高中数学知识点精讲精析 中心对称图形与旋转变换

1.2 中心对称图形与旋转变换

1．中心对称图形

中心对称图形

定义：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形。

而这个中心点，就叫做中心对称点。

性质：中心对称图形上每一对对称点所连成的线段都被对称中心平分。

常见的中心对称图形有：矩形，菱形，正方形，平行四边形，圆,边数为偶数的正多边形，某些不规则图形等．

正偶边形是中心对称图形

正奇边形不是中心对称图形

如：正三角形不是中心对称图形图：中心对称图形

等腰梯形不是中心对称图形

2．旋转变换

在平面内，将一个图形绕一个定点沿顺时针或逆时针方向转动一个角度，得到一个新的图形，这样的图形运动称为旋转变换，简称旋转．

和旋转变换有关的知识：

定点O称为旋转中心，

转动的角称为旋转角．

如果图形上的点A经过旋转到点A′，

那么这两个点叫做旋转的对应点．

与平面的反射变换一样，平面的旋转变换保持图形的形状和大小不变

A B

C E

D A

在平面上，如果存在关于某定点的旋转变换，使得一个图形经过该旋转变换能与自己重合，就称这个图形是旋转对称图形，这个定点是该图形的旋转对称中心，若这个旋转变换旋转的角是a,还称它是该图形的一个“角为a 的旋转对称性变换”，也说该图形有一个“角为a 的旋转对称”

将平面的每一个点绕一个定点沿

1． 如图，△ACB 与△ADE 是两个全等的等腰直角三角形，∠ACB 和∠ADE 都是直角，点C 在AE 上，△ACB 以某个点为旋转中心，逆时针旋转一定角度后与△ADE 重合.

（1）请指出其旋转中心与旋转角度；

（2）如果再将图2作为“基本图形”绕着

A 点顺时针连续旋转组合得到图3，那么图3是

图2通过几次旋转得到的？每次旋转了多少度？

图2

【解析】

（1）旋转中心是点A ，旋转角度是45°；

（2）图3是图2绕着A 点顺时针通过3次旋转组合得到的，旋转角度分别为90°、180°、270°．

图3

2．请按照题目要求完成作图.

（1）如图5，画出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形．

【解析】

假设点B、A的对应点为B′、A′，则∠BCB′、∠ACA′都是旋转角，且∠ACA′=∠BCB′=90°，CB′=CB，CA′=CA．

图5 图6

答案：见图6．

（2）如图7，△ABC绕点C顺时针旋转后，点B的对应点为点B′．试确定点A的对应点的位置，并画出旋转后的三角形．

分析：假设点A的对应点为A′，则∠BCB′、∠ACA′都是旋转角，且∠ACA′=∠BCB′=90°，CB′=CB，CA′=CA．

图7 图8

答案：见图8．

3．如右图，△ABC绕点C顺时针旋转后，B的对应点为点B′．

试确定点A的对应点的位置，并画出旋转后的三角形．

分析：假设点A的对应点为A′，则∠BCB′、∠ACA′都是旋转角，且∠ACA′=∠BCB′，CB′=CB，CA′=CA．

【解析】

①联结CB′；

②以AC为一边作∠ACF，使∠ACF=∠BCB′；

③在射线CF上截取CA′= CA；

④ 联结B ′A ′．

右下图中的△A ′B ′C 就是△ABC 绕点C 按

顺时针旋转后的图形．

4． 在坐标平面上，将点P(3,4)作下列变换，试分别求变换之后的点P ′坐标。

（1）以原点为中心，顺时针旋转60°；

（2）沿x 轴方向平移3||y 个单位。

【解析】

（1

）1cos(60) -sin(-60)33244sin(60) cos(-60)1 2⎡⎢⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦ ， ∴Q

）。 （2）1 3315,(15,4)0 144Q ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=∴⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

。 5．如图所示，已知正三角形ABC ，其中A （2，2），

求点B 的坐标。

【解析】

由已知A （2，2）绕原点逆时针旋转60°后移到

00(,)B x y ，因此，得旋转变换矩阵

M =cos 60 -sin60sin 60 cos60⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ，∴

M 22⎡⎤⎡⎤=⎢⎢⎥⎣⎦⎢⎣，∴点B

的坐标为(1+。