理论力学06点的合成运动
理论力学：第6章 点的合成运动
2 2 r
，
aeτ 0 ，解出 aa＝142r。所以小环 M 的加速度为 142r。
6-23 已知 O1 A O2 B l 1.5 m，且 O1A 平行于 O2 B ，题 6－23 图所示位置，
滑道 OC 的角速度=2 rad/s，角加速度 =1 rad/s2，OM = b =1 m。试求图示位置
第 6 章 点的合成运动
6-7 题 6－7 图所示曲柄滑道机构中，杆 BC 为水平，而杆 DE 保持铅直。 曲柄长 OA=10 cm，以匀角速度 = 20 rad/s 绕 O 轴转动，通过滑块 A 使杆 BC 作 往复运动。求当曲柄与水平线的交角为 = 0、30、90时，杆 BC 的速度。
·8·
由图得 vr＝ve＝b＝2 m/s， va O1 l 。
得到 O1
l
b cos 45
21
1.5
2 2
1.89 rad/s 。
（2）求加速度。动点，动坐标系的选择不变，则动点 M 的加速度图如图（c）
所示。由加速度合成定理
aa ae ar aC
即 aan aaτ aeτ aen ar aC
时 O1A 的角速度和角加速度。
M
45 45
vr
ve
va
x
ae
ane
ana
45
ar
aC
aa
（a）
（b）
（c）
题 6-23 图
解：（1）求速度。
选取 M 为动点，动坐标系固连于滑道 OC 上，则动点 M 的速度图如图（b）
所示。由速度合成定理
va＝ve＋vr
沿 OC 轴的垂直方向投影得
理论力学之点的合成运动
1
60o
O1
x
点M .
x
va= ve + vr va = 0.2 m/s
0.5cm
解得: ve= 0.17m/s=2× 0.866 ; vr= 0.1m/s ; 2= 0.2r26ad/s
例题. 具有园弧形滑道的曲柄滑道机构,用来使滑 道 BC获得间歇的往复运动.已知曲柄以匀角速 度 =10 rad/s 绕O轴转动, OA=10cm ,园弧道的 半径 r = 7.5cm. 当曲柄转到图示位置sin = 0.6 时, 求滑道BC的速度.
5
例题.曲柄导杆机构 的运动由滑块 A带动,
B
已知OA= r且转动的 角速度为.试分析滑 块 A的运动.
O
C A
D
动点：滑块A；动系：固连在BCD杆
*、机构运动特点：一运动物体上有一固定点始终与另一 运动物体接触，且在其上运动。
则：动点：固定接触点；动系：另一运动物体。
6
例题. 平底凸轮机构 如图示. 凸轮 O 的半径 为R,偏心距OA=e,以匀 角速度绕O转动,并带 B 动平底从动杆 BCD运 动. 试确定动点并分析 其运动.
Va=Ve/cos= … =2; Vr=Ve tan= … =1
22
例题. 斜面CD与水平成 角,并以 v = 10cm/s 沿水平方向运动.求杆AB的速度vA.
C
v
B
A D
23
解:取杆AB的A端为动点. 动系固连在斜面上。
C
动点A的绝对运 v 动---铅垂直线运 动。
B
vr
va
ve
va B
1 O1
ve
vr
A(A´)
绝对运动—以O1为中心 r为半径
点的合成运动
种位移之间的关系为
MM'' =MM' + M' M''
目录
刚体的运动\点的合成运动
将上式两边分别除以Δt ,并取Δt→0 时的极限，得
y Ox
lim lim lim MM
MM
M M
t0 t
t0 t
t0 t
式在中绝：对lit运m0动M中Mt 的 表速示度动，点称在为瞬动时点t的、
y
vr
va
系相固结的物体的运动，因而是指一个刚体的运动，它可以是平移、
转动或其他复杂的运动。
目录
刚体的运动\点的合成运动
1.2 点的速度合成定理
以图示桥式起重机为例，研究
y Ox
绝对运动、相对运动和牵连运动三
者速度之间的关系。设在瞬时t，动 点在位置M。假如动点不作相对运
y
M''
动，则经Δt时间后，动点随动系运
理论力学
刚体的运动\点的合成运动
点的合成运动
在研究刚体的平面运动之前，先介绍点的合成运动的有关概念 及点的速度合成定理，这既是研究点的运动的又一种方法，又是研 究刚体复杂运动的基础。
1.1 点的合成运动的概念
在不同的物体上观察同一物体的运动时，会得出不同的结果。 例如，当火车行驶时，在车厢上观察车轮上一点的运动是圆周运动， 在地面上观察则是复杂的曲线运动，若在车轮上观察则是静止的。 因此，在研究一个物体的运动时，必须指明是相对于哪个物体而言， 即必须选定参考体或参考系。在工程上如果没有特别的说明，都是 以地面作为参考系。
目录
刚体的运动\点的合成运动 【例6.5】 凸轮机构（如图）中，导
杆AB可在铅垂管D内上下滑动，其下端 与凸轮保持接触。凸轮以匀角速度ω绕O 轴逆时针转动，在图示瞬时OA=a ，凸轮
理论力学第六章 点的合成运动 [同济大学]
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解： 从例6-2已知得： 1 =
vr r 3 , 2
ω 4
O
解： 从上例已知得： 1 =
r
M
ω 4
va
A
aaτ =0 ，
3 , 4
aan=2r aen=
ωr 8
x’
2
ac 21vr 2 r
va
30°
3 1 1/ s2 8
2
动点取A，
va v A
ar
dvr d 2 x ' ' d 2 y ' ' d 2 z ' ' 2 r 2 j 2 k dt dt dt dt
dx ' di ' dy ' dj' dz ' dk ' dt dt dt dt dt dt
ar ω vr
a a ae a r ac； ac= 2vr
ve
a n a ae a rn a rτ
矢量
1.瞬时状态； 2.可解两个未知量 (大小，方向)。
例6-5 曲柄滑道机构，OA=01A=r=10cm, =30°,=4, 求: 转到30°时直杆的加速度a。 va vr 动点取A； 绝对:圆周； ve 解：相对:圆周；牵连:直线。 [速度] =
a a ae a r ac； aa a an ae aen ar arn ac；
例6-8 曲柄绕O转动，並通过滑块M带动滑槽绕O′摆动， ’ y 求摆动到30°时的角加速度1。
例6-9 将例6-8滑槽改变为图示牛头刨床机构，MA=2r, 求:刨床刨刀的速度，加速度。
vr
dv e dω dr r ω dt dt dt α r ω v e ω v r ae ω v r
理论力学(第6章)
t 已知：O1A=O2B=18cm，AB=O1O2=2R，R=18cm ， 18 t2 求： va , aa s BM
π
加速度合成定理的矢量形式向 直角坐标轴x、y上投影，得：
π aax a a cos 6.67cm / s 2 6 π n n aay ar ae sin 20cm / s 2 6
绝对：大圆周（半径R）
相对：沿OA的直线运动 牵连：定轴转动（绕o轴）
2.速度分析 v a ve 大小 ? 方向 √
ve va 2Rω cos
vr
OM√?√ Nhomakorabeavr ve tan 2 R ω sin ω t
6.3 牵连运动为平移时点的加速度合成定理
点的加速度合成定理：
解：（1） 动点：取顶杆AB的A点 动系：固连在凸轮上。 绝对运动：沿AB竖直方向 的平移。 相对运动：A点沿凸轮边 缘的圆周运动。 牵连运动：动系凸轮沿水 平面向右平移。
已知:
v0
30
2.速度分析
va ve vr
由几何关系可以得到：
3 vB vA v tan 30 v 3
例6-5 平面机构中直杆O1A、O2B平行且等长，分别 绕O1、O2轴转动，直杆的A、B连接半圆形平板，动 点M沿半圆形平板ABD边缘运动，起点为点B。已知 π t， O1A=O2B=18cm，AB=O1O2=2R，R=18cm ， 18 t2 。 s BM
求：当 t 3s 时， 动点M的绝对速度 和绝对加速度。
方向竖直向上
例6-2 刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的一端 A与滑块用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度ω绕固 定轴O转动时，滑块在摇杆O1B上滑动，并带动杆 O1B绕定轴O1摆动。设曲柄长为OA=r，两轴间距 离OO1=l。 B 求： O ① 曲柄在水平位 A 置时摇杆的角 速度 1 。 ② 滑块A对于摇 杆 的相对角 O1 速度
点的合成运动
2013年7月5日
理论力学CAI
42
1.牵连运动为转动时点的加速度合成定理
设一圆盘以匀角速度 绕 定轴Ｏ顺时针转动，盘上圆槽 内有一点M以大小不变的速度 vr 沿槽作圆周运动，那么M点
相对于定系的绝对加速度应是
多少呢？
2013年7月5日
理论力学CAI
43
选点M为动点，动系固结于圆盘上，
则M点的牵连运动为匀速转动， 为常数
y'
y u
x'
M
O
M O
y'
x'
x
O'
2013年7月5日
理论力学CAI
4
车刀以匀速横向走刀，卡盘匀角速度转动，求刀尖相对工件的轨迹。
2013年7月5日
理论力学CAI
5
§8-1 相对运动、牵连运动、绝对运动
归纳为：一点，两系，三种运动
一点
动点：做合成运动的点。
两系
定参考系（定系）：固结于地面（地球）。如机座。 动参考系（动系）：固结于某运动着的刚体上。
ar = 2l sin
理论力学CAI
37
课后作业1（浙大）
作业题 7-7 7-8 7-9
2013年7月5日
理论力学CAI
38
课后作业1
思考题 8-1 8-2 作业题 8-7 8-8
8-3
8-10
2013年7月5日
理论力学CAI
39
例题
例 曲柄滑杆机构
= 45o 时，, a ; 已知: OA＝l ,
例题
已知：AB匀角速度转动。 求：M在导槽EF及BC中运动的速度与加速度。
E
B
C M
理论力学《点的合成运动》答案
4
动系：固连于ＣＢＤＥ上的坐标系。 动系平动， v A = v CBDE = v BC 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ａ相对于地面的速度。 相对速度：Ａ相对于ＤＥ的速度。 牵连速度：ＣＢＤＥ相对于地面的速度。
→ → →
vr
900 − ϕ A
120 0
va
ϕ
ve = vBC
ϕ O
5
相对速度：Ｃ相对于ＯＣ杆的速度。 牵连速度：ＯＣ杆相对于地面的速度。
ve = OC ⋅ ω =
→ → →
0.4 × 0.5 = 0.231( m / s ) cos 30 0
va = ve + vr va = ve 0.2 = = 0.267( m / s ) 0 cos 30 cos 2 30 0
BC作平动，故
v BC = v a = 1.155lω 0
[习题7-9] 一外形为半圆弧的凸轮Ａ，半径ｒ＝３００ｍｍ，沿水平方向向右作匀加速运动， 其加速度ａＡ＝８００ｍｍ／ｓ 。凸轮推动直杆ＢＣ沿铅直导槽上下运动。设在图所示瞬时， ｖＡ＝６００ｍｍ／ｓ，求杆ＢＣ的速度及加速度。 解： 动点：Ｂ。 动系：固连于凸轮Ａ上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ｂ相对于地面的速度。 相对速度：Ｂ相对于凸轮的速度。 牵连速度：Ｂ相对于凸轮的速度。
θ = 40.930
→ →
即 v 与 v1 之间的夹角为 θ = 40.93 。 种子走过的水平距离为：
0
s = v x t = v cos θ ⋅ t h = vyt +
1 2 gt 2 1 2 gt 2
h = v sin θt +
0.25 = 2.65 sin 40.930 t + 0.5 × 9.8t 2
理论力学06点的合成运动
第六章 点的合成运动
§6–1 点的合成运动的概念 §6–2.1 点的速度合成定理 §6–2.2 牵连运动为平动时点的加速度合成定理 §6–3 牵连运动为转动时点的加速度合成定理 习题课
2
前两章中我们研究点和刚体的运动，一般都是以地面为参考 体的。然而在实际问题中，还常常要在相对于地面运动着的参 考系上观察和研究物体的运动。例如，从行驶的汽车上观看飞 机的运动等，坐在行驶的火车内看下雨的雨点是向后斜落的等。
9
若动点A在偏心轮上时
动点：A(在AB杆上)
A（在偏心轮上）
动系：偏心轮
AB杆
静系：地面
地面
绝对运动：直线
圆周（红色虚线）
相对运动：圆周（曲线） 曲线（未知）
牵连运动：定轴转动
平动
[注] 要指明动点应在哪个 物体上， 但不能选在 动系上。
10
§6－２点的速度、加速度合成定理
绝对、相对和牵连速度之间的关系就是速度合成定理，它表明： 三个速度矢量的任何一个可以由其余两个叠加得到，表达式为：
牵连加速度: aeτ 0 , ae aen 2r , 方向指向轴心O ;
科氏加速度:ak 2vr 2 2r/cos ,
方向//n, 指向与n 相反。
29
由牵连运动为转动时的加速度合成定 理
aa
ae
at r
an r
ak
作出加速度矢量图如图示
向 n 轴投影： aa cos ae cos arn ak
3.动参考系：把固结于相对于地面运动物体上的坐标系，
称为动坐标系，简称动系。例如在行驶的汽车。
3
二．三种运动及三种速度与三种加速度。
１．绝对运动：动点对静系的运动。 ２．相对运动：动点对动系的运动。
理论力学：第6章 点的合成运动
·1·第6章 点的合成运动6.1 主要内容6.1.1 点的绝对运动、相对运动和牵连运动1．定系和动系若存在两个有相对运动的坐标系，则可指定其中一个为定系，另一个即为动系。
但工程上一般以固定在地面上的坐标系为定系，相对于定系运动着的坐标系称为动系。
2．动点和牵连点动点为研究的对象，牵连点是动点在动系上的重合点，随动点的相对运动而变，是动系上的点，不同瞬时，有不同的牵连点。
3．三种运动的关系动点相对于定系的运动定义为绝对运动；动点相对于动系的运动定义为相对运动；动系相对于定系的运动定义为牵连运动。
本章的主要任务就是建立这三者之间的定量关系，从而用来解决工程实际某些运动分析问题。
6.1.2 点的速度合成定理动点的绝对速度等于它的牵连速度与相对速度的矢量和。
这就是点的速度合成定理。
a e r =+v v v6.1.3 牵连运动为平移时，点的加速度合成定理当牵连运动为平移时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。
a e r =+a a a6.1.4 牵连运动为转动时，点的加速度合成定理当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和，这就是牵连运动为转动时点的加速度合成定理。
a e r C =++a a a a其中r C v a ⨯=ω2。
当取平动动系时0=e ω；0=C a 。
6.2 基本要求1．掌握运动合成与分解的基本概念和方法，准确理解本章阐述的若干概念。
2．明确动点与动系的选择原则，能在具体问题中恰当地选择动点与动系，并正确地分析三种运动。
3．熟练掌握点的速度合成定理和牵连运动为平动时的加速度合成定理及其应用。
4．掌握科氏加速度的概念和计算，准确应用牵连运动为转动时的加速度合成定理及其应用。
6.3 重点讨论应用点的合成运动理论解决实际问题时，其关键是正确地选择动点和动系。
选择原则因具体情况不同而略有区别。
常见的问题有三种题型。
1．两个独立运动的物体，研究两者的相对运动。
理论力学-点地合成运动
6．已知半径为R的圆盘平面与铅直轴成30°角，以匀角速度ω转动。轮缘上有一点M，以相对于盘的速度 r沿圆盘边缘运动。则M点经过水平直径AB的端点A时的科氏加速度为（方向在图上表示）。
8．在图示平面机构中，已知：AD=BE=L，且AD平行BE，OF与CE杆垂直。当=60°时，BE杆的角速度为ω、角加速度为。试求止瞬时OF杆的速度与加速度。
9．具有半长R=0.2m的半圆形槽的滑块，以速度u0=1m/s，加速度0=2m/s2水平向右运动，推动杆AB沿铅垂方向运动。试求在图示=60°时，AB杆的速度和加速度。
15．半径r的圆环以匀角速度ω绕垂直于纸面的O轴转动，OA杆固定于水平方向，小环M套在大圆环及杆上。试用点的合成运动方法求当OC垂直于CM时，小环M的速度和加速度。
16．已知：OA杆以匀角速度ω0=2rad/s绕O轴转动，半径r=2cm的小轮沿OA杆作无滑动的滚动，轮心相对OA杆的运用规律b=4t2（式中b以cm计，t以s计）。当t=1s时，=60°，试求该瞬时轮心O1的绝对速度和绝对加速度。
3．杆CD可沿水平槽移动，并推动杆AB绕轴A转动，L为常数。试用点的合成运动方法求图示位置θ=30°时，CD杆的绝对速度u。
4．沿铅直轨道运动的T字杆AB，其上的销钉C插在半径为R的圆槽内，带动物块D沿水平方向运动。在图示位置，AB杆的速度为 ，方向如图示，=30°。试求此瞬时物块D的速度。
5．联合收获机的平行四边形机械在铅垂面内运动。已知：曲柄OA=O1B=500mm，OA转速n=36r/min，收获机的水平速度u=2km/h。试求在图示位置=30°时，AB杆的端点M的水平速度和铅垂直速度。
第6章 点的合成运动理论力学
33
例 题 6-5
已知：凸轮半径R ，v0 ， a0 ，试求：j =60o时, 顶杆AB的加速度。
解：取杆AB上的点A为 动点，动系与凸轮 固连。
理论力学电子教案
点的运动合成
34
例 题 6-5
绝对速度va = ? , 方向∥AB ； 相对速度vr = ? , 方向CA; 牵连速度ve=v0 , 方向 → ; 由速度合成定理
上面的推导过程中，动参考系并未限制作何运动， 因此点的速度合成定理对任意的牵连运动都适用。
点的速度合成定理是瞬时矢量式，每一速度包 括大小‚方向两个元素，总共六个元素，已知任意四 个元素，就能求出其余两个。
理论力学电子教案
点的运动合成
15
例 题 6-1
凸轮顶杆机构中半径 为 R 的半圆形凸轮以等速 度 v0沿水平轨道向右运动， 带 动 顶 杆 AB 沿 铅 垂 方 向 运动，如图所示，试求 j = 60º 时，顶杆 AB 的速 度。
va ve vr
v0 cot 60 0.577v0 v AB va
此瞬时杆AB的速度方向 向上。
理论力学电子教案
点的运动合成
19
例 题 6-2
军舰以速度 v=37.04 km/h 的速度前进，直
升 飞 机 以 每 小 时 18
km/h 的速度垂直降落。
点的运动合成
21
3. 速度分析 绝对速度 va：大小已知，方 向沿铅垂方向向下。 牵连速度 ve ：大小已知，方 向水平向右。 相对速度 vr ：大小方向均 未知，为所要求的量。 应用速度合成定理 va ve vr
2 vr ve va 41.18 km / h ， 2
点的合成运动理论力学课件
根据速度和加速度的合成定理，一个点的速度和加速度可以由其相对于不同参考系的速度和加速度进行合成。具体来说，点的速度可以由绝对速度、相对速度和牵连速度进行合成，点的加速度可以由绝对加速度、相对加速度和牵连加速度进行合成。
详细描述
速度和加速度的合成定理在解决实际运动问题中具有广泛的应用。
总结词
通过应用速度和加速度的合成定理，可以解决各种复杂的运动问题，例如行星运动、卫星轨道、机械运动等。该定理可以帮助我们更好地理解点的运动规律，并预测其在不同参考系下的运动轨迹。
03
点的合成运动的应用
刚体的平面运动是指刚体在平面内的运动，包括平移和旋转。点的合成运动理论力学在刚体的平面运动中有着广泛的应用，如分析刚体的速度和加速度、计算刚体的动能和势能等。
刚体的平移运动是指刚体在平面内沿直线或曲线移动，其速度和加速度可以通过点的合成运动理论力学中的速度和加速度合成定理进行分析。
概念
物体在平面内运动，点在该平面内跟随物体一起运动。
平面运动
空间运动
刚体运动
物体在三维空间中运动，点在该空间内跟随物体一起运动。
物体的各部分之间没有相对运动，点跟随整个物体一起做刚体运动。
03
02
01
02
点的合成运动的基本定理
速系的定理。
该理论广泛应用于航天、航海、车辆工程等领域。通过理解和应用点的合成运动理论，工程师们能够更准确地预测和控制物体的运动轨迹。
尽管点的合成运动理论在许多情况下非常有效，但它也有局限性。例如，在处理高速或微观尺度的运动时，该理论可能会出现误差。
点的合成运动理论与经典力学、相对论、量子力学等其他理论有密切的联系。深入理解这些联系有助于推动物理学的发展。
详细描述
理论力学06_2基点法
§6.2 平面运动刚体上点的速度1 基点法任何平面图形的运动都可视为随同基点的平移和绕基点转动的合成运动。
随着平面图形运动的分解与合成，图形上任一点的运动也相应地分解与合成。
应用点的合成运动的方法，便可求出图形上任一点的速度。
如图6-6所示，设某一瞬时图形上A 点的速度v A ，图形的角速度为ω。
若选A 点为基点，则根据点的速度合成定理，图形上任一点B 的绝对速度为v (6.2.1) r e v v +=B 由于牵连运动为动坐标系随同基点的平移，故牵连速度v e =v A 。
相对运动为图形绕基点A 的转动，即图形上各点以基点A 为中心作圆周运动，故相对速度为以AB 为半径绕A 点作圆周运动时的速度，记为v BA ，其大小为v BA =AB ⋅ω，方向垂直于AB ，指向与图形的转动方向一致。
B 点的速度可表示为v (6.2.2) BA A B v v +=即平面图形内任一点的速度，等于基点速度与该点绕基点转动速度的矢量和。
基于该结论计算平面图形内任一点速度的方法称为基点法。
例6.2-1图图6-6 平面运动刚体上点的速度的合成在应用时，应该注意到式(6.2.2)是一个矢量表达式，各矢量均有大小和方向两个要素，式中共有六个要素。
由于相对速度的方向总是已知的，它垂直于线段AB 。
因此还应知道另外三个要素，方可求解剩余的两个要素。
特别是若已知或求得平面图形角速度，以点A 为基点，用式(6.2.2)可求出图形上任意点的速度。
此外，应用式(6.2.2)作速度平行四边形时，必须注意应为速度平行四边形的对角线。
BA v B v 例6.2-1：曲柄滑块机构如图所示。
曲柄OA =20cm ，绕O 轴以等角速度ω0=10rad/s 转动，连杆AB =100cm 。
当曲柄与连杆相互垂直并与水平线间各成α=45°和β=45°时，求滑块B 的速度和AB 杆的角速度。
解：曲柄OA 作定轴转动，连杆AB 作平面运动，滑块B 作平移。
哈工大理论力学教研室《理论力学》复习大全(点的合成运动)
第7章 点的合成运动7.1 复习笔记一、合成运动 1．基本概念（1）合成运动：相对于某一参考体的运动可由相对于其他参考体的几个运动组合而成，称这种运动为合成运动。
（2）定参考系：习惯上把固定在地球上的坐标系称为定参考系，简称定系。
（3）动参考系：固定在其他相对于地球运动的参考体上的坐标系称为动参考系，简称动系。
（4）绝对运动：动点相对于定参考系的运动，称为绝对运动。
（5）相对运动：动点相对于动参考系的运动，称为相对运动。
（6）牵连运动：动参考系相对于定参考系的运动，称为牵连运动。
（7）动点在相对运动中的轨迹、速度和加速度，称为相对轨迹、相对速度r v 和相对加速度r a 。
（8）动点在绝对运动中的轨迹、速度和加速度，称为绝对轨迹、绝对速度a v 和绝对加速度a a 。
（9）在动参考系上与动点相重合的那一点(牵连点)的速度和加速度称为动点的牵连速度和牵连加速度，用符号e v 和e a 表示。
二、点的速度合成定理 1．点的速度合成定理动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。
表达式为a e r v v v =+由此公式画出的平行四边形也称为速度平行四边形。
2．用速度合成定理解决问题步骤与注意事项（1）选取动点、动参考系和定参考系。
所选的动参考系应能将动点的运动分解成为相对运动和牵连运动。
因此，动点和动参考系不能选在同一个物体上，一般应使相对运动易于看清。
动点与动参考系直接相关的是动参考系上与动点相重合的那一点（牵连点），牵连点的速度和加速度称为动点的牵连速度和牵连加速度。
（2）分析三种运动和三种速度。
相对运动是怎样的一种运动(直线运动、圆周运动或其他某种曲线运动)？牵连运动是怎样的一种运动(平移、转动或其他的某一种刚体运动)？绝对运动是怎样的一种运动(直线运动、圆周运动或其他某种曲线运动)？各种运动的速度都有大小和方向两个要素，只有已知四个要素时才能画出速度平行四边形。
理论力学第2版范钦珊陈建平主编第6章点的复合运动
例6-7
已知：如图所示平面机构中，曲柄OA=r，以匀角 速度ωO 转动。套筒A沿BC杆滑动。BC=DE，且 BD=CE=l。
求：图示位置时，杆BD的角速度和角加速度。
解： 1.动点：滑块A 动系：BC杆
绝对运动：圆周运动（O点） 相对运动：直线运动（BC） 牵连运动：平移
2.速度
vra vre vrr
点P离圆心O为R时:
r Va
rr V, R)
点评:在不同时刻，点与管重合的点不同，故牵连点的速度 两个时刻是不同的。其中大小的改变是因为相对运动的存 在；方向改变是由于牵连转动引起的。
例6-2
在凸轮机构中已知凸轮以速度 v 直线平动，半径为 R 。
(aa ) (ar ) (ae ) (ac )
坐标系的建立是灵活的，最终建立的方位，依所求问题而定。
例6-6 已知：如图所示平面机构中，铰接在曲柄端A的滑块，可 在丁字形杆的铅直槽DE内滑动。设曲柄以角速度ω作匀速 转动， OA 。r
求：丁字形杆的加速度 aDE 。
D
A Oω φ
va vr ve
大小 ？ ？ ？ 方向 ？ ？ ？
2）若已知6个量中的4个量，则另外2个量可求出。
3）某些已知量需要分析得出。由于只有3个矢量，可通过矢量 三角形求未知量。
例6-1
已知:直管绕轴O等角速 转动，小球P以常速率u沿 管运动。 求：点P离圆心O为R/3和R时，相对于地面的速度。
2、应尽可能使相对运动轨迹简单或直观。
3、常见情况：
①、一个单独的点在另一个物体上运动，则选该点为动点， 另一物体为载体。
②、两个运动的物体A、B始终有一个接触点P， P与一物体的相对位置始终不变，该物体上的P点为动点； P与另一物体的相对位置随时在变，该物体为载体。
理论力学6—点的合成运动3
rO xi y j z k
6.3 点的加速度合成定理
rM rO xi yj zk
va
解 : 在本题中应选取滑块 A 作为研究的动点, 把动参考 系固定在摇杆O1B上。 点A的绝对运动是以点 O 为圆心的圆周运动 , 相对 运动是沿O1B方向的直线运 动, 而牵连运动则是摇杆绕 轴O1的摆动。
w ve
O
B vr
A
j
O1
w1
ve va sin j rw sin j
O1 A l r
ve2 va2 cos30 325 mm/s
即滑枕的运动速度是325 mm/s, 方向向左。
650
va2 ve2
O1 w1 A
j
vr2
B
w2
O2
二、加速度分析, 动点和动系的选择分别同前。 1 ） A 点的加速度分析如图所示 , 由于动参考系 O2B作定轴转动, 有科氏加速度, 其方向可由相对 速度 vr顺着摇杆 O2B的转动方向转过 90º 得到 , 是 C D 垂直于O2B斜向上方, 大小为 aC 2w2vr1 200 3 mm/s2 y B n 2 2 ar1 aa1 O1 A w1 800 mm/s aC
650
O1
O2
相对速度
vr1 va1 sin60 200 3 mm/s
2）取套筒B为动点, 动参考系与滑枕CD固连。相 对运动是套筒 B沿滑杆的竖直直线运动 , 牵连运 动是滑枕CD的水平平动, 绝对运动是套筒B绕O2 的圆周运动。
D C
理论力学第六章点的合成运动
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例6－6：三角楔块可在光滑地面滑动，现在楔块上放一物块可
沿光滑斜面滑下，当t=0,x=0,y=h,v2=0,a1=10cm/s2 , a2=10 2cm/s2，试求：物块轨迹方程。
解： aax= a1+ a2 cos450 =20cm/s2；
υϖa = υϖe +υϖr
绝对速度
相对速度
牵连速度
速度合成定理 —— 动点的绝对速度等于其牵连速 度与相对速度的的矢量和。
22
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例6－1：雨铅垂下落,客车以匀速v行驶,在无风时下雨打在 窗玻璃上 的夹角为θ，试求:雨的速度。
10
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运动的分解:动点动系的选择
11
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若选杆为动系,圆上一点为动点
12
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例6－5：曲柄滑道机构，OA=O1A=r=10cm, θ= ϕ , ω=4π, 试求:ϕ 转到300时直杆的加速度a。
解：动点取A； 绝对:圆周；
va
vr
相对:圆周；牵连:平动；
ve
ω
[速度]
y: vacos300=vrcos300;
va= ω r=40 π; vr= va= ω r=40 π ，
选法2 Х
19
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理论力学-点的合成运动
第六章点的合成运动一、是非题1、不论牵连运动的何种运动，点的速度合成定理a=e+r皆成立。
（）2、在点的合成运动中，动点的绝对加速度总是等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。
（）3、当牵连运动为平动时，相对加速度等于相对速度对时间的一阶导数。
（）4、用合成运动的方法分析点的运动时，若牵连角速度ωe≠0，相对速度υr≠0，则一定有不为零的科氏加速度。
（）5、若将动坐标取在作定轴转动的刚体上，则刚体内沿平行于转动轴的直线运动的动点，其加速度一定等于牵连加速度和相对加速度的矢量和。
（）6、刚体作定轴转动，动点M在刚体内沿平行于转动轴的直线运动，若取刚体为动坐标系，则任一瞬时动点的牵连加速度都是相等的。
（）7、当牵连运动定轴转动时一定有科氏加速度。
（）8、如果考虑地球自转，则在地球上的任何地方运动的物体（视为质点），都有科氏加速度。
（）二、选择题1、长L的直杆OA，以角速度ω绕O轴转动，杆的A端铰接一个半径为r的圆盘，圆盘相对于直杆以角速度ωr，绕A轴转动。
今以圆盘边缘上的一点M为动点，OA为动坐标，当AM垂直OA时，点M的相对速度为。
①υr=Lωr，方向沿AM；②υr=r（ωr－ω），方向垂直AM，指向左下方；③υr=r（L2+r2）1/2ωr，方向垂直OM，指向右下方；④υr=rωr，方向垂直AM，指向在左下方。
2、直角三角形板ABC，一边长L，以匀角速度ω绕B轴转动，点M以S=Lt的规律自A向C运动，当t=1秒时，点M的相对加速度的大小αr= ；牵连加速度的大小αe = ；科氏加速度的大小αk = 。
方向均需在图中画出。
①Lω2；②0；③3Lω2；④23 L ω2。
3．圆盘以匀角速度ω0绕O 轴转动，其上一动点M 相对于圆盘以匀速u 在直槽内运动。
若以圆盘为动系，则当M 运动到A 、B 、C 各点时，动点的牵连加速度的大小 ，科氏加速度的大小 。
①相等；②不相等；③处于A ，B 位置时相等。
4．一动点在圆盘内运动，同时圆盘又绕直径轴x以角速度ω转动，若AB ∥OX ，CD ⊥OX ，则当动点沿 运动时，可使科氏加速度恒等于零。
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2 3
v0
)2
/
R
4v02 3R
作加速度矢量图如图示，
n
j
将上式投影到法线上，得
aa sinj ae cosj arn
[注]加速度矢量方程的投影
是等式两端的投影，与
静平衡方程的投影关系
aa
(ae
c
osj
ar
n
)/s
inj
(a0
c
os60
4v02 3R
)/sin60
不同
整理得
aAB aa
3 3
(a0
定系：Oxyz
动系：O’x’y’z’
O’点在定系中矢径：
ro '
动点 M在动系中的矢径： r ' x' i ' y' j ' z' k '
M z'
z
rM
r'
o' y'
ro '
x'
求相对导数得相对速度： vr
dr ' dt
• • x'i ' y'
j '
• z'k '
O x
y
动点 M在定系中的矢径： rM
8 3
v02 R
)
20
点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向 六个 元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。
21
ac 2r
22
[例2] 曲柄摆杆机构
已知：OA= r , , OO1=l 图示瞬时OAOO1 求：摆杆O1B角速度1
解：取OA杆上A点为动点，摆杆O1B为动系， 基座为静系。
恰当地选择动点、动系和静系是求解合成运动问题的关键。
26
动点、动系和静系的选择原则 动点、动系和静系必须分别属于三个不同的物体，
否则绝对、相对和牵连运动中就缺少一种运动，不 能成为合成运动
动点相对动系的相对运动轨迹易于直观判断（已 知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题除外）。
27
[例４] 已知: 凸轮半径r , 图示时 v, 30; 杆OA靠在凸轮上。
16
绝对、相对和牵连加速度之间的关系就是加速度合成定理，表达
式为：
aa ae ar 2 vr
(6.2)
或写成
aa ae ar ac
(6.3)
其中
ac 2 vr
称为科氏加速度（Coriolis acceleration）； ω 为动系的角速度矢量
当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于它的牵连加速 度，相对加速度和科氏加速度三者的矢量和。
牵连速度: ve= r ， 方向OA， 。
30
根据速度合成定理 va ve vr
做出速度平行四边形
vAB va ve tg rtg ()
vr ve /cos r/cos
绝对加速度 :aa ? , 方向 //AB
相对加速度 :ar n vr 2/ 2r 2 /cos2θ , 方向同n
art ? 方向n 牵连加速度: aeτ 0 , ae aen 2r , 方向指向轴心 O ;
3.动参考系：把固结于相对于地面运动物体上的坐标系，
称为动坐标系，简称动系。例如在行驶的汽车。
3
二．三种运动及三种速度与三种加速度。
１．绝对运动：动点对静系的运动。 ２．相对运动：动点对动系的运动。
点的运动
例如：人在行驶的汽车里走动。
３．牵连运动：动系相对于静系的运动
刚体的运动
例如：行驶的汽车相对于地面的运动。
va
dro'
drM d (ro' r ')
dt
dt
•
•
•
x'i ' y' j 'z' k '
• x'i '
O x
• y' j '
• z'k '
y
dt
所以有：
• • • ve x'i ' y' j ' z' k '
va ve vr
vr
dr ' dt
• x'i '
•
y'
j '
R
R 2
vr 2 R
2vr
分析上式：ar vr2 /R , ae R2, 还多出一项2 vr 。
可见，当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度
aa并不
等于牵连加速度 a和e 相对加速度 a的r 矢量和。那么他们
之间的关系是什么呢？ 2 vr 又是怎样出现的呢？牵连运动
为转动时点的加速度合成定理的证明留待以后。
11
• • •
所以牵连速度为：
x'i ' y' j ' z' k ' 0
M z'
ve
dro' dt dro'
•
•
•
x'i ' y' j 'z' k '
•
•
•
x'i ' y' j 'z' k '
•
x'
i '
•
y'
j '
•
z'
k'
z
rM
r'
o' y'
ro '
x'
dt
绝对速度为：
科氏加速度:ak 2vr 2 2r/cos ,
方向//n, 指向与n 相反。
31
由牵连运动为转动时的加速度合成定 理
aa
ae
at r
an r
ak
作出加速度矢量图如图示
向 n 轴投影： aa cos ae cos arn ak
aAB aa ( 2r cos 2r 2 sec2 / 2 2r sec ) / cos
绝对运动中,动点的速度与加速度称为绝对速度 va 与绝对加速度 aa
相对运动中,动点的速度和加速度称为相对速度 vr 与相对加速度ar
牵连运动中,牵连点的速度和加速度称为牵连速度 ve与牵连加速度 ae
牵连点：在任意瞬时，动坐标系中与动点相重合的点，也就是 设想将该动点固结在动坐标系上，而随着动坐标系一起运动时 该点叫牵连点。
为什么在不同的坐标系或参考体上观察物体的运动会有不 同的结果呢？我们说事物都是相互联系着的。下面我们就将研 究参考体与观察物体运动之间的联系。为了便于研究，下面先 来介绍有关的概念。
§6-1 点合成运动的基本概念
一．动点、坐标系：
1、动点： 所研究的点（运动着的点）。
2.静参考系：把固结于地面上的坐标系称为静坐标系,简称静系。
• z' k '
12
绝对、相对和牵连速度之间的关系就是速度合成定理，它表明： 三个速度矢量的任何一个可以由其余两个叠加得到，表达式为：
va ve vr
(6.1)
即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的 矢量和，这就是点的速度合成定理。
动系平动时的加速度合成
a
dva dt
d (ve vr ) dt
求：杆OA的角速度。 分析：相接触的两个物体的接触点位置都随时间而变化，
因此两物体的接触点都不宜选为动点，否则相对运动的分析 就会很困难。这种情况下，需选择满足上述两条原则的非接 触点为动点。
28
解: 取凸轮上C点为动点,
动系固结于OA杆上,
静系固结于基座。
绝对运动: 直线运动, 绝对速度: va v, 方向
a
n r
vr2
/R
,
方向沿CA指向C
牵连速度ve=v0 , 方向 → ; 牵连加速度 ae=a0 , 方向→
由速度合成定理 va ve vr ,
j
j
做出速度平行四边形,如图示。
vr
ve
sinj
v0 s in60 o
2 3
v0
19
因牵连运动为平动，故有
其中
aa
ae
at r
arn
arn vr2 /R(
ae
ar
13
牵连运动为转动时点的加速度合成定理
当牵连运动为转动时，加速度合成定理是怎样表达？下面我们 来分析一特例。
设一圆盘以匀角速度 绕定轴Ｏ顺
时针转动，盘上圆槽内有一点M以大 小不变的速度 vr 沿槽作圆周运动，那 么M点相对于静系的绝对加速度应是 多少呢？
14
选点M为动点，动系固结与圆盘上， 则M点的牵连运动为匀速转动
9
若动点A在偏心轮上时
动点：A(在AB杆上)
A（在偏心轮上）
动系：偏心轮
AB杆
静系：地面
地面
绝对运动：直线
圆周（红色虚线）
相对运动：圆周（曲线） 曲线（未知）
牵连运动：定轴转动
平动
[注] 要指明动点应在哪个 物体上， 但不能选在 动系上。
10
§6－２点的速度、加速度合成定理
哈工大教材，我们的详细证明在最后做
4
三．动点的选择原则： 一般选择主动件与从动件的连接点，它是对两个坐标系都有
运动的点。 四．动系的选择原则： 动点对动系有相对运动，且相对运动的轨迹是已知的，
或者能直接看出的。 下面举例说明以上各概念：
动点：AB杆上A点
动系：固结于凸轮Ｏ'上
静系：固结在地面上
5
绝对运动： 直线 相对运动： 曲线（圆弧） 牵连运动： 直线平动