空间中的平行关系练习题(优.选)
2020年高考文科数学新课标第一轮总复习练习：7-4空间中的平行关系含解析
课时规范练A组基础对点练1．(2018·陕西质检)已知平面α，β和直线a，b，下列说法正确的是(C)A．若a∥α，b∥β，且α∥β，则a∥bB．若a⊂α，b⊂β，且a∥b，则α∥βC．若a⊥α，b⊥β，且a∥b，则α∥βD．若α⊥β，a⊂α，b⊂β，则a⊥b2．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是(B)A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α3．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的(B) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．(2017·江西赣中南五校联考)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是(C)A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥βD．若m∥n，m∥α，则n∥α5．(2018·唐山质检)如图所示，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.证明：(1)如图所示，设DF与GN交于点O，连接AE，则AE必过点O. 连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.因为BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN.因为DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.因为M为AB的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN.因为BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG.又DE∩BD＝D，BD，DE⊂平面BDE，所以平面BDE∥平面MNG.6．(2018·昆明质检)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，M是AB的中点．(1)证明：BC1∥平面MCA1；(2)若AB＝A1M＝2MC＝2，BC＝2，求点C1到平面MCA1的距离．解析：(1)证明：如图，设AC1与A1C的交点为N，则N为AC1的中点，连接MN，因为M是AB的中点，所以MN∥BC1，又MN⊂平面MCA1，BC1⊄平面MCA1，所以BC1∥平面MCA1.(2)因为AB ＝2MC ＝2，M 是AB 的中点， 所以∠ACB ＝90°.在直三棱柱中，A 1M ＝2，AM ＝1，所以AA 1＝ 3. 又BC ＝2，所以AC ＝2，A 1C ＝5， 所以∠A 1MC ＝90°.设点C 1到平面MCA 1的距离为h ， 因为AC 1的中点N 在平面MCA 1上， 所以点A 到平面MCA 1的距离也为h .又三棱锥A 1－AMC 的体积V ＝13S ΔAMC ·AA 1＝36， △MCA 1的面积S ＝12A 1M ·MC ＝1， 则V ＝13Sh ＝13h ＝36，解得h ＝32， 故点C 1到平面MCA 1的距离为32.7．一个正方体的平面展开图及该正方体直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC 的中点为M ，GH 的中点为N .(1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)证明：直线MN ∥平面BDH ；(3)过点M ，N ，H 的平面将正方体分割为两部分，求这两部分的体积比． 解析：(1)点F ，G ，H 的位置如图所示．(2)证明：连接BD ，设O 为BD 的中点，连接OM ，OH ，AC ，BH ，MN . ∵M ，N 分别是BC ，GH 的中点， ∴OM ∥CD ，且OM ＝12CD ， NH ∥CD ，且NH ＝12CD ， ∴OM ∥NH ，OM ＝NH .则四边形MNHO 是平行四边形， ∴MN ∥OH .又MN ⊄平面BDH ，OH ⊂平面BDH ， ∴MN ∥平面BDH .(3)由(2)知OM ∥NH ，OM ＝NH ，连接GM ，MH ，过点M ，N ，H 的平面就是平面GMH ，它将正方体分割为两个同高的棱柱，高都是GH ，底面分别是四边形BMGF 和三角形MGC ，体积比等于底面积之比，即3∶1.B 组 能力提升练1．如图，点E 为正方形ABCD 边CD 上异于点C ，D 的动点，将△ADE 沿AE 翻折成△SAE ，使得平面SAE ⊥平面ABCE ，则下列三种说法中正确的个数是( B )①存在点E 使得直线SA ⊥平面SBC ； ②平面SBC 内存在直线与SA 平行； ③平面ABCE 内存在直线与平面SAE 平行． A ．0 B.1 C ．2D.3解析：由题图，得SA ⊥SE .若存在点E 使得直线SA ⊥平面SBC ，则SA ⊥SB ，SA ⊥SC ，则SC ，SB ，SE 三线共面，则点E 与点C 重合，与题设矛盾，故①错误；因为SA 与平面SBC 相交，所以在平面SBC 内不存在直线与SA 平行，故②错误；显然，在平面ABCE内，存在直线与AE 平行，由线面平行的判定定理，得平面ABCE 内存在直线与平面SAE 平行，故③正确．故选B.2．(2018·海口调研)将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”．给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行．其中是“可换命题”的是__①③__(填序号)．解析：由线面垂直的性质定理，可知①是真命题，且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题，故①是“可换命题”；因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交，所以②是假命题，不是“可换命题”；由公理4可知③是真命题，且平行于同一平面的两平面平行也是真命题，故③是“可换命题”；因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，所以④是假命题，故④不是“可换命题”．3．(2016·高考全国卷Ⅲ)如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明：MN ∥平面P AB ； (2)求四面体N －BCM 的体积．解析：(1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点，知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，故四边形AMNT 为平行四边形． 所以MN ∥AT .因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ， 所以MN ∥平面P AB .(2)因为P A⊥平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为12P A.取BC的中点E，连接AE.由AB＝AC＝3，得AE⊥BC，AE＝AB2－BE2＝5，由AM∥BC，得M到BC的距离为5，故S△BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体N－BCM的体积V N－BCM ＝13·S△BCM·P A2＝453.4.如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217 .点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC ∥平面GEFH .(1)证明：GH∥EF；(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．解析：(1)证明：因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.(2)如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.因为P A＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面内，所以PO⊥底面ABCD.又平面GEFH⊥平面ABCD，且PO⊄平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD，从而GK⊥EF，所以GK是梯形GEFH的高．由AB＝8，EB＝2，得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，从而KB＝14DB＝12OB，即K为OB的中点．由PO∥GK，得GK＝12PO，即G是PB的中点，且GH＝12BC＝4.由已知可得OB＝42，PO＝PB2－OB2＝68－32＝6，所以GK＝3.故四边形GEFH的面积S＝GH＋EF2·GK＝4＋82×3＝18.5．(2018·石家庄质检)如图，已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD为正方形，且P A⊥底面ABCD，过AB的平面ABFE与侧面PCD的交线为EF，且满足S△PEF ∶S四边形CDEF＝1∶3.(1)证明：PB∥平面ACE；(2)当P A＝2AD＝2时，求点F到平面ACE的距离．解析：(1)证明：由题知四边形ABCD为正方形，所以AB∥CD，因为CD⊂平面PCD，AB⊄平面PCD，所以AB∥平面PCD.又AB⊂平面ABFE，平面ABFE∩平面PCD＝EF，所以EF ∥AB ，所以EF ∥CD .由S △PEF ∶S 四边形CDEF ＝1∶3，知E ，F 分别为PD ，PC 的中点． 如图，连接BD 交AC 于点G ，则G 为BD 的中点．连接EG ，则EG ∥PB .又EG ⊂平面ACE ，PB ⊄平面ACE ， 所以PB ∥平面ACE .(2)因为P A ＝2，AD ＝AB ＝1，所以AC ＝2，AE ＝12PD ＝52. 因为P A ⊥平面ABCD ，所以CD ⊥P A . 又CD ⊥AD ，AD ∩P A ＝A ， 所以CD ⊥平面P AD ，所以CD ⊥PD . 在Rt △CDE 中，CE ＝CD 2＋DE 2＝32. 在△ACE 中，由余弦定理，知cos ∠AEC ＝AE 2＋CE 2－AC 22AE ·CE ＝55， 所以sin ∠AEC ＝255，所以S △ACE ＝12·AE ·CE ·sin ∠AEC ＝34. 设点F 到平面ACE 的距离为h ，连接AF ， 则V F －ACE ＝13×34×h ＝14h .因为DG ⊥AC ，DG ⊥P A ，AC ∩P A ＝A ， 所以DG ⊥平面P AC . 因为E 为PD 的中点，所以点E 到平面ACF 的距离为12DG ＝24.又F为PC的中点，所以S△ACF ＝12S△ACP＝22，所以V E－ACF ＝13×22×24＝112.由V F－ACE ＝V E－ACF，解得14h＝112，得h＝13，所以点F到平面ACE的距离为1 3.。
专题05空间中的平行关系与垂直关系(解析版)
专题05空间中的平行关系与垂直关系1．在正四棱锥S ABCD -中，SO ⊥面ABCD 于O ，2SO =,P Q 分别在线段,BD SC 上移动，则,P Q 两点的最短的距离为（）A B C ．2 D ．1【答案】B,P Q 在,BD SC 上移动，则当PQ 为,BD SC 公垂线段时，,P Q 两点的距离最小；四棱锥S ABCD -为正四棱锥，SO ⊥平面ABCD ，O ∴为正方形ABCD 的中心，BD AC ∴⊥，又SO BD ⊥，SOAC O =，BD ∴⊥平面SOC ，过O 作OM SC ⊥，垂足为M ，OM ⊂平面SOC ，OM BD ∴⊥，OM ∴为,BD SC 的公垂线，又5SO OC OM SC ⋅===，,P Q ∴. 故选：B.2．【广西河池市2020-2021学年高一上学期期末】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，PA AB =，E 为AP 的中点，则异面直线PC 与DE 所成的角的正弦值为（）．A ．5B C ．5D ．5【答案】D连AC ，BD 相交于点O ，连OE 、BE ，因为E 为AP 的中点，O 为AC 的中点，有PC //OE ，可得OED ∠为异面直线PC 与DE 所成的角，不妨设正方形中，2AB =，则2PA =， 由PA ⊥平面ABCD ，可得,PA AB PA AD ⊥⊥，则BE DE ===1122OD BD ==⨯=因为BE DE =，O 为BD 的中点，所以90EOD ∠=︒，sin5OD OED DE ∠===． 故选：D.3．【广西桂林市2020-2021学年高一上学期期末】已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题正确的是（） A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α.B ．若直线m 、n 与平面α所成角相等，则//m n .C ．若m α⊂，n ⊂α且//m β，βn//，则//αβ.D ．若m α⊥，βn//且//αβ，则m n ⊥. 【答案】DA. 由题得//n α或n ⊂α，所以该选项错误；B. 由题得//m n 或,m n 相交或,m n 异面，所以该选项错误；C. 由题得//αβ或,αβ相交，所以该选项错误；D. 由题得m β⊥，又βn//，所以m n ⊥，所以该选项正确.故选：D4．【河南省天一大联考2020-2021学年高一上学期期末】在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1BC AC ，且12AC BC =，则直线11B C 与平面1ABC 所成的角的大小为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°【答案】A∵90BAC ∠=︒，12AC BC =，∴30CBA ∠=︒， ∵1BC AC ，AB AC ⊥，1BC ABB ，1,BC AB ⊂平面1ABC ，∴AC ⊥平面1ABC ，∴CBA ∠就是BC 与平面1ABC 所成的角，即BC 与平面1ABC 所成的角是30， ∵棱柱中11//B C BC ，∴11B C 与平面1ABC 所成的角的大小为30， 故选：A ．5．【河南省平顶山市2020-2021学年高一上学期期末】将如图的平面图形折成正方体，则在这个正方体中，正确的是（）A ．//AB CD ，AB EF ⊥ B ．AB CD ⊥，AB EF ⊥C ．//AB CD ，AB 与EF 所成的角为60 D ．AB CD ⊥，AB 与EF 所成的角为60【答案】D作出翻折后的正方体如下图所示：在正方体ANBF MCED -中，四边形MCED 为正方形，则CD ME ⊥，AM ⊥平面MCED ，CD ⊂平面MCED ，CD AM ∴⊥，AM ME M =，CD 平面ABEM ，AB CD ∴⊥，在正方体ANBF MCED -中，//AF CE 且AF CE =，所以，四边形ACEF 为平行四边形，所以，//AC EF ，所以，异面直线AB 与EF 所成的角为BAC ∠， 易知ABC 为等边三角形，所以，60BAC ∠=， 因此，AB 与EF 所成的角为60. 故选：D.6．【陕西省宝鸡市金台区2020-2021学年高一上学期期末】已知α、β是平面，m 、n 是直线，下列命题中不正确的是（） A ．若//m α，n αβ=，则//m n B ．若//m n ，m α⊥，则n α⊥ C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥【答案】A对于A 选项，若//m α，则直线m 与平面α内的直线平行或异面， 由于n αβ=，则直线m 、n 平行或异面，A 选项错误；对于B 选项，若//m n ，m α⊥，则n α⊥，B 选项正确； 对于C 选项，若m α⊥，m β⊥，则//αβ，C 选项正确；对于D 选项，若m α⊥，m β⊂，由面面垂直的判定定理可知αβ⊥，D 选项正确. 故选：A.7．【河南省焦作市2020-2021学年高一上学期期末】如图所示，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N 为其所在棱的中点，则异面直线AB 与MN 所成角的大小为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C作如图所示的辅助线，由于M ，N 为其所在棱的中点，所以//MN PQ ，又因为//AC PQ ，所以//AC MN ，所以CAB ∠即为异面直线AB 与MN 所成的角（或补角），易得AB AC BC ==，所以60CAB ∠=︒.故选：C ．8．【陕西省铜川一中2020-2021学年高一上学期期末】如图，在矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，点E ，F 分别为BC ，AD 的中点，将四边形CDEF 沿EF 翻折，使得平面CDEF ⊥平面ABEF ，则异面直线BD 与AE 所成角的正弦值为（）AB．10C．10D【答案】D如图，连接BF 交AE 于点O ，取DF 的中点G ，连接OG ，AG ，则OG BD ∥且12OG BD =，所以AOG ∠(或其补角)为异面直线BD 与AE 所成的角.由在矩形ABCD中，AB =2BC =，则1DF FA ==，2AE BF ==，所以112AO AE ==. 平面CDFE ⊥平面ABEF ，平面CDFE ⋂平面ABEF EF =，DFEF ，DF ⊂平面DCEF ，所以DF ⊥平面BAFE ，又BF ，AF ⊂平面BAFE ，所以DF BF ⊥，DF FA ⊥，所以BD =所以12OG BD ==1122GF DF ==，所以AG ==在AOG中，112cos AOAOG GO ∠===sin 5AOG ∠=．所以异面直线BD 与AE. 故选：D ．9．【贵州省思南中学2019-2020学年高一下学期期末】如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别是AC ，BD 的中点，若24CD AB ==，EF BA ⊥，则EF 与CD 所成的角为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】A解：如图所示：取CB 的中点G ，连接EG ，FG ，则//EG AB ，//FG CD ，EF ∴与CD 所成的角为EFG (或其补角)， EF AB ⊥，EF EG ∴⊥，又112EG AB ==，122FG CD ==， ∴在Rt EFG 中，1sin 2EFG ∠=， EF ∴与CD 所成的角为30．故选：A ．10．已知三棱锥D ABC -，记二面角C AB D --的平面角是θ，直线DA 与平面ABC 所成的角是1θ，直线DA 与BC 所成的角是2θ，则（） A ．1θθ≥ B ．1θθ≤C ．2θθ≥D ．2θθ≤【答案】A设三棱锥D -ABC 是棱长为2的正四面体，取AB 中点E ，DC 中点M ，AC 中点M ，连结DE 、CE 、MN 、EN ， 过D 作DO ⊥CE ，交CE 于O ，连结AO ，则DEC θ∠=，1DAO θ∠=，2MNE θ∠=，DE CE ===2DC =，∴1cos 3θ==，233AO CO CE ===，∴13cos 33AO AD θ===， 取BC 中点F ，连结DF 、AF ，则DF BC ⊥，AF BC ⊥，又DF AF F ⋂=，∴BC ⊥平面AFD ，∴BC AD ⊥，∴290θ=︒， ∴21θθθ≥≥，排除B ，C ，当二面角C AB D --是直二面角时，2θθ≥，排除D ， 故选：A .11．如图（1），Rt ABC，1,2AC AB BC ===，D 为BC 的中点，沿AD 将ACD△折起到AC D '，使得C '在平面ABD 上的射影H 落在AB 上，如图（2），则以下结论正确的是（）A ．AC BD '⊥B ．AD BC '⊥ C ．BD C D ⊥' D ．AB C D ⊥'【答案】C设AH a =，则BH a =，因为'C H ⊥面ABD ，AB 面ABD ，DH ⊂面ABD ，所以'C H ⊥AB ，'C H ⊥DH ，'C H ⊥DB ，又Rt ABC ，1,2AC AB BC ===，D 为BC 的中点，所以'1,6C D BD B DAB π==∠=∠=，所以在'Rt AC H 中，'C H ==Rt C HD ’中，()2'222'211DH C D C H a a =-=--=，所以DH a AH ==，所以6ADH DAB π∠=∠=，又23ADB π∠=，所以2HDB π∠=，所以BD ⊥DH ，又'C HDH H =，所以BD ⊥面'C DH ，又'C D ⊂面'C DH ，所以BD ⊥'C D ， 故选：C.12．在正方体1111ABCD A BC D -中，过点C 做直线l ，使得直线l 与直线1BA 和11B D 所成的角均为o 70，则这样的直线l （） A ．不存在 B ．2条C ．4条D ．无数条【答案】C因为11//B D BD ，过点C 做直线l 可以转化为过B 做直线l 与直线1BA 和BD 所成的角均为o 70，由于1BA 与BD 所成的角都等于o 60，所以当直线l 是1A BD ∠的角平分线时与1A B BD 、都成o 30，然后直线l 绕着点B 转动，在与平面1A BD 垂直的过程中有一条直线与两条直线都成o 70，同理在1A BD ∠的对顶角中也有一条直线l 与两条直线都成o70， 因为1A BD ∠的补角是o 120，角平分线与两条直线都成o 60，当直线l 绕着点B 从1A BD ∠一侧的补角角平分线开始转动，在与平面1A BD 垂直的过程中有一条直线与两条直线都成o 70，同理另一侧的补角也存在一条，所以共有4条. 故选：C.13．【山东省烟台市第二中学2019-2020学年高一下学期期末】我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chu meng ）是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体．如图，五面体ABCDEF 是一个刍甍，其中BCF △是正三角形，22AB BC EF ==，则以下两个结论：①//AB EF ；②BF ED ⊥，（）A ．①和②都不成立B ．①成立，但②不成立C ．①不成立，但②成立D ．①和②都成立【答案】B解：∵//AB CD ，CD 在平面CDEF 内，AB 不在平面CDEF 内， ∴//AB 平面CDEF ， 又EF 在平面CDEF 内，由AB 在平面ABFE 内，且平面ABFE 平面CDEF EF =，∴//AB EF ，故①对；如图，取CD 中点G ，连接BG ，FG ，由AB ＝CD ＝2EF ，易知//DE GF ，且DE ＝GF ，不妨设EF ＝1，则BG ==假设BF ⊥ED ，则222FG B G F B +=，即212FG +=，即FG ＝1，但FG 的长度不定，故假设不一定成立，即②不一定成立. 故选：B.14．【湖北省荆门市2019-2020学年高一下学期期末】如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点，则下列说法错误．．的是（）A ．MN 与1AC 垂直B ．MN 与平面11ACC A 垂直 C ．MN 与平面1C BD 平行 D ．MN 与平面1A BD 平行【答案】C对于选项A ，连接1BC ，11B D ，由三角形中位线知识即可证得11//MN BD ，由选项B 可得11B D ⊥平面11ACC A ，所以MN 与1AC 垂直 对于选项B ，由三角形中位线知识即可证得11//MN B D ， 正方体中，易得1111B D AC ⊥及1AA ⊥平面1111D C B A ， 所以111AA B D ⊥，又1111B D AC ⊥所以11B D ⊥平面11ACC A ，所以MN 与平面11ACC A 垂直对于选项C ，因为M ∈1BC ，1BC ⊂平面1C BD ，所以MN 与平面1C BD 至少有一个公共点M ，MN 与平面1C BD 不可能平行.对于选项D ，由B 选项的证明可得11//MN B D ，又11//BD B D ， 所以//MN BD ，又MN ⊄平面1A BD 所以MN 与平面1A BD 平行 故选：C15．如图，在长方形ABCD 中，AD CD <，现将ACD △沿AC 折至1ACD △，使得二面角1A CD B --为锐二面角，设直线1AD 与直线BC 所成角的大小为α，直线1BD 与平面ABC 所成角的大小为β，二面角1A CD B --的大小为γ，则,,αβγ的大小关系是（）A ．αβγ>>B ．αγβ>>C ．γαβ>>D ．不能确定【答案】B解决本题，先来了解最小角定理：平面外的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角平面斜交的直线与它在该平面内的射影的夹角不大于直线与平面内其他直线的夹角． 证明如下：直线AB 与平面α斜交，斜足为B ，AO ⊥平面α，BC OC ⊥，由AO ⊥平面α，BC OC ⊥， 可证明BC ⊥平面AOC ， 则BC AC ⊥． 则cos BOABO AB ∠=， cos BCABC AB ∠=，cos BCOBC BO∠=，所以cos cos BO BC BCABO OBC AB BO AB∠⋅∠=⨯=， 即cos cos cos ABC ABO OBC ∠=∠⋅∠， 故cos cos ABC ABO ∠<∠，ABC ABO ∠>∠．过点1D 作1D O ⊥平面ABC ， 过点B 作BO '⊥平面1ACD ， 连接OB .过O '作1O H CD '⊥， 连接BH ，如图：则1D BO ∠为直线1BD 与平面ABC 所成角， 即1D BO β∠=， 由BO '⊥平面1ACD ， 则1BO CD '⊥， 又1O H CD '⊥， 且BO O H O '''⋂= 所以1D C ⊥平面BO H '， 则1CD BH ⊥所以BHO '∠为二面角1A CD B --的平面角， 即BHO γ'∠=， 又11D ABC B AD C V V --=， 即111133ABC AD C S OD S O B '⨯⨯=⨯⨯△△， 且112AD C ABCDS ABC S S ==矩形△△， 所以1BO D O '=. 由sin ,BO BHO BH''∠=111sin D OD BO BD ∠=， 由1BH BD <，所以sin BHO '∠>1sin D BO ∠，即BHO '∠>1D BO ∠， 也即γβ>. 又在平面1AD C 内，111,AD DC O H DC '⊥⊥， 所以1//AD O H '.所以α等于直线O H '与BC 所成的角，BHO '∠也为直线O H '与平面1BCD 所成的角.根据上面已证的最小角定理有BHO α'∠<. 所以αγβ>>， 故选：B.16．【河南省洛阳市2020-2021学年高一上学期期末】四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是正方形，各条棱长均为2.则异面直线VC 与AB 所成角的大小为______. 【答案】60°如图示，因为ABCD 是正方形，所以AB ∥CD , 所以异面直线VC 与AB 所成角即为∠VCD. 又各条棱长均为2，所以△ VCD 为等边三角形，所以∠VCD =60°，异面直线VC 与AB 所成角的大小为60°. 故答案为：60°17．【河南省濮阳市2020-2021学年高一上学期期末】空间三条直线a ，b ，c 两两异面，则与三条直线都相交的直线有___________条. 【答案】无数在a 、b 、c 上取三条线段AB 、CC '、A D ''， 作一个平行六面体ABCD A B C D -''''，如图所示在c 上，即在直线A D ''上取一点P ，过a 、P 作一个平面β 平面β与'DD 交于Q 、与CC '交于R ，则 由面面平行的性质定理，得//QR a ，于是PR 不与a 平行，但PR 与a 共面．故PR 与a 相交，得直线PR 是与a ，b ，c 都相交的一条直线．根据点P 的任意性，得与a ，b ，c 都相交的直线有无穷多条． 故答案为：无数18．【河南省豫南九校2020-2021学年高一上学期期末】如图，圆柱的体积为16π，正方形ABCD 为该圆柱的轴截面，F 为AB 的中点，E 为母线BC 的中点，则异面直线AC ，EF所成的角的余弦值为______．设圆柱底面半径为r ，则母线长为2r ，由2216r r ππ⋅=得2r．设底面圆心为O ，连接OE ，OF ．则//OE AC ，所以OEF ∠为异面直线AC ，EF 所成的角．在Rt OEF △中，2OF =，OE =EF =所以cos OE OEF EF ∠==故答案为：3．19．如图，在多面体ABC DEF -中，已知棱,,AE BD CF 两两平行，AE ⊥底面DEF ，DE DF ⊥，四边形ACFE 为矩形，23AE DE DF BD ====，底面△DEF 内(包括边界)的动点P 满足,AP BP 与底面DEF 所成的角相等.记直线CP 与底面DEF 的所成角为θ，则tan θ的取值范围是___________.【答案】⎣⎦连结,PD PE ，由题意易知,APE APB ∠∠即分别为,AP BP 与底面DEF 的所成角， 故tan tan APE APB ∠=∠，即AE BDPE PD=，可得2PE PD =， 以,DF DE 作为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，设(,)P x y ，而(3,0),(0,3)F E ，可得22(1)4x y ++=， 即点P 在以圆心(0,1)M -，半径为2r的圆弧上运动(点P 在△DEF 内且包括边界).设圆M 与坐标轴正半轴交于点(0,1)N ，Q ，连结PF ，显然QF PF NF ≤≤，又3QF =NF =而3tan PF θ=tan θ≤≤.故答案为：⎣⎦.20．【辽宁省沈阳市第二中学2019-2020学年度下学期高一年级数学期末】已知：平面l αβ=，∈A l ，B l ∈，4AB =，C β∈，CA l ⊥，3AC =，D α∈，DB l ⊥， 3.DB =直线AC 与BD 的夹角是60︒，则线段CD 的长为_________．【答案】5如图，作//AE BD 且AE BD =，连接,ED EC ，则CAE ∠（或其补角）为异面直线,AC BD 所成的角，所以60CAE ∠=︒或120CAE ∠=︒，因为//AE BD 且AE BD =，所以ABDE 是平行四边形，所以//DE AB ，4DE AB ==， 因为,AB AC AB BD ⊥⊥，所以,ED AC ED AE ⊥⊥，AC AE A ⋂=，所以BD ⊥平面AEC ，CE ⊂平面AEC ，所以ED CE ⊥，3AC AE ==，若60CAE ∠=︒，则3CE =，5CD ==，若120CAE ∠=︒，则23sin60CE =⨯︒=CD ．故答案为：521．【云南省昆明市2019-2020学年高一下学期期末】如图，正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F ，G 分别是棱11A D ，1AA ，AB 的中点.下列四个结论：①1//CD FG ；②//AC 平面EFG ；③平面BAC ⊥平面EFG ；④1B D EG ⊥.其中正确结论的编号是___________.【答案】①②④对于①，在正方体1111ABCD A BC D -中，11//CD BA ，1//BA FG ，所以1//CD FG ，故①正确；对于②，延长EF 交DA 的延长线于H ，连HG ，则1AH A E AG ==，所以//HG AC ，又HG ⊂平面EFG ，AC ⊄平面EFG ，所以//AC 平面EFG ，故②正确；对于③，平面BAC 与平面EFG 不垂直；故③不正确；对于④，在正方体中，因为11B D CD ⊥，1//CD FG ，所以1B D FG ⊥， 因为1B DAC ，//AC HG ，所以1B D HG ⊥，因为FG HG G ⋂=，所以1B D ⊥平面FHG ，又EG ⊂平面FHG ，所以1B D EG ⊥，故④正确. 故答案为：①②④22．如图在长方体1111ABCD A BC D -中，2AB =，11AD AA ==，则点1B 到平面1D BC 的距离为______.解：设点1B 到平面1D BC 的距离为d ， 1111B BCD D BCB V V --=，∴11111133BCD BCB Sd SA B =．∴111111123232d ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯．d ∴=．． 23．【黑龙江省鸡西市第一中学2019-2020学年度高一下学期期末】如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且EF =现有如下四个结论：①AC BE ⊥； ②平面EFC//平面1A BD③异面直线,AE BF 所成的角为定值； ④三棱锥A BEF -的体积为定值， 其中正确结论的序号是______． 【答案】①②④①设AC 与BD 相交与G .根据正方体的性质可知1,AC BD AC BB ⊥⊥，而1BD BB B ⋂=，所以AC ⊥平面11BDD B ，所以AC BE ⊥.故①正确.②根据正方体的性质可知11//A B D C ，1A B ⊂/平面11B CD ，1D C ⊂面11B CD ，所以1//A B 平面11B CD .同理可证//BD 平面11B CD ，而1A B BD B ⋂=，所以平面1//A BD 平面11B CD ，也即平面//EFC 平面1A BD .故②正确.③由于正方体的边长为1，所以112BD B D BG ===，而EF =性质可知//EF BG ，所以四边形BGEF 是平行四边形，所以//BF GE ，所以AEG ∠是异面直线,AE BF 所成的角，所以tan AGAEG GE∠=，其中AG 为定值，GE 长度不固定，所以AEG ∠不是定值，所以③错误. ④由①可知AC ⊥平面11BDD B ，所以111113322212A BEFBEF V S AG -⎛⎫=⨯⨯=⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭为定值，所以④正确.故答案为：①②④24．已知正ABC 的顶点A 在平面α上，顶点B 、C 在平面α的同一侧，D 为BC 的中点，若ABC 在平面α上的投影是以A 为直角顶点的三角形，则直线AD 与平面α所成角的正弦值的最小值为______.如图，结合题意绘出图像，AEF 即ABC 在平面α上的投影，作DG ⊥平面α于点G ，连接AG ，设BE a =，CF b =，2AB AC BC ===，则AD =， 因为AEF 即ABC 在平面α上的投影，D 为BC 的中点，所以点G 在线段EF 上且点G 是线段EF 的中点，22BE FCa bDG ， 因为AEF 是以A 为直角顶点的三角形，所以12GAEF ， 因为DG ⊥平面α于点G ，所以DG AG ⊥，DAG ∠即直线AD 与平面α所成角， 因为22224AE AB BE a ，22224AF AC CF b ，222EF AE AF =+，所以222228EF AE AF a b ，因为22222322EF a b AG AD DG ，即2212EFa b ，联立()22222128EF a b EF a b ⎧=-+⎪⎨=--⎪⎩，解得2ab =， 则323262sin 26633a b DGDAGa aADaa ，当且仅当a b ==AD 与平面α， 25．【辽宁省大连市2019-2020学年高一（下）期末】在正方体1111ABCD A BC D -中，P ，Q 分别为棱1AD ，1BC 上的动点，且满足1AP B Q =，则下列命题中，所有正确命题的序号为______.①当点P 异于点A 时，直线1PB 与直线AQ 一定异面；②BPQ 的面积为定值；③P ，Q 运动过程中，均有BC PQ ⊥；④P ，Q 运动过程中，线段PQ 在面11BB C C 内射影所形成的区域面积是四边形11BB C C 面积的一半. 【答案】①③④ 对①，如图所示：当0PA >时，假设直线1PB 与直线AQ 是共面直线，则AP 与1B Q 共面， 与题意矛盾，所以直线1PB 与直线AQ 一定异面，故①正确； 对②，当点P 在A 处时，点Q 与1B 重合，如图所示：设正方体边长为1，111122BPQ S =⨯⨯=△. 当点P 在1AD 中点时，此时点Q 在1BC 的中点，如图所示：设正方体边长为1，11224BPQ S =⨯⨯=△， 故BPQ 的面积不是定值，故②错误；对③，过P 做PH AD ⊥，过Q 做QK BC ⊥，连接HK ，如图所示：因为1//PH DD ，1//QK BB ，1AP B Q =，11AD B C =，AD BC =， 所以11AP AH BQ BKAD AD B C BC===，即AH BK =. 所以四边形ABKH 为矩形，即BC HK ⊥. 又因为BC QK ⊥，QKHK K =，所以BC ⊥平面PHKQ .PQ ⊂平面PHKQ ，所以BC PQ ⊥，故③正确.对④，P 点在平面11BCC B 内的射影点的轨迹为线段1BC ， 设11BC B C O =，如图所示：线段PQ 在平面11BB C C 内射影所形成的区域为1B OB △和1C OC △，111112B OBC OCBB C C SSS +=四边形，故④正确. 故答案为：①③④26．在长方体1111A BCD A BC D -中，E ，F ，G 分别为所在棱的中点，H ，Q 分别为AC ，1AD ，的中点，连EF ，EG ，FG ，DQ ，CQ ，1D H ．（I ）求证：平面//EFG 平面ACQ（II ）问在线段CD 上是否存在一点P ，使得//DQ 平面1D PH ？若存在，求出P 点的位置若不存在，请说明理由【答案】（1）证明见解析（2）当13DP DC =时，满足条件，证明见解析. 连接111,AC BC ,由E ，F ，G 分别为所在棱的中点 所以11//AC GF ,1//EF BC由11//AD BC ,所以1//AD EF ,又1AD ⊂平面ACQ , EF ⊄平面ACQ 所以//EF 平面ACQ又11//AC AC ,所以//GF AC ,又AC ⊂平面ACQ , GF ⊄平面ACQ 所以//GF 平面ACQ ,又GF EF F ⋂= 所以平面//EFG 平面ACQ（2）线段CD 上存在一点P ，当13DP DC =时，满足//DQ 平面1D PH . 证明如下：连接PH 并延长交AB 于点M ,连接1D M ，则平面1D PH 与平面1D PM 为同一平面.由H 为AC 的中点，则AMH 与CPH △全等.则2233AM AB CD == 取线段1D M 的中点N ，连接QN .由,Q N 分别为11,AD D M 的中点，所以111233QN AM AB DC ===且//QN AM又//DP AM 且13DP DC =, 即//QN DP 且QN DP = 所以四边形QDPN 为平行四边形，故//QD NP又QD ⊄平面1D PH ，NP ⊂平面1D PH ，所以//DQ 平面1D PH .27．【陕西省宝鸡市金台区2020-2021学年高一上学期期末】如图，ABC 中，22AC BC AB ==，ABED 是边长为1的正方形，平面ABED ⊥平面ABC ，若G 、F 分别是EC 、BD 的中点．（1）求证：//GF 平面ABC ； （2）求证：AC ⊥平面EBC ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. （1）证明：连接AE ．四边形ABED 为正方形，F 为BD 的中点，F ∴为AE 的中点， 又G 为CE 的中点，所以，//FG AC ，FG ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，//FG ∴平面ABC ；（2）证明：四边形ABED 为正方形，BE AB ∴⊥，因为平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ⋂平面ABC AB =，BE ⊂平面ABED ，BE ∴⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，AC BE ∴⊥，AC BC AB ==，由勾股定理可得222AC BC AB +=，AC BC ∴⊥， BCBE B =，AC ∴⊥平面BEC .28．【河南省驻马店市2020-2021学年高一上学期期末】如图：在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，2PA PD AD ===，点M ，N 分别是线段PC ，AD 的中点．（1）求证：AD ⊥平面PNB ；（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，求三棱锥A NBM -的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）14. （1）∵PA AD =，N 为AD 中点∴PNAD∵底面ABCD 为菱形，∴60BAD ∠=︒，∴三角形ABD 为等边三角形， ∴BN AD ⊥， ∵PNBN N ，∴AD ⊥面PNB（2）∵面PAD ⊥面ABCD ，面PAD 面ABCD AD =，PNAD∴PN面ABCD又∵2PA PD AD ===，3PN NB，1AN =，∴AD NB ⊥∴11122ABNSAN BN =⋅=⨯=∵M 为PC 中点，∴点M 到面ABN 的距离等于P 到面ABN 距离的12又∴1132A NBM M ANB ABNV V PN S --==⨯⋅∴111324A NBM V -=⨯= 29．【河南省洛阳市2020-2021学年高一上学期期末】在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，O 是底面ABCD 的中心.（1）求证:1BO//平面11DA C ; （2）求点O 到平面11DA C 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2（1）证明：连接11B D ，设11111B D AC O ⋂=，连接1DO .11//O B DO 且11O B DO =， 11B O DO ∴是平行四边形.11//BO DO ∴.又1DO ⊂平面11DA C ，1B O ⊂/平面11DA C ，1//B O ∴平面11DA C .（2）1111AC B D ⊥，111AC BB ⊥，且1111BB B D B ⋂=，11AC ∴⊥平面11B D DB .∴平面11DAC ⊥平面11B D DB ，且交线为1DO .在平面11B D DB 内，过点O 作1OH DO ⊥于H ，则OH ⊥平面11DA C ， 即OH 的长就是点O 到平面11DA C 的距离.在矩形11B D DB 中，连接1OO ，1OOD OHD ∽△△，则11O D ODO O OH=，OH ∴==即点O 到平面11DA C30．【宁夏银川一中2020-2021学年高一上学期期末】如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，底面ABC 是直角三角形，4PA AB BC ===，O 是棱AC 的中点，G 是AOB∆的重心，D 是P A 的中点.（1）求证：BC ⊥平面PAB ；（2）求证：DG//平面PBC ；【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.（1）证明：PA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，∴PA BC ⊥， 底面ABC 是直角三角形且AB BC =，AB BC ∴⊥，又PA ⊂平面P AB ，AB 平面P AB ，PA AB A =，∴BC ⊥平面PAB .(2)证明：连结OG 并延长交AB 于点E ，连结DO ，DE ,G 是AOB ∆的重心，∴OE 为AB 边上的中线，∴E 为AB 边上的中点，又有D 为PA 边上的中点，∴//DE PB ，PB ⊂平面PBC ，//DE ∴平面PBC ，同理可得//DO 平面PBC ，又DE ⊂平面DOE ，DO ⊂平面DOE ，DE DO D ⋂=， ∴平面DOE //平面PBC ，又有DG ⊂平面DOE ，DG //∴平面PBC。
新教材高一数学——空间直线、平面的平行练习题
8.5 空间直线、平面的平行练习题1．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且CFCB＝CGCD＝23，则下列说法正确的是()A．EF与GH平行B．EF与GH异面C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上D．EF与GH的交点M一定在直线AC上2．下列说法正确的是()A．直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥αB．若直线a在平面α外，则a∥αC．若直线a∩b＝∅，直线b⊂α，则a∥αD．若直线a∥b，b⊂α，那么直线a平行于平面α内的无数条直线3．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：β∩γ＝l，m∥l，m⊂α，则必有() A．l∥αB．α∥γC．m∥β且m∥γD．m∥β或m∥γ4．已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：①α∩β＝a，b⊂α⇒a∥b或a，b相交；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；③m∥n，m∥α⇒n∥α；④α∩β＝a，a∥b⇒b∥β或b∥α.其中正确命题的序号是()A．①③B．②④C．①④D．②③5．已知a，b，c是空间中的三条相互不重合的直线，给出下列说法：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；③若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线；④若a，b与c成等角，则a∥b.其中正确的是________(填序号)．6．如图是某正方体的平面展开图(表面朝下)．关于这个正方体，有以下判断：①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE ∥平面NCF.其中判断正确的序号是________．7．下面四个命题：①分别在两个平面内的两直线平行；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面；③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．其中正确的命题是________．8．给出下列说法：①若平面α∥平面β，平面β∥平面γ，则平面α∥平面γ；②若平面α∥平面β，直线a与α相交，则a与β相交；③若平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，则PQ⊂α；④若直线a∥平面β，直线b∥平面α，且α∥β，则a∥b.其中正确说法的序号是________．9．如图，在三棱台DEF－ABC中，AC＝2DF，G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH.10．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB ∥CD，且AB＝2CD，那么在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1？若存在，求点F的位置；若不存在，请说明理由．详解：1．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且CFCB＝CGCD＝23，则下列说法正确的是()A．EF与GH平行B．EF与GH异面C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上D．EF与GH的交点M一定在直线AC上答案D解析连接EH，FG.因为F，G分别是边BC，CD上的点，且CFCB＝CGCD＝23，所以GF∥BD，且GF＝23BD.因为点E，H分别是边AB，AD的中点，所以EH∥BD，且EH＝12BD，所以EH∥GF，且EH≠GF，所以EF与GH相交，设其交点为M，则M∈平面ABC，同理M∈平面ACD.又平面ABC∩平面ACD＝AC，所以M在直线AC上．故选D.2．下列说法正确的是()A．直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥αB．若直线a在平面α外，则a∥αC．若直线a∩b＝∅，直线b⊂α，则a∥αD．若直线a∥b，b⊂α，那么直线a平行于平面α内的无数条直线答案D解析由直线与平面的位置关系及直线与平面平行的判定定理，知D正确．3．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：β∩γ＝l，m∥l，m⊂α，则必有() A．l∥αB．α∥γC．m∥β且m∥γD．m∥β或m∥γ答案D解析 ⎭⎪⎬⎪⎫β∩γ＝l ，l ⊂β，l ⊂γm ∥l ，m ⊂α⇒m ∥β或m ∥γ.若m 为α与β的交线或为α与γ的交线，则不能同时有m ∥β，m ∥γ.故选D.4．已知两条直线m ，n ，两个平面α，β，给出下面四个命题：①α∩β＝a ，b ⊂α⇒a ∥b 或a ，b 相交；②α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥n ；③m ∥n ，m ∥α⇒n ∥α；④α∩β＝a ，a ∥b ⇒b ∥β或b ∥α.其中正确命题的序号是( )A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③答案 C解析 对于①，由α∩β＝a ，b ⊂α，得a ，b 共面，则a ∥b 或a ，b 相交，正确；对于②，α∥β，m ⊂α，n ⊂β可能得到m ∥n ，还有可能是直线m ，n 异面，错误；对于③，m ∥n ，m ∥α，当直线n 不在平面α内时，可以得到n ∥α，但是当直线n 在平面α内时，n 不平行于平面α，错误；对于④，由α∩β＝a ，a ∥b ，得b 至少与α，β中的一个平面平行，则b ∥β或b ∥α，正确．故选C.5．已知a ，b ，c 是空间中的三条相互不重合的直线，给出下列说法： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交；③若a ⊂平面α，b ⊂平面β，则a ，b 一定是异面直线；④若a ，b 与c 成等角，则a ∥b .其中正确的是________(填序号)．答案 ①解析 由基本事实4知①正确；当a 与b 相交，b 与c 相交时，a 与c 可能相交、平行，也可能异面，故②不正确；当a ⊂平面α，b ⊂平面β时，a 与b 可能平行、相交或异面，故③不正确；当a ，b 与c 成等角时，a 与b 可能相交、平行，也可能异面，故④不正确．故正确说法的序号为①.6．如图是某正方体的平面展开图(表面朝下)．关于这个正方体，有以下判断：①BM ∥平面DE ；②CN ∥平面AF ；③平面BDM ∥平面AFN ；④平面BDE∥平面NCF.其中判断正确的序号是________．答案①②③④解析以面ABCD为下底面还原正方体，如图，则易判定四个判断都是正确的．7．下面四个命题：①分别在两个平面内的两直线平行；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面；③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．其中正确的命题是________．答案②④解析由面面平行的定义可知②④正确．8．给出下列说法：①若平面α∥平面β，平面β∥平面γ，则平面α∥平面γ；②若平面α∥平面β，直线a与α相交，则a与β相交；③若平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，则PQ⊂α；④若直线a∥平面β，直线b∥平面α，且α∥β，则a∥b.其中正确说法的序号是________．答案②③解析①中平面α与γ也可能重合，故①不正确．假设直线a与平面β平行或直线a⊂β，则由平面α∥平面β，知a⊂α或a∥α，这与直线a与α相交矛盾，所以a与β相交，②正确．如图，过直线PQ作平面γ，γ∩α＝a，γ∩β＝b，由α∥β，得a∥b.因为PQ∥β，PQ⊂γ，所以PQ∥b.因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线a与直线PQ重合．因为a⊂α，所以PQ⊂α，③正确．若直线a∥平面β，直线b∥平面α，且α∥β，则a与b平行、相交和异面都有可能，④不正确．9．如图，在三棱台DEF－ABC中，AC＝2DF，G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH.证明如图，连接DG，CD，设CD∩GF＝O，连接OH.在三棱台DEF－ABC中，AC＝2DF，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形．所以O为CD的中点．又H为BC的中点，所以OH∥BD.又OH⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.10．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB ∥CD，且AB＝2CD，那么在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1？若存在，求点F的位置；若不存在，请说明理由．解存在这样的点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1，此时点F为AB的中点．证明如下：∵AB∥CD，AB＝2CD，∴AF=CD且AF//CD，∴四边形AFCD是平行四边形，∴AD∥CF.又AD⊂平面ADD1A1，CF⊄平面ADD1A1，∴CF∥平面ADD1A1.又CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，∴CC1∥平面ADD1A1.又CF∥平面ADD1A1，CC1∩CF＝C，∴平面C1CF∥平面ADD1A1.。
空间的平行关系 知识总结及练习题
空间的平行关系探究点一线面平行的判定例1已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P、Q分别是对角线AE、BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE.变式迁移1在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MN∥平面PAD.探究点二面面平行的判定例2在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD.变式迁移2已知P为△ABC所在平面外一点，G1、G2、G3分别是△PAB、△PCB、△PAC的重心．(1)求证：平面G1G2G3∥平面ABC；(2)求S△G1G2G3∶S△ABC.探究点三平行中的探索性问题例3如图所示，在四棱锥P—ABCD中，CD∥AB，AD⊥AB，AD ＝DC ＝12AB ，BC ⊥PC.(1)求证：PA ⊥BC ；(2)试在线段PB 上找一点M ，使CM ∥平面PAD ，并说明理由．变式迁移3如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面PAO?转化与化归思想综合应用例 (12分)一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中M 、N 分别是AB 、SC 的中点，P 是SD 上的一动点．(1)求证：BP ⊥AC ；(2)当点P 落在什么位置时，AP ∥平面SMC? (3)求三棱锥B —NMC 的体积．多角度审题 第(1)问的关键是根据三视图得到SD ⊥平面ABCD ，第(2)问是一个开放型问题，可有两种思维方式：一是猜想P 是SD 的中点，二是从结论“AP 平行于平面SMC ”出发找P 满足的条件．【答题模板】(1)证明 连接BD ，∵ABCD 为正方形， ∴BD ⊥AC ，又SD ⊥底面ABCD ，∴SD ⊥AC ，∵BD ∩SD ＝D ，∴AC ⊥平面SDB ，∵BP ⊂平面SDB ， ∴AC ⊥BP ，即BP ⊥AC.[4分](2)解 取SD 的中点P ，连接PN ，AP ，MN.则PN ∥DC 且PN ＝12DC.[6分]∵底面ABCD 为正方形，∴AM ∥DC 且AM ＝12DC ，∴四边形AMNP 为平行四边形，∴AP ∥MN.又AP ⊄平面SMC ，MN ⊂平面SMC ，∴AP ∥平面SMC.[8分](3)解 V B —NMC ＝V N —MBC ＝13S △MBC ·12SD ＝13·12·BC·MB·12SD ＝16×1×12×12×2＝112.[12分]【突破思维障碍】1．本题综合考查三视图、体积计算及线面平行、垂直等位置关系，首先要根据三视图想象直观图，尤其是其中的平行、垂直及长度关系，第(1)问的关键是根据三视图得到SD ⊥平面ABCD ，第(2)问是一个开放型问题，开放型问题能充分考查学生的思维能力和创新精神，近年来在高考试题中频繁出现这类题目．结合空间平行关系，利用平行的性质，设计开放型试题是新课标高考命题的一个动向．2．线线平行与线面平行之间的转化体现了化归的思想方法．1.直线与平面平行的重要判定方法：(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质定理．2.平面与平面平行的重要判定方法：(1)定义法；(2)判定定理；(3)利用结论：a ⊥α，a ⊥β⇒α∥β.3.线线平行、线面平行、面面平行间的相互转化：空间平行关系练习题(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.下列命题中真命题的个数为()①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；④若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．A.1 B．2 C．3 D．42.已知直线a、b、c和平面m，则直线a∥直线b的一个必要不充分的条件是()A.a⊥m且b⊥m B．a∥m且b∥mC.a∥c且b∥c D．a，b与m所成的角相等3.在空间中，下列命题正确的是()A.若a∥α，b∥a，则b∥αB.若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则β∥αC.若α∥β，b∥α，则b∥βD.若α∥β，a⊂α，则a∥β4.设l1、l2是两条直线，α、β是两个平面，A为一点，有下列四个命题，其中正确命题的个数是()①若l1⊂α，l2∩α＝A，则l1与l2必为异面直线；②若l1∥α，l2∥l1，则l2∥α；③若l1⊂α，l2⊂β，l1∥β，l2∥α，则α∥β；④若α⊥β，l1⊂α，则l1⊥β.A.0 B．1 C．2 D．35.若直线a，b为异面直线，则分别经过直线a，b的平面中，相互平行的有()A.1对B．2对C.无数对D．1或2对二、填空题(每小题4分，共12分)6.下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．,7.过三棱柱ABC—A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的有______条．8.如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝a3，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.三、解答题(共38分)9．(12分)如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，M、N分别是BC和A1B1的中点．求证：MN∥平面AA1C1C.10．(12分)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．11．(14分)如图，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，BF⊥平面ACE，且点F在CE上．(1)求证：AE⊥BE；(2)求三棱锥D—AEC的体积；(3)设点M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE.空间的平行关系例1 解题导引 证明线面平行问题一般可考虑证线线平行或证面面平行，要充分利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化．证明如图所示，作PM ∥AB 交BE 于M ，作QN ∥AB 交BC 于N ，连接MN . ∵矩形ABCD 和矩形ABEF 全等且有公共边AB ，∴AE ＝BD . 又∵AP ＝DQ ，∴PE ＝QB ， 又∵PM ∥AB ∥QN ， ∴PM AB ＝EP EA ，QN DC ＝BQ BD ，∴PM AB ＝QN DC. ∴PM 綊QN ，∴四边形PQNM 为平行四边形， ∴PQ ∥MN又MN ⊂平面BCE ，PQ ⊄平面BCE ， ∴PQ ∥平面BCE .变式迁移1 证明 取PD 中点F ，连接AF 、NF 、NM . ∵M 、N 分别为AB 、PC 的中点，∴NF 綊12CD ，AM 綊12CD ，∴AM 綊NF .∴四边形AMNF 为平行四边形，∴MN ∥AF . 又AF ⊂平面P AD ，MN ⊄平面P AD ， ∴MN ∥平面P AD .例2 解题导引 面面平行的常用判断方法有：(1)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；关键是利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．证明 方法一如图所示，连接B 1D 1、B 1C .∵P 、N 分别是D 1C 1、B 1C 1的中点， ∴PN ∥B 1D 1. 又B 1D 1∥BD ，∴PN ∥BD .又PN ⊄面A 1BD ， ∴PN ∥平面A 1BD .同理MN ∥平面A 1BD .又PN ∩MN ＝N ， ∴平面MNP ∥平面A 1BD . 方法二如图所示，连接AC 1、AC .∵ABCD —A 1B 1C 1D 1为正方体， ∴AC ⊥BD .又CC 1⊥面ABCD ， BD ⊂面ABCD ，∴CC 1⊥BD ，∴BD ⊥面ACC 1， 又∵AC 1⊂面ACC 1，∴AC 1⊥BD . 同理可证AC 1⊥A 1B ， ∴AC 1⊥平面A 1BD .同理可证AC 1⊥平面PMN ， ∴平面PMN ∥平面A 1BD . 变式迁移2(1)证明 如图所示，连接PG 1、PG 2、PG 3并延长分别与边AB 、BC 、AC 交于点D 、E 、F ，连接DE 、EF 、FD ，则有PG 1∶PD ＝2∶3，PG 2∶PE ＝2∶3，∴G 1G 2∥DE .又G 1G 2不在平面ABC 内，DE 在平面ABC 内， ∴G 1G 2∥平面ABC . 同理G 2G 3∥平面ABC . 又因为G 1G 2∩G 2G 3＝G 2， ∴平面G 1G 2G 3∥平面ABC .(2)解 由(1)知PG 1PD ＝PG 2PE ＝23，∴G 1G 2＝23DE .又DE ＝12AC ，∴G 1G 2＝13AC .同理G 2G 3＝13AB ，G 1G 3＝13BC .∴△G 1G 2G 3∽△CAB ，其相似比为1∶3， ∴S △G 1G 2G 3∶S △ABC ＝1∶9.例3 解题导引 近几年探索性问题在高考中时有出现，解答此类问题时先以特殊位置尝试探究，找到符合要求的点后再给出严格证明．(1)证明 连接AC ，过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E .在四边形ABCD 中，AD ⊥AB ，CD ∥AB ，AD ＝DC ， ∴四边形ADCE 为正方形． ∴∠ACD ＝∠ACE ＝45°.∵AE ＝CD ＝12AB ，∴BE ＝AE ＝CE .∴∠BCE ＝45°.∴∠ACB ＝∠ACE ＋∠BCE ＝45°＋45°＝90°. ∴AC ⊥BC .又∵BC ⊥PC ，AC ⊂平面P AC ，PC ⊂平面P AC ，AC ∩PC ＝C ， ∴BC ⊥平面P AC .∵P A ⊂平面P AC ，∴P A ⊥BC . (2)解 当M 为PB 的中点时，CM ∥平面P AD .取AP 的中点F ，连接CM ，FM ，DF .则FM 綊12AB .∵CD ∥AB ，CD ＝12AB ，∴FM 綊CD .∴四边形CDFM 为平行四边形．∴CM ∥DF . ∵DF ⊂平面P AD ，CM ⊄平面P AD ， ∴CM ∥平面P AD .变式迁移3 解 当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面P AO . ∵Q 为CC 1的中点，P 为DD 1的中点，∴QB ∥P A . ∵P 、O 为DD 1、DB 的中点， ∴D 1B ∥PO .又PO ∩P A ＝P ，D 1B ∩QB ＝B ，D 1B ∥平面P AO ，QB ∥平面P AO ， ∴平面D 1BQ ∥平面P AO .1．A [①、②、③错，④对．]2．D [注意命题之间的相互推出关系；易知选项D 中，若两直线平行，则其与m 所成的角相等，反之却不一定成立，故a 、b 与m 所成的角相等是两直线平行的必要不充分条件．]3．D [A 不正确，由直线与平面平行的判定定理的条件知缺少条件b ⊄α；B 不正确，由两个平面平行的判定定理的条件，因a 、b 未必相交，而可能为两条平行直线，则α、β未必平行；C 不正确，因有可能b ⊂β；D 正确，由两个平面平行的定义及直线与平面平行的定义知正确．]4．A [①错，l 1⊂α，l 2∩α＝A ，l 1与l 2可能相交． ②错，l 2有可能在平面α内． ③错，α有可能与β相交．④错，l 1有可能与平面β相交或平行或在平面内．] 5．A[如图，a ，b 为异面直线，过b 上一点作a ′∥a ，直线a ′，b 确定一个平面β，过a 上一点作b ′∥b ，b 与b ′确定一个平面α，则α∥β.因为α，β是惟一的，所以相互平行的平面仅有一对．]6．①③解析 ①∵面AB ∥面MNP ，∴AB ∥面MNP ， ②过N 作AB 的平行线交于底面正方形的中心O ， NO ⊄面MNP ，∴AB 与面MNP 不平行． ③易知AB ∥MP ， ∴AB ∥面MNP ；④过点P 作PC ∥AB ， ∵PC ⊄面MNP ，∴AB 与面MNP 不平行． 7.6解析 如图，EF ∥E 1F 1∥AB ， EE 1∥FF 1∥BB 1，F 1E ∥A 1D ， E 1F ∥B 1D ，∴EF 、E 1F 1、EE 1、FF 1、F 1E 、E 1F 都平行于平面ABB 1A 1，共6条． 8.223a 解析如图所示，连接AC ， 易知MN ∥平面ABCD ，又∵PQ 为平面ABCD 与平面MNQP 的交线， ∴MN ∥PQ .又∵MN ∥AC ，∴PQ ∥AC ，又∵AP ＝a3，∴DP AD ＝DQ CD ＝PQ AC ＝23，∴PQ ＝23AC ＝223a . 9．证明 设A 1C 1中点为F ，连接NF ，FC ， ∵N 为A 1B 1中点，∴NF ∥B 1C 1，且NF ＝12B 1C 1，又由棱柱性质知B 1C 1綊BC ，(4分) 又M 是BC 的中点， ∴NF 綊MC ，∴四边形NFCM 为平行四边形．∴MN ∥CF ，(8分) 又CF ⊂平面AA 1C 1C ， MN ⊄平面AA 1C 1C ，∴MN ∥平面AA 1C 1C .(12分)10．解 在棱C 1D 1上存在点F ，使B 1F ∥平面A 1BE .证明如下：如图所示，分别取C 1D 1和CD 的中点F ，G ，连接B 1F ，EG ，BG ，CD 1，FG .因为A 1D 1∥B 1C 1∥BC ，且A 1D 1＝BC ，所以四边形A 1BCD 1是平行四边形，因此D 1C ∥A 1B .又E ，G 分别为D 1D ，CD 的中点，所以EG ∥D 1C ，从而EG ∥A 1B .这说明A 1，B ，G ，E 四点共面，所以BG ⊂平面A 1BE .(6分)因为四边形C 1CDD 1与B 1BCC 1都是正方形，F ，G 分别为C 1D 1和CD 的中点，所以FG ∥C 1C ∥B 1B ，且FG ＝C 1C ＝B 1B ，因此四边形B 1BGF 是平行四边形，所以B 1F ∥BG .而B 1F ⊄平面A 1BE ，BG ⊂平面A 1BE ，故B 1F ∥平面A 1BE .(12分)11．(1)证明 由AD ⊥平面ABE 及AD ∥BC ， 得BC ⊥平面ABE ，BC ⊥AE ，(1分)而BF ⊥平面ACE ，所以BF ⊥AE ，(2分) 又BC ∩BF ＝B ，所以AE ⊥平面BCE ， 又BE ⊂平面BCE ，故AE ⊥BE .(4分)(2)解 在△ABE 中，过点E 作EH ⊥AB 于点H ， 则EH ⊥平面ACD .由已知及(1)得EH ＝12AB ＝2，S △ADC ＝2 2.(6分)故V D —AEC ＝V E —ADC ＝13×22×2＝43.(8分)(3)解 在△ABE 中，过点M 作MG ∥AE 交BE 于点G ，在△BEC 中过点G 作GN ∥BC 交EC 于点N ，连接MN ，则由CN CE ＝BG BE ＝MB AB ＝13，得CN ＝13CE .由MG ∥AE ，AE ⊂平面ADE ，MG ⊄平面ADE ，则MG ∥平面ADE .(10分)再由GN ∥BC ，BC ∥AD ，AD ⊂平面ADE ，GN ⊄平面ADE ， 得GN ∥平面ADE ，所以平面MGN ∥平面ADE . 又MN ⊂平面MGN ，则MN ∥平面ADE .(12分)故当点N 为线段CE 上靠近点C 的一个三等分点时， MN ∥平面ADE .(14分)。
空间中的平行关系精选
一、选择题1．(教材改编题)b是平面α外一条直线，下列条件中可得出b∥α的是( )A．b与α内一条直线不相交B．b与α内两条直线不相交C．b与α内无数条直线不相交D．b与α内任意一条直线不相交[答案]D[解析] 只有在b与α内所有直线都不相交，即b与α无公共点时b ∥α.2．过直线a外两点作与a平行的平面，这样的平面( )A．不可作B．只能作一个C．可作无数个D．以上均可能[答案]D[解析] 设过直线a外两点的直线为l.若l与a相交，则与a平行的平面不可作；若l与a异面，则与a平行的平面只能作一个；若l与a平行，则与a平行的平面可作无数个．3．已知两条直线m、n，两个平面α、β.给出下面四个命题：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，mα，nβ⇒m∥n；③m∥n，m∥α⇒n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β.其中正确命题的序号是( )A．①③B．②④C．①④D．②③[答案]C[解析] 两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，故①正确；两平面平行，分别在这两平面内的两直线可能平行，也可能异面，故②错；m∥n，m∥α时，n∥α或nα，故③错；由α∥β，m ⊥α得m⊥β，由m⊥β，n∥m得n⊥β，故④正确．4．如下图，P为平行四边形ABCD所在平面外的一点，过BC的平面与平面PAD交于EF，则四边形EFBC是( )A．空间四边形B．平行四边形C．梯形D．以上都有可能[答案]C[解析] ∵BC綊AD，由线面平行性质定理知BC∥EF，又EF<AD，∴四边形BCEF为梯形．5．(2011·四川理，3)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面[答案]B[解析] 本题主要考查空间直线的位置关系，(A)如l1、l3共面为α，而l2⊥α，则A不对；(B)正确(C)可形成3个平面；(D)l1、l2、l3共点可形成3个平面，故选B.6．(文)如下图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误．．的为( )A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°[答案]C[解析] ∵截面PQMN为正方形，∴PQ∥MN，PQ∥平面DAC.又∵平面ABC∩平面ADC＝AC，PQ平面ABC，∴PQ∥AC，同理可证QM∥BD.故选项A、B、D正确，C错误．(理)已知平面α∥平面β，P是α、β外一点，过点P的直线m与α、β分别交于A、C，过点P的直线n与α、β分别交于B、D且PA＝6，AC ＝9，PD＝8，则BD的长为( )A．16 B．24或24 5C．14 D．20 [答案]B[解析] 根据题意可出现以下如图两种情况可求出BD的长分别为245或24.二、填空题7．在四面体ABCD中，M、N分别是面△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．[答案]平面ABC与平面ABD[解析] 连BN延长交CD于点E，连AM并延长也与CD交于E点(因为E为CD中点)，又EMAM＝ENBN＝12，故MN∥AB.8．已知平面α∩β＝m，直线n∥α，n∥β，则直线m、n的位置关系是________．[答案]m∥n[解析] 在α内取点A∉m，则点A与n确定一平面θ，且θ∩α＝a.同理可作平面γ且γ∩β＝b.∵n∥α，n∥β，∴n∥a，n∥b.∴a∥b.∵aβ，bβ，∴a∥β.∵aα，α∩β＝m，∴a∥m，∴n∥m.三、解答题9．(文)(2011·江苏，16)如下图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分别是AP、AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.[解析] 证明：(1)在△PAD中，因为E、F分别为AP、AD的中点，所以EF∥PD.又因为EF平面PCD，PD平面PCD.所以直线EF∥平面PCD.(2)连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.又因为BF平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.(理)(2011·山东文，19)如下图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°.(1)证明：AA1⊥BD；(2)证明：CC1∥平面A1BD.[解析] (1)证明：∵DD1⊥平面ABCD，BD平面ABCD∴DD1⊥BD，又∵AB＝2AD且∠BAD＝60°∴由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cos∠BAD 即BD＝3AD，∴AD2＋BD2＝AB2，∴BD⊥AD又∵AD∩DD1＝D∴BD⊥平面ADD1A1，又∵AA1平面ADD1A1，∴BD⊥AA1(2)连接AC，交BD于M，连接A1M，A1C1，∵底面ABCD是平行四边形，∴AM＝CM＝1 2 AC又∵AB＝2AD＝2A1B1∴A1G綊CM，即四边形A1MCC1是平行四边形；∴CC1∥AM1，又∵CC1平面A1BD，A1M平面A1BD∴CC1∥平面A1BD.一、选择题1．(文)设m，l是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )A．若l⊥m，mα，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，mα，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l ∥m[答案]B[解析] 两平行线中一条垂直于一个平面，另一条边垂直于这个平面，故选B.(理)已知两条互不重合的直线m、n，两个互不重合的平面α、β，给出下列命题：①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥β；④若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥β.其中正确命题的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3[分析] 本题考查线面的位置关系．虽然是一道单选题，但更似一道多选题，对所述四个命题的判断有一个出错就不可能产生正确结果．[答案]B[解析] 命题①是正确的；命题②不正确，很容易找到反例；命题③也不正确，可以构造出α∥β的情形；命题④也不正确，可以构造出α⊥β的情形．2．如下图所示，在三棱柱ABC－A′B′C′中，点E、F、H、K分别为AC′、CB′、A′B、B′C′的中点，G为△ABC的重心，从K、H、G、B′中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为( )A．K B．HC．G D．B′[答案]C[解析] 如下图所示，若取K点为P点，连接FK，则FK∥CC′.故CC′∥面KEF而其他侧棱AA′、BB′均与CC′平行．故此时与面PEF平行的有3条棱．若取H点为P点，可以得面HEF∥面ABC∥面A′B′C′，则与面PEF 平行的棱有上下底面中的6条棱；若取G点为P点，AB∥EF，A′B′∥EF，故只有棱AB，A′B′与面PEF 平行；若取B′点为P点，AB∥EF，只有棱AB与面PEF平行．二、填空题3．如下图所示，ABCD是空间四边形，E，F，G，H分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当EFGH 是菱形时，AE:EB＝________.[答案]m:n[解析] 如下图所示，设AE＝a，EB＝b，由EF∥AC可得EF ＝bm a ＋b.同理EH ＝an a ＋b.∵EF ＝EH ，∴bm a ＋b ＝an a ＋b ，于是a b ＝m n. 4．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，E 为A 1B 1中点，过E 、C 1、C 作一截面，则截面的面积为________．[答案]52a 2[解析] 设截面与AB 的交点为F ，由题意可知截面EFCC 1为一矩形，且EC 1＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝52a ，C 1C ＝a .∴截面面积为EC 1·C 1C ＝52a 2.三、解答题5．(文)如下图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 点为棱AB 的中点．求证：AC 1∥平面CDB 1.[解析] 如下图，连接BC1，交B1C于点E，连接DE，则BC1与B1C互相平分．∴BE＝C1E，又AD＝BD，∴DE为△ABC1的中位线，∴AC1∥DE，又DE平面CDB1，AC1平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1.(理)如下图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F分别是PB，PC的中点．(1)求证：EF∥平面PAD；(2)求三棱锥E－ABC的体积V.[解析] 本题考查线面平行的判定，三棱锥的体积的求法，考查空间想象能力，推理论证能力．(1)在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.又BC∥AD，∴EF∥AD，又∵AD平面PAD，EF平面PAD，∴EF∥平面PAD.(2)连接AE，AC，EC，过E作EG∥PA交AB于点G，则EG⊥平面ABCD，且EG＝12 PA.在△PAB中，AP＝AB，∠PAB＝90°，BP＝2，∴AP＝AB＝2，EG＝2 2，∴S△ABC＝12AB·BC＝12×2×2＝2，∴V E—ABC＝13S△ABC·EG＝13×2×22＝13.6．(2011·北京文，17)如下图，在四面体PABC中，PC⊥AB、PA⊥BC，点D、E、，F、G分别是棱AP、CC、BC、PB的中点．(1)求证：DE∥平面BCP；(2)求证：四边形DEFG为矩形；(3)是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由．[解析] (1)因为D，E分别为AP，AC的中点，所以DE∥PC，又因为DE平面BCP，所以DE∥平面BCP.(2)因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF，所以四边形DEFG为平行四边形，又因为PC⊥AB，所以DE⊥DG，所以四边形DEFG为矩形．(3)存在点Q满足条件，理由如下：连接DF，EG，设Q为EG的中点，由(2)知，DF∩EG＝Q，且QD＝QE＝QF＝QG＝12EG，分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN.与(2)同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，且QM＝QN＝12EG，所以Q为满足条件的点．7．(文)如下图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱BB1和DD1中点．(1)求证：平面FB1C1∥平面ADE；(2)试在棱DC上求一点M，使D1M⊥平面ADE.[解析](1)可证AD∥平面FB1C，AE∥平面FB1C1∵AD∩AE＝A，AD，AE平面ADE∴平面ADE∥平面FB1C1.(2)M应是DC的中点，此时∵B1C1⊥平面DD1C1C，D1M平面DD1C1C，∴B1C1⊥D1M由平面几何知识FC1⊥D1MFC1∩B1C1＝C1，FC1，B1C1平面FB1C1∴D1M⊥平面FB1C1，又由(1)知平面ADE∥平面FB1C1∴D1M⊥平面ADE.(理)已知四边形ABCD是等腰梯形，AB＝3，DC＝1，∠BAD＝45°，DE ⊥AB(如下图1)．现将△ADE沿DE折起，使得AE⊥EB(如下图2)，连接AC，AB，设M是AB的中点．(1)求证：BC⊥平面AEC；(2)判断直线EM是否平行于平面ACD，并说明理由．[解析] (1)在下图1中，过C作CF⊥EB于F，∵DE⊥EB，∴四边形CDEF是矩形，∵CD＝1，EF＝1.∴四边形ABCD是等腰梯形，AB＝3.∴AE＝BF＝1.∵∠BAD＝45°，∴DE＝CF＝1.连接CE，则CE＝CB＝ 2.∵EB＝2，∴∠BCE＝90°.则BC⊥CE.在上图2中，∵AE⊥EB，AE⊥ED，EB∩ED＝E，∴AE⊥平面BCDE.∵BC平面BCDE，∴AE⊥BC.∵AE∩CE＝E，∴BC⊥平面AEC.(2)用反证法．假设EM∥平面ACD.∵EB∥CD，CD平面ACD，EB平面ACD，∴EB∥平面ACD.∵EB∩EM＝E，∴平面AEB∥平面ACD.而A∈平面AEB，A∈平面ACD，与平面AEB∥平面ACD矛盾．∵假设不成立．∴EM与平面ACD不平行．（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
专题8.3 空间几何中的平行、垂直(练习)【必考点专练】2023届高考数学二轮复习专题
专专8.3空间几何中的平行、垂直一、单选题1. 设,l m 表示两条不同的直线，,αβ表示两个不同的平面，Q 表示一个点，给出下列四个命题，其中正确的命题是( )①,Q l Q l αα∈⊂⇒∈②,l m Q m l ββ⋂=⊂⇒⊂③//,,,l m l Q m Q m ααα⊂∈∈⇒⊂④,αβ⊥且,,,m Q Q l l l αββαβ⋂=∈∈⊥⇒⊂A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④ 2. 如图已知正方体1111ABCD A B C D -，M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则（ ）A. 直线1A D 与直线1D B 垂直，直线//MN 平面ABCDB. 直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD BC. 直线1A D 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCDD. 直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDD B3. 如图A ，B ，C ，D 为空间四点，在ABC 中，2AB =，2AC BC ==，等边三角形ADB 以AB 为轴旋转，当平面ADB ⊥平面ABC 时，CD =( )A. 3B. 2C. 5D. 14. 如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，AD AB =，45BCD ︒∠=，90BAD ︒∠=，将ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A BCD -，则在三棱锥A BCD -中，下列命题正确的是( )A. 平面ABD ⊥平面ABCB. 平面ADC ⊥平面BDCC. 平面ABC ⊥平面BDCD. 平面ADC ⊥平面ABC二、多选题 5. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为线段1B C 上一动点，则( )A. 直线1BD ⊥平面11AC DB. 异面直线1B C 与11A C 所成角为45︒C. 三棱锥11P A DC -的体积为定值D. 平面11AC D 与底面ABCD 的交线平行于11A C6. 如图所示，矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将ADE 沿直线DE 翻转成1A DE ，若M 为线段1A C 的中点，则在ADE 翻转过程中，下列命题正确的是( )A. ||BM 是定值B. 点M 在球面上运动C. 一定存在某个位置，使1DE A C ⊥D. 一定存在某个位置，使//MB 平面1A DE7. 如图1，在正方形ABCD 中，点E 为线段BC 上的动点(不含端点)，将ABE 沿AE 翻折，使得二面角B AE D --为直二面角，得到图2所示的四棱锥B AECD -，点F 为线段BD 上的动点(不含端点)，则在四棱锥B AECD -中，下列说法正确的有( )A. B 、E 、C 、F 四点不共面B. 存在点F ，使得//CF 平面BAEC. 三棱锥B ADC -的体积为定值D. 存在点E 使得直线BE 与直线CD 垂直三、填空题 8. 《九章算术》中将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的阳马P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，且22BC DC PA ==，AM PD ⊥于M ，MN PD ⊥，MN 与PC 交于点.N 则(1)AM 与CD 的关系__________(填“垂直”或“平行”)；(2)PN PC=__________. 9. 如图，在正方形ABCD 中，,E F 分别是,BC CD 的中点，G 是EF 的中点.现在沿,AE AF 及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使,,B C D 三点重合，重合后的点记为.H 下列说法错误的是__________(将符合题意的选项序号填到横线上).①AG EFH ⊥所在平面；②AH EFH ⊥所在平面；③HF AEF ⊥所在平面；④HG AEF ⊥所在平面.10. 如图，在Rt ABC 中，1AC =，BC x =，D 为斜边AB 的中点．将BCD 沿直线CD 翻折．若在翻折过程中存在某个位置，使得CB AD ⊥，则x 的取值范围是__________.11. 如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，BD AC O ⋂=，M 是线段1D O 上的动点，过点M 作平面1ACD 的垂线交平面1111A B C D 于点N ，则点N 到点A 距离的最小值为__________.四、解答题12. 在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1B C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，1B C 的中点．(1)求证：//EF 平面11AB C ；(2)求证：平面1AB C ⊥平面1.ABB13. 在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =，111.AB B C ⊥求证：(1)//AB 平面11A B C ；(2)平面11ABB A ⊥平面1.A BC14. 如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，PA 是四棱锥P ABCD -的高，,,E F M 分别为,,AB CD PD 的中点．(1)求证：平面//AMF 平面PEC ；(2)若24PA AB BC ===，求多面体PECFMA 的体积.15. 如图，四边形ABCD 为菱形，60.ABC PA ︒∠=⊥平面ABCD ，E 为PC 中点． ()Ⅰ求证：平面BED ⊥平面ABCD ；()Ⅱ求平面PBA 与平面EBD 所成二面角(锐角)的余弦值．16. 如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11AC A C ⊥平面ABC ，ABC=90︒∠，BAC=30︒∠，11==AC A A AC ，E ，F 分别是AC ，11A B 的中点．()Ⅰ证明：EF BC ⊥；()Ⅱ求直线EF 与平面1BC A 所成角的余弦值．17. 如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，,M N 分别为11,BC B C 的中点，P 为AM 上一点．过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于.F(1)证明：1//AA MN ，且平面1A AMN ⊥平面11EB C F ；(2)设O 为111A B C 的中心，若6AO AB ==，//AO 平面11EB C F ，且3MPN π∠=，求四棱锥11B EB C F -的体积．18. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2AB AC ==，12BC AA ==，O ，M 分别为BC ，1AA 的中点．(1)求证：//OM 平面11CB A ；(2)求点M 到平面11CB A 的距离．19. 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，13AA =，M 为BC 的中点，N 在线段1AA 上.(1)设1=AN NA λ，当λ为何值时，11//?MN ACB 平面 (2)若1AN =，求直线MN 与直线11A C 所成角的正弦值.20. 如图，在四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为平行四边形，PCD 为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =，(1)设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：//GH 平面PAD ；(2)求证：PA ⊥平面PCD ；(3)求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值．答案和解析1.【答案】D解：①Q α∈，l α⊂，点Q 可以不在直线l 上，故A 错误； ②直线l 可以只有一点在面内，故B 错误；③因为//l m ，l α⊂，若m 不在平面α内，//m α，由Q m ∈， 可得Q 在平面α外，这与可点Q α∈相矛盾，故C 正确； ④αβ⊥且m αβ⋂=，Q β∈，Q l ∈，l l αβ⊥⇒⊂， 由面面垂直的性质定理知D 正确.故选.D2.【答案】A解：连1AD ，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1A D 的中点，所以M 为1AD 中点，又N 是1D B 的中点，所以//MN AB ，MN ⊂/平面,ABCD AB ⊂平面ABCD ，所以//MN 平面.ABCD因为AB 不垂直BD ，所以MN 不垂直BD ，则MN 不垂直平面11BDD B ，所以选项B ，D 不正确；在正方体1111ABCD A B C D -中，11AD A D ⊥，AB ⊥平面11AA D D ，所以1AB A D ⊥， 1AD AB A ⋂=，所以1A D ⊥平面1ABD ，1D B ⊂平面1ABD ，所以11A D D B ⊥， 且直线11,A D D B 是异面直线，所以选项C 错误，选项A 正确. 故选.A3.【答案】B解：由题意，取AB 的中点E ，连接DE ，CE ，因为三角形ADB 为等边三角形，所以DE AB ⊥，当平面ADB ⊥平面ABC 时，且平面ADB ⋂平面ABC AB =，又DE ⊂平面ADB ，所以DE ⊥平面ABC ，又CE ⊂平面ABC ，所以DE EC ⊥，又2AB =，2AC BC ==， 所以222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥，又BE AE =，所以112CE AB ==， 又332322DE BD ==⨯=， 所以此时2231 2.CD DE CE =+=+=故选.B4.【答案】D解：在四边形ABCD 中，//AD BC ，AD AB =，45BCD ︒∠=，90BAD ︒∠=， BD CD ∴⊥，又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面BCD BD =，CD ⊂平面BCD ， 故CD ⊥平面ABD ，则CD AB ⊥，又AD AB ⊥，AD CD D ⋂=，AD ，CD ⊂平面ADC ，AB ∴⊥平面ADC ，又AB ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面.ADC故选.D5.【答案】ACD解：在A 中，1111A C B D ⊥，111AC BB ⊥，1111B D BB B ⋂=，11B D ，1BB ⊂平面11BB D ， 11A C ∴⊥平面11BB D ，1BD ⊂平面11BB D ，111AC BD ∴⊥，同理，11DC BD ⊥，1111A C DC C ⋂=，11A C ，1DC ⊂平面11AC D ，∴直线1BD ⊥平面11AC D ，故A 正确;对于B ，易知11//A D B C ，在11A DC 中，1111A D DC AC ==，可得11A DC 为正三角形，异面直线1BC 与11A C 所成角为60︒，故B 错误;对于C ，11//A D B C ，1A D ⊂平面11AC D ，1B C ⊂/平面11AC D ，1//B C ∴平面11AC D ， 点P 在线段1B C 上运动，P ∴到平面11AC D 的距离为定值，又11AC D 的面积是定值，∴三棱锥11P A C D -的体积为定值，故C 正确；对于D ，设平面11AC D 与底面ABCD 的交线为m ，11A C 是平面11AC D 和平面1111A B C D 的交线，平面//ABCD 平面1111A B C D ，所以11//A C m ，故D 选项正确.故选.ACD6.【答案】ABD解：A 对，取CD 中点N ，连接MN 、NB ，则1//MN A D 、//NB DE ，1A DE MNB ∠=∠，112MN A D ==定值，NB DE ==定值，根据余弦定理得，2222cos MB MN NB MN NB MNB =+-⋅⋅∠，||BM ∴是定值，B 对，B 是定点，M ∴是在以B 为球心，MB 为半径的球面上，C 错，当矩形ABCD 满足AC DE ⊥时存在，其他情况不存在，D 对，取CD 中点N ，连接MN 、NB ，则1//MN A D 、//NB DE ，因为MN ⊂/平面1A DE ，1A D ⊂平面1A DE ，所以//MN 平面1A DE ，同理//BN 平面1A DE ，又MN NB N ⋂=，∴平面//MNB 平面1A DE ，MB ⊂平面MNB ，//MB ∴平面1.A DE故选.ABD7.【答案】AB解：对于A ：假设直线BE 与直线CF 在同一平面上，所以：点E 在平面BCF 上，又点E 在线段BC 上，BC ⋂平面BCF C =，所以点E 与点C 重合，与点E 异于C 矛盾，所以直线BE 与CF 必不在同一平面上，即B 、E 、C 、F 四点不共面，故A 正确； 对于B ：当点F 为线段BD 的中点时，12EC AD =，再取AB 的中点G ， 则//FG AD 且12FG AD =， 则//EC FG ，且EC FG =，所以：四边形ECFG 为平行四边形，所以//FC EG ，又因为,EG ABE FC ABE ⊂⊄平面平面，则：直线//CF 平面BAE ，故B 正确；对于C ：由题B ADC V -，底面ACD 的面积不变，但E 的移动会导致点B 到平面ACD 的距离在变化，所以B ADC V -的体积不是定值，故C 错误；对于D ：过点B 作BO AE ⊥于O ，由于平面BAE ⊥平面AECD ，平面BAE ⋂平面AECD AE =，所以BO ⊥平面AECD ，过点D 作DH AE ⊥于H ，因为平面BAE ⊥平面AECD ，平面BAE ⋂平面AECD AE =，所以DH ⊥平面BAE ，又因为BE ABE ⊂平面，所以DH BE ⊥，若存在点E 使得直线BE 与直线CD 垂直，DH ⊂平面AECD ，DC ⊂平面AECD ，DH DC D ⋂=，所以BE ⊥平面AECD ，所以E 和O 重合，与ABE 是以点B 为直角的三角形矛盾，所以不存在点E ，使得直线BE 与直线CD 垂直，故D 错误．故选：.AB8.【答案】垂直23解：(1)由题意易得CD ⊥平面PAD ，所以CD AM ⊥，又AM PD ⊥于M ，CD PD D ⋂=，进而得AM ⊥平面PCD ，得.AM CD ⊥(2)设BC DC PA a ===，则PD ==，Rt PAD中，PM PA PA PD ==，则PM =， 易得CD ⊥平面PAD ，因为MN PD ⊥，所以//MN CD ，得2.3PN PM PC PD === 故答案为(1)垂直；2(2).39.【答案】①③④解：折之前AG EF ⊥，CG EF ⊥，折之后也垂直，所以EF ⊥平面AHG ，折之前B ∠，D ∠，C ∠均为直角，折之后三点重合， 所以折之后AH ，EH ，FH 三条直线两两垂直，所以AH EFH ⊥所在平面，②对；同时可知AH HG ⊥，又HF AEH ⊥所在平面，过AE 不可能做两个平面与直线HF 垂直，③错； 如果HG AEF ⊥所在平面，则有HG AG ⊥，与②中AH HG ⊥矛盾，④错；若AG EFH ⊥所在平面，则有AG HG ⊥，与②中AH HG ⊥矛盾，所以①也错．故答案为①③④.10.【答案】(0,3] 解：由题意得，212x AD CD BD +===，BC x =， 取BC 中点E ，翻折前，在图1中，连接DE ，CD ，则12DE =，1AC =， 翻折后，在图2中，此时 .CB AD ⊥BC DE ⊥，BC AD ⊥，DE AD D ⋂=，,DE AD ADE ⊂平面，BC ∴⊥平面ADE ，AE ADE ⊂平面，BC AE ∴⊥，DE BC ⊥，又BC AE ⊥，E 为BC 中点，1AB AC ∴==，2114AE x ∴=-，212x AD +=， 在ADE 中：①221111224x x ++>-，②221111224x x +<+-，③0x >， 由①②③，得0 3.x <<如图3，翻折后，当1B CD 与ACD 在一个平面上，AD 与1B C 交于M ，且1AD B C ⊥，1AD B D CD BD ===，1CBD BCD B CD ∠=∠=∠， 又190CBD BCD B CD ︒∠+∠+∠=，130CBD BCD B CD ︒∴∠=∠=∠=，60A ︒∴∠=，tan 60BC AC ︒=，此时1x ==综上，x 的取值范围为故答案为：11.【答案】2解：由题易知，DO AC ⊥，1D O AC ⊥，1DO D O O ⋂=，DO ，1D O ⊂平面11BDD B ， AC ∴⊥平面11BDD B ，又AC ⊂平面1ACD ，∴平面1ACD ⊥平面11BDD B ， 又MN ⊥平面1ACD ，平面1ACD ⋂平面111BDD B D O =，MN ∴⊂平面11BDD B ，且N 在平面1111A B C D 内，11N B D ∴∈，过N 作11NG A B ⊥，交11A B 于G ，将平面1111A B C D 展开，如图：设NG x =，(01)x ，11NG A B ⊥，1111A D A B ⊥，11//NG A D ∴，又11A D ⊥平面11ABB A ，NG ∴⊥平面11ABB A ，且AG ⊂平面11ABB A ，NG AG ∴⊥， 22221(1)222AN x x x x ∴=+-+=-+21362()222x =-+， 当12x =时，AN 取最小值6.2 故答案为：6.212.【答案】证明：(1)E ，F 分别是AC ，1B C 的中点．所以1//EF AB ，因为EF ⊂/平面11AB C ，1AB ⊂平面11AB C ，所以//EF 平面11AB C ；(2)因为1B C ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以1B C AB ⊥，又因为AB AC ⊥，1AC B C C ⋂=，AC ⊂平面1AB C ，1B C ⊂平面1AB C ， 所以AB ⊥平面1AB C ，因为AB ⊂平面1ABB ，所以平面1AB C ⊥平面1.ABB13.【答案】证明：(1)平行六面体1111ABCD A B C D -中，11//AB A B ，又AB ⊂平面1111,A B C A B ⊂/平面11A B C ；得//AB 平面11A B C ；(2)在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =，得四边形11ABB A 是菱形，11.AB A B ⊥在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =，1111.AB B C AB BC ⊥⇒⊥ 又1A B BC C ⋂=，1A B ⊂平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC得1AB ⊥面1A BC ，且1AB ⊂平面11ABB A∴平面11ABB A ⊥平面1.A BC14.【答案】(1)证明：矩形ABCD ，且E ，F 是AB 、CD 中点，//AE CF ∴且AE CF =，∴四边形AECF 是平行四边形，//CE AF ∴，又CE ⊂/面AMF ，AF ⊂面AMF ，//CE ∴平面AMF ；又M 是PD 中点，则//MF PC ，同理可得//PC 平面AMF ，又CE ⊂平面PEC ，PC ⊂平面PEC ，CE PC C ⋂=，∴平面//AMF 平面PEC ；(2)解：棱锥M AFD -的高等于PA 的一半，则多面体PECFMA 的体积 111120(12)44142.32323P AECD M AFD V V V --=-=⨯+⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=15.【答案】()Ⅰ证明：连接AC 交BD 于点O ，连接OE ， 则O 是AC 的中点．又知E 是PC 中点，//EO PA ∴，PA ⊥平面ABCD ，OE ∴⊥平面.ABCD又知OE ⊂平面BED ，∴平面BED ⊥平面.ABCD()Ⅱ解：过B 作BM ⊥平面ABCD ，连接PM ，ME ，如图，由()Ⅰ可知，////PA EO MB ，则MB 是平面PBA 与平面EBD 的交线，由BM ⊥平面ABCD ，AB ，BO ⊂平面ABCD ，可得MB AB ⊥，MB BO ⊥，则ABO ∠即平面PBA 与平面EBD 所成二面角的平面角，四边形ABCD 为菱形，60.ABC ︒∠=可知30ABO ︒∠=，3cos cos30.2ABO ︒∠== 所以，平面PBA 与平面EBD 所成二面角(锐角)的余弦值为3.216.【答案】证明：()Ⅰ连结1A E ，11A A A C =，E 是AC 的中点，1A E AC ∴⊥，又平面11A ACC ⊥平面ABC ，1A E ⊂平面11A ACC ，平面11A ACC ⋂平面ABC AC =，1A E ∴⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，1A E BC ∴⊥，1//A F AB ，90ABC ︒∠=，1BC A F ∴⊥，111A E A F A ⋂=，1A E 、1A F ⊂平面1A EF ，BC ∴⊥平面1A EF ，又EF ⊂平面1A EF ，EF BC ∴⊥；解：()Ⅱ取BC 中点G ，连结EG 、GF ，则1EGFA 是平行四边形，由于1A E ⊥平面ABC ，故1A E EG ⊥，∴平行四边形1EGFA 是矩形，由()Ⅰ得BC ⊥平面1EGFA ，则平面1A BC ⊥平面1EGFA ，EF ∴在平面1A BC 上的射影在直线1A G 上，连结1A G ，交EF 于O ，则EOG ∠是直线EF 与平面1A BC 所成角(或其补角)，不妨设4AC =，则在1Rt A EG 中，123A E =，3EG =，O 是1A G 的中点，故11522A G EO OG ===， 2223cos 25EO OG EG EOG EO OG +-∴∠==⨯⨯，∴直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值为3.517.【答案】(1)证明：由题意知111////AA BB CC ，又因为侧面11BB C C 是矩形且M ，N 分别是BC ，11B C 的中点，所以1//MN BB ，1BB BC ⊥，所以1//AA MN ，11MN B C ⊥，又底面为正三角形，所以AM BC ⊥，111A N B C ⊥，又因为1MN A N N ⋂=，1,MN A N ⊂平面1A AMN ，所以11B C ⊥平面1A AMN ，又11B C ⊂平面11EB C F ，所以平面11EB C F ⊥平面1.A AMN(2)解：因为//AO 平面11EB C F ，AO ⊂平面1A NMA ，平面1A NMA ⋂平面11EB C F NP =， 所以//AO NP ，又因为//NO AP ，所以6AO NP ==，3ON AP ==， 过M 作MH NP ⊥，垂足为H ，因为平面11EB C F ⊥平面1A AMN ，平面11EB C F ⋂平面1A AMN NP =，MH ⊂平面1A AMN ，所以MH ⊥平面11EB C F ，因为3MPN π∠=，所以sin33MH PM π=⋅=， 在ABC 中，EF AP BC AM = 可得2AP BC EF AM⋅== ， 11111()242EB C F S B C EF NP =+⋅=四边形， 又//BC 平面11EB C F ，所以1111B EB C F M EB C F V V --=11124.3EB C F S MH =⋅⋅=18.【答案】(1)证明：如图，连接1BC ，交1CB 于点N ，连接1A N ，.ON 则N 为1CB 的中点，又O 为BC 的中点，1//ON BB ∴，且112ON BB =， 又M 为1AA 的中点，11//MA BB ∴，且1112MA BB =， 1//ON MA ∴且1ON MA =，∴四边形1ONA M 为平行四边形，1//OM NA ∴，又1NA ⊂平面11CB A ，OM ⊂/平面11CB A ，//OM ∴平面11.CB A(2)解：如图，连接AO ，1OB ，1.ABAB AC =，O 为BC 的中点，AO BC ∴⊥， 又直三棱柱111ABC A B C -中，平面11CBB C ⊥平面ABC ，平面11CBB C ⋂平面ABC BC =，AO ⊂平面.ABCAO ∴⊥平面11.CBB C由(1)可知//OM 平面11CB A ，∴点M 到平面11CB A 的距离等于点O 到平面11CB A 的距离，设其为d ， 在直三棱柱111ABC A B C -中，由AB AC ==12BC AA ==可得，1AO =，11A B =1AC =1BC=，11CB A ∴是直角三角形，且1112CB A S = 由11111_{_}O CB A A A COB V V COB V --=-=得：111111213332COB d S AO =⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，故d =即点M 到平面11CB A19.【答案】解：(1)连接1BC ，交1CB 于点O ，则O 为1CB 的中点，连接1A O ，MO因为M 为BC 的中点，所以1//MO BB ，所以1//MO NA ，从而M ，O ，1A ，N 四点共面.因为//MN 平面11A CB ，MN ⊂平面1MOA N ，平面1MOA N ⋂平面111=ACB AO ， 所以1//.MN AO又1//MO NA ，所以四边形1MOA N 为平行四边形， 所以1111122NA MO BB AA ===， 所以1=1.AN NA (2)因为11//A C AC ，所以直线MN 与直线11A C 所成角即为直线MN 与直线AC 所成角或者其补角. 取AB 的中点G ，连接,MG NG ，M 为BC 的中点，易得//AC GM ，则所求角为GMN ∠或者其补角GMN 中，112GM AC ==， 222GN AG AN =+=，222MN AM AN =+=由余弦定理可得1423cos 2124GMN +-∠==⨯⨯， 则7sin 4GMN ∠=， 所以，直线MN 与直线11A C 所成角的正弦值为7.420.【答案】证明：(1)如图：证明：连接BD ，由题意得AC BD H ⋂=，BH DH =，又由BG PG =，得//GH PD ，GH ⊂/平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，//GH ∴平面PAD ；(2)证明：取棱PC 中点N ，连接DN ，依题意得DN PC ⊥， 又平面PAC ⊥平面PCD ，平面PAC ⋂平面PCD PC =，DN ⊂平面PCD ， DN ∴⊥平面PAC ，又PA ⊂平面PAC ，DN PA ∴⊥，又PA CD ⊥，CD DN D ⋂=，CD ⊂平面PCD ，DN ⊂平面PCD ，PA ∴⊥平面PCD ；(3)解：连接AN ，由(2)中DN ⊥平面PAC ，知DAN ∠是直线AD 与平面PAC 所成角， PCD 是等边三角形，2CD =，且N 为PC 中点， 3DN ∴=，又DN ⊥平面PAC ，AN PAC ⊂平面，DN AN ⊥，在Rt AND 中，3sin .3DN DAN DA ∠== ∴直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值为3.3。
原创1：1.2.2 空间中的平行关系（三）（讲授式）
C'
观察：观察右边的长方体，平面B′D′与平面BD
平行，平面ABCD内的直线BD与平面B′D′内的直线
有哪些位置关系呢？它们满足什么条件时平行？
D'
A'
B'
C
B
D
A
观察猜想：平面B′D′与平面BD内的直线只有两种位置关系：平行或异面.
平面B′D′∩平面CD′ = C′D′ ，平面BD∩平面CD′=CD，由长方体的性质可知，
平面相交.
④夹在两个平行平面间的所有平行线段相等.
第
一
章
立
体
几
何
初
步
例2 如图,在长方体 − ′′′′中,
求证:平面′//平面’’.
分析：只要证明一个平面内有两条相交直线
和另一个平面平行即可．
− ′ ′ ′ ′ 是正方体，
证明： ∵
∴AB//DC//D’C’且AB=DC=D’C’.
⟹ 是平行四边形.
⟹ BC′//AD′.
线平行的转化策略.
课堂练习
一．判断下列命题的真假；
1．如果两个平面不相交，那么它们就没有共公点；
2．如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
3．如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
4．已知两个平行平面中的一个平面内有一条直线，
则在另一个平面内有且只有一条直线与已知直线平行；
面面平行⇌线线平行
典例精讲
平面与平面平行判定定理的应用
例5 已知三个平行平面α、β、γ与两条异面直线l,m分别交于
A、B、C 和D、E、F.求证：
高三数学二轮复习空间中的平行与垂直练习含试题答案
空间中的平行与垂直[明考情]高考中对直线和平面的平行、垂直关系交汇综合命题，多以棱柱、棱锥、棱台或简单组合体为载体进行考查，难度中档偏下.[知考向]1.空间中的平行关系.2.空间中的垂直关系.3.平行和垂直的综合应用.考点一空间中的平行关系方法技巧(1)平行关系的基础是线线平行，比较常见的是利用三角形中位线构造平行关系，利用平行四边形构造平行关系.(2)证明过程中要严格遵循定理中的条件，注意推证的严谨性.1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN，求证：MN∥平面AA1B1B.证明如图所示，作ME∥BC交BB1于点E，作NF∥AD交AB于点F，连接EF，则EF⊂平面AA1B1B.∵ME∥BC，NF∥AD，∴MEBC＝B1MB1C，NFAD＝BNBD.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，∵CM＝DN，∴B1M＝NB.又B1C＝BD，∴ME BC ＝BN BD ＝NFAD，又BC ＝AD ，∴ME ＝NF .又ME ∥BC ∥AD ∥NF ，∴四边形MEFN 为平行四边形， ∴MN ∥EF .又EF ⊂平面AA 1B 1B ，MN ⊄平面AA 1B 1B ， ∴MN ∥平面AA 1B 1B .2.(2017·全国Ⅰ)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.(1)证明：平面PAB ⊥平面PAD ；(2)若PA ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥P －ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积.(1)证明 由已知∠BAP ＝∠CDP ＝90°， 得AB ⊥PA ，CD ⊥PD .由于AB ∥CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面PAD . 又AB ⊂平面PAB ， 所以平面PAB ⊥平面PAD .(2)解 如图，在平面PAD 内作PE ⊥AD ，垂足为E .由(1)知，AB ⊥平面PAD ， 故AB ⊥PE ，AB ⊥AD ， 所以PE ⊥平面ABCD .设AB ＝x ，则由已知可得AD ＝2x ，PE ＝22x ， 故四棱锥P －ABCD 的体积V P －ABCD ＝13AB ·AD ·PE ＝13x 3.由题设得13x 3＝83，故x ＝2.从而结合已知可得PA ＝PD ＝AB ＝DC ＝2，AD ＝BC ＝22，PB ＝PC ＝22，可得四棱锥P －ABCD 的侧面积为12PA ·PD ＋12PA ·AB ＋12PD ·DC ＋12BC 2sin 60°＝6＋2 3.3.(2017·龙岩市新罗区校级模拟)如图，O 是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB 为等腰直角三角形，C 为底面圆周上一点.(1)若弧BC 的中点为D ，求证：AC ∥平面POD ； (2)如果△PAB 的面积是9，求此圆锥的表面积. (1)证明 方法一 设BC ∩OD ＝E ， ∵D 是弧BC 的中点， ∴E 是BC 的中点.又∵O 是AB 的中点，∴AC ∥OE . 又∵AC ⊄平面POD ，OE ⊂平面POD ， ∴AC ∥平面POD .方法二 ∵AB 是底面圆的直径， ∴AC ⊥BC .∵弧BC 的中点为D ， ∴OD ⊥BC .又AC ，OD 共面，∴AC ∥OD . 又AC ⊄平面POD ，OD ⊂平面POD ， ∴AC ∥平面POD .(2)解 设圆锥底面半径为r ，高为h ，母线长为l ， ∵圆锥的轴截面PAB 为等腰直角三角形， ∴h ＝r ，l ＝2r .由S △PAB ＝12×2r ×h ＝r 2＝9，得r ＝3，∴S 表＝πrl ＋πr 2＝πr ×2r ＋πr 2＝9(1＋2)π.4.如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1？若存在，求点F的位置；若不存在？请说明理由.解存在这样的点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1，此时点F为AB的中点，证明如下：∵AB∥CD，AB＝2CD，∴AF綊CD，∴四边形AFCD是平行四边形，∴AD∥CF.又AD⊂平面ADD1A1，CF⊄平面ADD1A1，∴CF∥平面ADD1A1.又CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，∴CC1∥平面ADD1A1.又CC1，CF⊂平面C1CF，CC1∩CF＝C，∴平面C1CF∥平面ADD1A1.考点二空间中的垂直关系方法技巧判定直线与平面垂直的常用方法(1)利用线面垂直定义.(2)利用线面垂直的判定定理，一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则这条直线与平面垂直.(3)利用线面垂直的性质，两平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面.(4)利用面面垂直的性质定理，两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面.5.如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点.求证：(1)AF∥平面BCE；(2)平面BCE⊥平面CDE.证明(1)如图，取CE的中点G，连接FG，BG.∵F 为CD 的中点，∴GF ∥DE 且GF ＝12DE .∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴AB ∥DE ，∴GF ∥AB . 又AB ＝12DE ，∴GF ＝AB .∴四边形GFAB 为平行四边形， ∴AF ∥BG .∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ， ∴AF ∥平面BCE .(2)∵△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点， ∴AF ⊥CD .∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF . 又CD ∩DE ＝D ，故AF ⊥平面CDE . ∵BG ∥AF ，∴BG ⊥平面CDE .∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE .6.(2017·全国Ⅲ)如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD ＝CD .(1)证明：AC ⊥BD ；(2)已知△ACD 是直角三角形，AB ＝BD ，若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比.(1)证明 如图，取AC 的中点O ，连接DO ，BO .因为AD ＝CD ，所以AC ⊥DO . 又由于△ABC 是正三角形， 所以AC ⊥BO .又DO ∩OB ＝O ，所以AC ⊥平面DOB ，故AC ⊥BD . (2)解 连接EO .由(1)及题设知∠ADC ＝90°，所以DO ＝AO . 在Rt△AOB 中，BO 2＋AO 2＝AB 2.又AB ＝BD ，所以BO 2＋DO 2＝BO 2＋AO 2＝AB 2＝BD 2，故∠DOB ＝90°. 由题设知△AEC 为直角三角形，所以EO ＝12AC .又△ABC 是正三角形，且AB ＝BD ，所以EO ＝12BD .故E 为BD 的中点，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，即四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为1∶1.7.(2017·南京一模)如图，在六面体ABCDE 中，平面DBC ⊥平面ABC ，AE ⊥平面ABC .(1)求证：AE ∥平面DBC ；(2)若AB ⊥BC ，BD ⊥CD ，求证：AD ⊥DC . 证明 (1)过点D 作DO ⊥BC ，O 为垂足.∵平面DBC ⊥平面ABC ，平面DBC ∩平面ABC ＝BC ，DO ⊂平面DBC ， ∴DO ⊥平面ABC .又AE ⊥平面ABC ，则AE ∥DO .又AE ⊄平面DBC ，DO ⊂平面DBC ，故AE ∥平面DBC .(2)由(1)知，DO ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， ∴DO ⊥AB .又AB ⊥BC ，且DO ∩BC ＝O ，DO ，BC ⊂平面DBC ， ∴AB ⊥平面DBC . ∵DC ⊂平面DBC ，∴AB⊥DC.又BD⊥CD，AB∩DB＝B，AB，DB⊂平面ABD，则DC⊥平面ABD.又AD⊂平面ABD，故可得AD⊥DC.8.已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD为正方形，顶点S在底面ABCD上的射影为其中心O，高为3，设E，F分别为AB，SC的中点，且SE＝2，M为CD边上的点.(1)求证：EF∥平面SAD；(2)试确定点M的位置，使得平面EFM⊥底面ABCD.(1)证明取SB的中点P，连接PF，PE.∵F为SC的中点，∴PF∥BC，又底面ABCD为正方形，∴BC∥AD，即PF∥AD，又PE∥SA，∴平面PFE∥平面SAD.∵EF⊂平面PFE，∴EF∥平面SAD.(2)解连接AC，AC的中点即为点O，连接SO，由题意知SO⊥平面ABCD，取OC的中点H，连接FH，则FH∥SO，∴FH⊥平面ABCD，∴平面EFH⊥平面ABCD，连接EH并延长，则EH与DC的交点即为M点.连接OE，由题意知SO＝3，SE＝2.∴OE ＝1，AB ＝2，AE ＝1，∴MC AE ＝HC HA ＝13， ∴MC ＝13AE ＝16CD ，即点M 在CD 边上靠近C 点距离为16的位置.考点三 平行和垂直的综合应用方法技巧 空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化.9.如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E ，F 分别是AP ，AD 的中点.求证：(1)直线EF ∥平面PCD ； (2)平面BEF ⊥平面PAD .证明 (1)在△PAD 中，∵E ，F 分别为AP ，AD 的中点， ∴EF ∥PD .又∵EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ， ∴直线EF ∥平面PCD . (2)如图，连接BD .∵AB ＝AD ，∠BAD ＝60°， ∴△ADB 为正三角形. ∵F 是AD 的中点， ∴BF ⊥AD .∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，BF ⊂平面ABCD ， ∴BF ⊥平面PAD . 又∵BF ⊂平面BEF ， ∴平面BEF ⊥平面PAD .10.(2017·山东)由四棱柱ABCD－A1B1C1D1截去三棱锥C1－B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD.(1)证明：A1O∥平面B1CD1；(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1.证明(1)取B1D1的中点O1，连接CO1，A1O1，由于ABCD－A1B1C1D1是四棱柱，所以A1O1∥OC，A1O1＝OC，因此四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1O∥O1C.又O1C⊂平面B1CD1，A1O⊄平面B1CD1，所以A1O∥平面B1CD1.(2)因为AC⊥BD，E，M分别为AD和OD的中点，所以EM⊥BD，又A1E⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以A1E⊥BD.因为B1D1∥BD，所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1.又A1E，EM⊂平面A1EM，A1E∩EM＝E，所以B1D1⊥平面A1EM.又B1D1⊂平面B1CD1，所以平面A1EM⊥平面B1CD1.11.(2017·汉中二模)如图，在棱长均为4的三棱柱ABC－A1B1C1中，D，D1分别是BC和B1C1的中点.(1)求证：A1D1∥平面AB1D；(2)若平面ABC⊥平面BCC1B1，∠B1BC＝60°，求三棱锥B1－ABC的体积.(1)证明 连接DD 1，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∵D ，D 1分别是BC 和B 1C 1的中点， ∴B 1D 1∥BD ，且B 1D 1＝BD ， ∴四边形B 1BDD 1为平行四边形， ∴BB 1∥DD 1，且BB 1＝DD 1. 又∵AA 1∥BB 1，AA 1＝BB 1， ∴AA 1∥DD 1，AA 1＝DD 1， ∴四边形AA 1D 1D 为平行四边形， ∴A 1D 1∥AD .又∵A 1D 1⊄平面AB 1D ，AD ⊂平面AB 1D ， ∴A 1D 1∥平面AB 1D .(2)解 在△ABC 中，边长均为4，则AB ＝AC ，D 为BC 的中点， ∴AD ⊥BC .∵平面ABC ⊥平面B 1C 1CB ，交线为BC ，AD ⊂平面ABC ， ∴AD ⊥平面B 1C 1CB ，即AD 是三棱锥A －B 1BC 的高. 在△ABC 中，由AB ＝AC ＝BC ＝4，得AD ＝23， 在△B 1BC 中，B 1B ＝BC ＝4，∠B 1BC ＝60°， ∴△B 1BC 的面积为4 3.∴三棱锥B 1－ABC 的体积即为三棱锥 A －B 1BC 的体积V ＝13×43×23＝8.12.如图，在四棱锥S －ABCD 中，平面SAD ⊥平面ABCD .四边形ABCD 为正方形，且P 为AD 的中点，Q 为SB 的中点.(1)求证：CD ⊥平面SAD ； (2)求证：PQ ∥平面SCD ；(3)若SA ＝SD ，M 为BC 的中点，在棱SC 上是否存在点N ，使得平面DMN ⊥平面ABCD ？并证明你的结论.(1)证明 ∵四边形ABCD 为正方形， ∴CD ⊥AD .又∵平面SAD ⊥平面ABCD ，且平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴CD ⊥平面SAD .(2)证明 取SC 的中点R ，连接QR ，DR .由题意知，PD ∥BC 且PD ＝12BC .在△SBC 中，Q 为SB 的中点，R 为SC 的中点， ∴QR ∥BC 且QR ＝12BC .∴QR ∥PD 且QR ＝PD ， 则四边形PDRQ 为平行四边形， ∴PQ ∥DR .又PQ ⊄平面SCD ，DR ⊂平面SCD ， ∴PQ ∥平面SCD .(3)解 存在点N 为SC 的中点，使得平面DMN ⊥平面ABCD .连接PC ，DM 交于点O ，连接PM ，SP ，NM ，ND ，NO ， ∵PD ∥CM ，且PD ＝CM ， ∴四边形PMCD 为平行四边形， ∴PO ＝CO .又∵N 为SC 的中点， ∴NO ∥SP . 易知SP ⊥AD .∵平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ，且SP ⊥AD ， ∴SP ⊥平面ABCD ， ∴NO ⊥平面ABCD . 又∵NO ⊂平面DMN ， ∴平面DMN ⊥平面ABCD .例 (12分)如图，四棱锥P －ABCD 的底面为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD ，点E ，F ，H 分别为AB ，PC ，BC 的中点.(1)求证：EF ∥平面PAD ； (2)求证：平面PAH ⊥平面DEF . 审题路线图(1)E ，F 是中点―――→取PD 的中点M 构造▱AEFM ―→线线平行EF ∥AM ―→线面平行EF ∥平面PAD (2)面面垂直PAD ⊥ABCD ―――→PA ⊥AD 线面垂直PA ⊥底面ABCD ―→线线垂直PA ⊥DE―――――――――→Rt△ABH ≌Rt△DAE 线线垂直DE ⊥AH ―→线面垂直DE ⊥平面PAH ―→ 面面垂直平面PAH ⊥平面DEF 规范解答·评分标准证明 (1)取PD 的中点M ，连接FM ，AM .∵在△PCD 中，F ，M 分别为PC ，PD 的中点， ∴FM ∥CD 且FM ＝12CD .∵在正方形ABCD 中，AE ∥CD 且AE ＝12CD ，∴AE ∥FM 且AE ＝FM ， 则四边形AEFM 为平行四边形，∴AM ∥EF .…………………………………………………………………………………4分 又∵EF ⊄平面PAD ，AM ⊂平面PAD ，∴EF ∥平面PAD .…………………………………………………………………………6分 (2)∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD ， 侧面PAD ∩底面ABCD ＝AD ，∴PA ⊥底面ABCD .∵DE ⊂底面ABCD ，∴DE ⊥PA . ∵E ，H 分别为正方形ABCD 边AB ，BC 的中点， ∴Rt△ABH ≌Rt△DAE ，则∠BAH ＝∠ADE ，∴∠BAH ＋∠AED ＝90°，则DE ⊥AH .…………………………………………………………………………………8分 ∵PA ⊂平面PAH ，AH ⊂平面PAH ，PA ∩AH ＝A ，∴DE ⊥平面PAH .…………………………………………………………………………10分 ∵DE ⊂平面DEF ，∴平面PAH ⊥平面DEF .…………………………………………………………………12分 构建答题模板[第一步] 找线线：通过三角形或四边形的中位线，平行四边形、等腰三角形的中线或线面、面面关系的性质寻找线线平行或线线垂直.[第二步] 找线面：通过线线垂直或平行，利用判定定理，找线面垂直或平行；也可由面面关系的性质找线面垂直或平行.[第三步] 找面面：通过面面关系的判定定理，寻找面面垂直或平行. [第四步] 写步骤：严格按照定理中的条件规范书写解题步骤.1.如图，在空间四面体ABCD 中，若E ，F ，G ，H 分别是AB ，BD ，CD ，AC 的中点.(1)求证：四边形EFGH 是平行四边形； (2)求证：BC ∥平面EFGH .证明 (1)∵在空间四面体ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BD ，CD ，AC 的中点， ∴EF 綊12AD ，GH 綊12AD ，∴EF 綊GH ，∴四边形EFGH 是平行四边形. (2)∵E ，H 分别是AB ，AC 的中点，∴EH ∥BC .∵EH ⊂平面EFGH ，BC ⊄平面EFGH ， ∴BC ∥平面EFGH .2.(2017·北京)如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA ＝AB ＝BC ＝2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点.(1)求证：PA ⊥BD ；(2)求证：平面BDE ⊥平面PAC ；(3)当PA ∥平面BDE 时，求三棱锥E －BCD 的体积. (1)证明 因为PA ⊥AB ，PA ⊥BC ， 所以PA ⊥平面ABC .又因为BD ⊂平面ABC ，所以PA ⊥BD . (2)证明 因为AB ＝BC ，D 是AC 的中点， 所以BD ⊥AC . 由(1)知，PA ⊥BD ， 所以BD ⊥平面PAC . 所以平面BDE ⊥平面PAC .(3)解 因为PA ∥平面BDE ，平面PAC ∩平面BDE ＝DE ，所以PA ∥DE . 因为D 为AC 的中点，所以DE ＝12PA ＝1，BD ＝DC ＝ 2.由(1)知，PA ⊥平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC ， 所以三棱锥E －BCD 的体积V ＝16BD ·DC ·DE ＝13.3.(2017·北京海淀区模拟)如图，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝2，E 是侧棱PA 上的动点.(1)求四棱锥P －ABCD 的体积；(2)如果E 是PA 的中点，求证：PC ∥平面BDE ；(3)是否不论点E 在侧棱PA 的任何位置，都有BD ⊥CE ？证明你的结论. (1)解 ∵PA ⊥底面ABCD ， ∴PA 为此四棱锥底面上的高.∴V 四棱锥P －ABCD ＝13S 正方形ABCD ×PA ＝13×12×2＝23.(2)证明 连接AC 交BD 于点O ，连接OE .∵四边形ABCD 是正方形， ∴AO ＝OC . 又∵AE ＝EP ， ∴OE ∥PC .又∵PC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ， ∴PC ∥平面BDE .(3)解 不论点E 在侧棱PA 的任何位置，都有BD ⊥CE . 证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴BD ⊥AC .∵PA ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥BD . 又∵PA ∩AC ＝A ， ∴BD ⊥平面PAC . ∵CE ⊂平面PAC ， ∴BD ⊥CE .4.如图，已知正方形ABCD 的边长为2，AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，得到三棱锥A －BCD .(1)求证：平面AOC ⊥平面BCD ； (2)若三棱锥A －BCD 的体积为63，且∠AOC 是钝角，求AC 的长.(1)证明 ∵四边形ABCD 是正方形， ∴BD ⊥AO ，BD ⊥CO .折起后仍有BD ⊥AO ，BD ⊥CO ，AO ∩CO ＝O ， ∴BD ⊥平面AOC . ∵BD ⊂平面BCD ， ∴平面AOC ⊥平面BCD . (2)解 由(1)知BD ⊥平面AOC ， ∴V A －BCD ＝13S △AOC ·BD ，∴13×12OA ·OC ·sin∠AOC ·BD ＝63， 即13×12×2×2×sin∠AOC ×22＝63， ∴sin∠AOC ＝32. 又∵∠AOC 是钝角， ∴∠AOC ＝120°.在△AOC 中，由余弦定理，得AC 2＝OA 2＋OC 2－2·OA ·OC ·cos∠AOC＝(2)2＋(2)2－2×2×2×cos 120°＝6， ∴AC ＝ 6.5.(2016·四川)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD .(1)在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PAB ，并说明理由； (2)求证：平面PAB ⊥平面PBD .(1)解 取棱AD 的中点M (M ∈平面PAD )，点M 即为所求的一个点，理由如下：因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥AM ，且BC ＝AM .所以四边形AMCB 是平行四边形，所以CM ∥AB . 又AB ⊂平面PAB ，CM ⊄平面PAB ， 所以CM ∥平面PAB .(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点) (2)证明 由已知，PA ⊥AB ，PA ⊥CD .因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交，所以PA ⊥平面ABCD .所以PA ⊥BD .因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，M 为AD 的中点，连接BM ，所以BC ∥MD ，且BC ＝MD . 所以四边形BCDM 是平行四边形， 所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB .又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面PAB . 又BD ⊂平面PBD ， 所以平面PAB ⊥平面PBD .。
新教材高中数学第一章空间向量与立体几何4-1空间中直线平面的平行练习含解析新人教A版选择性必修第一册
第2课时 空间中直线、平面的平行学习目标 熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的平行关系．知识点一 线线平行的向量表示 设u 1,u 2分别是直线l 1,l 2的方向向量,则l 1∥l 2⇔u 1∥u 2⇔∃λ∈R ,使得u 1＝λu 2.知识点二 线面平行的向量表示设u 是直线 l 的方向向量,n 是平面α的法向量,l ⊄α,则l ∥α⇔u ⊥n ⇔u ·n ＝0.知识点三 面面平行的向量表示 设n 1 ,n 2 分别是平面α,β的法向量,则α∥β⇔n 1∥n 2⇔∃λ∈R ,使得n 1＝λn 2 .思考 怎么利用向量证明或判定直线和平面的位置关系？ 答案 证明或判定直线和平面的位置关系有两类思路(1)转化为线线关系,然后利用两个向量的关系进行判定；(2)利用直线的方向向量和平面的法向量进行判定．1．已知直线l 的方向向量为a ＝(－1,2,0),平面α的法向量为n ＝(2,1,－1),则( ) A ．l ⊥α B ．l ∥α C ．l ⊂α D ．l ∥α或l ⊂α答案 D2．若平面α∥β,且平面α的一个法向量为n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，1，12,则平面β的法向量可以是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12，14B ．(2,－1,0)C ．(1,2,0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，2答案 A3．若两个不同平面α,β的法向量分别为u ＝(1,2,－1),v ＝(－4,－8,4),则平面α,β的位置是________． 答案 α∥β解析 ∵u ＝－14v ,∴α∥β.一、证明线线平行例1 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AB ＝3,AD ＝4,AA 1＝2,点M 在棱BB 1上,且BM ＝2MB 1,点S 在DD 1上,且SD 1＝2SD ,点N ,R 分别为A 1D 1,BC 的中点．求证：MN ∥RS .证明 方法一 如图所示,建立空间直角坐标系,根据题意得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，43,N (0,2,2),R (3,2,0),S ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4，23. 则MN →,RS →分别为MN ,RS 的方向向量, 所以MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，2，23,RS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，2，23,所以MN →＝RS →,所以MN →∥RS →,因为M ∉RS , 所以MN ∥RS .方法二 设AB →＝a ,AD →＝b ,AA 1—→＝c , 则MN →＝MB 1—→＋B 1A 1—→＋A 1N —→＝13c －a ＋12b ,RS →＝RC →＋CD →＋DS →＝12b －a ＋13c .所以MN →＝RS →,所以MN →∥RS →. 又R ∉MN ,所以MN ∥RS .反思感悟 利用向量证明线线平行的思路证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可．跟踪训练1 如图所示,在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别为DD 1和BB 1的中点．求证：四边形AEC 1F 是平行四边形．证明 以点D 为坐标原点,分别以DA →,DC →,DD 1—→为正交基底建立空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长为1,则A (1,0,0),E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12,C 1(0,1,1),F ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12,∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12,FC 1—→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12,EC 1—→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12,AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12,∴AE →＝FC 1—→,EC 1—→＝AF →, ∴AE →∥FC 1—→,EC 1—→∥AF →, 又∵F ∉AE ,F ∉EC 1, ∴AE ∥FC 1,EC 1∥AF ,∴四边形AEC 1F 是平行四边形． 二、证明线面平行例2 在四棱锥P －ABCD 中,四边形ABCD 是正方形,侧棱PD 垂直于底面ABCD ,PD ＝DC ,E 是PC 的中点．证明：PA ∥平面EDB .证明 如图所示,建立空间直角坐标系,D 是坐标原点,设PD ＝DC ＝a . 连接AC ,交BD 于点G ,连接EG ,依题意得D (0,0,0),A (a ,0,0),P (0,0,a ),E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2.方法一 设平面BDE 的法向量为n ＝(x ,y ,z ), 又DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2,EB →＝⎝⎛⎭⎪⎫a ，a2，－a 2,则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE →＝0，n ·EB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2y ＋z ＝0，a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2－z 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝0，2x ＋y －z ＝0.令z ＝1,则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，所以n ＝(1,－1,1),又PA →＝(a ,0,－a ),所以n ·PA →＝(1,－1,1)·(a ,0,－a )＝a －a ＝0. 所以n ⊥PA →.又PA ⊄平面EDB ,所以PA ∥平面EDB . 方法二 因为四边形ABCD 是正方形, 所以G 是此正方形的中心,故点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，0,所以EG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，－a 2. 又PA →＝(a ,0,－a ),所以PA →＝2EG →,这表明PA ∥EG . 而EG ⊂平面EDB ,且PA ⊄平面EDB , 所以PA ∥平面EDB .方法三 假设存在实数λ,μ使得PA →＝λDE →＋μEB →,即(a ,0,－a )＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，－a2,则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝μa ，0＝λ·a 2＋μ·a 2＝a 2λ＋μ，－a ＝λ·a 2－μ·a2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝1.所以PA →＝－DE →＋EB →,又PA ⊄平面EDB , 所以PA ∥平面EDB .反思感悟 证明线面平行问题的方法(1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内； (2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内； (3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．跟踪训练2 在如图所示的多面体中,EF ⊥平面AEB ,AE ⊥EB ,AD ∥EF ,EF ∥BC ,BC ＝2AD ＝4,EF ＝3,AE ＝BE ＝2,G 是BC 的中点,求证：AB ∥平面DEG .证明 ∵EF ⊥平面AEB ,AE ⊂平面AEB ,BE ⊂平面AEB , ∴EF ⊥AE ,EF ⊥BE . 又∵AE ⊥EB ,∴EB ,EF ,EA 两两垂直．以点E 为坐标原点,EB ,EF ,EA 分别为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得,A (0,0,2),B (2,0,0),C (2,4,0),F (0,3,0),D (0,2,2),G (2,2,0), ∴ED →＝(0,2,2),EG →＝(2,2,0),AB →＝(2,0,－2)． 设平面DEG 的法向量为n ＝(x ,y ,z ), 则⎩⎪⎨⎪⎧ED →·n ＝0，EG →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋2z ＝0，2x ＋2y ＝0，令y ＝1,得z ＝－1,x ＝－1,则n ＝(－1,1,－1), ∴AB →·n ＝－2＋0＋2＝0,即AB →⊥n . ∵AB ⊄平面DEG , ∴AB ∥平面DEG . 三、证明面面平行例3 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2,E ,F 分别是BB 1,DD 1的中点, 求证：平面ADE ∥平面B 1C 1F .证明 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ,则D (0,0,0),A (2,0,0),C (0,2,0),C 1(0,2,2),E (2,2,1),F (0,0,1),B 1(2,2,2), 所以FC 1—→＝(0,2,1),DA →＝(2,0,0),AE →＝(0,2,1),C 1B 1—→＝(2,0,0), 设n 1＝(x 1,y 1,z 1)是平面ADE 的法向量, 则n 1⊥DA →,n 1⊥AE →, 即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1.令z 1＝2,则y 1＝－1,所以可取n 1＝(0,－1,2)． 同理,设n 2＝(x 2,y 2,z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量． 由n 2⊥FC 1—→,n 2⊥C 1B 1—→, 得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1→＝2x 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2,得y 2＝－1, 所以n 2＝(0,－1,2)． 因为n 1＝n 2,即n 1∥n 2, 所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .反思感悟 证明面面平行问题的方法(1)利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明．跟踪训练3 在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 为等腰梯形,AB ∥CD ,AB ＝4,BC ＝CD ＝2,AA 1＝2,F 是棱AB 的中点．试用向量的方法证明：平面AA 1D 1D ∥平面FCC 1. 证明 因为AB ＝4,BC ＝CD ＝2,F 是棱AB 的中点,所以BF ＝BC ＝CF ,所以△BCF 为正三角形．因为ABCD 为等腰梯形,AB ＝4,BC ＝CD ＝2,所以∠BAD ＝∠ABC ＝60°. 取AF 的中点M ,连接DM , 则DM ⊥AB ,所以DM ⊥CD .以D 为原点,DM 为x 轴,DC 为y 轴,DD 1为z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ,则D (0,0,0),D 1(0,0,2),A (3,－1,0),F (3,1,0),C (0,2,0),C 1(0,2,2), 所以DD 1—→＝(0,0,2),DA →＝(3,－1,0),CF →＝(3,－1,0),CC 1—→＝(0,0,2), 所以DD 1—→∥CC 1—→,DA →∥CF →, 所以DD 1∥CC 1,DA ∥CF ,又DD 1∩DA ＝D ,CC 1∩CF ＝C ,DD 1,DA ⊂平面AA 1D 1D ,CC 1,CF ⊂平面FCC 1, 所以平面AA 1D 1D ∥平面FCC 1.面面平行之探究典例 如图所示,在正方体AC 1中,O 为底面ABCD 中心,P 是DD 1的中点,设Q 是CC 1上的点,问：当点Q 在什么位置时,平面D 1BQ ∥平面PAO .解 如图所示,分别以DA ,DC ,DD 1所在直线为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系,在CC 1上任取一点Q ,连接BQ ,D 1Q .设正方体的棱长为1, 则O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0,P ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12,A (1,0,0),B (1,1,0),D 1(0,0,1),则Q (0,1,z ),则OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，12,BD 1—→＝(－1,－1,1),∵BD 1—→＝2OP →,∴OP →∥BD 1—→,∴OP ∥BD 1. AP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，0，12,BQ →＝(－1,0,z ),当z ＝12时,AP →＝BQ →,即AP ∥BQ ,又AP ∩OP ＝P ,BQ ∩BD 1＝B ,AP ,OP ⊂平面PAO ,BQ ,BD 1⊂平面D 1BQ ,则有平面PAO ∥平面D 1BQ ,∴当Q 为CC 1的中点时,平面D 1BQ ∥平面PAO .[素养提升] (1)求点的坐标：可设出对应点的坐标,根据面面平行的判定定理转化为向量共线问题或者利用两个平面的法向量共线,进而建立与所求点的坐标有关的等式．(2)由结论推应具备的条件的逆向推理是逻辑推理中的一种基本形式,通过应用推理的方式与方法,能较好的培养学生的合乎逻辑的思维品质．1．已知向量 a ＝(2,4,5),b ＝(3,x ,y ) 分别是直线 l 1,l 2 的方向向量,若 l 1∥l 2 ,则( ) A ．x ＝6,y ＝15 B ．x ＝3,y ＝152C ．x ＝3,y ＝15D ．x ＝6,y ＝152答案 D解析 由题意得,32＝x 4＝y 5,∴x ＝6,y ＝152.2．如果直线l 的方向向量是a ＝(－2,0,1),且直线l 上有一点P 不在平面α上,平面α的法向量是b ＝(2,0,4),那么( ) A ．l ⊥α B ．l ∥α C ．l ⊂α D ．l 与α斜交答案 B解析 ∵直线l 的方向向量是a ＝(－2,0,1),平面α的法向量是b ＝(2,0,4), ∴a ·b ＝－4＋0＋4＝0,∴直线l 在平面α内或者与平面平行,又直线l 上有一点P 不在平面α上, ∴l ∥α.3．若直线l 的方向向量为a ,平面α的法向量为n ,能使l ∥α的是( ) A ．a ＝(1,0,0),n ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5),n ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1),n ＝(－1,0,－1) D ．a ＝(1,－1,3),n ＝(0,3,1) 答案 D解析 若l ∥α,则a ·n ＝0. 而A 中a ·n ＝－2, B 中a ·n ＝1＋5＝6,C 中a ·n ＝－1,只有D 选项中a ·n ＝－3＋3＝0.4．设平面α,β的一个法向量分别为u ＝(1,2,－2),v ＝(－3,－6,6),则α,β的位置关系为____________． 答案 平行解析 ∵v ＝－3(1,2,－2)＝－3u ,∴α∥β.5．已知直线l ∥平面ABC ,且l 的一个方向向量为a ＝(2,m ,1),A (0,0,1),B (1,0,0),C (0,1,0)则实数m 的值是________． 答案 －3解析 ∵l ∥平面ABC ,∴存在实数x ,y ,使a ＝xAB →＋yAC →,AB →＝(1,0,－1),AC →＝(0,1,－1), ∴(2,m ,1)＝x (1,0,－1)＋y (0,1,－1)＝(x ,y ,－x －y ), ∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝x ，m ＝y ，1＝－x －y ，∴m ＝－3.1．知识清单：(1)线线平行的向量表示． (2)线面平行的向量表示． (3)面面平行的向量表示． 2．方法归纳：坐标法、转化化归．3．常见误区：通过向量和平面平行直接得到线面平行,忽略条件直线不在平面内．1．与向量a ＝(1,－3,2)平行的一个向量的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1，1 B ．(－1,－3,2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，－1 D ．(2,－3,－22)答案 C解析 a ＝(1,－3,2)＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，－1.2．若平面α,β的一个法向量分别为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，13，－1,n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，3,则( )A ．α∥βB ．α⊥βC ．α与β相交但不垂直D ．α∥β或α与β重合答案 D解析 因为n ＝－3m ,所以m ∥n ,所以α∥β或α与β重合．3．已知直线l 的方向向量是a ＝(3,2,1),平面α的法向量是u ＝(－1,2,－1),则l 与α的位置关系是( ) A ．l ⊥αB ．l ∥αC ．l 与α相交但不垂直D ．l ∥α或l ⊂α答案 D解析 因为a ·u ＝－3＋4－1＝0,所以a ⊥u .所以l ∥α或l ⊂α.4．(多选)若直线l 的一个方向向量为d ＝(6,2,3),平面α的一个法向量为n ＝(－1,3,0),则直线l 与平面α的位置关系是( ) A ．垂直B ．平行C ．直线l 在平面α内D ．不能确定答案 BC解析 ∵d ·n ＝－6＋2×3＋0＝0,∴d ⊥n ,∴直线l 与平面α的位置关系是直线l 在平面α内或平行．5．已知平面α的法向量是(2,3,－1),平面β的法向量是(4,λ,－2),若α∥β,则λ的值是( )A ．－103B ．6C ．－6 D.103答案 B解析 ∵α∥β,∴α的法向量与β的法向量也互相平行． ∴24＝3λ＝－1－2,∴λ＝6. 6．已知平面α内的三点A (0,0,1),B (0,1,0),C (1,0,0),平面β的一个法向量为n ＝(－1,－1,－1),且β与α不重合,则β与α的位置关系是________． 答案 α∥β解析 AB →＝(0,1,－1),AC →＝(1,0,－1),n ·AB →＝(－1,－1,－1)·(0,1,－1)＝－1×0＋(－1)×1＋(－1)×(－1)＝0,n ·AC →＝(－1,－1,－1)·(1,0,－1)＝－1×1＋0＋(－1)·(－1)＝0, ∴n ⊥AB →,n ⊥AC →.∴n 也为α的一个法向量,又 α与β不重合, ∴α∥β.7．若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，2y －1，－14是平面α的一个法向量,且b ＝(－1,2,1),c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，－2均与平面α平行,则向量a ＝________. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－952，126，－14解析 由题意,知⎩⎪⎨⎪⎧a ·b ＝0，a ·c ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋4y －94＝0，3x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－952，y ＝2752，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－952，126，－14.8．已知α,β为两个不重合的平面,设平面α与向量a ＝(－1,2,－4)垂直,平面β与向量b ＝(－2,4,－8)垂直,则平面α与β的位置关系是________．答案 平行解析 由题意得a ,b 分别为α,β的一个法向量,又a ∥b ,∴α∥β.9．如图,在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,侧棱垂直于底面,AB ⊥BC ,E ,F 分别为A 1C 1和BC 的中点．求证：C 1F ∥平面ABE .证明 如图,以B 为坐标原点,分别以BC ,BA ,BB 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系． 设BC ＝a ,AB ＝b ,BB 1＝c ,则B (0,0,0),A (0,b ,0),C 1(a ,0,c ),F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，0,E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b2，c . 所以AB →＝(0,－b ,0),AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，－b 2，c .设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x ,y ,z ), 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－by ＝0，a 2x －b2y ＋cz ＝0，令x ＝2,则y ＝0,z ＝－ac,即n ＝⎝⎛⎭⎪⎫2，0，－a c.又C 1F —→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，－c ,所以 n ·C 1F —→＝0,又C 1F ⊄平面ABE , 所以C 1F ∥平面ABE .10．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,E ,F ,M 分别是A 1C 1,A 1D 和B 1A 上任意一点．求证：平面A 1EF ∥平面B 1MC . 证明如图,建立空间直角坐标系Dxyz ,A 1(1,0,1),B 1(1,1,1),C 1(0,1,1),A (1,0,0),D (0,0,0),C (0,1,0),则A 1C 1—→ ＝(－1,1,0), B 1C —→ ＝(－1,0,－1), DA 1—→＝(1,0,1), B 1A —→＝(0,－1,－1),设A 1E —→＝λA 1C 1—→,A 1F —→＝μA 1D —→,B 1M —→＝v B 1A —→(λ,μ,v ∈R ,且均不为0)． 设n 1＝(x 1,y 1,z 1),n 2＝(x 2,y 2,z 2)分别是平面A 1EF 与平面B 1MC 的法向量, 可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·A 1E —→＝0，n 1·A 1F —→＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1C 1—→＝0，n 1·DA 1—→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋y 1＝0，x 1＋z 1＝0，所以可取n 1＝(1,1, －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·B 1M —→＝0，n 2·B 1C —→＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·B 1A —→＝0，n 2·B 1C —→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－y 2－z 2＝0，－x 2－z 2＝0，可取n 2＝(1,1,－1),所以n 1＝n 2,所以n 1∥n 2, 所以平面A 1EF ∥平面B 1MC .11.如图,在正方体AC 1中,PQ 与直线A 1D 和AC 都垂直,则直线PQ 与BD 1的关系是( )A ．异面直线B ．平行直线C ．垂直不相交D ．垂直且相交 答案 B解析 设正方体的棱长为1,取D 点为坐标原点建系后,DA 1—→＝(1,0,1), AC →＝(－1,1,0),设PQ →＝(a ,b ,c ),则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝0，－a ＋b ＝0，取PQ →＝(1,1,－1),∵BD 1—→＝(0,0,1)－(1,1,0)＝(－1,－1,1)＝－PQ → , ∴PQ →∥BD 1—→ , ∴PQ ∥BD 1.12.如图,正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直,AB ＝2,AF ＝1,M 在EF 上,且AM ∥平面BDE .则M 点的坐标为( )A ．(1,1,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫22，22，1 D.⎝⎛⎭⎪⎫24，24，1 答案 C解析 方法一 以C 为原点,建立空间直角坐标系如图所示．则C (0,0,0),D (2,0,0),B (0,2,0),E (0,0,1),A (2,2,0), DE →＝(－2,0,1),BD →＝(2,－2,0),设M (a ,a ,1),平面BDE 的法向量为n ＝(x ,y ,z ),则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE →＝0，n ·BD →＝0，即⎩⎨⎧－2x ＋z ＝0，2x －2y ＝0，令z ＝2,则x ＝1,y ＝1,所以n ＝(1,1,2), 又AM →＝(a －2,a －2,1), ∴AM →·n ＝a －2＋a －2＋2＝0, ∴a ＝22,即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1. 方法二 设AC 与BD 相交于O 点,连接OE ,由AM ∥平面BDE ,且AM ⊂平面ACEF ,平面ACEF ∩平面BDE ＝OE , 所以AM ∥EO ,又O 是正方形ABCD 对角线交点, 所以M 为线段EF 的中点．在空间直角坐标系中,E (0,0,1),F (2,2,1)． 由中点坐标公式,知点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，22，1. 13．(多选)如图,在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,点M ,P ,Q 分别为棱AB ,CD ,BC 的中点,平行六面体的各棱长均相等．下列结论中正确的是( )A ．A 1M ∥D 1P B. A 1M ∥B 1QC ．A 1M ∥平面DCC 1D 1 D ．A 1M ∥平面D 1PQB 1 答案 ACD解析 因为A 1M —→＝A 1A —→＋AM →＝A 1A —→＋12AB →,D 1P —→＝D 1D —→＋DP →＝A 1A —→＋12AB → ,所以A 1M —→∥D 1P —→,从而A 1M ∥D 1P ,可得ACD 正确． 又B 1Q 与D 1P 不平行,故B 不正确．14．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,棱长为a ,M ,N 分别为A 1B ,AC 的中点,则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________． 答案 平行解析 建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则A (2,2,2),A 1(2,2,0),C (0,0,2),B (2,0,2), ∴M (2,1,1),N (1,1,2), ∴MN →＝(－1,0,1)．又平面BB 1C 1C 的一个法向量为n ＝(0,1,0),∵－1×0＋0×1＋1×0＝0, ∴MN →⊥n ,∴MN ∥平面BB 1C 1C .15．直线l 的方向向量s ＝(－1,1,1),平面α的法向量为n ＝(2,x 2＋x ,－x ),若直线l ∥平面α,则实数x 的值为( ) A ．－2 B ．－ 2 C. 2 D ．± 2 答案 D解析 ∵直线l 的方向向量s ＝(－1,1,1),平面α的法向量为n ＝(2,x 2＋x ,－x ),直线l ∥平面α,∴x 2－2＝0,解得x ＝± 2.16.如图,四棱锥P －ABCD 中,PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 为直角梯形,∠ABC ＝∠BAD ＝90°,PA ＝AB ＝BC ＝12AD ＝1.问：在棱PD 上是否存在一点E ,使得CE ∥平面PAB ？若存在,求出E 点的位置；若不存在,请说明理由．解 分别以AB ,AD ,AP 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,如图．则P (0,0,1),C (1,1,0),D (0,2,0), 设E (0,y ,z ),则 PE →＝(0,y ,z －1), PD →＝(0,2,－1),∵PE →∥PD →,∴y 2＝z －1－1,① ∵AD →＝(0,2,0)是平面PAB 的法向量, CE →＝(－1,y －1,z ),∴由CE ∥平面PAB ,可得CE →⊥AD →, ∴(－1,y －1,z )·(0,2,0)＝2(y －1)＝0, ∴y ＝1,代入①式得z ＝12.∴E 是PD 的中点,即存在点E 为PD 中点时,CE ∥平面PAB .。
《空间直线、平面的平行》基础练习【高中数学人教版】
《空间直线、平面的平行》基础练习一、选择题1．α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，不能判定平面α∥β的条件是 （ ）A ．m ，n 是α内一个三角形的两条边，且m ∥β，n ∥βB ．α内有不共线的三点到β的距离都相等C ．α，β都垂直于同一条直线aD ．m ，n 是两条异面直线，m ⊂α，n ⊂β，且m ∥β，n ∥α 2．下列四个结论：⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行． ⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行． ⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行．⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行． 其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．33．直线,a b c ，及平面αβ，，使//a b 成立的条件是（ ）A ．//,a b αα⊂B ．//,//a b ααC ．//,//a c b cD ．//,a b ααβ=4．a ，b 是两条异面直线，A 是不在a ，b 上的点，则下列结论成立的是（ ）A ．过A 有且只有一个平面平行于a ，bB ．过A 至少有一个平面平行于a ，bC ．过A 有无数个平面平行于a ，bD ．过A 且平行a ，b 的平面可能不存在5．已知直线a 与直线b 垂直，a 平行于平面α，则b 与α的位置关系是（ ）A ．b ∥αB ．b ⊂αC ．b 与α相交D ．以上都有可能 6．下列命题中正确的命题的个数为（ ）①直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l ∥α；②若直线a 在平面α外，则a ∥α； ③若直线a ∥b ，直线b ⊂α，则a ∥α；④若直线a ∥b ，b 平面α，那么直线a 就平行于平面α内的无数条直线．A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题1．如果空间中若干点在同一平面内的射影在一条直线上，那么这些点在空间的位置是__________．2．若直线a 和b 都与平面α平行，则a 和b 的位置关系是__________．3．已知a 、b 是相交直线，且a 平行于平面α，那么b 与α的位置关系是________． 4．在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是棱AD 上一点，AP =3a ，过P 、M 、N 的平面与棱CD 交于Q ，则PQ =_________．5．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 11中点，则BD 1和平面ACE 位置关系是．三、解答题1．已知,,,E F G H 为空间四边形ABCD 的边,,,AB BC CD DA 上的点，且//EH FG ．求证：//EH BD ．2．如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长是2D 是AC 的中点．求证：1//B C 平面1A BD ．3．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，求证：平面1A BD //平面11CD B ．H G FE D BAC1A4．如图，正方形ABCD的边长为13，平面ABCD外一点P到正方形各顶点的距离都是13，M，N分别是PA，DB上的点，且58==PM M A BN ND∶∶∶．（1）求证：直线MN//平面PBC；（2）求线段MN的长．参考答案一、选择题1．B如图，E 、F 、G 、H 分别是正方体各棱的中点，点B 1，C 1，B 到平面EFGH 距离相等，但平面BCC 1B 1与平面EFGH 相交，故B 错．2．A ⑴两条直线都和同一个平面平行，这两条直线三种位置关系都有可能 ⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线三种位置关系都有可能 ⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线也可在这个平面内3．C //,,a b αα⊂则//a b 或,a b 异面；所以A 错误；//,//,a b αα则//a b 或,a b 异面或,a b 相交，所以B 错误；//,,a b ααβ=则//a b 或,a b 异面，所以D 错误；//,//a c b c ，则//a b ，这是公理4，所以C 正确．4． D 如当A 与a 确定的平面与b 平行时，过A 作与a ，b 都平行的平面不存在． 5． D a 与b 垂直，a 与b 的关系可以平行、相交、异面，a 与α平行，所以b 与α的位置可以平行、相交、或在α内，这三种位置关系都有可能．6． A 对于①，∵直线l 虽与平面α内无数条直线平行，但l 有可能在平面α内（若改为l 与α内任何直线都平行，则必有l ∥α），∴①是假命题．对于②，∵直线a 在平面α外，包括两种情况a ∥α和a 与α相交，∴a 与α不一定平行，∴②为假命题．对于③，∵a ∥b ，b ⊂α，只能说明a 与b 无公共点，但a 可能在平面α内，∴a 不一定平行于平面α．∴③也是假命题．对于④，∵a ∥b ，b ⊂α．那么a ⊂α，或a ∥α．∴a 可以与平面α内的无数条直线平行．∴④是真命题．综上，真命题的个数为1．二、填空题1．共线或在与已知平面垂直的平面内． 2．相交或平行或异面．3． b ∥α或b 与α相交 b 与α的位置关系除b 在α内，皆有可能，即平行或相交．4由线面平行的性质定理知MN ∥PQ （∵MN ∥平面AC ，PQ =平面PMN ∩平面AC ，∴MN ∥PQ ）．易知DP =DQ =23a．故PQ =． 5．平行 连接BD 交AC 于O ，连OE ，∴OE ∥B D 11，OEC 平面ACE ，∴B D 11∥平面ACE ．三、解答题1．证明：//,////EH BCD FG BCD EH BCD BD BCD EH BD EH FG ⊄⎫⎪⊂⇒⊂⇒⎬⎪⎭2．证明：设AB 1与AB 1相交于点P ，连接PD ，则P 为AB 1中点， D 为AC 中点，∴PD //B 1C ． 又PD ⊂平面A 1BD ，∴B 1C //平面A 1BD3．证明：111111B B A A B B D D A A D D ⎧⎪⇒⎨⎪⎩∥ ∥ ∥ ⇒ 四边形11BB D D 是平行四边形⇒ 111111D B DB DB A BD D B A BD⎧⎪⊂⎨⎪⊄⎩平面平面//⇒111111111D B A BDB C A BD D B B C B⎧⎪⎨⎪=⎩平面同理平面////⇒111B CD A BD 平面平面//． 4． 解：（1）证明：连接AN 并延长交BC 于E ，连接PE ， 则由AD BC //，得BN NEND AN=． BN PM ND MA =∵，NE PMAN MA=∴． MN PE ∴//，又PE ⊂平面PBC ，M N ⊄平面PBC ，∴MN //平面PBC ．（2）由13PB BC PC ===，得60PBC ∠=； 由58BE BN AD ND ==，知5651388BE =⨯=， 由余弦定理可得918PE =，8713MN PE ==∴．。
§4 空间中的平行关系
6． 如果 ∥ ，AB 和 CD 是夹在平面 、 之间的两条线段，AB CD，且 AB＝2，直线 AB 与平面成 30° 角，那么线段 CD 的取值范围是（ D） A．(
2 3 4 3 ) , 3 3 二、填空题
B．[1，+ )
C．[1， 2 3 ] 3
D．[ 2 3 ，+ 3
A．一条直线和两个平面成等角，则此两平面平行 B．一个平面和两个平面成等角，则此两平面平行 C．平行于两条异面直线的两个平面必平行 D．两个平面夹有三条等长的线段，则此两平面平行
5． 已知平面 ∥平面 ，P 是 、 外一点，过点 P 的直线 m 与 、 分别交于 A、C，过 点 P 的直线 n 与 、 分别交于 B、D，且 PA＝6，AC＝9，PD＝8，则 BD 的长为（ B） A．16 B．24 或 24 5 C．14 D．20
4．两个平面平行的性质有五条： （1）两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面， 这个定理可简记为：“面面平行，则线面平行”。用符号表示是：α∥β，a α， 则 a∥β。 （2）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行， 这个定理可简记为： “面面平行， 则线线平行”。 用符号表示是： α∥β， α∩γ=a， β∩γ=b，则 a∥b。 （3）一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。 这个定理可用于证线面垂直。用符号表示是：α∥β，a⊥α，则 a⊥β。 （4）夹在两个平行平面间的平行线段相等。 （5）过平面外一点只有一个平面与已知平面平行。
【例 2】两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 所在平面相交于 AB，M∈AC，N∈FB， 且 AM=FN，求证：MN∥平面 BCE。 证法一：作 MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q 为垂足，则 MP∥AB，NQ∥AB。 ∴MP∥NQ，又 AM=NF，AC=BF， C D ∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45° M ∴Rt△MCP≌Rt△NBQ P ∴MP=NQ，故四边形 MPQN 为平行四边形 ∴MN∥PQ A B N Q ∵PQ 平面 BCE，MN 在平面 BCE 外， F E ∴MN∥平面 BCE。 证法二：如图过 M 作 MH⊥AB 于 H，则 MH∥BC， ∴
空间中的平行关系(复习带有详细答案)
空间中的平行关系1．设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是A、若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γB、若α//β，m⊄β，m//α，则m//βC、若α⊥β，m⊥α，则m//βD、若m//α，n//β，α⊥β，则m⊥n 【答案】B【解析】解：利用平面的线面的位置关系，可知，两个平行平面，如果不在平面内的一条直线平行于其中一个平面，必定平行与另一个平面。
选项A还可能平行。
选项C，线可能在面内。
选项D中，线线的位置关系不定。
2．若直线a与平面α相交与一点Ａ，则下列结论正确的是（）A.α内的所有直线与a异面Ｂ.α内不存在与a平行的直线Ｃ.α内存在唯一的直线与a平行Ｄ.α内的直线与a都相交【答案】B【解析】略3．已知直线l、m 、n 与平面α、β给出下列四个命题：①若m∥l，n∥l，则m∥n；②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若m⊥β，α⊥β，则m∥α其中，假命题的个数是（）A、1B、2C、3D、4【答案】B【解析】略4．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则下列结论正确的是A、//⊂lαB、lαC、lα⊄D、lα与不相交【答案】D【解析】略5．下列命题中lα①若直线l上有无数点不在平面α内，则//②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内任意一条直线平行③若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点 ④若直线l 平行于α内无数条直线，则//l α⑤如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 其中正确的个数是 （ ）A 、0B 、1C 、2D 、3 【答案】B 【解析】略6．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是( )A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④ 【答案】D 【解析】略7．α、β是两个不重合的平面，a 、b 是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是( )A ．α、β都平行于直线a 、bB ．α内有三个不共线点A 、B 、C 到β的距离相等 C ．a 、b 是α内两条直线，且a ∥β，b ∥βD ．a 、b 是两条异面直线且a ∥α，b ∥α，a ∥β，b ∥β 【答案】A 【解析】略8．已知直线平面，则“平面平面”是“”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】略9．空间可以确定一个平面的是（ ）A.两条直线B.一点和一条直线C.一个三角形D.三个点m ⊂α//αβ//m β【解析】略10．已知直线a//平面α,则a 与平面α内的直线的位置关系（ ） A ．相交 B. 异面 C. 平行 D. 异面或平行 【答案】C 【解析】略11．已知a 、b 为直线，γβα、、为平面，有下列四个命题： ①b a b a //////，则，αα ②βαγβγα//，则，⊥⊥ ③βαβα//////，则，a a ④αα////a b b a ，则，⊂其中正确命题的个数有（ ）Ａ.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】A 【解析】略12．已知,αβ为互不重合的平面，,m n 为互不重合的直线，给出下列四个命题：①,,m n n m αα⊂若则；②,,,,m n m n m n ααββ⊂⊂若则 ； ③,,,m n m n αβαβ⊂⊂若则；④,,,,m n m n n αβαβαβ⊥=⊂⊥⊥若则. 其中正确命题的序号是____ ▲ __ __． 【答案】④ 【解析】略13．设,m n 是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，有下列四个命题: ①若n m n m //,//,则αα⊂ ②βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,n m n m ③若,//,n m n αβ=则m ∥,α且m ∥β④若βαβα//,,则⊥⊥m m其中正确的命题是 ▲ ．（写出所有真命题的序号）． 【答案】②④14．设,l m 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，下列命题中正确的是 ．（填序号）①若,//,,l m αβαβ⊥⊥则l m ⊥；②若//,,,l m m l αβ⊥⊥则//αβ； ③若//,//,//,l m αβαβ则//l m ；④若,,,,m l l m αβαββ⊥=⊂⊥则l α⊥．【答案】②④ 【解析】略15．．如图是正方体的表面展开图，在这个正方体中有如下命题：①；②与是异面直线；③与成角；④与成角。
2020年高考数学一轮复习专题9.4空间几何体中平行练习(含解析)
9.4 空间几何中平行问题一．线面平行的判定定理和性质定理则该则过这条直线的任一平简a βαβ⎫⎪⎬⊂⎪⎭考向一 线面平行【例1】（1）如图1，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，E 是线段PC 上的中点，证明： //PA 平面EBD（2）如图2， 是菱形， ， . 求证： 平面 .（3）如图3，在直角梯形中ABCD ， 90ADC BAD ︒∠=∠=，截面CDE 交SB 于点F ,求证： //EF CD ； （4）如图4，三棱锥P ABC -中， D 是PA 的中点， E 是CD 的中点，点F 在PB 上且14BF PB =，证明： //EF 平面ABC ；（5）如图5，菱形ABCD 与正三角形BCE 的边长均为2，且平面ABCD ⊥平面BCE ，FD ⊥平面ABCD ，FD =．求证：//EF 平面ABCD ；（6）如图6，已知P 是正方形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别是PA ，BD 上的点，且PM ∶MA ＝BN ∶ND ＝5∶8. 求证：直线MN ∥平面PBC ．图5图6【答案】见解析【解析】（1）连接AC 交BD 于O ，连接EO ，如图A∵底面ABCD 是菱形，∴O 是AC 中点，又∵E 是PC 的中点，∴//PA EO ，且PA ⊄平面EBD ， EO ∈平面EBD ，∴//PA 平面EBD . （2）证明：设 ，取 中点 ，连结 ，如图B 所以，且.因为 ， ，所以 且 ，从而四边形 是平行四边形， . 因为 ⊂平面 ， 平面 ，所以 平面 ，即 平面 . （3）//CD AB //CD ∴平面SAB 又平面CDEF ⋂平面SAB EF =//CD EF ∴（4）证明：如图，取AD 中点G ，连接GE ，GF ，如图C 则GE//AC ，GF//AB ， 因为GE ∩GF=G ，AC ∩AB=A ，所以平面GEF//平面ABC ，所以EF//平面ABC ．（5）证明：如图，过点E 作EH BC ⊥于H ，连接HD ，∴EH = D ∵平面ABCD ⊥平面BCE ，EH ⊂平面BCE ， 平面ABCD ⋂平面BCE BC =， ∴EH ⊥平面ABCD ，又∵FD ⊥平面ABCD ，FD =，∴//FD EH ，FD EH =. ∴四边形EHDF 为平行四边形． ∴//EF HD .∵EF ⊄平面ABCD ，HD ⊂平面ABCD ， ∴//EF 平面ABCD ． (6)∵=∴与，共面．∴∥平面PBC．∵MN平面PBC，∴MN∥平面PBC．【举一反三】1.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，，点M，N分别为A1C1，AB1的中点，证明：MN∥平面BB1C1C【答案】见解析【解析】证明：连接A1B，BC1，点M，N分别为A1C1，AB1的中点，所以MN为△A1BC1的一条中位线，MN∥BC1，又因为MN⊄平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.2．如图四边形是平行四边形为直角梯形，.求证：平面；【答案】见解析【解析】取的中点，连接.∵四边形为直角梯形，是的中点，，且.∵四边形是平行四边形，，且A ， ，且 ，四边形 是平行四边形， .⊂平面 平面 ， 平面 .3．如图所示， //,24BE CD BE CD ==，F 为棱AE 的中点，求证: //DF 平面ABC【答案】见解析【解析】证明：如图，取AB 中点G ，连接CG FG 、，因为F 为AE 中点，所以//FG BE 且12FG CD =， 2BE CD =，所以//FG CD 且FG CD =，所以四边形CDFG 为平行四边形，所以//DF CG .CG ⊂平面ABC ， DF ⊄平面ABC ，∴//DF 平面ABC .4．如下图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 为正方形， G 是线段BE 的中点， 2AB =， F 是线段CD 上的中点，求证: //GF ADE 平面【答案】见解析【解析】解法一：取AE 的中点H ，连接HG ， DHG 是线段BE 的中点，∴HG AB 且12HG AB =， 四边形ABCD 为正方形， F 是线段CD 上的中点∴DFAB 且12DF AB =， ∴HG DF 且HG DF =，∴四边形DFGH 是平行四边形，//GF DH ∴，DH GF ADE ADE ⊄⊂平面，平面，//GF ADE ∴平面。
空间中的平行关系(高考题)
1.2.1平面的基本性质与推论链接高考1.(2015辽宁大连第二十中期末,★★☆)如图所示,已知空间四边形ABCD,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边BC,CD上的点,且==.求证:直线EF,GH,AC交于一点.2.(2014四川成都七中高二期中,★★☆)(1)如图,ABC在平面α外,AB∩α=P,BC∩α=Q,AC∩α=R,求证:P,Q,R三点共线.(2)如图,空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和CB上的点,G,H分别是CD和AD上的点,且EH与FG相交于点K.求证:EH,BD,FG三条直线相交于同一点.3.(2013辽宁锦州中学月考,★★☆)如图,在四面体ABCD中作截面PQR,若QP,BC的延长线交于M;RQ,DB的延长线交于N;RP,DC的延长线交于K,求证:M、N、K三点共线.三年模拟1.(2016广西陆川中学周测,★★☆)下列说法正确的是()A.三点确定一个平面B.不重合的两个平面α和β可以有不在同一条直线上的三个公共点C.四边形一定是平面图形D.梯形一定是平面图形2.(2016广西钦州高二期末,★☆☆)在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点,如图,如果EF、GH相交于点P,那么()A.点P必在直线AC上B.点P必在直线BD上C.点P必在平面DBC内D.点P必在平面ABC外3.(2015山西康杰中学期中,★★☆)三个平面将空间最多能分成()A.6部分B.7部分C.8部分D.9部分4.(2015浙江重点中学协作体适应性训练,★★☆)给定下列两个关于异面直线的命题,那么()命题(1):若平面α上的直线a与平面β上的直线b为异面直线,直线c是α与β的交线,那么c至多与a,b中的一条相交;命题(2):不存在这样的无穷多条直线,它们中的任意两条都是异面直线.A.命题(1)正确,命题(2)不正确B.命题(2)正确,命题(1)不正确C.两个命题都正确D.两个命题都不正确。
空间中的平行关系练习题
空间中的平行关系练习题 班级___________姓名______________一、选择题1．(2010·山东)在空间，下列命题正确的是( )A ．平行直线的平行投影重合B ．平行于同一直线的两个平面平行C ．垂直于同一平面的两个平面平行D ．垂直于同一平面的两条直线平行2．(2010·湖北)用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；③若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b ；④若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b .其中真命题的序号是( )A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④3．平面α∥平面β的一个充分条件是( )A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α4．已知直线m 、n 及平面α、β，则下列命题正确的是( )A. ⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ∥β⇒α∥βB. ⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ∥n ⇒n ∥αC. ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αα⊥β⇒m ∥βD. ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n 5．(2008·安徽)已知m 、n 是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面．下列命题中正确的是( )A ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥nC ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nD ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β6．过平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB 1D 1平行的直线共有( )A ．4条B ．6条C ．8条D ．12条7．(2011·浙江台州模拟)已知m 、n 为直线，α、β为平面，给出下列命题：① ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ⊥n ⇒n ∥α；② ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥βn ⊥β⇒m ∥n ；③ ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ⊥β⇒α∥β；④ ⎭⎬⎫m ⊂αn ⊂βα∥β⇒m ∥n .其中正确命题的序号是( )A ．③④B ．②③C ．①②D ．①②③④8．下列命题中正确的个数是( )①若直线a 不在平面α内，则a ∥α； ②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α；③若直线l 与平面α平行，则l 与α内的任意一条直线都平行；④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；⑤若l 与平面α平行，则l 与α内任何一条直线都没有公共点；⑥平行于同一平面的两直线可以相交．A ．1B ．2C ．3D ．49．已知两个不同的平面α、β与两条不重合的直线m 、n ，有下列四个命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若m∥α，n∥α，且m⊂β，n⊂β，则α∥β；③若m∥α，n⊂α，则m∥n；④若α∥β，m⊂α，则m∥β.其中正确命题的个数是( )A．1个B．2个C．3个 D．4个10．已知直线m，n及平面α，其中m∥n，那么在平面α内到两条直线m，n 距离相等的点的集合可能是：①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集．其中正确的是( )A．①②③B．①④C．①②④D．②④二、填空题1．已知a、b是异面直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，a∥β，b∥α，则平面α与平面β的位置关系是______．2．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件__________时，有MN∥平面B1BDD1.3．给出下列关于互不相同的直线l、m、n与平面α、β、γ的三个命题：①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．三、解答题1．如图，PA⊥平面AC，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点，求证：AF∥平面PCE.2．如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点．(1)求证：MN∥平面PAD；(2)在PB上确定一个点Q，使平面MNQ∥平面PAD.3．(2010·陕西)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F分别是PB，PC的中点．(1)证明：EF∥平面PAD；(2)求三棱锥E－ABC的体积V.。
空间中平行于垂直的判定与性质练习题
1．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A D 与1BC 所成的角为A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°2．在下列命题中，不是公理的是（ ）A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行B ．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线3．已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，且,a b αβ⊂⊂，给出下列结论：①若a ∥b ，则α∥β；②若α∥β，则a ∥b ；③若a ⊥b ，则α⊥β；④若α⊥β，则a ⊥b其中正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．如图，ABCD －A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（ ）．A ．BD ∥平面CB1D1B ．AC1⊥BDC ．AC1⊥平面CB1D1D ．异面直线AD 与CB1角为60°5．若a ，b 是异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是 （ ）A ．相交B ．异面C ．平行D ．异面或相交6．设,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ） A ．若//,//,//m l m l αα则B ．若,,//m l m l αα⊥⊥则C ．若//,,//,l m l m αβαβ⊥⊥则D ．若,//,,//,//m m l l αββααβ⊂⊂则7．在正方体''''D C B A ABCD -中，下列几种说法正确的是（ ）A 、11AC AD ⊥B 、11DC AB ⊥C 、1AC 与DC 成45o 角D 、11A C 与1B C 成60o 角请点击8．（本小题满分14分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，各个侧面均是边长为2的正方形，D 为线段AC 的中点．（Ⅰ）求证：BD ⊥平面11A ACC ； （Ⅱ）求证：直线1AB ∥平面D BC 1；（Ⅲ）设M 为线段1BC 上任意一点，在D D BC 1内的平面区域（包括边界）是否存在点E ，使CE ⊥DM ，并说明理由．9．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱C 1D 1，C 1C 的中点．给出以下四个结论：①直线AM 与直线C 1C 相交；②直线AM 与直线DD 1异面；③直线AM 与直线BN 平行；④直线BN 与直线MB 1异面．其中正确结论的序号为 （填入所有正确结论的序号）．A B CD A 1 B 1C 1A BCD 1A 1B 1C 1D M N10．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E 是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明：PA∥平面EDB；（2）证明：PB⊥平面EFD．11．（本题满分14分）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，ADPD=，AF ⊥PC于点F，FE∥CD交PD于点E.（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）若OBDAC=⋂，证明//FO平面AED12．（本题满分14分）如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（1）PA//平面BDE；（2）平面PAC⊥平面BDE．PEDABCO参考答案1．D【解析】 试题分析：如图所示，连接B 1C ，则B 1C ∥A 1D ，B 1C ⊥BC 1，∴A 1D ⊥BC 1，∴A 1D 与BC 1所成的角为90°．故选：D ．考点：异面直线及其所成的角2．A【解析】试题分析：选项A 是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的． B,C,D 四个命题是平面性质的三个公理，所以选A ．考点：点，线，面的位置关系．3．A【解析】试题分析：若两个平面内分别有两条直线平行，则这两个平面不一定平行，所以命题?错误；若两个平面平行，则两个平面内的直线可能平行或异面，所以命题?错误；若两个平面内分别有两条直线垂直，则这两个平面不一定垂直，所以命题?错误；若两个平面垂直，则两个平面内的直线可能平行、垂直或异面，所以命题④错误；考点：直线与直线、平面与平面的平行与垂直的命题判断．4．D【解析】试题分析：由BD ∥B1D1，因此BD ∥平面CB1D1成立；AC1在底面的射影为AC ，由三垂线定理可得AC1⊥BD ，由三垂线定理可知AC1⊥B1D1，AC1⊥CB1，因此有AC1⊥平面CB1D1；异面直线AD 与CB1角为45°考点：1．空间线面的垂直平行关系；2．异面直线所成角5．D【解析】试题分析：因为a ，b 是异面直线，直线c ∥a ，可知c 与b 的位置关系是异面或相交，故选择D考点：异面直线6．C【解析】试题分析：若//m l ，//m α，则//l α或l α⊂，所以A 选项是假命题；若m α⊥，l m ⊥，则//l α或l α⊂，所以B 选项是假命题；若//αβ，l α⊥，//m β，则l m ⊥，所以C 选项是真命题；若m α⊂，//m β，l β⊂，//l α，则//αβ或α与β相交，所以D 选项是假命题．故选C ．考点：空间点、线、面的位置关系．7．【解析】试题分析：由题意画出正方体的图形，结合选项进行分析即可．由题画出如下图形：11111AD A D C A D ∴∠Q P ,即为异面直线11A C 与AD 所成的角，而111C A D 45∠=︒，所以A 错； 因为11D C CD P ，利平行公理4可以知道：11AB CD C D P P ，所以B 错；1DC AB,C AB ∴∠Q P ,即为这两异面直线所成的角，而在1t R C AB V 中，1tan 2C AB ∠＝， 所以C 错；111A C AC B CA ∴∠Q P ，即为异面直线11A C 与1B C 所成的角，在正三角形1B CA V 中，1B CA 60∠=︒所以D 正确．考点：异面直线及其所成的角；棱柱的结构特征．8．（1）证明如下；（2）证明如下；（3）证明如下；【解析】试题分析：（1）由题可知，若证明线面垂直，则从线线垂直入手，若一条直线垂直于平面内两条相交直线，则线面垂直；（2）证明线面平行由3种方法，平行四边形法，中位线法，构造辅助平面法，本题采用三角形中位线法，DO 是三角形AB 1C 的中位线，因此直线//1AB 平面D BC 1．（3）若证明线线垂直，应该从线面垂直入手，由（1），我们可知CE ⊥平面BC 1D ．所以CE ⊥DM ．试题解析：（Ⅰ）证明：因为三棱柱的侧面是正方形，所以AC CC BC CC ⊥⊥11,,C AC BC =I ．所以⊥1CC 底面ABC ．因为⊥BD 底面ABC ，所以BD CC ⊥1．由已知可得，底面ABC 为正三角形． 因为D 是AC 中点，所以AC BD ⊥,所以⊥BD 平面11ACC A ． 5分（Ⅱ）证明：如图，连接1B C 交1BC 于点O ，连接OD ．显然点O 为1B C 的中点．因为D 是AC 中点， 所以1//AB OD ．又因为∈OD 平面D BC 1，//1AB 平面D BC 1，所以直线//1AB 平面D BC 1． 10分（Ⅲ）在DD BC 1内的平面区域（包括边界）存在一点E ，使CE ⊥DM 此时点E 是在线段1C D 上．证明如下：过C 作1CE C D ⊥交线段1C D 于E ，由（Ⅰ）可知⊥BD 平面11ACC A ，而CE ⊂平面11ACC A ，所以CE BD ⊥． 又1CE C D ⊥，所以CE ⊥平面D BC 1．又DM ⊂平面D BC 1，所以CE ⊥DM ． 14分考点：?线面垂直的判定定理?线面平行的判定定理9．②④【解析】试题分析：由异面直线判定定理知：①直线AM 与直线C 1C 异面；②直线AM 与直线DD 1异面；④直线BN 与直线MB 1异面，因为直线BN 与直线AE 平行,（E 为DD 1中点），所以③直线AM A B CD ABCO C 1A B C D A 1B 1 ME与直线BN异面．考点：异面直线判定定理10．（1）详见解析；（2）详见解析．【解析】试题分析：（1）连接AC，交BD于点O，连接EO，由底面ABCD为矩形可知，对角线交点O 为AC中点，又因为E为PC中点，所以EO∥PA，强调直线PA?平面EDB，而EO?平面EDB，根据直线与平面平行的判定定理可知，PA∥平面EDB，本问主要考查直线与平面平行的知识，根据线面平行判定定理，只需在平面EDB内找到与PA平行的直线即可，证明时注意符号的表示要全，不要遗漏定理的条件；（2）由已知PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC，又根据底面为矩形得：CD⊥BC，且PD∩CD=D，则BC⊥平面PCD，而DE?平面PCD，所以BC⊥DE，由已知条件PA=AD，且E为PC中点，所以DE⊥PC，而BC∩PC=C，所以DE⊥平面PBC．所以DE⊥PB，又根据已知EF⊥PB，且DE∩EF=E，所以PB⊥平面EFD．本问多次使用线面垂直判定定理，要求学生熟练掌握线面垂直判定定理的使用．试题解析：证明：（1）连接AC交BD与O，连接EO．∵底面ABCD是矩形，∴点O是AC的中点．又∵E是PC的中点∴在△PAC中，EO为中位线∴PA∥EO．而EO?平面EDB，PA?平面EDB，∴PA∥平面EDB．（2）由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC．∵底面ABCD是矩形，∴DC⊥BC，且PD∩CD=D，∴BC⊥平面PDC，而DE?平面PDC，∴BC⊥DE．①∵PD=DC，E是PC的中点，∴△PDC是等腰三角形，DE⊥PC．②由①和②及BC∩PC=C，∴DE⊥平面PBC．而PB?平面PBC，∴DE⊥PB．又EF⊥PB且DE∩EF=E，∴PB⊥平面EFD．考点：（1）线面平行判定定理；（2）线面垂直判定定理．11．（1）详见解析，（2）详见解析【解析】试题分析：（1）证明线面垂直，一般利用其判定定理，即证线线垂直：由PD ⊥平面ABCD ，得AD PD ⊥由,,AD PD AD DC PD DC C ⊥⊥=I ,PD DC PDC ⊂面⊥⇒AD 平面PDC ，CF PDC ⊂面CF AD ⊥⇒由C CF AF CF AF CF AD =⊥⊥I ,,,AF CF ADF ⊂面⊥⇒CF 平面ADF （2）证明线面平行一般利用其判定定理，即证线线平行：因为AD=PD ，由（1）知，F 为PC 中点，从而//AP FO ,因此由,AP ADE ⊂面FO ADE ⊄面得//FO 平面AED试题解析：（1）由PD ⊥平面ABCD ，得AD PD ⊥（1分）由C DC AD DC AD PD AD =⊥⊥I ,,⊥⇒AD 平面PDC（3分，少一个条件扣一分）CF AD ⊥⇒（1分）由C CF AF CF AF CF AD =⊥⊥I ,,⊥⇒CF 平面ADF （2分）（2）因为AD=PD ，由（1）知，F 为PC 中点 从而//AP FO ,因此由,AP ADE ⊂面FO ADE ⊄面得//FO 平面AED ，本小题方法较多，关键采分点是证明线面平行的相关要素 考点：线面垂直判定定理，线面平行判定定理12．见解析【解析】 试题分析：（1）连接OE ，OE||PA ，由直线与平面平行的判定定理，可证得PA||平面BDE ；（2）由PO ⊥底面ABCD ，可得PO ⊥BD ；底面为正方形，可得BD ⊥AC ，由直线和平面垂直的判定定理，可得BD ⊥平面PAC ，由面面垂直的判定定理，可证得平面PAC ⊥平面BDE ． 试题解析：（1）连结OE Q O 是正方形的中心O AC \是的中点又Q E 是PC 的中点 \OE 是PCA V 的中位线 \ OE||PA又Q OE Ì 平面BDE,PA Ë 平面BDE \PA||平面BDE;（2）Q PO ⊥底面ABCD ，BD Ì平面ABCD \PO ⊥BD?\BD⊥平面PAC又Q BD⊥AC AC PO O又Q BDÌ平面BDE\平面PAC⊥平面BDE．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．。
空间中的平行关系(基础+复习+习题+练习)
如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，∥，且，在棱上是否存在一 点，使平面∥平面？若存在，求点 的位置；若不存在，请说明理由．
走向高考：
（北京）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中， ，平面，且 ，点是的中点. 略； 求证：∥平面；略.
（山东文）如图，在直四棱柱中， B C D A
已知，． 求证：；设是上一点，试确定 的位置，使平面，并说明理由．
（北京文）如图，在中，，，分别为，的中点，点为线段上的一点，将 沿折起到的位置，使，如图.求证： ∥平面；略.略.
(安徽) 如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，,，，都是 正三角形；
证明直线∥；求棱锥的体积.
（届高三福建师大附中期中文）如图,在直角梯形中,,,.将 沿折起,使 平面平面,得到几何体,如图所示.（Ⅰ）若为的中点，试在线段上找一 点，使 ∥平面，并加以证明；（Ⅱ）略；（Ⅲ）略. A B C D 图2 B A C D 图1
（届高三福建师大附中期中文）在如图所示的多面体中，已知正方形和 直角梯形所在的平面互相垂直，，∥，， 求证：平面；略；略；略.
典例分析：
考点一 线线平行
问题1．(山东) 如图所示，在三棱锥中，平面，，分别是的中点，，
与交于点，与交于点，连接.求证：∥；略.
考点二 线面平行
问题2．( 新课标Ⅱ) 如图，直棱柱
中， 分别是
的中点， ．证明： 平面 ;略．
问题3．(海南高考改编) 如图，在底面是菱形的四棱锥中，，，，
点在上，且，在棱上是否存在一点，使∥平面？证明你的结论．
与此
的
么过该直线的任意一个平
一条直线平行，则该直线 面与已知平面的
与此平面平行.
与该直线
符号语
空间中的平行关系
空间中的平行关系时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共48分)1．设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是() A．m∥β且l1∥α B．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2【答案】 B【解析】易知选项A，C，D推不出α∥β，只有B可推出α∥β，且α∥β不一定推出B，∴B项为α∥β的一个充分而不必要条件，故选B.2．已知m，n表示两条直线，α，β，γ表示平面，下列命题中正确的个数是()①若α∩β＝m，α∩γ＝n且m∥n，则β∥γ；②若m，n相交且都在α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；③若α∩β＝l，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则m∥n.A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】 C【解析】①错，如在三棱柱中，设三个侧面分别为α，β，γ，m，n为两侧棱，侧棱相互平行，但任两侧面都不平行，②正确，由m，n确定的平面与α，β都平行，因此α∥β；③正确，由条件知m ∥l，n∥l，∴m∥n.3．(2011·宁波期末)设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的是() A．x，y，z为直线B．x，y，z为平面C．x，y为直线，z为平面 D．x为直线，y，z为平面【答案】 C【解析】由正方体交于同一顶点的三条直线(或三个平面)知，x，y，z都是直线(或都是平面)时，该命题都是假命题；当x为直线，y，z为平面时，可能有x在平面y内，故D错，因此选C.4．(2011·北京朝阳区期末)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()A．有无数条B．有2条C．有1条D．不存在【答案】 A【解析】∵平面D1EF与平面ADD1A1有公共点D1且不重合，∴两平面有过D1的交线l，在平面ADD1A1内与l平行的任意直线都与平面D1EF平行，这样的直线有无数条．5．(2012·山东潍坊)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是()A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC ．若m ∥n ，m ∥α，则n ∥αD ．若m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α∥β【答案】 D【解析】 对于选项A ，两平面β，γ同垂直于平面α，平面β与平面γ可能平行，也可能相交；对于选项B ，平面α，β可能平行，也可能相交；对于选项C ，直线n 可能与平面α平行，也可能在平面α内；对于选项D ，∵m ∥n ，m ⊥α，∴n ⊥α，又n ⊥β，∴α∥β，故选D.6．(2011·广东罗湖区调研)已知相异直线a ，b 和不重合平面α，β，则a ∥b 的一个充分条件是( )A ．a ∥α，b ∥αB ．a ∥α，b ∥β，α∥βC ．a ⊥α，b ⊥β，α∥βD ．α⊥β，a ⊥α，b ∥β【答案】 C【解析】 a ∥α，b ∥α时，a 与b 可相交可异面也可平行，故A 错；a ∥α，b ∥β，α∥β时，a 与b 可异面，故B 错；由α⊥β，a ⊥α得，a ∥β或a ⊂β，又b ∥β，此时a 与b 可平行也可异面，排除D.⎭⎪⎬⎪⎫ ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αα∥β⇒a ⊥β b ⊥β⇒a ∥b ，故选C. 7．(2011·浙江理，4)下列命题中错误．．的是( ) A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么l ⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β【答案】 D【解析】A选项正确，只需α内的直线平行于α与β的交线即平行于β；B正确，根据面面垂直的判定定理，若α内存在直线垂直于β，则α⊥β；C正确，设α内a⊥γ，β内b⊥γ，α∩β＝l，则a∥b，所以a∥β，根据线面平行的性质定理，所以a∥l，所以l⊥γ.D错误，平面α内可以存在直线平行于交线而不垂直于平面β.8．(2010·湖北文，4)用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.其中真命题的序号是()A．①②B．②③C．①④D．③④【答案】 C【解析】①平行关系的传递性．②举反例：在同一平面γ内，a⊥b，b⊥c，有a∥c.③举反例：如图的长方体中，a∥γ，b∥γ，但a与b相交．④垂直于同一平面的两直线互相平行．故①，④正确．二、填空题(每小题8分，共24分)9．(2012·北京东城区示范校联考)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，M分别是棱AD，DD1，D1A1，A1A，AB的中点，点N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则当N只需满足条件________时，就有MN⊥A1C1；当N只需满足条件________时，就有MN∥平面B1D1C.【答案】点N在EG上点N在EH上【解析】(1)当点N在EG上时，∵AC⊥EM，AC⊥EG，EG∩EM ＝E，∴AC⊥平面GEM，又MN⊂平面GEM，∴AC⊥MN，∵A1C1∥AC，∴A1C1⊥MN.(2)EM∥BD∥B1D1，HE∥A1D∥B1C，EM∩HE＝E，B1D1∩B1C ＝B1，∴平面EMH∥平面B1D1C，过点M与平面B1D1C平行的直线必在平面EMH内，故点N在平面EMH内，又点N在平面EFGH内，∴N在两平面的交线EH上．10．已知点P，直线a，b，c以及平面α，β，给出下列命题：①若a，b与α成等角，则a∥b；②若α∥β，c⊥α，则c⊥β；③若a⊥b，a⊥α，则b∥α；④若α⊥β，a∥α，则a⊥β；⑤若a⊥c，b⊥c，则a∥b或a，b为异面直线．其中错误的命题的序号是________．【答案】 ①③④⑤【解析】 由于a ，b 可以相交，异面或平行，故①错误；一条直线若垂直于两个平行平面中的一个平面，则一定垂直另一个平面．故②为正确命题；③中可能b ⊂α，故是错误命题；④中，a ⊂β或a ∥β或a 与β相交，故为错误命题；⑤中，a 和b 还有一种情况——相交，故也是错误命题．11．考查下列三个命题在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l ，m 为直线，α，β为平面)，则此条件为________．①⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αl ∥m ⇒l ∥α；② ⎭⎪⎬⎪⎫l ∥m m ∥α ⇒l ∥α； ③ ⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥βα⊥β⇒l ∥α. 【答案】 l ⊄α【解析】 通过分析可以看出本题实际上考查的是线面平行的判定定理，缺少的条件是“l 为平面α外的直线”．三、解答题(共28分)12．(14分)(2012·辽宁大连联考)已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是直角三角形，∠C ＝90°，点B 1在底面上射影D 落在BC 上．(1)求证：AC ⊥平面BB 1C 1C ；(2)若AB1⊥BC1，且∠B1BC＝60°，求证：A1C∥平面AB1D.【证明】(1)∵B1D⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴B1D⊥AC，又∵BC⊥AC，B1D∩BC＝D，∴AC⊥平面BB1C1C.∴四边形BB1C1C为菱形，∵∠B1BC＝60°，B1D⊥BC于D，∴D为BC的中点，连结A1B和AB1交于点E，在三角形A1BC中，DE∥A1C，∴A1C∥平面AB1D.13．(14分)(2011·江苏，16)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面P AD.【分析】本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理证明能力．【证明】(1)在△P AD中，∵E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.又∵EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD.所以直线EF∥平面PCD.(2)如图，连结BD.∵AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．∵F是AD的中点，∴BF⊥AD.∵平面P AD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴BF⊥平面P AD.又∵BF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面P AD.。
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空间中的平行关系
直线与平面平行的判定定理： 平面与平面平行的判定定理： 直线与平面平行的性质定理： 平面与平面平行的性质定理：
1.以下说法中正确的个数是（其中a ，b 表示直线， 表示平面α） ( ) ①若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α ②若a ∥α ，b ∥α ，则a ∥b ③若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α ④若a ∥α ，b ∥α，则a 与b 相交 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
2.a ∥α ，b ∥β ，a ∥b ，则α 与β 的位置关系是
（ ）
A.平行
B.相交
C.平行或相交
D.一定垂直
3.如果平面α外有两点A 、B ，它们到平面α的距离都是d ，则直线AB 和平面α的位置关系一定是（ ） A.平行 B.相交 C.平行或相交 D. AB ⊂α
4.当α∥β时，必须满足的条件 （ ） A.平面α内有无数条直线平行于平面β B.平面α与平面β同平行于一条直线
C.平面α内有两条直线平行于平面β
D.平面α内有两条相交直线与β平面平行 5.直线a ∥平面α，点A ∈α，则过点A 且平行于直线a 的直线 （ ） A.只有一条，但不一定在平面α内 B.只有一条，且在平面α内 C.有无数条，但都不在平面α内 D.有无数条，且都在平面α内 6. A 、B 是直线l 外的两点，过A 、B 且和l 平行的平面的个数是 （ ） A.0个 B.1个 C.无数个 D.以上都有可能
7.设α，β是不重合的两个平面，l 和m 是不重合的两条直线，则能得出α∥β的是（ ） A.l ⊂α，m ⊂α，且l ∥β，m ∥β B.l ⊂α，m ⊂β，且l ∥m C. l ⊂α，l ∥m ，且m ∥β D.l ∥α，m ∥β，且l ∥m 8. 如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，M 、N 分别是BC 和A 1B 1的中点. 求证：MN ∥平面AA 1C 1
9.正方体AC 1中，E 、F 、G 分别为B 1C 1、A 1D 1、A 1B 1的中点 求证：平面EBD//平面FGA .
10、已知E 、F 、G 、H 为空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且ＥＨ∥ＦＧ．求证：EH ∥
BD .
H G F
E D B
A
C
2 / 2word.
B
P
图D A
C D
A
B
C
Q
11. 如图所示，已知S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，且SA =SB =SC ，SG 为△SAB 上的高， D 、E 、F 分别是AC 、BC 、SC 的中点，试判断SG 与平面DEF 的位置关系，并给予证明.
12.设P 、Q 是单位正方体AC1的面AA 1D 1D 、面A 1B 1C 1D 1的中心. 如图：（1）证明：PQ ∥平面AA1B1B.
（2）求线段PQ 的长.
练习：
1. 已知P 为△ABC 所在平面外一点，G 1、G 2、G 3分别是△PAB 、△PCB 、△PAC 的重心. （1）求证：平面G 1G 2G 3∥平面ABC ； （2）求S △321G G G ∶S △ABC .
2.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是BC 、CC 1、C 1D 1、A 1A 的中点.求证： （1）BF ∥HD 1；
（2）EG ∥平面BB 1D 1D ；
（3）平面BDF ∥平面B 1D 1H .、 ，
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