函数图象关于点对称性

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函数图象关于点对称性

函数是中学数学教学的主线,是中学数学的核心内容,也是整个高中数学的基础。函数的性质是高考的重点与热点,函数的对称性是函数的一个基本性质之一,对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能更简捷的是问题得到解决,对称关系还充分体现了数学的之美。对称性,在几何中研究的较多,在代数中研究的较少。本文只探讨函数的关于点对称性。

I.函数自身关于点对称性 命题1:函数

的图像关于点

对称的充要条件是

(或者

)

证明:(必要性)设是图像上任一点,∵点关于点

的对称点

也在

图像上,∴,即

,必要性得证。 (充分性)设点

是图像上任一点,则

,∵,∴,即

,故点也在

图像上,而点与点

关于点

对称,充分性得证。

推论1:奇函数的图像关于原点对称。 证明:设函数是奇函数,则奇函数定义有0)()(=-+x f x f ,由命题1可得

函数

图像关于源点

对称。

推论2:如果函数

满足

,则函数

图象关于

点对称。(证明略) 推论3:函数的图像关于点

。 证明:∵,

由命题1有函数的图像关于点对称。

例 1 已知定义域为的函数满足且函数在区间上单调递增,如果且,则的值()A.恒小于0 B. 恒大于0 C. 可能为零 D. 可正可负

分析:先代替,使变形为,它的特征就是推论2,因此函数的图像关于点对称。在区间上单调递增,在区间上也单调递增。我们可以把该函数想象成是奇函数的图象向右平移了两个单位。

解:∵且在区间上单调递增,

∴,∵∴函数的图像关于点对称,∴∴.所以选A

例2 如果函数满足,求该函数的对称中心。(因为自变量加起来为7时函数值的和始终为6,所以中点固定为(3.5,3),这就是它的对称中心)

如果为奇函数,并且,求该函数的所有对称中心和对称轴。(由周期性定义知周期为4,又,从而,按上例知x=-1为对称轴,所以为对称轴,为对称中心其中k∈Z)

例3 定义在上的函数满足,

解:由命题1可得函数关于点对称,所以点关于点的对

称点也在函数图象上,所以,即;同理可得,,;于是

.

例 4 已知定义在上的函数的图象关于点成中心对称,对任意的实数都有,且、,

则的值为()。

A. 2

B. -1

C. 0

D. 1

解:由函数的图象关于点成中心对称,得,又,∴;令则,于是是偶函数,且,即是以3为周期的函数,则,,∴

==1.

例 4 函数的图象关于点成中心对称,则实数.

解:由推论3可知图象关于点成中心对称,所以

,即.

例5函数的反函数的图象关于点成中心对称,则实数.

A. 2

B. 3

C. -2

D. -4

由推论3可知图象关于点成中心对称,又的反函数的图象关于点成中心对称,

所以点点关于直线,即.

II.不同函数关于点对称性

命题1: 函数与的图像关于点成中心对称。

证明:设是函数图象上的任意一点,则点关于的对称点是,因为点在函数的图象上,所以函数与的图像关于点成中心对称。

命题2:设均为常数,函数)与函数的定义域均为,那么函数的图象与函数的图象关于成中心对称图形的充要条件是:对一切,均有 b.

证明:(1)充分性:设是函数图象上的任意一点,则点关于的对称点是,且.所以,即点是函数图象上的一点,也即函数图象上任意一关于点的对称点都在函数的图

象上;同理可证,函数图象上任意一关于点的对称点也都在函数的图象上。

(2) 必要性:设点是函数图象上的任意一点,则点关于点的对称点在函数图象上,

∴,即,也即对一切,均有

.

由(1)(2)证明可知:命题2成立。

推论1:设均为常数,则函数的图象与函数的图象关于点成中心对称。

证明:令,

则,对均成立。

∴对均成立.

∴由命题2,函数与函数的图象,即函数的图象与函数的图象关于点成中心对称。

例1 已知函数是定义在上的函数,那么与的图象( )

A.关于直线对称.

B.关于直线对称.

C.关于点对称.

D.关于点对称。

简解:令,则对均成立。

∴,由:命题2可知选D。

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