洛必达法则求极限例析
用洛必达法则求极限例题及答案
用洛必达法则求极限例题及答案洛必达法则是一种重要的计算极限的一种方法，它利用一定的等式来表示一个函数在某一点的值，使用它可以轻松、准确地求解极限。
下面就给大家分享一些关于用洛必达法则求极限的例题及答案，希望对大家有帮助。
一、求极限问题：求$$lim_{x \to 0}\frac {\sin(2x)}{x}$$答案：由洛必达法则，$$lim_{x \to 0}\frac{\sin(2x)}{x}=lim_{x \to 0}\frac {2 \sin(2x)}{2x}=lim_{x \to 0}\frac {2\cdot (2x\cdot \cos(2x)- \sin(2x))}{2x}$$令$u=2x$，则$\lim_{u \to 0}\frac {2u\cdot \cos u- \sinu}{u}$，可以有$$\lim_{u \to 0}\frac {2u\cdot \cos u- \sinu}{u}=2\cdot \lim_{u \to 0}\frac{\cos u- \frac {\sinu}{2u}}{1} =2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)= -1$$二、求极限问题：求$$lim_{x \to \infty}\frac{2-2x}{3+\sqrt {x^2-4x}}$$答案：由洛必达法则，$$ilm_{x \to \infty}\frac{2-2x}{3+\sqrt {x^2-4x}} = lim_{x \to \infty}\frac{(2-2x)(x+2)}{(3+\sqrt {x^2-4x})(x+2)}$$令$u=2x$，则$\lim_{u \to \infty}\frac{(2-u)(\frac{u}{2}+2)}{(3+\sqrt {u^2-4u})(\frac{u}{2}+2)}$，可以有$$\lim_{u \to \infty}\frac{(2-u)(\frac{u}{2}+2)}{(3+\sqrt {u^2-4u})(\frac{u}{2}+2)}=\lim_{u \to\infty}\frac{2(\frac{u}{2}+2)}{3+\sqrt {u^2-4u}}=\lim_{u \to \infty}\frac{\frac{u}{2}+4}{3+\sqrt {u^2-4u}}=\frac{1}{3}$$以上就是大家分享关于用洛必达法则求极限的例题及答案，希望各位考生能够好好学习，早日掌握洛必达法则的精髓，多多应用到实际问题中，取得更好的成绩。
求极限的方法总结及例题
求极限的方法总结及例题求极限是微积分学探究函数变化规律的基础，也是微积分学最重要的概念之一。
在求极限的运算中，由于函数的特殊性，其结果有可能是一个常数、一个变量或者无穷大，因此，求极限的计算要建立在对偏导数的理解和计算上，即在计算极限之前，首先要掌握偏导数的概念和计算方法。
一般来说，有三种常见的求极限方法：1、基本形式求极限；这种方法是指函数表达式本身具有特定性，可以用固定的简单运算公式直接求出极限值。
例如：当x趋向于0时，lim x→0 (1-cosx/x2)= 1/22、恒等式转换求极限；这种方法是指通过给出函数的形式进行合理的变换，从而使函数表达式转换成可以直接求出极限值的公式，从而解决函数求极限的问题。
例如计算：lim x→0(sin2x/x)可以将该式化简进行转换：lim x→0(sin2x/x)= lim x→0(2sinxcosx/x)= lim x→0(2cosx/1)= 2* lim x→0 (cosx)由于cosx等于1，当x趋向于0时，极限结果为2。
3、洛必达法则求极限；洛必达法则是指在求函数极限时，可以根据函数的性质将原函数转换成另外一组函数，从而推出极限结果。
例如：计算：lim x→∞ (1+1/x)x可以把原本的函数，转换成另一函数，即：lim x→∞ (1+1/x)x= lim x→∞ x/x2= lim x→∞ 1/x= 0 以上所述就是求极限的三种常见的方法。
接下来，我们就以例题来试验一下这三种方法的使用。
例题1：求lim x→0 (sin2x/x)解：由上文所述，这种情况应使用恒等式转换求极限：可以将该式化简进行转换：lim x→0(sin2x/x)= lim x→0(2sinxcosx/x)= lim x→0(2cosx/1)= 2* lim x→0 (cosx)由于cosx等于1，当x趋向于0时，极限结果为2。
例题2：求lim x→∞ (1+1/x)x解：这种情况应使用洛必达法则：可以把原本的函数，转换成另一函数，即：lim x→∞ (1+1/x)x= lim x→∞ x/x2= lim x→∞ 1/x= 0 以上就是求极限的三种方法总结及例题分析。
复合函数洛必达法则
复合函数洛必达法则复合函数洛必达法则是微积分中的一种重要工具，用于求解一些特殊类型的极限。
在本文中，我们将深入探讨复合函数洛必达法则的原理和应用，并从简单的例子开始逐步展开，帮助读者全面理解这一概念。
一、复合函数洛必达法则的原理复合函数是由多个函数组合而成的新函数，而极限是在一个趋近某一点的过程中，函数值的趋近情况。
当我们遇到计算复合函数的极限时，常常会遇到无穷大除无穷大、零除零等形式，此时可以运用洛必达法则解决这些难题。
洛必达法则基于导数的性质，特别是导函数的极限性质。
其原理可以概括为以下几点：1. 当两个函数的极限都存在或都趋于无穷大（包括正无穷大和负无穷大）时，如果两个函数的导函数的极限存在或趋于无穷大，那么原函数的极限也存在或趋于相同的值。
2. 当两个函数的极限都是无穷小时，如果两个函数的导函数的极限存在或趋于一个非零常数，那么原函数的极限也存在或趋于相同的值。
3. 当两个函数的极限都是无穷小时，如果两个函数的导函数的极限不存在或趋于零，那么原函数的极限可能不存在或无法确定。
二、复合函数洛必达法则的应用举例为了更好地理解复合函数洛必达法则，我们将从简单的例子开始逐步展开。
例1：计算极限lim(x->0) [(sinx)/x]这是一个非常经典的极限问题，可以利用洛必达法则来解决。
我们对函数f(x) = sinx和g(x) = x分别求导得到f'(x) = cosx和g'(x) = 1。
然后计算f'(x)/g'(x)即可得到原函数的极限：lim(x->0) [(sinx)/x] = lim(x->0) [cosx/1] = cos0 = 1例2：计算极限lim(x->∞) [x^2/e^x]对于这个例子，我们同样可以利用洛必达法则来解决。
对函数f(x) = x^2和g(x) = e^x分别求导得到f'(x) = 2x和g'(x) = e^x。
洛必达法则∞比无穷例题
洛必达法则∞比无穷例题哎呀，今天咱们来聊聊一个非常有趣的话题——洛必达法则。
听上去高大上，其实它就是个帮我们解难题的小帮手。
大家都知道，生活中总有那么些时候，碰到个“无穷无尽”的麻烦，真是让人抓狂。
比如说，有的极限问题，一旦上手就像是头疼的难题，眼看着一堆数字在那儿转悠，自己却跟着头大。
不禁让人想起那句老话，叫“看得见的痛苦”。
这时，洛必达法则就像是那颗救命稻草，给我们带来了一线生机。
咱们先来捋一捋，这个法则是个啥。
简单来说，洛必达法则就是在你碰到“无穷比无穷”的时候，给你一条“捷径”。
就好比你在路上迷路了，突然发现有个大路标告诉你往哪走。
这个法则告诉你，遇到这样的极限，别慌，直接把分子和分母分别求导，再去看极限值，问题就能迎刃而解。
有些小伙伴可能会觉得，这不就是高中的数学课吗？没错，数学这玩意儿，真是让人又爱又恨。
想象一下，一个人正坐在书桌前，眉头紧锁，眼睛盯着那道无穷极限题，心里那个急啊。
脑海中不断浮现出“无穷无穷”的场景，简直快要崩溃了。
这时，如果他知道洛必达法则，简直就像是被天上掉下来的仙女救了。
先求导，再求极限，哎呀，真是一气呵成！小伙伴们，这种感觉就像是打游戏时，突然发现了隐藏道具，打怪变得轻松了许多。
咱们也不能忽略了实际运用的场景。
很多时候，洛必达法则能帮助我们解决各种各样的数学问题，比如物理、经济学等，真是个全能选手。
就像当年学数学时，老师总是教我们要“灵活运用”，这就是个好例子。
想要解决一个复杂的极限，真得花费不少心思，脑细胞都快磨秃了。
这时候，洛必达法则就像个“万能钥匙”，为我们打开了那扇“无穷”的大门。
说到这里，很多人可能会问，那有没有什么例子来让我们更明白呢？当然有！假设你遇到一个极限问题，比如说 (lim_{x to 0 frac{sin x{x)，一看这个公式，脑袋都要大了。
哎，别急，咱们用洛必达法则来试试。
先对上面的“分子”sin x和“分母”x分别求导，得到cos x和1。
洛必达法则求极限使用条件
洛必达法则求极限使用条件洛必达法则是求极限的一种方法，它能够帮助我们确定当自变量趋于某个值时，函数的极限值。
洛必达法则的使用条件包括以下几点：1.函数必须是可导函数：洛必达法则基于导数的概念，因此要使用该法则，函数必须是可导函数。
这意味着函数在极限点的附近必须存在导数。
2.极限点存在：洛必达法则适用于当自变量趋于某个特定值时的情况。
因此，在使用该法则之前，需要验证极限点是否存在。
3.极限不存在或者是不确定形式：洛必达法则的目的是求函数的极限值，因此只有在极限不存在或者无法计算的时候才需要使用该法则。
如果极限已经可以通过其它方法确定，那么就不需要使用洛必达法则。
以上是洛必达法则的使用条件。
下面将详细介绍洛必达法则的具体步骤和一些例子。
首先，洛必达法则主要通过比较函数的导数来确定极限。
具体来说，洛必达法则可以表述为如下形式：设函数f(x)和g(x)在点a的某个去心邻域内可导，并且在x=a处极限存在。
如果分别满足以下条件：1. lim[x→a]f(x) = 0且lim[x→a]g(x) = 02. lim[x→a]f'(x)和lim[x→a]g'(x)存在（即函数f(x)和g(x)的导数在极限点a上存在）3. lim[x→a]g'(x) ≠ 0 （即函数g(x)的导数在极限点a上不等于零）那么，可以得出以下结论：lim[x→a]f(x)/g(x) =lim[x→a]f'(x)/g'(x)也就是说，如果满足上述条件，我们可以通过求两个函数导数的极限比值来确定函数f(x)和g(x)在极限点a上函数值的极限。
接下来，我们通过一些具体的例子来进一步说明洛必达法则的使用。
例子1：设f(x) = sin(x)，g(x) = x，求当x趋于0时，f(x)/g(x)的极限。
根据洛必达法则的使用条件，我们先来计算f'(x)和g'(x)。
f'(x) = cos(x)g'(x) = 1当x趋于0时，f'(x) = cos(0) = 1，g'(x) = 1因此，根据洛必达法则，lim[x→0]sin(x)/x =lim[x→0]cos(x)/1 = cos(0) = 1所以，当x趋于0时，sin(x)/x的极限为1。
不能使用洛必达法则的经典例题
不能使用洛必达法则的经典例题今天我在看书时，看到这样一道题，说是不可以使用洛必达法则，我对照这本书上关于使用洛必达法则的条件，觉得还不太清楚，好像应该是符合条件的，谢谢你抽空给我指点一下。
洛必达法则是计算极限的一种最重要的方法，我们在使用它时，一定要注意到该法则是极限存在的充分条件，也就是说洛必达法则的三个条件：（1）（或），（或）；（2）和在点的某个去心邻域内可导；（3）（或）。
其中第三个条件尤其重要。
其实，洛必达法则的条件中前两条是一望即知的，所以我们在解题过程中可以不用去细说，而第三个是通过计算过程的尝试验证来加以说明的，由于验证结束，结论也出来了，也就更加没有细说的必要了。
所以在利用洛必达法则解题过程中，往往只用式子说话，不必用文字来啰嗦的。
而对于极限问题来说，因为不存在（既不是某个常数，也不是无穷大），而可知洛必达法则的第三个条件得不到验证。
此时，我们只能说洛必达法则对本问题无效，绝对不能因此而说本问题之极限不存在。
实际上，我们利用“将连续问题离散化”的方法来处理，可以断定这个极限是存在的。
【问题】求极限。
【解】对于任何足够大的正数，总存在正整数，使，也就是说总存在正整数，使，其中。
这样就等价于，所以，这里前面一项注意到了函数的周期为，而后面一项作了令的换元处理。
最后注意到积分值的有界性（）。
如果把上述洛必达法则失效的情况称为第一种情况，则洛必达法则还有第二种失效的情况：第三个条件永远也无法验证。
【问题2】求极限（1）；（2）。
【分析与解】（1）这是型待定型，本题显然满足洛必达法则的前面两个条件，至于第三个条件，尝试验证到第两次后可以得到，可知洛必达法则失效，处理的方法是。
（2）的情况与（1）的情况完全类似，尝试用了两次“洛必达法则”后可以得到，可知洛必达法则失效，处理的方法是分子分母同乘，得到。
【问题3】求极限。
【分析与解】这是型待定型，本题显然满足洛必达法则的前面两个条件，至于第三个条件，经过尝试，可知洛必达法则的第三个条件完全不可能得到验证，因为分子分母分别求导后愈来愈复杂，这也说明了洛必达法则对本题无效。
从一道用洛必达法则求极限的题目谈起
由此看到, 漏掉一个数字, 题目难度增加很大. 它促使我们考虑, ( 1) 式中 sin2x , x 2 的幂次
换为 1, 每次只换一个, 将出现四种情形:
lim
x →0
sinx - x 2 cos2x x 2sin2x
,
lim
x→0
s
in2
x x
- x cos 2s in2x
x
,
l im
x →0
sin
V ol. 3 Sep.
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高等数学研究 CO LLE GE M A T
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2 5
从一道用洛必达法则求极限的题目谈起X
李仲来 ( 北京师范大学 北京 100875)
同济大学应用数学系编 《高等数学习题集》( 高等教育出版社, 1998 年第 3 版) 3. 2. 23 题, 求
形后再使用洛必达法则, 也可以对某一部分使用之. 另外, 研讨如何发现题目出现错误的原因对
学习微积分来说可能是有益的, 这种学习可以为深入研究奠定基础.
最后, 再给出该习题集的 3. 8. 13 题: 求曲线 x 2/ 3 + y 2/ 3 = 3axy 的渐近线. 提示: 设 y = t x 或 y
参考文献
[ 1] 张志华. 正态分布场合下只有一个失效数据的统计分析. 应用概率统计, 1998. 14 ( 2) , 185—
1 90. [ 2] 韩 明. 双 参 数 指 数 分 布 无 失 效 数 据 的 参 数 估 计. 运 筹 与 管 理, 1998. 7 ( 2) 29—36.
( 上接第 25 页)
洛必达法则在求函数极限中的应用选题背景和意义
洛必达法则在求函数极限中的应用选题背景和意义全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：洛必达法则（L'Hôpital's Rule）是微积分中一个非常重要的定理，它通常用来求解函数的极限。
在求函数极限时，有时会遇到无穷大除以无穷大、0除以0等形式，直接使用极限定义求解比较困难，这时就可以通过洛必达法则来简化计算，得到更快捷的结果。
本文将探讨洛必达法则在求函数极限中的应用选题背景和意义。
选题背景：在求解函数的极限过程中，经常会遇到形如0/0、无穷大/无穷大等不定形式的情况。
这种情况下使用传统的方法例如泰勒展开、分式化简等不仅复杂且容易出错，洛必达法则的应用则可以大大简化计算过程，并且能够有效地解决这类求极限问题。
洛必达法则在求函数极限中的应用备受重视。
意义：洛必达法则的提出和应用，极大地方便了数学家和科研人员在解决极限问题中的计算难题。
通过应用洛必达法则，我们可以快速地得出函数在某一点处的极限值，避免了繁琐的计算和不确定的结果。
洛必达法则还有助于深入理解函数在极限处的性质和规律，为进一步研究函数的性质和变化趋势提供了重要的数学工具。
洛必达法则在求函数极限中的应用是微积分领域中的一项重要研究工作，其理论基础和实际应用价值不容忽视。
通过深入研究和探讨洛必达法则的应用，我们可以更好地理解和应用微积分中的相关概念和方法，提高数学建模和问题求解的能力。
洛必达法则的应用也有助于促进数学领域的发展和进步，推动数学理论的不断完喁和创新。
总结：第二篇示例：洛必达法则是微积分中一个非常重要的定理，它在求解函数极限的过程中起到了关键作用。
本文将从选题背景、洛必达法则的定义和应用、以及在求解函数极限中的具体应用等方面进行探讨，以帮助读者更好地理解这一定理的重要性和应用。
选题背景洛必达法则是由法国数学家洛必达在18世纪提出的，可以用来求解函数的极限。
在数学分析中，极限是一个非常基础而重要的概念，它描述了一个函数在某个点附近的表现。
求极限过程中洛必达法则的使用技巧
求极限过程中洛必达法则的使用技巧文中对极限运算中如何巧妙的使用好洛比达法则做了一些探讨，指出了初学者容易犯的错误，并提出了一些建议供大家参考。
关键词：极限、微积分、洛比达法则、不定式。
极限是高等数学中的一个极为重要的基础概念，对微积分的学习影响深远。
理工类专业的学生初次接触极限概念都难以准确理解和掌握，在使用极限运算法则求极限时经常出现运算错误，如：两个重要极限应用不恰当，洛必达法则使用不规范等。
下面只就求极限过程中如何正确使用洛必达法则做一些探讨。
一、若干重要的极限等式1. , 推广的形式为：2.，推广的形式为：，推广的形式为：3.其中可以是一个代数式。
由上述极限还可以导出下面一些重要极限式：，同样它们也有类似的推广的形式。
二、洛必达法则的两个标准形态1.型不定式定理1.若在或内有定义，并满足（1）（或），（或）；（2）在或内可导，且；（3）（或）存在或为；则（或）。
2.型不定式定理2.若在或内有定义，并满足（1）（或），（或）；（2）在或内可导，且；（3）（或）存在或为；则（或）。
三、求极限举例求例1.解：本题极限形式是型不定式，直接使用洛必达法则计算，则计算非常复杂，若先对表达式进行恒等变形，并结合拉格朗日中值定理，再适当使用洛必达法则计算就容易多了。
+（其中介于与之间，当时有）+=例2.求解：分母为无穷小因子的乘积，可以用相应的等价无穷小量替换有通过以上两个例题可以发现在求不定式极限时，不要一上手就立即使用洛必达法则，首先需要对所求极限表达式进行观察、分析与变形，然后再进行具体计算。
洛必达法则使用过程中要注意以下几点：1.只有或型不定式才能直接使用洛必达法则；2. 洛必达法则可连续使用，但每次使用该法则时必须检查表达式是否为或型；3.使用洛必达法则之前可以对表达式中的无穷小因子用较简便的等价无穷小替换，每用一次洛必达法则后，都要对表达式进行整理化简，如可以将其中乘积因子中的非零极限先行求出，使表达式得到化简或瘦身等，简化后续计算；4.当用洛必达法则求不出极限时，不能做出该表达式进行不存在的结论，只能说用洛必达法则求此极限失效，此时需采用其他方法求此极限。
利用洛必达法则求解二元函数的极限
利用洛必达法则求解二元函数的极限在高等数学中，洛必达法则是一种常用的求解极限的方法。
它可以用于求解二元函数的极限。
本文将介绍洛必达法则的基本概念以及应用方法，并结合实例进行详细解析。
一、洛必达法则的基本概念洛必达法则是由法国数学家洛必达（L'Hospital）在17世纪提出的一种极限计算法则。
它适用于计算形如$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$的极限。
其基本思想是将极限转化为函数的导数的极限。
二、洛必达法则的应用方法根据洛必达法则，若要计算二元函数$\frac{f(x)}{g(x)}$在$x=a$处的极限，当 $\lim \limits_{x \to a}f(x) = 0$且$\lim \limits_{x \to a}g(x) =0$，或者 $\lim \limits_{x \to a}f(x) = \infty$且$\lim \limits_{x \to a}g(x) = \infty$时，可以进行以下步骤：1. 求出$f(x)$在$x=a$处的导数$f'(x)$和$g(x)$在$x=a$处的导数$g'(x)$；2. 计算$\lim \limits_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$；3. 若存在极限$\lim \limits_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$，则$\lim\limits_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim \limits_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$。
三、实例解析现以二元函数$\frac{x^2-1}{x-1}$为例来说明洛必达法则的应用方法。
首先，我们计算$f(x)$和$g(x)$在$x=1$处的导数：$$f'(x)=\frac{d}{dx}(x^2-1)=2x$$$$g'(x)=\frac{d}{dx}(x-1)=1$$然后，我们计算$\lim \limits_{x \to 1}\frac{f'(x)}{g'(x)}$：$$\lim \limits_{x \to 1}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim \limits_{x \to1}\frac{2x}{1}=2$$由洛必达法则的推导，我们知道在$x=1$处的极限$\lim \limits_{x \to 1}\frac{x^2-1}{x-1}$等于$\lim \limits_{x \to 1}\frac{2x}{1}$，即极限为2。
洛必达法则在求函数极限中的应用选题背景和意义
洛必达法则在求函数极限中的应用选题背景和意义全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：洛必达法则是微积分中的重要概念，用来求解函数极限的一种有效方法。
在求函数极限时，有时会遇到一种无穷大/无穷小的形式，此时就可以借助洛必达法则来简化计算。
洛必达法则的原理是当极限的分子和分母都趋向于无穷大或无穷小时，可以通过求导的方式来简化极限的计算，从而得到准确的极限值。
洛必达法则的应用极大地方便了函数极限的求解过程，提高了求解效率，拓展了极限的应用范围。
选题背景与意义：1.数学基础的重要性：微积分是数学的重要分支之一，为许多其他学科提供了理论基础和工具支持。
函数极限是微积分中的基础概念，是研究函数性质及其变化规律的重要手段。
掌握好函数极限的求解方法，不仅有助于提高数学素养，还可以为后续学习更高级的数学知识打下坚实基础。
2.应用领域的广泛性：在教学过程中，函数极限是一个重要的教学内容，而洛必达法则是求解函数极限的一种经典方法。
熟练掌握洛必达法则的应用，不仅可以帮助学生更好地理解函数极限的概念，还可以帮助教师更加生动地展示数学原理和计算技巧，提高教学效果。
在科研领域，洛必达法则的灵活运用也为研究人员提供了一种有效的工具，可以帮助他们更快速地解决函数极限相关的问题，推动科学研究的进展。
洛必达法则在求解函数极限中的应用具有重要的理论和实际意义。
深入研究其原理和方法，提升其在教学和科研中的应用价值，将有助于促进数学教育的发展和推动科学研究的进步。
希望未来能有更多关于洛必达法则在函数极限中的研究与探讨，为数学领域的发展贡献一份力量。
第二篇示例：洛必达法则是微积分中极端重要的定理之一，它为我们解决求函数极限问题提供了一种简单有效的方法。
在实际学习生活中，很多函数在某一点处的极限可能并不容易直接求出，但是通过洛必达法则可以简化计算过程，得到更加准确的结果。
深入研究洛必达法则在求函数极限中的应用显得尤为重要和有意义。
选题背景：洛必达法则由法国数学家洛必达在18世纪提出，并且在微积分课程中得到了广泛的应用。
浅谈利用洛必达法则求未定式极限
浅谈利用洛必达法则求未定式极限作者：楼向东来源：《文存阅刊》2019年第17期摘要：本文结合洛必达法则在教学中存在的问题，说明利用洛必达法则求未定式极限的方法及应用，以便更好的利用洛必达法则求极限。
关键词：极限;洛必达法则求解未定式极限的方法不唯一，而洛必达法则是求型型未定式极限常用的方法之一。
下面通过具体实例说明如何利用洛必达法则求型型未定式极限。
一、洛必达法则设函数f（x）与g（x）满足下列条件：（1），;（2）在点x0的某去心邻域中，f'（x）与g'（x）都存在，且g'（x）≠0;（3）则有二、洛必达法则的应用例1求解：该极限为型，则====注：若仍是型，且满足洛必达法则条件可再一次用洛必达法则，即若满足洛必达法则条件可多次用洛必达法则。
例2求错解：分析：当x→1该时分子极限是-2，分母的极限是0，该极限不是型，不能用洛必达法则正解：由无穷大和无穷小的关系得，∞说明：用洛必达法则前，须验证极限是否为型或型。
否则不能用洛必达法则。
例3求解：当x→0时，;ex-1～x说明：洛必达法则虽然是求未定式的一种有效方法，若能与其它求极限的方法结合，如应用等价无穷小替换或重要极限，效果会更好。
总之在使用洛必达法则应注意是否滿足法则条件，再由题目结合其他求极限方法灵活应用才能更好应用洛必达法则。
参考文献：[1]吴赣昌，世纪数学教育信息化精品教材[M]，中国人民大学出版社，2009.[2]尤晓琳，吴振芬.极限的等价无穷小替换研究[J].河南教育学院学报（自然科学版），2011，11，20（3）：4-6.作者简介：楼向东（1962年—），女，吉林长春人，副教授，研究方向：教学及应用数学研究。
浅析洛必达法则求函数极限.docx
浅析洛必达法则求函数极限.docx⽤洛必达法则求未定式极限的⽅法⼀、洛必达法则求函数极限的条件及适⽤范围(⼀) 洛必达法则定理定理1⑴若函数/(X )与函数g(x)满⾜下列条件： (1)在。
的某去⼼邻域讥兀)内可导,且g?)HO (2) lim /(x) = 0 XTG+0 lim g(x) = 0 XTO+0 v f\x) A(3) lim ------ ------ = A兀T"+0 g\x)则lim /⑴⼆lim f = A (包括A 为⽆穷⼤的情形)XT"+0 g(x)g'(x)定理2若函数/(兀)和g(x)满⾜下列条件+ ⼀, X -> X o ，兀 TOO,兀⼀>+00,X —>—00。
定理证明：作辅助函数于是函数F(x)及G(x)在［d,d +》)连续，在(d,G + /)可导，并且G (%)丰0?今对(G ,G + /) 内任意⼀点x,利⽤柯西中值定理得(1) 在d 的某去⼼邻域Mr)内可导，且g3 H 0(2) lim /(x) = oolim p(x) = ooX->X ()(3) r⼴(x)⼈ lim = A则lim = lim 以卫=5+o 0(x) 5+() g(x) 5+0 g\x)A (包括A 为⽆穷⼈的怙:形)此外法则所述极限过程对下述六类极限过程均适⽤：F (兀)=0, 当兀=aG(x) =0, 当兀=a空n(叽空丄G(x) G(x)-G(G ) G\X Q )由F(Q 及G (劝的定义，上式B |jZW =ZW g(x) gUo)所以当XTQ + 0时（这时显然有兀oTG + O ）,对上式两端取极限，即证毕。
关于定理⼆的证明⽅法也同定理1类似，这⾥就不点出。
当然，还有其他不同的证明⽅法。
（-）洛必达法则使⽤条件只有在分⼦、分母同时趋于零或者同时趋于⽆穷⼤时，才能使⽤洛必达法则。
连续多次使⽤法则时，每次都要检査是否满⾜定理条件，只有未定式⽅可使⽤，若是检查结果满⾜法则使⽤条件，才可连续使⽤洛必达法则，直到求出函数极限或者为⽆穷⼤，否则就会得出错谋的结果，下⾯举个例⼦来说明。
洛必达法则例题
洛必达法则例题在高等数学中，洛必达法则是求未定式极限的一种非常有效的方法。
它能够在一定条件下，将复杂的未定式极限转化为相对简单的形式，从而更方便地求出极限值。
接下来，让我们通过一些具体的例题来深入理解洛必达法则的应用。
例 1：求极限＄＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin x}｛x}＄这是一个典型的“＄＼frac{0}｛0}＄”型未定式。
根据洛必达法则，对分子分母分别求导：＄（＼sin x)＇＝＼cos x$，＄x' ＝ 1$所以，＄＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin x}｛x} ＝＼lim_{x ＼to 0}＼frac{＼cos x}｛1} ＝＼cos 0 ＝ 1$例 2：求极限＄＼lim_{x ＼to ＋＼infty} ＼frac{x^2}｛e^x}＄这是一个“＄＼frac{＼infty}｛＼infty}＄”型未定式。
应用洛必达法则，对分子分母求导：＄（x^2)＇＝ 2x$，＄（e^x)＇＝ e^x$得到：＄＼lim_{x ＼to ＋＼infty} ＼frac{2x}｛e^x}＄这仍然是“＄＼frac{＼infty}｛＼infty}＄”型，继续使用洛必达法则求导：＄（2x)＇＝ 2$，＄（e^x)＇＝ e^x$所以，＄＼lim_{x ＼to ＋＼infty} ＼frac{2x}｛e^x} ＝＼lim_{x ＼to ＋＼infty} ＼frac{2}｛e^x} ＝ 0$例 3：求极限＄＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{1 ＼cos x}｛x^2}＄这也是“＄＼frac{0}｛0}＄”型未定式。
先对分子分母求导：＄（1 ＼cos x)＇＝＼sin x$，＄（x^2)＇＝ 2x$则有：＄＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin x}｛2x}＄此时还是“＄＼frac{0}｛0}＄”型，再用一次洛必达法则：＄（＼sin x)＇＝＼cos x$，＄（2x)＇＝ 2$所以，＄＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin x}｛2x} ＝＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼cos x}｛2} ＝＼frac{1}｛2}＄例 4：求极限＄＼lim_{x ＼to 1} ＼frac{＼ln x}｛x 1}＄这是“＄＼frac{0}｛0}＄”型。
洛必达法则在复变函数极限中的应用
洛必达法则在复变函数极限中的应用洛必达法则的最初的表述是由法国数学家路易洛必达于1893年在“ActaMathematica”上发表的论文《极限概念的起源》中所给出的，这篇论文为数学中关于极限的理论提供了重要的贡献。
洛必达法则（LHopital Rule）是一条推导极限的公式，它设定某个极限不存在时，对函数求导，然后求极限的值便等于函数的初始值。
洛必达法则是以路易洛必达的名字命名的，但并不是他首先提出这个概念的，而是在1670年前英国数学家约翰施特鲁布斯和法国数学家约塞米斯卡斯特斯发表的《证明极限的书》中提出的。
二、复变函数极限中洛必达法则的应用洛必达法则在复变函数极限中有着广泛的应用。
复变函数是指由项数无限多的连续不断多项式表示的函数。
洛必达法则是指，当复变函数的极限不存在时，可以将函数的定义域点的坐标表示为以h为自变量的函数形式，令h趋于0时，求得函数的极限。
洛必达法则在复变函数极限的应用可以分为三个步骤：1、们首先必须明确复变函数的定义域点的坐标表示；2、着，需要将复变函数的定义域点坐标表示为以h为自变量的函数形式；3、后，使h趋于0时，求得函数的极限。
例如，将复变函数$$f(x)=lim_{x to 0} frac{e^x-1-x}{x^2}$$表示为以h为自变量的函数形式，即$$f(h)=frac{e^h-1-h}{h^2}$$使$hto 0$时，可以求得函数的极限，即$$f(0)=frac{e^0-1-0}{0^2}=0$$以上是洛必达法则的应用实例，我们可以发现洛必达法则的有效性。
三、洛必达法则在复变函数极限中的优势洛必达法则对复变函数极限的应用有很多优势，首先，它很容易使用，与其他推导极限的方法相比，洛必达法则使用简单，而且可以用于一般情况，无论函数类型如何，只要将函数的定义域点的坐标表示为以h为自变量的函数形式，就可以得到函数的极限。
其次，洛必达法则表达方式简洁，它可以使复杂的计算简单化，减少分析的复杂性，同时也可以减少计算的量，提高求解极限的效率，提高工作效率。
高等数学-洛必达法则
ln cot x (3) lim
x0 ln x
型
1 (csc2 x)
解 原式 limcotx
lim
x
x0
1
x0 sinxcosx
1
x
罗比达法则可以连续多次应用,直到可求导为止
求待定式极限的方法很多，依据函数极限的形式选 择恰当的方法，有时也要几种方法综合使用
例： exex2x lim x0 xsinx
求下列极限
(1) lim ( 1 )sin x x x 0
(2) lim ( 2 arctan x) x
x
解： 令y(2arctxa)xn
则lnyx.ln2(arctxa)n
ln( 2 arctan x)
lim
x
1
x
2
. 1
1 x
2
2 arctan x
lim x
它是以函数导数作为基本工具的
2.4.1洛必达法则
要求lim f (x) xa g(x)
( 1 ) 当 x a 时 ， f( x ) 及 g ( x ) 都 趋 于 零 ；
( 2 ) 在 点 a 的 某 去 心 邻 域 内 f ( x ) 及 g ( x ) 都 存 在 , 且 g ( x ) 0 ；
sin2 x x cos x
而 limlnylimsinxlnx
x 0
x 0
ln x lim
x0 csc x
0
所以 limxsinx e0 1 x0
1
lim
x
x0 csc x cot x
例 求极限
lim ( 1 )tanx 0
洛必达法则讲解及应用
那么
lim f (x) lim f (x) . xa g(x) xa g(x)
证 由于 lim f (x) 0，lim g(x) 0 可知x=a或者是f(x)，
xa
xa
g(x)的连续点，或者是f(x),g(x)的可去间断点.
如果x=a为f(x)，g(x)的连续点，则可知必有f(a)=0， g(a)=0.从而
对于x 时的0型，有 0
定理4.5 如果f(x)和g(x)满足下列条件：
(1) lim f (x) 0，lim g(x) 0，
x
x
(2) 当| x | 足够大时，f (x)和g(x)存在，且g(x) 0,
(3) lim f (x) 存在(或为无穷大)，那么 x g(x)
那么
lim f (x) lim f (x) . x g(x) x g(x)
xa
(x)
(x)
则称 lim [ f (x) g(x)]为 型极限.
xa (x)
对于 型，将函数进行恒等变型化为0 型或 0
型，再由洛必达法则求之.
例7 求 lim x ln x.
x0
解 lim x ln x lim ln x.
x0
x0 1
x
如果先令 x t，x 0时，t 0 ,因此
证明时，只要令x 1 就可利用定理4.4的结论得 t
出定理4.5.
例1 求 lim e x ea . xa x a
解 为 0 型，由洛必达法则有 0 lim e x ea lim (e x ea ) xa x a xa (x a) lim e x xa 1 ea.
1
例2 求 lim x . x arc cot x
那么
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。
解 ： 于 型 ， 洛 必 达 法 则 属 用
ｏ ｏ
ｓｎ１ ｉ一
ｎ ｍ
ｘ－￣ － Ｏ
－
（ ￣ｉ－ ， ｘｓ １ ｎ）
ｕ （ｉ Ｊ ｓ ｎ
． ．
解 ： 于 一 型 ， 接用 洛 必 达 法 则 ： 属 直
ｏ ｏ
在， 不能 说 明 原极 限不 存 在 ， 时 应 考 虑 用 此
Ｉ
．Ｕ Ｉ
理 论 前 沿
Ｃ ｉ ｄｃｔ ｎ而 ｈ ａ Ｅｕａｌ ｎ ｏ
萄
洛 必 达 法 则 求极 限例析
杨 光 （ 黑龙江大 兴安岭职 业学院 黑龙江大 兴安岭 １ ５ ０ ） ０ ０ ６
摘 要： 本文通过 实倒对运 用洛必达谣 则求极 限的方法进行分析 ， 介绍 了基本 型及其它未定式 的解题技 巧 ， 同时指 出注意洛必迭法 则适 用 条件及 与其 它方 法结合 的 必要性 。 关键 词： 洛必 连法蔓 未 定式 适 用条件 Ｉ 中图分类 号 ： Ｉ Ｇ ２ ７ 文献标 识 码 ： Ａ 文章编号 ： ６ ３ ９ ９ （ ０ ００ （ ） ０ ９ 一 ２ １ ７ — ７ ５ ２ １ ） ｌａ 一 ０ ｌ ０
＾ 、 ，
，
ｌ Ｉ ｎ ｘ ｉ ｎｔ ７ ａ ｒ ａ
＝
７
ｔｎ ｘ ａ ２
。 求
—
法 不 一 定 是 最 简 单 的 方 法 ， 不 是 万 能 更 的 方 法 ， 该 注意 与其 它 方 法 的结 合 ， 利 应 如 用 重 要 极 限 ， 价 无 穷 小替 代 ； 等
（ ） 用 洛 必 达 法 则 得 出 的 极 限 不 存 ４利
ｔ ａｎ 一 １ ＇ ：
０ Ｏ ０
１ ± ｊ ｍ ！：ｉｅｓｌ１ｘ ：ｉ ｌ ｏ ｎ＋ ￣ ｌ ｍ ｘ（ ） ｍ
Ｓ Ｃ －Ｃ Ｓ Ｃ Ｘ－ Ｏ Ｘ １ ｏ￣ －ｃ ｓ Ｘ １ ｏＳ －ｃ ＇
＝
∞
解 ： 于 一 型 ， 洛 必 达 法 则 ， 式 可 属 用 原
∞
（ 利用 ＣＳ Ｉ（＋ ～ｘ） ＯＸ・ １ ｘ） ｎ
： 一
ｌ ｌ ｉ ｎ
，
一 ∞
：
解： 属于 型 ，
ｌｍ ｉ
…
，
．
１
３
ｃｏ
ｚ
ｍ
ｌ 二 — ：ｍ ．ｉ … ０ ｉ— ｌ ｉ ｘｎ １ ｓ … ０ 二 ｌｍ 互＝ ｉ ｍ —
＝ｌ ｉ ｍ
…
竺 ｍ
ｓｎ３ ｉ ｘ
：
ｌｍ ｉ
…
＿ 啪ｎ ＋切＿５
运 用 洛 必 达 法 则 求 极 限 ， 处 理 未 定 是
式 极 限 问题 的 有 力 手 段 。 在 具 体 应 用 时 但 需注意 ： （） １要验 证 题 目是 否 符 合洛 必 达 法 则 的
０ ∞
求
２基本型 ｌ： 型 Ｉ
ｕｓｅＣ 一 ｃｏｓ 。 万
其它方法。
—
ｓ ｍ
ｔｎ ａ
—
． ．
＝ ｌｍ — ｌ
ｓｇ ｅ ｘ
—一
１． ＣＳ ． Ｏ ３
＝ 一 Ｉｍ — Ｉ
ｎｍ —
－
皿
ｔ ｎ３ ａ ｘ
ｓｃ ３ ３ ３ ｅ ｘ・
ＣＳ Ｏ
１基本型 ｌ ０型 ：
ｍ 例ｌ ｌ — ｉ
…
２ｓ三 ｃ ｉ 一ｏ ｎ ｓ
必达 法 则 ， 母 的导 数 比较 繁 琐 ， 果 先作 分 如 “ 等价 无穷 小 的 替换 ”再 用洛 必达 法 则 ， ， 就
用 解 ： 于 一 蛩 ， 洛 必达 法 则 ： 属
Ｏ ０
。
例３
１＋０ ｉ ｍ
。
会 使 求导 的 结 果 很 简 单 。
注意到当 ０时 ，
ｌ ｘ ｓ ｘ＇ ｉ ：ｌ 、 ｏ ’ ｉ 岬 ＋ｃ
解 ： 于 型 ， 属
１
．
极限不 存在 ， 但
ｓｅ ７ ７ ｅ ￣ ｘ．
：
＝ｉ（ ｌ 一 １ｓｘ ｌ ＋ｍ ） — ｍ
１ ｃ ｘ Ｉ ２ ｎ ＋ ｘ～ ｘ 一ｏ ～ Ｘ；ｌ１ ２） ２ ｓ （
：
无穷小替代， 出 的错误结果 。 得
例 ６ ． ： ． ｊ —ｓ ｊ ｍ
３
ｓ ｘ ｉ ｎ３
例 球 丽 ２
解 ： 于 型 。 属
。
求 （ ｃ ｘｎ ＋ｘ。 １ ｏ ）（ ２） ． ｓ ｌ１ 。
例９求一 ：ｌ ｉ ｍ＿ 解： 属于百型未定式， 如果直接使用洛
（ａ ｙ ＿ ５ ｅ ｘ＝一５ ｔｎ５ ＋ ｓｃ ５
三
ｌ
ｓｎｘ ｉ
ｘ ｓｎ ｘ ｉ
ｘ
也 可 以先 变形 ， 求 再
初 学者 易 将
７ 与 ｔ ＂
３
０相混 ， 用 误
２ ｉ ｎ ｓ
说明极限 ｌ ｉ ｍ—— 是 存 在 的 。
—
加
ｓｎ ｉ
一
Ｏ
一
ａ ｃａ ｒ ｔ ｎ
解 ： 于 型 ， 属
例７ 求 ｍ — 广 ： ｌ ｉ
。
条 件 ， 定 属 于 型 或 型未 定 式 方 可应 确 用洛必达法则 ， 且每一次用都要验证 ； 并 （） 于其它类 型的未 定式 ｏ ２对 。一 ｏ ， ｏ ０ Ｏ ， ｏ Ｏ。 １ 可 以 用 代 数 变换 或 对 数 变 ． ０ ，０ ， ０ 换 将 其 转化 为 型或 型未 定式 ， 用洛 再 必达法则； （ ） 计 算 未 定 式 极 限 问 题 时 ， 必 达 ３在 洛
＾
化为 ：
１
：
ｌ ｉ ｍ
竺
：ｌ ｌ ｉ — ： Ⅱ １
ｌ ｉ ｍ
一
一
’—２ ｏ ｘ一ｓ １ — Ｉ ０ ｅ ｓ （ ｍ 帅Ｓ １ Ｉ
２ ｉ ｌ ｓｌ
１一 ２ 士 ＋ Ｘ ｘ ２ ・
Ｘ２ Ｘ２
例 ５： ｌ 求 ｉ ｍ—
。 ｓｎｘ ｉ
０
１ ｉ ｍ
ｘ． Ｏ － ￣
。
＿——羔 ， 极 限 不 存 在考 此
ＣＯＳＸ
一
１ ． ｃ ｓ ｘ一 ｉ ３ ）３ ． ２ ｏ ３ （ ｓｎ ｘ ・ ｌｍ ｔ
３
２
№ 畸
ｍ
２ ｏ ｘ一 ｉ ） ｃｓ （ｓ ｎｘ
：一ｌ — ｓｎ３ ｉ －３ ｉ ｘ ｍ
—
虑其它办法 ， 有