职高数学公式大全
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第3页(共20页)
3、指数函数、对数函数、分数指数幂
m
(1) a n n am ( a 0, m, n N ,且 n 1 ).
m
(2) a n
1
m
an
n
1 am
( a 0, m, n N ,且 n 1 ).
根式的性质:(1)当 n 为奇数时, n an a ;
有理指数幂的运算性质:
+ +r
ytan y
- + x
o
- 第4页(共20页)
sinα
x
-
-o +
cosα
1、同角三角函数的基本关系式
sin2 cos2 1, tan = sin . c os
2、正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限)
k 的正弦、余弦,等于 的同名函数,前面加上把 看成锐角时该函数的符号; k 的正弦、余弦,等于 的异名函数,前面加上把 看成锐角时该函数的符号。
2
1sin2k sin , cos2k cos ,
tan2k tan k .
2sin sin , cos cos ,
tan tan .
3sin sin ,
cos cos ,
tan tan .
4sin sin ,
cos cos ,
tan tan .
(2)
loga
M N
loga
M
loga
N
(3)
logam
Nn
n m
loga
N
(4) loga 1 0
(5) aloga b b
(6) loga a 1
(7) lg10 1
(8) lne =1
(9) lg2 lg 5 1 (10) log ab • logb a 1
常见的函数图象
y
y
(complementary set),简称为集合 A 的补集,记作: Cu A 即: Cu A ={x|x∈U 且 x∈A}
补集的 Venn 图表示:
性质:
(Cu A) A U
(Cu A) A
Cu (Cu A) A Cu =U
Cu ( A B) (Cu A) (Cu B)
Cu ( A B) (Cu A) (Cu B)
第1页(共20页)
命题、充要条件(箭头指向范围大的)
充要条件(记 p 表示条件, q 表示结论) (1)充分条件:若 p q ,则 p 是 q 充分条件. (2)必要条件:若 q p ,则 p 是 q 必要条件. (3)充要条件:若 p q ,且 q p ,则 p 是 q 充要条件.
注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然.
如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函数是偶函数.
(2)定义法: f (x) f (x) ,则 f (x) 就是奇函数;
f (x) f (x) ,则 f (x) 就是偶函数。
函数的周期性:
定义:对函数 f (x) ,若存在 T 0,使得 f (x T ) f (x) ,则就叫 f (x) 是周期函数。
以上口诀:函数名称不变,符号看象限.
5
sin
2
cos
,
cos
2
sin
.
6 sin
2
cos
,
cos
2
sin
.
以上口诀:正弦与余弦互换,符号看象限.
互余的两个角 sin 值等于 cos 值
3、和角与差角公式
sin( ) sin cos cos sin ;
cos( ) cos cos
1. A 的子集个数为 2n。
A 的真子集的个数为 2n-1。
2. A 的非空子集的个数为 2n-1。 A 的非空真子集的个数为 2n-2。
3.集合的基本运算
(1) 并集:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,称为集合 A 与 B 的并集(Union)记作:A∪B,读作:“A 并 B”,即: A∪B={x|x∈A,或 x∈B}
职高数学公式及知识点速记
一、集合
(1)集合中的元素有三个特征: a.确定性(集合中的元素必须是确定的) b.互异性(集合中的元素互不相同。例如:集合 A={1,a},则 a 不能等于 1) c.无序性(集合中的元素没有先后之分。)
(2)常见的集合符号表示:
N:非负整数集合或自然数集合{0,1,2,3,…}
无理数 CRQ
正整数 Z或N
零
负整数 Z—
自然数 N
虚数 a bi
2. 集合的基本关系 a.规定: 空集(不含任何元素的集合叫做空集,记为 Ø)是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 b. 任何一个集合是它本身的子集. c. 子集具有传递性. 如果 AB, BC ,那么 AC.
*假设非空集合 A 中含有 n 个元素,则有:
方法三:
“ 同增异减”
情形
函数
单调性
第①种情形
第②种情形
内层函数 u g(x)
外层函数 y f (u)
复合函数 y f [g(x)]
第③种情形
第④种情形
2、函数的奇偶性
对于定义域内任意的 x ,都有 f (x) f (x) ,则 f (x) 是偶函数; 对于定义域内任意的 x ,都有 f (x) f (x) ,则 f (x) 是奇函数。 注: f (x) 0 (或 y=0)为既是奇函数又是偶函数
cos2 1 cos2 2
sin 2 1 cos2 2
5、函数 y Asin(x ) C 的图象变换(上加下减,左加右减,伸长缩小)
ωy 1
变周期 0
-1
Ay 2
变最值 1
y=sin2x
π
2π
y=sinx
y=2sinx
1
y=sin x
2x
3π
4π
y= 1 sinx
2
0
π
2π
-1
x
y=sinx
当 k 0 时, y 在 x 0 时单调增,在 x 0
时单调增。
第2页(共20页)
指 数
y ax
函
数
(a 0, a 1)
当 a 1 时, y 在 R 上是增函数; 当 0 a 1,时 y 在 R 上是减函数。
对
数
y log a x
函
数 (a 0, a 1)
当 a 1 时, y 在 (0,) 上是增函数; 当 0 a 1时, y 在 (0,) 上是减函数。
性质:
*A∩B A,A∩B B,A∩A=A,A∩ = ,A∩B=B∩A
*若 A∩B=A,则 A B,反之也成立。
(3)全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集(Universe),通常记作 U。
(4)补集:对于全集 U 的一个子集 A,由全集 U 中所有不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集
2
对称中心
k
2
,
0
k
对称轴 x k k
对称中心
k 2
,
0
k
无对称轴
7、辅助角公式
y asin x bcosx a2 b2 sin(x )
二 y ax2 bx c x b 时 y 单调增;
次
2a
函 数
(a 0, a,b, c R) 当 a 0 时 , x b 时 y 单 调 增 ,
2a
x b 时 y 单调减。 2a
当 k 0 时, y 在 x 0 时单调减,在 x 0
反 比 例
y k x
时单调减;
函 数
(k R 且 k 0 )
-2
注: 根据图像求 y Asin(x ) 的解析式的方法
①最值求 A ②周期求 ③点代入求
另外:函数 y Asin(x ) 及函数 y Acos(x ) 的周期T 2 ,最大值为|A|; | |
函数 y Atan(x ) ( x k )的周期T .
2
| |
第6页(共20页)
6、 正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
N*或 N+:正整数集合{1,2,3,…}
Z:整数集合{…,-1,0,1,…}
Q:有理数集合
Q+:正有理数集合
R:实数集合(包括有理数和无理数) R+:正实数集合
R-:负实数集合
∅ :空集合(不含有任何元素的集合称为空集合,又叫空集)
分数
Q-:负有理数集合 C:复数集合
复数 C
实数 R
有理数 Q 整数 Z
.对数的换底公式
: loga
N
logm N logm a
= lnN lg N ( a 0 ,且 a 1, m 0,且 m 1, N 0). lna lg a
对数性质:
若 a 0, a 1, M 0, N 0, n N 且 n 2 则
(1) loga (MN ) loga M loga N ;
二、函数
1、函数的单调性
(1)设 x1、x2 [a, b], x1 x2 那么 f (x1) f (x2 ) 0 f (x)在[a,b] 上是增函数;简记“大的越大,小的越小” f (x1) f (x2 ) 0 f (x)在[a,b] 上是减函数。简记“大的反而小,小的反而大”
单调性性质:(1)、增函数+增函数=增函数;(2)、减函数+减函数=减函数;
性质 函 数
y sin x
y cos x
y tan x
图象
定义域 值域 最值 周期性 奇偶性
单调性
对称性
R
1,1
R
1,1
x
x
k
2
,
k
R
当 x 2k k 当 x 2k k 时,
2
时, ymax 1;
ymax 1;
当 x 2k 2
k 时, ymin 1.
当 x 2k
tan( ) tan tan . 1 tan tan
sin sin ;
第5页(共20页)
4、二倍角公式
sin 2 2sin cos .
cos 2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 .
tan
2
2 tan 1 tan2
.
2cos2 1 cos2, 公式变形: 2sin2 1 cos2,
k<0
k>0
a<0
o
y=kx+b
x
o
x
a>0
y=ax2+bx+c
y
2
1
y=x+ x
-1 o 1
x
-2
y
y=ax
0<a<1
a>1 1
o
x
y
y=logax
0<a<1
o1
x
a>1
幂函数 y xa
对数函数 y log a x
指数函数 y xa
sin y r
三、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量
ycos x
k 时, ymin 1.
2wenku.baidu.com
奇函数
2
偶函数
既无最大值也无最小值
奇函数
在
2k
2
, 2k
2
k 上是增函数;
在
2k
2
,
2k
3 2
在 2k , 2k k 上是增
函数;
在2k,2k
k 上是减函数.
在
k
2
,
k
2
k 上是增函数.
k 上是减函数.
对称中心 k,0k 对称轴 x k k
奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称。
常考隐含问题:若 f (x) 是定义域在 R 上的奇函数,则 f (0) 0 ,(必过原点)。
奇偶函数间的关系: (1)、奇函数·偶函数=奇函数; (2)、奇函数·奇函数=偶函数; (3)、偶奇函数·偶函数=偶函数; (4)、奇函数±奇函数=奇函数(也可能偶函数) (5)、偶函数±偶函数=偶函数; (6)、奇函数±偶函数=非奇非偶函数 奇偶性解法: (1)前提条件下(定义域必须关于原点对称)如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;
性质:
*A A∪B,B A∪B,A∪A=A,A∪ =A,A∪B=B∪A
*若 A∪B=B,则 A B,反之也成立.
(2)交集:一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做集合 A 与 B 的交集(intersection)。记作:A∩B,读
作:“A 交 B”,即: A∩B={x|∈A,且 x∈B}
f (x1) f (x2 ) 0 x1 x2
f (x)在a,b上是减函数.
方法二:
函数
函数表达式
单调区间
特殊函数图像
一
当 k 0 时, y 在 R 上是增函数;
次
函 数
y kx b(k 0) 当 k 0 时, y 在 R 上是减函数。
当 a 0 时, x b 时 y 单调减, 2a
(3)、增函数-减函数=增函数;(4)、减函数-增函数=减函数;
单调性解法:
方法一:设 x1, x2 a,b, x1 x2 那么
(x1 x2) f (x1) f (x2) 0
f (x1) f (x2 ) 0 x1 x2
f (x)在a,b上是增函数;
(x1 x2) f (x1) f (x2) 0
当 n 为偶数时,
n
an
| a |
a, a 0 a, a
0
.
(1) ar as ars (a 0, r, s Q) .(2) (ar )s ars (a 0, r, s Q) .(3) (ab)r arbr (a 0, b 0, r Q) .
指数式与对数式的互化式: loga N b ab N (a 0, a 1, N 0) .