洛必达法则求极限例析
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＾
化为 ：
１
：
ｌ ｉ ｍ
竺
：ｌ ｌ ｉ — ： Ⅱ １
ｌ ｉ ｍ
一
一
’—２ ｏ ｘ一ｓ １ — Ｉ ０ ｅ ｓ （ ｍ 帅Ｓ １ Ｉ
２ ｉ ｌ ｓｌ
１一 ２ 士 ＋ Ｘ ｘ ２ ・
Ｘ２ Ｘ２
例 ５： ｌ 求 ｉ ｍ—
。 ｓｎｘ ｉ
０
＾ 、 ，
，
ｌ Ｉ ｎ ｘ ｉ ｎｔ ７ ａ ｒ ａ
＝
７
ｔｎ ｘ ａ ２
运 用 洛 必 达 法 则 求 极 限 ， 处 理 未 定 是
式 极 限 问题 的 有 力 手 段 。 在 具 体 应 用 时 但 需注意 ： （） １要验 证 题 目是 否 符 合洛 必 达 法 则 的
０ ∞
求
２基本型 ｌ： 型 Ｉ
ｕｓｅＣ 一 ｃｏｓ 。 万
１ ｉ ｍ
ｘ． Ｏ － ￣
。
＿——羔 ， 极 限 不 存 在考 此
ＣＯＳＸ
一
１ ． ｃ ｓ ｘ一 ｉ ３ ）３ ． ２ ｏ ３ （ ｓｎ ｘ ・ ｌｍ ｔ
３
２
№ 畸
ｍ
２ ｏ ｘ一 ｉ ） ｃｓ （ｓ ｎｘ
：一ｌ — ｓｎ３ ｉ －３ ｉ ｘ ｍ
—
虑其它办法 ， 有
ｌ ｘ ｓ ｘ＇ ｉ ＋ｉ ） ｍ（ ｎ
㈨
．
：
１ ｉ
１ ：ｌ 、 ｏ ’ ｉ 岬 ＋ｃ
解 ： 于 型 ， 属
１
．
极限不 存在 ， 但
ｓｅ ７ ７ ｅ ￣ ｘ．
：
＝ｉ（ ｌ 一 １ｓｘ ｌ ＋ｍ ） — ｍ
１ ｃ ｘ Ｉ ２ ｎ ＋ ｘ～ ｘ 一ｏ ～ Ｘ；ｌ１ ２） ２ ｓ （
Ｉ
．Ｕ Ｉ
理 论 前 沿
Ｃ ｉ ｄｃｔ ｎ而 ｈ ａ Ｅｕａｌ ｎ ｏ
萄
洛 必 达 法 则 求极 限例析
杨 光 （ 黑龙江大 兴安岭职 业学院 黑龙江大 兴安岭 １ ５ ０ ） ０ ０ ６
摘 要： 本文通过 实倒对运 用洛必达谣 则求极 限的方法进行分析 ， 介绍 了基本 型及其它未定式 的解题技 巧 ， 同时指 出注意洛必迭法 则适 用 条件及 与其 它方 法结合 的 必要性 。 关键 词： 洛必 连法蔓 未 定式 适 用条件 Ｉ 中图分类 号 ： Ｉ Ｇ ２ ７ 文献标 识 码 ： Ａ 文章编号 ： ６ ３ ９ ９ （ ０ ００ （ ） ０ ９ 一 ２ １ ７ — ７ ５ ２ １ ） ｌａ 一 ０ ｌ ０
。 求
—
法 不 一 定 是 最 简 单 的 方 法 ， 不 是 万 能 更 的 方 法 ， 该 注意 与其 它 方 法 的结 合 ， 利 应 如 用 重 要 极 限 ， 价 无 穷 小替 代 ； 等
（ ） 用 洛 必 达 法 则 得 出 的 极 限 不 存 ４利
ｔ ａｎ 一 １ ＇ ：
一
Ｏ
一
ａ ｃａ ｒ ｔ ｎ
解 ： 于 型 ， 属
例７ 求 ｍ — 广 ： ｌ ｉ
。
条 件 ， 定 属 于 型 或 型未 定 式 方 可应 确 用洛必达法则 ， 且每一次用都要验证 ； 并 （） 于其它类 型的未 定式 ｏ ２对 。一 ｏ ， ｏ ０ Ｏ ， ｏ Ｏ。 １ 可 以 用 代 数 变换 或 对 数 变 ． ０ ，０ ， ０ 换 将 其 转化 为 型或 型未 定式 ， 用洛 再 必达法则； （ ） 计 算 未 定 式 极 限 问 题 时 ， 必 达 ３在 洛
必达 法 则 ， 母 的导 数 比较 繁 琐 ， 果 先作 分 如 “ 等价 无穷 小 的 替换 ”再 用洛 必达 法 则 ， ， 就
用 解 ： 于 一 蛩 ， 洛 必达 法 则 ： 属
Ｏ ０
。
例３
１＋０ ｉ ｍ
。
会 使 求导 的 结 果 很 简 单 。
注意到当 ０时 ，
０ Ｏ ０
１ ± ｊ ｍ ！：ｉｅｓｌ１ｘ ：ｉ ｌ ｏ ｎ＋ ￣ ｌ ｍ ｘ（ ） ｍ
Ｓ Ｃ －Ｃ Ｓ Ｃ Ｘ－ Ｏ Ｘ １ ｏ￣ －ｃ ｓ Ｘ １ ｏＳ －ｃ ＇
＝
∞ Baidu Nhomakorabea
解 ： 于 一 型 ， 洛 必 达 法 则 ， 式 可 属 用 原
∞
（ 利用 ＣＳ Ｉ（＋ ～ｘ） ＯＸ・ １ ｘ） ｎ
其它方法。
—
ｓ ｍ
ｔｎ ａ
—
． ．
＝ ｌｍ — ｌ
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—一
１． ＣＳ ． Ｏ ３
＝ 一 Ｉｍ — Ｉ
ｎｍ —
－
皿
ｔ ｎ３ ａ ｘ
ｓｃ ３ ３ ３ ｅ ｘ・
ＣＳ Ｏ
１基本型 ｌ ０型 ：
ｍ 例ｌ ｌ — ｉ
…
２ｓ三 ｃ ｉ 一ｏ ｎ ｓ
。
解 ： 于 型 ， 洛 必 达 法 则 属 用
ｏ ｏ
ｓｎ１ ｉ一
ｎ ｍ
ｘ－￣ － Ｏ
－
（ ￣ｉ－ ， ｘｓ １ ｎ）
ｕ （ｉ Ｊ ｓ ｎ
． ．
解 ： 于 一 型 ， 接用 洛 必 达 法 则 ： 属 直
ｏ ｏ
在， 不能 说 明 原极 限不 存 在 ， 时 应 考 虑 用 此
（ａ ｙ ＿ ５ ｅ ｘ＝一５ ｔｎ５ ＋ ｓｃ ５
三
ｌ
ｓｎｘ ｉ
ｘ ｓｎ ｘ ｉ
ｘ
也 可 以先 变形 ， 求 再
初 学者 易 将
７ 与 ｔ ＂
３
０相混 ， 用 误
２ ｉ ｎ ｓ
说明极限 ｌ ｉ ｍ—— 是 存 在 的 。
—
加
ｓｎ ｉ
：
无穷小替代， 出 的错误结果 。 得
例 ６ ． ： ． ｊ —ｓ ｊ ｍ
３
ｓ ｘ ｉ ｎ３
例 球 丽 ２
解 ： 于 型 。 属
。
求 （ ｃ ｘｎ ＋ｘ。 １ ｏ ）（ ２） ． ｓ ｌ１ 。
例９求一 ：ｌ ｉ ｍ＿ 解： 属于百型未定式， 如果直接使用洛
： 一
ｌ ｌ ｉ ｎ
，
一 ∞
：
解： 属于 型 ，
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…
，
．
１
３
ｃｏ
ｚ
ｍ
ｌ 二 — ：ｍ ．ｉ … ０ ｉ— ｌ ｉ ｘｎ １ ｓ … ０ 二 ｌｍ 互＝ ｉ ｍ —
＝ｌ ｉ ｍ
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ｓｎ３ ｉ ｘ
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１ ． ｃ ｓ ｘ一 ｉ ３ ）３ ． ２ ｏ ３ （ ｓｎ ｘ ・ ｌｍ ｔ
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虑其它办法 ， 有
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理 论 前 沿
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洛 必 达 法 则 求极 限例析
杨 光 （ 黑龙江大 兴安岭职 业学院 黑龙江大 兴安岭 １ ５ ０ ） ０ ０ ６
摘 要： 本文通过 实倒对运 用洛必达谣 则求极 限的方法进行分析 ， 介绍 了基本 型及其它未定式 的解题技 巧 ， 同时指 出注意洛必迭法 则适 用 条件及 与其 它方 法结合 的 必要性 。 关键 词： 洛必 连法蔓 未 定式 适 用条件 Ｉ 中图分类 号 ： Ｉ Ｇ ２ ７ 文献标 识 码 ： Ａ 文章编号 ： ６ ３ ９ ９ （ ０ ００ （ ） ０ ９ 一 ２ １ ７ — ７ ５ ２ １ ） ｌａ 一 ０ ｌ ０
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法 不 一 定 是 最 简 单 的 方 法 ， 不 是 万 能 更 的 方 法 ， 该 注意 与其 它 方 法 的结 合 ， 利 应 如 用 重 要 极 限 ， 价 无 穷 小替 代 ； 等
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解 ： 于 一 型 ， 洛 必 达 法 则 ， 式 可 属 用 原
∞
（ 利用 ＣＳ Ｉ（＋ ～ｘ） ＯＸ・ １ ｘ） ｎ
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—
ｓ ｍ
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１． ＣＳ ． Ｏ ３
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ｔ ｎ３ ａ ｘ
ｓｃ ３ ３ ３ ｅ ｘ・
ＣＳ Ｏ
１基本型 ｌ ０型 ：
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解 ： 于 型 ， 洛 必 达 法 则 属 用
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解 ： 于 一 型 ， 接用 洛 必 达 法 则 ： 属 直
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也 可 以先 变形 ， 求 再
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