人教版数学七年级培优和竞赛教程(13)经验归纳法

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人教七年级上学期竞赛入门辅导讲义,共十讲,很实用

如1001100－2＝98（能被7整除）
又如7007700－14＝686，68－12＝56（能被7整除）
能被11整除的数的特征：
①抹去个位数②减去原个位数③其差能被11整除
如1001100－1＝99（能11整除）
又如102851028－5＝1023102－3＝99（能11整除）
二、例题
例1已知两个三位数328和2x9的和仍是三位数5y7且能被9整除．求x，y
第一讲数的整除
一、内容提要：
如果整数A除以整数（B≠0）所得的商A/B是整数，那么叫做A被B整除．
0能被所有非零的整数整除．
一些数的整除特征
除数
2或5
4或25
8或125
3或9
11
能被整除的数的特征
末位数能被2或5整除
末两位数能被4或25整除
末三位数能被8或125整除
各位上的数字和被3或9整除（如771，54324）
数和最犬的公约数．
6．公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）．
7．在有余数的除法中，
被除数＝除数×商数＋余数若用字母表示可记作：
A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除
例如23＝3×7＋2则23－2能被3整除．
二、例题
例1写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以应用：
9从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，
能被3整除但不是5的倍数的共______个．
10由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不
能被3整除的数共有几个？为什么？
11己知五位数1234A能被15整除，试求A的值．

课件1：13.3 数学归纳法

a [(k＋1)－1]＋a.
这说明，n＝k＋1 时猜想正确．由①②知，对于任何 n∈N*，都有 an＝(n－a1)＋a.
[类题通法] “归纳——猜想——证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式．其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用．其关键是归纳、猜想出公式．
a3＝f(a2)＝2＋a a；a4＝f(a3)＝3＋a a.
猜想 an＝(n－a1)＋a(n∈N*)．
(2)证明：①易知，n＝1 时，猜想正确． ②假设 n＝k 时猜想正确，即 ak＝(k－a1)＋a，
a 则 ak＋1＝f(ak)＝aa＋·aakk＝aa＋·(k(k－－1a1)＋)＋aa＝(k－1)a＋a＋1＝
k(k1＋1)＝2－1k＋1k－k＋1 1
＝2－k＋1 1命题成立．由(1)，(2)知原不等式在 n∈N*，n≥2 时均成立．
[典例] (2014·常德模拟)设 a>0，f(x)＝aa＋xx，令 a1＝1， an＋1＝f(an)，n∈N*.
(1)写出 a2，a3，a4 的值，并猜想数列{an}的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论． [解] (1)∵a1＝1，∴a2＝f(a1)＝f(1)＝1＋a a；
把题设条件中的“an≥0”改为“当 n≥2 时，an<－
1”，其余条件不变，求证：当 n∈N*时，an＋1<an.
证明：(1)当 n＝1 时， ∵a2 是 a22＋a2－1＝0 的负根， ∴a1>a2. (2)假设当 n＝k(k∈N*，k≥1)时，ak＋1<ak， ∵a2k＋1－a2k＝(ak＋2－ak＋1)(ak＋2＋ak＋1＋1)， ak＋1<ak≤0， ∴a2k＋1－a2k>0，又∵ak＋2＋ak＋1＋1<－1＋(－1)＋1＝－1， ∴ak＋2－ak＋1<0，∴ak＋2<ak＋1，即当 n＝k＋1 时，命题成立．由(1)(2)可知，当 n∈N*时，an＋1<an.

初中数学竞赛中的思维方法pdf

初中数学竞赛中的思维方法数学竞赛作为一项考验学生数学思维和解题能力的活动，需要学生掌握多种思维方法。

在初中数学竞赛中，以下几种思维方法尤为重要：一、归纳思维归纳思维是指从一系列具体事实中概括出一般原理的思维方式。

在数学竞赛中，归纳思维常常用于探究数学规律和性质。

例如，通过观察一组数列，归纳出数列的通项公式；或者通过比较几个图形的性质，归纳出一般图形的性质。

二、演绎思维演绎思维是指从一般原理推导出特殊情况的思维方式。

在数学竞赛中，演绎思维常常用于证明题和推理题。

例如，利用已知定理和性质推导出一个新的定理或性质；或者通过逻辑推理，证明一个数学命题的正确性。

三、类比思维类比思维是指根据两个或多个事物的某些属性相似，推出其他属性也可能相似的思维方式。

在数学竞赛中，类比思维常常用于解决几何、代数和概率问题。

例如，通过比较相似三角形的性质，推出另一个相似三角形的性质；或者通过比较两个函数的图像，推断出它们的其他性质。

四、联想思维联想思维是指根据事物的特征或属性，联想到其他相关事物的思维方式。

在数学竞赛中，联想思维常常用于寻找解题思路。

例如，通过观察一个图形的形状，联想到与该图形相关的定理或公式；或者通过分析一个函数的性质，联想到与该函数相关的数学概念和方法。

五、逆向思维逆向思维是指从问题的反面或另一个角度来思考问题的思维方式。

在数学竞赛中，逆向思维常常用于解决一些常规方法难以解决的问题。

例如，通过反证法证明一个命题的错误；或者通过尝试反例来推翻一个错误的命题。

六、创新思维创新思维是指突破传统思维方式，提出新观念、新方法的思维方式。

在数学竞赛中，创新思维常常用于解决一些非常规问题。

例如，通过构造一个新函数或新模型来解决一个复杂的问题；或者通过观察和猜想，发现一个全新的数学规律或性质。

七、逻辑思维逻辑思维是指按照逻辑规则进行推理和论证的思维方式。

在数学竞赛中，逻辑思维是必不可少的思维方式。

通过逻辑推理，我们可以证明一个命题的正确性或推导出新的结论。

七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十三讲线段

第十三讲线段趣题引路】摄制组从A市到B市有一天的路程，计划上午比下午多走100km到C市吃午饭.由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400km,傍晚才停下来休息，司机说，再泄C市到这里路程的一半就到达目的地.问A、B两市相距多少千米？解析：画出线段图进行分析.如图13 — 1所示，设小镇为D点，傍晚在E点休息.A D CEB^13-12•：CE=2EB, :. CE= - BC.3:.DC=-AC3 39：DC+CE= - （BC+AC）= ^AB・3 32:.DE=-AB,又DE=400km・3/. AB=600km.点评：线段图形比较直观，在实际问题中有着广泛的应用.同学们想一想，"计划上午比下午多走100km”这个条件是必需的吗？如果把司机的话改成“再走C市到这里路程的1 就到达目的地”,需要3 前面的条件吗？请同学们自己试完成解答.知识延伸】一、线段（直线）的计数例1如图13-2,两条平行线〃八n上各有4个点和5个点•任选9个点中的两个作直线，则一共可以作___________ 条直线.囹G2解析：直线皿上的4个点每个点都可以与直线"上的5个点作出5条直线，所以共有4X5=20条宜线，再加上加、”两条,共22条.点评：线段（直线）的计数和角的计数、三角形的计数问题一样，关键是确泄一左的顺序，做到不重不漏•通常有按字母的顺序，按大小顺序，整体分析等计数方法.二、中点的特征及其应用，线段的和、差.倍、分关系及其转化例2.如图13-3, C 是线段AB 的中点，D 是线段AC 的中点.已知图中所有线段的长度之和为23, 求线段AC 的长度，还能求出其他线段的长度吗？图13・3解析・.・D 、C 分别是AC 、AB 的中点, ・•・ DC = -AC = -X L A B = -AB •2 2 2 4 图中共6条线段，它们的长度之和为： 23 = (AD + DC + BC) + (AC + BD) + AB=AB + (AB + CD) + AB = — AB 4其他各条线段的长度可以求出，AD = DC = \-.BC = AC = 3-.BD = 5-・13 13 13 点评：（1） C 是线段AB 的中点，则有AC = BC = ^AB.2（2）一条线段往往需要将它转化成几条线段的和或差，再将其中的部分线段进行转化: （3）线段的相关汁算往往可以引入方程的思想，使问题简便. 三、最小值问题例3.如图13-4,某汽车公司所营运的公路AB 段共有4个车站，依次为A 、C 、D 、B, AC=CD=DB, 现想在AB 段建一个加油站M,要求使A 、B 、C 、D 站的各一辆汽车到加油站M 所花费的总时间最少，试找岀M 的位置，AC=CD=DB 这个条件是必需的吗？若有5个站呢？ 100个站呢？试找岀规律.A C D B图13・4解析若加汕站M 建在AC 之间则有：路程 s=AB+CD+m>AB+CD（其中m 表示加油站M 到C 站的距离.）若加油站M 建在DB 之间，同理，有s>AB+CD ：若加油站建在CD 之间，包括C 、D 两点，则路程s=AB+CD.M 点应在线段CD 上从上而的分析可知，AC=CD=DB 这个条件是不必需的.根据上而的分析推理方法可知，若有偶数个站，则建在中间两站之间；若有奇数个站，则建在中间一个站处.点评：直观地利用线段来分析代数问题是一种常用且有效的途径，数形结合的思想方法是解决数学问题以及实际问题的一种重要的思想方法，学习过程中要能大胆联想，如发现有人能够联想到构造一个以“为边长的正方形，则泸就表示这个正方形的而积，从而将一个代数问题转化成直观的几何问题.AB =4x23 13四、线段公理的应用例4.如图13・5,在河边有两个村庄甲、乙，为了解决两村的用水问题，政府准备在河边修一个抽水站向两村供水.问如何选择抽水站的位置，才能使供水所用管道最短？解析两点之间线段最短，但连结甲、乙两点的线段与河没有交点，所以想到将甲或乙转化到河的另一边，但要保证路程不变.利用轴对称的性质可以实现这一目的.图13・5如图13・6所示，P点即是抽水站的最佳位置例5・如图13・7所示，在一条河的两岸有两个村庄，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从A到B的距离最短？解析虽然A. B两点在河两侧，但连结AB的线段不垂直于河岸•如图13-8,关键在于使AP+BD最短，但AP与BD未连起来，要用线段公理就要想办法使P与D重合起来，利用平行四边形的特征可以实现这一目的.如图13-9,建立在PD处符合题意.点评：两点之间线段最短，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代.从而转化成两点之间线段最短的问题.目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法•好题妙解】佳题新题品味例如图13-10,小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们之间有网络相联，连线标注的数字表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（）A.19B. 20C. 24D. 26A自己改变一些数字，再求一求.解析从上方走单位时间最终到达B点的只有7条信息：从下方走最终有12条信息全部能到达B点.点评：注意下方虽然6+7=13,但前而单位时间内只能传6+6=12条信息来.所以，单位时间共有19 条信息能到达B点，故选A.中考真题欣赏例（桂林市中考题）已知线段AB=4, AC=3,那么线段BC的长度的取值范围是______________ .解析如图13-11,将线段AC绕着端点A进行旋转，易知C点在AB上时BC最短，且有BC=AB-AC=1 ；C点在BA的延长线上时，BC最长，且有BC=AC+AB=7,故有1<BC<7・c cA B图13・11点评：利用运动的观念来研究几何问题是一种不错的方法.竞赛样题展示例（“五羊杯"赛题）如图13-12,已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N是AC的中点，P 是线段NA的中点，Q是线段的中点，则MN:PO等于（）人QP MN B CI II I I II图13-12解析•/ P、Q分别是NA、MA的中点，••• AP=丄NA, AQ=1M A,2 2••• QP=AP-A0= 1 （NM-MA）=1M N2 2••• MN:PQ=2 ・故选B.点评：利用中点的立义进行线段的转化，再利用线段的和、差、倍、分关系进一步转化来解决问题，同学们想一想，若把是线段AB的中点，N是线段AC的中点"这个条件去掉，能求出MN:PQ的值吗？由此你能得到什么结论？过关检测】 A 级 1.在同一平面内有4个点，过每两点画直线，直线的条数是（）A. 1条B. 4条C. 6条D.以上都有可能2. ____________________________________________________________________________ 乘火车从广州到上海，共有25个车站（包括广州和上海在内），那么共需准备 __________________________ 种不同的车票3. 如图13-13,已知B. C 是线段AD±的两点，M 是AB 的中点，N 是CD 的中点，若MN 二a, BC=b, 则线段AD=MPQNACDEB图 13J44. 如图 13J4, C 、D 、E 将线段 AB 分成 4 部分，且 AC:CD:DE:EB=2： 3： 4： 5, M 、P 、Q 、N 分别是线段AC 、CD 、DE 、EB 的中点，若MN=2h 则PQ 的长是 ______________ .5. 线段 AB 上有 P 、Q 两点，AB=26, AP=14, PQ=11,那么 BQ= ______________ •6. 如图13-15,公路上依次有A 、B 、C 三站，上午8时，甲骑自行车从A 、B 之间离A 站18km 的P 点出发，向C 站匀速前进,15min 到达离A 站22km 处.（1） _____________________________________________________________________ 设xh 后，甲离A 站ykm,用含x 的代数式表示y 得：y= __________________________________________________ .（2） ______________________________________________________________ 若A 、B 和B 、C 间的距离分别是30km 和20km,则上午 _______________________________________________ 到 _________ 的时间内，甲在 B. C 两站之间（不包括B 、C 两站）.A P li C图13・15B 级1.平而内有】】条直线（比2）,这n 条直线两两相交，最多可以得到a 个交点，最少可以得到b 个交点, 则a+b 的值是（）A. n （n-l ）B. n 2-n + \C.D. "_一"一‘2 233. 如图13-6 线段AB=2BC, DA= -AB, M 是AD 的中点，N 是AC 的中点，试比较MN 和AB+NB 2 的大小•M N图13・13 2. 如果在一条直线上顺次有4个点A 、 A. ADBC + ABCD = AC ・BD C. ABBC + AC-CD = ACBD B 、C 、D,则下列等式成立的是(B ・ ADBC-ABCD = ACBD D.ABBC-ACCD = ACBD[ [ [ [ I 1D ABC图13-164.从县城P出发的一条直线公路两旁有10个村需要安装自来水(水从县城引出).县城与A村的距离为30km,其余各村之间的距离如图13-17所示，现有粗细两种水管可供选用，粗管够供给所有各村用水，细管只能供一个村用水，安装费用，粗管每千米8000元，细管每千米2000元，耙粗、细管适当搭配，互相连接，可以降低工程总费用•请你设计一种最节省的安装方案，并求出所需总费用.3() ,5 242 322,2,5,图13J75.如图13-18, AB是一条大江，CD是一条铁路，M点有一个工厂，现在要把工厂生产的机器用汽车运达江边的船上，同时将船上的货物运到停在铁路线的火车上，然后汽车返回工厂.问码头和火车站应分别建在何处，才能使汽车所走的路程最短？6.如图13・19, A、B两村相隔两条河，且每条河的宽度相同，为了使两村之间的行程最短，应分别在两条河的什么位宜架桥？2.3.4.5・第十三讲线段A级1. D2. 600 人2a-2b 4. 7 5. 23 或1 6. 16A:+ 18,8{45,10：00DA提示;将一些线段表示成几条线段和、差的形式遊行代数运算・MN>AB +问提示：设BC为乞将其他线段用戈表示出来，求得三环AB* W2. 5乳提示:粗细暫需适当措配，由于粗管安装费用是细管安装费用的4倍,需要用4根细管的路段采用粗管和细管所花费用相同，需要用多于4根细管的路段采用粗管校合算・由县城P-A-B-C-D-E ■F宜采用粗管,F-G用粗管或细管均可,G-H、G-M、G-N分别安装一根细怦，总费用是= s =(30 + 5 + 2 + 4 + 2 + 3) x8000 + 2 x 8000 * 2 x 2000 + (2 + 2} x2000 + +2+5) x2000 = 414000(元).如图1所示，码头建在P点处，火车站建在Q点处，汽车所走的最短路程为MP + PQ + QM・6.如图2所示，在MN、PQ处架桥，两村之间的最短行程为AM +MN十NPJQ+QB.。

人教版初一数学培优竞赛讲炼教程：经验归纳法

人教版初一数学培优和竞赛二合一讲炼教程（ 13）经验归纳法【知识精读】1．通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。

通过有限的几个特例，观察其一般规律，得出结论，它是一种不完全的归纳法，也叫做经验归纳法。

例如①由 ( － 1)2＝ 1 ，（－ 1 ）3＝－ 1 ，（－ 1 ）4＝ 1 ，……，归纳出－ 1 的奇次幂是－ 1，而－ 1 的偶次幂是 1 。

②由两位数从10 到 99共 90 个（ 9 × 10 ），三位数从 100 到 999 共900个（9×102），四位数有9×103＝9000个（9×103），…………归纳出n 位数共有9×10n-1　(个)由1+3=22,　1+3+5=32,　1+3+5+7=42……③推断出从1开始的n个連续奇数的和等于n2等。

可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段，是知识攀缘前进的阶梯。

2.　经验归纳法是通过少数特例的试验，发现规律，猜想结论，要使规律明朗化，必须进行足夠次数的试验。

由于观察产生的片面性，所猜想的结论，有可能是错误的，所以肯定或否定猜想的结论，都必须进行严格地证明。

（到高中，大都是用数学归纳法证明）【分类解析】平面内n条直线，每两条直线都相交，问最多有几个交点？例1解：两条直线只有一个交点， 1 2第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得1＋2 3第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得1＋2＋3第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1＋2＋3＋4………第n条直线和前n－1条直线都相交，增加了n－1个交点由此断定n 条直线两两相交，最多有交点1＋2＋3＋……n－1（个），这里n≥2，其和可表示为［1+（n+1）］×21n,　即2)1(nn个交点。

例2．符号n！表示正整数从1到n的連乘积，读作n的阶乘。

例如　5！＝1×2×3×4×5。

七年级数学培优竞赛二合一讲练教程(共15讲,含答案)

数的整除（一）【知识精读】如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除.一些数的整除特征能被7整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。

如 1001 100－2＝98（能被7整除）又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除）能被11整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除如 1001 100－1＝99（能11整除）又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）【分类解析】例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。

求x,y解：x,y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6. ∵328＋92x ＝567，∴x=31234能被12整除，求X。

例2己知五位数x解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，当1＋2＋3＋4＋X能被3整除时，x=2，5，84能被4整除时，X＝0，4，8当末两位X∴X＝8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数。

解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行调整末两位数为30，41，52，63，均可，∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。

【实战模拟】1分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）①593②1859③1287④3276⑤10101⑥10296987能被3整除，那么a=_______________2若四位数a12X能被11整除，那么X＝__________-3若五位数3435m能被25整除4当m=_________时，59610能被7整除5当n=__________时，n6能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________7能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________ 88个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6________,8__________,9_________,11__________9从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，能被3整除但不是5的倍数的共______个。

数学竞赛教案：第32讲_数学归纳法2

第13讲数学归纳法本节主要内容有数学归纳法的原理，第二数学归纳法；数学归纳法的应用.通常那些直接或间接与自然数n有关的命题，可考虑运用数学归纳法来证明．一.数学归纳法的基本形式第一数学归纳法：设P(n)是关于正整数n的命题，若1°P(1)成立(奠基)；2°假设P(k)成立，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切正整数n都成立．如果P(n)定义在集合N－{ 0,1,2,…,r－1}，则1°中“P(1)成立”应由“P(r)成立”取代.第一数学归纳法有如下“变着”；跳跃数学归纳法：设P(n)是关于正整数n的命题，若1°P(1)，P(2)，…，P(l)成立；2°假设P(k)成立，可以推出P(k+l)成立，则P(n)对一切正整数n都成立．第二数学归纳法：设P(n)是关于正整数一的命题，若l°P(1)成立；2°假设n≤k(k为任意正整数)时P(n)(1≤n≤k)成立，可以推出P(k+1))成立，则P(n)对一切自然数n都成立．以上每种形式的数学归纳法都由两步组成：“奠基”和“归纳”，两步缺一不可．在“归纳”的过程中必须用到“归纳假设”这一不可缺少的前提．二.数学归纳法证明技巧1.“起点前移”或“起点后移”：有些关于自然数n的命题P(n),验证P(1)比较困难，或者P(1)，P(2)，…，P(p－1)不能统一到“归纳”的过程中去，这时可考虑到将起点前移至P(0)(如果有意义)，或将起点后移至P(r)(这时P(1)，P(2)，…，P(r－1)应另行证明)．2.加大“跨度”：对于定义在M={n0，n0+r，n0+2r，…，n0+m r，…}( n0，r，m∈N*)上的命题P(n)，在采用数学归纳法时应考虑加大“跨度”的方法，即第一步验证P(n0)，第二步假设P(k)(k∈M)成立，推出P(k+r)成立．3.加强命题：有些不易直接用数学归纳法证明的命题，通过加强命题后反而可能用数学归纳法证明比较方便．加强命题通常有两种方法：一是将命题一般化，二是加强结论．一个命题的结论“加强”到何种程度为宜，只有抓住命题的特点，细心探索，大胆猜测，才可能找到适宜的解决方案．本节主要内容有数学归纳法的原理，第二数学归纳法；数学归纳法的应用A类例题例1n个半圆的圆心在同一直线上，这n个半圆每两个都相交，且都在l的同侧,问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧?解设这些半圆最多互相分成f(n)=段圆弧，则f(1)=1，f(2)=4=22, f(3)=9=33,猜想：f(n)=n2, 用数学归纳法证明如下：1°当n=1时，猜想显然成立2°假设n=k时，猜想正确，即f(k)=k2,则当n=k+1时，我们作出第k+l圆，它与前k个半圆均相交,最多新增k个交点,第k+1个半圆自身被分成了k+1段弧，同时前k个半圆又各多分出l段弧,故有f(k+1)= f(k)+k+k+1=k2+2k+1=(k+1)2, 即n=k+1时，猜想也正确．所以对一切正整数n，f(n)=n2.例2已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a 0111,(4),.2n n n a a a a n N +==-∈ （1）证明;,21N n a a n n ∈<<+（2）求数列}{n a 的通项公式a n . (2005年全国高考江西卷)分析本题考查数列的基础知识，考查运算能力和推理能力.第（1）问是证明递推关系，联想到用数学归纳法，第（2）问是计算题，也必须通过递推关系进行分析求解. 解（1）方法一用数学归纳法证明：1°当n=1时，,23)4(21,10010=-==a a a a ∴210<<a a ，命题正确. 2°假设n =k 时有.21<<-k k a a 则)4(21)4(21,1111k k k k k k a a a a a a k n ---=-+=--+时而.0,04.0111<-∴>--<----k k k k k k a a a a a a又.2])2(4[21)4(2121<--=-=+k k k k a a a a ∴1+=k n 时命题正确.由1°、2°知，对一切n ∈N 时有.21<<+n n a a 方法二：用数学归纳法证明：1°当n=1时，,23)4(21,10010=-==a a a a ∴2010<<<a a ； 2°假设n =k 时有21<<-k k a a 成立，令)4(21)(x x x f -=，)(x f 在[0，2]上单调递增，所以由假设有：),2()()(1f a f a f k k <<-即),24(221)4(21)4(2111-⨯⨯<-<---k k k k a a a a也即当n=k+1时 21<<+k k a a 成立，所以对一切2,1<<∈+k k a a N n 有（2）下面来求数列的通项：],4)2([21)4(2121+--=-=+n n n n a a a a 所以 nn n n n n n n n b b b b b a b 22212122222112)21()21(21)21(2121,2-+++----==⋅-=--=-=-= 则令, 又b n =－1，所以1212)21(22,)21(---=+=-=n n n n n b a b 即.说明数列是高考考纲中明文规定必考内容之一,考纲规定学生必须理解数列的概念,了解数列通项公式的意义,了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项.当然数列与不等式的给合往往得高考数学的热点之一,也成为诸多省份的最后压轴大题,解决此类问题,必须有过硬的数学基础知识与过人的数学技巧,同时运用数学归纳法也是比较好的选择,不过在使用数学归纳法的过程中,一定要遵循数学归纳法的步骤.情景再现1．求证对任何正整数n,方程x 2+y 2=z n 都有整数解.2. 已知{ a n }是由非负整数组成的数列，满足a 1=0,a 2=3,a n+1· a n =(a n +2)(a n －2 +2) (1)求a 3；(2)证明a n =a n －2+2,n=3，4，5，…；(3)求{ a n }的通项公式及其前n 项和S n ．B 类例题例3.试证用面值为3分和5分的邮票可支付任何n(n ＞7，n ∈N)分的邮资．证明 1°当n=8时，结论显然成立．2°假设当n=k(k ＞7，k ∈N)时命题成立．若这k 分邮资全用3分票支付，则至少有3张，将3张3分票换成2张5分票就可支付k+1分邮资；若这k 分邮资中至少有一张5分票，只要将一张5分票换成2张3分票就仍可支付k+1分邮资．故当n=k+1时命题也成立．综上，对n ＞7的任何自然数命题都成立．说明上述证明的关键是如何从归纳假设过渡到P(k+1)，这里采用了分类讨论的方法．本例也可以运用跳跃数学归纳法来证明．另证1 °当n=8，9，10时，由8=3+5，9=3+3+3，10=5+5知命题成立．2° 假设当n=k(k ＞7，k ∈N)时命题成立．则当n=k+3时，由1。

数学竞赛培训材料——数学归纳法

10、数学归纳法一、运用数学归纳法的关键，是由n =k 成立，推到n =k +1成立．1、引入辅助命题，帮助完成引导例1 设a >0,b >0,n ∈N ,证明nn n b a b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+22 2、利用形象思维，帮助实现引导例2 设有2n （n ∈N ）个球分成了许多堆，对其中任意两堆，可按以下规则挪动：甲堆的球数p 若不少于乙堆的球数q ，则从甲堆中取出q 个球放入乙堆，这算一次挪动，证明总可经有限次挪动把所有的球并成一堆．(1963年北京市数学竞赛)3、用简单情况总结规律，帮助实现引导例3 n 只容识相同的量杯中盛有n 种互不相同的液体，另外还有一只容积相同的空量杯，若这些液体都能互相混和．证明：可以通过有限次混和手续，使它们成为成份相同的n 杯溶液，另外还余一只空量杯．例4 试证：任意个正方形都可以割开，使由此得到的各块可以拼成一个正方形．二、灵活选取起点与跨度1、为了方便规纳，适当增多起点例5 证明：任一正方形都可以剖分成n (n >5)个正方形．(1965年波兰数学竞赛)2、为了便于起步，主动前移起点例6 试证：对一切n ∈N +，都有2sin 22)12(sin cos 2cos cos 21ααααα+=++++n n ．例7 试证：对一切n ∈N +，都有2n +2>n 2．例8 证明：任一有限集，都可以把它的全部子集排成一列，使得每两个相邻子集都只相差一个元素．例9 试证：对一切n ∈N +，方程x 2+y 2=z n 都有正整数解．三、选取合适的假设方式1、以“假设n ≤k 时命题成立”代替“假设n =k 时命题成立”例10 设数列{a n }满足：①a 1=21；②a 1+a 2+…+a n =n 2a n (n ≥1)．试证明此数列的通项公式为a n =)1(1+n n ． 2、以“假设n =k ,k +1时命题成立”代替“假设n =k 时命题成立”例11 设x 1,x 2是方程x 2－6x +1=0的两个根，试证：对于任何自然数n ，x 1n +x 2n 都是正整数，但不是5的倍数．四、改变归纳途径例12 设函数f 对一切自然数n 有定义，且① f (n )是整数；② f (2)=2, f (mn )=f (m )f (n )；③ 当n >m 时，f (n )>f (m )．求证：f (k )=k (k ∈N ).五、主动加强命题例13 设0<a <1,定义a 1=1+a , a n +1=a +na 1(n ≥1)．证明：对一切n ∈N ，有a n >1．六、数学归纳法并非万能例14 设a 1，a 2，…，a n 是n 个正数，a i 1,a i 2,…,a in 是它们的任何一种排列，试证：n inn i i a a a a a a a a a +++≥+++ 212222121．七、数学归纳法的一些例子例1 设a 0，a 1，a 2，…是一个正数数列，对一切n =0，1，2，…，都有a n 2≤a n -a n +1．证明：对于一切n ∈N +，都有a n <11+n ．例2 已知a ，b 为正数，且b a 11+=1．试证：对每一个n ∈N ， (a +b )n –a n -b n ≥22n -2n +1．(1988年全国高中数学联赛)证明例3 设A n =333 (共n 重3)，B n =888 (共n 重8)，证明：对一切n ∈N ，(n >0)，有A n +1>B n ．(88年合肥市高中数学竞赛)证明由A 2=33=27，B 1=8，则A 2>3B 1。

七年级数学培优辅导十三

第十三讲相交线、平行线、相交线1、垂直的定义：两条直线相交所形成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.用符号“丄”表示，如图，直线AB、CD互相垂直，记作“ AB丄CD于点0” .注意：（1）垂直是两条直线相交的一种特殊情况，它反映的是两条直线的位置关系；（2）线段、射线的垂直特指它们所在的直线垂直垂直的判定：J/ BOC=90°,「. AB丄CD;垂直的性质：J AB丄CD,：/ AOC=90°2、垂线段的定义：过直线外一点作已知直线的垂线，这一点与垂足连接而成的线段叫垂线段3、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离.4、垂线的性质：（1）在同一平面内，经过直线外或直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直.（2）直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短5、垂线的画法：用三角板（一靠二过三画）、量角器、尺规作图6、两条直线被第三条直线所截，构成了八个角，简称“三线八角”如图：直线AB、CD被直线EF所截或直线EF截直线AB、CD于点M、N.直线EF就是第三条直线叫做截线，AB、CD叫做被截线.7、同位角、内错角、同旁内角同位角：在截线同侧，在被截线同方向；内错角：在截线两侧，在被截线的内部；同旁内角：在截线同侧，在被截线的内部注意：（1）同位角、内错角、同旁内角是“两条直线被第三条直线所截”形成的八个角中，没有公共顶点的两个角的位置关系；（2）判断同位角、内错角、同旁内角时，首先要判断截线和被截线：两个角都有一边在这条直线上，那么这条直线就是被截线（公共边）二、平行线1、两条直线的位置关系：同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有两种：相交或平行.2、平行线：在同一平面内，不相交（没有公共点）的两条直线叫做平行线. A ______________ 如图：直线AB、CD互相平行，记作：AB// CD. ___________ 注意：（1）同一平面；（2）不相交是指没有交点；（3）线段、射线平行特指线段、射线所在直线平行3、平行线的性质（1）平行公理：经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.（2）平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行4、平行线的识别（1）同位角相等，两直线平行.（J/仁/ 5，二AB / CD）（2）内错角相等，两直线平行.（J/ 4= / 5，二AB / CD）（3）同旁内角互补，两直线平行.（J/ 3+/5=180 °，: AB / CD）（4）垂直于同一直线的两直线平行.（J CD丄AB，EF丄AB，CD / EF）（5）平行线的定义.（6）平行公理推论.（J a / b，a / c，••• b/ c）5、平行线的性质：nA O BDCBD2 1F(1)两直线平行，同位角相等.(J AB / CD• / 2= /6)(2) 两直线平行，内错角相等.(J AB/ CD• / 3= /6)2、F(3)两直线平行，同旁内角互补 .(J AB // CD •••/ 4+Z 6=180 ° )注意：判断线段或射线的垂直或平行，就是判断它们所在直线垂直或平行※典例剖析【例5】如图，已知/ E = Z F ，/ E = Z BAD ，AD 是/ BAC 的平分线吗为什么※培优训练1、如图一，Z 1=65°，Z C=65°，Z ADC=115°，则图中的平行线有 _______________________________ .2、女口图二，若Z 1 = ______________ ，贝U DE / AC ; 若Z 1= _____ ，贝U EF / BC,若Z FED+ ______ =180°，【例1】如图，图中有 _____ 对同位角，分别是 ___________________________ . 图中有对内错角，分别是 _________________________________________________ . 图中有对同旁内角，分别是 ________________________________________________ . 【例2】如图，/ 1和/ 2是直线 ________ 和 _____ 被直线 _____ 所截得的 _______ / 2和/ 3是直线 _______ 和 _____ 被直线 ______ 所截得的 _________ 角； / 4和/ A 是直线 ______ 和 _____ 被直线 _____ 所截得的 _________ 角. 【例3】如图，AB 丄CD,垂足为O , OE 是一条射线，OF 平分/ BOC, / AOE=35°，求/ EOF 的度数.【例 4】如图，AB / DE ，Z B=135°，Z D=145 求/ C 的度数.角; AADE贝U DE// AC;若/ 2+ _____ =180°,贝U AB// DF.3、如图三，若AB// CD,则根据 ________________________________________ ,可得/ 2= ______ ;若AD// BC,根据_____________________________________ ,可得/ DAB+ ______ =180 ° .4、如图，已知/ B=62 °，/ 3=30 °，/ 4=88 ° , AB与CD平行吗AD与BC平行吗说明理由5、如图，已知AC// DE, / D= 70 ° CD平分/ ACE,求/ E的度数.6、如图，已知：/ 1 = / 2,Z A=Z C,请猜想/E与/ F的关系，并说明你的理由※能力拓展题组一:1、占八、、A、题组如图，直线CD EF、GH交于一点P,直线M、N,则图中共有内错角（）.4对平面内有36条B、8 对C、10 对5条直线两两相交，其中仅有B、33 条C、24 条AB 交EF、GH 于D、12 对3条直线经过同一点，则它们彼此截得的线段共有（D、21条D2、F1、如图，已知 AB // CD, / B = Z C.求证：CE// BF2、如图，已知 AB // CD, AE 平分Z BAC , CE 平分Z ACD.求证：AE 丄CE.题组三： 1、如图，已知 AB // CD, 过点P 的直线交HF 于点 2、如图，已知 AB // CD, EF 交AB 、CD 于点G 、H ，点P 是为HD 上一动点,O. 求证：Z HOP=Z AGF-Z HPO. -EAB - ECD Z EAF=4 , Z ECF=4 .求证: 3_/ AFC=4AECC。

初一数学数论的方法技巧(上)竞赛教程含例题练习及答案

初一数学竞赛讲座数论的方法技巧（上）数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。

数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。

因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。

任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。

”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。

数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。

主要的结论有：1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r （0≤r＜b），且q，r是唯一的。

特别地，如果r=0，那么a=bq。

这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a 的约数，a是b的倍数。

2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c。

3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即其中p1＜p2＜…＜p k为质数，a1，a2，…，a k为自然数，并且这种表示是唯一的。

（1）式称为n的质因数分解或标准分解。

4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（a k+1）。

5．整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。

因此，不等式x＜y与x≤y-1是等价的。

下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。

一、利用整数的各种表示法对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。

这些常用的形式有：1．十进制表示形式：n=a n10n+a n-110n-1+…+a0；2．带余形式：a=bq+r；4．2的乘方与奇数之积式：n=2m t，其中t为奇数。

例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。

初中数学竞赛辅导资料13逆推法含答案

初中数学竞赛辅导资料13逆推法甲内容提要1. 如果把探求问题的常规方法叫做顺向推理，那么与习惯方法相反的逆向推理方法，就可以叫做逆推法.顺与逆是相对而言，没有绝对的界限.2. 逆向推理包括了公式、法则、定义、定理的逆向应用. 例如： ① 乘法公式的逆向应用之一，就是因式分解. 还有其他变形的应用，如： (x+y)2=x 2+xy+y 2，以x, y 的基本对称式，表示x, y 的平方和、立方和(差)： x 2+y 2=(x+y)2－2xy ， x 3+y 3=(x+y)3－3xy(x+y).② 分数的加减法则的逆向应用，可把一个分数(或整数)化为几个分数的和(差)： 1=b a b b a a +++， 111)1(1+-=+n n n n . ③ “互为相反数相加得零”的逆向应用：0=a+(－a).在因式分解中折项，添项，配方都用到它，在证明恒等式或化简、计算中也常用它. ④ 公式的逆向应用要注意公式成立的前提.例如：⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 的逆向应用是：当a ≥0时，a=2a ；当a<0 时,a= －2a ；如 x<y<0时，则x －y=－2)(y x -.⑤ 因为定义可以反叙，所以定义既是判定又是性质. 例如：相似多边形的定义：相似多边形对应角相等对应边成比例⇔⎭⎬⎫. 方程解的定义：若m 是方程ax 2+bx+c=0的解，则 am 2+bm+c=0；反过来，若an 2+bn+c=0,则n 是方程ax 2+bx+c=0的解.⑥ 对于定理的逆用，当然要先判断定理的逆命题为真.一个定理的题设和结论不只一项时，交换题设和结论中的一项，就组成一个逆命题，故逆命题有多个，有真，有假.一般地，若题设和结论都是唯一对象的定理，它有逆定理；对于分段式的定理也有逆定理.3. 解答数学题通常是：在顺向推理有困难时用反向推理；在正面探求有困难时用反面探求；直接解答有困难时用简接解答.顺、逆两种方法都能熟练掌握，灵活应用，那么解题能力就能较大地提高.乙例题例1解方程(a 2－)12b x 2+()122c b-x+c 2－a 2=0 . (a 2－)012≠b .分析：由观察法，可得到一个根为1 (∵方程各系数的和是0). 再用韦达定理来解：∵方程a 2－21b +()122c b-+ c 2－a 2=0 ，有一个实数根是1 . ∴可设另一根为x 2，根据韦达定理得 1×x 2=22212b a ac --=1(22)222--b a a c b . 解得 x 2=1(22)222--b a a c b . ∴原方程的解是 x 1=1, x 2=1(22)222--b a a c b . 例2. 化简53-5-3+. 解：∵53-5-3+<0， ∴53-5-3+=－2)53-5-3(+=－)53)(5-3(2-535-3+++ ＝－2.例3. 已知：1<a ，1<b . 求证：ab b a +<+1.分析：本题直接证明有困难，不论是从左到右或从右到左，都难以完成，估计是要从某一个已知不等式出发.试用逆推法，从结论倒推出应有的不等式. 由ab b a +<+1两边平方，得a 2+2ab+b 2<1+2ab+a 2b 2.a 2+b 2－a 2b 2－1<0,分解因式：（1－b 2）(a 2－1)<0,由已知可推出这不等式.证明： ∵1<a ，1<b ， ∴a 2＜1，b 2＜1，∴a 2－1＜0，1－b 2＞0.（a 2－1）（1－b 2）＜0,a 2+b 2－a 2b 2－1<0,∴a 2+b 2＋2ab<1+a 2b 2+2ab∴(a+b)2<(1+ab)2 .∴ ab b a +<+1.例4. 已知：四边形ABCD 中，AB ＋BD ＜AC ＋CD. 求证：AB ＜AC.分析：直接推导，应证明 BD ＝CD 或BD ＞CD. 即证明∠BCD ≥∠1，有困难，不妨用反证法. 这也是一种逆推法，从反面推导.证明：设AB 不小于AC ，即AB ≥AC ， ∴∠2≥∠ABC.∵∠BCD ＞∠2， ∠ABC ＞∠1.∴∠BCD ＞∠1.∴BD ＞CD.∴AB ＋BD ＞AC ＋CD ，这和已知条件相矛盾，故假设不能成立.∴AB ＜AC.例5. 有100个人排成一列，自1往下报数，报奇数的人，走出队列，留下的人按原顺序重新报数，报奇数的又走出队列，这样继续下去，最后留下一人，问这人第一次报数是多少？解：从第1，2，3……次往下推，可知人数分别是100，50，25，12，6，3人，要确定留下的人，依次是报几号，最好是用逆推法，由最后一次，在3人中的报号必定是2；上一次，在6人中的报号必定是报4；再上一次在12人中，必是报8. 其规律是：21，22，23，…，2 n .所以，第一次报数应是小于100的2的最高次幂，∵26<100<27，∴这人第一次报数是2 6即64.例6. 计算：3×5×17×257×……×()122+n .分析：本题直接计算有困难，可由通式122+n ，用确定n 的自然数值，回还原数3，5，17，257，…再逆用平方差公式a+b=ba b a --22, 就可很快得出结果 . 解：原式=）＋（1202 ()1212+()1222+(28+1)…()122+n= 1212121212121212 81648422--⋅--⋅--⋅--1212222--⨯n n . =(22－1)(22+1)(24+1)(28+1)……()122+n=1212-+n丙练习1. 已知：a,b,c,d 都是实数 . 求证： (a 2+b 2)(c 2+d 2) ≥(ac+bd).2. 已知：a,b,c 是△ABC 的三边长. 求证： (ab+bc+ca)<(a+b+c)<4(ab+bc+ca).3. 已知： a －2+a －1－1=0, b 4+b 2－1=0, ab 2≠1. 求：a －1+b 2的值.C D4. 已知： (x+y)(y+z)(z+x)=0,xyz ≠0. 求证： zy x z y ++=++111 x 1. 5. 已知：方程21214422++--=+-x x k k xx 不会增根. 求：实数k 取值范围. 6. 已知：a, b, c 是互不相等的实数. 求证：a c c b b a b c a c b a a b c b a c c a b a c b -+-+-=---+---+---222))(())(())((.7. 已知：x=(a+n m mn a --2)12(mn ≠0,m ≠n,a>1). 化简：(211) n m x x +－4a 2n m x11+ 8. 小王卖馒头，第一次卖去一半又半个，第二次卖去剩下的一半又半个，第三次又卖去剩下的一半又半个，这时，还剩有馒头一个，问小王共拿几个馒头来卖？9. 三个容器内都有水，如果把甲容器内的水的31倒入乙容器，再把这时乙容器内的水的41倒入丙容器，最后把丙容器内现有的水的101倒入甲容器，则各容器内的水都是9升，问原有各容器内的水各是几升？10. 求证：不论a 取什么值，如下方程都有实数解.(1+a)x 4+x 3－(3a+2)x 2－4a=0.11. 要使下列三个方程中至少有一个方程有实数根，m 的取值应是什么？2x 2－2x+m=0, x 2 +2mx+m －m+=0, (m+1)x 2－2mx+m+2=0.12. 90张卡片，每张都写上一个非负整数，这90个数字的和不超过1979求证90张卡片中至少有3张数字相同.13. 已知：△ABC 中边BC 被点D 和点E 三等分，求证：AD ，AE 不能三等分∠BAC.14. 已知：不等式x 2+ax+b<0 的解集是2<x<3, 则a=____,b=_____15. =++⨯+⨯+⨯10099131251211511105 ______. 16. 已知：(10)23()23=-++x x ，则x=____.17.计算）（A ）1. （B ）5. （C ）（D ）52. (2000年全国初中数学联赛题)参考答案1，2两题都可以用求差法证明，也可用反证法.3.由已知a -1,b 2是方程 x 2+x-1=0相异的两根4.由已知x,y,z 至少有两个是互为相反数5. k=-1,26.))((c a b a c b ---可由c a b a ---11逆推而出 7. 0 8. 15 个 9.甲12，乙8，丙7.10.先化为关于a 的方程，（x 4-3x 2-4）a=2x 2-x 3-x 4，0a=0时,a 有一切实数解…11.用反推法，若三个方程都没有实数根，解不等式组得m 的值是121<<m ， ∴当m 21≤或m ≥1时，三个方程中至少有一个方程有实数根. 10. 反推若只有两张相同，则（0＋1＋2＋…＋44）×2＝1980＞1979，所以要把1张调换小于44的非负整数，于是……11. 用反证法，设∠BAD ＝∠DAE ＝∠EAC ，则1AEAB DE BD ＝＝，即AD ⊥BE ，同理AE ⊥DC ，这与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，……12. a=-5, b=6. 15.409. 16. x=2, x=－2. 17.（C ）.。

七年级下数学培优：容斥原理于归纳思维

在我们解决数学问题时，经常遇到探索规律或者方案确定问题。

这是一类非常重要的问题，无论是在平时考试中还是在数学竞赛中，都是一个重点内容。

它涉及到统筹法的应用、容斥原理和归纳的数学思想方法，本篇文章就分类来讲解这类问题的思路和方法：1．统筹法的应用——生活中会遇到这样一些问题：完成一件事怎样合理安排，才能做到所用的时间最少；把一批货物从一个地方运到另一个地方去，选择什么样的运输方案，才能运费最省；车站设在什么地方，才最方便附近工作的乘客等．此类问题都涉及到如何统筹，目标是选择最佳．2．容斥原理的应用：（1）数集：把若干个数聚在一起叫数的集合，简称数集．例如0，1，2三个数，可写成集合{0，1，2}，其中0，1，2叫做这个集合的元素，一般集合用A、B、C等表示，用a、b、c等表示集合的元素，用|A|、|B|分别表示集合A、B元素的个数，用A∩B表示A和B的公共部分（即交集），用A∪B表示A或B的部分（即并集）．如设集合A={0,1,2,3,4}，B={2,3,4,5}，则|A|=5，|B|=4，A∩B={2,3,4}，A∪B={0,1,2,3,4,5}．（2）容斥原理公式：|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|；|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|；解决原理公式有关问题的图形，通常使用“韦恩图”的方法．如图，其中A、B、C分别表示具有A、B、C三种性质的集合，而A、B的公共部分表示具有A、B两种性质的集合，A、B、C的公共部分具有A、B、C性质的集合．3．归纳思维——通过特例的观察、实验、抽象概括，引起直觉上的共鸣，发现事物的共性，这种规律性的思维过程称为归纳思维（即不完全归纳法）．【点拔】关注分析等待修理时间长的机床数的多少，哪一种更有利？【解答】7x5+8x4+10x3+15x2+29x1=156(分钟）156x5=780（元）【反思与小结】一般地，哪一个修理的时间最短，下修理哪一个.从整体上来说，先修理用时最短的，其他等待的总时间最短，从整体的经济效益来说，损失最小。

（完整版）竞赛中的数学归纳法

（完整版）竞赛中的数学归纳法竞赛中的数学归纳法（⼀）数学归纳法的基本形式（1）第⼀数学归纳法设)(n P 是⼀个与正整数有关的命题，如果: ①当0n n =（N n ∈0）时，)(n P 成⽴；②假设),(0N k n k k n ∈≥=成⽴，由此推得1+=k n 时，)(n P 也成⽴，那么，根据①②对⼀切正整数0n n ≥时，)(n P 成⽴．例1 （07江西理22）设正整数数列{}n a 满⾜：24a =，且对于任何*n ∈N ，有11111122111n n n na a a a n n ++++<<+-+．（1）求1a ，3a ；（2）求数列{}n a 的通项n a ．解：（1）据条件得1111112(1)2n n n n n n a a a a ++??+<++<+①当1n =时，由21211111222a a a a ??+<+<+，即有1112212244a a +<+<+，解得12837a <<．因为1a 为正整数，故11a =．当2n =时，由33111126244a a ??+<+<+，解得3810a <<，所以39a =．（2）由11a =，24a =，39a =，猜想：2n a n =．下⾯⽤数学归纳法证明: 1o当1n =，2时，由（1）知2n a n =均成⽴；2o假设(2)n k k =≥成⽴，2k a k =，则1n k =+时由①得221111112(1)2k k k k a k a k ++??+<++<+ ??, 2212(1)(1)11k k k k k k a k k k +++-<<-+-22212(1)1(1)(1)11k k k a k k k ++?+-<<+++-,因为2k ≥时， 2k ∈-，．⼜1k a +∈*N ，所以221(1)(1)k k a k +++≤≤,故21(1)k a k +=+，即1n k =+时，2n a n =成⽴．由1o ，2o 知，对任意n ∈*N ，2n a n =．此题在证明时应注意，归纳奠基需验证的初始值⼜两个，即1n =和2n =。

2020初一(七年级)人教版数学竞赛教程含例题练习及答案91P

初一数学竞赛讲座第1讲数论的方法技巧（上）数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。

数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。

因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。

任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。

”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。

数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。

主要的结论有： 1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r（0≤r＜b），且q，r是唯一的。

特别地，如果r=0，那么a=bq。

这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a 的约数，a是b的倍数。

2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c。

3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即其中p1＜p2＜…＜p k为质数，a1，a2，…，a k为自然数，并且这种表示是唯一的。

（1）式称为n的质因数分解或标准分解。

4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为： d（n）=（a1+1）（a2+1）…（a k+1）。

5．整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。

因此，不等式x＜y与x≤y-1是等价的。

下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。

一、利用整数的各种表示法对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。

这些常用的形式有： 1．十进制表示形式：n=a n10n+a n-110n-1+…+a0； 2．带余形式：a=bq+r； 4．2的乘方与奇数之积式：n=2m t，其中t为奇数。

七年级数学培优辅导十三

第十三讲相交线、平行线※ 知识纵横一、相交线1、垂直的定义：两条直线相交所形成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足. 用符号“⊥”表示，如图，直线AB 、CD 互相垂直，记作“AB ⊥CD 于点O ”.注意：（1）垂直是两条直线相交的一种特殊情况，它反映的是两条直线的位置关系；（2）线段、射线的垂直特指它们所在的直线垂直. 垂直的判定：∵∠BOC=90°，∴AB ⊥CD ；垂直的性质：∵AB ⊥CD ，∴∠AOC=90°2、垂线段的定义：过直线外一点作已知直线的垂线，这一点与垂足连接而成的线段叫垂线段.3、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离.4、垂线的性质：（1）在同一平面内，经过直线外或直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直. （2）直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短. 5、垂线的画法：用三角板(一靠二过三画)、量角器、尺规作图 6、两条直线被第三条直线所截，构成了八个角，简称“三线八角”.如图：直线AB 、CD 被直线EF 所截或直线EF 截直线AB 、CD 于点 M 、N . 直线EF 就是第三条直线叫做截线，AB 、CD 叫做被截线. 7、同位角、内错角、同旁内角同位角：在截线同侧，在被截线同方向；内错角：在截线两侧，在被截线的内部；同旁内角：在截线同侧，在被截线的内部.注意：（1）同位角、内错角、同旁内角是“两条直线被第三条直线所截”形成的八个角中，没有公共顶点的两个角的位置关系；（2）判断同位角、内错角、同旁内角时，首先要判断截线和被截线：两个角都有一边在这条直线上，那么这条直线就是被截线（公共边）. 二、平行线1、两条直线的位置关系：同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有两种：相交或平行．2、平行线：在同一平面内，不相交（没有公共点）的两条直线叫做平行线．如图：直线AB 、CD 互相平行，记作：AB ∥CD . 注意：（1）同一平面；（2）不相交是指没有交点；（3）线段、射线平行特指线段、射线所在直线平行.3、平行线的性质（1）平行公理：经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．（2）平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 4、平行线的识别（1）同位角相等，两直线平行.（∵∠1=∠5， ∴AB ∥CD ）（2）内错角相等，两直线平行.（∵∠4=∠5， ∴AB ∥CD ）C DE BAFM N BD CAB DC AE F7 4 8 6 532 1（3）同旁内角互补，两直线平行.（∵∠3+∠5=180°，∴AB∥CD）（4）垂直于同一直线的两直线平行.（∵C D⊥AB，E F⊥AB，∴CD∥EF）（5）平行线的定义.（6）平行公理推论.（∵a∥b，a∥c，∴b∥c）5、平行线的性质：（1）两直线平行，同位角相等.（∵AB∥CD ∴∠2=∠6）（2）两直线平行，内错角相等.（∵AB∥CD ∴∠3=∠6）（3）两直线平行，同旁内角互补.（∵AB∥CD ∴∠4+∠6=180°）注意：判断线段或射线的垂直或平行，就是判断它们所在直线垂直或平行.※典例剖析【例1】如图，图中有对同位角，分别是.图中有对内错角，分别是.图中有对同旁内角，分别是.【例2】如图，∠1和∠2是直线和被直线所截得的角；∠2和∠3是直线和被直线所截得的角；∠4和∠A是直线和被直线所截得的角.【例3】如图，AB⊥CD，垂足为O，OE是一条射线，OF平分∠BOC，∠AOE=35°，求∠EOF的度数.【例4】如图，AB∥DE，∠B=135°，∠D=145°，求∠C的度数.【例5】如图，已知∠E＝∠F，∠E＝∠BAD，AD是∠BAC的平分线吗？为什么？B DC AEF7486 532 1C B1D A5342EB DCA43 12AEOCBDFEBDCAAEGFCDB※培优训练1、如图一，∠1=65°，∠C=65°，∠ADC=115°，则图中的平行线有 .2、如图二，若∠1= ，则DE ∥AC ；若∠1= ，则EF ∥BC ，若∠FED+ =180°，则DE ∥AC ；若∠2+ =180°，则AB ∥DF.3、如图三，若AB ∥CD ，则根据，可得∠2= ；若AD ∥BC ，根据，可得∠DAB+ =180°.4、如图，已知∠B=62°，∠3=30°，∠4=88°， AB 与CD 平行吗？AD 与BC 平行吗？说明理由.5、如图，已知AC ∥DE ，∠D ＝70°，CD 平分∠ACE ，求∠E 的度数.6、如图，已知：∠1=∠2，∠A=∠C ，请猜想∠E 与∠F 的关系，并说明你的理由.图二图三BA D C4 3 2 1 图一A E DBC1CB DA43 21 A C E D BB 1 2H G A F D E C※能力拓展题组一：1、如图，直线CD 、EF 、GH 交于一点P ，直线AB 交EF 、GH 于点M 、N ，则图中共有内错角（）.A 、4对B 、8对C 、10对D 、12对2、平面内有5条直线两两相交，其中仅有3条直线经过同一点，则它们彼此截得的线段共有（）. A 、36条 B 、33条 C 、24条 D 、21条题组二：1、如图，已知AB ∥CD ，∠B ＝∠C. 求证：CE ∥BF2、如图，已知AB ∥CD ，AE 平分∠BAC ，CE 平分∠ACD .求证：A E ⊥CE. 题组三：1、如图，已知AB ∥CD ，EF 交AB 、CD 于点G 、H ，点P 是为HD 上一动点，过点P 的直线交HF 于点O. 求证：∠HOP=∠AGF -∠HPO.2、如图，已知AB ∥CD ，∠EAF=EAB ∠41，∠ECF=ECD ∠41.求证：∠AFC=AEC ∠43D ABEC FHPG MNDCEBGA F ED CB APG H ABCD O FECEFBA D。

七年级数学培优辅导十三

七年级数学培优辅导十三-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN49第十三讲相交线、平行线※ 知识纵横一、相交线1、垂直的定义：互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足. 示，如图，直线AB 、CD 互相垂直，记作“AB ⊥CD 于点O ”.注意：（1（2）线段、射线的垂直特指它们所在的直线垂直. 垂直的判定：∵∠BOC=90°，∴AB ⊥CD ；垂直的性质：∵AB ⊥CD ，∴∠AOC=90°2、垂线段的定义：过直线外一点作已知直线的垂线，这一点与垂足连接而成的线段叫垂线段.3、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离.4、垂线的性质：（1）在同一平面内，经过直线外或直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直.（2）直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短. 5、垂线的画法：用三角板(一靠二过三画)、量角器、尺规作图6、两条直线被第三条直线所截，构成了八个角，简称“三线八角”.如图：直线AB 、CD 被直线EF 所截或直线EF 截直线AB 、CD 于点 M 、N . 直线EF 就是第三条直线叫做截线，AB 、CD 叫做被截线.7、同位角、内错角、同旁内角同位角：在截线同侧，在被截线同方向；内错角：在截线两侧，在被截线的内部；同旁内角：在截线同侧，在被截线的内部.注意：（1）同位角、内错角、同旁内角是“两条直线被第三条直线所截”形成的八个角中，没有公共顶点的两个角的位置关系；（2）判断同位角、内错角、同旁内角时，首先要判断截线和被截线：两个角都有一边在这条直线上，那么这条直线就是被截线（公共边）. 二、平行线1、两条直线的位置关系：同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有两种：相交或平行．2、平行线：在同一平面内，不相交（没有公共点）的两条直线叫做平行线．如图：直线AB 、CD 互相平行，记作：AB ∥CD . 注意：（1）同一平面；（2）不相交是指没有交点；（3）线段、射线平行特指线段、射线所在直线平行.3、平行线的性质（1）平行公理：经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．（2）平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 4、平行线的识别C DE BA FM N B D CAB DCA E 7 4 86 532 1（1）同位角相等，两直线平行.（∵∠1=∠5，∴AB∥CD）（2）内错角相等，两直线平行.（∵∠4=∠5，∴AB∥CD）（3）同旁内角互补，两直线平行.（∵∠3+∠5=180°，∴AB∥CD）（4）垂直于同一直线的两直线平行.（∵C D⊥AB，E F⊥AB，∴CD∥EF）（5）平行线的定义.（6）平行公理推论.（∵a∥b，a∥c，∴b∥c）5、平行线的性质：（1）两直线平行，同位角相等.（∵AB∥CD ∴∠2=∠6）（2）两直线平行，内错角相等.（∵AB∥CD ∴∠3=∠6）（3）两直线平行，同旁内角互补.（∵AB∥CD ∴∠4+∠6=180°）注意：判断线段或射线的垂直或平行，就是判断它们所在直线垂直或平行. ※典例剖析【例1】如图，图中有对同位角，分别是.图中有对内错角，分别是.图中有对同旁内角，分别是.【例2】如图，∠1和∠2是直线和被直线所截得的角；∠2和∠3是直线和被直线所截得的角；∠4和∠A是直线和被直线所截得的角.【例3】如图，AB⊥CD，垂足为O，OE是一条射线，OF平分∠BOC，∠AOE=35°，求∠EOF的度数.【例4】如图，AB∥DE，∠B=135°，∠D=145°，求∠C的度数.B DC AEF7486 532 1C B1D A5342EB DCA43 12AEOCBDFEBDCA5051【例5】如图，已知∠E ＝∠F ，∠E ＝∠BAD ，AD 是∠BAC 的平分线吗为什么※培优训练1、如图一，∠1=65°，∠C=65°，∠ADC=115°，则图中的平行线有 .2、如图二，若∠1= ，则DE ∥AC ；若∠1= ，则EF ∥BC ，若∠FED+ =180°，则DE ∥AC ；若∠2+ =180°，则AB ∥DF.3、如图三，若AB ∥CD ，则根据，可得∠2= ；若AD ∥BC ，根据，可得∠DAB+ =180°.4、如图，已知∠B=62°，∠3=30°，∠4=88°， AB 与CD 平行吗AD 与BC 平行吗说明理由.图图BA DC4 3 2 1 图AE DB C1CBDA 4 321A EG FC D B525、如图，已知AC ∥DE ，∠D ＝70°，CD 平分∠ACE ，求∠E 的度数.6、如图，已知：∠1=∠2，∠A=∠C ，请猜想∠E 与∠F 的关系，并说明你的理由.※能力拓展题组一：1、如图，直线CD 、EF 、GH 交于一点P ，直线AB 交EF 、GH 于点M 、N ，则图中共有内错角（）. A 、4对 B 、8对 C 、10对 D 、12对2、平面内有5条直线两两相交，其中仅有3条直线经过同一点，则它们彼此截得的线段共有（）.A 、36条B 、33条C 、24条D 、21条题组二：1、如图，已知AB ∥CD ，∠B ＝∠C. 求证：CE ∥BFA CED B B 12HGAFD E CDABE CF HPG M N D C EBGAF532、如图，已知AB ∥CD ，AE 平分∠BAC ，CE 平分∠ACD .求证：A E ⊥CE. 题组三：1、如图，已知AB ∥CD ，EF 交AB 、CD 于点G 、H ，点P 是为HD 上一动点，过点P 的直线交HF 于点O. 求证：∠HOP=∠AGF -∠HPO.2、如图，已知AB ∥CD ，∠EAF=EAB ∠41，∠ECF=ECD ∠41.求证：∠AFC=AEC ∠43ED CB A PGH A B C DO FEEFBA D。