=， 故选：D .5．已知直线1:10l x ay ++=，直线2:(2)310l a x y ++-=，则“1a =”是“12l l ∥”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据直线的平行的判定即可求解. 【详解】12l l ∥等价于11231a a =≠+-， 解得2230a a +-=， 所以(3)(1)0a a +-=， 解得3a =-或1a =，当3a =-时，1:310l x y -+=，2:310l x y -+-=，此时12,l l 重合， 故“1a =”是“12l l ∥”的充分必要条件. 故选：C.6．如图，在四面体OABC 中，G 是BC 的中点，设OA a =，OB b =，OC c =，则=AG （ ）A ．1122a b c --B ．1122a b c -++C ．12a b c -++D ．12a b c --【答案】B【分析】根据三角形法则先求得向量AB 、AC ，进而求得AG ． 【详解】解：AC OC OA c a =-=-， AB OB OA b a =-=-，()()111122222AG AC AB a b c a b c ∴=+=-++=-++． 故选：B ．7．已知函数32()1(R)f x x ax x a =+++∈有两个极值点()1212,x x x x <，则（ ）A ．a <a >B ．1x 是()f x 的极小值点C ．1213x x +=D ．1213x x =-【答案】A【分析】根据函数32()1(R)f x x ax x a =+++∈有两个极值点， 则导数为0有两个根,由单调性及根与系数的关系等逐个判断即可.【详解】因为函数32()1(R)f x x ax x a =+++∈有两个极值点()1212,x x x x <， 所以2()321=0f x x ax '=++有两个根()1212,x x x x <,所以122+=3ax x ,121=3x x ,故CD 选项错误;因为2()321=0f x x ax '=++有两个根()1212,x x x x <,所以()2=24310a ∆-⨯⨯>,即得230a ->,解得a <a >故A 选项正确; 因为2()321=0f x x ax '=++有两个根()1212,x x x x <,()f x 在()1,x -∞上单调递增,在()12,x x 上单调递减,所以1x 是()f x 的极大值点,故B 选项错误;故选: A.8．在平面直角坐标系xOy 中，设12,F F 是双曲线22:12y C x -=的两个焦点，点M 在C 上，且120MF MF ⋅=，则12F F M △的面积为（ ）AB ．2CD ．4【答案】B【分析】利用双曲线的几何性质求解即可.【详解】因为点M 在C 上，12,F F 是双曲线的两个焦点, 由双曲线的对称性不妨设12MF MF >，则1222MF MF a -==①，22122223F F c a b ==+=， 因为120MF MF ⋅=，所以12MF MF ⊥， 由勾股定理得222121212MF MF F F +==②， ①②联立可得151MF =+，251MF =-， 所以1212122F F MSMF MF ==， 故选：B9．如图，平面α⊥平面β，l αβ=，A ，B 是直线l 上的两点，C ，D 是平面β内的两点，且DA l ⊥，CB l ⊥，4DA =，6AB =，8CB =，若平面α内的动点P 满足APD BPC ∠=∠，则四棱锥P ABCD-的体积的最大值为（ ）A ．24B ．243C ．48D ．483【答案】C【分析】根据已知可得36ADCB S =，则当四棱锥的高h 最大，即PAB 的高PE 最大即可.根据面面垂直的性质得出线线垂直关系结合APD BPC ∠=∠，可得2BP AP =.设APB θ∠=，AP m =，在APB △根据余弦定理结合面积公式得出()221202564h m =--+.由三边关系得到26m <<，即可得到4h ≤，代入体积公式即可求出结果.【详解】在平面β内，由DA l ⊥，CB l ⊥，可得//DA BC .又4DA =，8CB =，所以四边形ADCB 为直角梯形，()()114863622ADCB S AD BC AB =⨯+⨯=⨯+⨯=.要使四棱锥P ABCD -的体积的最大值，则只要四棱锥的高h 最大即可. 因为平面α⊥平面β，l αβ=，过点P 向l 作垂线交l 于E ，根据面面垂直的性质可得，PE α⊥，则PE h =.又PE 是PAB 的高，且由DA l ⊥，CB l ⊥可知，DA α⊥，CB α⊥， 又AP α⊂，PB β⊂，所以DA AP ⊥，BC PB ⊥.在Rt PAD △中，tan AD APD AP∠=.在Rt PBC 中，tan BCBPC BP ∠=.又APD BPC ∠=∠，所以AD BCAP BP =，所以4182AP AD BP BC ===，即2BP AP =. 设APB θ∠=，AP m =，在APB △中，由余弦定理可得22222536cos 24AP BP AB m AP BP m θ+--==⋅. 因为sin 0θ>，所以sin θ== 则1sin 2PABSPA PB θ=⋅，又132PABS AB h h =⋅=， 所以，h =根据三角形三边关系可得66PA PB AB PA PB AB +>=⎧⎨-<=⎩，即366m m >⎧⎨<⎩，所以26m <<，2436m <<. 所以，当220m =时，h =4. 又四棱锥P ABCD -的体积为113644833ADCB V S h =⨯⋅≤⨯⨯=，所以，四棱锥P ABCD -的体积的最大值为48. 故选：C.10．斐波那契数列{}()N n F n *∈在很多领域都有广泛应用，它是由如下递推公式给出的：121F F ==，当2n >时，12n n n F F F --=+．若2222123100mmF F F F F F ++++=，则m =（ ）A ．98B ．99C ．100D ．101【答案】B【分析】根据题意推出21111()m m m m m m m m F F F F F F F F +-+-=-=-,再利用累加法化简即可求出m 的值.【详解】由题意得，2121F F F =，因为3,N n n *≥∈,12n n n F F F --=-，所以222312321()F F F F F F F F =-=-，233423432()F F F F F F F F =-=-，，21111()m m m m m m m m F F F F F F F F +-+-=-=-，累加得222121m m m F F F F F ++++=，因为22221231100mm m mmF F F F F F F F F +++++==，所以1100m F F当2,N n n *≥∈,121n n n n F F F F ---=+>,{}n F 是递增数列. 所以1100m +=，所以99m =. 故选：B .二、填空题11．函数()x f x xe =的导函数()f x '=______. 【答案】(1)x x e +⋅【分析】利用乘积导数运算法则，即可得到结果. 【详解】∵()x f x xe =，∴()()1x x xf x e xe x e '=+=+.故答案为：(1)x x e +⋅.12．已知平面α的法向量为(1,2,2)n =-，直线l 的方向向量为(2,,4)u m =-，且l α⊥，则实数m =_________．【答案】4-【分析】根据直线与平面垂直可得直线l 的方向向量与平面α的法向量平行，利用两向量平行的充要条件即可求解.【详解】因为平面α的法向量为(1,2,2)n =-，直线l 的方向向量为(2,,4)u m =-，且l α⊥，所以//n u ，则存在实数λ使得u n λ=，也即(2,,4)(,2,2)m λλλ-=-，解得：2λ=-，4m =-， 故答案为：4-.13．过圆22:(1)1C x y ++=的圆心且与直线0x y -=平行的直线的方程是__． 【答案】10x y -+=【分析】设出与直线0x y -=平行的直线，将圆心代入即可. 【详解】由22:(1)1C x y ++=的圆心为()1,0-， 设与直线0x y -=平行的直线为：0x y a -+=，因为0x y a -+=过圆心()1,0-， 所以1001a a --+=⇒=， 故所求直线为：10x y -+=， 故答案为：10x y -+=.14．已知{}n a 是首项为负数，公比为q 的等比数列，若对任意的正整数n ，21220n n a a -+>恒成立，则q 的值可以是____________________．（只需写出一个） 【答案】-3（答案不唯一，2q <-即可） 【分析】根据已知可推出()22120n a qq -+>恒成立，进而得到20q +<，2q <-.【详解】由21220n n a a -+>可得，()222122111220n n n a qa q a q q ---+=+>恒成立， 因为0q ≠，显然有()22210n n q q --=>，又10a <，所以20q +<，2q <-. 故答案为：-3.15．数学家笛卡儿研究了许多优美的曲线，如笛卡儿叶形线D 在平面直角坐标系xOy 中的方程为3330x y axy +-=．当1a =时，给出下列四个结论：①曲线D 不经过第三象限； ②曲线D 关于直线y x =轴对称；③对任意R k ∈，曲线D 与直线y x k =-+一定有公共点； ④对任意R k ∈，曲线D 与直线y k =一定有公共点． 其中所有正确结论的序号是________________． 【答案】①②④【分析】当,0x y <时，判断3330x y xy +-=是否成；点(y ，x )代入方程，判断与原方程是否相同； 联立直线和曲线方程，判断方程组是否有解分别逐一判断选项即可. 【详解】当1a =时, 方程为3330x y xy +-=当,0x y <时，3330x y xy +-<，故第三象限内的点不可能在曲线上，①正确； 将点(),y x 代入曲线方程得3330x y xy +-=，故曲线关于直线y x =对称，②正确；当1k =-,联立3330,1,x y xy x y ⎧+-=⎨+=-⎩其中()()3322330x y xy x y x y xy xy +-=++--=，将1x y +=-代入得2()0x y -+=，即0x y +=，则方程组无解， 故曲线D 与直线1x y +=-无公共点，③错误;联立3330,x y xy y k⎧+-=⎨=⎩可得3330x k xk +-=有解,设()333t x x k xk =+-,()(2333t x x k x x '=-= ,当0k >时, ()t x 在(),,-∞+∞单调递增, (单调递减,值域为R 所以()0t x =成立,当0k =时()00t =成立.当0k <时, ()2330t x x k '=->,()t x 单调递增,()()33233230,30t k k k k t k k k k -=-++>=+-<,所以()()00,,0x k k t x ∃∈-=成立,所以曲线D 与直线y k =一定有公共点 故④选项正确. 故答案为：①②④.三、双空题16．设点12,F F 分别为椭圆22:12x C y +=的左、右焦点，则椭圆C 的离心率为______________；经过原点且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，当四边形12PFQF 的面积最大时，12PF PF ⋅=_____________．【答案】2； 0. 【分析】根据已知求出,,a b c 的值，即可得到离心率；根据对称性可得，1212022PF QF PF F S Sy ==，所以,P Q 为短轴顶点.写出12,,P F F 的坐标，即可得到结果.【详解】由已知可得，a =1b =，所以1c =，则离心率c e a ==根据椭圆的对称性可得，,P Q 点关于原点对称，设()00,P x y ，()00,Q x y --. 且1212120012222PF QF PF F S SF F y y ==⨯=， 当0y 最大时，面积最大，则此时,P Q 为短轴顶点.不妨设()0,1P .()11,0F -，()21,0F ，所以()11,1PF =--，()21,1PF =-， 所以()()1211110PF PF ⋅=-⨯+-⨯-=.0.四、解答题17．设函数321()313f x x x x =--+．(1)求()f x 的单调区间；(2)当[0,4]x ∈时，求()f x 的最大值与最小值．【答案】(1)单调递增区间是(],1-∞-,[)3,+∞，单调递减区间是()1,3- (2)最大值()01f =,最小值()38f =-【分析】（1）利用导数和函数单调性的关系，求函数的单调区间； （2）利用函数的单调性，列表求函数的最值.【详解】（1）()()()22313f x x x x x '=--=+-，当()0f x '≥，解得：3x ≥或1x ≤-，所以函数的单调递增区间是(],1-∞-,[)3,+∞， 当()0f x '<，解得：13x -<<，所以函数的单调递减区间是()1,3-， 所以函数的单调递增区间是(],1-∞-,[)3,+∞，单调递减区间是()1,3-； （2）由（1）可得下表所以函数的最大值是()01f =，函数的最小值是()38f =-18．已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为()15,1,9n S n a a *∈==N ．(1)求数列{}n a 的通项公式及n S ；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求数列{}n b 的前n 项和n T ．条件①：2n an b =；条件②：2nn n b a =+；条件③：11n n n b a a +=⋅．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)21n a n =-，2n S n =(2)若选①：21223n n T +-=；若选②：1222n n T n +=-+；若选③：21n nT n =+【分析】（1）根据等差数列的通项公式和求和公式即可求解；（2）根据等比数列求和公式、分组求和方法、乘公比错位相减法即可分别求解. 【详解】（1）设数列{a n }的公差为d . 151,9a a ==，514918d a a =-=-=，2d =，11,a =所以1(1)221n a n n =+-⨯=-，所以()122n n a a n S n +==. （2）若选①：2122n a n n b -==，12113521122(14)22...222 (2)143n n n n n T b b b +---=+++=++++==-； 若选②：221n n b n =+-， ()()11212121212(12)...(22...2)135...2122122n nn n n n n T b b b n n +⎡⎤+--⎣⎦⎡⎤=+++=++++++++-=+=-+⎣⎦-.若选③：()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅-+-+⎝⎭， 1211111111111......2133557792121n n T b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1112121n ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦ 12221n n ⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦21n n =+. 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，//AD BC ，π2ABC ∠=，3PA PB ==，1BC =，2AB =，3AD =，点O 是AB 的中点．(1)求证：PO CD ⊥；(2)求二面角A PO D --的余弦值；(3)在棱PC 上是否存在点M ，使得//BM 平面POD ?若存在，求CM CP的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明过程见解析；5 (3)存在，14CM CP =.【分析】（1）根据等腰三角形的性质，结合面面垂直的性质、线面垂直的性质进行证明即可；（2）根据（1）的结论建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；（3）根据线面平行的性质，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】（1）因为PA PB =，点O 是AB 的中点，所以PO AB ⊥，因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，所以PO ⊥平面ABCD ，而CD ⊂平面ABCD ，所以PO CD ⊥；（2）设E 为CD 的中点，连接OE ，因为//AD BC ，π2ABC ∠=，所以OE AB ⊥，由（1）可知：PO ⊥平面ABCD ，而,AB OE ⊂平面ABCD ，所以,PO OE PO AB ⊥⊥，因此建立如图所示的空间直角坐标系，(0,0,2),(0,0,0),(1,0,0),(1,3,0),(1,1,0),(1,0,0),P O A D C B --，因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，OE AB ⊥，所以OE ⊥平面PAO ，因此平面APO 的法向量为(0,1,0)OE =，设平面DPO 的法向量为(,,)n x y z =，(0,0,22),(1,3,0)OP OD ==-， 于是有0220(3,1,0)300n OP z n x y z n OD ⎧⎧⋅==⎪⎪⇒⇒=⎨⎨-++=⎪⋅=⎪⎩⎩， 二面角A PO D --的余弦值为：2252231OE n OE n ⋅==⋅⨯+ （3）假设在棱PC 上存在点M ，使得//BM 平面POD ，且([0,1])CM CP λλ=∈，可得：(1,1,22)M λλλ--，因此(,1,22)BM λλλ=--，由（2）可知平面DPO 的法向量为(3,1,0)n =，因为//BM 平面POD ，所以10310[0,1]4BM n BM n λλλ⊥⇒⋅=⇒-+-=⇒=∈， 因此假设成立，14CM CP =.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的长轴长为4，且点P ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点(4,0)M 的直线l 椭圆C 交于()()1122,,,A x y B x y 两点，且120y y ≠．问：x 轴上是否存在点N 使得直线NA ，直线NB 与y 轴围成的三角形始终是底边在y 轴上的等腰三角形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)2214x y += (2)存在，()1,0N【分析】（1）根据椭圆的定义即可求解；（2）转化为NA NB k k +=0后，根据直线与椭圆联立即可求解.【详解】（1）因为 1224PF PF a +==,解得a =2.所以点 P ⎛ ⎝⎭在椭圆 C 上.将 ⎛ ⎝⎭代入 22221x y a b +=, 得 221314a b +=. 1b =.从而 24a =.22:14x C y +=. （2）显然直线 l 的斜率存在且不为 0 , 设直线l 的方程为 ()4y k x =-.设 ()()1122,,,A x y B x y .假设存在点 (),0N t ,因为直线 ,NA NB 与 y 轴围成的三角形始终为底边在y 轴上的等腰三角形，NA NB k k +=0，即 ()()()()()()12121212121212442480NA NB k x k x x x t x x t y y k k k x t x t x t x t x t x t ---++++=+=+=⋅=------, 即 ()()12122480x x t x x t -+++=.由 ()224,14y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 消去 y 并整理, 得 ()222214326440k x k x k +-+-=.由 ()()()2222324146440k k k ∆=--+->,求得 21012k <<, 则 2212122232644,1414k k x x x x k k -+==++. 所以 ()22226443224801414k k t t k k-⨯-+⨯+=++, 解得 1t =.于是在 x 轴上存在定点 ()1,0N , 使得直线 ,NA NB 与 y 轴围成的三角形始终为底边在y 轴上的等腰三角形.21．在无穷数列{}n a中，12211,,N n n n a a a a a n *++==-∈．(1)求41a a 与74a a 的值； (2)证明：数列{}n a 中有无穷多项不为0；(3)证明：数列{}n a 中的所有项都不为0．【答案】(1)411a a =，741a a (2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用递推公式求47,a a 的值即可；（2）假设数列{}n a 中有限个项不为0，然后推出与题意矛盾即可求证；（3）由（2）可得在无穷处能找到一个0n a ≠，利用递推公式可得数列{}n a 呈周期变化，369123,,,,,0n n n n n k a a a a a +++++⋅⋅⋅≠ *(N )k ∈，令31,2,3n k -=即可证明.【详解】（1）由12211,,N n n n a a a a a n *++==-∈可得，3211a a a =-，4322a a a =-=5433a a a =-=-6541a a a =-，7654a a a =-=，所以411a a，741a a . （2）假设数列{}n a 中有限个项不为0，则会存在一个数m ，当n m ≥时，0n a =，则10,0m m a a +==， 由11m m m a a a +-=-可得10m a -=； 由12m m m a a a --=-可得20m a -=⋅⋅⋅ 由321a a a =-可得10a =，与题意矛盾，故假设不成立，所以数列{}n a 中有无穷多项不为0（3）由（2）可得在无穷处能找到一个0n a ≠， 因为12n n n a a a --=-，所以12n n a a --≠， 所以由123n n n a a a ---=-可得30n a -≠，同理可得69123,,,,0n n n n k a a a a ----⋅⋅⋅≠(30,N)n k k ->∈，当31n k -=即13n k =+时，因为N k ∈，且10a ≠，所以数列31{}k a +所有项都不为0，当32n k -=即23n k =+时，因为N k ∈，且20a ≠，所以数列32{}k a +所有项都不为0，当33n k -=即33n k =+时，因为N k ∈，且30a ≠，所以数列33{}k a +所有项都不为0，综上可得数列{}n a 中的所有项都不为0．【点睛】关键点睛：第（3）问一开始用到了第（2）问的结论，关键是利用递推数列能得到数列的周期变化，考查分析问题与解决问题的能力.。
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12．已知������(8,0),������(0,6),������(0,0) ,则������������������������的外接圆的方程是
.
【答案】(������ ‒ 4) + (������ ‒ 3) = 25 【解析】本题主要考查圆的标准方程与圆的性质.由圆的性质可知，线段 OA 与线段 OB 的垂直平分线的交 2 2 点即为圆心，所以圆心坐标为(3,4),则半径 r=5,所以，所求圆的标准方程为(������ ‒ 4) + (������ ‒ 3) = 25
A. 2 【答案】B 【解析】本题主要考查圆的性质、平面向量的平行四边形法则、菱形的性质、点到直线的距离公式.以 B.2 C. 6 D.2 2
������������1、������������2为邻边作菱形，由������1������2与������������1 + ������������2分别表示菱形两条对角线所表示的向量，因为 |������1������2| ≥ |������������1 + ������������2|,所以������������1、������������2的夹角为直角或钝角，所以圆心到直线 l 的距离小于等于 2，由 |������| 点到直线的距离公式可得 ≤ 2,所以 ‒ 2 ≤ ������ ≤ 2，则实数������的最大值是 2 2
向量中与������1������相等的向量是
A. ‒ ������ + ������ + ������
1 2
1 2
B. ������ + ������ + ����� ������ ‒ ������ + ������ 2 2
D. ‒ ������ ‒ ������ + ������
9．如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的体积为
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A.
16 3
B.
16 3 3
C.
32 3
D.
64 3
【答案】C 【解析】本题主要考查空间几何体的三视图、表面积与体积，考查了空间想象能力.由三视图可知，该三棱 锥的底面面积为 × 4 × 4 = 8，高为 4，所以，该三棱角的体积 V= × 8 × 4 =
北京市朝阳区高二上学期期末考试 数学试卷
一、选择题：共 10 题
1．圆(������ ‒ 2)
2
+ ������2 = 4被直线������ = 1截得的弦长为
C. 2 D.2 3
A.1 【答案】D
B. 3
【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆的性质.由圆的方程可知，圆心坐标为(2,0),半径 r=2,则圆心 到直线 x=1 的距离为 d=1，由垂径定理可知，弦长为2 ������2 ‒ ������2 = 2 3
2
4．已知两条不同的直线������,������,三个不同的平面������,������,������,下列说法正确的是
A.若������//������,������ ⊥ ������,则������//������
B.若������//������,������//������,则������//������
7．若由方程������
2
‒ ������2 = 0和������2 + (������ ‒ ������)2 = 2所组成的方程组至多有两组不同的实数解,则实数������的取值范
B.������ ≥ 2或������ ≤ ‒ 2
围是 A.������ ≥ 2 2或������ ≤ ‒ 2 2 C. ‒ 2 ≤ ������ ≤ 2 【答案】B 【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系. 方程������ ‒ ������ = 0表示两条直线，联立两个方程，消去 x，化 简可得 2y2-2by+b2-2=0,由题意可知，判别式=4b2-8(b2-2) ≤ 0,所以������ ≥ 2或������ ≤ ‒ 2
3 2
3 2
5 2
2,������������ = 1.已知顶点������在底面 ������������������������上的射影为点������,四棱锥的高为 2,则在四棱锥������ ‒ ������������������������中,������������与平面������������������������所成角的正切值为
5．在圆������
2
+ ������2 = 16上任取一点������,过点������作������轴的垂线段������������,������为垂足,当点������在圆上运动时,线段������������的中点
������的轨迹方程是 ������2 ������2 ������2 ������2 ������2 2 2 2 A. + ������ = 1 B.������ + ������ = 4 C. + = 1 D. + =1 4 16 4 16 4
【答案】C 【解析】本题主要考查点的轨迹方程、圆的方程.设点 P(s,t),M(x,y),D(s,0),由题意可知，s=x，t=2y，且
������2 ������2 ������ + ������ = 16，消去 s、t，化简可得点 M 的轨迹方程为 + = 1 16 4
2 2
6．如图,平行六面体������������������������ ‒ ������1������1������1������1中,������������与������������的交点为������,设������1������1 = ������,������1������1 = ������,������1������ = ������,则下列
二、填空题：共 6 题
11．写出命题������:“任意两个等腰直角三角形都是相似的”的否定¬������:______________;判断¬������是__________命
题. (后一空中填“真”或“假”) 【答案】存在两个等腰直角三角形,它们不相似; 假 【解析】本题主要拿考查全称命题与特称命题的否定、命题真假的判断.由全称命题的否定的定义可知：命 题¬������: 存在两个等腰直角三角形,它们不相似;显然命题¬������是假命题.
1 2
1 3
32 3
10．已知动圆������位于抛物线������
2
= 4������的内部(������2 ≤ 4������),且过该抛物线的顶点,则动圆������的周长的最大值是
D. 16π
A.π
B.2π
C.4π
【答案】C 【解析】本题主要考查抛物线的简单几何性质、圆的方程与性质.设圆的方程为 x2+(y-b)2=b2(b>0),与 ������2 = 4������联立消去 x 可得 y2+(4-2b)y=0,由题意可知，要使动圆������的周长最大，则圆的半径也最大，且圆与抛 物线相切，则判别式=0，故 b=2，所以动圆������的周长的最大值是4π
15．下图为四棱锥������ ‒ ������������������������的表面展开图,四边形������������������������为矩形,������������ =
_________.
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P2(P)
D
C
P1(P)
A
B
P3(P)
P4(P)
【答案】
6 3
【解析】本题主要考查直线与平面所成的角、线面垂直，考查了空间想象能力.由题意可知，在四棱锥 ������ ‒ ������������������������中，PA 与平面 ABCD 垂直，所以∠PCA 是直线 PC 与平面 ABCD 所成的角，又因为 ������������ = 2,������������ = 1，所以 AC= 3，又 PA= 2，所以������������与平面������������������������所成角的正切值为 tan∠PCA=
2
2
13．中心在原点,焦点在������轴上,虚轴长为4
2并且离心率为3的双曲线的渐近线方程为__________.
【答案】������ =±
2 ������ 4
������2 ������2 【解析】本题主要考查双曲线的简单几何性质.设双曲线的方程为 2 ‒ 2 = 1(������ > 0,������ > 0),由题意可知， ������ ������ 2 2 ������ b=2 2，又因为 e=3，所以 c=3a，易求得 a=1，所以双曲线方程为������ ‒ = 1，则渐近线方程为 8 2 ������ =± ������ 4
������2 ������2 14．过椭圆 C: + = 1的右焦点������2的直线与椭圆 C 相交于 A,B 两点．若������������2 = ������2������,则点������与左焦点������1 4 3 的距离|������������1|=_________.
【答案】
5 2
【解析】本题主要考查椭圆的简单几何性质、平面向量的共线定理.由题意，因为������������2 = ������2������,所以 AB 与 x 轴垂直，将 x=1 代入椭圆方程求得|y|= ,即|AF2|= ,又因为|������������1| + |������������2| = 2������ = 4,所以|������������1|=
2
> 4”,则������是������的
A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 【答案】A
B.必要而不充分条件 D.即不充分也不必要条件