第九章 非线性偏微分方程

第九章 非线性偏微分方程

前面几章索研究的偏微分方程都是线性的，但在实际工程级数及自然科学中索遇到的方程大多都是非线性的，在有些情况下，人们为了研究方便，对问题补充了一些附加的条件或略去一些次要的项，才得到线性方程。在这一章内，我们将从一个具体问题出发引入非线性偏微分方程的概念，然后重点讨论两类重要的非线性方程。 §9.1 极小曲面问题

在第八章内已经说过，求解一个边值问题可以转化成求它所对应的一个泛函的最小值（当然，一般说来变分问题的解只是原边值问题的弱解）。其实，在数学里也已证明了相反的结论，即在一定条件下一个变分问题的解必满足一个微分方程。在这一节内，我们以极小曲面问题为例说明这个事实。

设Ω是平面上有界区域，它的边界?Ω是充分光滑的，其方程为：

(),(),

x x s y y s ==00s s ≤≤ 其中00(0)(),(0)()x x s y y s ==即?Ω是一条闭曲线。现在在?Ω上给定一条空间曲线l （即作一条空间曲线l ，使它到Ω所在平面的投影为?Ω）：

0(),:(),0,(),x x s l y y s s s u s ?=??=≤≤??=?

（9.1） 这里0(0)()s ??=。所谓极小曲面问题就是要确定一张定义在Ω上的曲

面S ，使得

（1）S 以l 为周界；

（2）S 的表面积在所有以l 为周界的曲面中是最小的。

假定空间曲面的方程为

(,)v v x y =

则由微积分学可知，这个曲面的表面积为

()J v =??

（9.2） 于是上述极小曲面问题就变成求一个函数u ，使得

（1）由(,)u u x y =所表示的曲面以l 为周界，即

1(),u C u ??Ω∈Ω=，或者说，u M ?∈，

其中M ?由（8.7）给出；

（2）()min ()v M J u J v ?

∈= （9.3） 这是一个变分问题。

如何求出变分问题（9.3）的解？我们先来看看假若u M ?∈是（9.3）

的解，那么u 必需满足什么样的条件。为此，在0M 任取一个元素v ，

即任取0v M ∈，即1(),0v C v ?Ω∈Ω=。对任意(,),u v M ?εε∈-∞+∞+∈，记

()()j J u v εε=+ （9.4）

其中()J u 由（9.2）确定，从（9.2）可知()j ε是定义在R 上的一个可微函数，由于u 是（9.3）的解，所以对任意R ε∈处取得最小值，故

(0)0j '= （9.5）

不难看出

()()()u v v u v v j εεε+++'=??

代入（9.5）得

]0x y u dxdy Ω=??

假若u 具有更好的光滑性，例如2()u C ∈Ω，由格林公式可得

{0u vdxdy x y Ω??-++=????? 由于0v M ∈，即0v ?Ω=，因此上式左端第二项为零，再由v 的任意性及

被积函数的连续性可知

0u x y ??+=?? （9.6） 这个方程称为变分问题（9.3）的Euler 方程。

上面的推导说明，如果u 是（9.3）的解，且2()u C ∈Ω，则u 必满足（9.6），当然还满足边界条件

u ??Ω= （9.7）

因此定义在Ω上且以空间曲线l 为周界的极小曲面(,)u u x y =必定在Ω内适合方程（9.6）和在?Ω上满足边界条件（9.7）。方程（9.6）可以改写成

22(1)2(1)0y xx x y xy x yy u u u u u u u +-++= （9.8）

这个方程通常称为极小曲面方程。它有什么特点？它关于二阶导数

,xx xy u u 及yy u 是线性的，但它们前面的系数分别含有2y

u ，x y u u 及2x u ，所以对x u ，y u 来说它不是线性关系，特别是，如果把x u ，y u ，,xx xy u u 及yy u 同等看待，这个方程对它们不少线性方程，故它是一个非线性方程。

§9.2 非线性偏微分方程举例

在上一节内，我们以极小曲面问题为例得到了一个非线性偏微分方程（9.8），其实，在力学、物理学及几何学中都有大量的非线性偏微分方程。例如，在热传导问题（第一章第一节例4）中，如果热传导系数k 不是常数，而是温度的函数，则三维热传导方程为

(())(())(())u u u u k u k u k u t x x y y z z

???????=++??????? （9.9） 这也是一个非线性方程。

在流体力学中，描述粘性气体运动的方程是著名的Navier-Stokes 方程，其形式为

31()0i i i

u t x ρρ=??+=??∑ （连续性方程） 1ij i j i j

du p dt x x τρ??=-+??∑ （动量方程） 211()()2p i ij j i j j d u T p C T u dt x x t

λτρρ???+=++???∑∑（能量方程） 其中

,2()3i i i

j i l ij ij l j i l d u p R T dt t x u u u x x x ρτηδ??=+=?????=+-???∑∑ （9.11）

这里ρ是流体密度，123(,,)u u u u =是流速，T 是温度，η、ξ是粘性系数，λ是传热系数，p 是压强，p C 是定压比热，R 是气体常数，ij τ表示粘滞力的张量，ij δ是Kronecker 记号，即

1,0,ij i j i j

δ=?=?≠?

当流体为不可压缩时，ρ是长和数；又若不计温度的变化，这（9.10）化为不可压缩流体的Navier-Stockes 方程

10,i i i i i i u du p u x dt x ηρρ

??==-+???∑ （9.12） 取1ρ≡，并利用（9.11），这上述方程组为

31310,1,2,30i i i j j j i

i i i u u p u u i t x x u x η==???-?++==????=?∑∑ （9.13）

这是关于123,,,p u u u 的非线性方程组。

在热平衡问题中，如果热传导系数是常数，但物体内含有一个依赖于温度及温度梯度的热源，则可得

(,,)u f x u u ?=? （9.14）

在微分几何中，若要求出中曲率κ为已知的曲面时，就需要求解下列方程：

2(,,,,)rt s f x y u p q -= （9.15）

其中,,,,x y x x x y y y p u q u r u s u t u =====。这个方程称为蒙日－安培尔

（Monge-Ampere ）方程。

上面我们已经从不同的问题引入了一些非线性方程或方程组，现在再对它们作一些比较。方程（9.14）中的最高阶导数（即二阶导数）部分纯粹是线性得，它的非线性只出现在函数u 及其一阶导数项，这样的方程称为半线性方程，方程组（9.13）也是半线性的；方程（9.8）对最高阶导数（二阶导数项）来说是线性的，但它们的系数依赖于未知函数的非最高阶导数（那里是一阶导数），这样的方程称为拟线性

的；方程（9.15）的特点是对最高阶导数（二阶导数）也是非线性的，这样的方程称为完全非线性（或真正非线性）方程。显而易见，完全非线性方程的非线性程度最高，半线性方程的非线性程度最低，拟线性方程的非线性程度介于两者之间。

对于非线性偏微分方程，一般说来是无法求出解的表达式，只能求其近似解。但对一些很特殊的情形，通过适当的未知函数的变换将方程化成线性方程，或者经过适当的数学处理化成可以求解的方程，下面举例说明。

例1 在流体力学中有一个很重要的比尔吉斯（Burgers ）方程

t x xx u uu u λ+= （9.16）

这是一个二阶偏微分方程，为了解这个方程，令x u v =，再对x 积分一

次可得

212

t x xx v v v λ+= 再令

2ln v λψ=-

则得

t xx ψλψ=

这是一维的线性热传导方程，对它的各种定解问题可以用第二、三中的方法求出它的解，有了ψ之后可以求出u 。

例2 在微分几何中遇到如下Liouville 方程

u u e x y

?=?? （9.17） 这是一个半线性的二阶方程。若令u '是

0u x y

'?=?? （9.18） 的解，再构造一个偏微分方程组

1()21()22u u u u u u e x x u u e y

y ββ'+'-?'??=-?????'???=--???? （9.19） 其中β是常数。通过计算可以验证：若u 是（9.19）的解，则u 必是（9.17）的解。有第三章已知，（9.18）的解总可以写成

(,)()()u x y f x g y '=+

其中,f g 是任意可微函数。有了u '再解（9.19），最后可得（9.17）的通解

exp[(()())2]2ln exp ()exp(())2f x g y u f x dx g y dy β????-=????-+-????

? 与线性方程相比，非线性方程还有一个特点，即它的解即使存在，也不一定对所有的时间0t ≥都存在（当然假定方程中含有时间变量t ）

，而只是再某个有限时间内存在，见下例 例3 考虑Riccati 方程的初值问题

200,0(0)()dv v t dt

v v v ?=>???=?

是常数 （8.20） 容易求出它的解

00

()1v v t v =- 显然，若00v <，则（9.20）的解对所有0t ≥都存在，简称整体存在；

若00v >，则当01t v →时，()v t →+∞，这时解在时刻00

1t v =产生破裂，所以（9.20）只在01

[0,)v 内有解，简称解是局部存在的。

§9.3 单个守恒律 激波

在这一节内，我们将研究形如

()0t x u f u += （9.21）

的一阶非线性双曲型方程初值问题。由于方程（9.21）左端是散度形式，通常将它称为守恒律。我们将要指出这个方程的解可能产生间断，并着重介绍激波的概念。

先看一个特例，即考虑Burgers 方程的初值问题

0,0,, (9.22)(,0)(),, (9.23)

t x u uu t x u x x x ?+=>-∞<<+∞??=-∞<<+∞? 在这个问题古典解（1C 类解）存在的范围内，可由

(,)dx u x t dt

= （9.24） 定义其特征线。显然，沿着特征线有

0du dt

= 即u 在每一条特征线上取常数值。由（9.24）知特征线是直线，通过点0(,0)x 的特征线为

00()x x t x ?=+ （9.25）

在其上

0()u x ?= （9.26）

设()x ?的1C 模有界（即sup ()sup ()x x M ??'+≤），且t 较小，则有

00

()10x t x ??'=+>? 故由（9.25）可得

0(,)x x t ψ=

代入（9.26）即得问题（9.22），（9.23）的解为

((,))u x t ?ψ=

这说明，这个问题总存在惟一的局部古典解。

但是，只要()x ?不是一个单调不减函数，在x 轴上必存在两点1(,0)x ，2(,0)x 使得：

12x x <

但

12()()x x ??>

这时，过此二点的特征线

(),1,2i i x x t x i ?=+=

必在有限时刻相交，在交点处解就不能惟一地确定，即初值问题不可能在0t ≥内存在整体的古典解。这种现象在力学里对应于形成激波。

上述讨论可以用于一般的单个守恒律（9.21），考虑这个方程具有初始条件（9.23）的初值问题。和前面类似，如果存在点12x x <，使得：

121211(())(())

m m f x f x ??=<='' 则从点1(,0)x ，2(,0)x 出发的特征线1l 与2l 将在0t >内某点P 相交，沿,(,)(),1,2i i l u x t x i ?==。因此，在点P 解必须间断，即使初值()x ?与函

数f 充分光滑，甚至是解析的，仍然如此，即这个现象完全是由于方程的非线性所致。

为了把这个问题说得更清楚一点，设f 满足凸性条件（图9.1）

0f ''> （9.27）

在0t >内任取一点(,)x t ，以(,)y x t 表示通过(,)x t 的特征线与x 轴的交点的横坐标。因为沿着特征线u 是常数，且

(())tf u y x y '=-

可见u 必须由下列隐式关系来确定

(,)(((,)))u x t x tf u x t ?'=- （9.28）

若?是可微的，利用隐函数存在定理，对充分小的t ，由（9.28）解得u ，且

()1()t f u u f u t

??''=-'''+ 1()x u f u t ??'

=-'''+

因此，若()0x ?'≥，则对所有0t ≥，x u 和t u 保持有界，且解是整体

存在的；如果在某点0?'<，则当1()0f u t ?'''+=时，x u 与t u 变成无界的，

即古典解不可能整体存在。

上面的分析表明，为了研究初值问题（9.21），（9.23），必须推广解的概念。 为了推广解的概念，令2{(,),0}R x t x t +≡-∞<<+∞≥。在12()C R +内任

取一个函数(,)x t ψ，使它当x 及t 充分大时恒等于零，用ψ乘方程（9.21）

的两端后再在2R +内积分，利用分部积分法及ψ的条件可得

0(())()(,0)0t x u f u dxdt x x dx ψψ?ψ∞+∞+∞

-∞-∞++=??? （9.29） 我们把满足（9.29）的函数u 称为问题（9.21），（9.23）的广义解（或弱解）。显然，若u 是古典解，则它必是广义解。

值得指出的是，并不是每个间断函数都可以作为问题（9.21），（9.23）的广义解，表达式（9.29）对解的间断性强加可苛刻的限制，为了说明这一点，设Γ是一光滑曲线，u 在其上由阶跃间断，但除Γ以外，u 是光滑的。在Γ上任取一点P ，以B 表示以P 为圆心的小球（图

9.2），假设在B 内Γ由方程()x x t =表示。任给10()C B ψ∈，由（9.29）得：

12

0()()()t x t x t x B B B u f dxdt u f dxdt u f dxdt ψψψψψψ=+=+++??????（9.30） 由于u 在(1,2)i B i =内是1C 的，利用散度定理得

()()()) (),1,2i i

i t x t x B B B u f dxdt u f dxdt udx fdt i ψψψψψ?+=+=-+=????? （9.31）

因在B ?上0ψ=，这些线积分仅在Γ上是非零的。记(()0,),(()0,)l r u u x t t u u x t t =-=+，则

211()(())Q l l B Q udx fdt u dx f u dt ψψ?-+=-+?

? 221()(())Q r r B Q udx fdt u dx f u dt ψψ?-+=-+?

?

因此 0([][()])u dx f u dt ψΓ

=-+? （9.32） 其中

[],[()]()()l r l r u u u f u f u f u =-=- （9.33）

分别是u 与()f u 沿着Γ的阶跃。因ψ为任意，故

[][()],s u f u =Γ沿 （9.34）

其中dx s dt

=为间断线Γ的速度。 公式（9.34）反映了u 与()f u 在Γ上的阶跃与Γ的速度之间的关系，这个关系称为阶跃关系，在气体动力学总就是熟知的Rankine-Hugoniot 条件。

对于广义解而言，有可能丧失惟一性，例如Burgers 方程（9.22），如果初值取为：

0,0()1,0x x x ??

容易验证上述初值问题有两个解

10,2()1,2t x u x t x ???20,0(),01,x x u x x t t

x t

??

这两个解在扇形0x t <<内完全不同，有趣的是，2u 是连续函数。这说

明连续解可能具有部连续的初值，这一点与线性方程也完全不同。

既然广义解不一定是惟一的，那么如何区分物理上说需要的解？可以证明单个守恒律方程（9.21）存在惟一的满足下列所谓熵条件

(,)(,),0,0u x a t u x t E a t a t

+-≤>> （9.35） 的解，其中E 不依赖于,x t 及a 。

从条件（9.27）及（9.35）可知，当x 增大时解的阶跃是下降的，及l r u u >，如果我们将阶跃条件（9.34）写成

()()()l r l r

f u f u s f u u ξ-'==- 其中l r u u ξ>>，则在凸性条件（9.27）之下，得到下列熵不等式

()()l r f u s f u ''>> （9.36）

这表明间断线的速度介于介于间断线两侧的特征速度（注意，守恒律（9.21）的特征线由1,()dt dx f u ds ds

'==确定）之间。 满足条件（9.34）与（9.36）的间断线称为激波，s 也称为激波的速度。

§9.4 KdV 方程 孤立子

1895年脱维克（Korleweg ）和德伏莱斯（de Vries ）在研究水波时导出了如下形式的半线性方程（简称KdVfangcheng ）：

0t x xxx u uu Ku ++= （9.37）

不失一般性，不妨设0K >（事实上，通过变换

,,u u x x t t →-→-→

总可以将0K <情形化成0K >的情形）。

现在来寻求方程（9.37）的平面前进波（或简称行波）解，令

(,)(),u x t u x ct ξξ==-，c 是常数， （9.38）

将（9.38）代入（9.37）得

0cu uu Ku ξξξξξ-++=

对ξ积分一次得

212

cu u Ku A ξξ-++=，A 为任意常数 （9.39） 用u ξ乘（9.39）并对ξ积分，得

2323366()Ku u cu Au B f u ξ=-+++≡ （9.40）

或

211{()}026u f u K

ξ+-= （9.41） 如果将ξ与u 分别理解为时间坐标与空间坐标，则（9.41）能视为举

单位质量的质点在势1()6f u K

的作用下运动的能量关系。 从方程（9.41）可以看出，如果()0f c =，则u c =是KdV 方程的解，这个解称为定常解；只有当()0f u ≥时，KdV 方程才可能有实的行波解。由于()f u 是u 的三次方程，不外有两种可能性：

（ⅰ）f 仅有一个实的零点（如图9.3所示），这时为了获得实的行波解，只能在1u c ≤内考虑，在这个区域内

121(())3du f u d k

ξ=± （9.42） 假设1()0f c '≠（否则1u c =不可能是()f u 的单重实零点），则（9.42）存在满足

01u c ξξ==

的解。由于当u →+∞时，f →+∞，故这个解是无界的。

（ⅱ）f 有三个实的零点,,αβγ

不妨设αβγ≥≥，这时()f u 可以表示成

()()()()f u u u u γβα=--- （9.43）

我们比较（9.40）与（9.43）可得

1()3

1()6

16

c A B αβγαββγγααβγ=++=-++= 再分三种情况：

（A ）αβγ≠≠；（B ）αβγ≠=；（C ）αβγ=≠.

对应于这三种情况()f u 的草图如图9.4，其中曲线A 与u 轴有三个交点，曲线B 与u 轴在γ点相切，曲线C 与u 轴在α点相切。为了使解是实的且有界。只能在下列区域内考虑（9.42）

对于曲线A ：u βα≤≤；

对于曲线B ：u γα≤≤；

（对于曲线C ：u γ≤，这时与（i ）相同，解是无界的）

在情形A ，容易求出

2()()[]u Cn s ξβαβ=+- （9.44）

或

1222120(,)[(1)(1)]q

dq q s s q q ξ-==-- （9.45） 其中,Sn Cn 是Jacobi 椭圆函数，

2,s q αβαγ-==- （9.46） 由（9.45）可以看出()u ξ关于ξ是周期的，其周期P 为

1

2222120()[(1)(1)]dq P s s q q ==-- （9.47） 其中2()K s 是第一类完全椭圆积分，故在情形A ，KdV 方程的有界行波解是一个周期性的波。

在情形B

du d ξ= （9.48） 这时有

2()()sec u h ξγαγ=+- （9.49）

这里因ξ→∞时，u γ→，故记u γ∞=，且

233

C αβλ

γα+++== 故

23

x t γαξ+=- 由（9.49）或（9.50）所表示的行波有什么特点呢？它在传播种波形不变，u 基本上集中在0ξ=的周围，在ξ→-∞时的定常状态与ξ→+∞时的定常状态相同，都是u ∞，其形状如图9.5所示。

这种波还有一个特征：如果有两个这样的波，一个波速快，一个波速满，开始时波速快的波在后面，波速慢的波在前面，后来被赶上了，经过相互作用后，过一段时间后又分开为原来形式的两个波，波速快的走在前面了。这种相互作用受干扰后仍恢复原状运动的现象引起了人们很大的兴趣，称这种波为孤立波或孤立子。