三角函数辅导

专题复习：三角函数

一、x y sin =的对称轴为2

ππ+=k x ，对称中心为Z k k ∈ )0,(π；x y cos =的对称轴为πk x =，对称中心为)0,(2π

π+k ，)0,(tan 2

πk x y 的对称中心为=对于)sin(φω+=x A y 和)cos(φω+=x A y 来说，对称中心对应于零点，对称轴与最值点对应。

【例1】►(1)函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π

3图象的对称轴方程可能是( )．

A ．x ＝－π6

B ．x ＝－π12

C ．x ＝π6

D ．x ＝π

12

(2)若0＜α＜π2

，g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋α是偶函数，则α的值为________． 【训练1】 1(1)函数y ＝2sin(3x ＋φ)⎝⎛⎭⎫||φ＜π2的一条对称轴为x ＝π

12，则φ＝________.

(2)函数y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．则φ＝________.

2. 已知f (x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为( )． A.π6 B.π3 C ．－π6 D ．－π

3

3、若函数x a x x f 2cos 2sin )(+=的图像关于直线8π-=x 对称，那么=-)(8πf ； 二、、将函数x y sin =图像变换为)sin(φω+=x A y 的图像变换方法有：（1）先相位变换后周期变换；（2）先周期变换后相位变换，一般选择第一种方法较好，注意语言的叙述。 注意：在进行图象变换时，必须注意ω对平移单位的影响，即由y ＝A sin ωx 变化到y ＝

A sin(ωx ＋φ)时，平移量应是|φ

ω

|；但对y ＝A sin(ωx ＋φ)进行伸缩变换时，要注意φ是不变

的，故本题常见的错误是将平移后的解析式写为y ＝sin(2x ＋|φ|＋π

4)；

注：变换总是对字母x 本身而言（相位变换和周期变换）如：函数x y 2sin =的图象向

右平移

6

π

个单位长度，得到的图象表达式为)6(2sin π-=x y 而不是)62sin(π-=x y ；

函数)6

sin(π

+=x y 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象的表达式为

)621sin(π+=x y 而不是)6

(21sin π+x 。

例2.已知函数R x x x x x x f ∈++=,cos 2cos sin 3sin )(2

2

（1）求函数)(x f y =取得最小值时，求自变量x 的集合；

（2）函数)(x f y =的图象可以由函数)(2sin R x x y ∈=的图象经过怎样的变换得到？ 三、求三角函数的单调区间时，一般先将函数式化为形如)sin(φω+=x A y 、)cos(φω+=x A y 、)tan(φω+=x A y ，要特别注意A 、ω的正负。比较三角函数大小一般要化为同名函数，并且在同一单调区间；

【例3】 函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭

⎫－2x ＋π

3的单调减区间为______．

四.求三角函数的周期一般恒等变形化为“)sin(φω+=x A y 、)cos(φω+=x A y 、

)tan(φω+=x A y ”的最基本的形式，然后利用公式|

|2ωπ=T （|

|ωπ=T ）求，也可用图像法

（|sin |x y =、|cos |x y =周期为原来一半）、定义法； 五.三角函数求最值的常用方法：（1）将函数式化为)sin(φω+=x A y 形式，利用三角函数的单调性、有界性，特别是辅助角公式)sin(cos sin 22φ++=+=x b a x b x a y ；（2）将函数式化成单一名称三角函数的一元二次函数形式，（3）数形结合；（4）换元法，注意新元的范围，如遇到x x x x cos sin cos sin 与±相关的问题； 例5．（1）函数sin (sin cos )y x x x =+([0,

])2

x π

∈的值域是 ．

（2）（四川17）求函数2

4

74sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值。

练习1．函数f x a x b ()sin =+的最大值为3，最小值为2，则a =______，b =_______。

8.求函数的最值：x x x y cos sin 3sin 2

⋅+= )2,4(⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-

∈ππx 注意三角函数在几何问题中的应用，即常常设角为参数比较好。注意三角函数与向量知识的综合应用； 六、三角函数求值问题： 三角函数的求值题型：（1）“给角求值”一般化为特殊角的三角函数，无法转化的应设法恒等变形使其相消或相约；（2）“给值求角”注意根据条件求出角的某一三角函数值，再讨论角的范围（注意根据已知三角函数值缩小角的范围）以便确定角具体值；（3）“给值求值”的关键是找出已知式与欲求式之间的角、函数名称的差异与联系，主要方法有①方程法②比例性质③弦化切。注意利用αα22cos sin 1+=代换； 例6.（07四川18）已知cosα=

71,cos(α-β)＝14

13

，且0<β<α<2π, (Ⅰ)求tan2α的值；（Ⅱ）求β.

练习．1.化简：

=++-+α

αα

α4cos 4sin 14cos 4sin 1 。

6．求值：（1）tan 20°＋tan 40°＋3tan 20° tan 40°＝___； （2）

=+⋅++0

00040

cos 170sin )

10tan 31(50sin 40cos 。

（3）.若5

4

cos -

=α，α是第三象限的角，则=-+2

tan

12tan 1α

α 。

总结：三角化简时应注意的原则：

（1）名称分析法：“弦切互化”以及“异名化同名； （2）角分析法：异角化同角；

（3）结构分析法：高次降次、分式通分、无理化有理；

（4）几个重要的三角常识：→⋅ααcos sin 凑倍角公式；→±αcos 1升次公式；

→±αsin 1配方或化为)2

cos(1απ

-±再升次；→±ααcos sin b a 辅助角公式。

.注意常见的拆角、拼角技巧，如)()(2 ,)(βαβααββαα-++=-+=，

)]()[(21βαβαα-++=、)()(44ππβαβα--+=＋ 4

4)(ππαα-+= .注意公式的逆向使用、变形使用，特别是二倍角公式的变形公式及其三角函数值的变式：如,tan )sin(cos sin 22a

b b a b a =++=+φφααα，其中， )tan()tan(tan tan tan tan βαβαβαβα±=±±±，

2

cos 12

22cos 122cos ,sin α

α

αα+-=

= ，

2

222sin 2cos 1 , cos 2cos 1α

ααα=-=+，0060tan 3,45tan 1==；

【例7】►化简2cos 4x －2cos 2

x ＋

12

2tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭

⎫π4＋x .

例8、已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，求函数f (x )在区间⎣⎡⎦

⎤－π12，π

2上的最大值

与最小值．

三、有关三角函数图象与性质问题：

此类题是高考重点题型，可与向量、不等式或导数相结合，综合性强，涉及定义域、值域、解析式、单调性与对称性及周期性等性质与图象变换知识。解题时须将利用