第九章 非线性偏微分方程
【2024版】微分方程PPT(罗兆富等编)第九章-非线性偏微分方程的Adomian分解法
在求解线性微分方程时, Adomian分解法将方程中的
未知函数u分裂成一个无穷级数
u(x, y) un (x, y) n0
(9.1.01)
而得到其解, 其中级数的通项un(x, y)由递推方式确定.
然而, 将(9.1.01)代入非线性微分方程时, 由于非线性
项的存在, 我们得不到un递推公式.
例如方程
第九章 非线性偏微分方程 的
Adomian分解法
第一节 非线性项的Adomian多项式分解 第二节 用Adomian分解法解非线性偏微分方程
第三节 数学物理中的几个著名偏微分方程 第四节 非线性常微分方程的Adomian分解法
1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
第一节 非线性项的Adomian多项式分解
15
机动 目录 上页 下页 返回 结束
将这些求出的un代入(9.1.01)就得到方程(9.2.01)的级 数形式的解.
学者们的研究表明, 如果方程(9.2.01)存在精确解, 则 所得到的级数解将快速收敛到精确解. 但在具体问题中, 如果级数的和函数不容易求出, 则可取适当选取项数从 而得到高精度的数值解.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3. 计算F(u)=uux的Adomian多项式.
解:
F (u)
uux
1 2
(u
2
)
x
的Adomian多项式已求出,
1 G(u) , 由例1,
2
x
只须对其乘以
1 2
G(u)=u2 的 再关于x求一
阶导数就得到F(u)=uux的Adomian多项式:
A0 u0u0x A1 u1xu0 u1u0x
■
5
非线性偏微分方程的BACKLUND变换
ｗ Ｔ Ｃ方法，扩展齐次平衡法，可积系统， Ｂ｛ｉｃｋｌｕｎｄ变换，Ｍｉｕｒａ变换
Ａｂｓｔｒａｃｔ（英文摘要）
Ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ ｏｆ ｓｃｉｅｎｃｅ，ｎｏｎ－ｌｉｎｅａｒ ｐｈｅｎｏｍｅｎａ ａｐｐｅａｒ ｉｎ ｔｈｅ ｎａｔｕ－
ｒａｌ ｓｃｉｅｎｃｅｓ，ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ａｎｄ ｍａｎｙ ｏｔｈｅｒ ａｒｅａｓ，ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄ－ ｉｎｇ ｎｏｎ．１ｉｎｅａｒ ｍｏｄｅｌｓ ａｒｅ ｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄ．Ｎｏｎ－ｌｉｎｅａｒ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ｄｅｓｃｒｉｂｉｎｇ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｍｏｄｅｌｓ，ｂｅｃｏｍｅ ａｎ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｔｏｐｉｃ．Ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｍａｎｙ ｍｅｔｈｏｄｓ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｎｏｎ—ｌｉｎｅａｒ ｐａｒｔｉａｌ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ｏｎｅ ｏｆ ｗｈｉｃｈ ｉｓ Ｂ｛ｉｃｋｌｕｎｄ ｔｒａｎｓ－ ｆｏｒｍａｔｉｏｎ．Ｏｎ ｏｎｅ ｈａｎｄ，ｔｈｉｓ ａｐｐｒｏａｃｈ ｃｏｕｌｄ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ ａ ｎｅｗ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｋｎｏｗｎ ｓｏｌｕｔｉｏｎ，ａｎｄ ｏｂｔａｉｎ Ｍｕｌｔｉ—ｓｏｌｉｔｏｎ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｏｒｉｇｉｎａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｂｙ ｒｅｐｅａｔｅｄ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ．Ｏｎ ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｈａｎｄ，ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ａｎｏｔｈｅｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｃｏｕｌｄ ｂｅ ｄｅｄｕｃｅｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｏｎｅ ｏｆ ｋｎｏｗｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｖｉａ ｔｈｅ ａｐｐｒｏａｃｈ．Ｔｈｕｓ Ｂ／ｉｃｋｌｕｎｄ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｉｓ ａｎ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｐａｒｔｉａｌ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．
非线性偏微分方程数值解法
非线性偏微分方程数值解法非线性偏微分方程（Nonlinear Partial Differential Equations, NPDEs）是研究物理、工程和应用数学等领域中的重要问题之一。
与线性偏微分方程不同，非线性偏微分方程的解不仅依赖于未知函数本身，还依赖于未知函数的导数、高阶导数和其他非线性项。
因此，求解非线性偏微分方程是一项困难而具有挑战性的任务。
为了解决这个问题，数学家们提出了多种数值方法和技术。
一种常用的求解非线性偏微分方程的数值方法是有限差分法（Finite Difference Method, FDM）。
有限差分法将求解区域离散化成网格，然后使用数值逼近来近似未知函数和导数。
通过将偏微分方程中的导数用离散化的差分近似表示，可以将原始的非线性偏微分方程转化为一组非线性代数方程。
然后，可以使用迭代方法（如牛顿法）求解这组方程，得到非线性偏微分方程的数值解。
除了有限差分法，其他常用的数值方法包括有限元法（Finite Element Method, FEM）、有限体积法（Finite Volume Method, FVM）和谱方法（Spectral Methods）等。
这些方法在不同的问题和领域中有着广泛的应用。
例如，有限元法在结构力学、流体力学和电磁学等领域中被广泛使用；有限体积法在计算流体动力学和多相流等问题中得到广泛应用；谱方法在流体力学、量子力学和声学等领域中得到广泛应用。
尽管非线性偏微分方程数值解法在实际应用中具有重要的地位，但由于非线性偏微分方程的复杂性，求解过程中常常会遇到一些困难。
其中之一是收敛性问题。
由于非线性偏微分方程的非线性项，往往导致数值方法的迭代过程不收敛或收敛速度很慢。
为了解决这个问题，可以采用加速技术（如牛顿—高斯—赛德尔方法）、网格重构和网格自适应等方法来改善收敛性。
另外，稳定性问题也是非线性偏微分方程数值解法中需要考虑的重要问题。
由于数值方法的离散化误差和时间步长的选择等因素，计算结果可能会产生不稳定性，例如数值震荡和破坏性的解。
非线性偏微分方程
非线性偏微分方程及其几种解法综述姓名：柏宝红学号：BY1004120目录1、绪论 (3)1.1背景 (3)1.2 现状 (7)2、非线性偏微分方程的几种解法 (10)2.1逆算符法 (10)2.2 齐次平衡法 (11)2.3 Jacobi椭圆函数方法 (12)2.4 辅助方程方法 (14)2.5 F-展开法 (15)2.6 双曲正切函数展开法 (17)1、绪论以应用为目的，或以物理、力学等其他学科问题为背景的微分方程的研究，不仅是传统应用数学中一个最主要的内容，也是当代数学的一个重要组成部分.它是数学理论与实际应用之间的一座重要桥梁，研究工作一直十分活跃，研究领域日益扩大。
目前微分方程研究的主体是非线性微分方程，特别是非线性偏微分方程(NLPDE).很多意义重大的自然科学和工程技术问题都可归结为非线性偏微分方程的研究.现实生活的许多领域内数学模型都可以用NLPDE来描述，很多重要的物理、力学等学科的基本方程本身就是NLPDE，另外，随着研究的深入，有些原先可用线性微分方程近似处理的问题，也必须考虑非线性的影响，所以对NLPDE的研究，特别是NLPDE求解精确解的研究工作就显示出了很重要的理论和应用价值，但是数学研究的结果，在目前还未能提供一种普遍有效的求精确解的方法.20世纪50年代以来，人们对非线性现象的研究中提出了“孤子”的概念，进而使得对NLPDE求解的研究成为非线性科学中的热点。
下面介绍一下孤立子理论的研究背景、研究现状。
1.1背景孤立子理论己经成为应用数学和数学物理的一个重要组成部分，在流体力学，等离子物理，经典场论，量子论等领域有着广泛的应用。
随着近代物理学和数学的发展，早在1834年由英国科学家Russell发现的孤立波现象近二十多年来引起了人们的极大关注，对这一现象的兴趣与日俱增.这是因为一方面孤立子具有粒子和波的许多性能，在自然界中有一定的普遍性，利用孤立子理论也成功地解释了许多物理上长期用经典理论未能解答的现象;另一方面，随着孤立子物理问题的深入研究，孤立子的数学理论也应运而生，并已初步形成比较完善的理论体系。
非线性偏微分方程
非线性偏微分方程非线性偏微分方程是指方程中含有未知函数及其偏导数的乘积、幂函数、指数函数等非线性项的偏微分方程。
非线性偏微分方程的研究广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将介绍非线性偏微分方程的基本概念、分类、求解方法以及在数学和物理领域中的应用。
偏微分方程是包含未知函数及其偏导数的数学方程。
非线性偏微分方程是在这些未知函数及其偏导数中存在非线性项的方程。
典型的非线性偏微分方程例如：波动方程、扩散方程、非线性Schrödinger方程等。
根据方程中未知函数及其偏导数的次数和类型，非线性偏微分方程可以分为几类：1.一阶偏微分方程：未知函数及其一阶偏导数的项。
2.二阶偏微分方程：未知函数及其二阶偏导数的项。
3.拟线性方程：方程中的非线性项是依赖于未知函数及其部分偏导数。
4.完全非线性方程：方程中的非线性项是未知函数及其偏导数的函数。
近似解法包括：变分法、级数法、对称法和似弱解法。
这些方法通过将非线性偏微分方程转化为一系列的代数方程或普通微分方程，并利用近似计算方法求解。
数值解法是通过将求解区域离散化为有限的单元，然后使用数值计算方法对每个单元进行近似计算。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法、边界元法和谱方法等。
在数学领域，非线性偏微分方程与调和分析、复变函数论、几何分析等领域紧密相关。
非线性偏微分方程的研究对于解决数学中的一些难题，如黎曼猜想、P和NP问题等具有重要意义。
在物理领域，非线性偏微分方程是描述自然界中许多现象的重要数学模型。
例如，非线性波动方程可以用来描述声波、电磁波、水波等的传播行为；非线性扩散方程可以用来描述物质在空间中的扩散过程；非线性Schrödinger方程可以用来描述量子力学中的粒子行为。
此外，非线性偏微分方程的研究还与控制理论、图像处理、模式识别等应用相关。
例如，非线性偏微分方程可以用于图像去噪、图像增强、边缘检测等图像处理问题。
综上所述，非线性偏微分方程是数学和物理领域中重要的研究对象，其研究不仅涉及到数学的基础理论，还与实际问题的建模和解决密切相关。
非线性偏微分方程
FINITE DIMENSIONAL REDUCTION OF NONAUTONOMOUS DISSIPATIVESYSTEMSAlain MiranvilleUniversit´e de Poitiers Collaborators:Long time behavior of equations of the formy′=F(t,y)For autonomous systems:y′=F(y)In many situations,the evolution of the sys-tem is described by a system of ODEs:y=(y1,...,y N)∈R N,F=(F1,...,F N)Assuming that the Cauchy problemy′=F(y),y(0)=y0,is well-posed,we can define the family of solv-ing operators S(t),t≥0,acting on a subset φ⊂R N:S(t):φ→φy0→y(t)This family of operators satisfiesS(0)=Id,S(t+s)=S(t)◦S(s),t,s≥0We say that it forms a semigroup onφQualitative study of such systems:goes back to Poincar´eMuch is known nowadays,at least in low di-mensionsEven relatively simple systems can generate very complicated chaotic behaviorsThese systems are sensitive to perturbations: trajectories with close initial data may diverge exponentially→Temporal evolution unpredictable on ti-me scales larger than some critical value→Show typical stochastic behaviorsExample:Lorenz systemx′=σ(y−x)y′=−xy+rx−yz′=xy−bzObtained by truncature of the Navier-Stokes equationsGives an approximate description of a layer of fluid heated from belowSimilar to what is observed in the atmosphereFor a sufficiently intense heating:sensitive dependence on the initial conditions,repre-sents a very irregular convection→Butterfly effectVery often,the trajectories are localized in some subset of the phase space having a very complicated geometric structure(e.g.,locally homeomorphic to the product of R m and a Cantor set)→Strange attractor(Ruelle and Takens)Main feature of a strange attractor:dimen-sionSensitivity to initial conditions:>2(dimen-sion of the phase space≥3,say,3)Contraction of volumes:its volume is equal to0→noninteger,strictly between2and3→Fractal dimensionExample:Lorenz system:dim F A=2.05...Distributed systems:systems of PDEsφis a subset of an infinite dimensional func-tion space(e.g.,L2(Ω)or L∞(Ω))Solution:y:R+→φt→y(t)x→y(t,x)If the problem is well-posed,we can define the semigroup S(t):S(t):φ→φy0→y(t)The analytic structure of a PDE is much more complicated than that of an ODE:the global well-posedness can be a very difficult problemSuch results are known for a large class of PDEs→it is natural to investigate whether the notion of a strange attractor extends to PDEsSuch chaotic behaviors can be observed in dissipative PDEsChaotic behaviors arise from the interaction of•Energy dissipation in the higher part of the Fourier spectrum•External energy income in the lower part•Energyflux from the lower to the higher modesThe trajectories are localized in a”thin”in-variant region of the phase space having a very complicated geometric structure→the global attractor1.The global attractor.S(t)semigroup acting on E:S(t):E→E,t≥0S(0)=Id,S(t+s)=S(t)◦S(s),t,s≥0 Continuity:x→S(t)x is continuous on E,∀t≥0A set A⊂E is the global attractor for S(t)if(i)it is compact(ii)it is invariant:S(t)A=A,t≥0(iii)∀B⊂A,lim t→+∞dist(S(t)B,A)=0dist(A,B)=supa∈A infb∈Ba−b EEquivalently:∀B⊂φbounded,∀ǫ>0,∃t0= t0(B,ǫ)s.t.t≥t0implies S(t)B⊂UǫThe global attractor is uniqueIt is the smallest closed set enjoying(iii)It is the maximal bounded invariant setTheorem:(Babin-Vishik)We assume that S(t)possesses a compact attracting set K, i.e.,∀B⊂E bounded,lim t→+∞dist(S(t)B,K)=0Then S(t)possesses the global attractor A.The global attractor is oftenfinite dimen-sional:the dynamics,restricted to A isfinite dimensionalFractal dimension:Let X be a compact setdim F X=lim supǫ→0+ln Nǫ(X)ǫNǫ(X):minimum number of balls of radius ǫnecessary to cover XIf Nǫ(X)≤c(1Theorem:(H¨o lder-Ma˜n´e theorem)Let X⊂E compact satisfy dim F X=d and N>2d be an integer.Then almost every bounded linear projector P:E→R N is one-to-one on X and has a H¨o lder continuous inverse.This result is not valid for other dimensions (e.g.,the Hausdorffdimension)If A hasfinite fractal dimension,then,fixing a projector P satisfying the assumptions of the theorem,we obtain a reduced dynamical system(S),S= P(A),which isfinite dimensional(in R N)and H¨o lder continuousDrawbacks:(S)cannot be realized as a system of ODEs which is well-posedReasonable assumptions on A which would ensure that the Ma˜n´e projectors are Lipschitz are not knownComplicated geometric structure of A and AThe lower semicontinuitydist(A0,Aǫ)→0asǫ→0is more difficult to prove and may not hold It may be unobservable:∂y∂x2+y3−y=0,x∈[0,1],ν>0y(0,t)=y(1,t)=−1,t≥0A={−1}There are many metastable”almost station-ary”equilibria which live up to t⋆≡eν−12.Inertial manifolds.A Lipschitzfinite dimensional manifold M⊂E is an inertial manifold for S(t)if(i)S(t)M⊂M,∀t≥0(ii)∀u0∈E,∃v0∈M s.t.S(t)u0−S(t)v0 E≤Q( u0 E)e−αt,α>0,Q monotonicM contains A and attracts the trajectories exponentiallyConfirms in a perfect way thefinite dimen-sional reduction principle:The dynamics reduced to M can be realized as a Lipschitz system of ODEs(inertial form)Perfect equivalence between the initial sys-tem and the inertial formDrawback:all the known constructions are based on a restrictive condition,the spectral gap condition→The existence of an inertial manifold is not known for several important equations, nonexistence results for damped Sine-Gordon equations3.Exponential attractors.A compact set M⊂E is an exponential at-tractor for S(t)if(i)It hasfinite fractal dimension(ii)S(t)M⊂M,∀t≥0(iii)∀B⊂E bounded,dist(S(t)B,M)≤Q( B E)e−αt,α>0,Q monotonicM contains AIt is stillfinite dimensional and one has a uni-form exponential control on the rate of at-traction of trajectoriesIt is no longer smoothDrawback:it is not unique→One looks for a simple algorithm S→M(S)Initial construction:non-constructible and valid in Hilbert spaces onlyConstruction in Banach spaces:Efendiev, Miranville,Zelik→Exponential attractors are as general as global attractorsMain tool:Compact smoothing property on the difference of2solutionsLet S:E→E.We consider the discrete dynamical system generated by the iterations of S:S n=S◦...◦S(n times)Theorem:(Efendiev,Miranville,Zelik)We consider2Banach spaces E and E1s.t.E1⊂E is compact.We assume that•S maps theδ-neighborhood Oδ(B)of a bounded subset B of E into B•∀x1,x2∈Oδ(B),≤K x1−x2 ESx1−Sx2 E1Then the discrete dynamical system gener-ated by the iterations of S possesses an ex-ponential attractor M(S)s.t.(i)M(S)⊂B,is compact in E anddim F M(S)≤c1(ii)S M(S)⊂M(S)(iii)dist(S k B,M(S))≤c2e−c3k,k∈N,c3>0 (iv)The map S→M(S)is H¨o lder continu-ous:∀S1,S2,dist sym(M(S1),M(S2))≤c4 S1−S2 c5,c5>0, wheredist sym(A,B)=max(dist(A,B),dist(B,A))S =supSh Eh∈Oδ(B)Furthermore all the constants only depend on B,E,E1,δand K and can be computed explicitly.Remarks:1)We have a mapping S→M(S)and,due to the H¨o lder continuity,we can construct continuous families of exponential attractors2)Exponential attractors for a continuous semigroup S(t):Prove that∃t⋆>0s.t.S⋆=S(t⋆)satisfies the assumptions of the theorem→M⋆for S⋆If(x,t)→S(t)x is Lipschitz(or H¨o lder)on B×[0,t⋆],setS(t)M⋆M=∪t∈[0,t⋆]We again have a mapping S(t)→M(S)which is H¨o lder continuous3)For damped hyperbolic equations:asymp-totically smoothing property4.Finite dimensional reduction of nonau-tonomous systems.Systems of the form∂yDrawback:the uniform attractor has infinite dimension in general.Example:∂yThe family{A(t),t∈R}is a pullback attrac-tor for U(t,τ)if(i)A(t)is compact in E,∀t∈R(ii)U(t,τ)A(τ)=A(t),∀t≥τ(iii)∀B⊂E bounded,dist(U(t,t−s)B,A(t))=0lims→+∞Remarks:1)The pullback attractor is unique2)If the system is autonomous,we recover the global attractor3)In general,A(t)hasfinite fractal dimen-sion,∀t∈RDrawback:The forward convergence does not hold in generalExample:y′=f(t,y),where f(t,y)=−y if y≤0,(−1+2t)y−ty2 if t∈[0,1],and y−y2if t≥1Then A(t)={0},∀t∈R,but every trajectory starting from a neighborhood of0leaves this neighborhood never to enter it againThe forward convergence does not hold be-cause the rate of attraction is not uniform in t→This can be solved by constructing ex-ponential attractorsWe can construct a family{M(t),t∈R}, called nonautonomous exponential attractor, s.t.(i)dim F M(t)≤c1,∀t∈R,c1independent of t(ii)U(t,τ)M(τ)⊂M(t),∀t≥τ,(iii)∀B⊂E bounded,dist(U(t,τ)B,M(t+τ))≤Q( B E)e−αt,t∈R,t≥τ,α>0,Q monotonic(iii)implies the pullback attraction,but also the forward attraction→(i)and(iii)yield a satisfactoryfinite di-mensional reduction principle for nonautono-mous systemsRemarks:1)The time dependence is arbitrary2)The map U(t,τ)→{M(t),t∈R}is also H¨o lder continuous。
非线性偏微分方程的精确解
非线性偏微分方程的精确解
薛春荣;段卫国;潘丽静
【期刊名称】《宜春学院学报》
【年(卷),期】2009(31)6
【摘要】假设非线性偏微分具有u=φ(ξ),ξ=x-ct+ξ0行波解,将u=φ(ξ),2ξ=x-
ct+ξ0代入原方程后,非线性偏微分方程化成常微分方程,再运用积分和椭圆函数的知识,通过直接积分法获得非线性偏微分方程的精确解.
【总页数】2页(P67-68)
【作者】薛春荣;段卫国;潘丽静
【作者单位】渭南师范学院,数学系,陕西,渭南,714000;渭南师范学院,数学系,陕西,渭南,714000;渭南师范学院,数学系,陕西,渭南,714000
【正文语种】中文
【中图分类】O175.29
【相关文献】
1.辅助函数法求解非线性偏微分方程精确解 [J], 杨健;赖晓霞
2.应用G/G'展开法求非线性偏微分方程的精确解 [J], 杨娟;黄朝军;冯庆江
3.一类非线性偏微分方程的精确解 [J], 凌建
4.构造非线性偏微分方程精确解的(1/G)-展开法 [J], 马志民; 孙峪怀
5.构造非线性偏微分方程精确解的(1/G)-展开法 [J], 马志民; 孙峪怀
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
非线性偏微分方程近代分析方法
非线性偏微分方程近代分析方法1、非线性偏微分方程的定义非线性偏微分方程是指含有非线性函数的微分方程，它是由一个或多个未知函数的一阶或多阶微分方程组成的。
它可以用来描述物理系统中的动态行为，如热传导、电磁学、流体动力学和结构力学等。
非线性偏微分方程的解决方法可以分为两类：分析方法和数值方法。
分析方法包括拉格朗日法、变分法、特征值分析法等，而数值方法包括有限差分法、有限元法、隐式格式法等。
：2、非线性偏微分方程的结构非线性偏微分方程的结构一般由两部分组成，即系数函数和右端函数。
系数函数包括一个或多个非线性函数，而右端函数则是一个或多个线性函数。
系数函数可以是任意复杂的函数，而右端函数则可以是任意简单的函数。
近代分析方法的基本原理是，通过对非线性偏微分方程的线性化处理，使其可以通过现有的数学工具来解决。
这种方法的基本思想是，将非线性偏微分方程转化为一系列线性偏微分方程，然后使用现有的数学工具来解决这些线性偏微分方程，从而解决原始非线性偏微分方程。
这种方法可以用来解决复杂的非线性偏微分方程，并且可以得到更精确的解。
：4、近代分析方法的应用近代分析方法已经被广泛应用于非线性偏微分方程的研究中，主要包括：一阶正则化法、多项式法、微分算子法、拉普拉斯变换法、变分法、积分变换法、小波变换法、线性稳定性理论等。
其中，一阶正则化法可以用来求解非线性偏微分方程的解，多项式法可以用来求解非线性偏微分方程的精确解，微分算子法可以用来求解非线性偏微分方程的近似解，拉普拉斯变换法可以用来求解非线性偏微分方程的精确解，变分法可以用来求解非线性偏微分方程的近似解，积分变换法可以用来求解非线性偏微分方程的解，小波变换法可以用来求解非线性偏微分方程的近似解，线性稳定性理论可以用来分析非线性偏微分方程的稳定性。
5、非线性偏微分方程的数值解法非线性偏微分方程的数值解法是指利用数值技术求解非线性偏微分方程的一种方法。
它主要包括有隐式格式的有限差分法、显式格式的有限差分法、有限元法、牛顿法等。
非线性偏微分方程
非线性偏微分方程（Nonlinear Partial Differential Equation，简称NPDE）是数学中一个研究领域，它被广泛应用于物理、工程和生物等领域。
NPDE不同于线性偏微分方程，因为它们的解不仅取决于初边值条件，还会受到问题本身的非线性特性所影响。
本文将探讨NPDE的概念、应用以及在科学研究领域中的重要性。
一、NPDE的概念NPDE是描述自然现象中非线性变化的方程，它们的解不能通过将其分解为一系列线性的模式来求得。
在实际情况中，由于问题本身的复杂性以及各种因素的相互作用，NPDE被广泛用于模拟和分析自然现象中的非线性行为。
二、应用场景NPDE在物理、工程、生物和社会科学等领域中都有广泛的应用。
例如，在物理学中，研究可以用于描述液体和气体的流动，气体的化学反应和平衡力学系统中的非平衡行为；在工程学中，NPDE被用于模拟机械结构中的应力和变形，以及电磁场和声波等现象；在生物学中，NPDE可以用于研究生物系统的动态行为，例如癌细胞扩散和神经元的活动；在社会科学中，NPDE被用于描述人口增长、经济增长和文化传播等过程中的非线性行为。
三、研究的意义NPDE是自然现象中非线性行为的数学描述，因此其研究具有重要的意义。
首先，NPDE研究将帮助我们更好地理解和预测自然现象中的非线性行为。
例如，在物理学中，研究可以帮助我们更好地理解复杂流体中的湍流现象，从而提高空气动力学和海洋动力学的模拟精度。
其次，NPDE研究也可以为工程设计提供更加精确的方法，以避免由于非线性效应失效造成的问题。
例如，在电力系统设计中，由于线性偏微分方程无法满足电力系统中的非线性特性，因此已成为研究电力系统稳定性的重要工具。
最后，研究也可以为新材料的研究提供理论基础。
例如，在材料科学中，能够描述复杂的物理和化学反应，以预测材料的性能和行为。
总结：尽管为数学中的高阶领域，但其在物理、工程、生物和社会科学等领域中有着广泛的应用。
非线性偏微分方程的孤立子解
￣
／ 一） （ 儿 Ｙ２ ）Ｙ ， ｔ 。 ， －
适 当选 取积分 常数 ， 可使 得 ＝ ， ０ 则 。 妒 ＝ ， ＝
有解
业
，
且 ， １ 此时解 式 （ ） 一 ， ９ 退化 为
）ｚ ｚ３ ［ （ ） ）］ ， － ｃ√ （ ， ＝ ｙ ｙｎ 鲁 ｒ
＋ Ｂ 为积 分常 数 。 将方程（） ４ 整理 得 ＋ Ｃ（ ＝ ＋ Ｂ （） ４
１ 主要 内容
本文 主要 方程
“ ＋ ＋ “Ｍ 一
麒 ｆ
＝
（ ＝ ＋ 嚣【
进椭 圆 函数 ¨ ， 设 ０ （） １
、
一 一 ］５ ６ （ ） Ｂ
求解方 法 和技巧 。
将式 （ ） 人 式 （ ） 两 边 关 于 变 量 积 分 一 ２代 １，
次， 得 一 ＋ ＋ ｃ
一
＋ｃ ＝ ‘ Ａ
（） ３ 一
式 （ ） Ａ 为 积分 常数 ． 方程 （ ） ３中 在 ３ 两端 同乘 ， 再 关 于 积分 一次 ， 得
对 式 （ ） 分 ， 涉 及 椭 圆积 分 问 题 ． ５积 将 为此 ， 引
式（ ） １ 中 为参数 ， 设其 解 的形式 为
、 ） ＝ 兰 。 （ ， —ｃ ＋ ｔ （） ２
Ｉ； Ｉ
。
式 （ ） ｃ为常数 ， ２中 表示 波速 ， 为任意 常数 。
２１ ０ １年 ４月 ２ 日收 到 ０ 渭 南 师 范 学 院 研 究生 专项 基 金
， 当参 数 固定 时 ， 在 双 向 它
传播 时速 度 与 形 状 保 持 不 变 。实 际 上该 孤 立 波 式
非线性偏微分方程 偏微分方程数值方法
非线性偏微分方程偏微分方程数值方法非线性偏微分方程偏微分方程数值方法非线性偏微分方程定义:各阶微分项有次数高于一的，该微分方程即为非线性微分方程(一)主要研究内容非线性偏微分方程是现代数学的一个重要分支，无论在理论中还是在实际应用中，非线性偏微分方程均被用来描述力学、控制过程、生态与经济系统、化工循环系统及流行病学等领域的问题。
利用非线性偏微分方程描述上述问题充分考虑到空间、时间、时滞的影响，因而更能准确的反映实际。
本方向主要研究非线性偏微分方程、H-半变分不等式、最优控制系统的微分方程理论及其在电力系统的应用。
1.非线性偏微分方程的研究:我们主要研究偏微分方程解的存在唯一性(和多解性)及稳定性;偏微分方程的初值问题、初边值问题的整体解(包括周期解和概周期解)的存在性及渐近性;平衡解的存在性，尤其是当问题依赖于某些参数时平衡解的分叉结构，以及平衡解的稳定性问题;非线性方程的数值解。
2.H-半变分不等式的研究:建立具有极大单调算子扰动的多值(S)型和伪单调型映象的广义度理论，广义不动点指标理论和具有非凸、不可微泛函的非线性发展型H-半变分不等式理论，由此来研究含间断项的非线性偏微分方程。
3.最优控制系统的微分方程理论及其在电力系统的应用:主要研究与电力生产有关的控制系统的理论和应用。
首先提出了对Banach空间中抽象非线性发展方程所描述的最优控制系统的研究。
引进非光滑分析，研究最优控制系统的微分方程，利用变分不等式理论研究多值问题、数值计算等，所获理论成果应用于电力系统的许多最优控制问题(如:电力系统励磁调节器传递函数的辨识、牛顿最优潮流的数学模型等)。
(二)研究方向的特色1.变分不等式理论与能量泛函的凸性密切相关，由于现代科学技术的需要，特别是研究自由边界和固体力学问题的需要，传统的方法往往都无法解决这类问题，人们对H-半变分不等式进行研究，研究涉及现代分析及应用、偏微分方程以及科学计算等众多领域中亟待解决和发展的重要课题。
非线性偏微分方程
非线性偏微分方程及其几种解法综述姓名：柏宝红学号：BY1004120目录1、绪论 (3)1.1背景 (3)1.2 现状 (7)2、非线性偏微分方程的几种解法 (10)2.1逆算符法 (10)2.2 齐次平衡法 (11)2.3 Jacobi椭圆函数方法 (12)2.4 辅助方程方法 (14)2.5 F-展开法 (15)2.6 双曲正切函数展开法 (17)1、绪论以应用为目的，或以物理、力学等其他学科问题为背景的微分方程的研究，不仅是传统应用数学中一个最主要的内容，也是当代数学的一个重要组成部分.它是数学理论与实际应用之间的一座重要桥梁，研究工作一直十分活跃，研究领域日益扩大。
目前微分方程研究的主体是非线性微分方程，特别是非线性偏微分方程(NLPDE).很多意义重大的自然科学和工程技术问题都可归结为非线性偏微分方程的研究.现实生活的许多领域内数学模型都可以用NLPDE来描述，很多重要的物理、力学等学科的基本方程本身就是NLPDE，另外，随着研究的深入，有些原先可用线性微分方程近似处理的问题，也必须考虑非线性的影响，所以对NLPDE的研究，特别是NLPDE求解精确解的研究工作就显示出了很重要的理论和应用价值，但是数学研究的结果，在目前还未能提供一种普遍有效的求精确解的方法.20世纪50年代以来，人们对非线性现象的研究中提出了“孤子”的概念，进而使得对NLPDE求解的研究成为非线性科学中的热点。
下面介绍一下孤立子理论的研究背景、研究现状。
1.1背景孤立子理论己经成为应用数学和数学物理的一个重要组成部分，在流体力学，等离子物理，经典场论，量子论等领域有着广泛的应用。
随着近代物理学和数学的发展，早在1834年由英国科学家Russell发现的孤立波现象近二十多年来引起了人们的极大关注，对这一现象的兴趣与日俱增.这是因为一方面孤立子具有粒子和波的许多性能，在自然界中有一定的普遍性，利用孤立子理论也成功地解释了许多物理上长期用经典理论未能解答的现象;另一方面，随着孤立子物理问题的深入研究，孤立子的数学理论也应运而生，并已初步形成比较完善的理论体系。
非线性偏微分方程数值解法
非线性偏微分方程数值解法非线性偏微分方程是研究自然界中许多现象的重要数学模型，其解析解往往难以获得。
因此，数值解法成为解决非线性偏微分方程问题的一种有效手段。
本文将介绍几种常用的非线性偏微分方程的数值解法。
一、有限差分法有限差分法是求解偏微分方程的一种常见数值方法。
其核心思想是将求解区域离散化为有限个网格点，并利用中心差分公式来近似替代微分运算。
对于非线性偏微分方程，可以采用迭代的方法进行求解。
具体步骤如下：1. 将求解区域离散化为有限个网格点，确定网格的步长。
2. 利用中心差分公式将偏微分方程离散化为差分方程。
3. 将差分方程转化为非线性代数方程组，采用迭代方法求解。
二、有限元法有限元法是求解偏微分方程的一种重要数值方法。
其核心思想是将求解区域划分为无重叠的小单元，通过在每个单元内构造适当的试探函数和加权函数，将问题转化为求解代数方程组。
对于非线性偏微分方程，可以采用Newton-Raphson迭代方法进行求解。
具体步骤如下：1. 将求解区域进行网格剖分，确定单元的形状和大小。
2. 构造试探函数和加权函数，并利用加权残差法将偏微分方程离散化为代数方程组。
3. 对于非线性方程组，采用Newton-Raphson迭代方法求解。
三、有限体积法有限体积法是求解偏微分方程的一种常用数值方法。
其核心思想是将求解区域划分为有限个体积单元，通过对单元内偏微分方程进行积分，将方程转化为守恒形式。
对于非线性偏微分方程，可以采用显式或隐式方法进行求解。
具体步骤如下：1. 将求解区域进行网格剖分，确定体积单元的大小和形状。
2. 对体积单元内的偏微分方程进行积分，建立守恒形式的方程。
3. 将方程离散化为代数方程组，采用显式或隐式方法进行时间步进求解。
四、谱方法谱方法是求解偏微分方程的一种高效数值方法。
其核心思想是采用特定的基函数展开待求解的函数，通过选取合适的基函数，可以有效地提高求解效率。
对于非线性偏微分方程，可以采用谱方法进行求解。
微分方程罗兆富等编第九章非线性偏微分方程Adomian分解法
A2 u2xu0 u2u0x u1u1x
A3 u3xu0 u3u0x u2xu1 u2u1x
A4 u4xu0 u4u0x u3xu1u0 u3u1xu0 u3u1u0x u2u2xu0 21!u22u0x
■
7
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4. 计算F(u)=sinu的Adomian多项式.
1.
u0 0 Lx1g,
u1 Lx1Lyu0
u u2
nL0xu1Ln y
u1
Lx1R(u0 ) Lx1 AF0(,u) Lx1R(u1) Lx1 A1,
n0
An
(9.2.05) (9.2.03)
u3 Lx1Lyu2 Lx1R(u2 ) Lx1 A2 ,
............................
1 3!
u13x
F
(u0
x
)
3u3u0x 6u2xu1xu0x u13x
A4
u4xF(u0x )
(u3xu1x
1 2!
u22x
)
F
(u0
x
)
21!u12xu2xF(u0x )
41!u14xF (4) (u0x )
3u4xu02x
6(u3xu1x
1 2!
u22x
)u0x
3u12xu2x .
■
6
u12
F
(u0
)
2u2u0 u12
A3 u3F(u0 ) u2u1F(u0 ) 31!u13F(u0 )
2u3u0 2u2u1
A4 u4F(u0 ) (u3u1 21!u22 )F(u0 ) 21!u12u2F(u0) 41!u14F (4) (u0)
非线性偏微分方程偏微分方程数值方法
非线性偏微分方程偏微分方程数值方法非线性偏微分方程偏微分方程数值方法非线性偏微分方程偏微分方程数值方法非线性偏微分方程定义:各阶微分项有次数高于一的，该微分方程即为非线性微分方程(一)主要研究内容非线性偏微分方程是现代数学的一个重要分支，无论在理论中还是在实际应用中，非线性偏微分方程均被用来描述力学、控制过程、生态与经济系统、化工循环系统及流行病学等领域的问题。
利用非线性偏微分方程描述上述问题充分考虑到空间、时间、时滞的影响，因而更能准确的反映实际。
本方向主要研究非线性偏微分方程、H-半变分不等式、最优控制系统的微分方程理论及其在电力系统的应用。
1.非线性偏微分方程的研究:我们主要研究偏微分方程解的存在唯一性(和多解性)及稳定性;偏微分方程的初值问题、初边值问题的整体解(包括周期解和概周期解)的存在性及渐近性;平衡解的存在性，尤其是当问题依赖于某些参数时平衡解的分叉结构，以及平衡解的稳定性问题;非线性方程的数值解。
2.H-半变分不等式的研究:建立具有极大单调算子扰动的多值(S)型和伪单调型映象的广义度理论，广义不动点指标理论和具有非凸、不可微泛函的非线性发展型H-半变分不等式理论，由此来研究含间断项的非线性偏微分方程。
3.最优控制系统的微分方程理论及其在电力系统的应用:主要研究与电力生产有关的控制系统的理论和应用。
首先提出了对Banach空间中抽象非线性发展方程所描述的最优控制系统的研究。
引进非光滑分析，研究最优控制系统的微分方程，利用变分不等式理论研究多值问题、数值计算等，所获理论成果应用于电力系统的许多最优控制问题(如:电力系统励磁调节器传递函数的辨识、牛顿最优潮流的数学模型等)。
(二)研究方向的特色1.变分不等式理论与能量泛函的凸性密切相关，由于现代科学技术的需要，特别是研究自由边界和固体力学问题的需要，传统的方法往往都无法解决这类问题，人们对H-半变分不等式进行研究，研究涉及现代分析及应用、偏微分方程以及科学计算等众多领域中亟待解决和发展的重要课题。
求某些非线性偏微分方程特解的一个简洁解法
求某些非线性偏微分方程特解的一个简洁解法目前我们已经能够掌握多种求解非线性偏微分方程特解的方法，但是，随着科学技术的深入研究，非线性方程的形式也是变化多端，因此，到目前为止，我们还是无法找到一个通用于任何形式非线性偏微分方程特解的求解办法，探索仍在继续.一、非线性偏微分方程研究情况简介在物理学及力学的研究过程中，要确切地描述各物理量之间的关系，我们经常需要建立起较复杂的非线性方程式.为了便于解决这些问题，诸多学者为研究求解非线性微分方程付出了巨大的努力，尝试过各式各样的途径，最后倒也形成了不少求解非线性片微分方程特解的办法，其中更是融入了计算机技術，例如，齐次平衡法、直接代数法、指数函数法、椭圆函数展开法、F—展开法等.通常情况下，非线性偏微分方程的求解都是按照一定的思路进行的：当我们遇到非线性偏微分方程，并且难于直接求出其解的时候，我们首先会利用现有知识分析解剖该非线性方程，使其转化成我们所能理解的形式；第二步就是进行运算，对于我们可以分辨的简单非线性方程，可以求解除其准确数值；最后，拆分后的非线性偏微分方程若是仍然无法直接解答，则可以利用数学技巧，转换思路，进而求出其近似解.上述思路是我们在探索非线性方程特解时重要线索，也是一直以来遵循的道路，下面提到的试探函数包括优化之后的试探函数法都将继续服从这一理论.二、试探函数法解非线性微分方程（一）试探函数法将求出的特解表达式代入上述要求解的非线性偏微分方程式中，利用最高阶导数项与最高幂次的非线性项之间的平衡关系，我们可以得出待定常数d的表达式：表示出d之后，将表示式代入原非线性偏微分方程及其特解表达式中，简单整理运算后，可以得出a，b，c，A，B等参数之间的特定关系了，很显然，该非线性偏微分方程的几个特解就可求解出来.（二）试探函数法的不足试探函数法自提出后，其与之前存在的关于求解非线性偏微分方程的解法有所不同，计算起来较为简便，一直广受工程技术研究者的喜爱，试探函数法尤其广泛在求解Burgers方程和KdV方程中使用.虽然说试探函数法的发现，为非线性偏微分方程特解的求解提供了相对简单便捷的途径，但是其适用范围仍有所局限，只能具体到求解某些特定非线性方程的特解，对于达到适用于所有非线性偏微分方程特解的万能公式，还差好大的距离，新式方法和理论的研究探索仍需继续进行，下面将简单介绍一种优化的试探函数法.三、优化试探函数法求解非线性微分方程特解优化试探函数法是在试探函数法求解某些非线性偏微分方程特解的理论基础上稍加修改和创新之后形成的，这是一次大胆的尝试，优化试探函数法的灵感来源于“Hopf-Cole变换法”的思想，通过这一变换思想，推导出一种可以用于直接解出Burgers方程特解的表达式，应用起来非常的方便，对于非线性偏微分方程特解的求解来说非常便捷快速，可广泛应用于工程技术中的非线性方程问题的解决.这样表示出参数d的表达式后，再代回方程式和特解表达式中，总结归纳出其他参数字母间的关系，进而求解非线性偏微分方程式的特解.很显然，从表达式的形式就可以看出，优化后的试探函数法的表达式更加的简单直观，计算步骤也直接易懂，相比较而言，原试探函数法就显得冗长烦琐，因此，在实际应用中，优化试探函数法更加适用于非线性偏微分方程特解的处理解决.四、结束语本文中介绍的优化之后的试探函数法相比较于之前的试探函数法来说，更加易于接受和理解，应用起来也更加高效快捷.非线性偏微分方程特解的求解方法还有很多，我们需要继续学习探索，在微分世界中寻求更便捷的方法，争取更高、更快、更强.。
数学中的非线性偏微分方程与方法论
总结
物理意义
非线性偏微分方程是描述 自然界中很多现象的数学 模型，具有重要的物理意 义。
数学难题
应用前景
研究进展
非线性偏微分方程的数学 性质复杂，相关的数学难 题是数学家们研究的重点 之一。
非线性偏微分方程在物理 学、工程学等领域具有广 泛的应用前景，对于理解 和解决实际问题具有重要 意义。
目前关于非线性偏微分方 程的研究进展迅速，涉及 到数值方法、理论分析等 多个方面。
数学难题和研究进展
Navier-Stokes方程的非线 性性质导致了很多数学难 题，目前研究仍在进行中， 取得了一些进展。
S c h r öd i n g e r 方 程
01 量子力学中的地位和作用
量子力学是描述微观粒子行为的重要理论， 而Schrödinger方程是量子力学的基础方程之 一。
02 波函数解释和统计物理学意义
非线性反应-扩散 方程的数值解法
非线性反应-扩散方 程是描述许多物理现 象的重要数学模型。 在数值模拟中，我们 需要考虑扩散系数和 反应速率对解的影响。 误差分析和收敛性检 验是评估数值解法有 效性的重要步骤。
非线性波动方程的数值模拟
有限差分离 散
离散化过程
波的传播和 干涉
现象分析
稳定性分析
数值模拟性质
● 04
第四章 非线性偏微分方程的 解析理论
非线性偏微分方程的解的存在 性定理
01 Leray-Schauder定理
解的存在性和唯一性
02 Sobolev空间
在存在性定理中的应用
03 解的存在性与正则性
关系及应用
拉普拉斯算子的谱理论
本征函数
描述 性质
谱理论应用
偏微分方程形式
偏微分方程形式
偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）是描述物理、工程、生物学等领域中许多现象的数学方程。
它包含一个或多个未知函数，这些函数通常表示为多个自变量的函数。
偏微分方程的形式可以分为以下几种：
1. 线性的偏微分方程：这种方程的形式为：
∂u/∂x = a(x)∂²u/∂x²+ b(x)∂u/∂y + c(x, y)u
其中，u(x, y) 是未知函数，a(x)、b(x) 和c(x, y) 是已知函数。
2. 非线性的偏微分方程：这种方程的形式更为复杂，通常包含未知函数的平方项、乘积项等。
例如：
u(x, y) = a(x, y)u²(x, y) + b(x, y)u(x, y) + c(x, y)
3. 拟线性的偏微分方程：这种方程的形式类似于线性偏微分方程，但包含一些非线性项。
例如：
∂u/∂x = a(x)∂²u/∂x²+ b(x)∂u/∂y + c(x, y)u + f(x, y)
其中，f(x, y) 是非线性项。
偏微分方程可以进一步根据自变量的数量进行分类，如一维、二维和多维偏微分方程。
在实际应用中，偏微分方程的求解方法包括分离变量法、特征值法、有限差分法、有限元法等。
这些方法根据偏微分方程的具体形式和边界条件来求解未知函数。
非线性偏微分方程的数值分析(几何分析)及应用
[非线性偏微分方程的数值分析（几何分析）及应用----非小振幅振动下弦振动方程及近似解]摘 要本文在非小振幅振动下，推导出弦振动的非线性偏微分方程：()12010222121u x k L u d u x xx a dx u m dt u origin u x x ⎡⎤⎫*⎢⎥⎪*⎫⎝⎭⎢⎥==*+⎰⎪⎢⎥⎭++⎢⎥⎣⎦在特定条件:()e t x z →,、0→x u 和0→dtdx下，将上述ua 方程简化230121xxo r i g i n tt u u m kL u +*=并运用行波法和数学Maple 软件求出了tt u的行波解： ()()()pqc ec pqc ec t x u ccpq c L pq qL c c c pq c pq c ct qx 2222,2222ln 2222222ln 22222202022222+-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++-，用Maple 程序讨论了(,)u x t 解的物理性质。
关键词 非小振幅弦振动，偏微分方程，非线性，近似解ABSTRACTThe oscillation amplitude vibration in non-small, the study of nonlinear partial differential equation of string vibration:()()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+*+*-+*+**==+⎰⎰222020202211121111x x x xx x x xx origin u u u x u dx u x dx u m L k dt u d a u u In specific terms,with the 12=ξq ，()212c d pq +-=ξξ，0→xu and 0→dtdx, will ua simplify the equation for equation: 23121xxorigin tt u u m kL u +*=. And the use of the law and mathematics wave of the wave of Maple software derive Xie oftt u :()()()pqc ec pqc ec t x u ccpq c L pq qL c c cpq c pq c ct qx 2222,2222ln 2222222ln 2222020222+-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++- .Xie oftt u discussed by Maple procedures of the physical nature.Keywords : Non-small oscillation amplitude string vibration, being differentialequation, nonlinear, similar Xie目录摘要 (Ⅰ)A BSTRACT (Ⅱ)1 绪论 (2)1.1 课题背景 (2)1.1.1题目来源及研究目的 (2)1.1.2研究意义 (3)1.2课题所涉及的问题在国内外研究 (2)2 方程推导 (5)2.1 方程推导 (5)2.2 方程简化 (9)3 方程求解 (11)4讨论 (14)5 结束语 (19)参考文献 (20)附录A (21)致谢 (23)1 绪论1.1课题背景1.1.1 题目来源及研究目的题目来源：蒲利春教授给我们提出了非线性偏微分方程的数值分析的毕业设计课题，即《非线性偏微分方程的数值分析（几何分析）及应用》，课题来源于攀枝花学院自然科学科研项目：《非线性理论的应用研究》（项目：编号ZX2005-2）。
第九章 非线性偏微分方程
第九章 非线性偏微分方程前面几章索研究的偏微分方程都是线性的，但在实际工程级数及自然科学中索遇到的方程大多都是非线性的，在有些情况下，人们为了研究方便，对问题补充了一些附加的条件或略去一些次要的项，才得到线性方程。
在这一章内，我们将从一个具体问题出发引入非线性偏微分方程的概念，然后重点讨论两类重要的非线性方程。
§9.1 极小曲面问题在第八章内已经说过，求解一个边值问题可以转化成求它所对应的一个泛函的最小值（当然，一般说来变分问题的解只是原边值问题的弱解）。
其实，在数学里也已证明了相反的结论，即在一定条件下一个变分问题的解必满足一个微分方程。
在这一节内，我们以极小曲面问题为例说明这个事实。
设Ω是平面上有界区域，它的边界∂Ω是充分光滑的，其方程为：(),(),x x s y y s ==00s s ≤≤ 其中00(0)(),(0)()x x s y y s ==即∂Ω是一条闭曲线。
现在在∂Ω上给定一条空间曲线l （即作一条空间曲线l ，使它到Ω所在平面的投影为∂Ω）：0(),:(),0,(),x x s l y y s s s u s ϕ=⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩（9.1） 这里0(0)()s ϕϕ=。
所谓极小曲面问题就是要确定一张定义在Ω上的曲面S ，使得（1）S 以l 为周界；（2）S 的表面积在所有以l 为周界的曲面中是最小的。
假定空间曲面的方程为(,)v v x y =则由微积分学可知，这个曲面的表面积为()J v =⎰⎰（9.2） 于是上述极小曲面问题就变成求一个函数u ，使得（1）由(,)u u x y =所表示的曲面以l 为周界，即1(),u C u ϕ∂Ω∈Ω=，或者说，u M ϕ∈，其中M ϕ由（8.7）给出；（2）()min ()v M J u J v ϕ∈= （9.3） 这是一个变分问题。
如何求出变分问题（9.3）的解？我们先来看看假若u M ϕ∈是（9.3）的解，那么u 必需满足什么样的条件。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第九章 非线性偏微分方程前面几章索研究的偏微分方程都是线性的，但在实际工程级数及自然科学中索遇到的方程大多都是非线性的，在有些情况下，人们为了研究方便，对问题补充了一些附加的条件或略去一些次要的项，才得到线性方程。
在这一章内，我们将从一个具体问题出发引入非线性偏微分方程的概念，然后重点讨论两类重要的非线性方程。
§9.1 极小曲面问题在第八章内已经说过，求解一个边值问题可以转化成求它所对应的一个泛函的最小值（当然，一般说来变分问题的解只是原边值问题的弱解）。
其实，在数学里也已证明了相反的结论，即在一定条件下一个变分问题的解必满足一个微分方程。
在这一节内，我们以极小曲面问题为例说明这个事实。
设Ω是平面上有界区域，它的边界∂Ω是充分光滑的，其方程为：(),(),x x s y y s ==00s s ≤≤ 其中00(0)(),(0)()x x s y y s ==即∂Ω是一条闭曲线。
现在在∂Ω上给定一条空间曲线l （即作一条空间曲线l ，使它到Ω所在平面的投影为∂Ω）：0(),:(),0,(),x x s l y y s s s u s ϕ=⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩（9.1） 这里0(0)()s ϕϕ=。
所谓极小曲面问题就是要确定一张定义在Ω上的曲面S ，使得（1）S 以l 为周界；（2）S 的表面积在所有以l 为周界的曲面中是最小的。
假定空间曲面的方程为(,)v v x y =则由微积分学可知，这个曲面的表面积为()J v =⎰⎰（9.2） 于是上述极小曲面问题就变成求一个函数u ，使得（1）由(,)u u x y =所表示的曲面以l 为周界，即1(),u C u ϕ∂Ω∈Ω=，或者说，u M ϕ∈，其中M ϕ由（8.7）给出；（2）()min ()v M J u J v ϕ∈= （9.3） 这是一个变分问题。
如何求出变分问题（9.3）的解？我们先来看看假若u M ϕ∈是（9.3）的解，那么u 必需满足什么样的条件。
为此，在0M 任取一个元素v ，即任取0v M ∈，即1(),0v C v ∂Ω∈Ω=。
对任意(,),u v M ϕεε∈-∞+∞+∈，记()()j J u v εε=+ （9.4）其中()J u 由（9.2）确定，从（9.2）可知()j ε是定义在R 上的一个可微函数，由于u 是（9.3）的解，所以对任意R ε∈处取得最小值，故(0)0j '= （9.5）不难看出()()()u v v u v v j εεε+++'=⎰⎰代入（9.5）得]0x y u dxdy Ω=⎰⎰假若u 具有更好的光滑性，例如2()u C ∈Ω，由格林公式可得{0u vdxdy x y Ω∂∂-++=∂∂⎰⎰⎰ 由于0v M ∈，即0v ∂Ω=，因此上式左端第二项为零，再由v 的任意性及被积函数的连续性可知0u x y ∂∂+=∂∂ （9.6） 这个方程称为变分问题（9.3）的Euler 方程。
上面的推导说明，如果u 是（9.3）的解，且2()u C ∈Ω，则u 必满足（9.6），当然还满足边界条件u ϕ∂Ω= （9.7）因此定义在Ω上且以空间曲线l 为周界的极小曲面(,)u u x y =必定在Ω内适合方程（9.6）和在∂Ω上满足边界条件（9.7）。
方程（9.6）可以改写成22(1)2(1)0y xx x y xy x yy u u u u u u u +-++= （9.8）这个方程通常称为极小曲面方程。
它有什么特点？它关于二阶导数,xx xy u u 及yy u 是线性的，但它们前面的系数分别含有2yu ，x y u u 及2x u ，所以对x u ，y u 来说它不是线性关系，特别是，如果把x u ，y u ，,xx xy u u 及yy u 同等看待，这个方程对它们不少线性方程，故它是一个非线性方程。
§9.2 非线性偏微分方程举例在上一节内，我们以极小曲面问题为例得到了一个非线性偏微分方程（9.8），其实，在力学、物理学及几何学中都有大量的非线性偏微分方程。
例如，在热传导问题（第一章第一节例4）中，如果热传导系数k 不是常数，而是温度的函数，则三维热传导方程为(())(())(())u u u u k u k u k u t x x y y z z∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂ （9.9） 这也是一个非线性方程。
在流体力学中，描述粘性气体运动的方程是著名的Navier-Stokes 方程，其形式为31()0i i iu t x ρρ=∂∂+=∂∂∑ （连续性方程） 1ij i j i jdu p dt x x τρ∂∂=-+∂∂∑ （动量方程） 211()()2p i ij j i j j d u T p C T u dt x x tλτρρ∂∂∂+=++∂∂∂∑∑（能量方程） 其中,2()3i i ij i l ij ij l j i l d u p R T dt t x u u u x x x ρτηδ∂∂=+=∂∂∂∂∂=+-∂∂∂∑∑ （9.11）这里ρ是流体密度，123(,,)u u u u =是流速，T 是温度，η、ξ是粘性系数，λ是传热系数，p 是压强，p C 是定压比热，R 是气体常数，ij τ表示粘滞力的张量，ij δ是Kronecker 记号，即1,0,ij i j i jδ=⎧=⎨≠⎩当流体为不可压缩时，ρ是长和数；又若不计温度的变化，这（9.10）化为不可压缩流体的Navier-Stockes 方程10,i i i i i i u du p u x dt x ηρρ∂∂==-+∆∂∂∑ （9.12） 取1ρ≡，并利用（9.11），这上述方程组为31310,1,2,30i i i j j j ii i i u u p u u i t x x u x η==∂∂∂-∆++==∂∂∂∂=∂∑∑ （9.13）这是关于123,,,p u u u 的非线性方程组。
在热平衡问题中，如果热传导系数是常数，但物体内含有一个依赖于温度及温度梯度的热源，则可得(,,)u f x u u ∆=∇ （9.14）在微分几何中，若要求出中曲率κ为已知的曲面时，就需要求解下列方程：2(,,,,)rt s f x y u p q -= （9.15）其中,,,,x y x x x y y y p u q u r u s u t u =====。
这个方程称为蒙日－安培尔（Monge-Ampere ）方程。
上面我们已经从不同的问题引入了一些非线性方程或方程组，现在再对它们作一些比较。
方程（9.14）中的最高阶导数（即二阶导数）部分纯粹是线性得，它的非线性只出现在函数u 及其一阶导数项，这样的方程称为半线性方程，方程组（9.13）也是半线性的；方程（9.8）对最高阶导数（二阶导数项）来说是线性的，但它们的系数依赖于未知函数的非最高阶导数（那里是一阶导数），这样的方程称为拟线性的；方程（9.15）的特点是对最高阶导数（二阶导数）也是非线性的，这样的方程称为完全非线性（或真正非线性）方程。
显而易见，完全非线性方程的非线性程度最高，半线性方程的非线性程度最低，拟线性方程的非线性程度介于两者之间。
对于非线性偏微分方程，一般说来是无法求出解的表达式，只能求其近似解。
但对一些很特殊的情形，通过适当的未知函数的变换将方程化成线性方程，或者经过适当的数学处理化成可以求解的方程，下面举例说明。
例1 在流体力学中有一个很重要的比尔吉斯（Burgers ）方程t x xx u uu u λ+= （9.16）这是一个二阶偏微分方程，为了解这个方程，令x u v =，再对x 积分一次可得212t x xx v v v λ+= 再令2ln v λψ=-则得t xx ψλψ=这是一维的线性热传导方程，对它的各种定解问题可以用第二、三中的方法求出它的解，有了ψ之后可以求出u 。
例2 在微分几何中遇到如下Liouville 方程u u e x y∂=∂∂ （9.17） 这是一个半线性的二阶方程。
若令u '是0u x y'∂=∂∂ （9.18） 的解，再构造一个偏微分方程组1()21()22u u u u u u e x x u u e yy ββ'+'-⎧'∂∂=-⎪∂∂⎪⎨'∂∂⎪=--⎪∂∂⎩ （9.19） 其中β是常数。
通过计算可以验证：若u 是（9.19）的解，则u 必是（9.17）的解。
有第三章已知，（9.18）的解总可以写成(,)()()u x y f x g y '=+其中,f g 是任意可微函数。
有了u '再解（9.19），最后可得（9.17）的通解exp[(()())2]2ln exp ()exp(())2f x g y u f x dx g y dy β⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥⎣⎦⎰ 与线性方程相比，非线性方程还有一个特点，即它的解即使存在，也不一定对所有的时间0t ≥都存在（当然假定方程中含有时间变量t ），而只是再某个有限时间内存在，见下例 例3 考虑Riccati 方程的初值问题200,0(0)()dv v t dtv v v ⎧=>⎪⎨⎪=⎩是常数 （8.20） 容易求出它的解00()1v v t v =- 显然，若00v <，则（9.20）的解对所有0t ≥都存在，简称整体存在；若00v >，则当01t v →时，()v t →+∞，这时解在时刻001t v =产生破裂，所以（9.20）只在01[0,)v 内有解，简称解是局部存在的。
§9.3 单个守恒律 激波在这一节内，我们将研究形如()0t x u f u += （9.21）的一阶非线性双曲型方程初值问题。
由于方程（9.21）左端是散度形式，通常将它称为守恒律。
我们将要指出这个方程的解可能产生间断，并着重介绍激波的概念。
先看一个特例，即考虑Burgers 方程的初值问题0,0,, (9.22)(,0)(),, (9.23)t x u uu t x u x x x ϕ+=>-∞<<+∞⎧⎨=-∞<<+∞⎩ 在这个问题古典解（1C 类解）存在的范围内，可由(,)dx u x t dt= （9.24） 定义其特征线。
显然，沿着特征线有0du dt= 即u 在每一条特征线上取常数值。
由（9.24）知特征线是直线，通过点0(,0)x 的特征线为00()x x t x ϕ=+ （9.25）在其上0()u x ϕ= （9.26）设()x ϕ的1C 模有界（即sup ()sup ()x x M ϕϕ'+≤），且t 较小，则有00()10x t x ϕ∂'=+>∂ 故由（9.25）可得0(,)x x t ψ=代入（9.26）即得问题（9.22），（9.23）的解为((,))u x t ϕψ=这说明，这个问题总存在惟一的局部古典解。