复变函数与积分变换：7-Fourier变换习题课
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第七章 Fourier变换
一、重点与难点 二、 内容提要 三、典型例题
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一、重点与难点
重点：1. 求函数的Fourier变换；
2. Fourier变换的简单应用
难点： 求函数的Fourier变换.
2
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二、内容提要
Fourier积分定理
例3 计算函数f (t ) e|t| cos t的Fourier变换, 并证明
0
2 4
2 4
costd
2
e |t|
cos
t.
解 所给函数Fourier变换为
F ( ) F [ f (t )] f (t )eitdt
e |t| cos teitdt
e |t| e it e it e it dt
17
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e dt i( 0 )t
2
(
0 ).
e d i(t t0 )
2
(t
t0 ).
18
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练习：
(1) 设f (t ) (t t0 ), 则F [ f (t )] ( D )
(A) 1
(B) 2
(C)ei t0
1
2
0
sin(1
t )d
14
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,
2
1
2
2
,
0,
t 1
,
2
t
1
1
2
2
,
t 1 0,
t 1
0,
t 1 t 1
1
2
, ,
2
| t | 1 | t | 1
| t | 1
所以
0, | t | 1
f
(t
)
1 2
,
| t | 1.
1 4
,
| t | 1
例2 计 算 函 数f
(t)
s in t , 0,
| t | 的Fourier | t |
变 换, 并 证 明
0
s
in sint 12
d
2 0,
s in t ,
| t | | t |
.
解 所给函数是奇函数,其Fourier变换为
7
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F ( ) F [ f (t )] f (t )eitdt 2i 0 sint sintdt 2i sin 12 .
0
1
0
2 2 4 4 4 cos
td .
即
2
0 4
2 costd
4
e|t| cos t .
2
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例4 已知某函数的傅氏变换为
F ( ) sin ,
求该函数.
解
f
(t)
1
2
sin eitd
1
0
sin
cos
td
1
2
0
sin(1
t )d
F ( )eitd
2
4
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例1 求下列函数的傅立叶变换.
0, t 1
(1)
f
(t
)
1, 1,
1 t 0 t 1
0
0, 1 t
(t )2
(2) f (t) e a .
解 （1）
F ( ) f (t )eitdt
0 e itdt 1 e itdt
1 i i 0
1 i i 0
11
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1 2
1
1 i
i
1
1 i
i
1
1 (1
)i
1
1 (1
)i
2 2 4 44 .
再由Fourier积分公式得
f (t) 1
F
(
)e
it
d
2
12
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1
F ( )costd
性质
Fourier变换
Fourier变换 的应用
线 性
位 移
微 分
积 分
相对 似称
性 性 性 性 性性
质 质 质 质 质质
δ函数
广义Fourier变换
*
3
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三、典型例题
1、求古典傅里叶变换、积分并验证广义积分结果
F ( ) f (t )eitdt
f (t) 1
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练习：
(1)设a
0,
f
(t)
eat ,
e
at
,
t 0,则函数f (t)的 t0
Fourier积 分 为
.
(2)设F
[
f
(t)]
1
3
wk.baidu.com
2
, 则f
(t)
.
答案：
(1) f (t) 2a
0
cost a2 2
d
(2) 3 e |t| 2
16
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2
10
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1 0 e(1ii )tdt 0 e(1ii )tdt
2
e(1ii )t dt e (1ii )tdt
0
0
| | 1 e(1ii )t 0
e(1i i )t 0
2 1 i i
1 i i
| | e e (1ii )t
(1 i i )t
1
0
2(1 cos ) i
5
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(2) F ( ) f (t )eitdt
e
(t )2 a
e
it
dt
e dt
2 a
[
t
ai 2 2
]2
a 4
2 2
a
e
a 4
2 2
.
注： e t2 costdt e2 /(4 )
( 0, 为实数)
6
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(D) eit0
(2) 设f (t ) cos 0t, 则F [ f (t )] ( A )
( A) [ ( 0 ) ( 0 )] (B) [ ( 0 ) ( 0 )] (C )i[ ( 0 ) ( 0 )] (D)i[ ( 0 ) ( 0 )]
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(3) 设f (t ) (2 t ) ei0t , 则F [ f (t )] ( A )
( A) e2i 2 ( 0 ) (C ) e2i 2 ( 0 )
(B) e2i 2 ( 0 ) (D) e2i 2 ( 0 )
2. 广义傅里叶变换 一些常见函数的广义Fourier变换: 1.u(t )和 1 ( )构成一个Fourier变换对.
i
2. (t)和1构成一个Fourier变换对.
3.1和2 ()构成一个Fourier变换对. 4.ei0t和2 ( 0 )构成一个Fourier变换对.
5. (t t0 )和eit0构成一个Fourier变换对.
再由Fourier积分公式得，在连续点处
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在连续点处
f (t) 1
F
(
)e
it
d
2
i
F ( )sintd
0
2
0
sin
1
sint 2
d
即
0
sin sint 12
d
2 0,
sint, | t | | t |
.
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一、重点与难点 二、 内容提要 三、典型例题
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一、重点与难点
重点：1. 求函数的Fourier变换；
2. Fourier变换的简单应用
难点： 求函数的Fourier变换.
2
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二、内容提要
Fourier积分定理
例3 计算函数f (t ) e|t| cos t的Fourier变换, 并证明
0
2 4
2 4
costd
2
e |t|
cos
t.
解 所给函数Fourier变换为
F ( ) F [ f (t )] f (t )eitdt
e |t| cos teitdt
e |t| e it e it e it dt
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e dt i( 0 )t
2
(
0 ).
e d i(t t0 )
2
(t
t0 ).
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练习：
(1) 设f (t ) (t t0 ), 则F [ f (t )] ( D )
(A) 1
(B) 2
(C)ei t0
1
2
0
sin(1
t )d
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,
2
1
2
2
,
0,
t 1
,
2
t
1
1
2
2
,
t 1 0,
t 1
0,
t 1 t 1
1
2
, ,
2
| t | 1 | t | 1
| t | 1
所以
0, | t | 1
f
(t
)
1 2
,
| t | 1.
1 4
,
| t | 1
例2 计 算 函 数f
(t)
s in t , 0,
| t | 的Fourier | t |
变 换, 并 证 明
0
s
in sint 12
d
2 0,
s in t ,
| t | | t |
.
解 所给函数是奇函数,其Fourier变换为
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F ( ) F [ f (t )] f (t )eitdt 2i 0 sint sintdt 2i sin 12 .
0
1
0
2 2 4 4 4 cos
td .
即
2
0 4
2 costd
4
e|t| cos t .
2
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例4 已知某函数的傅氏变换为
F ( ) sin ,
求该函数.
解
f
(t)
1
2
sin eitd
1
0
sin
cos
td
1
2
0
sin(1
t )d
F ( )eitd
2
4
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例1 求下列函数的傅立叶变换.
0, t 1
(1)
f
(t
)
1, 1,
1 t 0 t 1
0
0, 1 t
(t )2
(2) f (t) e a .
解 （1）
F ( ) f (t )eitdt
0 e itdt 1 e itdt
1 i i 0
1 i i 0
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1 2
1
1 i
i
1
1 i
i
1
1 (1
)i
1
1 (1
)i
2 2 4 44 .
再由Fourier积分公式得
f (t) 1
F
(
)e
it
d
2
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1
F ( )costd
性质
Fourier变换
Fourier变换 的应用
线 性
位 移
微 分
积 分
相对 似称
性 性 性 性 性性
质 质 质 质 质质
δ函数
广义Fourier变换
*
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三、典型例题
1、求古典傅里叶变换、积分并验证广义积分结果
F ( ) f (t )eitdt
f (t) 1
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练习：
(1)设a
0,
f
(t)
eat ,
e
at
,
t 0,则函数f (t)的 t0
Fourier积 分 为
.
(2)设F
[
f
(t)]
1
3
wk.baidu.com
2
, 则f
(t)
.
答案：
(1) f (t) 2a
0
cost a2 2
d
(2) 3 e |t| 2
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1 0 e(1ii )tdt 0 e(1ii )tdt
2
e(1ii )t dt e (1ii )tdt
0
0
| | 1 e(1ii )t 0
e(1i i )t 0
2 1 i i
1 i i
| | e e (1ii )t
(1 i i )t
1
0
2(1 cos ) i
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(2) F ( ) f (t )eitdt
e
(t )2 a
e
it
dt
e dt
2 a
[
t
ai 2 2
]2
a 4
2 2
a
e
a 4
2 2
.
注： e t2 costdt e2 /(4 )
( 0, 为实数)
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(D) eit0
(2) 设f (t ) cos 0t, 则F [ f (t )] ( A )
( A) [ ( 0 ) ( 0 )] (B) [ ( 0 ) ( 0 )] (C )i[ ( 0 ) ( 0 )] (D)i[ ( 0 ) ( 0 )]
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(3) 设f (t ) (2 t ) ei0t , 则F [ f (t )] ( A )
( A) e2i 2 ( 0 ) (C ) e2i 2 ( 0 )
(B) e2i 2 ( 0 ) (D) e2i 2 ( 0 )
2. 广义傅里叶变换 一些常见函数的广义Fourier变换: 1.u(t )和 1 ( )构成一个Fourier变换对.
i
2. (t)和1构成一个Fourier变换对.
3.1和2 ()构成一个Fourier变换对. 4.ei0t和2 ( 0 )构成一个Fourier变换对.
5. (t t0 )和eit0构成一个Fourier变换对.
再由Fourier积分公式得，在连续点处
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在连续点处
f (t) 1
F
(
)e
it
d
2
i
F ( )sintd
0
2
0
sin
1
sint 2
d
即
0
sin sint 12
d
2 0,
sint, | t | | t |
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