函数图象关于点对称性
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
函数图象关于点对称性
函数是中学数学教学的主线,是中学数学的核心内容,也是整个高中数学的基础。函数的性质是高考的重点与热点,函数的对称性是函数的一个基本性质之一,对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能更简捷的是问题得到解决,对称关系还充分体现了数学的之美。对称性,在几何中研究的较多,在代数中研究的较少。本文只探讨函数的关于点对称性。
I.函数自身关于点对称性 命题1:函数
的图像关于点
对称的充要条件是
(或者
)
证明:(必要性)设是图像上任一点,∵点关于点
的对称点
也在
图像上,∴,即
故
,必要性得证。 (充分性)设点
是图像上任一点,则
,∵,∴,即
,故点也在
图像上,而点与点
关于点
对称,充分性得证。
推论1:奇函数的图像关于原点对称。 证明:设函数是奇函数,则奇函数定义有0)()(=-+x f x f ,由命题1可得
函数
图像关于源点
对称。
推论2:如果函数
满足
,则函数
图象关于
点对称。(证明略) 推论3:函数的图像关于点
。 证明:∵,
,
∴
由命题1有函数的图像关于点对称。
例 1 已知定义域为的函数满足且函数在区间上单调递增,如果且,则的值()A.恒小于0 B. 恒大于0 C. 可能为零 D. 可正可负
分析:先代替,使变形为,它的特征就是推论2,因此函数的图像关于点对称。在区间上单调递增,在区间上也单调递增。我们可以把该函数想象成是奇函数的图象向右平移了两个单位。
解:∵且在区间上单调递增,
∴,∵∴函数的图像关于点对称,∴∴.所以选A
例2 如果函数满足,求该函数的对称中心。(因为自变量加起来为7时函数值的和始终为6,所以中点固定为(3.5,3),这就是它的对称中心)
如果为奇函数,并且,求该函数的所有对称中心和对称轴。(由周期性定义知周期为4,又,从而,按上例知x=-1为对称轴,所以为对称轴,为对称中心其中k∈Z)
例3 定义在上的函数满足,
则
解:由命题1可得函数关于点对称,所以点关于点的对
称点也在函数图象上,所以,即;同理可得,,;于是
.
例 4 已知定义在上的函数的图象关于点成中心对称,对任意的实数都有,且、,
则的值为()。
A. 2
B. -1
C. 0
D. 1
解:由函数的图象关于点成中心对称,得,又,∴;令则,于是是偶函数,且,即是以3为周期的函数,则,,∴
==1.
例 4 函数的图象关于点成中心对称,则实数.
解:由推论3可知图象关于点成中心对称,所以
,即.
例5函数的反函数的图象关于点成中心对称,则实数.
A. 2
B. 3
C. -2
D. -4
由推论3可知图象关于点成中心对称,又的反函数的图象关于点成中心对称,
所以点点关于直线,即.
II.不同函数关于点对称性
命题1: 函数与的图像关于点成中心对称。
证明:设是函数图象上的任意一点,则点关于的对称点是,因为点在函数的图象上,所以函数与的图像关于点成中心对称。
命题2:设均为常数,函数)与函数的定义域均为,那么函数的图象与函数的图象关于成中心对称图形的充要条件是:对一切,均有 b.
证明:(1)充分性:设是函数图象上的任意一点,则点关于的对称点是,且.所以,即点是函数图象上的一点,也即函数图象上任意一关于点的对称点都在函数的图
象上;同理可证,函数图象上任意一关于点的对称点也都在函数的图象上。
(2) 必要性:设点是函数图象上的任意一点,则点关于点的对称点在函数图象上,
∴,即,也即对一切,均有
.
由(1)(2)证明可知:命题2成立。
推论1:设均为常数,则函数的图象与函数的图象关于点成中心对称。
证明:令,
则,对均成立。
∴对均成立.
∴由命题2,函数与函数的图象,即函数的图象与函数的图象关于点成中心对称。
例1 已知函数是定义在上的函数,那么与的图象( )
A.关于直线对称.
B.关于直线对称.
C.关于点对称.
D.关于点对称。
简解:令,则对均成立。
∴,由:命题2可知选D。