衡水二中高三理数模拟试题(含答案)2.10
衡水中学2019-2020学年度高三年级下学期第二次模拟考试 理数试卷(含答案)
4
故选：A.
12.【答案】D
【解析】由题意可知 f ′(= x)
aex (x
−1)
+
1 x
−
x= 12
0
有两个不等根.即
ae
x
(
x
−
1)
=−
x− x2
1
,
x ∈ (0, 2) ,有一根 x = 1 .另一根在方程 1 = −x2ex , x ∈ (0, 2) 中,令 h(x) = x2ex , x ∈ (0, 2) , a
上式对 n = 1 也成立，
可得数列
{an
}
是首项为
1，公比为
1 2
的等比数列，
可= 得 S5
1= − 215 1− 1
31
．
16
2
故答案为： 31 ． 16
15. ①②
16.【答案】 6π 【解析】如图，设球心 O 在平面 ABC 内的射影为 O1 ，在平面 BCD 内的射影为 O2 则二面角 A − BC − D 的平面角为∠AMD ,点 A 在截面圆 O1 上运动，点 D 在截面圆 O2 上运 动，由图知，当 AB = AC ，BD = CD 时，三棱锥 A − BCD 的体积最大，此时 ∆ABC 与 ∆BDC
是等边三角形,
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设 BC = a ，则 A= M D= M
3 2
a ， S∆BCD
=
3 a2 . 4
=h AM sin(π −= ∠AMD)
6 3
a
, VA− B= CD
1 3
S∆DBC= ⋅ h
2023年河北省衡水中学高考数学模拟试卷+答案解析(附后)
2023年河北省衡水中学高考数学模拟试卷1. 已知全集，，，则( )A. B.C. D.2. 已知复数，，若z在复平面上对应的点在第三象限，则( )A. 4B.C.D.3.已知等差数列的前n项和为，，则( )A. 66B. 78C. 84D. 964. 条件p：，，则p的一个必要不充分条件是( )A. B. C. D.5. 函数的部分图象大致是( )A. B. C. D.6. 在中，，，，P，Q是平面上的动点，，M是边BC上的一点，则的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 47. 已知抛物线C：过点，动点M，N为C上的两点，且直线AM 与AN的斜率之和为0，直线l的斜率为，且过C的焦点F，l把分成面积相等的两部分，则直线MN的方程为( )A. B.C. D.8. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何体外接球与内切球的研究.其中的一些研究思想启发着后来者的研究方向.已知正四棱锥的外接球半烃为R，内切球半径为r，且两球球心重合，则( )A. 2B.C.D.9. 统计学是源自对国家的资料进行分析，也就是“研究国家的科学”.一般认为其学理研究始于希腊的亚里士多德时代，迄今已有两千三百多年的历史.在两千多年的发展过程中，将社会经济现象量化的方法是近代统计学的重要特征.为此，统计学有了自己研究问题的参数，比如：均值、中位数、众数、标准差.一组数据：，，⋯，记其均值为m，中位数为k，标准差为s，则( )A.B.C.新数据：，，，⋯，的标准差为D.新数据：，，，⋯，的标准差为2s10. 已知，，且满足，则的取值可以为( )A. 10B. 11C. 12D. 2011. 圆O：与双曲线交于A，B，C，D四点，则( )A. r的取值范围是B. 若，矩形ABCD的面积为C. 若，矩形ABCD的对角线所在直线是E的渐近线D. 存在，使四边形ABCD为正方形12. 已知函数的导函数为，则( )A. 有最小值B. 有最小值C. D.13. 已知角终边上有一点，则______ .14. 甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、乙执黑子先下是等可能的，则甲、乙各胜一局的概率为______ .15. 已知函数的部分图像如图所示，在区间内单调递减，则的最大值为______ .16. 如图，在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD为菱形，，，，且平面ABCD，四边形BEFG是正方形，则______ ；异面直线AG与DE所成角的余弦值为______ .17. 已知数列满足，且，求证：是等比数列，并求的通项公式；若数列的前n项和为，求使不等式成立的n的最小值.18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且求的最小值；若M为的重心，，求19. 第22届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行，这是我国继北京后第二次举办亚运会.为迎接这场体育盛会，浙江某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市A社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A社区参加市亚运知识竞赛.已知A社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为、、，通过初赛后再通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响.求这3人中至多有2人通过初赛的概率；求这3人中至少有1人参加市知识竞赛的概率；某品牌商赞助了A社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了两种奖励方案：方案一：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖1次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖励600元；方案二：只参加了初赛的选手奖励200元，参加了决赛的选手奖励500元.若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好.20. 如图，在直四棱柱中，四边形ABCD是平行四边形，，，AD与平面所成的角为求；求二面角的余弦值.21. 如图，已知椭圆的右顶点为A，下顶点为B，且直线AB的斜率为，的面积为1，O为坐标原点.求C的方程；设直线l与C交于，两点，且，N与B不重合，M与C的上顶点不重合，点Q在线段MB上，且轴，AB平分线段QN，点到l的距离为d，求当d取最大值时直线MN的方程.22. 已知函数证明：当时，为增函数；若有3个零点，求实数a的取值范围，参考数据：，答案和解析1.【答案】A【解析】解：因为，，所以，又因为，所以则故选：求出集合M、N，再利用并集和补集的定义，即可求解．本题主要考查交集、补集的混合运算，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：因为，则，解得，因为复数z在复平面上对应的点在第三象限，则，解得，因此，故选：利用复数的除法化简复数z，利用复数的模长公式以及复数的几何意义可求得实数a的值．本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：设等差数列的首项为，公差为d，由可得，整理可得，所以，则故选：设等差数列的首项为，公差为d，结合题意可得，结合等差数列的性质代入等差数列的前n项和公式即可求解．本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：若，使得，则，可得，则，因为函数在上单调递减，在上单调递增，且，故当时，，即p：，所以p的一个必要不充分条件是故选：对于命题p，由参变量分离法可得，求出函数在上的最大值，可得出实数a的取值范围，再利用必要不充分条件的定义可得出合适的选项．本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：对于函数，有，可得，所以，函数的定义域为，因为，，所以，函数为偶函数，排除AB选项；当时，，则，此时，排除D选项．故选：分析函数的定义域、奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项．本题主要考查了函数的奇偶性在函数图象判断中的应用，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：取PQ的中点N，则，可得，，当且仅当N在线段AM上时，等号成立，故，显然当时，取到最小值，，故故选：根据向量运算可得，结合图形分析的最小值即可得结果．本题主要考查了向量的线性表示及向量数量积的性质的应用，属于中档题．7.【答案】D【解析】解：因为抛物线C：过点，所以，解得：，所以，设，，直线MN：，代入中整理得，所以，，所以，即，则，解得：，所以直线MN：，直线l的斜率为，且过C的焦点，所以l：，则到直线l的距离为，所以l把分成面积相等的两部分，因为直线l与直线MN平行，所以到直线l：的距离为到直线MN：距离的，，解得：或舍去所以直线MN的方程为故选：由题意求出抛物线方程为，设，，直线MN：，联立直线和抛物线的方程结合韦达定理由，可求出，再求出直线l的方程，由题意可转化为到直线l：的距离为到直线MN：距离的，代入求解即可得出答案．本题主要考查了抛物线的性质，考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：设底面正方形ABCD的对角线长为2a，高为h，，正方形的中心为O，外接球的球心为，则有即，在中，，①，②，以O为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：则有，，设平面PCD的一个法向量为，则有，即，令，解得，，设向量与平面PCD的夹角为，则，球心到平面PCD的距离，，由①得，即③，故设，则③可整理成，两边平方得，，由①②得故选：正四棱锥的外接球和内接球球心重合，说明其结构特殊，找出结构的特殊性，再计算．本题主要考查了正四棱锥的外接球和内切球问题，考查了学生的空间想象能力，属于中档题．9.【答案】AD【解析】解：对于A选项，因为，样本数据最中间的项为，由中位数的定义可知，A对；对于B选项，不妨令，则，B错；对于C选项，数据，，，⋯，的均值为，方差为，所以，数据，，，⋯，的标准差为s，C错；对于D选项，数据，，，⋯，的均值为，其方差为，所以，新数据：，，，⋯，的标准差为2s，D对．故选：利用中位数的定义可判断A选项；取，可判断B选项；利用方差公式可判断CD选项．本题主要考查了均值、中位数和标准差的计算公式，属于基础题．10.【答案】CD【解析】解：因为，，所以，，故，当，且，而时，即等号不能同时成立，所以，故AB错误，CD正确．故选：根据条件及基本不等式可得，进而即得．本题主要考查基本不等式及其应用，属于基础题．11.【答案】BD【解析】解：对于选项A，双曲线的顶点坐标为，渐近线方程为，因为圆O：与双曲线交于A，B，C，D四点，所以，故A错误；对于选项B，C，当时，圆O：，联立方程，解得，所以或或或，不妨令，，，，所以，，所以，则，所以AC：，故不是双曲线的渐近线，即B正确，C错误；对于选项D，若四边形ABCD为正方形，不妨设A为第一象限内的交点，设，，由，解得，又，所以，所以当时，使四边形ABCD为正方形，故D正确；故选：首先求出双曲线的顶点坐标与渐近线方程，即可判断A，对于B、C，求出交点坐标，即可判断B、C，设，求出m、r，即可判断本题主要考查了双曲线的性质，考查了圆与双曲线的综合问题，属于中档题．12.【答案】ACD【解析】解：由于函数的导函数为，则，又得其导函数为，故在定义域为单调递增函数，知无最小值，故B错误；当时，，，，故；当时，，，，但是指数函数始终增长的最快，故；又因为，，故一定存在，使得，所以在时为单调递减，在时为单调递增，故在处取得最小值，故A正确；又在定义域为单调递增函数，可知在为凹函数，可得，即，故C正确；令，易知，，，令，故在定义域为单调递增函数，故，则，故D正确．故选：对选项逐一判断，首先对求导得到，再对进行求导，得出的单调性及零点，即可得出，最值及单调性，即可判断AB的正误，由的增减性可知的凹凸性，由此可知，的大小，即可判断C的正误，再构造，同理可判断D的正误．本题主要考查了导数与单调性，函数性质的综合应用，属于中档题．13.【答案】【解析】解：，，根据同角关系有，故答案为：根据正切的定义，运用诱导公式以及同角关系求解．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．14.【答案】【解析】解：分两种情况讨论：第一局甲胜，第二局乙胜：若第一局甲执黑子先下，则甲胜第一局的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为，若第一局乙执黑子先下，则甲胜第一局的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为，所以第一局甲胜，第二局乙胜的概率为；第一局乙胜，第二局甲胜：若第一局甲执黑子先下，则乙胜第一局的概率为，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为，若第一局乙执黑子先下，则乙胜第一局的概率为，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为，所以，第一局乙胜，第二局甲胜的概率为综上所述，甲、乙各胜一局的概率为故答案为：分两种情况讨论：第一局甲胜，第二局乙胜：第一局乙胜，第二局甲胜．分析出每局输赢的情况，结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率．本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于基础题．15.【答案】2【解析】解：由图可知函数过点，所以，即，所以或，，因为，所以或，又函数在原点右侧最近的零点的右侧的极值点函数取得最小值，所以，所以，因为在区间内单调递减，，所以，所以，所以，则或解得或，所以的最大值为故答案为：根据函数过点求出的值，再根据x的范围求出的范围，结合函数的单调性与周期性求出的大致范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．本题主要考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．16.【答案】【解析】解：由四边形ABCD为菱形，，可得为正三角形，设H为AB的中点，连接DH，所以又，因此又平面ABCD，故以D为原点，分别以DE，DC，DF所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：设，，，，则，，，，由题意，则平面ABCD，平面ABCD，设，，从而，因为四边形BEFG是正方形，所以，所以，解得，所以，，设，则，因为，所以，所以，即，所以，所以，设异面直线AG与DE所成角为，又，所以，即异面直线AG与DE所成角的余弦值为故答案为：；根据线面垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法求解距离及异面直线所成角的余弦值．本题主要考查了利用空间向量求线段的长，以及利用空间向量求异面直线所成的角，属于中档题．17.【答案】解：由，，可得，所以，则，又因为，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，则，所以，则，所以由可知：，当n为偶数时，，当n为奇数时，，因为，，所以使不等式成立的n的最小值为【解析】根据递推公式即可证明是等比数列，然后利用等比数列的通项公式和已知条件即可求解；结合的通项公式求出数列的前n项和为，然后讨论即可求解．本题主要考查数列递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．18.【答案】解：，，当且仅当，即时，等号成立，的最小值为；分别延长BM，CM，AM，交三角形的对应边于点D，E，F，点M为的重心，，在中，，D为边AC的中点，，，设，，则，，在中，又勾股定理可得：，即，同理在中，，即，在中，，即，消去x，y得，又，所以，从而解得，即，在中，由余弦定理可得：，，同理在中，，，【解析】利用余弦定理及基本不等式即可求解最小值；利用重心性质及勾股定理求出边长关系，利用余弦定理求出两个角的余弦值，然后通过同角关系求出正弦值即可．本题考查解三角形，余弦定理勾股定理，基本不等式的应用，方程思想，属中档题．19.【答案】解：人全通过初赛的概率为，所以这3人中至多有2人通过初赛的概率为；甲参加市知识竞赛的概率为，乙参加市知识竞赛的概率为，丙参加市知识竞赛的概率为，所以这3人中至少有1人参加市知识竞赛的概率为；方案一：设三人中奖人数为X，所获奖金总额为Y元，则，且，所以元，方案二：记甲、乙、丙三人获得奖金之和为Z元，则Z的所有可能取值为600、900、1200、1500，则，，，，所以所以，所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案二更好．【解析】计算出3人全通过初赛的概率，再利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；计算出3人各自参加市知识竞赛的概率，再利用独立事件和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；利用二项分布及期望的性质求出方案一奖金总额的期望，对方案二，列出奖金总额为随机变量的所有可能取值，并求出对应的概率，求出其期望，比较大小作答．本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了二项分布的概率公式和期望公式，属于中档题．20.【答案】解：因为，，在中，由余弦定理可得，则，所以，则，又因为为直四棱柱，所以平面ABCD，所以，DA，DB两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，，，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，则可取，由题意可知：AD与平面所成的角为，所以，解得，所以由知：平面的法向量，，，设平面的法向量为，则，则可取，则，由图可知：二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值【解析】根据，，利用余弦定理可得，结合已知条件，建立空间直角坐标系，设，写出相应点的坐标，求出平面的法向量和AD的方向向量，线面角即可求解；结合的结论和平面的法向量，再求出平面的法向量，利用空间向量的夹角公式即可求解．本题考查空间向量在立体几何中的运用，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．21.【答案】解：由已知得，，，即①又因为的面积为1，所以，即②联立①②解得，，所以椭圆C的方程为；根据题意，直线l的斜率存在，且l不过C的上、下顶点，故可设其方程为，，设Q点的横坐标为，AB与QN的交点为T，其横坐标为，由得，，则，即，又，由已知直线MB的方程为，直线AB的方程为，直线QN的方程为，联立，解得，即，联立，解得，即，因为AB平分线段QN，所以T为线段QN的中点，所以，即，整理得，把代入上式整理得，因为，所以，化简得，又由得，解得，，设，则，所以，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，当时，有最大值，即d有最大值，所以，所以直线MN的方程为【解析】根据已知条件列出关于a，b的方程组求解即可；设l的方程为，，Q点的横坐标为，AB与QN的交点为T，其横坐标为，由已知可得，结合韦达定理可得出，从而可求点到l的距离d，再通过构造函数，利用函数单调性求出d取最大值时的条件，从而可求直线MN 的方程．本题主要考查了椭圆性质在椭圆方程求解中的应用，还考查了直线与椭圆位置关系的应用，属于中档题．22.【答案】解：将代入的解析式得：，，令，显然是增函数，，，使得，此时，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，显然是关于得减函数，，由，，得，，，即，是增函数；令，，，令，令，则有，，，显然是增函数，第21页，共21页，，使得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，，时，，即，是增函数，时，，即是减函数，时，是增函数，所以在处，有极大值，在处有极小值，的大致图像如下：欲使得原函数有3个零点，a 得取值范围是，综上，a 得取值范围是【解析】将代入函数解析式，求导，求出导函数的极小值即可；参数分离，构造函数，求出其单调区间以及函数的大致图像即可．本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了函数性质在零点个数判断中的应用，特殊值是解决本题的一个关键，对于导函数的研究的一个原则是多次求导直到导函数能够比较清晰的观察出其单调性为好，属于中档题．。
2023年河北省衡水二中高考数学一模试卷【答案版】
2023年河北省衡水二中高考数学一模试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |x 3﹣3x 2﹣x +3＜0}，B ＝{x ||x +12|≥1}，则（ ） A ．A ∪B ＝（﹣∞，−32）∪（1，3） B ．A ∪B ＝（﹣∞，﹣1）∪[12，+∞）C ．A ∩B ＝（﹣∞，﹣1）∪（1，3）D ．A ∩B ＝（﹣∞，−32]∪[12，3）2．已知复数z =−12+√32i ，则∑ 2023i=1z i的值为（ ）A ．−12+√32iB ．−12−√32iC ．0D ．13．在正方形ABCD 中，E 在CD 上且有CE →=2ED →，AE 与对角线BD 交于F ，则AF =（ ） A ．13AB +23AD B ．34AB +14AD C ．14AB +34AD D ．13AD +AB4．已知：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积成比例，那么这两个几何体的体积也对应成比例．则椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)绕长轴旋转一周形成的几何体的体积为（ ） A ．43πa 2bB ．43πab 2C ．43πa 3D ．43πb 35．从11到15这5个整数中选出2个，则这2个数的因数个数之和为8的概率是（ ） A ．110B ．15C ．310D ．256．已知f （x ）＝2tan （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2），f （0）=2√33，周期T ∈（π4，3π4），（π6，0）是f （x ）的对称中心，则f （π3）的值为（ ）A ．−√3B ．√3C ．2√33D ．−2√337．若a ＝ln 1.01，b =2201，c =√1.02−1，则（ ） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b8．某正六棱锥外接球的表面积为16π，且外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，底面正六边形边长l ∈[√3，2]，则其体积的取值范围是（ ） A ．[4√3，9√32] B ．[4√3，128√327] C ．[9√32，128√327]D ．[64√327，4√3]二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列命题为真命题的是（ ） A ．过任意三点有且仅有一个平面B ．m 为直线，α，β为平面，若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βC ．m ，n 为直线，α为平面，若m ∥α，n ∥α，则m ∥nD ．m ，n 为直线，α为平面，若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n 10．关于函数f （x ）＝x 3﹣3x +1，下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）有两个极值点 B ．f （x ）的图像关于原点对称C ．f （x ）有三个零点D ．2sin10°是f （x ）的一个零点11．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）过点（1，2），M 是C 准线l 上的一点，过M 作C 的切线MA 、MB 与抛物线分别切于A 、B ，则（ ） A ．C 的准线方程是x ＝﹣1 B ．|MF |2＝|F A ||FB | C ．|AM |2＝|AF ||AB |D ．MA →⋅MB →≠012．直线l ：y ＝ax 与y ＝e x 的图像交于A （x 1，y 2）、B （x 2，y 2）两点（x 1＜x 2），y ＝e x 在A 、B 两点的切线交于C ，AB 的中点为D ，则（ ） A ．a ≤eB ．点C 的横坐标大于1 C ．|x 1﹣x 2|＜√(a +2−e)2−4D ．CD 的斜率大于0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（x 2+y +3）6中x 4y 的系数为 （用数字作答）． 14．写出一个满足下列条件的双曲线的方程 ①焦点在x 轴上②渐近线与圆（x ﹣2）2+y 2＝3有交点15．已知函数f （x ）、g （x ），g （x ）的图像关于x ＝1对称，且f （x ）﹣g （x ）＝1，f （x +1）+g （2﹣x ）＝1，g （1）＝3，则∑ 23i=1f(x)= ． 16．已知x 2+y 2＝4，则√2−y +√5−2x 的最小值为四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤. 17．（10分）已知数列{a n }满足S n =n(a 1+a n )2，其中S n 是{a n }的前n 项和． （1）求证：{a n }是等差数列；（2）若a 1＝1，a 2＝2，求b n =2n(1−a n )a n a n+1的前n 项和T n ．18．（12分）在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2R ﹣a =a(b 2+c 2−a 2)a 2+c 2−b2，其中R 是三角形外接圆半径，且A 不为直角． （1）若B =π6，求A 的大小； （2）求2a 2−c 2b 2的最小值．19．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面P AB ⊥平面ABCD ，O 为AB 中点，AC 与OD 交于点E ，△P AB 的重心为G ． （1）求证：EG ∥平面PCD ；（2）若P A ＝PB ＝5，AB ＝8，BC ＝4，求二面角C ﹣GE ﹣D 的正弦值．20．（12分）某工厂生产一批零件，其直径X 满足正态分布X ～N （10，0.25）（单位：mm ）（1）现随机抽取15个零件进行检测，认为直径在（8.5，11.5）之内的产品为合格品，若样品中有次品则可以认定生产过程中存在问题．求上述事件发生的概率，并说明这一标准的合理性．（已知：P （μ﹣3σ＜X ＜μ+3σ）≈0.9973，0.997315≈0.9603）（2）若在上述检测中发现了问题，另抽取100个零件进一步检测，则这100个零件中的次品数最可能是多少？21．（12分）已知A （﹣2，0），B （2，0），P （x ，y ）满足P A 与PB 的斜率之积为−34． （1）求P 的轨迹C 的方程．（2）l 1，l 2是过C 内同一点D 的两条直线，l 1交椭圆于MN ，l 2交椭圆于EF ，且MNEF 共圆，求这两条直线斜率之和．22．（12分）已知函数f （x ）＝（π﹣x ）sin x ，x ∈[0，π]． （1）求f （x ）在（0，0）处的切线方程；（2）若f （x ）＝a 在定义域上有两解x 1，x 2，求证： ①a ＜2；②|x 1﹣x 2|≤π﹣a −a．2023年河北省衡水二中高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |x 3﹣3x 2﹣x +3＜0}，B ＝{x ||x +12|≥1}，则（ ） A ．A ∪B ＝（﹣∞，−32）∪（1，3） B ．A ∪B ＝（﹣∞，﹣1）∪[12，+∞）C ．A ∩B ＝（﹣∞，﹣1）∪（1，3）D ．A ∩B ＝（﹣∞，−32]∪[12，3）解：A ＝{x |（x 2﹣1）（x ﹣3）＜0}＝{x |1＜x ＜3或x ＜﹣1}，B ={x|x +12≤−1或x +12≥1}={x|x ≤−32或x ≥12}，∴A ∪B ＝（﹣∞，﹣1）∪[12，+∞），A ∩B =(−∞，−32]∪(1，3)．故选：B ． 2．已知复数z =−12+√32i ，则∑ 2023i=1z i的值为（ ）A ．−12+√32iB ．−12−√32iC ．0D ．1解：由于复数z =−12+√32i ，故z 2=(−12+√32i)2=−12−√32i ，z 3=(−12−√32i)(−12+√32i)=14+34=1，故∑ 2023i=1z i =z 1+z 2+⋯+z2023=z(1−z 2023)1−z =z(1−z 674×3+1)1−z =z(1−z)1−z =z =−12+√32i ．故选：A ．3．在正方形ABCD 中，E 在CD 上且有CE →=2ED →，AE 与对角线BD 交于F ，则AF =（ ） A ．13AB +23AD B ．34AB +14AD C ．14AB +34AD D ．13AD +AB解：如图：∵在正方形ABCD 中，E 在CD 上且有CE →=2ED →，AE 与对角线BD 交于F ， ∴DE =13AB ，且DE ∥AB ，∴△DEF ∽△BAF ， 可得EFAF=13，可得AF =34AE ，∴AF →=34AE →=34（AD →+DE ）=34（AD →+13AB →）=14AB →+34AD →，故选：C ．4．已知：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积成比例，那么这两个几何体的体积也对应成比例．则椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)绕长轴旋转一周形成的几何体的体积为（ ） A ．43πa 2bB ．43πab 2C ．43πa 3D ．43πb 3解：根据题意可得图形如图所示，由图可得O 1P =ba √a 2−ℎ2，圆柱中大圆的半径为b ， 小圆的半径为OB =bℎa ，易得S 圆＝S 圆环，则由祖暅原理可得V 椭球＝2（πb 2a −13πb 2a ）=43πb 2a ． 故选：B ．5．从11到15这5个整数中选出2个，则这2个数的因数个数之和为8的概率是（ ） A ．110B ．15C ．310D ．25解：从11到15这5个数中取出2个数，基本事件为C 52=10，故：11的因数为1和11，，12的因数为1，12，2，6，3，4， 13的因数为1，13；15的因数为1，15，3，5， 14的因数为1，14，2，7，故两个因数的和为8的是：11和12，12和13，14和15一共3种， 故P(A)=310． 故选：C ．6．已知f （x ）＝2tan （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2），f （0）=2√33，周期T ∈（π4，3π4），（π6，0）是f （x ）的对称中心，则f （π3）的值为（ ）A ．−√3B ．√3C ．2√33D ．−2√33解：∵f （x ）＝2tan （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2），f （0）＝2tan φ=2√33， ∴tan φ=√33，∴φ=π6，f （x ）＝2tan （ωx +π6）．∵周期T =πω∈（π4，3π4），∴43＜ω＜4．再根据（π6，0）是f （x ）的对称中心，可得ωπ6+π6=kπ2，k ∈Z ，即ω＝3k ﹣1，∴ω＝2，f （x ）＝2tan （2•x +π6）， 则f （π3）＝2tan5π6=−2tanπ6=−2√33，故选：D ． 7．若a ＝ln 1.01，b =2201，c =√1.02−1，则（ ） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b解：a ＝ln 1.01＝ln （1+0.01），b =22×100+1=110.01+12，c =√1+2×0.01−1， 先比较a 与b ， 设f （x ）＝ln （1+x ）−11x +12=ln （1+x ）−2xx+2，0＜x ＜1， 则f '（x ）=11+x −2(x+2)−2x (x+2)2=x 2(x+1)(x+2)2＞0， 所以f （x ）在（0，1）上单调递增， 所以f （x ）＞f （0）＝0，即a ＞b ， 再比较a 与c ，设g （x ）＝ln （1+x ）﹣（√1+2x −1），0＜x ＜1， 则g '（x ）=11+x 1√1+2x 11+x −11+x=0， 所以g （x ）在（0，1）上单调递减， 所以g （x ）＜g （0）＝0，即a ＜c ， 综上，b ＜a ＜c ． 故选：B ．8．某正六棱锥外接球的表面积为16π，且外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，底面正六边形边长l ∈[√3，2]，则其体积的取值范围是（）A．[4√3，9√32]B．[4√3，128√327]C．[9√32，128√327]D．[64√327，4√3]解：如图所示：设该正六棱锥的高PO1＝h，侧棱长为a，设该正六棱锥外接球的半径为r，因为正六棱锥外接球的表面积为16π，所以有16π＝4πr2⇒r＝2，因为外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，所以h≥2，设∠OPB＝θ，在正六边形ABCDEF，因为正六边形边长为l，所以O1B＝l，在△OPB中，由余弦定理可知cosθ=4+a2−42⋅2a=a4，在直角三角形△O1PB中，cosθ=ℎa，所以有cosθ=ℎa=a4⇒a2＝4h，由勾股定理可知h2+l2＝a2⇒h2+l2＝4h⇒l2＝4h﹣h2，因为l∈[√3，2]，所以l2∈[3，4]，因此有3≤4h﹣h2≤4⇒1≤h≤3，而h≥2，所以2≤h≤3，该正六棱锥的体积V=13×6×12⋅l⋅l⋅√32⋅ℎ=√32(4ℎ2−ℎ3)，V′(ℎ)=√32(8ℎ−3ℎ2)=−3√32ℎ(ℎ−83)，当2≤ℎ＜83时，V′（h）＞0，V（h）单调递增，当83＜ℎ≤3时，V′（h）＜0，V（h）单调递减，所以V(ℎ)max=V(83)=128√327，因为V(2)=4√3，V(3)=9√32，V(2)＜V(3)，所以V(ℎ)min=4√3，因此该正六棱锥的体积的取值范围是[4√3，128√327]，故选：B．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列命题为真命题的是（ ） A ．过任意三点有且仅有一个平面B ．m 为直线，α，β为平面，若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βC ．m ，n 为直线，α为平面，若m ∥α，n ∥α，则m ∥nD ．m ，n 为直线，α为平面，若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n解：对于A ，过不共线的任意三点有且仅有一个平面，所以选项A 错误；对于B ，m 为直线，α，β为平面，若m ⊥α，m ⊥β，根据直线与平面垂直的性质定理知，α∥β，选项B 正确；对于C ，m ，n 为直线，α为平面，若m ∥α，n ∥α，不能得出m ∥n ，也可能是m 、n 相交或异面，选项C 错误；对于D ，m ，n 为直线，α为平面，若m ⊥α，n ⊥α，根据直线与平面垂直的性质定理知，m ∥n ，选项D 正确． 故选：BD ．10．关于函数f （x ）＝x 3﹣3x +1，下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）有两个极值点 B ．f （x ）的图像关于原点对称C ．f （x ）有三个零点D ．2sin10°是f （x ）的一个零点解：因为f （0）＝1≠0，所以B 错；由f ′（x ）＝3x 2﹣3＝0得x ＝±1，且f ′（x ）＜0⇒﹣1＜x ＜1；f ′（x ）＞0⇒x ＜﹣1或x ＞1， 所以f （x ）的极大值为f （﹣1）＝3＞0，极小值f （1）＝﹣1＜0， 所以f （x ）有两个极值点，且有三个零点，所以AC 对； 由三倍角公式sin3α＝3sin α﹣4sin 3α得：f （2sin10°）＝﹣2（3sin10°﹣4sin 310°）+1＝﹣2sin30+1＝0， 所以2sin10°是f （x ）的零点，D 对． 故选：ACD ．11．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）过点（1，2），M 是C 准线l 上的一点，过M 作C 的切线MA 、MB 与抛物线分别切于A 、B ，则（ ） A ．C 的准线方程是x ＝﹣1 B ．|MF |2＝|F A ||FB | C ．|AM |2＝|AF ||AB |D ．MA →⋅MB →≠0解：将A （1，2）代入抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）中可得p ＝2， 则C 为y 2＝4x ，故C 的准线方程为x ＝﹣1，故A 正确，设点M （﹣1，m ），先考虑m ≠0情况，则过点M 作C 的切线MA ，MB ，切线斜率必存在且不等于0， 设切线方程为y ＝k （x +1）+m ，k ≠0，联立y 2＝4x ，可得y 2−4k y +4mk +4＝0， 则Δ=16k2−16（m k+1）＝0，即k 2+mk ﹣1＝0，△′＝m 2+4＞0，设MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1+k 2＝﹣m ，k 1k 2＝﹣1， 即MA ⊥MB ，即MA →•MB →=0，故D 错误；设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），不妨设A 在第一象限，B 在第四象限，则y 1＝2√x 1，y 2＝﹣2√x 2，由于y 2＝4x ，对于曲线在第一象限内部分有y ＝2√x ，y ′=1√x ，则k 1=1√x ，对于曲线在第四象限内部分有y ＝﹣2√x ，∴y =1√x ，则k 2=1x ，由于k 1k 2＝﹣1，故√x ×（1x ）＝﹣1，∴x 1x 2＝1，则（y 1y 2）2＝16x 1x 2＝16，∴y 1y 2＝﹣4，由于m ≠﹣0，故AB 斜率一定存在，设直线AB 的方程为y ＝μx +v ，联立y 2＝4x ，得y 2−4μy +4v μ+4＝0，故y 1+y 2=4μ，y 1y 2=4vμ=−4，∴μ＝﹣v ， 则直线AB 的方程为y ＝μx ﹣μ＝μ（x ﹣1），即直线AB 过定点F （1，0）， 所以A ，F ，B 三点共线，由于k AB ＝μ=4y 1+y 2=42√x −2√x =21k 1+1k2=2k 1k 2k 1+k 2=−2−m =2m ，k MF =−m2，故k AB •k MF ＝﹣1，∴MF ⊥AB ， 在Rt △AMB 中，△MBF ∽△AFM ∽△AMB ， 则|MF |2＝|F A ||FB |，|AM |2＝|AF ||AB |，当m ＝0时，即M （﹣1，0），A ，B 关于x 轴对称， k 1+k 2＝0，k 1k 2＝﹣1，MA →•MB →=0成立；此时AB 斜率不存在，不妨取k 1＝1，k 2＝﹣1，则MA ：y ＝x +1，MB ：y ＝﹣x ﹣1， 联立y 2＝4x ，解得A （1，2），B （1，﹣2），则AB 过定点（1，0），且MF ⊥AB ， 则|MF |2＝|F A ||FB |，|AM |2＝|AF ||AB |成立， 综合上述，BC 正确． 故选：ABC ．12．直线l ：y ＝ax 与y ＝e x 的图像交于A （x 1，y 2）、B （x 2，y 2）两点（x 1＜x 2），y ＝e x 在A 、B 两点的切线交于C ，AB 的中点为D ，则（ ） A ．a ≤eB ．点C 的横坐标大于1 C ．|x 1﹣x 2|＜√(a +2−e)2−4D ．CD 的斜率大于0解：对于A ：因为直线y ＝ax 与曲线y ＝e x 交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点（x 1＜x 2），ax ＝e x，即a =e xx 有两个不同的正根，即直线y ＝a 与曲线y =e xx 有两个不同的交点，因为（e xx）′=e x (x−1)x 2，所以y =e xx 在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以函数y =e xx的最小值为e ，又x →0，y →+∞；x →+∞，y →+∞， 所以a ＞e ，故A 错误； 对于B ：由题意可得ax 1＝e x 1，ax 2＝ex 2（x 1＜x 2），所以0＜x 1＜1＜x 2， g （x ）=e xx ，设h （x ）＝g （x ）﹣g （2﹣x ），（0＜x ＜1）， h ′（x ）＝（e x x −e 2−x 2−x）′＝（x ﹣1）[e x x 2−e 2−x (2−x)2]，令m（x）=e xx2，m′（x）=e x(x−2)x3，所以m（x）在（0，2）单调递减，因为x∈（0，1），2﹣x∈（1，2），所以m（x）＞m（2﹣x），所以h′（x）＜0，所以h（x）在（0，1）上单调减，所以h（x）＞h（1）＝0，g（x）＞g（2﹣x），因为0＜x1＜1＜x2，所以g（x1）＞g（2﹣x1），又g（x1）＝g（x2），所以g（x2）＞g（2﹣x1），因为x2∈（2，+∞），2﹣x1∈（2，+∞），所以x2＞2﹣x1，x1+x2＞2，直线AC的方程：y﹣e x1=e x1（x﹣x1），直线BC的方程为y﹣e x2=e x2（x﹣x2），联立得x=x1e x1−x2e x2e x1−e x2−1=ax12−ax22ax1−ax2−1＝x1+x2﹣1＞1，故B正确；对于C：设s（x）＝e x﹣ax﹣[x2﹣（a+2﹣e）x+1]，s′（x）＝e x﹣2x+2﹣e，s″（x）＝e x﹣2＝0，得x＝ln2，所以在（0，ln2）上，s″（x）＜0，s′（x）单调递减，在（ln2，+∞）上，s″（x）＞0，s′（x）单调递增，且s′（1）＝0，s′（x）min＝s′（ln2）＜s′（1）＝0，因为s′（0）＞0，设m∈（0，1），x∈（0，m）时，s′（x）＞0，s（x）单调递增，x∈（m，1）时，s′（x）＜0，s（x）单调递减，x∈（1，+∞）时，s′（x）＞0，s（x）单调递增，又因为s（0）＝s（1）＝0，所以s（x）min＝0，所以s（x）＝e x﹣ax﹣[x2﹣（a+2﹣e）x+1]≥0，所以e x ﹣ax ≥x 2﹣（a +2﹣e ）x +1，因为x 1，x 2是方程e x ﹣ax ＝0的两个根，x 3，x 4是方程x 2﹣（a +2﹣e ）x +1＝0的两个根， 所以|x 1﹣x 2|＜|x 3﹣x 4|=√(a +2−e)2−4，故C 正确； 对于D ：因为D （x 1+x 22，a(x 1+x 2)2），C （x 1+x 2﹣1，ax 1x 2），所以k CD =a[2x 1x 2−(x 1+x 2)]x 1+x 2−2， 因为a ＞e ，x 1+x 2＞2，0＜x 1＜1＜x 2， 设f （x ）＝e x ﹣ax −a2（x ﹣lna ）2， f ′（x ）＝e x ﹣ax ﹣a （x ﹣lna ）， 所以f ″（x ）＝e x ﹣a ，所以当x ∈（0，lna ）时，f ″（x ）＜0，f ′（x ）＞f ′（lna ）＝0， 当x ∈（lna ，+∞）时，f ″（x ）＞0，f ′（lna ）＝0，所以在（0，+∞）上，f ′（x ）≥0，f （x ）在（0，+∞）上单调递增，且f （lna ）＝0， 所以当x ∈（0，lna ）时，e x ﹣ax −a2（x ﹣lna ）2＜0，e x ﹣ax ＜a2（x ﹣lna ）2， 所以x ∈（lna ，+∞）时，e x ﹣ax −a2（x ﹣lna ）2＞0，e x ﹣ax ＞a2（x ﹣lna ）2， 因为0＜x 1＜1＜x 2，a2（x 1﹣lna ）2＞a 2（x 2﹣lna ）2，lna ﹣x 1＞x 2﹣lna ，所以x 1+x 2＜2lna ， 所以a 2x 1x 2＝e x 1+x 2＜a 2，x 1x 2＜1，又x 1+x 2＞2，所以k CD ＜0，故D 错误， 故选：BC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（x 2+y +3）6中x 4y 的系数为 1620 （用数字作答）．解：（x 2+y +3）6＝[x 2+（y +3）]6，其展开式为C 6r (x 2)6−r(y +3)r ，依题意，2（6﹣r ）＝4，解得r ＝4，又（y +3）4的展开式为C 4k y 4−k 3k ，依题意，4﹣k ＝1，解得k ＝3， 所以（x 2+y +3）6中x 4y 的系数为C 64×C 43×33=1620．故答案为：1620．14．写出一个满足下列条件的双曲线的方程 x 2−y 23=1（答案不唯一） ． ①焦点在x 轴上②渐近线与圆（x ﹣2）2+y 2＝3有交点 解：设双曲线的渐近线方程为：bx ±ay ＝0， 渐近线与圆（x ﹣2）2+y 2＝3有交点， 可得√a 2+b 2≤√3，可得b ≤√3a ，不妨取a ＝1，b =√3，所以满足条件的双曲线方程可以为：x 2−y 23=1．故答案为：x 2−y 23=1（答案不唯一）．15．已知函数f （x ）、g （x ），g （x ）的图像关于x ＝1对称，且f （x ）﹣g （x ）＝1，f （x +1）+g （2﹣x ）＝1，g （1）＝3，则∑ 23i=1f(x)= 26 ． 解：因为g （x ）的图像关于x ＝1对称， 所以g （1+x ）＝g （1﹣x ）， 即有g （x ）＝g （2﹣x ）， 因为f （x +1）+g （2﹣x ）＝1， 所以f （x +1）+g （x ）＝1， 又因此f （x ）﹣g （x ）＝1， 所以f （x +1）+f （x ）＝2， 所以f （x +2）+f （x +1）＝2， 所以f （x ）＝f （x +2）， 所以f （x ）的周期为2，又因为g （1）＝3，f （x ）﹣g （x ）＝1， 所以f （1）＝g （1）+1＝4，又因为f （x +1）+g （2﹣x ）＝1， 所以f （2）+g （1）＝1， 所以f （2）＝1﹣g （1）＝﹣2， 所以f （1）+f （2）＝4﹣2＝2，所以∑ 23i=1f(x)=f （1）+f （2）+…+f （23）＝11[f （1）+f （2）]+f （1）＝11×2+4＝26． 故答案为：26．16．已知x 2+y 2＝4，则√2−y +√5−2x 的最小值为 √5 ． 解：设t =√2−y +√5−2x =√1−y +1+√4−2x +1 =√x 2+y 24−y +1+√x 2+y 2−2x +1 =12√x 2+(y −2)2+√(x −1)2+y 2，设圆x 2+y 2＝4上任意点P （x ，y ），M （0，2），N （1，0）， 则t =12|PM |+|PN |，设Q （n ，0），且|PN |=12|PQ |， ∴|PN||PQ|=12，又|ON||OP|=12，∴|PN||PQ|=|ON||OP|=12，又∠PON ＝∠QOP ，∴△PON ∽△QOP ， ∴|OP||OQ|=|ON||OP|=12，又|OP |＝2，∴|OQ |＝4，∴Q （4，0）又M （0，2），∴t min =12(|PM|+|PQ|)min =12|MQ |=12√12+4=√5． 故答案为：√5．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤. 17．（10分）已知数列{a n }满足S n =n(a 1+a n )2，其中S n 是{a n }的前n 项和． （1）求证：{a n }是等差数列；（2）若a 1＝1，a 2＝2，求b n =2n(1−a n )a n a n+1的前n 项和T n ．（1）证明：因为数列{a n }满足S n =n(a 1+a n )2， 当n ≥2时，S n−1=(n−1)(a 1+a n−1)2，两式子相减得（n ﹣2）a n ＝﹣a 1+（n ﹣1）a n ﹣1，① 因此可得（n ﹣1）a n +1＝﹣a 1+na n ，②①②相减得：（2n ﹣2）a n ＝（n ﹣1）a n +1+（n ﹣1）a n ﹣1， 由于n ﹣1＞0，所以2a n ＝a n +1+a n ﹣1， 所以{a n }是等差数列；（2）解：由（1）知{a n }是等差数列，a 1＝1，a 2＝2，所以a n ＝n ，因此b n =2n(1−a n )a n a n+1=2n(1−n)n(n+1)=2nn −2n+1n+1，所以T n =(211−222)+(222−233)+⋯+(2nn −2n+1n+1)=2−2n+1n+1．18．（12分）在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2R ﹣a =a(b 2+c 2−a 2)a 2+c 2−b2，其中R 是三角形外接圆半径，且A 不为直角． （1）若B =π6，求A 的大小； （2）求2a 2−c 2b 2的最小值．解：（1）由余弦定理可得2R ﹣a =a⋅2bccosA2accosB，可得2R cos B ﹣a cos B ＝b cos A ，再由正弦定理可得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， 所以cos B ＝sin A cos B +sin B cos A ＝sin （A +B ）， 在三角形中，可得A +B =π2−B ，而B =π6， 可得A =π6；（2）由（1）可得cos B ＝sin （A +B ）＝sin C ，在三角形中，可得sin （π2−B ）＝sin C 或sin （π2+B ）＝sin C ，即π2−B ＝C ，即B +C =π2，可得A =π2，与A 角不是直角矛盾，或π2+B ＝C ，可得A ＝π﹣B ﹣C =π2−2B ， 所以2a 2−c 2b 2=2sin 2A−sin 2Csin 2B=2cos 22B−sin 2C sin 2B2(1−2sin 2B)2−cos 2Bsin 2B=8sin 4B−7sin 2B+1sin 2B=8sin 2B +1sin 2B −7≥2√8sin 2B ⋅1sin 2B−7＝4√2−7，当且仅当8sin 4B ＝1时取等号，即sin B =√242时取等号， 所以2a 2−c 2b 2的最小值为4√2−7．19．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面P AB ⊥平面ABCD ，O 为AB 中点，AC 与OD 交于点E ，△P AB 的重心为G ． （1）求证：EG ∥平面PCD ；（2）若P A ＝PB ＝5，AB ＝8，BC ＝4，求二面角C ﹣GE ﹣D 的正弦值．证明：（1）∵底面ABCD 为矩形，O 为AB 的中点，∴△AEO ∽△CED ， 可得OE ED=OA DC=12，又△P AB 的重心为G ，∴OG GP=12，则OE ED=OG GP，得EG ∥PD ，∵PD ⊂平面PDC ，EG ⊄平面PDC ，∴EG ∥平面PCD ； 解：（2）∵P A ＝PB ，O 为AB 中点，∴PO ⊥AB ， ∵平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，∴PO ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则C （4，4，0），D （4，﹣4，0），G （0，0，1），E （43，−43，0），EC →=(83，163，0)，EG →=(−43，43，1)，ED →=(83，−83，0)，设平面CEG 与平面DEG 的一个法向量分别为m →=(x 1，y 1，z 1)，n →=(x 2，y 2，z 2)， 由{m →⋅EC →=83x 1+163y 1=0m →⋅EG →=−43x 1+43y 1+z 1=0，取y 1＝﹣1，得m →=(2，−1，4)；由{n →⋅EG →=−43x 2+43y 2+z 2=0n →⋅ED →=83x 2−83y 2=0，取y 2＝1，得n →=(1，1，0)．∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →||n →|=12×21=√4242．∴二面角C ﹣GE ﹣D 的正弦值为√1−(√4242)2=√172242．20．（12分）某工厂生产一批零件，其直径X 满足正态分布X ～N （10，0.25）（单位：mm ）（1）现随机抽取15个零件进行检测，认为直径在（8.5，11.5）之内的产品为合格品，若样品中有次品则可以认定生产过程中存在问题．求上述事件发生的概率，并说明这一标准的合理性．（已知：P （μ﹣3σ＜X ＜μ+3σ）≈0.9973，0.997315≈0.9603）（2）若在上述检测中发现了问题，另抽取100个零件进一步检测，则这100个零件中的次品数最可能是多少？解：（1）因为X ～N （10，0.52），所以P （8.5＜X ＜11.5）＝0.9973．所以随机抽取15个零件进行检测，至少有1个次品的概率为1﹣0.997315≈0.0397， 如果生产状态正常，至少有一个次品的概率约为0.0397，该事件是小概率事件， 因此一旦发生这种状况，就有理由认定生产过程中存在问题，即这一标准是合理的． （2）次品的概率为1﹣0.9973＝0.0027，抽取100个零件进一步检测，设次品数为Y ，则Y ～B （100，p ），其中p ＝0.0027，故P （Y ＝k ）=C 100kp k （1﹣p ）100﹣k ，设次品数最可能是k 件，则{C 100k p k (1−p)100−k ≥C 100k−1p k−1(1−p)101−k C 100k p k (1−p)100−k ≥C 100k+1p k+1(1−p)99−k，解得101p ﹣1≤k ≤101p （k ∈N *）． 因为p ＝0.0027，所以10lp ＝0.2727，101p ﹣1＝﹣0.7273，故k ＝0． 故这100个零件中的次品数最可能是0．21．（12分）已知A （﹣2，0），B （2，0），P （x ，y ）满足P A 与PB 的斜率之积为−34． （1）求P 的轨迹C 的方程．（2）l 1，l 2是过C 内同一点D 的两条直线，l 1交椭圆于MN ，l 2交椭圆于EF ，且MNEF 共圆，求这两条直线斜率之和．解：（1）因为P （x ，y ）满足P A 与PB 的斜率之积为−34， 所以有y x+2⋅yx−2=−34(x ≠±2)⇒x 24+y 23=1(x ≠±2)；（2）设D （x 0，y 0），因为D 在C 内，所以x 024+y 023＜1⇒3x 02+4y 02＜12，设l 1的参数方程为：{x =x 0+tcosαy =y 0+tsinα，α为直线l 1的倾斜角，把{x =x 0+tcosαy =y 0+tsinα代入x 24+y 23=1(x ≠±2)中，得(3cos 2α+4sin 2α)t 2+t(6x 0cosα+8y 0sinα)+3x 02+4y 02−12=0，|t 1t 2|=|3x 02+4y 02−12|3cos 2α+4sin 2α=12−(3x 02+4y 02)3cos 2α+4sin 2α，即|DM|⋅|DM|=|t 1t 2|=12−(3x 02+4y 02)3cos 2α+4sin 2α，设直线l 2的倾斜角为β，上式用β代α， 同理可得|DE|⋅|DF|=|t 3t 4|=12−(3x 02+4y 02)3cos 2β+4sin 2β，因为l 1，l 2是过C 内同一点D 的两条直线，l 1交椭圆于MN ，l 2交椭圆于EF ，且MNEF 共圆， 所以由圆的相交弦定理可知：|DM|⋅|DN|=|DE|⋅|DF|⇒12−(3x 02+4y 02)3cos 2α+4sin 2α=12−(3x 02+4y 02)3cos 2β+4sin 2β，因为3x 02+4y 02＜12，所以有3cos 2α+4sin 2α＝3cos 2β+4sin 2β⇒3+sin 2α＝3+sin 2β⇒sin 2α＝sin 2β，因为α，β是直线的倾斜角，所以sin α≥0，sin β≥0， 所以sin 2α＝sin 2β⇒sin α＝sin β，因为l 1，l 2是过C 内同一点D 的两条直线，所以α≠β，因此由sin α＝sin β⇒α+β＝π⇒α＝π﹣β⇒tan α＝tan （π﹣β）⇒tan α＝﹣tan β， 设l 1，l 2的斜率为k 1，k 2，因此有k 1＝﹣k 2⇒k 1+k 2＝0， 即这两条直线斜率之和为0．22．（12分）已知函数f （x ）＝（π﹣x ）sin x ，x ∈[0，π]． （1）求f （x ）在（0，0）处的切线方程；（2）若f （x ）＝a 在定义域上有两解x 1，x 2，求证： ①a ＜2；②|x 1﹣x 2|≤π﹣a −aπ．解：（1）因为f ′（x ）＝﹣sin x +（π﹣x ）cos x ，所以f ′（0）＝π，即f （x ）在（0，0）处的切线方程为y ＝πx ；证明：（2）①易得f （0）＝0，f （π）＝0，因为f （x ）＝（π﹣x ）sin x ＝（π﹣x ）sin （π﹣x ）， 设t ＝π﹣x ∈[0，π]，所以f （x ）＝φ（t ）＝t sin t ，所以f （x ）＝a 在定义域上有两解x 1，x 2等价于φ（t ）＝a 在[0，π]上有两个不同的根t 1，t 2， 即直线y ＝a 与函数φ（t ）在[0，π]上的图象有两个交点，因为φ′（t ）＝sin t +t cos t ，易知当t ∈(0，π2]时，φ′（t ）＞0，当t ∈(π2，π]时， 设h （t ）＝φ′（t ）＝sin t +t cos t ，h ′（t ）＝2cos t ﹣t sin t ＜0， 而φ′(π2)=sin π2+π2cos π2=1＞0，φ′(π)=sinπ+πcosπ=−π＜0， 所以存在唯一的t 0∈(π2，π]，使得φ′（t 0）＝0，即sin t 0+t 0cos t 0＝0，故当t ∈(π2，t 0)时，φ′（t ）＞0，φ（t ）单调递增，t ∈（t 0，π）时，φ′（t ）＜0，φ（t ）单调递减， 综上可知，当t ∈（0，t 0）时，φ′（t ）＞0，φ（t ）单调递增，t ∈（t 0，π）时，φ′（t ）＜0，φ（t ）单调递减，f max ＝φ（t 0）＝t 0sin t 0，所以0≤a ＜f max ； 设F(x)=sinx −2x，x ∈[2，π)，F′(x)=cosx +2x 2=x 2cosx+2x2，设H （x ）＝x 2cos x +2， 所以H ′（x ）＝2x cos x ﹣x 2sin x ＝x （2cos x ﹣x sin x ）＜0， 因为π3＜2＜π，所以−1＜cos2＜−12，H(2)=4cos2+2＜0，从而，F （x ）在x ∈[2，π）上递减，故F （x ）≤F （2）＝sin2﹣1＜0，即sinx ＜2x， 当x ∈(π2，2)，显然sinx ＜2x ，故x ∈（0，π）时，sinx ＜2x 恒成立， 故f max ＝φ（t 0）＝t 0sin t 0＜2，即方程f （x ）＝a 在定义域上有两解x 1，x 2时，0≤a ＜2，原命题得证； ②由①知，设t ＝π﹣x ∈[0，π]，所以f （x ）＝φ（t ）＝t sin t ，所以f （x ）＝a 在定义域上有两解x 1，x 2等价于φ（t ）＝a 在[0，π]上有两个不同的根t 1，t 2， 不妨设t 1＜t 2，且0≤a ＜2，所以|x 1﹣x 2|＝|t 1﹣t 2|＝t 2﹣t 1，设s （t ）＝t sin t +π（t ﹣π），t ∈[0，π]，所以s ′（t ）＝t sin t +π（t ﹣π）＝sin t +t cos t +π≥π﹣t ≥0，所以，s （t ）≤s （π）＝0，即t sin t ≤﹣π（t ﹣π），又t sin t ≤t ，所以，a =t 1sint 1≤t 1⇒t 1≥a ，a =t 2sint 2≤−π(t 2−π)⇒t 2≤π−a π， 即t 2−t 1≤π−aπ−a ， 所以|x 1−x 2|≤π−a −aπ，原不等式得证．。
河北省衡水二中2021届高三数学下学期二模试题 理(含解析).doc
河北省衡水二中2021届高三数学下学期二模试题 理（含解析）第Ⅰ卷一、选择题1.已知集合{}10A x x =+>，{}1B x Z x =∈≤，则A B =（ ）A. {}10x x -≤≤ B. {}11x x -<≤C. {}0,1D. {}1【答案】C 【解析】 【分析】先确定集合A 中元素，然后根据交集定义求解． 【详解】由题意{|1}A x x =>-，∴{0,1}A B =，故选：C ．【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题． 2.设31iz i =+（i 为虚数单位），则z =（ ）A.2C.12D. 2【答案】A 【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求模即可． 详解：∵复数()()()311,11112i i i iiz i i i i ⋅+-+====+--⋅+ 122i z -+∴== ．． 故选A.点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.风雨桥是侗族最具特色建筑之一.风雨桥由桥、塔、亭组成.其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形.如图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影.其正六边形的边长计算方法如下：110001A B A B B B =-，221112A B A B B B =-，332223A B A B B B =-，……，111n n n n n n A B A B B B ---=-，其中1231201n n B B B B B B B B -=⋅⋅⋅===，*N n ∈.根据每层边长间的规律.建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料.所用材料中.横向梁所用木料与正六边形的周长有关.某一风雨桥亭、塔共5层，若008A B m =，010.5B B m =.则这五层正六边形的周长总和为( )A. 35mB. 45mC. 210mD. 270m【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的定义，结合已知可以判断数列{}(,15)n n n N n A B *∈≤≤是等差数列，最后利用等差数列前n 项和公式进行求解即可.【详解】由已知得：111n n n n n n A B A B B B ---=-，12312010.5n n B B B B B B B B -=⋅⋅⋅====，因此数列{}(,15)n n n N n A B *∈≤≤是以1008a A B ==为首项，公差为0.5d =-的等差数列，设数列{}(,15)n n n N n A B *∈≤≤前5项和为5S ，因此有511155458540.53522S a d m =+⨯⨯⋅=⨯-⨯⨯⨯=， 所以这五层正六边形的周长总和为56635210S m =⨯=. 故选：C【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了等差数列的定义，考查了等差数列前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力.4.已知直线,m n 和平面,,αβγ，有如下四个命题：①若,//m m αβ⊥，则αβ⊥；②若,//,m m n n αβ⊥⊂，则αβ⊥；③若,,n n m αβα⊥⊥⊥，则m β⊥；④若,m m n α⊥⊥，则//n α.其中真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据面面垂直，线面垂直以及线面平行的判定，即可容易判断. 【详解】①若,//m m αβ⊥，则一定有αβ⊥，故①正确；②若,//,m m n n αβ⊥⊂，则n α⊥，又因为n β⊂，故可得αβ⊥，故②正确； ③若,n n αβ⊥⊥，故可得α//β，又因为m α⊥，故可得m β⊥，故③正确； ④若,m m n α⊥⊥，则//n α或n α⊂，故④错误； 综上所述，正确的有①②③. 故选：C【点睛】本题考查线面垂直，面面垂直的判定以及线面平行的判定，属综合基础题. 5.下图可能是下列哪个函数的图像（）A. ()221x x y x -=- B. ()2ln 1x x y x -=-C. 2ln 1y x x =- D. ()tan ln 1y x x =⋅+【答案】C 【解析】 【分析】可考虑用排除法，从函数的定义域和特殊点的函数的正负着手.【详解】由图像可知，()tan ln 1y x x =⋅+在02π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，故可排除D ；当13x =时，A 、B 选项中的0,y >C 选项中的0,y < 故选C.【点睛】本题考查函数的定义域和特殊点的函数值辨别图像，属于基础题.6.已知单位向量PA ，PB ，PC 满足2330PA PB PC ++=，则AB AC ⋅的值为（ ） A.89B.23C.59D. 1【答案】A 【解析】 【分析】先化简已知的等式，化简时把系数相同的放在同一侧，通过向量间的线性关系，得出各个点的位置，解三角形，最后可求数量积. 【详解】∵2330PA PB PC ++=， ∴23PB PC PA +=-， 如图，设BC 中点为D ，则()1123PD PB PC PA =+=-，且1PA PB PC ===， ∴,,P A D 三点共线，PD BC ⊥，1133PD PC ==，43AD =，∴ABC 为等腰三角形， ∴22223CD PC PD =-=，22263AB AC AD CD ==+=，∴221cos cos 22cos 1213AD BAC CAD CAD AC ⎛⎫⎪∠=∠=∠-=-=⎪⎝⎭， ∴18cos 3339AB AC AB AC BAC ⋅=∠=⨯=. 故选：A.【点睛】本题考查向量的线性运算，通过线性运算的法则和性质判断出三角形形状，并解三角形，考查推理论证能力和运算求解能力，是中档题.7.疫情防控期间，衡水市某医院从3名呼吸科、3名重症科和3名急诊科医生中选派5人组成一个医疗专家小组跟本市其他医院的援助医疗队一同支援武汉，则该院呼吸科、重症科和急诊科医生都至少有1人的概率为（ ） A.89B.23C.67D.13【答案】C 【解析】 【分析】先求出总的选法59C ，三科医生都至少有1人的选派法可按所选医生个数分两类：311,221，由此可得选派方法数，从而计算出概率，【详解】从9人中选5人可59126C =种选法，三科医生都至少有1人，则按人数分为311,221，选派方法数为11111223333333108C C C C C C C +=，∴所求概率为10861267P ==． 故选：C ．【点睛】本题考查古典概型，计算三科医生都至少有1人的选派方法数，按选派人数分类讨论是解题关键．8.条形码是由一组规则排列的条、空及其对应的代码组成，用来表示一定的信息，我们通常见的条形码是“13EAN -”通用代码，它是由从左到右排列的13个数字（用1a ，2a ，…，13a 表示）组成，这些数字分别表示前缀部分、制造厂代码、商品代码和校验码，其中13a 是校验码，用来校验前12个数字代码的正确性．图（1）是计算第13位校验码的程序框图，框图中符号[]m 表示不超过m 的最大整数（例如[]365.7365=）．现有一条形码如图（2）所示（3977107202551a ），其中第3个数被污损，那么这个被污损数字3a 是（ ）A. 9B. 8C. 7D. 6【答案】B 【解析】 【分析】根据程序框图可得到S 和T 分别表示前12项中的偶数项之和与奇数项之和，从而得到23S =，322T a =+，进而得到391M a =+；根据检验码可知9N =；根据[]30,9a ∈且3a N ∈可知[]3919.1,1010a +∈，令[)30,9a ∈可构造出方程求得3a ；令39a =可验证出不合题意，从而得到结果.【详解】由程序框图可知，S 表示的结果为前12项中所有偶数项之和；T 表示的结果为前12项中所有奇数项之和，则：77022523S =+++++=，339170522T a a =+++++=+333232291M a a ∴=⨯++=+131a =，9N ∴=，即：33919110910a a +⎡⎤+-⨯=⎢⎥⎣⎦[]30,9a ∈且3a N ∈ []3919.1,1010a +∴∈ ∴当[)30,9a ∈时，391910a +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，此时：391909a +-=，解得：38a = 当39a =时，3911010a +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，此时：39110009a +-=≠ 39a ∴≠ 综上所述：38a = 本题正确选项：B【点睛】本题考查根据程序框图的功能补全数据的问题，关键是能够读懂程序框图中每一步的功能，从而准确构造出方程求得结果.9.下图统计了截止到2021年年底中国电动汽车充电桩细分产品占比及保有量情况，关于这5次统计，下列说法正确的是（ ）①私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是2021年②公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是25．7万台 ③公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为23．12万台 ④从2021年开始，我国私人类电动汽车充电桩占比均超过50% A. ②④ B. ①②③C. ①④D. ④【答案】D 【解析】 【分析】根据保有量情况图表计算增长率，平均数，确定中位数可判断①②③，从占比情况图表知 易判断④．【详解】从保有量情况图表知私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是202X 年，①错； 公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是21.4万台，②错； 公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为4.914.121.43044.723.025++++=万台，③错；从占比情况图表知，从2021年开始，我国私人类电动汽车充电桩占比均超过50%，④正确． 故选：D ．【点睛】本题考查统计图表，正确认识统计图表是解题关键．属于基础题．10.已知抛物线C 的方程为24y x =，F 为其焦点，过F 的直线与抛物线C 交于,A B 两点（点A 在x 轴上方），点(1,2)P -，连接AP 交y 轴于M ，过M 作//MD PF 交AB 于D ，若5FA DA =，则AB 斜率为( )A. 43-B. 34-C. 12-D. 2【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线方程，求得焦点坐标和准线方程，作1AA 垂直于准线交准线于1A ，画出几何关系图形.由//MD PF 且5FA DA =，可得15AF AM AD AP ==，结合抛物线定义可知115A x AM AP AA ==求得点A 的横坐标，代入抛物线方程可求得纵坐标.由两点间斜率公式可得直线AF 斜率，即为AB 的斜率.【详解】抛物线C 的方程为24y x =，F 为其焦点，过F 的直线与抛物线C 交于,A B 两点（点A 在x 轴上方），点(1,2)P -，连接AP 交y 轴于M ， 则()1,0F ，准线方程为1x =-.根据题意画出几何关系如下图所示：作1AA 垂直于准线交准线于1A .//MD PF 且5FA DA =，则15AF AM AD AP ==， 1AA 垂直于准线交准线于1A ，则115A x AM AP AA ==， 即115A A x x =+，解得14A x =， 代入抛物线方程可得1,14A ⎛⎫⎪⎝⎭， AB 斜率，即为AF 的斜率，所以1041314k -==--. 故选：A.【点睛】本题考查了抛物线标准方程及其几何性质的综合应用，平行线分线段成比例性质应用，直线与抛物线位置关系的综合应用，属于中档题.11.一副三角板由一块有一个内角为60︒的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，90B F ∠=∠=︒，60A ∠=︒，45D ∠=︒，BC DE =．现将两块三角板拼接在一起，取BC中点O 与AC 中点M ，则下列直线与平面OFM 所成的角不为定值的是（ ）A. ACB. AFC. BFD. CF【答案】B 【解析】 【分析】通过证明BC ⊥平面OMF ，可以找到,,BF CF AC 与平面OFM 所成的角，计算可知都为定值，由此可得答案.【详解】因为,O M 为中点，所以//OM AB ，所以OM BC ⊥， 又OF BC ⊥，且OM OF O ⋂=， 所以BC ⊥平面OMF ，所以,BF CF 与平面OFM 所成的角分别为BFO ∠和CFO ∠，它们相等，等于45°， 根据直线与平面所成角的定义知，AC 与平面OFM 所成的角为60CMO A ∠=∠= 故只有AF 与平面OFM 所成的角不为定值. 故选：B【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定定理，考查了直线与平面所成角，属于基础题. 12.若函数()()12ln xf x a x e x x=-++在()0,2上存在两个极值点，则a 的取值范围是（ ） A. 21,4e ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ B. 1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C. 2111,,4e e e ⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. ()211,1,4e e ⎛⎫--⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】由导函数的连续性，问题转化为()0f x '=在(0,2)上有两个不等实根，其中一根为1x =，由在(0,2)上有不为1的另一根，采取分离参数法可得参数范围． 【详解】由题意可知()()21110xf x x aex x=+-'=-有两个不等根．方程 ()211x x x ae x -=--，()0,2x ∈，有一根1x =．()0,2x ∈中，另一根满足方程21xx e a=-（1x ≠），令()2xh x x e =，()0,2x ∈，()()202xxx ex h '=+>，所以()h x 在()0,2x ∈上单调递增．所以()11h e a -≠=，1(0)(2)h h a<-< 即()()210,,4e e e a -∈⋃．所以2111,,4a e e e ⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：C ．【点睛】本题考查由函数极值点个数求参数范围，问题首先转化为方程()0f x '=在(0,2)有两个不等式实根，再转化为方程21x x e a=-（1x ≠）有一个实根，从而转化为求函数的值域，考查了等价转化思想．第Ⅱ卷二、填空题13.已知双曲线C ：22221(0,0x y a b a b-=>>）的离心率为2曲线C 的焦距为_____________． 【答案】4. 【解析】 【分析】利用双曲线的性质及条件列a,b,c 的方程组，求出c 可得.【详解】因为双曲线的离心率为2，焦点(,0)c 到渐近线0bx ay -= ，所以2222ac a b =⎪==+⎪⎩,解得1,2b a c ===，所以双曲线的焦距为4.故答案为4.【点睛】本题考查双曲线的几何性质，注意隐含条件222c a b =+，考查运算求解能力，属于基础题.14.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11222n n a a a n -++⋯+=，则5S =____．【答案】3116【解析】 【分析】由题意可得数列的首项为11a =，在11222n n a a a n -++⋯+=中将n 换为1n -，两方程相减可得数列{}n a 的通项公式，再由等比数列求和公式计算可得所求和． 【详解】解：11222n n a a a n -+++=，可得1n =时，11a = ，2n ≥时，2121221n n a a a n --++⋯+=-，又11222n n a a a n -++⋯+=，两式相减可得121n n a -=，即112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，上式对1n =也成立，可得数列{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列， 可得551131211612S -==-． 故答案为3116．【点睛】本题主要考查了赋值法及等比数列的前n 项和公式，考查计算能力及分析能力，属于15.如图，在等边三角形ABC 中， AB =6.动点P 从点A 出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A 点，记P 运动的路程为x ，点P 到此三角形中心O 距离的平方为f (x )，给出下列三个结论：①函数f (x )的最大值为12；②函数f (x )的图象的对称轴方程为x =9； ③关于x 的方程()3f x kx =+最多有5个实数根. 其中，所有正确结论的序号是____. 【答案】①② 【解析】 【分析】写出P 分别在,,AB BC CA 上运动时的函数解析式2()f x OP =，利用分段函数图象可解.【详解】P 分别在AB 上运动时的函数解析式22()3(3),(06)f x OP x x ==+-≤≤， P 分别在BC 上运动时的函数解析式22()3(9),(612)f x OP x x ==+-≤≤， P 分别在CA 上运动时的函数解析式22()3(12),(1218)f x OP x x ==+-≤≤，22223(3),(06)()||3(9),(612)3(12),(1218)x x f x OP x x x x ⎧+-≤≤⎪==+-≤≤⎨⎪+-≤≤⎩，由图象知：正确的是①②.故答案为：①②【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解.16.在三棱锥A BCD -中，60BAC BDC ∠=∠=︒，二面角A BC D --的余弦值为13-，当三棱锥A BCD -的体积的最大值为4______． 【答案】6π 【解析】 【分析】设球心O 在平面ABC 内的射影为1O ，在平面BCD 内的射影为2O ，取BC 中点M ， 则二面角A BC D --的平面角为12O MO ∠，点A 在截面圆1O 上运动，点D 在截面圆2O 上运动，由图知，当AB AC =，BD CD =时，三棱锥A BCD -的体积最大，此时ABC 与BDC 是等边三角形，由此计算出BC ，求得球半径，得面积．【详解】如图所示，设球心O 在平面ABC 内的射影为1O ，在平面BCD 内的射影为2O 则二面角A BC D --的平面角为12O MO ∠（其中M 是BC 中点），点A 在截面圆1O 上运动，点D 在截面圆2O 上运动，由图知，当AB AC =，BD CD =时，BCD 面积最大，A 到平面BCD 距离最大，三棱锥A BCD -的体积最大，此时ABC 与BDC 是等边三角形，1,,A O M 共线，2,,D O M 线，设BC a =，则AM DM ==，2BCD S =△．1cos 3AMD ∠=-，则sin AMD ∠=，()sin sin 3h AM AMD AM AMD a π=-∠=∠=，313124A BCD DBC V S h a -=⋅==△解得a =32DM =，21DO =，212O M =，2AMD θ∠=，则21cos 22cos 13θθ=-=-，3cos θ=，∴sin 6θ=，tan 2θ=， ∴222tan 2OO O M θ==，球O 的半径222262R DO OO =+=， 所求外接球的表面积为246S R ππ==． 故答案为：6π．【点睛】本题考查求球的表面积，解题时作出图形，通过点的运动得出三棱锥体积最大时，,A D 点位置，从而通过体积计算出棱长，半径，表面积．考查了学生的空间想象能力，运算求解能力．属于中档题． 三、解答题17.如图，在ABC ∆中，sin sin ABC DBC ∠=∠，且AD DC =（I ）求BDAB的值； ()II 若4,10BC AC ==，且BE BCED DC=，求cos BCD ∠及CED S ∆.【答案】（Ⅰ）12（Ⅱ）3cos 5BCD ∠=,409CEDS =【解析】 【分析】（Ⅰ）利用1sin 21sin 2BDC ABCBD BC DBCS CD S AC AB BC ABC ∆∆⨯⨯⨯∠==⨯⨯⨯∠可得BD AB的值. （Ⅱ）在ABC ∆和BCD ∆中利用余弦定理构建关于,,cos AB BD BCD ∠的方程组，结合（Ⅰ）中结果可求cos BCD ∠的值，求出sin BCD ∠后可计算BCD S ∆从而得到CDE S ∆. 【详解】（Ⅰ）在ABC ∆中，12AD DC AC ==， ∴112122BDC ABCDC hS DC S AC AC h ∆∆⋅===⋅，其中h 为AC 边上的高. 又sin sin ABC DBC ∠=∠，∴1sin 1212sin 2BDC ABCBD BC DBCS BD S AB AB BC ABC ∆∆⋅⋅∠===⋅⋅∠ （Ⅱ）在ABC ∆中，2222cos AB BC AC BC AC BCD =+-⋅⋅∠224102410cos 11680cos BCD BCD =+-⨯⨯⨯∠=-∠ ……①在BDC ∆中，2222cos BD BC DC BC DC BCD =+-⋅⋅∠2245245cos 4140cos BCD BCD =+-⨯⨯⨯∠=-∠ ……②而12BD AB =，即224AB BD =， 所以，11680cos 441-40cos BCD BCD -∠=∠（），解得3cos 5BCD ∠=， 4sin 5BCD ∴∠=，1·sin 82BDC S BC CD BCD ∆∴=⋅∠= . 又因为45BE BC ED DC ==， ∴ 1sin 4219sin 2BEC BDC BE BC DBC S BE S BD BD BC DBC ∆∆⋅∠===⋅∠，∴59 CEDBDCSS∆=，∴540899CEDS∆=⨯=.【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.另外，注意在解三角形中，我们有时需要找出不同三角形之间相关联的边或角，由它们沟通分散在不同三角形的几何量．18.如图，四棱锥P ABCD-的底面ABCD是平行四边形，连接BD，其中DA DP=，BA BP=.（1）求证：PA BD⊥；（2）若DA DP⊥，060ABP∠=，2BA BP BD===，求二面角D PC B--的正弦值. 【答案】(1)见解析；(2)3sin7α=【解析】试题分析：.（1）取AP中点M，易证PA⊥面DMB，所以PA BD⊥，（2）以,,MP MB MD 所在直线分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，平面DPC的法向量(13,1,3n=--，设平面PCB的法向量2n=3,1,3，121212•1cos,7n nn nn n==，即43sin7α=.试题解析：（1）证明：取AP中点M，连,DM BM，∵DA DP=，BA BP=∴PA DM⊥，PA BM⊥，∵DM BM M⋂=∴PA ⊥面DMB ，又∵BD ⊂面DMB ，∴PA BD ⊥（2）∵DA DP =，BA BP =，DA DP ⊥，060ABP ∠=∴DAP ∆是等腰三角形，ABP ∆是等边三角形，∵2AB PB BD ===，∴1DM =，3BM =.∴222BD MB MD =+，∴MD MB ⊥以,,MP MB MD 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则()1,0,0A -，()3,0B ，()1,0,0P ，()0,0,1D从而得()1,0,1DP =-，()1,3,0DC AB ==，()1,3,0BP =-，()1,0,1BC AD == 设平面DPC 的法向量()1111,,n x y z =则11•0•0n DP n DC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即1111030x z x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，∴()13,1,3n =--， 设平面PCB 的法向量()2212,,n x y z =，由22•0•0n BC n BP ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得2222030x z x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，∴(23,1,3n =-∴121212•1cos ,7n n n n n n ==设二面角D PC B --为α，∴21243sin 1cos ,7n n α=-=点睛：利用法向量求解空间二面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.19.已知()11,0F -，21,0F 为椭圆()2222:10x ya b a bΓ+=>>的左右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，1F AB 的周长为8. （1）求椭圆Γ的标准方程；（2）已知()()000,0P x y y ≠是直线:4l x =上一动点，若PA ，PB 与x 轴分别交于点(),0M M x ，(),0N N x ，则1111M N x x +--是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）是定值；定值为23【解析】 【分析】（1）由条件得出1c =，48a =即可（2）设直线AB 的方程为1x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，()04,P y ，联立直线与椭圆的方程消元，然后韦达定理可得122634t y y t -+=+，122934y y t -=+，然后算出101014,0x y y M y y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，202014,0x y y N y y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，然后算出112=113M N x x +--即可 【详解】（1）依题意1c =，由椭圆的定义可得1F AB 的周长为48a =，即2a =，所以b ==故椭圆的方程为22143x y +=.（2）设直线AB 的方程为1x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，()04,P y ，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690t y ty ++-=，显然>0∆，则122634t y y t -+=+，122934y y t -=+，直线()1001:44y y PA y y x x --=⋅--，令0y =得101014x y y x y y -=-， 即101014,0x y y M y y ⎛⎫-⎪-⎝⎭，同理202014,0x y y N y y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，()()01110101011010101011334311M y x y y ty x y y y ty y x y y y y y y y y ------=-===----，同理：()200231N y ty x y y --=-，于是：()120010*******111121133M N y y y y y y y x x ty y y ty y y ⎡⎤+⎛⎫--+=+=-⎢⎥ ⎪----⎝⎭⎣⎦ 2000026112234229333334t t t y y ty ty t -⎡⎤⎢⎥⎛⎫+=⋅-=-=⎢⎥ ⎪---⎝⎭⎢⎥+⎣⎦所以112113M N x x +=--为定值. 【点睛】涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法. 20.已知函数()()22ln 1f x x x a x=+-.（1）证明：1ln 1x x≥-+； （2）（i ）证明：当102a <<时，对任意0,1a x a ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭，总有()0f x >； （ii ）讨论函数()f x 的零点个数.【答案】（1）证明见解析（2）（i ）证明见解析（ii ）当0a ≤或12a =时，函数()f x 有唯一零点；当0a >且12a ≠时，函数()f x 有两个零点 【解析】 【分析】（1）()()1ln 10g x x x x=+->，用导数法求得最小值大于零即可。
河北省衡水中学高三第二次模拟考试数学理答案
2012～2013学年度高三年级二模考试数学试卷（理科）4.【考察目标】考察向量的概念、向量的几何意义，以及平面向量的线性运算和向量的数量积的运算及其几何意义，考察学生运用平面向量处理有关长度、角度问题的能力，考察数形结合的数学思想。
【解题思路】 解法1：11cos 21222=++=++=+θab bab a b a ，21cos -=θ解法2：数形结合方法 【答案】B5.【考察目标】本题考查双曲线的概念，标准方程和几何性质，综合考察运算求解能力。
【解题思路】 解法1：设4,1942222=+=-b a ba ，则舍）或(16122==a a 2==a c e 解法2：()0,2),0,2(21F F -,根据双曲线的定义知22=a ，222==ace 【答案】A 6．【考察目标】考察学生运用二项式定理解决与二项展开式系数有关问题的能力【解题思路】解：因为(x ＋1x)n 展开式的二项式系数之和为64，即为2n=64,n=6,那么展开式中常数项就是x 的幂指数为0的项，即为20. 【答案】B7.【考察目标】考察分类计数原理和分步计数原理，以及运用其解决简单的实际问题的能力，设置A 为四元素集，减少分类的类型，把两个原理的考察放在了中心位置。
【解题思路】 解法1：当00=x 时，则3,2,1,0,0==m n 都可以，共4种；当10=x 时，则,01=--n m 即1=+n m ，则1,0==n m ，0,1==n m ，共2种； 当20=x 时，则,024=--n m 即42=+n m ，则,2,1==n m 0,2==n m ，共2种 当30=x 时，则039=--n m 即93=+n m ，则3,2==n m ，共1种；【答案】C8.【考察目标】考查定积分的基本思想和微积分的基本定理的含义，考察考生运用数学知识解决实际问题的能力。
【解题思路】.以O 为圆心，以OD 为y 轴建立直角坐标系，抛物线的方程为22x y =，10111()223S x dx =-=⎰.【答案】C9.【考察目标】考察三角函数的图像和性质，了解三角函数的周期性。
河北省衡水市高三下学期仿真考试(二)数学(理)试题Word版含答案
理科数学试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合{}042>-=x x x M ，{}8<<=x m x N ，若{}n x x N M <<=6 ，则=+n mA 、10B 、12C 、14D 、16（ ）2、设i 是虚数单位，则2|(1)|i i+-=（ ） A 、2 B 、22 C 、3 D 、103、某小区有1000户，各户每月的用电量近似服从正态分布(300,100)N ，则用电量在320度以上的户数估计约为（ ） 【参考数据：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，(22)95.44%P μσξμσ-<<+=(33)99.74%P μσξμσ-<<+=】A 、17B 、23C 、34D 、464、给出下列结论：①命题“1sin ,≠∈∀x R x ”的否定是“1sin ,=∈∃x R x ”；②命题“6πα=”是“21sin =α”的充分不必要条件；③数列}{n a 满足“n n a a 31=+”是“数列}{n a 为等比数列”的充分不必要条件。
其中正确的是（ ） A 、①② B 、①③ C 、②③ D 、①②③5、若数列{n a }满足11n a +－1=nd a （d N n ,*∈为常数），则称数列{n a }为调和数列．已知数列{1nx }为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则516x x +等于（ ）A 、10B 、20C 、30D 、40 6、在边长为1的正方形ABCD 中，且BE AD μ=，CF AB μ=-，则AE AF ⋅=（ ）A 、－1B 、1C 、22μ-D 、21μ- 7、我国古代数学名著《九章算术》中的更相减损法的思路与下面的程序框图相似．执行该程序框图，若输入的,a b 分别为14，18，则输出的a 等于（ ）A 、2B 、4C 、6D 、8 8、函数2|log |1()2x f x x x=--的大致图像为（ ）9、不等式组2503020x y x y x y +-⎧⎪-⎨⎪-⎩≤≥≤的解集记为D ，11y z x +=+，有下面四个命题：p 1：(,)x y D ∀∈，1z ≥；p 2：(,)x y D ∃∈，1z ≥；p 3：(,)x y D ∀∈，2z ≤；p 4：(,)x y D ∃∈，0z <。
河北省衡水市高三数学二模试卷(理科) Word版含解析
2017年河北省衡水市武邑中学高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求，将正确答案填涂在答题卡上．．1．设集合A={x|x＞2}，若m=lne e（e为自然对数底），则（）A．∅∈A B．m∉A C．m∈A D．A⊆{x|x＞m}2．已知i是虚数单位，（1+2i）z1=﹣1+3i，，z1、z2在复平面上对应的点分别为A、B，则|AB|=（）A．31 B．33 C． D．3．下列命题，真命题是（）A．a﹣b=0的充要条件是=1 B．∀x∈R，e x＞x eC．∃x0∈R，|x0|≤0 D．若p∧q为假，则p∨q为假4．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|=10，则抛物线方程是（）A．y2=4x B．y2=2x C．y2=8x D．y2=6x5．已知某个几何体的正视图、侧视图、俯视图均为右图的形状，根据图中标出的尺寸（图中大正方形边长为2a），可得这个几何体的体积是（）A．B．7a3C．D．5a36．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=，则=（）A．B．C．4 D．57．给出下列四个结论：（1）如图Rt△ABC中，|AC|=2，∠B=90°，∠C=30°．D是斜边AC上的点，|CD|=|CB|．以B为起点任作一条射线BE交AC于E点，则E点落在线段CD上的概率是；（2）设某大学的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的线性回归方程为=0.85x ﹣85.71，则若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg；（3）为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，应该用独立性检验最有说服力；（4）已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）=0.79，则P（ξ≤﹣2）=0.21；其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．如图所示程序框图中，输出S=（）A．45 B．﹣55 C．﹣66 D．669．若直线y=3x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）10．已知向量是单位向量，，若•=0，且|﹣|+|﹣2|=，则|+2|的取值范围是（）A．[1，3]B．[]C．[，]D．[，3]11．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为（）A．πB．2πC．3πD．4π12．已知a，b∈R，且e x+1≥ax+b对x∈R恒成立，则ab的最大值是（）A．e3B．e3C．e3D．e3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知双曲线的左、右焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0），若直线y=2x与双曲线的一个交点的横坐标为c，则双曲线的离心率为．14．已知一组正数x1，x2，x3的方差s2=（x12+x22+x32﹣12），则数据x1+1，x2+1，x3+1的平均数为．15．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有种．（以数字作答）16．已知函数f（x）对一切实数a、b满足f（a+b）=f（a）•f（b），f（1）=2，（且f（x）恒非零），数列{a n}的通项a n=（n∈N+），则数列{a n}的前n项和=．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知△ABC是斜三角形，内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c．若csinA=acosC．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，求△ABC的面积．18．2014 年12 月28 日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价．具体如下表．（不考虑公交卡折扣情况）已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过 5 元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭出站的乘客中随机选出120 人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．（Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选 1 人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5 元的概率；（Ⅱ）从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2 人，记x 为这2人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）小李乘坐地铁从A 地到陶然亭的票价是5 元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是 5 元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s 公里，试写出s 的取值范围．（只需写出结论）19．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且B1A=B1C=B1B=AC=2．（Ⅰ）求证：平面B1AC⊥底面ABC；（Ⅱ）求B1C与平面ABB1A1所成角的正弦值；（Ⅲ）若E，F分别是线段A1C1，C1C的中点，问在线段B1F上是否存在点P，使得EP∥平面ABB1A1．20．已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点K，过点K作圆C：（x﹣2）2+y2=1的两条切线，切点为M，N，|MN|=（1）求抛物线E的方程（2）设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且=（其中O 为坐标原点）①求证：直线AB必过定点，并求出该定点Q的坐标②过点Q作AB的垂线与抛物线交于G、D两点，求四边形AGBD面积的最小值．21．已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+（e﹣1）2y﹣e=0．其中e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）如果当x≠0时，f（2x）＜，求实数k的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．（1）求证：FG∥AC；（2）若CG=1，CD=4．求的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x|+a．（1）若a=0，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若方程f（x）=x有三个不同的解，求实数a的取值范围．2017年河北省衡水市武邑中学高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求，将正确答案填涂在答题卡上．．1．设集合A={x|x＞2}，若m=lne e（e为自然对数底），则（）A．∅∈A B．m∉A C．m∈A D．A⊆{x|x＞m}【考点】元素与集合关系的判断．【分析】先求出m的值，从而判断出m属于结合A．【解答】解：∵m=elne=e，∴m∈A，故选：C．2．已知i是虚数单位，（1+2i）z1=﹣1+3i，，z1、z2在复平面上对应的点分别为A、B，则|AB|=（）A．31 B．33 C． D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简z1，z2，求出z1、z2在复平面上对应的点的坐标A、B，则答案可求．【解答】解：∵（1+2i）z1=﹣1+3i，∴z1===1+i，∵，∴z2=1+（2i）5=1+32i，∴z1、z2在复平面上对应的点的坐标分别为A（1，1）、B（1，32），则|AB|=．故选：A．3．下列命题，真命题是（）A．a﹣b=0的充要条件是=1 B．∀x∈R，e x＞x eC．∃x0∈R，|x0|≤0 D．若p∧q为假，则p∨q为假【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．由=1⇒a﹣b=0，反之不成立（b=0时），即可判断出正误；B．取x=e时，e x=x e，即可判断出正误；C．取x0=0，则|x0|≤0成立，即可判断出正误；D．若p∧q为假，则p与q至少有一个为假命题，因此p∨q不一定为假，即可判断出正误．【解答】解：A．由=1⇒a﹣b=0，反之不成立（b=0时），因此a﹣b=0是=1的必要不充分条件；B．取x=e时，e x=x e，因此不正确；C．取x0=0，则|x0|≤0成立，正确；D．若p∧q为假，则p与q至少有一个为假命题，因此p∨q不一定为假，不正确．故选：C．4．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|=10，则抛物线方程是（）A．y2=4x B．y2=2x C．y2=8x D．y2=6x【考点】抛物线的简单性质；抛物线的标准方程．【分析】利用抛物线的定义可得，|PQ|=|PF|+|QF|=x1++x2 +，把线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|=10代入可得P值，然后求解抛物线方程．【解答】解：设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，由抛物线的定义可知，|PQ|=|PF|+|QF|=x1++x2 +=（x1+x2）+p，线段PQ中点的横坐标为3，又|PQ|=10，∴10=6+p，可得p=4∴抛物线方程为y2=8x．故选：C．5．已知某个几何体的正视图、侧视图、俯视图均为右图的形状，根据图中标出的尺寸（图中大正方形边长为2a），可得这个几何体的体积是（）A．B．7a3C．D．5a3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个棱长为2a的正方体，切去了八个角所得组合体，求出每个角的体积，相减可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个棱长为2a的正方体，切去了八个角所得组合体，每个角都是三条侧棱两两垂直且长度为a的棱锥，故组合体的体积V=（2a）3﹣8×（×a2×a）=，故选：A6．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=，则=（）A．B．C．4 D．5【考点】等差数列的前n项和．【分析】首先利用等差数列的通项公式求出首相和公差的关系，进一步对等差数列的前n项和公式进行应用．【解答】解：等差数列{a n}中，设首相为a1，公差为d，由于：，则：，解得：，=，故选：D7．给出下列四个结论：（1）如图Rt△ABC中，|AC|=2，∠B=90°，∠C=30°．D是斜边AC上的点，|CD|=|CB|．以B为起点任作一条射线BE交AC于E点，则E点落在线段CD上的概率是；（2）设某大学的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的线性回归方程为=0.85x ﹣85.71，则若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg；（3）为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，应该用独立性检验最有说服力；（4）已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）=0.79，则P（ξ≤﹣2）=0.21；其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】两个变量的线性相关；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】对四个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意，|CD|=|CB|，∠C=30°，所以∠CBD=75°，所以E点落在线段CD上的概率是=，故不正确；（2）设某大学的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的线性回归方程为=0.85x ﹣85.71，则若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，正确；（3）为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，应该用独立性检验最有说服力，正确；（4）已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），图象关于x=1对称，因为P（ξ≤4）=0.79，则P（ξ≤﹣2）=0.21，正确；故正确结论的个数为3，故选：C．8．如图所示程序框图中，输出S=（）A．45 B．﹣55 C．﹣66 D．66【考点】循环结构．【分析】根据程序框图的流程，可判断程序的功能是求S=12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n+1•n2，判断程序运行终止时的n值，计算可得答案．【解答】解：由程序框图知，第一次运行T=（﹣1）2•12=1，S=0+1=1，n=1+1=2；第二次运行T=（﹣1）3•22=﹣4，S=1﹣4=﹣3，n=2+1=3；第三次运行T=（﹣1）4•32=9，S=1﹣4+9=6，n=3+1=4；…直到n=9+1=10时，满足条件n＞9，运行终止，此时T=（﹣1）10•92，S=1﹣4+9﹣16+…+92﹣102=1+（2+3）+（4+5）+（6+7）+（8+9）﹣100=×9﹣100=﹣55．故选：B．9．若直线y=3x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）【考点】简单线性规划．【分析】由题意作出其平面区域，先解出点A的坐标，再结合图象写出实数m 的取值范围即可．【解答】解：由题意作出其平面区域，结合图象可得，，解得，A（﹣1，﹣3）；故m＞﹣1；故选A．10．已知向量是单位向量，，若•=0，且|﹣|+|﹣2|=，则|+2|的取值范围是（）A．[1，3]B．[]C．[，]D．[，3]【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意将所用的向量放到坐标系中用坐标表示，借助于两点之间的距离公式以及几何意义解答本题．【解答】解：因为•=0，且|﹣|+|﹣2|=，设单位向量=（1，0），=（0，1），=（x，y），则=（x﹣1，y），=（x，y﹣2），则，即（x，y）到A（1，0）和B（0，2）的距离和为，即表示点（1，0）和（0，2）之间的线段，|+2|=表示（﹣2，0）到线段AB上点的距离，最小值是点（﹣2，0）到直线2x+y﹣2=0的距离所以|+2|min=，最大值为（﹣2，0）到（1，0）的距离是3，所以|+2|的取值范围是[，3]；故选：D．11．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为（）A．πB．2πC．3πD．4π【考点】球内接多面体．【分析】过圆锥的旋转轴作轴截面，得△ABC及其内切圆⊙O1和外切圆⊙O2，且两圆同圆心，即△ABC的内心与外心重合，易得△ABC为正三角形，由题意⊙O1的半径为r=1，进而求出圆锥的底面半径和高，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：过圆锥的旋转轴作轴截面，得△ABC及其内切圆⊙O1和外切圆⊙O2，且两圆同圆心，即△ABC的内心与外心重合，易得△ABC为正三角形，由题意⊙O1的半径为r=1，∴△ABC的边长为2，∴圆锥的底面半径为，高为3，∴V=．故选：C．12．已知a，b∈R，且e x+1≥ax+b对x∈R恒成立，则ab的最大值是（）A．e3B．e3C．e3D．e3【考点】函数恒成立问题．【分析】分a＜0、a=0、a＞0三种情况讨论，而a＜0、a=0两种情况容易验证是否恒成立，在当a＞0时，构造函数f（x）=ae x+1﹣a2x来研究不等式e x+1≥ax+b 恒成立的问题，求导易得．【解答】解：若a＜0，由于一次函数y=ax+b单调递减，不能满足且e x+1≥ax+b 对x∈R恒成立，则a≥0．若a=0，则ab=0．若a＞0，由e x+1≥ax+b得b≤e x+1﹣ax，则ab≤ae x+1﹣a2x．设函数f（x）=ae x+1﹣a2x，∴f′（x）=ae x+1﹣a2=a（e x+1﹣a），令f′（x）=0得e x+1﹣a=0，解得x=lna﹣1，∵x＜lna﹣1时，x+1＜lna，则e x+1＜a，则e x+1﹣a＜0，∴f′（x）＜0，∴函数f （x）递减；同理，x＞lna﹣1时，f′（x）＞0，∴函数f（x）递增；∴当x=lna﹣1时，函数取最小值，f（x）的最小值为f（lna﹣1）=2a2﹣a2lna．设g（a）=2a2﹣a2lna（a＞0），g′（a）=a（3﹣2lna）（a＞0），由g′（a）=0得a=，不难得到时，g′（a）＞0；时，g′（a）＜0；∴函数g（a）先增后减，∴g（a）的最大值为，即ab的最大值是，此时．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知双曲线的左、右焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0），若直线y=2x与双曲线的一个交点的横坐标为c，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出直线与双曲线的交点坐标，代入双曲线方程，转化求解双曲线的离心率即可．【解答】解：直线y=2x与双曲线的一个交点的横坐标为c，可得交点坐标为：（c，2c），代入双曲线方程可得：，可得e2﹣1=，e＞1，可得e2﹣1=2e，解得e=．故答案为：；14．已知一组正数x1，x2，x3的方差s2=（x12+x22+x32﹣12），则数据x1+1，x2+1，x3+1的平均数为3．【考点】众数、中位数、平均数．【分析】根据方差的公式求得原数据的平均数后，求得新数据的平均数即可．【解答】解：由方差的计算公式可得：S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]= [x12+x22+…+x n2﹣2（x1+x2+…+x n）•+n2]= [x12+x22+…+x n2﹣2n2+n2]= [x12+x22+…+x n2]﹣2=（x12++x32﹣12）可得平均数=2．对于数据x1+1，x2+1，x3+1的平均数是2+1=3，故答案为：3．15．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有40种．（以数字作答）【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、Grace不参与该项任务，需一位小孩在大本营陪同，则其余4人被均分成两组，一组去远处，一组去近处；②、Grace 参与该项任务，则从其余5人中选2人去近处，剩余3人搜寻远处，分别求出每种情况的方案数目；由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、Grace不参与该项任务，在其余5人中，任选1人在大本营陪同，有C51=5种情况，剩余4人，平均分成2组，有=3种分组方法，在将2组对应2个地点，有A22=2种情况，此时一共有5×3×2=30种方案；②、Grace参与该项任务，在其余5人中，任选2人与Grace一起搜寻近处投掷点的食物，有C52=10种情况，而剩余3人搜寻远处投掷点的食物，有1种情况，则此时一共有10×1=10种方案；则一共有30+10=40种符合题意的分配方案；故答案为：40．16．已知函数f（x）对一切实数a、b满足f（a+b）=f（a）•f（b），f（1）=2，（且f（x）恒非零），数列{a n}的通项a n=（n∈N+），则数列{a n}的前n项和=4n．【考点】数列的求和．【分析】函数f（x）对一切实数a、b满足f（a+b）=f（a）•f（b），f（1）=2，可得f（n+1）=f（n）f（1）=2f（n），利用等比数列的通项公式可得f（n），即可得出a n及其前n项和．【解答】解：∵函数f（x）对一切实数a、b满足f（a+b）=f（a）•f（b），f（1）=2，∴f（n+1）=f（n）f（1）=2f（n），∴数列{f（n）}是等比数列，首项为2，公比为2．∴f（n）=2n．∴数列{a n}的通项a n===4．∴数列{a n}的前n项和=4n．故答案为：4n．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知△ABC是斜三角形，内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c．若csinA=acosC．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（I）由，利用正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC，于是，即可得出；（II）由sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，sinC=sin（A+B），可得sinB=5sinA，由正弦定理可知b=5a，由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，联立解出，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（I）∵，由正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC，sinA≠0，∴，得，∵C∈（0，π），∴．（II）∵sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，sinC=sin（A+B），∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=5sin2A，∴2sinBcosA=2×5sinAcosA，∵△ABC为斜三角形，∴cosA≠0，∴sinB=5sinA，由正弦定理可知b=5a （1）由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，∴，（2）由（1）（2）解得a=5，b=1，∴．18．2014 年12 月28 日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价．具体如下表．（不考虑公交卡折扣情况）已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过 5 元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭出站的乘客中随机选出120 人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．（Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选 1 人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5 元的概率；（Ⅱ）从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2 人，记x 为这2人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）小李乘坐地铁从A 地到陶然亭的票价是5 元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是 5 元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s 公里，试写出s 的取值范围．（只需写出结论）【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）根据统计图求出对应的人数和频率即可得到结论．（Ⅱ）求出随机变量以及对应的概率，即可得到结论．（Ⅲ）根据条件直接写出结论．【解答】解：（Ⅰ）设事件A：“此人乘坐地铁的票价小于5 元”，由统计图可知，得120人中票价为3元，4元，5元的人数分别为60，40，20人，所以票价小于5的有60+40=100人，故此人乘坐地铁的票价小于5 元的频率为=则乘坐地铁的票价小于5 元的概率P（A）=；（Ⅱ）X的可能值为6，7，8，9，10．统计图可知，得120人中票价为3元，4元，5元的频率分别为=，=，=，以频率当概率，则P（X=6）==，P（X=7）=，P（X=8）==，P（X=9）==，P（X=10）==，则X的分布列为：则EX=6×+7×=．（Ⅲ）s∈（20，22]．19．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且B1A=B1C=B1B=AC=2．（Ⅰ）求证：平面B1AC⊥底面ABC；（Ⅱ）求B1C与平面ABB1A1所成角的正弦值；（Ⅲ）若E，F分别是线段A1C1，C1C的中点，问在线段B1F上是否存在点P，使得EP∥平面ABB1A1．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取AC中点O，连结B1O，BO，则△B1OA≌△B1OB，从而B1O⊥OB，进而B1O⊥平面ABC，由此能证明平面B1AC⊥底面ABC．（Ⅱ）由AB=BC，O为AC中点，得BO⊥AC，以OB、OC、OB1分别为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出B1C与平面ABB1A1所成角的正弦值．（Ⅲ）求出A1C1中点E（﹣1，0，），CC1中点F（﹣，1，），设=，求出P（﹣，λ，﹣），由=0，能求出当P是线段B1F中点时，EP∥平面ABB1A1．【解答】解：（Ⅰ）证明：取AC中点O，连结B1O，BO，∵AB⊥BC，∴OB=OA=OC，∵AB1=B1C，∴B1O⊥AC，又∵B1B=AB1，∴△B1OA≌△B1OB，∴B1O⊥OB，∵AC∩OB=O，∴B1O⊥平面ABC，又∵B1O⊂平面B1AC，∴平面B1AC⊥底面ABC．（Ⅱ）解：由已知得AB=BC，O为AC中点，∴BO⊥AC，以OB、OC、OB1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），B1（0，0，），C（0，1，0），A（0，﹣1，0），=（1，1，0），=（﹣1，0，），=（0，1，﹣），设平面ABB1A1的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（），设B1C与平面ABB1A1所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|==．∴B1C与平面ABB1A1所成角的正弦值为．（Ⅲ）解：===（﹣1，1，），∴C1（﹣1，1，），同理得A（﹣1，﹣1，），∴A1C1中点E（﹣1，0，），CC1中点F（﹣，1，），设=，则=λ（﹣），∴P（﹣，λ，﹣），∴=（﹣，λ，﹣），∵==0，∴，∴当P是线段B1F中点时，EP∥平面ABB1A1．20．已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点K，过点K作圆C：（x﹣2）2+y2=1的两条切线，切点为M，N，|MN|=（1）求抛物线E的方程（2）设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且=（其中O 为坐标原点）①求证：直线AB必过定点，并求出该定点Q的坐标②过点Q作AB的垂线与抛物线交于G、D两点，求四边形AGBD面积的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）求得K的坐标，圆的圆心和半径，运用对称性可得MR的长，由勾股定理和锐角的三角函数，可得CK=3，再由点到直线的距离公式即可求得p=2，进而得到抛物线方程；（2）①设出直线方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，化简整理，即可得到定点Q；②运用弦长公式和四边形的面积公式，换元整理，结合基本不等式，即可求得最小值．【解答】（1）解：由已知可得K（﹣，0），圆C：（x﹣2）2+y2=1的圆心C（2，0），半径r=1．设MN与x轴交于R，由圆的对称性可得|MR|=，于是|CR|===，即有|CK|====3，即有2+=3，解得p=2，则抛物线E的方程为y2=4x；（2）①证明：设直线AB：x=my+t，A（，y1），B（，y2），联立抛物线方程可得y2﹣4my﹣4t=0，y1+y2=4m，y1y2=﹣4t，=，即有（）2+y1y2=，解得y1y2=﹣18或2（舍去），即﹣4t=﹣18，解得t=．则有AB恒过定点Q（，0）；②解：由①可得|AB|=|y2﹣y1|=•，同理|GD|=|y2﹣y1|=•，则四边形AGBD面积S=|AB|•|GD|=•••=4，令m2+=μ（μ≥2），则S=4是关于μ的增函数，则当μ=2时，S取得最小值，且为88．当且仅当m=±1时，四边形AGBD面积的最小值为88．21．已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+（e﹣1）2y﹣e=0．其中e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）如果当x≠0时，f（2x）＜，求实数k的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求得切线的斜率，由切线方程可得切点和切线的斜率，解方程可得a=b=1；（Ⅱ）f（x）=，即有f（2x）＜⇔ [xe x﹣（e2x﹣1）]＜0．令函数g（x）=xe x﹣（e2x﹣1）（x∈R），求出导数，对k讨论，①设k≤0，②设k≥1，③设0＜k＜1，分析导数的符号，判断函数的单调性，即可得到k的范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=，由函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+（e﹣1）2y﹣e=0，知1+（e﹣1）2 f（1）﹣e=0，即f（1）==，f′（1）===﹣．解得a=b=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=，所以f（2x）＜⇔＜⇔﹣＜0，⇔ [xe x﹣（e2x﹣1）]＜0．令函数g（x）=xe x﹣（e2x﹣1）（x∈R），则g′（x）=e x+xe x﹣（1﹣k）e2x=e x（1+x﹣（1﹣k）e x）．①设k≤0，当x≠0时，由y=1+x﹣（1﹣k）e x．求得导数y′=1﹣（1﹣k）e x，求得最大值，可得y＜0，即有1+x＜（1﹣k）e x，即有g′（x）＜0，g（x）在R单调递减．而g（0）=0，故当x∈（﹣∞，0）时，g（x）＞0，可得g（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，g（x）＜0，可得g（x）＜0，从而x≠0时，f（2x）＜．②设k≥1，存在x0＜0，当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x0，+∞）单调递增．而g（0）=0，当x＞0时，g（x）＞0，可得g （x）＞0，与题设矛盾，③设0＜k＜1，存在x1＜0＜x2，当x1＜x＜x2时，g′（x）＞0，g（x）在（x1，x2）单调递增，而g（0）=0，故当0＜x＜x2时，g（x）＞0，可得g（x）＞0，与题设矛盾．综上可得，k的取值范围是（﹣∞，0]．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．（1）求证：FG∥AC；（2）若CG=1，CD=4．求的值．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．【分析】（1）由切割线定理得AB2=AD•AE，从而AD•AE=AC2，进而△ADC∽△ACE，由此能证明FG∥AC．（2）由题意可得：G，E，D，F四点共圆，从而△CGF∽△CDE，由此能求出．【解答】（1）证明：∵AB为切线，AC为割线，∴AB2=AD•AE，又∵AC=AB，∴AD•AE=AC2．∴，又∵∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△ACE，∴∠ADC=∠ACE，又∵∠ADC=∠EGF，∴∠EGF=∠ACE，∴FG∥AC．（2）解：由题意可得：G，E，D，F四点共圆，∴∠CGF=∠CDE，∠CFG=∠CED．∴△CGF∽△CDE，∴=．又∵CG=1，CD=4，∴=4．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）圆C的参数方程为，通过三角函数的平方关系式消去参数θ，得到普通方程．通过x=ρcosθ，y=ρsinθ，得到圆C的极坐标方程．（2）求出点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2=0的距离，表示出△ABM的面积，通过两角和的正弦函数，结合绝对值的几何意义，求解△ABM面积的最大值．【解答】解：（1）圆C的参数方程为（θ为参数）所以普通方程为（x﹣3）2+（y+4）2=4．，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得（ρcosθ﹣3）2+（ρsinθ+4）2=4，化简可得圆C的极坐标方程：ρ2﹣6ρcosθ+8ρsinθ+21=0．（2）点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2=0的距离为△ABM的面积所以△ABM面积的最大值为[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x|+a．（1）若a=0，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若方程f（x）=x有三个不同的解，求实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）若a=0，求得函数f（x）的解析式，根据解析式分别求得f（x）≥0的解集；（2）u（x）=|x+1|﹣|x|，做出y=u（x）和y=x的图象，方程f（x）=x恰有三个不同的实根，转化成y=u（x）与y=x的图象始终有3个交点，根据函数图象即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=0时，，所以当x＜﹣1时，f（x）=﹣1＜0，不合题意；当﹣1≤x＜0时，f（x）=2x+1≥0，解得；当x≥0时，f（x）=1＞0，符合题意．综上可得，f（x）≥0的解集为．（2）设u（x）=|x+1|﹣|x|，y=u（x）的图象和y=x的图象如图所示．易知y=u（x）的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位），与y=x的图象始终有3个交点，从而﹣1＜a＜0．所以实数a的取值范围为（﹣1，0）．2017年4月10日。
2020年河北省衡水二中高考数学二模试卷(理科) (解析版)
2020年河北省衡水二中高考数学二模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.设集合A={x∈Z|x2−2x−3<0}，B={−1,0，1，2}，则A∩B=()A. {0,1}B. {0,1,2}C. {−1,0,1}D. {−1,0}2.i是虚数单位，z=4i则|z|=()1−iA. 2B. 2√2C. 4D. 4√23.风雨桥是侗族最具特色的建筑之一．风雨桥由桥、塔、亭组成，其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形．下图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影，其正六边形的边长计算方法如下：A1B1=A0B0−B0B1，A2B2=A1B1−B1B2，A3B3=A2B2−B2B3，…，A n B n=A n−1B n−1−B n−1B n，其中B n−1B n=⋯=B2B3=B1B2=B0B1，n∈N∗.根据每层边长间的规律，建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料．所用材料中，横向梁所用木料与正六边形的周长有关．某一风雨桥亭、塔共5层，若A0B0=8m，B0B1=0.5m，则这五层正六边形的周长总和为()A. 35mB. 45mC. 210mD. 270m4.已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α⊥β的一个充分条件是()A. l⊂α，m⊂β，且l⊥mB. l⊂α，m⊂β，n⊂β，且l⊥m，l⊥nC. m⊂α，n⊂β，且l⊥m，l⊥nD. l⊂α，l//m，且m⊥β5.下图可能是下列哪个函数的图象()A. y=x2(x−2)x−1B. y=x(x−2)ln|x−1|C. y=x2ln|x−1|D. y=tanx⋅ln(x+1)6.已知a⃗，b⃗ 为单位向量，其夹角为120°，则(a⃗−2b⃗ )⋅b⃗ =()A. −52B. −32C. −1D. 27.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么至多有一名女生参加的概率是()A. 110B. 310C. 35D. 9108.条形码是由一组规则排列的条、空及其对应的代码组成，用来表示一定的信息，我们通常见的条形码是“EAN−13”通用代码，它是由从左到右排列的13个数字(用a1，a2，…，a13表示)组成，这些数字分别表示前缀部分、制造厂代码、商品代码和校验码，其中a13是校验码，用来校验前12个数字代码的正确性．图(1)是计算第13位校验码的程序框图，框图中符号[m]表示不超过m的最大整数(例如[365.8]=365).现有一条形码如图(2)所示(97a37107202551)，其中第3个数被污损，那么这个被污损数字a3是A. 9B. 8C. 7D. 69.如图是1990年−2017年我国劳动年龄(15−64岁)人口数量及其占总人口比重情况：根据图表信息，下列统计结论不正确的是()A. 2000年我国劳动年龄人口数量及其占总人口比重的年增幅均为最大B. 2010年后我国人口数量开始呈现负增长态势C. 2013年我国劳动年龄人口数量达到峰值D. 我国劳动年龄人口占总人口比重极差超过6%10. 设抛物线x 2=4y 的焦点为F ，过点F 作斜率为k(k >0)的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，且点P 恰为AB 的中点，过点P 作x 轴的垂线与抛物线交于点M ，若|MF |=3，则直线l 的方程为( )A. y =2√2x +1B. y =√3x +1C. y =√2x +1D. y =2√3x +211. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AB 和AA 1的中点，则直线EF 与平面ACC 1A 1所成的角等于( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90° 12. 若函数在(0,2)上存在两个极值点，则a 的取值范围是( ) A.B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为√3，则双曲线C 的焦距为_______．14. 在等比数列{a n }中，已知a 1+a 2+⋯+a n =2n −1，则a 12+a 22+⋯+a n 2=______．15. 已知定义在R 上的函数f (x )满足：f(x)={x 2+2,x ∈[0,1),2−x 2,x ∈[−1,0),且f(x +2)=f(x)，g(x)=2x+5x+2，则方程f (x )=g (x )在区间[−5,1]上的所有实根之和为____．16. 在三棱锥D − ABC 中，AB = BC = DB = DC = 1，当三棱锥D – ABC 的体积最大时，其外接球的表面积为 ____________ ．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 如图所示，在平面四边形ABCD 中，BC =CD =2，△BCD 的面积是2．(1)求∠BCD 的大小(2)若∠ABD =2∠ACB =60°，求线段AD 的长．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，已知PA=AC=2，，CE⊥AD与E．(1)求证：AD⊥PC；(2)若平面PAD⊥平面ABCD，且AD=3，求二面角C−PD−A的余弦值．19.已知F1(−1,0)，F2(1,0)为椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，△F1AB的周长为8．(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)已知P(x0,y0)(y0≠0)是直线l：x=4上一动点，若PA，PB与x轴分别交于点M(x M,0)，N(x N,0)，则1x M−1+1x N−1是否为定值，若是，求出该定值，不是请说明理由．20.已知函数f(x)=x2−aln x有两个零点x1，x2(x1<x2)，有一个极值点x0．(1)求实数a的取值范围；(2)求证：x1+3x2>4x0．21.在某市创建全国文明城市的过程中，创文专家组对该市的中小学进行了抽检，其中抽检的一个环节是对学校的教师和学生分别进行问卷测评．下表是被抽检到的5所学校A、B、C、D、E 的教师和学生的测评成绩(单位：分)：(1)建立y关于x的回归方程ŷ=b̂x+â；(2)现从A、B、C、D、E这5所学校中随机选2所派代表参加座谈，用X表示选出的2所学校中学生的测评成绩大于90分的学校数，求随机变量X的分布列及数学期望E(X)．附：b ̂=ni=1i −x)(y i −y)∑(x −x)2n ，a ̂=y −b ̂x ．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为{x =−4t +2y =kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为{x =m −2y =m k(m 为参数)，当k 变化时，设 l 1与l 2的交点的轨迹为曲线C ．(I)以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程； (II)设曲线C 上的点A 的极角为π6，射线OA 与直线l 3：ρsin(θ+φ)−2√2=0 (0<φ<π2)的交点为B ，且|OB|=√7|OA|，求φ的值．23. 已知函数f(x)=|x +2a|+|x −a|．(1)当a =1时，求不等式f(x)≥4−|x +2|的解集；(2)设a >0，b >0，f(x)的最小值为t ，若t +3b =3，求1a +2b 的最小值。
河北省衡水中学20XX届高三下学期第二次摸底考试理数试题解析(原卷版)最新修正版
河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，或，则（）A. B. C. D.2. 若复数满足为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一人、高二人、高三人中，抽取人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为，那么高三被抽取的人数为（）A. B. C. D.4. 已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是（）A. B. C. D.5. 《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为步和步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）A. B. C. D.6. 若实数满足条件，则的最大值为（）A. B. C. D.7. 已知，则二项式的展开式中的常数项为（）A. B. C. D.8. 已知奇函数的导函数的部分图象如图所示，是最高点，且是边长为的正三角形，那么（）A. B. C. D.9. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B.C. D.10. 执行如图所示的程序框图，输出的值等于（）A. B.C. D. 学*科*网...11. 椭圆的左焦点为，上顶点为，右顶点为，若的外接圆圆心在直线的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（）A. B. C. D.12. 已知是函数的导函数，且对任意的实数都有是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知，若，则__________．14. 在中，分别为角的对边，，若，则__________．15. 已知点分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，则双曲线的焦点的取值范围为__________．16. 点为正方体的内切球球面上的动点，点为上一点，，若球的体积为，则动点的轨迹的长度为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设以为公比的等比数列满足），求数列的前项和.18. 如图是某市2017年3月1日至16日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于表示空气质量优良，空气质量指数大于表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月14日中的某一天到达该市.（1）若该人到达后停留天（到达当日算1天)，求此人停留期间空气质量都是重度污染的概率；（2）若该人到达后停留3天(到达当日算1天〉，设是此人停留期间空气重度污染的天数，求的分布列与数学期望.19. 如图，四棱锥中，平面平面，底面为梯形，，且与均为正三角形，为的重心.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的正切值.20. 已知抛物线的焦点为为上位于第一象限的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点.（1）若，当点的横坐标为时，为等腰直角三角形，求的方程；（2）对于（1）中求出的抛物线，若点，记点关于轴的对称点为交轴于点，且，求证：点的坐标为，并求点到直线的距离的取值范围.21. 设函数）.（1）若直线和函数的图象相切，求的值；（2）当时，若存在正实数，使对任意都有恒成立，求的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程学*科*网...在直角坐标系中中，曲线的参数方程为为参数，）. 以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.（1）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最大值；（2）若曲线上所有的点均在直线的右下方，求的取值范围.23. 选修4-5：不等式选讲已知定义在上的函数，且恒成立.（1）求实数的值；（2）若，求证：.。
河北省衡水市部分学校2024届高三下学期二模考试 数学试题(含解析)
2023—2024学年度下学期高三年级二调考试数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共4页，总分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共58分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若a b a b +=- ,()()1,2,,3a b m == ，则实数m =（）A ．6B ．6-C ．3D ．3-2．某中学举行数学解题比赛，其中5人的比赛成绩分别为：70，85，90，75，95，则这5人成绩的上四分位数是（）A ．90B ．75C ．95D ．703．生活中有很多常见的工具有独特的几何体结构特征，例如垃圾畚箕，其结构如图所示的五面体ADE BCF -，其中四边形ABFE 与CDEF 都为等腰梯形，ABCD 为平行四边形，若AD ⊥面ABFE ，且222EF AB AE BF ===，记三棱锥D ABF -的体积为1V ，则该五面体的体积为（）A ．18V B ．15V C ．14V D ．13V 4．已知tan 2α=，则sin3sin cos ααα=+（）A ．215-B ．215C ．79-D ．795．将5本不同的书（2本文学书、2本科学书和1本体育书）分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本书，每本书只能分给一人，其中体育书只能分给甲、乙中的一人，则不同的分配方法数为（）A ．78B ．92C ．100D ．1226．已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，过2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P ，若213PF PF =，则双曲线的离心率为（）A ．3B CD ．27．已知函数(),()f x g x 的定义域为R ，()g x '为()g x 的导函数，且()()2f x g x '+=，()()42f x g x '--=，若()g x 为偶函数，则下列结论一定成立的是（）A ．(4)2f =B ．()20g '=C ．(1)(3)f f -=-D ．(1)(3)4f f +=8．已知正数a ，b ，c 满足3e 1.1a =，251030b b +-=，e 1.3c =，则（）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．c b a<<二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知,z z ∈C 是z 的共轭复数，则（）A ．若13i13i z +=-，则43i 5z --=B ．若z 为纯虚数，则20z <C ．若(2i)0z -+>，则2iz >+D ．若{||3i3}M z z =+≤∣，则集合M 所构成区域的面积为6π10．如图，点,,A B C 是函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>的图象与直线2y =相邻的三个交点，且ππ,0312BC AB f ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，则（）A ．4ω=B ．9π182f ⎛⎫=⎪⎝⎭C ．函数()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．若将函数()f x 的图象沿x 轴平移θ个单位，得到一个偶函数的图像，则θ的最小值为π2411．如图所示，有一个棱长为4的正四面体-P ABC 容器，D 是PB 的中点，E 是CD 上的动点，则下列说法正确的是（）A ．直线AE 与PB 所成的角为π2B ．ABE 的周长最小值为4C ．如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为3D ．如果在这个容器中放入4个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为25第Ⅱ卷(非选择题共92分)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．设集合{}2230,A x x x x =--<∈R ，{},0B x x a a =>>，则A B = R ，则实数a 的取值范围为.13．已知圆2216x y +=与直线y =交于A ，B 两点，则经过点A ，B ，()8,0C的圆的方程为．14．已知等差数列{}n a （公差不为0）和等差数列{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，如果关于x 的实系数方程21003100310030x S x T -+=有实数解，则以下1003个方程()201,2,,1003i i x a x b i -+== 中，有实数解的方程至少有个.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数()()21sin 02f x x x ωωω=-+>的最小正周期为4π.(1)求()f x 在[]0,π上的单调递增区间；(2)在锐角三角形ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且()2cos cos ,a c B b C -=⋅求()f A 的取值范围.16．如图，在四棱锥M ABCD -中，AB AD ⊥，2AB AM AD ===，MB =MD =(1)证明：AB ⊥平面ADM ；(2)若23DC AB = ，2BE EM = ，求直线CE 与平面BDM 所成角的正弦值．17．王老师每天早上7：00准时从家里出发去学校，他每天只会从地铁与汽车这两种交通工具之间选择一个乘坐.王老师多年积累的数据表明，他到达学校的时间在两种交通工具下的概率分布如下表所示：到校时间7：30之前7：30-7：357：35-7：407：40-7：457：45-7：507：50之后乘地铁0.10.150.350.20.150.05乘汽车0.250.30.20.10.10.05（例如：表格中0.35的含义是如果王老师当天乘地铁去学校，则他到校时间在7：35-7：40的概率为0.35.）(1)某天早上王老师通过抛一枚质地均匀的硬币决定乘坐地铁还是乘坐汽车去学校，若正面向上则坐地铁，反面向上则坐汽车.求他当天7：40-7：45到校的概率；(2)已知今天（第一天）王老师选择乘坐地铁去学校，从第二天开始，若前一天到校时间早于7：40，则当天他会乘坐地铁去学校，否则当天他将乘坐汽车去学校.且若他连续10天乘坐地铁，则不论他前一天到校的时间是否早于7：40，第11天他都将坐汽车到校.记他从今天起（包括今天）到第一次乘坐汽车去学校前坐地铁的次数为X ，求()E X ；(3)已知今天（第一天）王老师选择乘坐地铁去学校.从第二天开始，若他前一天坐地铁去学校且到校时间早于7：40，则当天他会乘坐地铁去学校；若他前一天坐地铁去学校且到校时间晚于7：40，则当天他会乘坐汽车去学校；若他前一天乘坐汽车去学校，则不论他前一天到校的时间是否早于7：40，当天他都会乘坐地铁去学校.记n P 为王老师第n 天坐地铁去学校的概率，求{}n P 的通项公式.18．已知()2e 2e x xf x a x =-（其中e 2.71828= 为自然对数的底数）.(1)当0a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程，(2)当12a =时，判断()f x 是否存在极值，并说明理由；(3)()1R,0x f x a∀∈+≤，求实数a 的取值范围.19．已知动点P 与定点(),0A m 的距离和P 到定直线2n x m=的距离的比为常数m n ．其中0,0m n >>，且m n ≠，记点P 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程，并说明轨迹的形状；(2)设点(),0B m -，若曲线C 上两动点,M N 均在x 轴上方，AM BN ，且AN 与BM 相交于点Q ．①当4m n ==时，求证：11AM BN+的值及ABQ 的周长均为定值；②当m n >时，记ABQ 的面积为S ，其内切圆半径为r ，试探究是否存在常数λ，使得S r λ=恒成立？若存在，求λ（用,m n 表示）；若不存在，请说明理由．1．B【分析】利用向量数量积坐标公式即可求解.【详解】因为a b a b +=-，所以()()22a ba b+=- ，即222222a b a b a b a b ++⋅=+-⋅，所以0a b ⋅= ，因为()1,2a =r ，(),3b m = ，所以6a b m ⋅=+，所以60+=m ，解得6m =-.故选：B.2．A【分析】根据第p 百分位数定义计算判断即可.【详解】将5人的比赛成绩由小到大排列依次为：70，75，85，90，95，575% 3.75i =⨯=，5人成绩的上四分位数为第四个数:90.故选：A.3．C【分析】将五面体分割成三个三棱锥,,D AEF D ABF F BCD ---，通过选择适当定点可得其体积关系，然后可得五面体体积.【详解】因为ABCD 为平行四边形，所以ABD BCD S S =△△，所以1F BCD F ABD V V V --==.记梯形ABFE 的高为h ，因为2EF AB =，所以112222AEF ABF S EF h AB h S =⋅=⨯⋅= ，所以122D AEF D ABF V V V --==，所以该五面体的体积111124D AEF D ABF F BCD V V V V V V V V ---=++=++=.故选：C4．A【分析】利用两角和的正弦，二倍角余弦结合齐次式化简求值.【详解】sin3sin cos2cos sin2tan cos2sin2sin cos sin cos tan 1ααααααααααααα++==+++()()22222cos sin 2sin cos 2cos2sin233sin cos αααααααα-++==+()()2221tan 2tan 2153tan 1ααα-+==-+.故选：A 5．C【分析】分体育书分给甲和乙两种情况求解.【详解】若将体育书分给甲，当剩余4本书恰好分给乙、丙时，此时的分配方法有22312242412222C C C C A A 14A ⋅⋅⋅+⋅=种，当剩余4本书恰好分给甲、乙、丙三人时，此时的分配方法有2343C A 36⋅=种.综上，将体育书分给甲，不同的分配方法数是143650+=.同理，将体育书分给乙，不同的分配方法数也是50.故不同的分配方法数是5050100+=.故选：C 6．C【分析】设过2F 与双曲线的一条渐近线by x a=平行的直线交双曲线于点P ，运用双曲线的定义和条件可得1||3PF a =，2||PF a =，12||2F F c =，再由渐近线的斜率和余弦定理，结合离心率公式，计算即可得到所求值．【详解】设过2F 与双曲线的一条渐近线by x a=平行的直线交双曲线于点P ，由双曲线的定义可得12||||2PF PF a -=，由12||3||PF PF =，可得1||3PF a =，2||PF a =，12||2F F c =，由12tan bF F P a ∠=可得12cos aF F P c ∠=，在三角形12PF F 中，由余弦定理可得：222121221212||||||2||||cos PF PF F F PF F F F F P =+-⋅∠，即有2229422a a a c a c c=+-⨯⨯，化简可得223c a =，所以双曲线的离心率==ce a．故选：C ．7．ABD【分析】根据复合函数的导数法则，结合偶函数的性质、函数的对称性逐一判断即可.【详解】对A ：∵()g x 为偶函数，则()()g x g x =-，两边求导可得()()g x g x ''=--，∴()g x '为奇函数，则()00g '=，令=4x ，则可得()0(4)2f g '-=，则(4)2f =，A 成立；对B ：令=2x ，则可得()()(2)22(2)22f g f g ⎧+='-='⎪⎨⎪⎩，则()(2)=22=0f g '⎧⎨⎩，B 成立；∵()()2f x g x '+=，则可得()(2)22f x g x '+++=，()()42f x g x '--=，则可得()(2)22f x x g '+--=，两式相加可得：()(2)42x x f f ++=-，∴()f x 关于点()2,2成中心对称，则(1)(3)4f f +=，D 成立，又∵()()2f x g x '+=，则可得()()(4)4(4)42f x g x f x g x ''-+-=---=，()()42f x g x '--=，则可得()()4f x f x =-，∴()f x 以4为周期的周期函数，根据以上性质只能推出(1)(3)4f f -+-=，不能推出(1)(3)f f -=-，C 不一定成立，故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题的关键是对已知等式进行求导、利用偶函数的性质.8．D【分析】分别构造函数21()ln(1)2f x x x x =--+，(1)x >-，2311()ln(1)23g x x x x x =-+-+，(1)x >-，利用导数研究其单调性，得到223111ln(1)223x x x x x x -<+<-+，(0)x >，再将a 看成3ln(10.1)+，c 看成ln(10.3)+，利用上述的不等式比较大小即可．【详解】解：由251030b b +-=解得1b =-，构造函数21()ln(1)2f x x x x =--+，(1)x >-，显然2()01x f x x -'=<+，故()f x 是减函数，结合(0)0f =，故0x >时，()0f x <，故21ln(1)2x x x +>-，(0)x >，再令2311()ln(1)23g x x x x x =-+-+，(1)x >-，3()1x g x x'=+，当0x >时，()0g x '>，故()g x 在(0,)+∞单调递增，结合(0)0g =，故2311ln(1)23x x x x +<-+，(0)x >，则11ln1.3ln(10.3)0.30.090.0270.26423c ==+<-⨯+⨯=，13ln1.13(0.10.01)0.2852a =>⨯-⨯=，所以22(1)(10.285) 1.651225a +>+=，28(1) 1.65b +==，22(1)(10.264) 1.597696c +=+=，故222(1)(1)(1)a b c +>+>+，由a ，b ，c 都是正数，故a b c >>．故选：D ．9．AB【分析】根据共轭复数的定义以及复数四则运算可判断A ；z 为纯虚数，可设()i 0z b b =≠，根据复数的四则运算可判断B ；由()2i 0z -+>结合数大小比较只能在实数范围内可判断C ；设复数i z a b =+，根据复数模长定义计算可判断D.【详解】()()()213i 13i 43i13i 13i 13i 5z ++-+===--+，所以43i 5z --=，故A 正确；由z 为纯虚数，可设()i R,0z b b b =∈≠，所以222i z b =，因为2i 1=-且0b ≠，所以20z <，故B 正确；由()2i 0z -+>，得i(2)z a a =+>，因为i(2)z a a =+>与2i +均为虚数，所以二者之间不能比较大小，故C 错误；设复数i,,R z a b a b ∈=+，所以()3ia b ++由|3i3z +≤∣得()2239a b ++≤，所以集合M 所构成区域是以()0,3-为圆心3为半径的圆，所以面积为9π，故D 错误.故选：AB.10．ACD【分析】令()f x =,,A B C x x x 根据π3BC AB -=求得4ω=，根据π012f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭求得()f x 的解析式，再逐项验证BCD 选项.【详解】令()()sin 2f x x ωϕ=+得，π2π3x k ωϕ+=+或2π2π3x k ωϕ+=+，Z k ∈，由图可知：π2π3A x k ωϕ+=+，π2π+2π3C x k ωϕ+=+，2π2π3B x k ωϕ+=+，所以1π2π3C B BC x x ω⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，1π3B A AB x x ω=-=⋅，所以π12π2π33BC AB ω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以4ω=，故A 选项正确，所以()()sin 4f x x ϕ=+，由π012f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭且π12x =-处在减区间，得πsin 03ϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π3k ϕ-+=+，Z k ∈，所以4π2π3k =+ϕ，Z k ∈，所以()4π4ππsin 42πsin 4sin 4333f x x k x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，9π9ππ1sin 8232f ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误.当ππ,32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，π5ππ42π333x ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，因为sin y t =-在5ππ,2π33t ⎛⎫∈+ ⎝⎭为减函数，故()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故C 正确；将函数()f x 的图象沿x 轴平移θ个单位得()πsin 443g x x θ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，（0θ<时向右平移，0θ>时向左平移），()g x 为偶函数得ππ4π32k θ+=+，Z k ∈，所以ππ244k θ=+，Z k ∈，则θ的最小值为π24，故D 正确.故选：ACD.11．ACD【分析】A 选项，作出辅助线，由三线合一得到线线垂直，进而得到线面垂直，进而得到线线垂直，求出答案；B 选项，把ACD 沿着CD 展开与平面BDC 同一平面内，由余弦定理求出AE BE +的最小值，得到周长的最小值；C 选项，求出正四面体的内切球即为小球半径的最大值；D 选项，当四个小球相切且与大正四面体相切时，小球半径最大，连接四个小球的球心，构成正四面体，设出半径，结合C 选项中结论得到方程，求出小球半径的最大值.【详解】A 选项，连接AD ，由于D 为PB 的中点，所以PB ⊥CD ，PB ⊥AD ，又CD AD D = ，,AD CD ⊂平面ACD ，所以直线PB ⊥平面ACD ，又AE ⊂平面ACD ，所以PB ⊥AE ，故A 正确；B 选项，把ACD 沿着CD 展开与平面BDC 同一个平面内，连接AB 交CD 于点E ，则AE BE +的最小值即为AB 的长，由于AD CD ==4AC =，22222241cos23CD AD ACADC CD AD+-+-∠===⋅，π1cos cos sin 23ADB ADC ADC ⎛⎫∠=+∠=-∠=- ⎪⎝⎭，所以(222222cos 22222163AB BD AD BD AD ADB ⎛=+-⋅∠=+-⨯⨯-=+ ⎝⎭故AB ==ABE 的周长最小值为4+B 错误；C 选项，要使小球半径最大，则小球与四个面相切，是正四面体的内切球，设球心为O ，取AC 的中点M ，连接,BM PM ，过点P 作PF 垂直于BM 于点F ，则F 为ABC 的中心，点O 在PF 上，过点O 作ON ⊥PM 于点N ，因为2,4AM AB ==，所以BM =PM =，则133MF BM ==，故PF =设OF ON R ==，故OP PF OF R =-=，因为PNO ∽PFM △，所以ON OP FM PM =3R-=解得3R =，C正确；D 选项，4个小球分两层（1个，3个）放进去，要使小球半径要最大，则4个小球外切，且小球与三个平面相切，设小球半径为r ，四个小球球心连线是棱长为2r 的正四面体Q VKG -，由C选项可知，其高为3r ，由C 选项可知，PF 是正四面体-P ABC 的高，PF 过点Q 且与平面VKG 交于S ，与平面HIJ 交于Z ，则3QS r =，SF r =，由C 选项可知，正四面体内切球的半径是高的14得，如图正四面体P HJI -中，QZ r =，3QP r =，正四面体P ABC -高为34r r r +⨯，解得r =，D 正确.故选：ACD【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径12．()0,1【分析】由题意可以先将所给集合化简，若满足A B = R ，则B A ⊆R ð，故只需根据包含关系列出不等式组求出参数范围即可.【详解】由题意{}{}2230,|13A x x x x x x =--<∈=-<<R ，{}{,0B x x a a x x a =>>=或},0x a a -，若满足A B = R ，则B A ⊆R ð，又因为{}|B x a x a =-≤≤R ð，所以130a a a -<-⎧⎪<⎨⎪>⎩，解得01a <<.故答案为：()0,1.13．()(223328x y -+=【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，直线方程与圆的方程联立求出,A B 点坐标，设经过点A ，B ，C 的圆的方程为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，代入三点坐标解方程组可得答案.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，由2216y x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩解得121222x x y y ==-⎧⎧⎪⎪⎨⎨=-=⎪⎪⎩⎩可得((2,,2,A B --，设经过点A ，B ，()8,0C 的圆的方程为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，所以412204120640800D F Dx F D F ⎧++-+=⎪⎪+-++=⎨⎪++++=⎪⎩，解得616D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，即226160+---=x y x ，可得()(22328x y -+=.故答案为：()(22328x y -+=.14．502【分析】依题意，由等差数列的性质及求和公式得到250250240a b -≥，想要有实根，则240(1,2,,1003)i i a b i -≥= ，结合根的判别式与基本不等式得10∆≥，10030∆≥中至少一个成立，同理得到20∆≥，10020∆≥中至少一个成立，L ，5010∆≥，5030∆≥中至少一个成立，且5020∆≥，即可解决问题.【详解】由题意得，210031003410030S T -⨯≥，又因为1100310035021003()10032a a S a +==，1100310035021003()10032b b T b +==，代入得250250240a b -≥，要使方程()201,2,,1003i i x a x b i -+== 有实数解，则240(1,2,,1003)i i a b i -≥= ，显然第502个方程有解，设方程2110x a x b -+=与方程1003103200x a x b -+=的判别式分别为11003,∆∆，则22222110031100311100310031100311003502()(4)(4)4()422a a ab a b a a b b b +∆+∆=-+-=+-+≥-⨯即2250211003502502502(2)82(4)02a b a b ∆+∆≥-=-≥，等号成立的条件11003a a =，所以10∆≥，10030∆≥中至少一个成立，同理可得20∆≥，10020∆≥中至少一个成立，L ，5010∆≥，5030∆≥中至少一个成立，且5020∆≥，综上，在所给的1003个方程中，有实根的方程最少502个，故答案为：502.15．(1)2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦；(2)⎫⎪⎪⎝⎭.【分析】（1）根据二倍角公式及辅助角公式化简函数解析式，根据周期求得ω的值，从而得到函数的解析式，整体代入法求解单调区间即可；（2）利用正弦定理即两角和的正弦公式化简条件，从而求得π,3B =继而得到ππ,62A <<整体代入求函数值的范围即可.【详解】（1）()21sin 22f x x x ωω=-+11cos2sin2222x x ωω-=-1πcos2sin 2226x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.因为2π4π,2T ω==所以1,4ω=故()1πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由π1ππ2π2π,,2262k x k k -+≤+≤+∈Z 解得4π2π4π4π,,33k x k k -≤≤+∈Z 当0k =时4π2π,,33x -≤≤又[]0,π,x ∈所以()f x 在[]0,π上的单调递增区间为2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）由()2cos cos ,a c B b C -=⋅得（2sin sin )cos sin cos ,A CB BC -=所以()2sin cos sin cos cos sin sin sin =+=+=A B B C B C B C A .因为sin 0,A ≠所以1cos ,2B =又()0,π,B ∈所以π,3B =又三角形为锐角三角形，则π022ππ032A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，则ππ62A <<，所以ππ5π42612A <+<，又()26πsin A f A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，5πππππππsin sin sin cos cos sin 12464646⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，则πsin 2264A ⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，所以()f A的取值范围为⎝⎭.16．(1)证明见解析(2)15【分析】（1）根据2AB AM ==，MB =利用勾股定理得到AB AM ⊥，再由AB AD ⊥，利用线面垂直的判定定理证明.（2）由2AM AD ==，MD =120MAD ∠=︒，在平面ADM 内过点A 作x 轴垂直于AM ，再结合（1）以AM ，AB 所在直线为y ，z 轴建立空间直角坐标系，求得EC的坐标，平面BDM 的一个法向量n，利用空间向量求线面夹角.【详解】（1）为2AB AM ==，MB =，所以222AM AB MB +=，所以AB AM ⊥.又AB AD ⊥，且AM AD A = ，AM ⊂平面ADM ，AD ⊂平面ADM ，所以AB ⊥平面ADM .（2）因为2AM AD ==，MD =则44121cos 2222MAD +-∠==-⨯⨯，且0180MAD ︒<∠<︒，可知120MAD ∠=︒，在平面ADM 内过点A 作x 轴垂直于AM ，又由（1）知AB ⊥平面ADM ，分别以AM ，AB 所在直线为y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系A xyz -.则)3,1,0D-，43,1,3C ⎫-⎪⎭，()0,0,2B ，()0,2,0M .因为2BE EM =，则420,,33E ⎛⎫⎪⎝⎭，可得723,,33EC ⎫=-⎪⎭ ，()0,2,2BM =-，)3,1,2BD =-- ，设平面BDM 的一个法向量为(),,n x y z =，则·220·320BM n y z BD n y z ⎧=-=⎪⎨=--=⎪⎩ ，取1z =得)3,1,1n = ，设直线EC 与平面BDM 所成角为π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则413sin cos ,54553EC n EC n EC nθ⋅====⨯，所以直线EC 与平面BDM 所成角的正弦值为15.17．(1)0.15(2)()10553225E X ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭(3)1225757n n P -⎛⎫=⨯-+⎪⎝⎭【分析】(1)由全概率公式求解即可；(2)X 可取1，2，3，…，9，10，由题：对于()*19N k k ≤≤∈，()12355k P X k -⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭；()93105P X ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即可求出数学期望；(3)由题意：11P =，()1321155n n n n P P P P +=+-=-+，由递推关系求出数列的通项.【详解】（1）记事件A =“硬币正面向上”，事件B =“7：40-7：45到校”则由题有()0.5P A =，()0.2P B A =，()0.1P B A =，故()()()()()0.50.20.50.10.15P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅=⨯+⨯=.（2）X 可取1，2，3，…，9，10，由题：对于()*19N k k ≤≤∈，()12355k P X k -⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭；()93105P X ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故()2892232323312391055555555E X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+⨯⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2891032323232331289105555555555E X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+⨯⨯+⨯⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，以上两式相减得：()28922232323235555555555E X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故()1028910313333553513555522515E X ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++⋅⋅⋅++==-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-.所以()10553225E X ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭.（3）由题意：11P =，()1321155n n n n P P P P +=+-=-+，则1525757n n P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，这说明57n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为以15277P -=为首项，25-为公比的等比数列.故1522775n n P -⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭，所以1225757n n P -⎛⎫=⨯-+ ⎪⎝⎭.18．(1)4e 2ey x =-+(2)有一个极大值，一个极小值，理由见解析(3)()1⎡⎣【分析】（1）当0a =时，求得()()21e xf x x +'=-，结合导数的几何意义，即可求解；（2）当12a =时，求得()()e e 22x xf x x '=--，令()e 22x F x x =--，利用导数求得()F x 的单调性与min ()0F x <，得到存在()11,ln2x ∈-使得()10F x =，存在()2ln2,2x ∈使得()20F x =，进而得到答案；（3）求得()()2e e 1x xf x a x '=--，根据题意，得到a<0，令()e 1xg x a x =--，得到()01,1x a ∃∈--使得()00g x =，利用函数()f x 的单调性，求得002max 0()e 2e x x f x a x =-，再由max 1()0f x a +≤，求得01x ≤<-，再由001e x x a +=，设()1ex x h x +=，利用导数求得函数()h x 的单调性，即可求解.【详解】（1）解：当0a =时，()2e x f x x =-，可得()()21e xf x x +'=-，则()()14e,12e f f =-=-'，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()2e 4e 1y x +=--，即4e 2e y x =-+.（2）解：当12a =时，()21e 2e 2x xf x x =-，定义域为R ，可得()()()2e 21e e e 22x x x xf x x x =-+=--'，令()e 22x F x x =--，则()e 2xF x '=-，当(),ln2x ∞∈-时，()0F x '<；当()ln2,x ∞∈+时，()0F x '>，所以()F x 在(),ln2∞-递减，在()ln2,∞+上递增，所以()min ()ln222ln222ln20F x F ==--=-<，又由()()2110,2e 60eF F -=>=->，存在()11,ln2x ∈-使得()10F x =，存在()2ln2,2x ∈使得()20F x =，当()1,x x ∞∈-时，()()()0,0,F x f x f x >'>单调递增；当()12,x x x ∈时，()()()0,0,F x f x f x <'<单调递减；当()2,x x ∞∈+时，()()()0,0,F x f x f x >'>单调递增；所以12a =时，()f x 有一个极大值，一个极小值.（3）解：由()2e 2e x x f x a x =-，可得()()()22e 21e 2e e 1x x x xf x a x a x =-+=--'，由()1R,0x f x a ∀∈+≤，因为()211100a f a a a a++=+=≤，可得a<0，令()e 1xg x a x =--，则()g x 在R 上递减，当0x <时，可得e (0,1)x ∈，则e (,0)x a a ∈，所以()e 11xg x a x a x =-->--，则()()1110g a a a ->---=，又因为()11e 0g a --=<，()01,1x a ∃∈--使得()00g x =，即()000e 10x g x a x =--=且当()0,x x ∞∈-时，()0g x >，即()0f x '>；当()00,x x ∞∈+时，()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 在()0,x ∞-递增，在()0,x ∞+递减，所以()002max 00()e 2e x xf x f x a x ==-，由()000e 10xg x a x =--=，可得001e x x a +=，由max1()0f x a+≤，可得()000000e 1e 201x x x x x e x +-+≤+，即()()00011101x x x -++≤+，由010x +<，可得2011x -≤，所以01x ≤<-，因为001e x x a +=，设()1(1)e x x h x x +=≤<-，则()0x xh x e-='>，可知()h x在)⎡⎣上递增，()((1e h x h ≥=-()()10h x h <-=，所以实数a的取值范围是()1⎡⎣.【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．19．(1)答案见解析(2)①证明见解析；②存在；2()2m n nλ+=【分析】（1）设(),P x y ，由题意可得222221x y n n m+=-，结合椭圆、双曲线的标准方程即可求解；（2）设点()()()112233,,,,,M x y N x y M x y '，其中120,0y y >>且3232,x x y y =-=-.（ⅰ）由//AM BN 可知,,M A M '三点共且BN AM ='，设MM '：x ty =+C 的方程，利用韦达定理表示1313,y y y y +，进而表示出11AM BN+，结合（1）化简计算即可；由椭圆的定义，由//AM BN 得()8AM BNBQ AM BN-⋅=+，()8BN AMAQ AM BN-⋅=+，进而表示出AQ BQ +，化简计算即可；（ii ）由（ⅰ）可知,,M A M '三点共线，且BN AM ='，设MM '：x sy m =+，联立C 的方程，利用韦达定理表示1313,y y y y +，计算化简可得22112nAM BN m n +=-，结合由内切圆性质计算即可求解.【详解】（1）设点(),P x ym n =，即222()m x m y x n n ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，经化简，得C 的方程为222221x y n n m +=-，当m n <时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆；当m n >时，曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线．（2）设点()()()112233,,,,,M x y N x y M x y '，其中120,0y y >>且3232,x x y y =-=-，（ⅰ）由（1）可知C的方程为()()221,,168x y A B +=-，因为//AM BN=因此，,,M A M '三点共线，且BN AM =='=，（法一）设直线MM '的方程为x ty =+C 的方程，得()22280t y ++-=，则1313282y y y y t +==-+，由（1）可知1134,4AM x BN AM x ===='，所以131344222222112222x x ty ty AM BN AM BN AM BN ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++=⋅--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()21321313442221142t y y t y y t y y ⎛⎫-⋅- ⎪++==++，所以11AM BN+为定值1；（法二）设MAx θ∠=4=，解得AM =，4=，解得AM ='，所以111122144AM BN AM AM θθ=+'+=+=，所以11AM BN+为定值1；由椭圆定义8BQ QM MA ++=，得8QM BQ AM =--，8//,AM QM BQ AMAM BN BNBQBQ--∴==，解得()8AM BNBQ AM BN-⋅=+，同理可得()8BN AMAQ AM BN -⋅=+，所以()()()8882BN AM AM BNAM BN AM BNAQ BQ AM BNAM BNAM BN-⋅-⋅+-⋅+=+=+++2882611AM BN=-=-=+．因为AB =ABQ 的周长为定值6+．（ⅱ）当m n >时，曲线C 的方程为222221x yn m n-=-，轨迹为双曲线，根据（ⅰ）的证明，同理可得,,M A M '三点共线，且BN AM ='，（法一）设直线MM '的方程为x sy m =+，联立C 的方程，得()()()222222222220m n s n y sm m n y m n ⎡⎤--+-+-=⎣⎦，()()()()222221313222222222,sm m n mn y y y y mn s nmn s n--∴+=-=----，（*）因为2113,m n m mAM x x n BN AM x n n m n n⎛⎫=-=-==- ⎝'⎪⎭，所以1111AM AM AM BN AM AM AM AM ''+=+=⋅'+2222131322221313sm m n sm m n m m y y x n x n n n n n n n m m sm m n sm m n x n x n y y n n nn n n ⎛⎫⎛⎫--⎛⎫⎛⎫+++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()()2213222222213132222m n smy y n n m n ms m n m s y y y y n n n -++=--+++，将（*）代入上式，化简得22112nAM BN m n +=-，（法二）设MAx θ∠=，依条件有2cos AMmn n m AM m θ=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，解得22cos m n AM n m θ-=-，同理由cos AM mn n m AM m θ=⎛⎫-- ⎪⎝⎭''，解得22cos m n AM n m θ-+'=，所以2222221111cos cos 2n m n m nAM BN AM AM m n m n m nθθ'-++=+=+=---．由双曲线的定义2BQ QM MA n +-=，得2QM n AM BQ =+-，根据AM QM BNBQ=，解得()2n AM BNBQ AM BN+⋅=+，同理根据AM AQ BNQN=，解得()2n BN AMAQ AM BN+⋅=+，所以()()2222n BN AM n AM BNAM BNAQ BQ n AM BNAM BNAM BN+⋅+⋅⋅+=+=++++222222211m n m n n n n n AM BN-+=+=++，由内切圆性质可知，()12S AB AQ BQ r =++⋅，当S r λ=时，()2221()222m n m n AB AQ BQ m n n λ++=++=+=（常数）．因此，存在常数λ使得S r λ=恒成立，且2()2m n nλ+=．【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．。
2023年河北省衡水市部分重点高中高考数学二模试卷【答案版】
2023年河北省衡水市部分重点高中高考数学二模试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |2x 2﹣x ﹣3＜0}，B ＝{y |y ＝2﹣3x +x 2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x|−14≤x ＜32} B ．{x|−1＜x ＜−14} C ．{x |﹣1≤x ＜3} D ．{x|−3≤x ＜−14}2．设复数z 1＝1+ai （a ∈R ），z 2=133−2i ，且|z 1|≤|z 2|，则a 的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．2√3D ．3√23．已知命题p ：∃x ∈R ，tan x ＜π或e x +2≥π，则命题p 的否定为（ ） A ．∃x ∈R ，tan x ≥π或e x +2＜π B ．∀x ∈R ，tan x ＜π且e x +2≥πC ．∃x ∈R ，tan x ＜π且e x +2≥πD ．∀x ∈R ，tan x ≥π且e x +2＜π4．已知等比数列{a n }的前三项和为39，a 6﹣6a 5+9a 4＝0，则a 5＝（ ） A ．81B ．243C ．27D ．7295．某校有演讲社团、篮球社团、乒乓球社团、羽毛球社团、独唱社团共五个社团，甲、乙、丙、丁、戊五名同学分别从五个社团中选择一个报名，记事件A 为“五名同学所选项目各不相同”，事件B 为“只有甲同学选篮球”，则P （A |B ）＝（ ） A ．332B ．316C ．34D ．256．已知一个圆台的上、下底面面积之比为1：4，其轴截面面积为9，母线长为上底面圆的半径的√10倍，则这个圆台的体积为（ ） A ．3πB ．5πC ．7πD ．9π7．已知函数f(x)=sin(2023π+x)−sin 2x2+cos 2x2，则下列说法错误的是（ ） A ．f （x ）的值域为[−√2，√2]B ．f （x ）的单调递减区间为[−π4+2kπ，3π4+2kπ](k ∈Z) C ．y =f(x +5π4)为奇函数 D ．不等式f(x)≥√22的解集为[−7π12+kπ，π12+kπ](k ∈Z) 8．已知a ∈R ，函数f(x)=14ax 4−12x 2．若存在t ∈R ，使得|f ′(t +2)−f ′(t)|≤14，则当a 取最大值时f （x ）的最小值为（ ） A ．0B ．−916C ．−29D ．49二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 在四边形ACC 1A 1内（含四边形的边）运动，则下列说法正确的是（ ）A ．BB 1上的任意一点到平面ACC 1A 1的距离恒为定值B ．直线AP 与CD 所成角的正弦值的取值范围为[0，1]C ．若4AP →=AC 1→，直线CP 与平面DCC 1D 1所成角的正切值为3√1010D ．三棱锥B ﹣ADP 外接球的体积最大值等于正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的外接球的体积 10．已知函数f(x)=e x −12x 2，下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）在x ＝0处的切线方程为x ﹣y +1＝0 B ．32＜f(ln2)＜2C ．若函数g （x ）的图象与f （x ）的图象关于坐标原点对称，则g(x)=−e −x −12x 2 D ．f （x ）有唯一零点11．已知随机变量X ∼B(a ，12)，E(X)=32，二项式(1√x−ax 2)8，则下列说法正确的是（ ） A ．a ＝1 B ．二项式(1√x −ax 2)8的展开式中所有项的系数和为256 C ．二项式(1√x −ax 2)8的展开式中含x 项的系数为252D ．(1−x 5)(1√x−ax 2)8的展开式中含x 6项的系数为5418 12．设P 为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)上的动点，F 1，F 2分别为椭圆C 的左，右焦点，焦距为2c ，点I 到△PF 1F 2三边的距离相等，椭圆的离心率为13，短轴长为4√2，则（ ） A ．点P 到椭圆C 的焦点的最大距离为4 B ．若PF 2→⋅F 1F 2→=0，则|PF 2|=83 C ．△PF 1F 2的面积的最大值为8D ．直线IF 1和直线IF 2的斜率之积是定值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．数据1，2，a ，6的平均数是3，若将这组数据中的每一个数据都加上2023，得到一组新数据，则新数据的标准差为 ．14．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，A （﹣3，1），B （﹣3，6），点P 是满足λ=√63的阿氏圆上的任一点，若抛物线y =16x 2的焦点为F ，过点F 的直线与此阿氏圆相交所得的最长弦与最短弦的和为 ．15．已知函数f （x ）的导函数为f ′（x ），且满足关系式f （x ）＝3x 2﹣xf ′（1）+2lnx ．则f （x ）的图像上任意一点处的切线的斜率的取值范围为 ．16．已知平面向量a →，b →，c →满足|a →|=√2|b →|=√2，cos〈a →，b →〉=−cos〈c →−a →，c →−b →〉=−√22，则以|c →|为直径长的圆的面积的最大值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 17．（10分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2csin 2(π4−B2)+bcos C2=c ． （1）求角C 的大小； （2）求sin A sin B 的最大值．18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 1=1，S n =(12n +t)n （t 为常数）． （1）求{a n }的通项公式；（2）若b n =a n ⋅(14)a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ．19．（12分）学校体育节，某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4．现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会． （1）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；（2）设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望与方差． 20．（12分）如图，正六棱柱ABCDEF ﹣A 1B 1C 1D 1E 1F 1的所有棱长为2，M ，N 分别为CC 1，FF 1的中点． （1）求证：直线BE ⊥直线AC 1；（2）求平面BME 1N 与平面BEF 1所成角的正弦值．21．（12分）已知函数f （x ）＝ln （x +1）﹣2x +x 2． （1）求f （x ）的单调区间；（2）若f （x ）+2≤x 2+（a +1）x +b 在x ∈（﹣1，+∞）上恒成立，求证：b ≥a +4﹣ln （a +3）． 22．（12分）双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，离心率为3，点(3√24，1)在双曲线上．（1）求双曲线的标准方程；（2）A ，B 分别为双曲线的左，右顶点，若点P 为直线x =13上一点，直线P A 与双曲线交于另一点M ，直线PB 与双曲线交于另一点N ，求直线MN 恒经过的定点坐标．2023年河北省衡水市部分重点高中高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|2x2﹣x﹣3＜0}，B＝{y|y＝2﹣3x+x2}，则A∩B＝（）A．{x|−14≤x＜32}B．{x|−1＜x＜−14}C．{x|﹣1≤x＜3}D．{x|−3≤x＜−14}解：A={x|2x2−x−3＜0}={x|−1＜x＜32}，B={y|y=2−3x+x2}={y|y≥−14}，所以A∩B={x|−14≤x＜32}．故选：A．2．设复数z1＝1+ai（a∈R），z2=133−2i，且|z1|≤|z2|，则a的最大值为（）A．1B．2C．2√3D．3√2解：因为复数z2=133−2i=13(3+2i)(3−2i)(3+2i)=3+2i，又z1＝1+ai（a∈R），且|z1|≤|z2|，所以a2+1≤32+22，解得−2√3≤a≤2√3，所以a的最大值为2√3．故选：C．3．已知命题p：∃x∈R，tan x＜π或e x+2≥π，则命题p的否定为（）A．∃x∈R，tan x≥π或e x+2＜πB．∀x∈R，tan x＜π且e x+2≥πC．∃x∈R，tan x＜π且e x+2≥πD．∀x∈R，tan x≥π且e x+2＜π解：根据全称命题与存在性命题的关系，因为命题p：∃x∈R，tan x＜π或e x+2≥π是存在量词命题，所以命题p的否定为∀x∈R，tan x≥π且e x+2＜π．故选：D．4．已知等比数列{a n}的前三项和为39，a6﹣6a5+9a4＝0，则a5＝（）A．81B．243C．27D．729解：由a6−6a5+9a4=0⇒a4⋅(q2−6q+9)=0．而a n≠0，∴q＝3，又a1+a2+a3＝a1+3a1+9a1＝13a1＝39⇒a1＝3，∴a n=3n，a5=35=243．故选：B．5．某校有演讲社团、篮球社团、乒乓球社团、羽毛球社团、独唱社团共五个社团，甲、乙、丙、丁、戊五名同学分别从五个社团中选择一个报名，记事件A 为“五名同学所选项目各不相同”，事件B 为“只有甲同学选篮球”，则P （A |B ）＝（ ） A ．332B ．316C ．34D ．25解：事件AB ：甲同学选篮球且五名同学所选项目各不相同， 所以其他4名同学排列在其他4个项目，且互不相同为A 44，事件B ：甲同学选篮球，所以其他4名同学排列在其他4个项目，可以安排在相同项目为44，故P(A|B)=P(AB)P(B)=A 44554455=332． 故选：A ．6．已知一个圆台的上、下底面面积之比为1：4，其轴截面面积为9，母线长为上底面圆的半径的√10倍，则这个圆台的体积为（ ） A ．3πB ．5πC ．7πD ．9π解：如图，设圆台上、下底面圆心分别为C ，A ，半径分别为CD ，AB ，由题意得CD ：AB ＝1：2，即AB ＝2CD ， 因为圆台的轴截面面积为9．所以12(2AB +2CD)AC =9，所以AC •CD ＝3，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，所以BD =√AC 2+(AB −CD)2=√AC 2+CD 2， 因为母线长为上底面圆的半径的√10倍， 所以10CD 2＝AC 2+CD 2，即AC ＝3CD ． 所以AC ＝3，CD ＝1，所以AB ＝2，所以圆台的体积V =13(S 上+S 下+√S 上S 下)ℎ=13(π+4π+√π×4π)×3=7π． 故选：C ．7．已知函数f(x)=sin(2023π+x)−sin 2x 2+cos 2x2，则下列说法错误的是（ ）A ．f （x ）的值域为[−√2，√2]B ．f （x ）的单调递减区间为[−π4+2kπ，3π4+2kπ](k ∈Z) C ．y =f(x +5π4)为奇函数 D ．不等式f(x)≥√22的解集为[−7π12+kπ，π12+kπ](k ∈Z) 解：因为f(x)=sin(2023π+x)−sin 2x2+cos 2x2=−sinx +cosx =−√2sin(x −π4)， 所以f(x)∈[−√2，√2]，故选项A 正确；由−π2+2kπ≤x −π4≤π2+2kπ(k ∈Z)得−π4+2kπ≤x ≤3π4+2kπ(k ∈Z)， 所以f （x ）的单调递减区间为[−π4+2kπ，3π4+2kπ](k ∈Z)，故选项B 正确； 所以f(x +5π4)=−√2sin(x +5π4−π4)=√2sinx ， 所以y =f(x +5π4)为奇函数，故选项C 正确； 由−√2sin(x −π4)≥√22得sin(x −π4)≤−12， 即−5π6+2kπ≤x −π4≤−π6+2kπ(k ∈Z)， 所以−7π12+2kπ≤x ≤π12+2kπ(k ∈Z)， 所以不等式f(x)≥√22的解集为[−7π12+2kπ，π12+2kπ](k ∈Z)，故选项D 错误． 故选：D ．8．已知a ∈R ，函数f(x)=14ax 4−12x 2．若存在t ∈R ，使得|f ′(t +2)−f ′(t)|≤14，则当a 取最大值时f （x ）的最小值为（ ） A ．0B ．−916C ．−29D ．49解：因为f(x)=14ax 4−12x 2， 所以f ′（x ）＝ax 3﹣x ，依题意f ′（t +2）﹣f ′（t ）＝[a （t +2）3﹣（t +2）]﹣（at 3﹣t ）＝2a （3t 2+6t +4）﹣2， 因为存在t ∈R ，使得|f ′(t +2)−f ′(t)|≤14，所以|2a(3t 2+6t +4)−2|≤14，即−14≤2a(3t 2+6t +4)−2≤14有解， 因为t ∈R ，则3t 2+6t +4＝3（t +1）2+1≥1， 所以78(3t 2+6t+4)≤a ≤98(3t 2+6t+4)有解，所以a ≤[98(3t 2+6t+4)]max ，因为3t 2+6t +4≥1，所以0＜13t 2+6t+4≤1，所以0＜98(3t 2+6t+4)≤98，所以a 的最大值为98．此时f(x)=932x 4−12x 2=932(x 2−89)2−29≥−29，当且仅当x =±2√23时，取等号， 所以f （x ）的最小值为−29， 故选：C ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 在四边形ACC 1A 1内（含四边形的边）运动，则下列说法正确的是（ ）A ．BB 1上的任意一点到平面ACC 1A 1的距离恒为定值B ．直线AP 与CD 所成角的正弦值的取值范围为[0，1]C ．若4AP →=AC 1→，直线CP 与平面DCC 1D 1所成角的正切值为3√1010D ．三棱锥B ﹣ADP 外接球的体积最大值等于正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的外接球的体积 解：对于A ，由正方体的性质知，BB 1∥平面ACC 1A 1，所以BB 1上的任意一点到平面ACC 1A 1的距离恒为定值，故选项A 正确； 对于B ，由正方体的性质知，AB ∥CD ，所以直线AP 与CD 所成角即为直线AP 与AB 所成角，因为点P 在四边形ACC 1A 1内（含四边形的边）运动，如下图所示，过P 作PG ⊥AC 于G ，过G 作GH ⊥AB 于H ，显然有PH ⊥AB ，∠GAH =π4，∠PAG ∈[0，π2]， 由余弦定理知：cos ∠PAB =AH AP =cos∠PAG ⋅cos∠GAH =AG AP ⋅AHAG ，即cos ∠PAB ∈[0，√22]⇒sin∠PAB ∈[√22，1]， 所以直线AP 与CD 所成角的正弦值的范围为[√22，1]，故选项B 错误；对于C ，因为4AP →=AC 1→，所以点P 是AC 1上靠近A 的四等分点，过点P 作平面CDD 1C 1的垂线，垂足为Q ，过Q 作QK ⊥CC 1于K ，连接PK ，则∠PCQ 为直线CP 与平面CDD 1C 1所成的角，由正方体的性质知，Q 是DC 1靠近D 的四等分点，连接CQ ，在Rt △PCQ 中，易得PQ =34，CQ =√12+(√24)2−2×1×√24×√22=√104， 所以tan ∠PCQ =PQCQ =3√1010，故选项C 正确；对于D ，因为点P 在四边形ACC 1A 1内（含四边形的边）运动，当P 点在A 1或C 1点时，其外接球的体积最大为正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的外接球的的体积， 当P 点不在A 1或C 1时，其外接球体积较小，故D 正确． 故选：ACD ．10．已知函数f(x)=e x −12x 2，下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）在x ＝0处的切线方程为x ﹣y +1＝0 B ．32＜f(ln2)＜2C ．若函数g （x ）的图象与f （x ）的图象关于坐标原点对称，则g(x)=−e −x −12x 2 D ．f （x ）有唯一零点解：对于A ，函数f(x)=e x −12x 2，求导得f ′（x ）＝e x ﹣x ，有f （0）＝1，f ′（0）＝1， 所以f （x ）在x ＝0处的切线方程为y ﹣1＝x ﹣0，即x ﹣y +1＝0，A 正确； 对于B ，函数f(x)=e x −12x 2，有f(ln2)=e ln2−12(ln2)2=2−12(ln2)2，而0＜ln 2＜1，所以32＜f(ln2)＜2，B 正确；对于C ，函数f(x)=e x −12x 2，函数g （x ）的图象与f （x ）的图象关于坐标原点对称， 所以g(x)=−f(−x)=−[e −x −12(−x)2]=−e −x +12x 2，C 错误；对于D ，函数f(x)=e x −12x 2的定义域为R ，求导得f ′（x ）＝e x ﹣x ，令g （x ）＝f ′（x ）＝e x ﹣x ， g ′（x ）＝e x ﹣1，当x ＞0时g ′（x ）＞0，当x ＜0时，g ′（x ）＜0， 则函数f ′（x ）在（0，+∞）上递增，在（﹣∞，0）上递减，于是f ′（x ）min ＝f ′（0）＝1＞0，函数f （x ）在R 上单调递增，而f(0)=1＞0，f(−1)=1e −12＜0， 由零点存在性定理知f （x ）在（﹣1，0）内存在唯一零点，所以f （x ）有唯一零点，D 正确． 故选：ABD ．11．已知随机变量X ∼B(a ，12)，E(X)=32，二项式(√x −ax 2)8，则下列说法正确的是（ ）A ．a ＝1B ．二项式(1√x −ax 2)8的展开式中所有项的系数和为256C ．二项式(1√x −ax 2)8的展开式中含x 项的系数为252D ．(1−x 5)(1√x−ax 2)8的展开式中含x 6项的系数为5418 解：对于A 中，因为随机变量X ∼B(a ，12)且E(X)=a ×12=32，所以a ＝3，所以A 错误； 对于B 中，在(1√x−3x 2)8中，令x ＝1，可得展开式中所有的的系数和为（1﹣3）8＝256，所以B 正确； 对于C 中，当a ＝3时，展开式的通项为T r+1=C 8r ⋅(1√x )8−r ⋅(−3x 2)r =(−3)r ⋅C 8r⋅x −4+52r ，令−4+52r =1，解得r ＝2， 所以二项式(1√xax 2)8的展开式中含x 项的系数为(−3)2⋅C 82=252，所以C 正确； 对于D 中，由选项C 中二项式(1√x ax 2)8的展开式中含x 项的系数为(−3)2⋅C 82=252，再令−4+52r =6，解得r ＝4，可得二项式(√x ax 2)8的展开式中含x 6项的系数为(−3)4⋅C 84=5670，所以(1−x 5)(1√xax 2)3的展开式中含x 6项的系数为5670﹣252＝5418，所以D 正确． 故选：BCD ．12．设P 为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)上的动点，F 1，F 2分别为椭圆C 的左，右焦点，焦距为2c ，点I 到△PF 1F 2三边的距离相等，椭圆的离心率为13，短轴长为4√2，则（ ） A ．点P 到椭圆C 的焦点的最大距离为4 B ．若PF 2→⋅F 1F 2→=0，则|PF 2|=83C ．△PF 1F 2的面积的最大值为8D ．直线IF 1和直线IF 2的斜率之积是定值解：根据题意得{c a =132b =4√2a 2=b 2+c 2⇒{b =2√2c =1a =3⇒x 29+y 28=1．对于A ，设点P 坐标为（x 0，y 0），根据椭圆的对称性， 不妨求其到右焦点的距离为：d =√(x 0−c)2+y 02=√(x 0−c)2+b 2−b 2a2x 02=|cax 0−a|，x 0∈[﹣a ，a ]⇒d ∈[a ﹣c ，a +c ]，即P 到椭圆C 的焦点的最大距离为a +c ＝4，故选项A 正确； 对于B ，若PF 2→⋅F 1F 2→=0，所以PF 2⊥F 1F 2，设|PF 2|=m ⇒|PF 1|=2a −m =6−m ，|F 1F 2|=2c =√|PF 1|2−|PF 2|2， 解得：|PF 2|=83，故选项B 正确；对于C ，依题意△PF 1F 2的面积的最大值为12|F 1F 2|⋅b =bc ，b =2√2，c =1，所以bc =2√2，故选项C 错误；对于D ．连接PI 并延长交x 轴于G ．因为I 到△PF 1F 2三边的距离相等， 则由内角平分线定理可得|F 1G||PF 1|=|GI||IP|，|F 2G||PF 2|=|GI||IP|，所以|GI||IP|=|F 1G|+|F 2G||PF 1|+|PF 2|=c a=e ．设P （x 0，y 0），I （x 1，y r ），G （x G ，0）， 则x 02a 2+y 02b 2=1，所以a 2y 02a 2−x 02=b 2，所以y 1y 0=c a+c，则y 1=cya+c ， 又c−x G x G +c=a−ex 0a+ex 0，则x G =e 2x 0． 所以x 1−x G x 0−x G=ca+c，则x 1＝ex 0，所以k IF 1=y1x 1+c ，所以k IF 2=y1x 1−c ，则k IF 1⋅k IF 2=−c 2y 02(a+c)2c 2−c 2a 2x 02=1(a+c)2⋅a 2y 02x 02−a 2=−b 2(a+c)2=−12． 所以直线IF 1和直线IF 2的斜率之积是定值．故选项D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．数据1，2，a ，6的平均数是3，若将这组数据中的每一个数据都加上2023，得到一组新数据，则新数据的标准差为√142． 解：因为数据1，2，a ，6的平均数是3， 所以3=1+2+a+64，解得a ＝3， 若将这组数据中每一个数据都加上2023，则新数据的平均数为x =2026，方差为s 2=14×[(2024−2026)2+(2025−2026)2+(2026−2026)2+(2029−2026)2]=144， 所以新数据的标准差为√142． 故答案为：√142． 14．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，A （﹣3，1），B （﹣3，6），点P 是满足λ=√63的阿氏圆上的任一点，若抛物线y =16x 2的焦点为F ，过点F 的直线与此阿氏圆相交所得的最长弦与最短弦的和为 10√6+√123 ．解：设P （x ，y ），由阿氏圆的定义可得|PA||PB|=√63， 即(x+3)2+(y−1)2(x+3)2+(y−6)2=23，化简得x 2+y 2+6x +18y ﹣60＝0．所以（x +3）2+（y +9）2＝150，所以点P 在圆心为（﹣3，﹣9），半径为5√6的圆上，因为抛物线C ：y =16x 2的焦点为F ．所以F(0，32)， 因为(0+3)2+(32+9)2=4774＜150． 所以点F 在圆（x +3）2+（y +9）2＝150内， 因为点F 到与圆心的距离为√4774=√4772， 所以过点F 的最短弦长为2√150−4774=√123， 过点F 的最长弦长为2√150=10√6，所以过点F 的最长弦与最短弦的和为10√6+√123． 故答案为：10√6+√123．15．已知函数f （x ）的导函数为f ′（x ），且满足关系式f （x ）＝3x 2﹣xf ′（1）+2lnx ．则f （x ）的图像上任意一点处的切线的斜率的取值范围为 [4√3−4，+∞) ． 解：由题意得f ′(x)=6x −f ′(1)+2x， 所以f ′（1）＝6﹣f ′（1）+2，即f ′（1）＝4， 所以f （x ）＝3x 2﹣4x +2lnx （x ＞0）， 所以f ′(x)=6x −4+2x ≥2√6x ⋅2x−4=4√3−4， 当且仅当6x =2x，即x =√33时等号成立，所以f ′（x ）的最小值为4√3−4，根据导数的几何意义可得，f （x ）的图像上任意一点处的切线的斜率的取值范围为[4√3−4，+∞)． 故答案为：[4√3−4，+∞)．16．已知平面向量a →，b →，c →满足|a →|=√2|b →|=√2，cos〈a →，b →〉=−cos〈c →−a →，c →−b →〉=−√22，则以|c →|为直径长的圆的面积的最大值为 52π ．解：因为|a →|=√2|b →|=√2， 所以|a →|=√2，|b →|=1，又因为cos ＜a →，b →＞=−cos ＜c →−a →，c →−b →＞=−√22，＜a →，b →＞∈[0，π]，＜c →−a →，c →−b →＞∈[0，π]， 所以a →与b →的夹角大小为3π4，〈a →−c →，b →−c →〉=π4，如图，作OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，连接AC ，BC ，则a →−c →=CA →，b →−c →=CB →，所以∠ACB =π4，又∠AOB =3π4，所以O ，A ，C ，B 四点共圆， 故当OC 为圆的直径时，|c →|最大，此时A ＝B =π2，OA =√2，OB ＝1，∠BOC =3π4−∠AOC ， 在Rt △AOC 中，OC =OAcos∠AOC ．在Rt △BOC 中，OC =OBcos∠BOC ， 所以OA cos∠AOC=OB cos∠BOC，即√2cos∠AOC =1cos(3π4−∠AOC)， 整理得2cos ∠AOC ＝sin ∠AOC ， 所以tan ∠AOC =2，cos ∠AOC =15． 所以OC =√21√5=√10，即|c →|的最大值为√10．所以以|c →|为直径的圆的面积的最大值为π×(√102)2=52π．故答案为：52π．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 17．（10分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2csin 2(π4−B 2)+bcos C2=c ． （1）求角C 的大小； （2）求sin A sin B 的最大值．（1）解：因为2csin 2(π4−B 2)+bcos C2=c ， 所以bcos C 2=c[1−2sin 2(π4−B2)]， 即bcos C 2=cos(π2−B)⋅c ，由正弦定理，可得sinBcos C2=sinCsinB ，因为B ，C ∈（0，π），可得0＜C 2＜π2且sinB ＞0，cos C2＞0，所以cosC 2=sinC ，则cos C 2=2sin C 2cos C 2，所以sin C 2=12， 因为C2∈(0，π2)，所以C2=π6，则C =π3．（2）解：由（1）可得sinC =√32，由正弦定理asinA=b sinB=c sinC，可得sinA =√3a2c，sinB =√3b2c ， 所以sinAsinB =3ab4c 2． 由余弦定理可得c 2=a 2+b 2−2abcos π3=a 2+b 2−ab ， 又由基本不等式a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号， 可得c 2＝a 2+b 2﹣ab ≥2ab ﹣ab ＝ab ， 所以sinAsinB =3ab 4c 2≤3ab 4ab =34，故sin A sin B 的最大值为34． 18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 1=1，S n =(12n +t)n （t 为常数）． （1）求{a n }的通项公式；（2）若b n =a n ⋅(14)a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 解：（1）令n =1，S 1=a 1=(12+t)，可得t =12， 所以S n =(12n +12)n ，当n ≥2时，S n−1=[12(n −1)+12](n −1)， 可得a n =S n −S n−1=12[n 2−(n −1)2]+12=n ， 所以a n =n(n ≥2，n ∈N ∗)， 又因为a 1＝1满足上式， 所以a n =n(n ∈N ∗)；（2）因为b n =a n ⋅(14)a n+1=n ⋅(14)n+1，所以T n =1×(14)2+2×(14)3+3×(14)4+⋯+n ×(14)n+1，两边乘14得：14T n =1×(14)3+2×(14)4+3×(14)5+⋯+(n −1)×(14)n+1+n ×(14)n+2，两式相减得：34T n =(14)2+(14)3+(14)4+(14)5+⋯+(14)n+1−n ×(14)n+2，即：34T n =116[1−(14)n ]1−14−n ×(14)n+2，所以T n =19−(19+n12)×(14)n ．19．（12分）学校体育节，某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4．现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会． （1）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；（2）设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望与方差． 解：（1）由已知得：P =C 31⋅C 41+C 32C 102=13，所以，事件A 发生的概率为13；（2）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2； 计算P(X =0)=C 32+C 32+C 42C 102=415， P （X ＝1）=C 31C 31+C 31C 41C 102=715，P （X ＝2）=C 31C 41C 102=415，所以随机变量X 的分布列为：随机变量X 的数学期望为E （X ）＝0×415+1×715+2×415=1， D （X ）=(0−1)2×415+(1−1)2×715+(2−1)2×415=815．20．（12分）如图，正六棱柱ABCDEF ﹣A 1B 1C 1D 1E 1F 1的所有棱长为2，M ，N 分别为CC 1，FF 1的中点． （1）求证：直线BE ⊥直线AC 1；（2）求平面BME 1N 与平面BEF 1所成角的正弦值．解：（1）证明：如图所示，连接AC ，因为ABCDEF ﹣A 1B 1C 1D 1E 1F 1是正六棱柱，且棱长为2，可得AF ∥BE ，BE ⊥C 1C 且AF =2，AC =2√3，FC =2AF =4， 又因为AF 2+AC 2＝FC 2， 所以AF ⊥AC ，可得BE ⊥AC ，由CC 1∩AC ＝C ，且CC 1，AC ⊂平面AC 1C ， 所以BE ⊥平面AC 1C ， 又由AC 1⊂平面AC 1C ， 所以BE ⊥AC 1．（2）以B 为坐标原点，分别以BC ，BF ，BB 1所在的直线为x 轴、y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为正六棱柱ABCDEF ﹣A 1B 1C 1D 1E 1F 1的所有棱长为2且M ，N 分别为CC 1，FF 1的中点， 可得B(0，0，0)，M(2，0，1)，N(0，2√3，1)，E(2，2√3，0)，F 1(0，2√3，2)， 所以BM →=(2，0，1)，BN →=(0，2√3，1)，BE →=(2，2√3，0)，BF 1→=(0，2√3，2)， 设平面BME 1N 的一个法向量为m →=(x ，y ，z)，则{m →⋅BN →=0m →⋅BM →=0，即{2√3y +z =02x +z =0，则可取m →=(−√3，−1，2√3)， 设平面BEF 1的一个法向量为n →=(x 1，y 1，z 1)，则{n →⋅BE →=0n →⋅BF 1→=0，即{2x 1+2√3y 1=02√3y 1+2z 1=0，则可取n →=(√3，−1，√3)．所以cos〈m →，n →〉=m →⋅n →|m →||n →|=44×√7=√77，设平面BME 1N 与平面BEF 1所成角为θ，则|cosθ|=|cos〈m →，n →〉|=√77， 所以sinθ=√1−cos 2θ=√1−17=√427． 所以平面BME 1N 与平面BEF 1所成角的正弦值为√427．21．（12分）已知函数f （x ）＝ln （x +1）﹣2x +x 2． （1）求f （x ）的单调区间；（2）若f （x ）+2≤x 2+（a +1）x +b 在x ∈（﹣1，+∞）上恒成立，求证：b ≥a +4﹣ln （a +3）．解：（1）因为 f （x ）＝ln （x +1）﹣2x +x 2的定义域为 （﹣1，+∞），所以 f ′(x)=1x+1−2+2x =2x 2−1x+1，令2x 2−1x+1＞0 得x ＜−√22或x ＞√22，令2x 2−1x+1＜0 得−√22＜x ＜√22，故f （x ）的单调递增区间为 (−1，−√22)，(√22，+∞)，单调递减区间为 (−√22，√22)； （2）证明：因为 f （x ）＝ln （x +1）﹣2x +x 2，f （x ）+2≤x 2+（a +1）x +b 在x ∈（﹣1，+∞）上恒成立， 即b ≥ln （x +1）﹣（a +3）x +2 在x ∈（﹣1，+∞）上恒成立， 设g （x ）＝ln （x +1）﹣（a +3）x +2（x ＞﹣1）， 则g ′(x)=1x+1−(a +3)=−(a+3)x−(a+2)x+1， ①若 a +3≤0，则g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增，g （x ）的值域为R ， 故b ≥ln （x +1）﹣（a +3）x +2不能恒成立，故舍去； ②若a +3＞0， 当x ∈(−1，−a+2a+3) 时，g ′（x ）＞0，当x ∈(−a+2a+3，+∞) 时，g ′（x ）＜0， 从而g （x ）在 (−1，−a+2a+3) 上单调递增，(−a+2a+3，+∞) 上单调递减， 所以g （x ）有最大值g(−a+2a+3)=a +4−ln(a +3)， 所以b ≥a +4﹣ln （a +3）． 22．（12分）双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，离心率为3，点(3√24，1)在双曲线上．（1）求双曲线的标准方程；（2）A ，B 分别为双曲线的左，右顶点，若点P 为直线x =13上一点，直线P A 与双曲线交于另一点M ，直线PB 与双曲线交于另一点N ，求直线MN 恒经过的定点坐标．解：（1）因为点(3√24，1)在双曲线x 2a 2−y 2b 2=1上，所以1816a 2−1b 2=1，又离心率e =c a =√a 2+b 2a =√1+b 2a2=3，即b 2＝8a 2， 所以a 2＝1，b 2＝8，所以双曲线的方程为x 2−y 28=1；（2）设P(13，t)，因为A ，B 分别为双曲线x 2−y 28=1的左，右顶点， 所以A （﹣1，0），B （1，0），所以直线P A 的方程为y =3t4(x +1)． 由{x 2−y 28=1，y =3t4(x +1)，消去y 得（128﹣9t 2）x 2﹣18t 2x ﹣9t 2﹣128＝0．因为直线P A 与双曲线交于点A ，M ，所以128﹣9t 2≠0，所以t ≠±8√23． 因为x A ⋅x M=−9t 2−128128−9t 2，所以x M =9t 2+128128−9t 2， 所以y M =3t 4(9t 2+128128−9t 2+1)=192t128−9t 2，所以M(9t 2+128128−9t 2，192t128−9t 2)． 因为直线PB 的方程为y =−32t(x −1)，由{x 2−y 28=1，y =−32t(x −1)，消去y 得（32﹣9t 2）x 2+18t 2x ﹣9t 2﹣32＝0．因为直线PB 与双曲线交于点B ，N ，所以32﹣9t 2≠0．所以t ≠±4√23． 因为x B x N =−9t 2−3232−9t 2，所以x N =−9t 2−3232−9t 2，y N =−32t(x N −1)=−32t(−9t 2−3232−9t 2−1)=96t32−9t 2，所以N(−9t 2−3232−9t 2，96t32−9t 2)．所以当t ≠±4√23且t ≠±8√23时， 直线MN 的斜率为k =192t128−9t 2−96t 32−9t29t 2+128128−9t 2−−9t 2−3232−9t 2=−96t(64+9t 2)(9t 2+128)(32−9t 2)+(9t 2+32)(128−9t 2)， 当t ≠0时，直线MN 的方程为y −96t 32−9t 2=−96t(64+9t 2)(9t 2+128)(32−9t 2)+(9t 2+32)(128−9t 2)(x −−9t 2−3232−9t 2)，令y ＝0，得132−9t 2=64+9t 2(9t 2+128)(32−9t 2)+(9t 2+32)(128−9t 2)(x −−9t 2−3232−9t 2)，所以x =(9t 2+128)(32−9t 2)+(9t 2+32)(128−9t 2)(32−9t 2)(64+9t 2)+−9t 2−3232−9t 2=3(2048−288t 2−81t 4)2048−288t 2−81t 4=3，所以直线MN 过定点（3，0）．当t ＝0时，P(13，0)，直线MN 的方程为y ＝0，过定点（3，0）．当t=±4√23或t=±8√23时，直线P A，PB分别与双曲线的渐近线平行，点M，N不存在．综上，直线MN恒过定点（3，0）．。
河北省衡水市2020届高三数学二模试题 理(含解析)
2020学年度第二学期二模考试 高三年级数学试卷（理科）一、选择题（下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.集合{}{}11324x A x x B x ，+=-≤=≥，则A B =U （ ）A. []02，B. ()13，C. []14， D.[)2-+∞，【答案】D 【解析】 【分析】解不等式313x -≤-≤可得集合A ，解1222x +≥可得集合B ，进而得到集合A,B 的并集。
【详解】由题得{}|24A x x =-≤≤，{}|1B x x =≤，则有{}|2A B x x ⋃=≥-，故选D 。
【点睛】本题考查求集合的并集，属于基础题。
2.复数121z i z i =+=，，其中i 为虚数单位，则12z z 的虚部为（ ） A. 1- B. 1C. iD. i -【答案】A 【解析】 【分析】根据复数共轭的概念得到__1z ，再由复数的除法运算得到结果即可.【详解】11211,1,z i z i i z i-=-==--虚部为-1， 故选A.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的共轭复数等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.3.某中学2020年的高考考生人数是2020年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2020年和2020年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（ ）A. 与2020年相比，2020年一本达线人数减少B. 与2020年相比，2020二本达线人数增加了0.5倍C. 2020年与2020年艺体达线人数相同D. 与2020年相比，2020年不上线的人数有所增加 【答案】D 【解析】 【分析】设2020年该校参加高考的人数为S ，则2020年该校参加高考的人数为1.5S . 观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案.【详解】设2020年该校参加高考的人数为S ，则2020年该校参加高考的人数为1.5S . 对于选项A.2020年一本达线人数为0.28S .2020年一本达线人数为0.24 1.50.36S S ⨯=，可见一本达线人数增加了，故选项A 错误；对于选项B ，2020年二本达线人数为0.32S ，2020年二本达线人数为0.4 1.50.6S S ⨯=，显然2020年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B 错误；对于选项C ，2020年和2020年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C 错误； 对于选项D ，2020年不上线人数为0.32S .2020年不上线人数为0.28 1.50.42S S ⨯=.不达线人数有所增加.故选D.【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键．4.如图所示，ABC ∆中，点D 是线段BC的中点，E 是线段AD 的靠近A 的三等分点，则AC =u u u r（ ）A. 43AD BE +u u ur u u u rB. 53AD BE +u u ur u u u rC. 4132AD BE +u u ur u u u rD. 5132AD BE +u u ur u u u r【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的加减运算求解即可 【详解】据题意，2533AC DC DA BD AD BE ED AD BE AD AD AD BE =-=+=++=++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r．故选：B ． 【点睛】本题考查向量加法、减法以及向量的数乘运算，是基础题5.程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序配图，求得该垛果子的总数S 为（ ）A. 120B. 84C. 56D. 28 【答案】B【解析】运行程序：i=1,n=1,s=1,1＜7，i=2,n=3,s=4,2＜7，i=3,n=6,s=10,3＜7，i=4,n=10,s=20,4＜7，i=5.n=15,s=35,5＜7，i=6,n=21,s=56,6＜7，i=7,n=28,s=84,7≮7,s=84.故选C.6.某人在微信群中发一个8元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领到的钱数不少于其他任何人的概率为（ ） A.13B.827C.37D.518【答案】B 【解析】 【分析】利用隔板法得到共计有n 27C ==21种领法，利用列举法求得甲领到的钱数不少于其他任何人的情况总数m ＝8，由此能求出结果． 【详解】如下图，利用隔板法，得到共计有n 27C ==21种领法，甲领3元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有2种，即乙领3元，丙领2元或丙领3元，乙领2元，记为（乙2，丙3）或（丙2，乙3）；甲领4元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有3种，即（乙1，丙3）或（丙1，乙3）或（乙2，丙2）甲领5元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有2种，即（乙1，丙2）或（丙1，乙2）；甲领6元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况只有1种，即（乙1，丙1） “甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况总数m ＝2+3+2+1＝6， ∴甲领取的钱数不少于其他任何人的概率p 821=． 故选B ．【点睛】本题考查概率的求法，考查隔板法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7.以双曲线()2222:100x y C a b a b-=>>，上一点M 为圆心作圆，该圆与x 轴相切于C 的一个焦点F ，与y 轴交于P Q ，两点，若PQ =，则双曲线C 的离心率是（ ）C. 2【答案】A 【解析】 【分析】根据圆与x 轴相切于C 的一个焦点F ，且圆心在双曲线上，可确定圆心坐标和半径，再由弦长3PQ c =，即可求出结果. 【详解】因为以双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上一点M 为圆心作圆，该圆与x 轴相切于C 的一个焦点F ，所以MF x ⊥轴；不妨令M 在第一象限，所以易得2b M c a ，⎛⎫⎪⎝⎭，半径2b r a=；取PQ 中点N ，连结MN ，则MN 垂直且平分PQ ，所以MQ ==；又MQ r =，所以23b c a =222ac =220e -=，解得e =故答案为A【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，根据题意，结合双曲线的性质即可求解，属于常考题型.8.在斜ABC ∆中，设解 A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin sin 4sin a A b B c C b B +-=cos C ，若CD 是角C 的角平分线，且CD b =，则cos C =（ ）A.34B.18C.23D.16【答案】B 【解析】 【分析】由已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，可得22224cos ,a b c b C +-= 结合余弦定理可得2,a b = 又CD 是角C 的角平分线，且CD b =，结合三角形角平分线定理可得2BD AD =，再结合余弦定理可得cos2C的值，则cos C 可求. 【详解】由已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，根据正弦定理可得22224cos ,a b c b C +-=又由余弦定理可得2222cos ,a b c ab C +-=故24,a b =即2,a b =结合三角形角平分线定理可得2BD AD =，再结合余弦定理可得()22222222cos54cos 22C CBD b b b b b b =+-⨯⨯⨯=- ， 222222cos 22cos 22C CAD b b b b b b =+-⨯⨯⨯=-，由2224BD AD BD AD =⇒= ，可得2222354cos 88cos ,cos ,2224C C C b b b b -=-∴=故2231cos 2cos 121,248C C ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭故选B.【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理及三角形角平分线定理，属中档题.9.如图所示，边长为1的正方形网络中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体所有棱长组成的集合为A. {1,5}B. {1,6}C. {1,2,5}D.{1,2,22,6}【答案】B 【解析】 【分析】将三视图还原成四棱柱即可得解.【详解】该几何体是四棱柱，底面是边长为16, 故选B.【点睛】由三视图还原几何体时应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正），主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐），左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等），若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称．10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，质点M N ，间隔3分钟先后从点P ，绕原点按逆时针方向作角速度为6弧度/分钟的匀速圆周运动，则M 与N 的纵坐标之差第4次达到最大值时，N 运动的时间为（ ）A. 37.5分钟B. 40.5分钟C. 49.5分钟D. 52.5分钟 【答案】A 【解析】【详解】分析：由题意可得：y N =sin cos 626x x πππ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，y M =()x+3sin 626x πππ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，计算y M ﹣y N 2sin 64x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，即可得出．详解：由题意可得：y N =sin cos 626x x πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，y M =()cos x+3sin 626x πππ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦∴y M ﹣y N = y M ﹣y N 2sin 64x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，令sin 64x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=1，解得：64x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2kπ+2π，x=12k+32，k=0，1，2，3．∴M 与N 的纵坐标之差第4次达到最大值时，N 运动的时间=3×12+32=37.5（分钟）． 故选：A ．点睛：本题考查了三角函数的图象与性质、和差公式、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．也查到了三角函数的定义的应用，三角函数的定义指的是单位圆上的点坐标和这一点的旋转角之间的关系.11.在圆锥PO 中，已知高2PO =，底面圆的半径为4，M 为母线PB 的点；根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为（ ）①圆的面积为4π； 37；③双曲线两渐近线的夹角正切值为34-④抛物线中焦点到准线的距离为55. A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B 【解析】 【分析】根据点M 是母线的中点，求出截面圆的半径即可判断①；由勾股定理求出椭圆长轴可判断②；建立坐标系，求出,a b 的关系可判断③；建立坐标系，求出抛物线方程，可判断④. 【详解】①Q 点M 是母线的中点， ∴截面的半径2r =，因此面积224ππ=⨯=，故①正确；②由勾股定理可得椭圆的长轴为()2242137=++=，故②正确；③在与底面、平面PAB 的垂直且过点M 的平面内建立直角坐标系，不妨设双曲线的标准方程为()22221,0x y a b a b-=>，则()1,0M ，即1a =，把点(2,23代入可得21241b -=，解得2,2b b a =∴=，设双曲线两渐近线的夹角为2θ，2224tan 2123θ⨯∴==--，4sin 25θ∴=，因比双曲线两渐近线的夹角为4arcsin 5，③不正确；④建立直角坐标系，不彷设抛物线的标准方程为22y px =,把点)5,4代入可得2425p =，解得85p =∴抛物线中焦点到准线的距离p 85，④不正确，故选B .【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查圆锥的性质、椭圆的性质、双曲线的性质，抛物线的方程与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.12.设使直线y ax =与曲线()sin ln 4x x x f π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭有公共点的a 的取值范围为集合A ，则（ ）A. ()1A ⊆-∞，B. ()1A +∞≠∅I ， C. ()1A ⊆+∞， D. ()1R A ⋃+∞=， 【答案】A 【解析】 【分析】设公共点(),s t ，可得πsin ln 1ln 4s ss a s s⎛⎫++ ⎪+⎝⎭=≤，通过构造函数()1ln g s s s =+-，求导分析单调性可得1ln 1ss+≤，从而得1a <. 【详解】设直线y ax =与曲线()πsin ln 4f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭有公共点(),s t ,则πsin ln 1ln 4s ss a s s⎛⎫++ ⎪+⎝⎭=≤, 设()1ln g s s s =+-,则()111sg s s s-=-=' , 所以()g s 在()0,1上是增函数,在()1,+∞上是减函数, 所以()()10g s g ≤=,1+ln s s ≤，又0s >，所以1ln 1ss+≤，当1s =时，πsin ln 1ln 41s ss s s⎛⎫++ ⎪+⎝⎭<=,所以1a <,故选A. 【点睛】本题是一道灵活处理方程问题求参的试题，用到了放缩的思想和构造新函数的方法，方法较为巧妙，难度较大，属于难题.二、填空题（把答案在答题纸的横线上）13.某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到 第6行：32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 若从表中第6行第6列开始向右依次读取数据，则得到的第6个样本编号_____ 【答案】535 【解析】 【分析】根据题意按既定的方法向右读，直到取到第六个样本为止，即可得其编号。
河北省衡水高三下学期第二次摸底考试数学(理)试题Word版含答案
河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{A k =∈N |}N ，{|2B x x n ==或3,x n n =∈}N ，则A B =（ ）A ．{}6,9B ．{}3,6,9C ．{}1,6,9,10D ．{}6,9,10 2. 若复数z 满足()2z 12i 13i (i -+=+为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400人、高二 2000人、高三n 人中，抽取90人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为36，那么高三被抽取的人数为（ ）A ．20B ．24C ．30D ．324.已知命题1:,ln 2xp x e x ⎛⎫∃>> ⎪⎝⎭；命题:1,1,log 2log a b q a b b a ∀>>+≥，则下列命题中为真命题的是 （ ）A ．()p q ⌝∧B ．p q ∧ C. ()p q ∧⌝ D ．()p q ∨⌝5. 《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ） A ．310π B ．320π C.3110π- D ．3120π-6. 若实数,x y 满足条件21025020x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则432x z x y =+的最大值为（ ）A ．1B ．6415C.1619 D ．127. 已知)221sin a x dx π-=⎰，则二项式922x a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（ ）A ．158-B ．212- C.54- D ．1-8. 已知奇函数()()()cos 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的导函数的部分图象如图所示，E 是最高点，且MNE ∆是边长为1的正三角形，那么13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．．12-C.14 D ．34π- 9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．28+．36+C. 36+．44+10. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值等于（ ）A．21tan9π-- B．25tan922tan9ππ-C. 22tan9- D．25tan 921tan9ππ- 11.椭圆()222101y x b b+=<<的左焦点为F ，上顶点为A ，右顶点为B ，若FAB ∆的外接圆圆心(),P m n 在直线y x =-的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为 （ ）A．2⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C.0,2⎛ ⎝⎭D ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭ 12. 已知()'f x 是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()()()'23(x f x e x f x e =++是自然对数的底数），()01f =，若不等式()0f x k -<的解集中恰有两个整数，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．21,0e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.21,0e ⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知4,5,(,a b c a b λμλμ===+∈R)，若(),⊥⊥-a b c b a ，则λμ= ．14.在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，23B π=，若224a c ac +=，则()sin sin sin A C A C+= ．15.已知点12,F F 分别是双曲线()222:10y C x b b-=>的左、右焦点，O 为坐标原点，点P在双曲线C 的右支上，且满足12212,tan 4F F OP PF F =∠≥，则双曲线C 的焦点的取值范围为 ．16.点M 为正方体1111ABCD A BC D -的内切球O 球面上的动点，点N 为11B C 上一点，112,NB NC DM BN =⊥，若球O 的体积为，则动点M 的轨迹的长度为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 满足12,a n ==∈N *.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设以2为公比的等比数列{}n b 满足2214log log 1211(n n n b b a n n +⋅=++∈N *），求数列{}2log n n b b -的前n 项和n S .18. 如图是某市2017年3月1日至16日的空气质量指数趋势图，空气质量指数()AQI 小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月14日中的某一天到达该市.（1）若该人到达后停留2天（到达当日算1天)，求此人停留期间空气质量都是重度污染的概率；（2）若该人到达后停留3天(到达当日算1天〉，设X 是此人停留期间空气重度污染的天数，求X 的分布列与数学期望.19. 如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//,2AB CD AB DC ACBD F ===，且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形，G 为PAD ∆的重心.（1）求证：//GF 平面PDC ；（2）求平面AGC 与平面PAB 所成锐二面角的正切值.20. 已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为,F A 为C 上位于第一象限的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D .（1）若FA AD =，当点A 的横坐标为3+ADF ∆为等腰直角三角形，求C 的方程；（2）对于（1）中求出的抛物线C ，若点()001,02D x x ⎛⎫≥⎪⎝⎭，记点B 关于x 轴的对称点为,E AE 交x 轴于点P ，且AP BP ⊥，求证：点P 的坐标为()0,0x -，并求点P 到直线AB的距离d 的取值范围.21. 设函数()()2,1(x f x e g x kx k ==+∈R ）.（1）若直线()=y g x 和函数()y f x =的图象相切，求k 的值；（2）当0k >时，若存在正实数m ，使对任意()0,x m ∈都有()()2f x g x x ->恒成立，求k 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中xOy 中，曲线C 的参数方程为cos (2sin x a tt y t =⎧⎨=⎩为参数，0a >）. 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（1）设P 是曲线C 上的一个动点，当a =P 到直线l 的距离的最大值； （2）若曲线C 上所有的点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围. 23.选修4-5：不等式选讲已知定义在R 上的函数()2,f x x m x m =--∈N *，且()4f x <恒成立.（1）求实数m 的值；（2）若()()()()0,1,0,1,3f f αβαβ∈∈+=，求证：4118αβ+≥.河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底考试数学（理）试题参考答案一、选择题1-5:DCBAD 6-10: ABDBA 11-12：AC二、填空题13.2516 15. ⎛ ⎝⎦ 三、解答题17. 解：(1) 由题知数列是以2为首项，2为公差的等差数列，()22212,43n n n a n =+-==-.(2)设等比数列{}n b 的首项为1b ，则112n n b b -=⨯，依题有()()()()1221212121214log log 4log 2log 24log 1log n n n n b b b b b n b n -+⋅=⨯⋅⨯=+-+()()2222121214log 4log 42log 144128b b b n n n n =-+⨯-+=++，即()()212212142log 1124log 4log 8b b b ⨯-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得211log 2,4b b ==，故()1112422,log 21n n n n n b b b n -++=⨯=-=-+，()()()2221221324222n n n n n n n S +-+++∴=-=--. 18. 解：设i A 表示事件“此人于3月i 日到达该市”()1,2,...,14i =.依题意知，()114i P A =，且()ij A A i j =∅≠.(1)设B 为事件“此人停留2天空气质量都是重度污染” ，则12121314B A A A A A =，所以()()()()()()12121314514P B P A P A P A P A P A ==，即此人停留2天空气质量都是重度污染的概率为514. (2) 由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2,3，且()()()()()4894893014P X P A A A P A P A P A ===++=，()()()()()21114211143214P X P A A A P A P A P A ===++=，()()()()()11213112133314P X P A A A P A P A P A ===++=，()()()()333511023114141414P X P X P X P X ==-=-=-==---=，(或()()()()()()()3567103567105114P X P A A A A A P A P A P A P A P A ===++++=)，所以X 的分布列为故X 的期望()3100123141414147E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 19. 解：(1)连接AG 并延长交PD 于H ，连接CH .由梯形,//ABCD AB CD 且2AB DC =，知21AF FC =，又G 为PAD ∆的重心，21AG AF GH FC ∴==，故//GF HC .又HC ⊂平面,PCD GF ⊄平面,//PCD GF ∴平面PDC.(2)平面PAD ⊥平面,ABCD PAD ∆与ABD ∆均为正三角形，延长PG 交AD 的中点E ，连接,,,BE PE AD BE AD PE ∴⊥⊥∴⊥平面ABCD ，以E 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，)()()()()2,0,0,3,0,3,0,,0,0,1AB DC A P B D G ==， ()()()3,0,1,3,3,0,3,0,3AG AB AP ∴=-=-=-，设()()()00000011,,,,,22C x yz DC AB x y z =∴+=，可得000333,0,,0,,0222222x y z C AC ⎛⎫⎛⎫=-==∴-∴=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面PAB的一个法向量为()1111,,n x y z =，由11111111113030n AB y x n AP z x ⎧⎧⎧⊥+==⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⊥+==⎪⎪⎪⎩⎩⎩，令11z =，得()13,1,1n =，同理可得平面AGC 的一个法向量()11212123,5,3,cos ,5n nn n n n n ⋅====，所以平面AGC 与平面PAB 所成锐二面角的正切值为811. 20. 解：(1)由题知,0,3,4222p pF FA FD FA ⎛⎫=+==+⎪⎝⎭，则4,0,22p DFD ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的中点坐标为(22,024p ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，则(22324p ++=+2p =，故C 的方程为24y x =. (2) 依题可设直线AB 的方程为()()()011220,,,,x my x m A x y B x y =+≠，则()22,E x y -，由204y xx my x ⎧=⎨=+⎩消去x ，得220001440,.161602y my x x m x --=≥∴∆=+>，121204,4y y m y y x +==-，设P 的坐标为(),0P x ，则()()2211,,,P P PE x x y PA x x y =--=-，由题知//PE PA ，所以()()21210P P x x y y x x -+-=，即()()221212211221211244P y y y y y y y y x y y x y y x +++=+==，显然1240y y m +=≠，所以1204P y y x x ==-，即证()0,0P x x -，由题知EPB ∆为等腰直角三角形，所以1AP k =，即12121y y x x +=-，也即()122212114y y y y +=-，所以()21212124,416y y y y y y -=∴+-=，即22000161616,1,1m x mx x +==-<，又因为012x ≥，所以011,2x d≤<===，令()220224,2,2t t x t d t t t ⎛-=∈=-==- ⎝⎦，易知()42f t t t =-在⎛ ⎝⎦上是减函数，所以2d ⎫∈⎪⎪⎣⎭. 21. 解：(1)设切点的坐标为()2,t t e ，由()2x f x e =得()2'2xf x e =，所以切线方程为()222t t y e e x t -=-，即()2212t t y e x t e =+-，由已知()22212t ty e x t e =+-和1y kx =+为同一条直线，()222,121tte k t e ∴=-=，令()()1x h x x e =-，则()'xh x xe =-，当(),0x ∈-∞时，()()'0,h x h x >单调递增，当()0,x ∈+∞时，()()'0,h x h x <单调递减，()()01h x h ∴≤=.当且仅当0x =时等号成立，0,2t k ∴==.（注明：若由函数()2x f x e =与()1g x kx =+相交于点()0,1，直线()1g x kx =+和函数()2x f x e =的图象相切于()0,1，得出022k e ==，得3分）(2) ①当2k >时，由（1）结合函数的图象知，存在00x >，使得对于任意的()00,x x ∈，都有()()f x g x <，则不等式()()2f x g x x ->等价于()()2f x g x x ->，即()2210x k x e -+->，设()()()2221,'2x x t x k x e t x k x e =-+-=--，令()'0t x >得12ln 22k x -<，令()'0t x <得12ln 22k x ->.若()()0121224ln 0,0,ln ,,2222k k k x t x --⎛⎫<≤≤⊆+∞∴⎪⎝⎭在()00,x 上单调递减，注意到()00t =，所以对任意的()00,x x ∈，都有()0t x <，与题设不符. 若()1212124,ln 0,0,ln ,ln ,222222k k k k t x ---⎛⎫⎛⎫>>⊆-∞∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在120,ln 22k -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()00t =，所以对任意的120,ln 22k x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有()0t x >，符合题设.此时取0120min ,ln 22k m x -⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭，可得对任意()0,x m ∈，都有()()2f x g x x ->.②当02k <≤时，由(1)结合函数的图象知()()22100,x e x x -+≥>()()()()()22121220x x f x g x e kx e x k x k x -=--=-++-≥-≥，对任意0x >都成立，()()2f x g x x ∴->等价于()2210xek x -+->.设()()221x x e k x ϕ=-+-，则()()2'22x x e k ϕ=-+，由()'0x ϕ>，得()12ln0,'022k x x ϕ+>><得()12ln ,22k x x ϕ+<∴在120,ln 22k +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，注意到()00ϕ=，所以对任意的120,ln 22k x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有()0x ϕ<，不符合题设.综上所述，k 的取值范围为()4,+∞.22. 解：(1)由cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭)cos sin 2ρθρθ-=-)x y -=-l 的方程为40x y -+=，依题意，设(),2sin P t t ，则P 到直线l 的距离6d tπ⎛⎫===+⎪⎝⎭，当26t kππ+=，即2,6t k k Zππ=-∈时，maxd==，故点P到直线l的距离的最大值为(2)因为曲线C上的所有点均在直线l的右下方，t∴∀∈R，cos2sin40-+>a t t恒成立，()4tϕ+-（其中2tanaϕ=）恒成立，4<，又0a>，解得0a<<a取值范围为(.23. 解：（1）222x m x x m x m--≤--=,要使24x m x--<恒成立，则2m<，解得22m-<<.又m∈N*，1∴=m.（2）()()()()0,1,0,1,22223f fαβαβαβ∈∈∴+=-+-=，即()141414,22525182βααβαβαβαβαβ⎛⎛⎫⎛⎫+=∴+=++=++≥+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4βααβ=，即11,36αβ==时取等号，故4118αβ+≥.。
河北省衡水市第二中学2023届高三三模数学试题(含答案解析)
河北省衡水市第二中学2023届高三三模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________⎝A ．－2B 7．若10e10a =，10e b =-二、多选题三、填空题四、双空题五、填空题六、解答题(1)证明：平面PBC⊥平面参考答案：5．D【分析】应用分步计数原理先分组再讨论相同预约计算即可【详解】由题意知这4人中恰有首先将4人分成2组，有2422C3A=种不同的分法，下面分2种情况：若预约2个馆的若预约2个馆的2人有预约1馆相同，有所以每个馆恰有2人预约的不同方案有故选：D.等价于BC 边在外接圆上固定不到，高AD 最大，AD 的最大值tan 2BC =⨯三棱锥O ABC -体积的最大值故选：A.9．ACD【分析】根据异面直线所成角判断【详解】如图，连接BC 因为BC AD ∥，所以∠显然，1D BC ∠为直线因为在正方体ABCD -在Rt 1BCD 中，tan ∠故选：ACD.10．AC【分析】根据偶函数的概念判断义判断C ；利用特例法判断【详解】由题意知()f x 的定义域为因为()f x -=()(tan sin x -因为π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x '所以()f x 在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故因为()π0f k =，则(πf k '所以()f x 的图象在点(π,0k 因为π242f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，7π4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：AC 11．ACD【分析】根据双曲线方程的形式特征判断可判断C ；设点的坐标，求解斜率之积即可判断【详解】若C 是双曲线，则此时曲线22:11y x C m m-=-由题意得1C 与2C 相内切，又2:(C x -所以222123451C C a a a a =+=+-17．(1)证明见解析(2)()122n n -+⨯【分析】（1）根据n S 与n a 的关系化简，可得（2）由（1）求出n a ，再由累乘法求解【详解】（1）由1122n n n S a -=-，得所以()111122n n n n n S S a a -++-=--，即111122n n n n a a a -++=--，整理得n a 上式两边同时除以2n ，得1122n n n n a a +--又1122n n n S a -=-，所以11112a a =-（2）由（1）知，BE ⊥平面所以BE EF ⊥，BE CP ⊥，所以在Rt BEC 中，12CE CP =则221BE BC CE =-=，则因为CP CD ⊥，EF CD ，所以所以CP ，EF ，BE 两两垂直，以E 为坐标原点，向量EP显然直线l 不垂直于x 轴，设直线由221143x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得：(234k +。
河北省衡水市第二中学2024届高三高考模拟一数学试题(含答案解析)
河北省衡水市第二中学2024届高三高考模拟一数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}2120,{23},P xx x Q x m x m P Q =--≤=≤≤-=∅ ∣∣，则实数m 的取值范围是（）．A ．{0m m <∣或4}m >B ．{04}m m <<∣C ．{3mm <∣或4}m >D ．{34}mm <<∣2．某同学统计最近5次考试成绩，发现分数恰好组成一个公差不为0的等差数列，设5次成绩的平均分数为x ，第60百分位数为m ，当去掉某一次的成绩后，4次成绩的平均分数为y ，第60百分位数为n .若y x =，则（）A ．m n >B ．m n=C ．m n<D ．m 与n 大小无法判断3．吹气球时，气球的体积V （单位：L ）与半径r （单位：dm ）之间的关系是343V r π=．当4L 3V π=时，气球的瞬时膨胀率为（）A ．1dm /L 4πB ．1dm /L3C ．3L /dmD ．4L /dmπ4．设实数x ，y 满足22154x y +=）A ．B ．2-C ．D ．前三个答案都不对5．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，设甲：{}n a 是公比不为1的等比数列；乙：存在一个非零常数t ，使1n S t ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，则（）A ．甲是乙的充要条件B ．甲是乙的充分不必要条件C ．甲是乙的必要不充分条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件6．六氟化硫，化学式为6SF ，在常压下是一种无色､无臭､无毒､不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面体E ABCD F --的棱长为a ，下列说法中正确的个数有（）①此八面体的表面积为2；②异面直线AE 与BF 所成的角为45 ；③此八面体的外接球与内切球的体积之比为④若点P 为棱EB 上的动点，则AP CP +的最小值为.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．在ABC V 中，2AB AC =，AD 是A ∠的平分线，交BC 于点D ，且AC tAD =，则t 的取值范围是A ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．3,14⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭8．已知,,(1,)a b c ∈+∞，且e 9ln11,e 10ln10,e 11ln 9a b c a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b c a>>D ．c b a>>二、多选题9．下列四个命题正确的是（）A ．若1i 1z +-=，则1i z --的最大值为3B ．若复数12,z z满足12122,2,1z z z z ==+=，则12z z -=C ．若()sin sin C A AB A AB B AC C P λλ⎛⎫ ⎪=+∈ ⎪⎝⎭R，则点P 的轨迹经过ABC V 的重心D ．在ABC V 中，D 为ABC V 所在平面内一点，且1132+= AD AB AC ，则16BCD ABDS S =△△10．由倍角公式2cos 22cos 1x x =-可知，cos 2x 可以表示为cos x 的二次多项式．一般地，存在一个()*n n ∈N 次多项式()110n n n n n P t a t a t a --=+++ （0a ，1a ，…，n a ∈R ），使得()cos cos n nx P x =，这些多项式()n P t 称为切比雪夫（P ．L ．Tschebyscheff ）多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得（）A ．()3343P t t t=-+B ．()424881P t t t =-+C．1sin 544+︒=D．1cos546︒=11．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且21n n S S n +=-+，则下列选项中正确的是（）.A ．121n n a a n ++=-（2n ≥）B ．22n n a a +-=C ．若10a =，则1004950S =D ．若数列{}n a 单调递增，则1a 的取值范围是11,43⎛⎫- ⎪⎝⎭三、填空题12．已知：平面l αβ= ，A l ∈，B l ∈，4AB =，C β∈，CA l ⊥，3AC =，D α∈，DB l ⊥，3.DB =直线AC 与BD 的夹角是60︒，则线段CD 的长为．13．数列{}满足()2*114,13n n n a a a a n N +==-+∈，则122017111a a a +++ 的整数部分是．14．极线是高等几何中的重要概念，它是圆锥曲线的一种基本特征.对于圆222x y r +=，与点()00,x y 对应的极线方程为200x x y y r +=，我们还知道如果点()00,x y 在圆上，极线方程即为切线方程；如果点()00,x y 在圆外，极线方程即为切点弦所在直线方程.同样，对于椭圆22221x y a b +=，与点()00,x y 对应的极线方程为00221x x y y a b +=.如上图，已知椭圆C ：22143x y +=，()4,P t -，过点P 作椭圆C 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为；直线AB 与OP 交于点M ，则sin PMB ∠的最小值是.四、解答题15．在数列{}n a 中，已知321212222n n a a a a n -++++= ．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)在数列{}n a 中的1a 和2a 之间插入1个数11x ，使1112,,a x a 成等差数列；在2a 和3a 之间插入2个数2122,x x ，使221223,,,a x x a 成等差数列；…；在n a 和1n a +之间插入n 个数12,,,n n nn x x x ，使121,,,,,n n n nn n a x x x a + 成等差数列，这样可以得到新数列{}1112212233132334:,,,,,,,,,,,n n b a x a x x a x x x a a ，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，求55S （用数字作答）．16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，短轴长为点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 的直线l （不与x 轴重合）与C 交于,P Q 两点，直线,AP AQ 与直线4x =的交点分别为,M N ，记直线,MF NF 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k ⋅为定值．17．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，E 是BC 的中点，点F 在棱AD 上，且PA AD ⊥，2cos5PAE ∠=-，PA =(1)若平面PAB ⋂平面PCD l =，证明：//l 平面ABCD ；(2)求平面PEF 与平面PCD 的夹角的余弦值的最大值．18．近年来，购买盲盒成为当下年轻人的潮流之一，为了引导青少年正确消费，国家市场监管总局提出，盲盒经营行为应规范指引，经营者不能变相诱导消费．盲盒最吸引人的地方，是因为盒子上没有标注，只有打开才会知道自己买到了什么，这种不确定性的背后就是概率．几何分布是概率论中非常重要的一个概率模型，可描述如下：在独立的伯努利（Bernoulli ）试验中，若所考虑事件首次出现，则试验停止，此时所进行的试验次数X 服从几何分布，事件发生的概率p 即为几何分布的参数，记作()~X G p ．几何分布有如下性质：分布列为()()11k P X k p p -==-，1,2,,,k n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅，期望()()1111k k E X k p p p+∞-==-⋅=∑．现有甲文具店推出四种款式不同、单价相同的文具盲盒，数量足够多，购买规则及概率规定如下：每次购买一个，且买到任意一种款式的文具盲盒是等可能的．(1)现小嘉欲到甲文具店购买文具盲盒．①求他第二次购买的文具盲盒的款式与第一次购买的不同的概率；②设他首次买到两种不同款式的文具盲盒时所需要的购买次数为Y ，求Y 的期望；(2)若甲文具店的文具盲盒的单价为12元，乙文具店出售与甲文具店款式相同的非盲盒文具且单价为18元．小兴为了买齐这四种款式的文具，他应选择去哪家文具店购买更省钱，并说明理由．19．牛顿在《流数法》一书中，给出了代数方程的一种数值解法——牛顿法．具体做法如下：如图，设r 是()0f x =的根，首先选取0x 作为r 的初始近似值，若()f x 在点00(,())x f x 处的切线与x 轴相交于点1(,0)x ，称1x 是r 的一次近似值；用1x 替代0x 重复上面的过程，得到2x ，称2x 是r 的二次近似值；一直重复，可得到一列数：012,,,,,n x x x x ．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当()*1,N n n x x n -∈近似值相等时，该值即作为函数()f x 的一个零点r ．(1)若32()33f x x x x =++-，当00x =时，求方程()0f x =的二次近似值（保留到小数点后两位）；(2)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取为曲线的切线或割线，求函数()e 3x g x =-在点(2,(2))g 处的切线，并证明：23ln31e <+；(3)若()(1ln )h x x x =-，若关于x 的方程()h x a =的两个根分别为1212,()x x x x <，证明：21e e x x a ->-．参考答案：题号12345678910答案C CACBBADABCBC题号11答案AC1．C【分析】化简集合A 后，根据P Q =∅ 分类讨论即可.【详解】由{}2120[3,4]P xx x =--≤=-∣，P Q =∅ ，当Q =∅时，需满足23m m >-，解得3m <；当Q ≠∅时，需满足34m m ≥⎧⎨>⎩，解得4m >，综上3m <或4m >．故选：C 2．C【分析】依题意不妨设这5次的分数从小到大分别为a 、a d +、2a d +、3a d +、4a d +()0,0a d >>，即可求出x 、m ，要使去掉一个数据之后平均数不变，则去掉的一定是2a d +，从而求出n ，即可判断.【详解】依题意不妨设这5次的分数从小到大分别为a 、a d +、2a d +、3a d +、4a d +()0,0a d >>，所以()123425x a a d a d a d a d a d =++++++++=+，又560%3⨯=，所以第60百分位数为23522a d a d m a d +++==+，要使4次成绩的平均分数为y 且y x =，则去掉的数据一定是2a d +，即还剩下a 、a d +、3a d +、4a d +()0,0a d >>，又460% 2.4⨯=，所以第60百分位数为3n a d =+，因为0d >，所以n m >.故选：C 3．A【分析】气球膨胀率指的是气球体积变化的值与半径变化值之间的比值，即rV∆∆，但此题所求的时瞬时变化率，故需要利用导数求解.【详解】因为343V r π=，所以r =，所以12333143r π-⎛⎫'=⨯ ⎪⎝⎭，所以，当43V π=时，12123333314313131433434344r ππππππ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=⨯=⨯=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭dm /L .故选：A 4．C【分析】转化为动点到两定点之间距离和，再利用焦点三角形的性质可求最小值.，点(,)P x y 是椭圆22:154x y C +=上的点，设(1,0),(1,0),(0,1)E F A -，如图．记题中代数式为M ，则||||||||||M PA PF PA PE AE =+=+≥=等号当点E ，A ，P 依次共线时取得．因此所求最小值为故选：C.5．B【分析】利用等比数列前n 项和公式，结合充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】设数列{}n a 的首项和公比分别为1a ，(1)≠q q ，则111n n q S a q -=⋅-，取11a t q =-，得1n n S q t +=，显然数列{1}n S t +是等比数列；反之，取1t =，0n a =，此时11n S +=，数列{1}nS t+为等比数列，而{}n a 不是等比数列，所以甲是乙的充分不必要条件.故选：B 6．B【分析】对①：计算出一个三角形面积后乘8即可得；对②：借助等角定理，找到与AE 平行，与BF 相交的线段，计算即可得；对③：借助外接球与内切球的性质计算即可得；对④：空间中的距离和的最值问题可将其转化到同意平面中进行计算.【详解】对①：由题意可得2284S =⨯=表，故①正确；对②：连接AC ，取AC 中点O ，连接OE 、OF ，由题意可得OE 、OF 为同一直线，A 、E 、C 、F 四点共面，又AE EC CF FA ===，故四边形AECF 为菱形，故//AE CF ，故异面直线AE 与BF 所成的角等于直线CF 与BF 所成的角，即异面直线AE 与BF 所成的角等于60CFB ∠=，故②错误；对③：由四边形ABCD 为正方形，有2222222AC BC AB EC AE a =+=+=，故四边形AECF 亦为正方形，即点O 到各顶点距离相等，即此八面体的外接球球心为O，半径为2aR =，设此八面体的内切球半径为r ，则有2112233E ABCD F E ABCD V S r V a ---=⨯==⨯⨯⨯表r =，则此八面体的外接球与内切球的体积之比为33R r ⎛⎫⎪⎛⎫== ⎪⎝⎭对④：将AEB 延EB 折叠至平面EBC中，如图所示：则在新的平面中，A 、P 、C 三点共线时，AP CP +有最小值，则()min 22AP CP a +=⨯=，故④错误.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题④中，关键点在于将不共面的问题转化为同一平面的问题.7．A【解析】在ABC V 中，2AB AC =，AD 是A ∠的平分线，由角平分线性质可得2BD ABCD AC==，利用cos cos BAD CAD ∠=∠结合余弦定理化简可得22212CD AC AD =-，再代入cos CAD ∠的式子中消去CD ，通过AC tAD =，化简整理得出3cos 4CAD t∠=，即可得到t 的取值范围.【详解】在ABC V 中，2AB AC =，AD 是A ∠的平分线，∴由角平分线的性质可得2BD ABCD AC==，BAD CAD ∠=∠，在ABD △中，由余弦定理得222cos 2AB AD BD BAD AB AD +-∠=⋅，在ACD 中，由余弦定理得222cos 2AC AD CD CAD AC AD +-∠=⋅，∴22222222AB AD BD AC AD CD AB AD AC AD+-+-=⋅⋅，化简得22222AD AC CD =-，即22212CD AC AD =-，∴22223332cos 2244AD AC AD CD AD CAD AC AD AC AD AC t+-∠===⋅⋅而0,2CAD π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，故()3cos 0,14CAD t ∠=∈，∴3,4t ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭.故选：A.【点睛】本题考查了三角形内角平分线的性质以及余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化能力与计算能力，属于中档题.8．D【分析】构造函数()()e ,1,xf x x x∞=∈+，利用导数讨论其单调性，将问题转化为比较,,，再转化为比较9ln11,10ln10,11ln 9，构造函数()()20ln g x x x =-，利用导数讨论其单调性，利用单调性即可得答案.【详解】由题知，e e e 9ln11,10ln10,11ln 9a b ca b c ===，记()()e ,1,x f x x x ∞=∈+，则()()21e x x f x x-'=，当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，故比较,,a b c 的大小关系，只需比较,,的大小关系，即比较9ln11,10ln10,11ln 9的大小关系，记()()20ln ,1g x x x x =->，则()20ln 1g x x x=-+-'，记()20ln 1h x x x =-+-，则()21200h x x x=--<'，所以()h x 在()1,+∞上单调递减，又()220338ln 81ln 8ln e 0822h =-+-=-<-<，所以，当()8,x ∈+∞时，()0h x <，()g x 单调递减，所以()()()11109g g g <<，即9ln1110ln1011ln 9<<，所以()()()f a f b f c <<，所以a b c <<.故选：D【点睛】本题难点在于构造函数()()e ,1,xf x x x∞=∈+，将问题转化成比较,,的大小关系后，需要再次构造函数()()20ln ,1g x x x x =->，对学生观察问题和分析问题的能力有很高的要求，属于难题.9．ABC【分析】A 根据复数模的几何意义及圆的性质判断；B 利用复数的运算和模的运算求解即可；C 结合重心的性质进行判断；D 利用平面向量基本定理，判断出D 点位置，进而可求.【详解】对A ，由1i 1z +-=的几何意义，知复数z 对应的动点Z 到定点(1,1)-的距离为1，即动点Z 的轨迹以(1,1)-为圆心，1为半径的圆，1i z --表示动点点Z 的轨迹以(1,1)的距离，由圆的性质知：max |i |z --==113，A 正确；对B ，设i,i,(,,,R)z m n z c d m n c d =+=+∈12，因为12122,2,1z z z z ==+=，所以,m n c d +=+=222244，,m c n d +=+=1，所以mc nd +=-2，所以12()()i z z m c n d -=-+-====，B 正确；对C ，由正弦定理的sin sin AC C AB B ⋅=⋅，即||sin ||sin AC C AB B =，()sin sin sin AB AC AP AB AC AB B AC C AB B λλ⎛⎫ ⎪∴==+ ⎪⎝⎭，设BC 中点为E ，如图：则AB +AC =2AE，则||sin AP AE AB Bλ=2 ，由平面向量的共线定理得,,A P E 三点共线，即点P 在边BC 的中线上，故点P 的轨迹经过ABC V 的重心,C 正确；对D ，如图由已知点D 在ABC V 中与AB 平行的中位线上，且靠近BC 的三等分点处，故有,,ABD ABC ACD ABC BCD S S S S S ===1123 1111236ABC ABC S S ⎛⎫--= ⎪⎝⎭ ，所以13BCD ABDS S =△△，D 错误.故选：ABC 10．BC【分析】根据两角和的余弦公式，以及二倍角的正余弦公式化简可得3cos34cos 3cos x x x =-，根据定义即可判断A 项；根据二倍角公式可推得()424cos 8cos 8cos 1P x x x =-+，即可得出B 项；根据诱导公式以及A 的结论可知，3cos544cos 183cos18︒=︒-︒，2sin 54cos 362cos 181︒=︒=︒-.平方相加，即可得出25cos 188︒+=，进而求出C 项；假设D 项成立，结合C 项，检验即可判断.【详解】对于A 项，()cos3cos 2cos 2cos sin 2sin =+=-x x x x x x x ()222cos 1cos 2cos sin x x x x=--()()222cos 1cos 2cos 1cos x x x x =---34cos 3cos x x =-.由切比雪夫多项式可知，()3cos3cos x P x =，即()33cos 4cos 3cos P x x x =-.令cos t x =，可知()3343P t t t =-，故A 项错误；对于B 项，()cos 4cos 22x x =⨯()2222cos 2122cos 11x x =-=⨯--428cos 8cos 1x x =-+.由切比雪夫多项式可知，()4cos 4cos x P x =，即()424cos 8cos 8cos 1P x x x =-+.令cos t x =，可知()424881P t t t =-+，故B 项正确；对于C 项，因为36218︒=⨯︒，54318︒=⨯︒，根据A 项3cos34cos 3cos x x x =-，可得3cos 544cos 183cos18︒=︒-︒，2cos 362cos 181︒=︒-.又cos 36sin 54︒=︒，所以2222cos 36cos 54sin 54cos 541︒+︒=︒+︒=，所以，()()22324cos 183cos182cos 1811︒-︒+︒-=.令cos180t =︒>，可知()()223243211t tt -+-=，展开即可得出642162050t t t -+=，所以42162050t t -+=，解方程可得258t ±=.因为cos18cos320t =︒>︒，所以258t =，所以，2cos 362cos 181︒=︒-512184=⨯=，所以，sin 54cos36︒=︒=C 项正确；对于D 项，假设1cos546︒=，因为1sin 544︒=，则22221si c s n o 5445⎫︒=+≠⎪⎪⎝⎭⎝⎭︒+，显然不正确，故假设不正确，故D 项错误.故选：BC.【点睛】方法点睛：根据题意多项式的定义，结合两角和以及二倍角的余弦公式，化简可求出()()34cos ,cos P x P x ，换元即可得出()()34,P t P t .11．AC【分析】对于A ，由21n n S S n +=-+，多写一项，两式相减即可得出答案.对于B ，由121n n a a n ++=-（2n ≥），多递推一项，两式相减即可得出答案少了条件2n ≥.对于C ，由分析知22n n a a +-=，所以{}n a 奇数项是以10a =为首项，2为公差的等差数列，偶数项是以21a =为首项，2为公差的等差数列，由等差数列得前n 项和公式即可得出答案.对于D ，因为数列{}n a 单调递增，根据1234n a a a a a <<<<< ，即可求出1a 的取值范围.【详解】对于A ，因为21n n S S n +=-+，当()2121n n n S S n -≥=-+-，，两式相减得：121n n a a n ++=-（2n ≥）,所以A 正确.对于B ，因为121n n a a n ++=-（2n ≥）,所以()+122+11=21n n a a n n ++=-+，两式相减得：22n n a a +-=（2n ≥），所以B 不正确.对于C ，21n n S S n +=-+ ，令1n =，则211S S =-+，1211a a a +=-+，因为10a =，所以21a =.令2n =，则324S S =-+，112324a a a a a ++=--+，所以32a =.因为22n n a a +-=（2n ≥），而312a a -=，所以22n n a a +-=.所以{}n a 奇数项是以10a =为首项，2为公差的等差数列.偶数项是以21a =为首项，2为公差的等差数列.则：()()10012399100139924100=+++S a a a a a a a a a a a =+++++++++ 5049504950025012=495022⨯⨯⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确.对于D ，21n n S S n +=-+，令1n =，则211S S =-+，1211a a a +=-+，则2121a a =-+又因为+12=21n n a a n +++，令1n =则23=3a a +，所以()3211=332122a a a a -=--+=+，同理：()4311=552223a a a a -=-+=-+，()5411=772324a a a a -=--+=+，因为数列{}n a 单调递增，所以1234n a a a a a <<<<< ，解12a a <得：113a <，解23a a <得：114a >-，解34a a <得：114a <，解45a a <得：114a >-，解56a a <得：114a <，所以1a 的取值范围是11,44⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以D 不正确.故选：AC.【点睛】本题考查的是等差数列的知识，解题的关键是利用121n n a a n ++=-，得出{}n a 的奇数项、偶数项分别成等差数列，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于难题.12．5【分析】作//AE BD 且AE BD =，连接,ED EC ，则CAE ∠（或其补角）为异面直线,AC BD 所成的角，所以60CAE ∠=︒或120CAE ∠=︒，证明DE EC ⊥，先求出EC ，再得CD ．【详解】如图，作//AE BD 且AE BD =，连接,ED EC ，则CAE ∠（或其补角）为异面直线,AC BD 所成的角，所以60CAE ∠=︒或120CAE ∠=︒，因为//AE BD 且AE BD =，所以ABDE 是平行四边形，所以//DE AB ，4DE AB ==，因为,AB AC AB BD ⊥⊥，所以,ED AC ED AE ⊥⊥，AC AE A ⋂=，所以BD ⊥平面AEC ，CE ⊂平面AEC ，所以ED CE ⊥，3AC AE ==，若60CAE ∠=︒，则3CE =，5CD ==，若120CAE ∠=︒，则23sin 60CE =⨯︒=，CD =故答案为：5【点睛】本题考查异面直线所成角的应用，都可空间两点间的距离．解题关键是作出异面直线所成的角．构造三角形，在三角形中求线段长．13．2【详解】因为()2*114,13n n n a a a a n N +==-+∈，所以211(1)0n n n n n a a a a a ++-=->⇒>，数列{}单调递增，所以1(11)0n n n a a a +-=->，所以111(1)1111n n n n na a a a a +--=--=，所以121122111111111111()()()11111n n n n n S a a a a a a a a a a a =+++=-+-++-=------ ，所以20172017131m S a ==--，因为143a =，所以22223444131313133133133()1,()1,()12,33999818181a a a =-+==-+==-+> ，所以20172016201542a a a a >>>>> ，所以201711a ->，所以20171011a <<-，所以201512331a <-<-，因此m 的整数部分是2．点睛：本题考查了数列的综合应用问题，其中解答中涉及到数列的通项公式，数列的裂项求和，数列的单调性的应用等知识点的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题，本题的借助数列递推关系，化简数列为111111n n na a a +=---，再借助数列的单调性是解答的关键．14．103tyx -+-=（或330x ty -+=）；【分析】（1）根据已知直接写出直线AB 的方程；（2）求出cos ,OP n →→〈〉=sin PMB ∠利用基本不等式求解.【详解】解：（1）由题得AB ：4143x ty-+=，即103ty x -+-=，（2）()4,OP t →=-，3k AB t→=，∴AB →的方向向量(),3n t = ，所以cos ,OP nOP n OP n→→→→→→⋅〈〉==sin PMB ∠==，即()min sin PMB ∠=.故答案为：103tyx -+-=.15．(1)2n n a =(2)14337【分析】（1）根据数列的前n 项和求数列的通项公式，一定要分1n =和2n ≥讨论.（2）首先弄清楚新数列前55项的构成，再转化为错位相减法求和.【详解】（1）当1n =时，12a =；当2n ≥时，3312211121222222222n n n n n n a a a a a a a a a ----⎛⎫⎛⎫=++++-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2212n n =--=，所以122nn a -=⇒2n n a =，2n ≥.当1n =时，上式亦成立，所以：2n n a =.（2）由()123155n n ⎡⎤+++++-=⎣⎦ ⇒10n =.所以新数列前55项中包含数列的前10项，还包含，11x ，21x ，22x ，31x ，32x ，L ，98x ，99x .且12112a a x +=，()23212222a a x x ++=，()3431323332a a x x x +++=，()91091929992a a x x x ++++=.所以()()()239101255121029222a a a a a a S a a a +++=+++++++123910357191122a a a a a ++++=+ .设123935719T a a a a =++++ 1239325272192=⨯+⨯+⨯++⨯ 则234102325272192T =⨯+⨯+⨯++⨯ ，所以()1239102322222192T T T -=-=⨯+⨯+++-⨯ 101722=-⨯-.故：101722T =⨯+.所以1010955172211228211433722S ⨯+=+⨯=⨯+=.【点睛】关键点点睛：本题的关键是要弄清楚新数列前55项的构成.可先通过列举数列的前几项进行观察得到规律.16．(1)22143x y +=；(2)证明见解析.【分析】（1）由题意得b =，将点3(1,)2代入椭圆的方程可求得2a 的值，进而可得椭圆的方程；（2）设:1l x ty =+，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，联立直线l 和椭圆的方程，可得122634ty y t +=-+，122934y y t =-+，直线PA 的方程为11(2)2y y x x =++，令4x =，得116(4,2y M x +，同理226(4,)2y N x +，由斜率公式计算即可．【详解】（1）因为2b =b =，再将点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入22213x y a +=得21314a +=，解得24a =，故椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）由题意可设()()1122:1,,,,l x ty P x y Q x y =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()2234690t y ty ++-=，易知0∆>恒成立，所以12122269,3434t y y y y t t +=-=-++，又因为−2,0，所以直线PA 的方程为=+2，令4x =，则1162=+y y x ，故1164,2y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭，同理2264,2y N x ⎛⎫⎪+⎝⎭，从而()()111212126266,413333y x y y k k ty ty +===-++，故()()()212121222212121222363643419189333993434y y y y t k k t t ty ty t y y t y y t t -+====-+++++--+++为定值．17．(1)证明见解析(2)14【分析】（1）证明出//CD 平面PAB ，利用线面平行的性质可得出//CD l ，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）计算出cos PAB ∠的值，以A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴，建立空间直角坐标系，设()0,,0F a ()02a ≤≤，利用空间向量法结合二次函数的基本性质可求得平面PEF 与平面PCD 的夹角的余弦值的最大值.【详解】（1）证明：因为四边形ABCD 正方形，所以//AB CD ．因为CD ⊂/平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以//CD 平面PAB ．又因为CD ⊂平面PCD ，平面PAB ⋂平面PCD l =，所以//CD l ．因为l ⊂/平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以//l 平面ABCD ．（2）解：由题意可得AE ==，PE =因为四边形ABCD 是正方形，所以AB AD ⊥．又因为PA AD ⊥，PA AB A = ，PA 、AB ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ．因为//AD BC ，所以⊥BC 平面PAB ，因为PB ⊂平面PAB ，所以，BC PB⊥．则PB ===．所以，222cos 2PA AB PB PAB PA AB +-∠==⋅以A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．点P 到平面yAz的距离为()cos π1AP PAB -∠=，点P 到平面xAy2==．则()1,0,2P -，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()2,1,0E ，设()0,,0F a ()02a ≤≤，则()3,2,2PC =-，()2,0,0CD =- ，设平面PCD 的法向量为()111,,x n y z = ，则1111322020PC n x y z CD n x ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取11y =，可得()0,1,1n = ．设平面PEF 的法向量为()222,,m x y z = ，()3,1,2PE =-，()1,,2PF a =- ，则22222232020PE m x y z PF m x ay z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取24y =，可得()22,4,31m a a =-- ．设平面PEF 与平面PCD 的夹角为α，则cos m n m nα⋅==⋅ 令[]11,3a t +=∈，则cosα==．当1512t =时，211484013t t ⎛⎫-⨯+⎪⎝⎭取得最小值，最小值为143，所以cos α75a =．故平面PEF 与平面PCD 的夹角的余弦值的最大值为14．18．(1)①34；②73(2)应该去乙店购买非盲盒文具，理由见解析【分析】（1）①明确第二次只需买到其余的三种文具盲盒的任意一款即可求解；②结合已知由几何分布的性质即可求解.（2）由随机变量以及相应的均值结合几何分布的性质即可求解.【详解】（1）①由题意可知，当第一次购买的文具盲盒已经确定时，第二次只需买到其余的三种文具盲盒的任意一款即可，所以34p =；②设从第一次购买文具后直到购买到两种不同款式的文具盲盒所需要的购买次数为X ，则由题意可知3~4X G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又1Y X =+，所以()()()4711133E Y E X E X =+=+=+=.（2）由题意，在乙店买齐全部文具盲盒所花费的费用为18472⨯=元，设从甲店买齐四种文具盲盒所需要的购买次数为Z ，从第一次购买到1i -种不同款式的文具开始，到第一次购买到i 种不同款式的文具盲盒所需要的购买次数为随机变量i Z ，则5~4i i Z G -⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中1,2,3,4i =，而1234Z Z Z Z Z =+++，所以()()()441234114425124533i i i E Z E Z Z Z Z E Z i===+++===+++=-∑∑，所以在甲店买齐全部文具盲盒所需费用的期望为()1210072E Z =>，所以应该去乙店购买非盲盒文具．19．(1)1.83(2)22e e 30x y ---=，证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据题意分别计算出12,x x ，取2x 得近似值即为方程()0f x =的二次近似值；（2）分别求出(2)g ，(2)g '，即可写出函数()g x 在点(2,(2))g 处的切线方程；设2()ln 1,1ex m x x x =-->，证明出2()(e )m x m ≤，得出2(3)(e )m m <，即可证明；（3）先判断出1201e x x <<<<，然后辅助证明两个不等式()()()1e 1e 1e h x x x ≥-≤≤-和()(01)h x x x ≥<≤即可．【详解】（1）2()361f x x x '=++，当00x =时，(0)1f '=，()f x 在点(0,3)-处的切线方程为3y x +=，与x 轴的交点横坐标为(3,0)，所以13x =，(3)46f '=，()f x 在点(3,54)处的切线方程为5446(3)y x -=-，与x 轴的交点为42(,0)23，所以方程()0f x =的二次近似值为1.83．（2）由题可知，2(2)e 3g =-，()e x g x '=，2(2)e g '=，所以()g x 在(2,(2))g 处的切线为22(e 3)e (2)y x --=-，即22e e 30x y ---=；设2()ln 1,1e x m x x x =-->，则211()em x x '=-，显然()m x '单调递减，令()0m x '=，解得2e x =，所以当2(1,e )x ∈时，()0m x '>，则()m x 在2(1,e )单调递增，当2(e ,)x ∈+∞时，()0m x '<，则()m x 在2(e ,)+∞单调递减，所以2222e ()(e )ln e 10em x m ≤=--=，所以2(3)(e )m m <，即2233ln 310ln 31e e --<⇔<+．（3）由()ln h x x x x =-，得()ln h x x '=-，当01x <<时，ℎ′>0；当1x >时，ℎ′<0，所以ℎ在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，所以1x =是ℎ的极大值点，也是ℎ的最大值点，即()max ()11h x h ==，又0e x <<时，()0h x >，e x >时，()0h x <，所以当方程()h x a =有两个根时，必满足1201e x x <<<<；曲线()y h x =过点()1,1和点()e,0的割线方程为1(e)1e y x =--，下面证明()()()1:e 1e 1e h x x x ≥-≤≤-，设()()()()1e 1e 1eu x h x x x =--≤≤-，则()1e 11ln ln lne e 1u x x x -⎛⎫=-+=-'- ⎪-⎝⎭，所以当1e 11e x -<<时，()0u x '>；当1e 1e e x -<<时，()0u x '<，所以()u x 在1e 11,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()()10u x u ≥=；在1e 1e ,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上()u x 单调递减，()()e 0u x u ≥=，所以当1e x ≤≤时，()0u x ≥，即()1()e (1e)1ef x x x ≥-≤≤-（当且仅当1x =或e x =时取等号），由于21e x <<，所以()()221e 1e a f x x =>--，解得2e e x a a >-+；①下面证明当01x <≤时，()h x x ≥，设()()ln ,01n x h x x x x x =--<≤=，因为ln 0x ≤，所以当01x <≤时，()f x x ≥（当且仅当1x =时取等号），由于101x <<所以()11a h x x =>，解得1x a ->-，②①+②，得21e e x x a ->-．【点睛】关键点睛：第三问的难点在于辅助构造出两个函数不等式，这样再利用函数单调性，得到相关不等式，然后进行估计21x x -的范围．。
【附20套高考模拟试题】2020届衡水市第二中学高考数学模拟试卷含答案
2020届衡水市第二中学高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设12F F ，分别是双曲线22y x 19-=的左、右焦点.若点P 在双曲线上，且12PF?PF 0=u u u v u u u v ，则12PF PF +=u u u v u u u v （ ） A ．10B ．210C ．5D ．252．已知直线y=x+m 和圆x 2+y 2=1交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若3AO AB 2⋅=u u u r u u u r ，则实数m=（ ）A ．1±B ．3±C ．2±D ．12±3．已知1,2F F 为双曲线C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且212PF PF =，则C 的离心率为（ ） A ．2B ．5C ．51-D ．51+4．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，过原点的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若260AF B ∠=︒，2ABF ∆的面积为23a ，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．12y x=± B ．2y x =± C ．33y x=±D ．3y x =±5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的的值等于（ ）A ．30B ．31C ．62D ．636．已知函数1ln(1)()(2)2x f x x x +-=>-,若()1kf x x >-恒成立,则整数k 的最大值为( )A ．2B ．3C ．4D ．57．已知1()sin 2f x x x =-，则()f x 的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数若，则的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．9．若函数()33ln f x x x x -+-，则曲线()y f x =在点()()-1,-1f 处的切线的倾斜角是（ ） A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π10．已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m α⊂，则m β⊥B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊄，m β⊥，则//m αD ．若m αβ=I ，n m ⊥，则n α⊥11．双曲线M 的焦点是1F ，2F ，若双曲线M 上存在点P ，使12PF F ∆是有一个内角为23π的等腰三角形，则M 的离心率是（ ）A 31B 21C ．312D ．21212．已知等差数列{}n a 中，1351,14a a a =+=，若n 是从1，2，3，4，5，6六个数中任取的一个数，则使8n a <的概率为（ ）A ．34B ．23 C ．12 D ．13二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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衡水二中理科数学模拟试卷一、选择题1．设集合{}1|21-=≥xA x，{}3|log,B y y x x A==∈，则BC A=( )A．(0，1) B．[0，1) C．(0，1] D．[0，1]2．已知复数z 满足121iiz-=+，则z=( )A．52B．322C．102D．33．已知函数()2xf x=，若()0.22a f=，()2b f=，()2log5c f=，则( )A．a<b<c B．c<b<a C．b<a<c D．a<c<b4．我们在求高次方程或超越方程的近似解时常用二分法求解，在实际生活中还有三分法．比如借助天平鉴别假币．有三枚形状大小完全相同的硬币，其中有一假币(质量较轻)，把两枚硬币放在天平的两端，若天平平衡，则剩余一枚为假币，若天平不平衡，较轻的一端放的硬币为假币．现有27枚这样的硬币，其中有一枚是假币(质量较轻)，如果只有一台天平，则一定能找到这枚假币所需要使用天平的最少次数为A．2 B．3 C．4 D．55．如图，直线l的解析式为y=-x+4，它与x轴和y轴分别相交于A，B两点．平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动．它与x轴和y轴分别相交于C，D两点，运动时间为t秒(0≤t≤4)，以CD为斜边作等腰直角三角形CDE(E，O两点分别在CD两侧)．若△CDE 和△OAB的重合部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象大致是( )A．B．C．D．6．如图所给的程序运行结果为S=41，那么判断框中应填入的关于k的条件是( ) A．7k≥? B．6k≥? C．5k≥? D．6k>?7．下列判断正确的是( )A．“2x<-”是“1n(x+3)<0”的充分不必要条件B．函数()2299f x xx=+++的最小值为2C．当α，Rβ∈时，命题“若sin sinαβ≠，则αβ≠”为真命题D．命题“0x∀>，201920190x+>”的否定是“00x∃≤，0201920190x+≤”8．若两个非零向量,a br r满足2a b a b a+=-=r r r r r，则向量a b+r r与a b-r r的夹角是( )A．6πB．2πC．23πD．56π9．如图，《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院．该作品简介：院角的枣树结实累累，小孩群来攀扯，枝桠不停晃动，粒粒枣子摇落满地，有的牵起衣角，有的捧着盘子拾取，又玩又吃，一片兴高采烈之情，跃然于绢素之上．甲、乙、丙、丁四人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶四个动作，四人每人模仿一个动作．若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”的概率是( )A．34B．712C．12D．51210．设F2是双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的右焦点，O为坐标原点，过F2的直线交双曲线的右支于点P，N，直线PO交双曲线C于另一点M，若22||3||MF PF=，且∠MF2N=60°，则双曲线C的离心率为( ) A．3 B．2 C．5D．711．设函数()()2sin,0,xf x e a x xπ=-∈有且仅有一个零点，则实数a的值为( )A ．42eπB ．422e π C ．222e π D ．22e π12．在三棱锥A-BCD 中，∠BAC=∠BDC=60°，二面角A-BC-D 的余弦值为13-，当三棱锥A-BCD 的体积的最大值为64时，其外接球的表面积为( ) A ．5π B ．6π C ．7π D ．8π第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题13．已知实数x 、y 满足线性约束条件114x y x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是________．14．在等比数列{a n }中，已知2532a a a =，且4a 与72a 的等差中项为54，则5________S = 15．函数()3sin 4cos f x x x =+，若直线x θ=是曲线()y f x =的一条对称轴，则cos2sin cos ________θθθ+=．16．F 1、F 2是椭圆()222210x y a b a b +=>>的两个焦点，P 为椭圆上的一点，如果△PF 1F 2的面积为1，121tan 2PF F ∠=，21tan 2PF F ∠=-，则a=________________三、解答题17．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若21cos 222A b c=+ (Ⅰ)求角C ；(Ⅱ)BM 平分角B 交AC 于点M ，且BM=1，c=6，求cos ∠ABM ．18．在四棱锥P-ABCD 中，AD ∥BC ，12AB BC CD AD ===，G 是PB 的中点，△PAD 是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ． (Ⅰ)求证：CD ⊥平面GAC ；(Ⅱ)求二面角P-AG-C 的正弦值．19.已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上一点P （x 0，2）到焦点F 的距离|PF |＝2x 0． （1）求抛物线C 的方程； （2）过点P 引圆的两条切线PA 、PB ，切线PA 、PB 与抛物线C 的另一交点分别为A 、B ，线段AB 中点的横坐标记为t ，求t 的取值范围．20．某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成．每件产品的非原料成本y(元)与生产该产品的数量x(千件)有关，经统计得到如下数据： x 1 2 3 4 5 6 7 8 y1126144.53530.5282524根据以上数据，绘制了散点图．观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型by a x=+和指数函数模型dxy ce =分别对两个变量的关系进行拟合．已求得用指数函数模型拟合的回归方程为$0.296.54x y e -=，ln y 与x 的相关系数10.94r =-．参考数据(其中1i u x =)： 81i ii u y =∑u2u821ii u=∑81ii y=∑821ii y=∑0.616185.5⨯2e -183.4 0.34 0.115 1.53 360 22385.5 61.4 0.135(1)用反比例函数模型求y 关于x 的回归方程；(2)用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好(精确到0.01)，并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本；(3)该企业采取订单生产模式(根据订单数量进行生产，即产品全部售出)．根据市场调研数据，若该产品单价定为100元，则签订9千件订单的概率为0.8，签订10千件订单的概率为0.2；若单价定为90元，则签订10千件订单的概率为0.3，签订11千件订单的概率为0.7．已知每件产品的原料成本为10元，根据(2)的结果，企业要想获得更高利润，产品单价应选择100元还是90元，请说明理由．参考公式：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：µ1221ni i i nii u vnuv unuβ==-=-∑∑，$¶a v u β=-，相关系数ni iu vnuvr -=∑21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝xe x －alnx －ax ＋a －e 。
(1)若f(x)为单调函数，求a 的取值范围； (2)若函数f(x)仅一个零点，求a 的取值范围。
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是()22281311k x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩(k 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(Ⅰ)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； (Ⅱ)求曲线C 上的点到直线l 的距离的取值范围．23．[选修4-5：不等式选讲]已知a ，b ，c 为正数，且a+b+c=2，证明：(Ⅰ)43ab bc ac ++≤； (Ⅱ)2228a b cb c a---≥g g ．开学测试答案19.解：（1）抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F （，0），准线方程为x ＝﹣，|PF|＝2x0．即为x0+＝2x0，又2px0＝4，解得p＝2，x0＝1，抛物线C的方程为y2＝4x；（2）过P（1，2）的切线方程为y＝kx+2﹣k，由切线与圆M 相切，可得＝r，化为（r2﹣4）k2﹣8k+（r2﹣4）＝0，可得k1+k2＝，k1k2＝1，由y＝kx+2﹣k，联立抛物线方程可得k2x2+[2k（2﹣k）﹣4]x+（2﹣k）2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得1•x1＝＝1﹣+，1•x2＝＝1﹣+，即有x1+x2＝2﹣4（+）+4（+）＝2﹣+4（﹣2）＝（+1）2﹣7，由0＜r ≤，可得4﹣r2∈[2，4），可得（+1）2﹣7∈（18，74]，即有t ＝∈（9，37]．t的取值范围是（9，37]．高三模拟练习一（2月10日）理科数学19.解：（1）抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F （，0），准线方程为x ＝﹣，|PF|＝2x0．即为x0+＝2x0，又2px0＝4，解得p＝2，x0＝1，抛物线C的方程为y2＝4x；（2）过P（1，2）的切线方程为y＝kx+2﹣k，由切线与圆M 相切，可得＝r，化为（r2﹣4）k2﹣8k+（r2﹣4）＝0，可得k1+k2＝，k1k2＝1，由y＝kx+2﹣k，联立抛物线方程可得k2x2+[2k（2﹣k）﹣4]x+（2﹣k）2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得1•x1＝＝1﹣+，1•x2＝＝1﹣+，即有x1+x2＝2﹣4（+）+4（+）＝2﹣+4（﹣2）＝（+1）2﹣7，由0＜r ≤，可得4﹣r2∈[2，4），可得（+1）2﹣7∈（18，74]，即有t ＝∈（9，37]．t的取值范围是（9，37]．。