割补转化法求几何体的体积

割补转化法求几何体的体积

一. “割形”与“补形”是解决立体几何问题的常用方法之一，通过“割”或“补”

可化复杂图形为已熟知的简单几何体，从而较快地找到解决问题的突破口

，从而很方便

地进行计算使问题得到顺利的解决，是处理空间图形中惯用的手段。通过对该方法的学 习与探讨，使我们能正确地分析出几何中基本元素及其相互关系，能对图形进行分解、 组合和变形，进一步提高空间想象能力和逻辑思维能力。

二. 例题分析Z

例 1.三棱锥 P-ABC 中，PA=a ?AB-AC=2a, ZPAH ^PAC=ZBAC=60° ,求三棱锥的体积V P ABC ,

解析，求体积可用三分之一底面积乘高；也可构造正 四面休；可转换顶点再求. p 方法1*〔如圏）设卩在底面的射彩为 斤屮、 6则O 在NBAC 平分线上 //' \ 依题 A PAB 中，AB 边上的高 也厶

=l x

迺abx 近"返殂

3 4

3 3

PE 在底面ABC 内的肘影为OE,

6

例2.如图的多面体是过正四棱柱的底面 ABCD 的点A 作载面

ABC i D 而截得的，且 BB =DD.已知截面 AB C D 与 底面ABCD 成 30°的二面角，AB=1， 则这个多面体的体积为（ ）

人

.6 f .6

A.

B .

2

3

D.

方法2：取AB 、AC 的中点M, N, 则三棱锥P-AMN 是棱长为a 的正四面体，

方法3i 延长AP 到Q 章使AQ=2a.连结QB* QC, 则Q-ABC 是

棱长为 加 切E 四面体.

* * Q- A&C —

—

-a ，

方法4：在厶ABP 中,

VPA=a, AB=2a, ^PAB=6U° 出余裁定理得 m , /_ ^fAPB=90 同 3ffi APC^QO ° .

评注’求休秋常用割、补"几何体丫方法氛 3或利

用铃体积转化顶点£方法4尊体积法主要在三棱锥 中淆用.

方法5:如图，选取 BC 的中点 D,连结 AD 、PD ，贝U BC 丄AD 且BC 丄PD /• BC

丄平面 APD ••• V p -ABC = V B - APD + V C -

APD = i BC

S 」APD

zrv :九畋

F-x4Afi!V

P

「* AF_l 一平面 PBC ；＞ _____________

而^PB 2 -(^BC)3 = V2a 2 ・

C

D

B

D i

C i

C

例3. 2003年全国卷（12）一个四面体的所有棱长都为、2，四个顶点在同一球面上，则此

6

球的表面积为（

）(A) 3：(B) 4 二 (C 3。( D)

6'：

分析：本题中没有立方体，可充分挖掘是正四面体特点补形成立

方体•如图，将正四面体ABCD补成立方体,则正四面体、立方体

的中心与其外接球的球心共一点•因为正四面体的棱长为 .、2,

所以正方体棱长为1,从而外接球半径,得S求=3二.选（A）.

2

例4、如图：直三棱柱ABC-ABC的体积为V点P、Q分别在侧棱AA和CG上，AP=QQ则四棱锥B—APQC勺体积为

A、

V

2B

V

、

3

V V

C、一

D、

45

例5.棱长为1的正方体容器ABC—A1B1CD1 , 在AB、AB1、BG 的

中点E、F、G处各开有一个小孔•若此容器可以任意放置，则装水

最多的容积是（小孔面积对容积的影响忽略不计）

A. B.11 C.47 D.55

124856

例6、如图9-8-7，在正三棱柱ABC-A i BC中，高为3,底面边长为2, D E分别是AC BC 的中点，求四棱锥A- AB1ED的体积.

1

解：连AE,则$.*25遊丄「4%

故V A申B 1ED 二V A *DE V A*B1E H W A+DE - 3V A1 ^ADE

1 =3 •—

3

例7. （2006江西理，12）如图，在四面体ABCD中,截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心0,且与BC, DC分别截于E、F,如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A- BEFD与三棱锥A- EFC的表面积分别是S1, S,则必有（）

B. S S2

C. S i=S2

D. S i, S2的大小关系不能确定

解：连OA OB OC OD

贝V V A-BEFD= V O- AB卄V O- AB* V O-BEFD, V A- EFC= V D-AD C+V O-AE C+V I-EFC又V\-BEFD= V A -EFC,

而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故S ABD+S ABE+S BEFD=S ADC*S AEC+S EFC 又

面AEF公共，故选C

例8.如图，三棱柱ABC-A1B1C中，若E、F分别为AB AC的中点，平面EBC 将三棱

柱分成体积为V I、V2的两部分，那么V i : V2= ____________ __ 。

解：设三棱柱的高为h，上下底的面积为S，体积为V,则V=V+V= Sh。•••

E、F分别为AB AC的中点，

1 i i i 7 5

••• AEF=S,V I= h(S+ S+ s )= Sh，V2=Sh-V i= Sh，「. V :

4 3 4 4 12 12

V2=7 : 5。

例9.在平行六面体ABCD —A I B I C I D I中，已知AB=5，AD=4，AA I=3，AB丄AD，/ A i AB= /

A I AD==，这个平行六面体的体积为________________ 。

3

正四面体ABCD的棱长为a，球O是内切球，球O i是与正四面体的三个面和球O都相切的一个小球，求球0勺的体积。(2)如图，设球O半径为R，球0勺的半径为r，E为CD 中点，球O与平面ACD、BCD切于点F、G，球O i与平面ACD切于点H…

由题设

AG 二.AE2 -GE2 6a・

3

△AOF s △AEG

R

.3 a 6

，得R二

6 a-

12

△AO i H sA AOF

A

C

A

.6

a -2R - r

3

/a-R

3

V球Q号了3牛二

1 3 3 24

£6

a ■

1728

丄，得

24