理论力学06点的合成运动
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2 3
v0
)2
/
R
4v02 3R
作加速度矢量图如图示,
n
j
将上式投影到法线上,得
aa sinj ae cosj arn
[注]加速度矢量方程的投影
是等式两端的投影,与
静平衡方程的投影关系
aa
(ae
c
osj
ar
n
)/s
inj
(a0
c
os60
4v02 3R
)/sin60
不同
整理得
aAB aa
3 3
(a0
定系:Oxyz
动系:O’x’y’z’
O’点在定系中矢径:
ro '
动点 M在动系中的矢径: r ' x' i ' y' j ' z' k '
M z'
z
rM
r'
o' y'
ro '
x'
求相对导数得相对速度: vr
dr ' dt
• • x'i ' y'
j '
• z'k '
O x
y
动点 M在定系中的矢径: rM
8 3
v02 R
)
20
点的速度合成定理是瞬时矢量式,共包括大小‚方向 六个 元素,已知任意四个元素,就能求出其他两个。
21
ac 2r
22
[例2] 曲柄摆杆机构
已知:OA= r , , OO1=l 图示瞬时OAOO1 求:摆杆O1B角速度1
解:取OA杆上A点为动点,摆杆O1B为动系, 基座为静系。
恰当地选择动点、动系和静系是求解合成运动问题的关键。
26
动点、动系和静系的选择原则 动点、动系和静系必须分别属于三个不同的物体,
否则绝对、相对和牵连运动中就缺少一种运动,不 能成为合成运动
动点相对动系的相对运动轨迹易于直观判断(已 知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题除外)。
27
[例4] 已知: 凸轮半径r , 图示时 v, 30; 杆OA靠在凸轮上。
16
绝对、相对和牵连加速度之间的关系就是加速度合成定理,表达
式为:
aa ae ar 2 vr
(6.2)
或写成
aa ae ar ac
(6.3)
其中
ac 2 vr
称为科氏加速度(Coriolis acceleration); ω 为动系的角速度矢量
当牵连运动为转动时,动点的绝对加速度等于它的牵连加速 度,相对加速度和科氏加速度三者的矢量和。
牵连速度: ve= r , 方向OA, 。
30
根据速度合成定理 va ve vr
做出速度平行四边形
vAB va ve tg rtg ()
vr ve /cos r/cos
绝对加速度 :aa ? , 方向 //AB
相对加速度 :ar n vr 2/ 2r 2 /cos2θ , 方向同n
art ? 方向n 牵连加速度: aeτ 0 , ae aen 2r , 方向指向轴心 O ;
3.动参考系:把固结于相对于地面运动物体上的坐标系,
称为动坐标系,简称动系。例如在行驶的汽车。
3
二.三种运动及三种速度与三种加速度。
1.绝对运动:动点对静系的运动。 2.相对运动:动点对动系的运动。
点的运动
例如:人在行驶的汽车里走动。
3.牵连运动:动系相对于静系的运动
刚体的运动
例如:行驶的汽车相对于地面的运动。
va
dro'
drM d (ro' r ')
dt
dt
•
•
•
x'i ' y' j 'z' k '
• x'i '
O x
• y' j '
• z'k '
y
dt
所以有:
• • • ve x'i ' y' j ' z' k '
va ve vr
vr
dr ' dt
• x'i '
•
y'
j '
R
R 2
vr 2 R
2vr
分析上式:ar vr2 /R , ae R2, 还多出一项2 vr 。
可见,当牵连运动为转动时,动点的绝对加速度
aa并不
等于牵连加速度 a和e 相对加速度 a的r 矢量和。那么他们
之间的关系是什么呢? 2 vr 又是怎样出现的呢?牵连运动
为转动时点的加速度合成定理的证明留待以后。
11
• • •
所以牵连速度为:
x'i ' y' j ' z' k ' 0
M z'
ve
dro' dt dro'
•
•
•
x'i ' y' j 'z' k '
•
•
•
x'i ' y' j 'z' k '
•
x'
i '
•
y'
j '
•
z'
k'
z
rM
r'
o' y'
ro '
x'
dt
绝对速度为:
科氏加速度:ak 2vr 2 2r/cos ,
方向//n, 指向与n 相反。
31
由牵连运动为转动时的加速度合成定 理
aa
ae
at r
an r
ak
作出加速度矢量图如图示
向 n 轴投影: aa cos ae cos arn ak
aAB aa ( 2r cos 2r 2 sec2 / 2 2r sec ) / cos
绝对运动中,动点的速度与加速度称为绝对速度 va 与绝对加速度 aa
相对运动中,动点的速度和加速度称为相对速度 vr 与相对加速度ar
牵连运动中,牵连点的速度和加速度称为牵连速度 ve与牵连加速度 ae
牵连点:在任意瞬时,动坐标系中与动点相重合的点,也就是 设想将该动点固结在动坐标系上,而随着动坐标系一起运动时 该点叫牵连点。
为什么在不同的坐标系或参考体上观察物体的运动会有不 同的结果呢?我们说事物都是相互联系着的。下面我们就将研 究参考体与观察物体运动之间的联系。为了便于研究,下面先 来介绍有关的概念。
§6-1 点合成运动的基本概念
一.动点、坐标系:
1、动点: 所研究的点(运动着的点)。
2.静参考系:把固结于地面上的坐标系称为静坐标系,简称静系。
• z' k '
12
绝对、相对和牵连速度之间的关系就是速度合成定理,它表明: 三个速度矢量的任何一个可以由其余两个叠加得到,表达式为:
va ve vr
(6.1)
即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的 矢量和,这就是点的速度合成定理。
动系平动时的加速度合成
a
dva dt
d (ve vr ) dt
求:杆OA的角速度。 分析:相接触的两个物体的接触点位置都随时间而变化,
因此两物体的接触点都不宜选为动点,否则相对运动的分析 就会很困难。这种情况下,需选择满足上述两条原则的非接 触点为动点。
28
解: 取凸轮上C点为动点,
动系固结于OA杆上,
静系固结于基座。
绝对运动: 直线运动, 绝对速度: va v, 方向
a
n r
vr2
/R
,
方向沿CA指向C
牵连速度ve=v0 , 方向 → ; 牵连加速度 ae=a0 , 方向→
由速度合成定理 va ve vr ,
j
j
做出速度平行四边形,如图示。
vr
ve
sinj
v0 s in60 o
2 3
v0
19
因牵连运动为平动,故有
其中
aa
ae
at r
arn
arn vr2 /R(
ae
ar
13
牵连运动为转动时点的加速度合成定理
当牵连运动为转动时,加速度合成定理是怎样表达?下面我们 来分析一特例。
设一圆盘以匀角速度 绕定轴O顺
时针转动,盘上圆槽内有一点M以大 小不变的速度 vr 沿槽作圆周运动,那 么M点相对于静系的绝对加速度应是 多少呢?
14
选点M为动点,动系固结与圆盘上, 则M点的牵连运动为匀速转动
9
若动点A在偏心轮上时
动点:A(在AB杆上)
A(在偏心轮上)
动系:偏心轮
AB杆
静系:地面
地面
绝对运动:直线
圆周(红色虚线)
相对运动:圆周(曲线) 曲线(未知)
牵连运动:定轴转动
平动
[注] 要指明动点应在哪个 物体上, 但不能选在 动系上。
10
§6-2点的速度、加速度合成定理
哈工大教材,我们的详细证明在最后做
4
三.动点的选择原则: 一般选择主动件与从动件的连接点,它是对两个坐标系都有
运动的点。 四.动系的选择原则: 动点对动系有相对运动,且相对运动的轨迹是已知的,
或者能直接看出的。 下面举例说明以上各概念:
动点:AB杆上A点
动系:固结于凸轮O'上
静系:固结在地面上
5
绝对运动: 直线 相对运动: 曲线(圆弧) 牵连运动: 直线平动
2r(1 r sec3 / 2sec2 )
32
[例4] 曲柄摆杆机构
已知:O1A=r , , j , 1;
取O1A杆上A点为动点,动系固结O2B 上,
试计算动点A的科氏加速度。
解:ak 22 vr
2 vr
ak 22vr
根据 va ve vr 做出速度平行四边形
ve va cos r1 sin( j ), vr va sin r1 cos( j )
ve R, ae 2 R
(方向如图)
相对运动为匀速圆周运动,
有vr
常数, ar
vr 2 R
(方向如图)
由速度合成定理可得出
va ve vr R vr 常数
即绝对运动也为匀速圆周运动,所以
aa
va 2 R
(R vr ) 2
R
R 2
vr 2 R
2vr
方向指向圆心O点
15
aa
va 2 R
(R vr ) 2
2
l
2
(
)
23
[例3] 圆盘凸轮机构
已知:OC=e , R 3e , (匀角速度)
图示瞬时, OCCA 且 O,A,B三点共线。
求:从动杆AB的速度。
解:动点取直杆上A点,动系固结于圆盘,
静系固结于基座。
绝对速度 va = ? 待求,方向//AB 相对速度 vr = ? 未知,方向CA
牵连速度 ve =OA=2e, 方向 OA
6
绝对速度 :va 相对速度 : vr
牵连速度 :ve
7
绝对加速度:aa
相对加速度:ar
牵连加速度:ae
8
动点:A1(在O'A1 摆杆上) 动系:圆盘 静系:机架 绝对运动:曲线(圆弧) 相对运动:曲线 牵连运动:定轴转动
动点:A(在圆盘上) 动系:O'A摆杆 静系:机架 绝对运动:曲线(圆周) 相对运动:直线 牵连运动:定轴转动
由速度合成定理 va= vr+ ve , 作出速度平行四边形 如图示。
(翻页请看动画)
va
ve
tg300
2
3 3
e
v
AB
2
3 3
e
()
24
25
由上述例题可看出,求解合成运动的速度问题的一般步骤为: 选取动点,动系和静系。 三种运动的分析。 三种速度的分析。 根据速度合成定理va ve vr , 作出速度平行四边形。 根据速度平行四边形,求出未知量。
此时牵连点 M’在定系中的矢径
与牵动连点速度M在:定系ve中的d矢dr径Mt 相' 同:ddrto'
ro' rM
r'
' ro' •
x'i ' •
r'
• y' j 'z' • •
• k '
• x'i '
•
y'
j '
•
z'
k'
注意在动系中牵连点导数为零: x' i ' y' j ' z' k ' 0
1
第六章 点的合成运动
§6–1 点的合成运动的概念 §6–2.1 点的速度合成定理 §6–2.2 牵连运动为平动时点的加速度合成定理 §6–3 牵连运动为转动时点的加速度合成定理 习题课
2
前两章中我们研究点和刚体的运动,一般都是以地面为参考 体的。然而在实际问题中,还常常要在相对于地面运动着的参 考系上观察和研究物体的运动。例如,从行驶的汽车上观看飞 机的运动等,坐在行驶的火车内看下雨的雨点是向后斜落的等。
()
这类问题称为直杆与圆轮相切接触问题,请记住取轮心为动点 29
[例2] 已知:凸轮机构以匀 绕O轴转动,
图示瞬时OA= r ,A点曲率半径 , 已知。
求:该瞬时顶杆 AB的速度和加速度。
解: 动点: 顶杆上A点; 动系: 凸轮 ; 静系: 地面。 绝对运动: 直线; 绝对速度: va=? 待求, 方向//AB; 相对运动: 曲线; 相对速度: vr=? 方向n; 牵连运动: 定轴转动;
形式很简单、物理意义很明确,推导比较复杂;因此 ,我们到本章的最后再推导
17
[例1] 已知:凸轮半径R,vo ,ao 求:j =60o时, 顶杆AB的加速度。
解:取杆上的A点为动点, 动系与凸轮固连。
请看动画
18
绝对速度va = ? , 方向AB ;绝对加速度aa=?, 方向AB,待求。
相对速度vr = ? , 方向CA; 相对加速度art =? 方向CA
2
ve O2 A
r1 sin(
相对运动: 直线运动,
相对速度: vr未知, 方向 OA 牵连运动: 定轴转动, 牵连速度: ve OC 未知, 待求, 方向OC 根据速度合成定理 va ve vr , 做出速度平行四边形 如图示。
ve va tg
3 3
v
又ve
OC
s
r
in
2r
,
ve 1 3v 3v
2r 2r 3 6r
绝对速度va = r 方向 OA
相对速度vr = ? 方向//O1B 牵连速度ve = ? 方向O1B
由速度合成定理 va= vr+ ve 作出速度平行四边形 如图示。
sinj
r
r 2 l
2
,ve
va
sinj
r 2
r2 l2
又ve
O1
A1
,1
ve O1 A
1 r 2 l2
r 2
r 2 l2
r
r
2