割补转化法求几何体的体积

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“割补法”求解不规则几何体体积

“割补法”求解不规则几何体体积我们通常把不是棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台等的几何体，称为不规则几何体．而解决不规则几何体的方法，常用割补法，即通过分割或补形，将它变成规则的几何体．我们可以从不规则几何体的来源上，即它是由何种常见的几何体所截得的来分类．一、来自三棱柱的截体例1 如图1，正四面体A BC D -中，E F G H ，，，分别是棱A B A C B D C D ，，，的中点，求证：平面EFH G 把正四面体分割成的两部分几何体的体积相等．分析：显然正四面体被分割成的两部分都是不规则的几何体，因此我们可使用割补法来推导．那么我们应选择割，还是补呢？如果选择补，那么补成什么样子呢？显然只能是正四面体，这就说明我们应该选择割．证明：连结C E C G A G A H ，，，，左右两个不规则几何体都被分割成了一个四棱锥和一个三棱锥，如图1．易证左右的两个四棱锥的体积相等，两个三棱锥的体积也相等，于是两部分体积相等．当然此题还有其他的分割方法，比如分成一个三棱柱和一个三棱锥等，也同样好证．二、来自正方体的截体例2 如图2，已知多面体ABC D EFG -中，A B A C A D ，，两两互相垂直，平面ABC ∥平面D E F G ，平面BEF ∥平面A D G C ，2AB AD D C ===，1AC EF ==，则该多面体的体积为（）Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8解法一（割）：如图3，过点C 作C H D G ⊥于H ，连结EH ，这样就把多面体分割成一个直三棱柱D EH ABC -和一个斜三棱柱BEF C H G -．于是所求几何体的体积为：DEH BEF V S AD S DE =⨯+⨯△△11212212422⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解法二（补）：如图4，将多面体补成棱长为2的正方体，那么显然所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半．于是所求几何体的体积为31242V =⨯=．三、来自圆柱的截体例3 如图5，如图5，一圆柱被一平面所截，已知被截后几何体的最长侧面母线长为4，最短侧面母线长为1，且圆柱底面半径长为2，则该几何体的体积等于_______．解法一（割）：如图6，该几何体的体积等于下面的圆柱的体积与上面的圆柱体积的一半之和．下面的圆柱的高就是该几何体的最短侧面母线长1，而上面的圆柱的高为3．于是所求几何体的体积为221π212310π2V =⨯⨯+⨯⨯⨯=．解法二（补）：如图7，将一个与已知的几何体完全相同的几何体，与已知的几何体拼在一起组成一个高为5的完整圆柱，那么所求几何体的体积就是这个大圆柱体积的一半．于是21π2510π2V =⨯⨯⨯=．例1、已知三棱锥的两个侧面都是边长为的等边三角形，另一个侧面是等腰直角三角形。

求体积几种求法和割补法

B1
D
A
B
V V C提1 示：利用 D1C1BD =
BC1D1D
求解。
KEY： 3 a 3
C 注意：等体积法求点面距离。
例3、在各棱长均为1的正三棱柱ABC-A1B1C1中，
（1）BC1与侧面 ABB1A1所成的角为__4__5_o _____；
（2）如果M为CC1的中点，则截面AB1M与底面所成
例1、已知三棱锥的两个侧面都是边长为 6 的等边三角形，另一个侧面是等腰直角三角形。求此三棱锥的体积。
S
A F
B
E C
提示：设三棱锥S-ABC，侧面SAC、SBC为等边三角形，边长6 为，SASB。取SA中点E，AB中点F，连接AE、BE、EF。可证得 SC 平面ABE。利用：
VS-ABC=VS-ABE+VC-ABE 得三棱锥体积。
解 ∵PA⊥平面 ABCD， ∴PA 是三棱锥 P－CED 的高，PA＝2. ∵ABCD 是正方形，E 是 AC 的中点， ∴△CED 是等腰直角三角形． AB＝1，故 CE＝ED＝ 22， S△CED＝12CE·ED＝12·22·22＝14. 故 VC－PED＝VP－CED＝13·S△CED·PA＝13·14·2＝16.
N
∴ V几何体=V三棱柱+V四棱锥
F
D
M
A
B
C
例2.如图：在棱长为 a 的正方体ABCD--A1B1C1D1中取点A1、C1、B、D，依次连结成一个多面体，
求：此多面体的体积.
A1 B1
A B
解二：用分割法
D1
V V 4V C1
正四面正体方体三棱
D C
a3 416a3

【高考数学二轮复习提升微专题】第34讲割补法与等积法-解析版

第34讲割补法与等积法一、知识与方法1 割补法割补法包括分割法和补体法,求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体,锥体,分别求出雉体和柱体的体积, 从而得出几何体的体积,这种方法称为分割法. 用于直接解题较困难,分割后化繁为简,使问题较易获得解快,但有时候,所给的几何体并不复杂,却很难直接计算求解,这类几何体实际上是一个常规几何体的一部分. 通过添补适当的几何体,将其扩展为新的、其特征为我们比较熟悉的几何体,以便于从整体上宏观把握,处理局部问题的一种方法称为补体法,体现了拓展空间, 从更广阁的范围内处理局部问题的整体思想.分割法与补体法合在一起称为割袳法.2 等积法(又称等积变换法)（1）利用三棱锥的“等积性”,即体积计算时可以任一个面作为三棱雉的底面. (1)求体积时,可选择“容易计算”的方式来计算; (2)利用“等积法”可求“点到面的吟离”,关键是在面中选取 3 个点,与已知点构成三棱锥.(2) 等积变换法充分体现了转化的数学思想,在运用过程中要充分注意距离之间的等价转换.二、典型例题【例1 】(1) 如图 384- 所示,已知多面体 ABC DEFG - 中, ,AB AC ,AD 两两互相垂直,平面 //ABC 平面 DEFG , 平面 //BEF 平面 ,2,1ADGC AB AD DG AC EF =====, 则该多面体的体积为 ( ).A. 2B. 4C. 6D. 8(2) 如图 385- 所示,在多面体 ABCDEF 中, 已知 ABCD 是边长为 1 的正方形, 且 ,ADE BCF 均为正三角形. //,2EF AB EF =, 则该多面体的体积为( ).A. B. C. 43 D. 32【分析】本例两小题给出的都是不规则几何体,直接求体积比较困难,可以将这个几何体分割成若干规则的几何体,从而得出几何体的体积(求规则几何体的体积再合成)，也可认运用补体法补成一个规则几何体再求解,如第(1) 问,可把题中给出的几何体分割成两个三棱柱或补成一个正方体;第(2)问,不同的分割可以引发一题多解与发散思维,这种解法体现了割补思想和等积变换思想.【解析】 (1) 【解法一】(割)如图 386- 所示,过点 C 作 CH DG ⊥ 于 H , 联结EH ,把多面体分割成一个直三棱柱 DEH ABC - 和一个斜三棱柱 BEF CHG -.于是所求几何体的体积为 112122122DEH BEF V S AD S DE ⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2 4.=【解法二】(补)如图 387- 所示. 将多面体补成棱长为 2 的正方体. 显然所求的多面体的体积为该正方体体积的一半.于是所求几何体的体积 31242V =⨯=.(2) 【解法一】 (分割法一)如图 388- 所示,分别过 ,A B 作 EF 的垂线, 垂足分别为点 ,G H , 联结 ,DG CH .则原几何体分割为两个三棱雉和一个直三棱柱,锥高12, 柱高 1. 2AG ==, 取 AD 中点 M , 则2MG =11112224434AGD S V =⨯⨯=∴=+⨯⨯123=【解法二】 (分割法二)如图 389- 所示,取 EF 中点P , 则原几何体分割为两个三棱雉和一个四棱雉,易知三棱雉 P AED - 和三棱雉 P BCF - 都是棱长为 1 的正四面体,四棱雉 P ABCD - 为棱长为 1 的正四棱雉.2111233V =⨯+⨯= 【例 2】已知直三棱柱 111ABC A B C - 中, 222A B C 是用一平面截得的截面,且 21AA h =, 2223,BB h CC h == , 若 ABC 的面积为 .S 求证:介于截面与下底面之间的几何体的体积为 ()12313V S h h h =++. 【分析】由于几何体 222A B C ABC - 是一个不规则的几何体,为求得其体积不妨采用分割或补体的方法来求解和证明.【解析】【证法一】 (分割)为了讨论方便, 不妨设 123h h h , 可将几何体 222ABC A B C - 分割成一个小直三棱柱与两个三棱雉. 如图 390- 所示,过 2A 作 23//A B AB 交 2B B于 3B , 过 3B 作 33//B C BC 交 2C C 于 3.C 联结 23A C ,23B C , 则几何体 222ABC A B C - 被分割成直三棱柱 233ABC A B C - 、三棱雉 2233B A B C - 、二棱锥 2A 232B C C -设 ,BC x A = 到 BC 的距离为 d , 则 12S xd =. 由于 ()23322331211,3ABC A B C B A B C V Sh V S h h --==-, ()()223223231311111.3323A B C c B C C V S d h h x d S h h -=⋅=⋅-⋅⋅=- 故 ()2222332233223212313ABC A B C ABC A B C B A B C A B C C V V V V S h h h ----=++=++. 【证法二】（补体)将几何体 222ABC A B C - 以 ABC 为底面进行两次等几何体补形,使侧棱的长均为 123h h h ++, 这样就将不规则的几何体补形为新的直三棱柱.而原几何体的体积等于这个新直三棱柱体积的 13，故 ()222123 1133ABC A B C V V S h h h -==++新直三榬柱.【例 3】如图 391- 所示,三棱锥 A BCD - 中, AB ⊥ 平面 BCD ,CD BD ⊥(1) 求证: CD ⊥ 平面 ABD ;(2) 若 1,AB BD CD M === 为 AD 中点,求三棱雉A MBC - 的体积.【分析】利用三棱锥的“等积法”,即体积计算时,可以任一个面作为三棱锥的底面,利用“等积法”可求“点到面的距离”,关键是在面中选取三个点,与已知,点构成三棱锥.等积变换法充分体现了转化的数学思想,在运用过程中要充分注意距离之间的等价转换.【解析】(1) 证明: :AB ⊥ 平面 ,,BCD CD BD CD ⊥⊂ 平面 ,ABD BD ⊂ 平面 ABD , CD ∴⊥ 平面 .ABD(2)【解法一】由 AB ⊥ 平面 BCD ,得 AB BD ⊥,11,.2ABD AB BD S ==∴= M 为 AD 中点, ABM 11.24ABD S S ∴== 由 ()1 知,CD ⊥ 平面 ABD ,∴ 三棱锥 C ABM - 的高 1h CD ==.因此三棱雉 A MBC - 的体积 B 13A MBC C ABM A M V V S h --==⋅1.12=【解法二】由 AB ⊥ 平面 BCD 知,平面 ABD ⊥ 平面 BCD .又平面 ABD ⋂ 平面 BCD BD = , 过点 M 作 MN BD ⊥ 交 BD 于点 N ,如图 392-所示,则 MN ⊥ 平面 BCD , 且 1122MN AB ==. 又 1,1,2BCD CD BD BD CD S ⊥==∴=. ∴ 三棱倠 A MBC - 的体积 1133A MBC A BCD M BCD BCD V V V AB S MN ---=-=⋅-. 112BCD S =. 三、易错警示【例】正方体容器 1AC 中盛满水, ,,E F G 分别是 1111,,A B BB B C 的中点,若 3 个小孔分别位于 ,,E F G 三点处,则正方体中的水最多会剩下原体积的( ). A. 78 B. 1112 C. 56 D. 2324【错解】剩下的水的最大容积是截面 EFG 以下几何体的体积,如图 393- 所示,设 1CC 的中点为 11,M C D 的中点为 N ,则截面 EFG 在正方体 1AC 的截面是 EFMN , 设正方体 1AC 的棱长为 1, 则三棱柱 11B EF C MN - 的体积 1111111.2228B EFC MN V =⨯⨯⨯= 于是, 正方体的水最多会剩下原体积的 17188-=, 故选 A.【评析及正解】上迌解法是否正确,我们可认考查另一种情形.考虑由 1,,B E C 确定的截面,如图 394- 所示.此时,另一个小孔在截面 1BEC的上方, 此时三棱锥 11B BEC - 的体积为 1113B BEC V -=⨯ 111111.22128⎛⎫⨯⨯⨯=< ⎪⎝⎭ 于是, 正方体中的水最多会剩下原体积的 11111212-=, 故应选 B . 1. 从选项看,还有 2324, 那么,会不会是这个结果呢? 我们可以考虑一般的情形.【正确的解法】如下:【解析】:我们注意到, 当正方体中剩下的水最多时,这时的水平面必定经过其中的两个小孔, 不妨设经过小孔 ,E G , 如图 395- 所示,另一个小孔 F 在该平面的上方. 设过 ,E G 的平面与棱 1111,,BB CC C D 的交点分别为 ,,H P Q , 则流出的水的最小体积是台体 11B EH C QP - 的体积.设正方体 1AC 的棱长为 2 , 则 11B E =, 设 ()112B H x x =, 则 12C P x =-. 由 11B EH C QP , 得 12x C Q x-=. 于是, 台体 11B EH C QP - 的体积为112231(2) 31(2)14 2233121222,3312B EHC QP x V x x x x x x x ⎡⎤-=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤-⎛⎫=+=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎛⎫⋅==⨯ ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当 4x x =, 即 2x = 时,台体 11B EH C QP - 的体积最小, 为正方体体积的 112. 此时,点 H 与点 B 重合, 即截面为 1BEC , 故选 B.四，难题攻略【例】在三棱台 111ABC A B C - 中, 111,2A B G AB = 为 1CC 的中点,截面 1A BG 将棱台分成上、下两部分,求这两部分体积之比.【分析】由于合成的两部分都是不规则的几何体,故需将其分割成几个锥体（特别是三棱锥)的组合体才便于计算体积之比,需要提醒的是这里有等面积、等高,等体积的运用,使问题的解答别开生面.【解析】如图 396- 所示, 联结 11,BC A C , 则棱台被分割成 4 个三棱锥的组合体, 注意到 3 个三棱锥 11111,A BC G A BC B --,1A BCG - 都等高, 因而其体积之比为底面面积之比.又在梯形 11BCC B 中, 由 111112B C A B BC AB ==, 且 G 为 1C C 的中点, 有 11.BCC BOG BC B S S S ==即 111111ΛBCC A BCC A BC B V V V V ---===,从而 111112A BCC A BC B V V V V --=+=上,在三棱雉 111B A B C - 与三棱雉 1A ABC - 中, 它们的高相等, 且 1114ABCA B C S S=,则 1111111444A ABC B A B c A BC B V V V V ---===.从而 1155A ABC A BCC V V V V --=+=下, 故 t :2:5V V =下为所求.五、强化训练1.如图397-所示,在直三棱柱111ABC A B C -中,12,,2AB BC AA ABC M π∠===是BC中点.(1)求证:1//A B 平面1AMC ;(2)求直线1CC 与平面AMC 所成角的正弦值;(3)试问在棱11A B 上是否存在点N ,使得AN 与1MC 所成角为?3π若存在,确定点N 位置;若不存在,请说明理由.【解析】（1）如图①所示，联结，设与相交于点，则为中点，联结，则为的中位线，依据线面平行判定定理可得.（2）将图①补体为图②，设直线与平面所成角为，则 .由题意，不妨设，依据等体积法可得1A C 1AC O O 1A C OM OM 1A BC 11111AB OM A B AMC A B AMC OM AMC //⎫⎪⊄⇒//⎬⎪⊂⎭平面平面平面1CC 1AMC α11sin C AMC h CC α-=122AB BC AA ===. （3）假设在棱上存在点，使得与成角，不妨设在棱上取点，使得，易得，如图③所示，故与成角.在中，由余弦定理可得.故在棱上存在点，且为棱的中点，使得与成角.111111133C AMC C AMC AMC C AMC AMCC AMC V V Sh Sh ----=⇒=11122sin 33C AMC C AMC h h CC α--⇒=⇒==11A B N AN 1MC 3π1(02)A N t t =≤≤CD Q CQ t =1AN C Q//1C Q 1MC 3π1MQC 22222211112cos3MQ MC QC MC QC π=+-⇒=+1[0,2]t -=∈11A B N N 11A B AN 1MC 3π。

用割补法求几何体的体积

用割补法求几何体的体积――培养学生的空间想象能力内容提要：本文用图形割补的方法来求一些不规则的几何体体积，通过求几何体体积的过程，来培养和提高学生对空间图形的想象能力，进而得出培养和提高学生空间想象能力的途径。

关键字：割补法空间想象能力在高中立体几何的学习中，学生最大的困难在于缺乏良好的空间想象能力，由于目前我们只能在二维平面上通过空间图形的平面直观图来研究空间元素的位置关系和数量关系，这就造成学生难以摆脱在平面几何学习中培养起来的对平面图形的认知经验，具体表现在遇到立几问题时，不会识图，有些学生甚至看不出空间元素的前后位置关系，也不会合理作图。

特别是求几何体体积问题，对于不同的几何体或不规则的几何体，我们可联想熟悉的几何体去计算其体积，这就对学生的空间想象能力有很高的要求。

那么什么是空间想象能力呢？中学数学中的空间想象能力主要是指，学生对客观事物的空间形式进行观察、分析、抽象思考和创新的能力。

空间想象能力的提高必定AB要经过实际的训练，途径也有很多种。

本文就借助于求几何体的体积来提高学生的空间想象能力。

由于几何体的形状多种多样，所以体积的求法也各不相同。

针对一些不规则的几何体，直接运用体积公式可能比较困难，我们常对原几何体进行割补，转化为几个我们熟悉的几何体，其解法也会呈现一定的规律性:① 几何体的“分割”几何体的分割即将已给的几何体，按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之。

② 几何体的“补形”与分割一样，有时为了计算方便，可将已给的几何体补成易求体积的几何体，如长方体，正方体等等。

一、用割补法求锥体的体积例题一：已知三棱锥ABC P -，其中4=PA ,2==PC PB ,ο60=∠=∠=∠BPC APC APB 求：三棱锥ABC P -的体积。

【思路一】作BC 的中点D ，连接PD 、过P 作AD PH ⊥，垂足H易证PH 即为三棱锥ABC P -的高，由棱锥体积公式 PH S V ABC ABC P ⋅=∆-31即得三棱锥ABC P -的体积。

求体积的几种常用方

求体积的几种常用方法体积的求解与计算是高考考查的重点和热点，其方法灵活多样，而分割、补性和等体积法转化是中学常见的几种求体积的方法，其中分割、补形也称为割补法。

1、分割法对于给出的一个不规则的几何体，不能直接套用公式,常常需要运用分割法,按照结论的要求，将原几何体分割成若干个可求体积的几何体，然后再求和．例1：如图1，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，3EF=2，EF 与面AC 的距离为2，,则该多面体的体积为（） .图19A 2、 B 、5 C 、6 D 、152解析：方法一：图2如图2，连接EB 、EC 、AC 。

则四棱锥E-ABCD 的体积2E -A B C D 1V =32=63⨯⨯。

EAB BEF AB=2EF EF ABS =2S ∆∆∴ ，F -E B C -E F B -A B E E -A B C E -A B C D11113V =V =V =V =V=22222∴⨯⨯ＣＣ E-ABCD F-EBC 315V=V +V =622∴=－方法二：图3如图3，设G 、H 分别为AB 、DC 的中点，则EG ∥FB ，GH ∥BC ，得棱柱EGH-FBC.由题意，得E-AGHD AGHD 111V =S 2=332=3332∴⨯⨯⨯⨯⨯EGH-FBC B-EGH E-BGH E-GBCH E-AGHD 11339V =V =3V =3V =V =3=.32222∴⨯⨯⨯E-AGHD EGH-FBC 915V=V +V =3+=.22方法三：有方法一知，E-ABCD V =6∴，故多面体的体积大于6，四个选项只有D 适合。

例2：如图4，已知直三棱柱ABC-A B C '''的体积为V ，点Ｐ、Ｑ分别是侧棱AA CC ''，上的点，且AP=C Q '，求四棱锥B-APQC 的体积。

图４分析：由于所求四棱柱的高及底面APQC 的面积都不易求得，因此考虑将四棱锥B-APQC 分割后求解。

定积分割补法求体积

定积分割补法是求旋转体体积的一种方法。

首先，我们需要理解旋转体的形成。

考虑一个平面曲线 y = f(x) (0 ≤ x ≤ a) 和直线 x = a 在第一象限的交点为 A(a, f(a))。

当这个平面曲线绕x轴旋转时，它形成一个旋转体。

旋转体的体积 V 可以用下面的定积分表示：
V = π∫(0, a) [f(x)]^2 dx
这就是旋转体的体积公式。

现在，我们可以用定积分割补法来求这个体积。

定积分割补法的基本思想是：将区间[0, a] 分成若干个子区间，在每个子区间上取一个点，计算该点处的函数值与该区间长度乘积的一半，然后将这些值加起来，最后乘以π并除以2，得到旋转体的体积。

具体步骤如下：
将区间 [0, a] 分成 n 个子区间，每个子区间的长度为Δx = a/n。

在每个子区间上取一个点 x_i (i = 1, 2, ..., n)，计算该点处的函数值 y_i = f(x_i)。

计算每个子区间的体积ΔV_i = π * (y_i)^2 * Δx / 2。

将所有子区间的体积加起来，得到 V = ΣΔV_i。

最后乘以π并除以2，得到最终的旋转体体积 V = π/2 * ΣΔV_i。

空间几何体体积计算的常用技巧

11
【解析】根据题意，折叠后的三棱锥 P—CDE 的各棱长都相等，且等于 1，根据此三棱锥构造相应正方体(如图)，则该正方体的棱长为 22，故正方体的体积为( 22)3＝ 42，所以三棱锥锥 P—CDE 的体积为 42－4×13×12× 22× 22× 22＝122.
12
2
7
例 3 如图所示，已知底面半径为 r 的圆柱被一个平面所截，
剩下部分母线长的最大值为 a，最小值为 b，那么圆柱被截后剩
下的部分的体积是多少？
V=V1 +V2
1 r2
2
a
b
8
【解析】方法一：过 B 点作平行于底面的截面，将几何体分为两部分，下半部分是一个底面半径为 r，高为 b 的圆柱，其体积为 V1＝πr2b；将上半部分再补成圆柱，这样上半部分的体积是所补成的圆柱体积的一半，为 V2＝12πr2(a－b)．则所求几何体的体积为 V＝V1＋V2＝12πr2(a＋b)．
设四边形acc四边形acqp割补法是处理立体几何问题的一种基本方法解题思路是以已知几何体为背景将其补成或分割成熟悉的更易利用已知条件解决的简单几何体
空间几何体体积计算的常用技巧
1．等积变换法
三棱锥也称为四面体，它的每一个面都可当做底面，恰当地进行换底等积变换便于问题的求解．
1
例 1 如图所示，三棱锥的顶点为 P，PA、PB、PC 为三条侧棱，且 PA、PB、PC 两两互相垂直，又 PA＝2，PB＝3，PC＝ 4，求三棱锥 P－ABC 的体积 V.
1 A.2V
1 C.4V
A1 B1
P
ห้องสมุดไป่ตู้
1 B.3V
2 D.3V
C1
Q
A

利用“割补法”求几何体体积

利用“割补法”求几何体体积
孟铁军
【期刊名称】《赤峰学院学报：自然科学版》
【年(卷),期】1999(000)002
【摘要】"割补法"求几何体的体积是一种重要的方法,其基本思想是,把复杂几何体延伸或加补,构成简单几何体,或复杂几何体切割成简单几何体,下面举例说明此法的应用。

在教材中推导三棱锥的体积公式 V三棱锥=1/3S底h就是把三棱锥通过补形转化为三棱柱,然后再分割成三个等积的三棱锥而推出的,在此不再重述。

例1.如图1,在三棱锥 P—ABC 中,已知
PA⊥BC,PA=BC=1,PA、BC公垂线 ED=h,求证:三棱锥 P—ABC 的体积
V=1/612h。

（87年高考题）1.割法
【总页数】2页(P80-81)
【作者】孟铁军
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】G634.6
【相关文献】
1.拼接巧处理,找外接球的球心——立体几何第一章空间几何体的表面积和体积中求多面体外接球的处理办法总结 [J], 高映俊;
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求多面体外接球的处理办法总结 [J], 高映俊;
3.割补法求体积的灵活运用 [J], 梁爽
4.求体积常用的数学思想——割补法 [J], 钱溧芬
5.四种方法求空间几何体的体积 [J], 廖庆伟
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几何体外接球表面积及体积的求法有答案

几何体外接球表面积及体积的求法答案1.D【考点】由三视图求面积、体积．【专题】数形结合；转化法；空间位置关系与距离．【分析】根据三视图得出该几何体是圆柱，求出圆柱体的表面积和它外接球的表面积即可得出结论．【解答】解：根据三视图得，该几何体是底面半径为3，高为4的圆柱体，所以该圆柱体的表面积为S1=2π×32+2π×3×8=66π；根据球与圆柱的对称性，得它外接球的半径R满足（2R）2=62+82=100，所以外接球的表面积为S2=4πR2=100π；所以剩余几何体的表面积是S=S1+S2=66π+100π=166π．故选：D．【点评】本题考查了三视图的应用问题，也考查了利用三视图研究直观图的性质，球与圆柱的接切关系，球的表面积计算问题，是基础题目．2.D【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径R=1，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积．【解答】解：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，∴正四棱柱体对角线的长为=2又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=1根据球的体积公式，得此球的体积为V=πR3=π．故选：D．【点评】本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题．3.C【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】先画出图形，正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，然后根据勾股定理列方程，解出球的半径即可．【解答】解：如图，设正四棱锥底面的中心为E，过点A，B，C，D，S的球的球心为O，半径为R，则在直角三角形AEO中，AO=R，AE=BD=4，OE=SE﹣AO=8﹣R由AO2=AE2+OE2得R2=42+（8﹣R）2，解得R=5球半径R=5，故选C．【点评】本题主要考查球，球的内接体问题，考查计算能力和空间想象能力，属于中档题．4.D考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：由AB=BC=CA=2，求得△ABC的外接圆半径为r，再由R2﹣（R）2=，求得球的半径，再用面积求解．解答：解：因为AB=BC=CA=2，所以△ABC的外接圆半径为r=．设球半径为R，则R2﹣（R）2=，所以R2=S=4πR2=．故选D点评：本题主要考查球的球面面积，涉及到截面圆圆心与球心的连垂直于截面，这是求得相关量的关键．5.C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1==，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=，∴V三棱锥S﹣ABC==．故选：C．【点评】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定点S到面ABC的距离．6.C【考点】球的体积和表面积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】将四面体补成长方体，通过求解长方体的对角线就是球的直径，然后求解外接球的表面积．【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以，，为三边的三角形作为底面，且以分别x，y，z长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2=29，x2+z2=34，y2+z2=37，则有（2R）2=x2+y2+z2=50（R为球的半径），得R2=，所以球的表面积为S=4πR2=50π．故选：C．【点评】本题考查几何体的外接球的表面积的求法，割补法的应用，判断外接球的直径是长方体的对角线的长是解题的关键之一．7.B【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可．【解答】解：三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，d==，它的外接球半径是外接球的表面积是4π（）2=14π故选：B．【点评】本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，是基础题．8.B【考点】球内接多面体．【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可．【解答】解：三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，d==，它的外接球半径是，外接球的表面积是4π（）2=14π故选：B．【点评】本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，是基础题．9.D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=，故AC=R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，由此能求出球的体积．【解答】解：设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=，∴AC=R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得：BC2=AB2﹣AC2=R2，所以Rt△ABC面积S=×BC×AC=，又PO⊥平面ABC，且PO=R，四面体P﹣ABC的体积为，∴V P﹣ABC==，即R3=9，R3=3，所以：球的体积V球=×πR3=×π×3=4π．故选D．【点评】本题考查四面体的外接球的体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．10.B【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．算出长方体的对角线即为球直径，结合球的表面积公式，可算出三棱锥P﹣ABC外接球的体积．【解答】解：以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．∵长方体的对角线长为2，∴球直径为2，半径R=，因此，三棱锥P﹣ABC外接球的体积是πR3=π×（）3=4π故选：B．【点评】本题给出三棱锥的三条侧棱两两垂直，求它的外接球的表面积，着重考查了长方体对角线公式和球的表面积计算等知识，属于基础题．11.D12.考点：球的体积和表面积；球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：求出BC，利用正弦定理可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积．解答：解：∵AC=2，AB=1，∠BAC=120°，∴BC==，∴三角形ABC的外接圆半径为r，2r=，r=，∵SA⊥平面ABC，SA=2，由于三角形OSA为等腰三角形，则有该三棱锥的外接球的半径R═=，∴该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=．故选：D．点评：本题考查三棱锥的外接球表面积，考查直线和平面的位置关系，确定三棱锥的外接球的半径是关键．12.A考点：球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：压轴题．分析：先确定点S到面ABC的距离，再求棱锥的体积即可．解答：解：∵△ABC是边长为1的正三角形，∴△ABC的外接圆的半径∵点O到面ABC的距离，SC为球O的直径∴点S到面ABC的距离为∴棱锥的体积为故选A．点评：本题考查棱锥的体积，考查球内角多面体，解题的关键是确定点S到面ABC的距离．13.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S 在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S﹣ABC的体积最大．【解答】解：由题意画出几何体的图形如图由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S﹣ABC的体积最大．∵△ABC是边长为2的正三角形，所以球的半径r=OC=CH=．在RT△SHO中，OH=OC=OS∴∠HSO=30°，求得SH=OScos30°=1，∴体积V=Sh=××22×1=．故答案是．【点评】本题考查锥体体积计算，根据几何体的结构特征确定出S位置是关键．考查空间想象能力、计算能力．14.12π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球O的表面积．【解答】解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，所以球的半径为： =．所以球O的表面积为4π×3=12π．故答案为：12π．【点评】本题考查球的表面积的求法，考查空间想象能力、计算能力．15.【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】正方体的内切球的直径为正方体的棱长，外接球的直径为正方体的对角线长，设出正方体的棱长，即可求出两个半径，求出两个球的面积之比．【解答】解：正方体的内切球的直径为，正方体的棱长，外接球的直径为，正方体的对角线长，设正方体的棱长为：2a，所以内切球的半径为：a；外接球的直径为2a，半径为：a，正方体的内切球与外接球的面积之比：==．故答案为：．【点评】本题是基础题，考查正方体的外接球与内切球的面积之比，求出外接球的半径，是解决本题的关键．16.16π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；方程思想；数形结合法；立体几何．【分析】正四棱锥P﹣ABCD的五个顶点在同一球面上，则其外接球的球心在它的高PO1上，记为O，如图．求出AO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．【解答】解：正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，PO=AO=R，PO1=3，OO1=3﹣R，在Rt△AO1O中，AO1=AC=，由勾股定理R2=3+（3﹣R）2得R=2，∴球的表面积S=16π故答案为：16π．【点评】本题考查球的表面积，球的内接体问题，解答关键是确定出球心的位置，利用直角三角形列方程式求解球的半径．需具有良好空间形象能力、计算能力．17.36π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积．【解答】解：∵三棱锥S﹣ABC正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直）∴MN⊥AC，又∵MN⊥AM而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC即SB⊥平面SAC，∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，∴2R=2 ，∴R=3，∴S=4πR2=4π•（3）2=36π，故答案为：36π．【点评】本题是中档题，考查三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力；三棱锥扩展为正方体，它的对角线长就是外接球的直径，是解决本题的关键．18.；。

体积割补法

1 体积割补法
把一个不规则的几何体通过割或补的办法，转化为一个或几个规则几何体的体积运算是常见的体积求解手段．
例1 将3个边长为12cm 的正方形沿邻边中点剪开分成两部分，将这6
个部分接在一个边长为的正六边形上，若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积为 .
（2005,上海交大自招）
解如图2所示，所得的多面体相当于将三条侧棱两两垂直的正三棱锥V ABC -截去三个
角123V ADI V BEF V CGH ---、、，这三个小三棱锥都与棱锥V ABC -相似，相似比为13
，
又18.VA VB VC === 所以多面体体积3
33111813864.63V cm ⎡⎤⎛⎫=⋅⋅-⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣
⎦
【评注】本题通过把不规则几何体补成正三棱锥来解决的，如果像图3所示那样补成正方体，解法更为简单快捷，所得多面体体积正好是边长为12cm 的正方体体积的一半．
1
图 A
C
2图K
H
A
1
A 1
C 3
图。

非常好的课件利用割补法解立体几何中的问题

在△AC1B2中，有余弦定理得：
B2
cos AC1B2
AC12 C1B22 AB22 2 • AC1 • C1B2
48 65
0
∴ AC1和B1C所成的角为∠AC1B2的补角.
其值为：arccos
48 65
3、如图：在正方体 AC1 中，E 为 B1C1 的中点，
求：异面直线 A1C 和 BE 所成的角.
2. 如图：在直三棱柱 ABC－A1B1C1中，∠ACB=90。， BC=5，AC=9，CC1=12
求：CB1与 AC1所成的角的大小
A C
A1 C1
A2 C2
B
如图,补一个相同的直三棱柱,
连结C1B2，AB2，则CB1∥C1B2
∴ ∠AC1B2（或其补角）就是
AC1和 CB1所成的角。 B1 可得：AC1=15，C1B2=13，AB2=√682
S 底面积： ADN
1 2
•a
•
a 2
a2 4
高：为点 M 到平面 ADN的距离 h=a
∴VA－DMN
1 3
•
a2 4
•
a
1 12
a3
V 2V ∴ 四棱锥=
A－ DMN=
1 6
a
3
4、在四面体 ABCD 中，AB=AC=DB=DC=10， BC=AD=12，
求：四面体 ABCD 的体积.
A
D E
B
复杂的几何体都是由简单几何体组成，在求体积
01
时，注意利用分割的思想。另外，应注意改变对
几何体的观察角度，以得到最佳求积法.
在立体几何中利用补形的方法可以既简单又巧妙
02
地解决很多问题.

高中数学立体几何体积的求解方法

高中数学立体几何体积的求解方法立体几何体积的求解方法在求解立体几何体积时，需要注意一个原则：找到易于求解的底面和高。

其中，椎体是最易考到的题型，尤其是高的求解。

下面介绍四种求解椎体体积的方法：1.直接法：通过点作底面的垂线，求垂线段的长作为高，底面的面积是底面积。

2.转移法（等体积法）：更换椎体的底面，选择易于求解的底面积和高。

3.分割法（割补法）：将一个复杂的几何体分成若干易于计算的椎体。

4.向量法：利用空间向量的方法（理科）。

下面列举几个典型例题：1.直接法例1：在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，A1A=AB=2，BC=3.求四棱锥B-A1A1C1D的体积。

例2：已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1.若M是PC的中点，求三棱锥M-ACD的体积。

变式1：在四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是CD上的点且FC=1.求三棱锥E-BCF的体积。

变式2：在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°。

求三棱锥P-ABC的体积。

2.转移法例3：已知三棱锥A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形。

若BC=4，AB=20，求三棱锥D-BCM的体积。

例4：在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA丄底面ABCD底面ABCD为矩形，E为PD上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE。

求三棱锥P-XXX的体积。

变式3：在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD。

若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A-XXX的体积。

变式4：在矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面XXX。

几何体体积的求法

1 S A1 EB a 3
点评
转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用的
方法，也是求后面要学习到的求点到平面距离的一个理论依据，相应的方法叫等积法．四、还原图形法此类题主要是没有直接给出几何体，而是给出了几何体的三视图，求体积时一般需要根据三视图还原成直观图，再进行解答．
课堂小结
【例2】已知：长方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，AB=4 ，BC=2， BB1 =3，求三棱锥 B1 AD 1C 的体积
解法分析：
VB1 AD1C VABCD A1B1C1D1 VA AD B VB AD B V 1 1 1 1 1 C1 AD1 B1 VD AD1 B1
E F A C E F A C
∴V几何体=
1 V 2 三棱柱
D B
D B
如图：△ABC中，AB=8、BC=10、AC=6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD=3，FC=4，AE=5。求：此几何体的体积？分析：如图：取 CM=AN=BD , 连结 DM , MN , DN.
E
用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥.
一、引言
二、用割补法解决立体几何中的几类问题
1、用割补法求体积 2、用补形法求二面角
3、用补形法求异面直线所成角
如图：△ABC中，AB=8、BC=10、AC=6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD=3，FC=4，AE=5. 求：此几何体的体积？
分析：
用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱。
C
A' B'
C'
M
C
PA BC ED 例3：已知三棱锥P—ABC中， , BC

割补法在立体几何中的应用

《割补法在立体几何中的应用》学案操冬生1.观看投影：正方体的分割2.问题一：○1求棱长为2的正四面体的体积。

分析：将正四面体通过补形使其成为正方体，然后将正方体的体积减去四个易求体积的小三棱锥的体积。

解：如图，将正四面体补形成一个正方体，则正方体的棱长为1，则：V 正四面体＝V 正方体－4V 三棱锥＝1－31121314=⨯⨯⨯。

C C 1D 1○2求棱长为2的正四面体的外接球表面积。

○3求棱长为2的正四面体的内切球半径。

○4 求棱长为2的正四面体的内部任一点到各个面的距离之和○5.在正方体D C B A ABCD ''''-中，求异面直线B D '、和C B '所成的角？问题二：四面体S--ABC 中，三组对棱分别相等，且依次为2 5， 13，5 ○1.求该四面体的体积。

○2.求该四面体的外接球表面积。

○3.求该四面体的内切球半径。

○4.在长方体D C B A ABCD ''''-中，求异面直线B D '、和C B '所成的角？○5.拓展：有两个有相同内切球的多面体，其表面积之比为m:n ，它们的体积比为_____________ 问题3：○1.斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧面BB 1C 1C 的面积为S ，AA 1到此侧面的距离是a ，求此三棱柱的体积？○2.已知三棱锥的两个侧面都是边长为 6 的等边三角形，另一个侧面是等腰直角三角形。

求此三棱锥的体积。

B SAC问题4：在高考中的应用1.（2008海南理科12）某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a + b 的最大值为（）A. 22B. 32C. 4D. 522、（2008海南理科18）如图，已知点P 在正方体ABC D －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，∠PDA=60°。

例谈-割补法-求空间几何体体积论文

例谈”割补法”求空间几何体的体积【摘要】高中教材所学到的几何体，大多都是比较特殊的几何体，比如棱柱、棱锥等体积的求法，主要利用公式法或等体积换底面积法就可以直接解决，但是在我们在平常做练习或高考当中，又经常遇到一些难于直接计算的或是直接求，但过程非常复杂。

如果能利用”割”与”补”的方法来解决，就可以把一些不易直接计算的几何体”分割”成几个几何体或是补形变成我们熟悉的几何体，化难为易，化繁为简，使思路清晰简单，这样就可以达到事半功倍的效果。

本文就通过具体的实例来谈谈如何利用”割补法”解决此类难题。

【关键词】分割法等体积变换底面法补形法高中教材所学到的几何体，大多都是比较特殊的几何体，比如棱柱、棱锥等体积的求法，主要利用公式法或等体积换底面积法，就可以直接解决，但是在我们在平常做练习或高考当中，又经常遇到一些难于直接计算的或是直接求，但过程非常复杂的几何体。

如果能利用”割补法”来解决，把一些不易直接计算的几何体分解成几个几何体或是补形变成我们熟悉的几何体，化难为易，使复杂多变的问题变得思路清晰简单，这样就可以达到事半功倍的效果。

下面就谈谈”割补法”解决难题具体做法。

一、分割法：就是将一个难于直接计算的几何体分割成几个易于计算的几何体，分别求出它们的体积，再将加，便得所求几何体的体积。

例1 如图，在三棱锥a-bcd中，若相对棱ab⊥cd，且ab=4，cd=3，ef是这两条异面直线ab、cd的公垂线，且ef=6，求该三棱锥a-bcd 的体积.分析：本题所给的条件，如果直接从正面利用公式直接去求是没有办法的，但是从ef是这两条异面直线ab、cd的公垂线出发，易知ab⊥ef，ab⊥cd，ef∩cd=f，所以知道ab⊥面ecd，这样我们就以⊿dce为底面，高分别是ae、be的两个小的三棱锥a-dce和三棱锥b-dce来计算就行，于是得下面的解答。

解：连结ce、de∵ef为异面直线ab和cd的公垂线∴ef⊥ab ∵ab⊥cd ∴ab⊥面ecd在⊿dce中，∵ef⊥cd ∴【方法提炼】本题利用”割”的思想将此三棱锥的体积转化为两个同底的棱锥的体积之和，进而使本题简捷、巧妙获解。