三角函数一轮复习教案

第三章三角函数 (1)

第一节角的概念与任意角的三角函数 (2)

第二节同角三角函数的基本关系式与诱导公式 (9)

第三节三角函数的图象与性质 (16)

第四节函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的应用 (24)

第五节和角公式 (37)

第六节倍角公式与半角公式 (45)

第七节正弦定理和余弦定理 (53)

第八节正弦定理、余弦定理的应用举例 (61)

第三章三角函数

知识网络：

学习重点：

三角函数是高考命题的重点，分值约占10%～15%，一般是一个小题和一个大题，以中低档题为主．

1．主要考查三角函数的图象与性质，简单的三角恒等变换，正、余弦定理及其应用，且题目常考常新．

2．客观题主要涉及三角函数的求值，函数的图象及性质，解答题主要以三角变换为工具，综合考查函数的图象与性质；或以正、余弦定理为工具，结合三角变换考查解三角形的有关知识．

3．高考命题中，本章常与平面向量相结合，既可以考查平面向量的运算，又可以考查三角函数式的化简和三角函数的性质，符合高考命题“要在知识点的交汇处命题”的要求. 学法指导：

1.立足基础，着眼于提高．立足课本，牢固掌握三角函数的概念、图象和性质；弄清每个公式成立的条件，公式间的内在联系及公式的变形、逆用等．要在灵、活、巧上下功夫，切不可死记硬背．

2．突出数学思想方法．应深刻理解数与形的内在联系，理解众多三角公式的应用无一不体现等价转化思想．在解决三角函数的问题时仔细体会拆角、切化弦、三角函数归一的方法技能．

3．抓住关键，三角函数的化简、求值中，要熟练掌握三角变换公式的应用，其中角的变换是解题的关键，注意已知与待求中角的关系，力争整体处理．

4．注意三角函数与向量等内容的交汇渗透，这也是命题的热点之一.

第一节 角的概念与任意角的三角函数

学习目标：

1.了解任意角的概念，了解弧度制的概念． 2．能进行弧度与角度的互化．

3．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 考点梳理：

1．角的有关概念

(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角． (2)从终边位置来看，可分为象限角与轴线角．

(3)若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2k π＋α(k ∈Z )． 2．弧度与角度的互化 (1)1弧度的角

长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． (2)角α的弧度数

在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对圆心角为αrad ，则α＝l

r

.

(3)角度与弧度的换算①n °＝n π180rad ；②α rad ＝(180α

π

)°.

(4)弧长、扇形面积的公式

设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r ，则l ＝rα，扇形的面积为S ＝12lr ＝

1

2r 2α.

3．任意角的三角函数

(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α

＝x ，tan α＝y

x

.

(2)三角函数在各象限的符号

一全正，二正弦，三正切，四余弦． 4．单位圆与三角函数线

(1)单位圆：半径为1的圆叫做单位圆． (2)三角函数线． (3)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)． 思考：

1．“角α为锐角”是“角α为第一象限角”的什么条件？

【提示】 充分不必要条件．

2．终边在直线y ＝x 上的角的正弦值相等吗？

【提示】 当角的终边一个在第一象限，一个在第三象限时，正弦值不相等． 学情自测：

1．已知锐角α终边上一点A 的坐标是(2sin π3，2cos π

3

)，则α弧度数是( )

A ．2 B.π3 C.π6 D.2π

3

【解析】 点A 的坐标为(3，1)． ∴sin α＝1(3)2＋1＝12，又α为锐角，∴α＝π

6

.

【答案】 C

2．(2012·江西高考)下列函数中，与函数y ＝

13x

定义域相同的函数为( )

A ．y ＝1sin x

B ．y ＝ln x x

C ．y ＝x e x

D ．y ＝sin x

x

【解析】 函数y ＝1

3x 的定义域为{x |x ≠0}，选项A 中由sin x ≠0⇒x ≠k π，k ∈Z ，故A

不对；选项B 中x >0，故B 不对；选项C 中，x ∈R ，故C 不对；选项D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x |x ≠0}，故选D.

【答案】 D

3．若sin α＜0且tan α＞0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角

【解析】 由sin α＜0，得α在第三、四象限或y 轴非正半轴上，又tan α＞0，∴α在第三象限．

【答案】 C

4．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________．

【解析】 ∵l ＝3π，α＝135°＝3π

4

，

∴r ＝l α＝4，S ＝12lr ＝1

2×3π×4＝6π.

【答案】 4 6π

5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，

且sin θ＝－25

5

，则y ＝________.

【解析】 由三角函数的定义，sin θ＝y

16＋y

2，

又sin θ＝－25

5

＜0，∴y ＜0且

y

16＋y 2

＝－255，

解之得y ＝－8. 【答案】 －8 典例探究：

例1（角的集合表示）

(1)写出终边在直线y ＝3x 上的角的集合；

(2)已知α是第三象限角，求α

2

所在的象限．

【思路】(1)角的终边是射线，应分两种情况求解．

(2)把α写成集合的形式，从而α

2

的集合形式也确定．

【解答】 (1)当角的终边在第一象限时，角的集合为{α|α＝2k π＋π

3

，k ∈Z }，当角的终边在第

三象限时，角的集合为{α|α＝2k π＋43π，k ∈Z }，故所求角的集合为{α|α＝2k π＋π

3

，k ∈Z }∪{α|α

＝2k π＋43π，k ∈Z }＝{α|α＝k π＋π

3

，k ∈Z }．

(2)∵2k π＋π＜α＜2k π＋3

2

π(k ∈Z )，