1996年全国高考数学试题
1996年全国Ⅱ高考数学试题(理)
1996年普通高等数学招生全国统一考试（全国Ⅱ）理科数学参考公式：三角函数的积化和差公式：[]1sin cos sin()sin()2αβαβαβ=++- []1cos sin sin()sin()2αβαβαβ=+--[]1cos cos cos()cos()2αβαβαβ=++-[]1sin sin cos()cos()2αβαβαβ=-+--正棱台、圆台的侧面积公式1()2S c c l ='+台侧 其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长．球的体积公式：343V r π=球，其中R 表示球的半径．第Ⅰ卷（选择题共65分）一、选择题：本大题共15小题，第1－10题第小题4分，第11－15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集I N =，集合{}|2,A x x n n N ==∈，{}|4,B x x n n N ==∈，则A ．I AB =B ．I A B =C ．I A B =D ．I A B =2．当1a >时，在同一坐标系中，函数x y a -=与logy x =的图像是3．若22sin cos x x >，则x 的取值范围是A ．322,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭B ．522,44x k x k k Z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭C ．22,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭D ．322,44x k x k k Z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭4．复数4A．1+ B．1-+ C．1- D．1--5．如果直线,l m 与平面,,αβγ满足：l βγ= ，l ∥α，m α⊂和m γ⊥，那么必有A ．a γ⊥且l m ⊥B ．αγ⊥且m ∥βC ．m ∥β且l m ⊥D ．α∥β且αγ⊥ 6．当22x ππ-≤≤时，函数()sin f x x x =+的A ．最大值是1，最小值是－1B ．最大值是1，最小值是12-C ．最大值是2，最小值是－2D ．最大值是2，最小值是－17．椭圆33cos ,15sin ,x y ϕϕ=+⎧⎨=-+⎩的两个焦点的坐标是A ．(3,5)-，(3,3)--B ．(3,3)，(3,5)-C ．(1,1)，(7,1)-D ．(7,1)-，(1,1)--8．若02πα<<，则arcsin[cos()]arccos[sin()]2παπα+++等于A ．2πB ．2π-C ．22πα- D ．22πα--9．将边长为a 的正方形A B C D 沿对角线A C 折起，使得B D a =，则三棱锥D A B C -的体积为A ．36aB ．312aC12D．31210．等比数列{}n a 的首项11a =-，前n 项和为n S ，若1053132S S =，则lim n n S →∞等于A ．23B ．23-C ．2D ．2-11．椭圆的极坐标方程为32cos ρθ=-，则它的短轴上的两个顶点的极坐标是A ．(3,0)，(1,)πB．)2π，3)2πC ．(2,)3π，5(2,)3π D．arctan2，2arctan2π-12．等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为A ．130B ．170C ．210D ．26013．设双曲线22221(0)x y a b ab-=<<的半焦距为c ，直线l 过(,0)a ，(0,)b 两点，已知原点到直线l4，则双曲线的离心率为A ．2 B． CD．314．母线长为1，的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角ϕ等于A．3B．3C． D315．设()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数，(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，则(7.5)f 等于A ．0.5B ．0.5-C ．1.5D ． 1.5-第Ⅱ卷（非选择题共85分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．16．已知圆22670x y x +-+=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切，则p ＝ ． 17．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有 个（用数字作答）．18．tan 20tan 4020tan 40++的值是 ．19．如图，正方形A B C D 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60°的二面角，则异面直线A D 与B F 所成角的余弦值是 ．ABDCFE三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．20．（本小题满分10分）解不等式1log (1)1a x ->．21．（本小题满分11分）已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：2A C B +=，11cos cos cos ACB+=-，求cos2A C -的值．22．（本小题满分12分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1E BB ∈，截面1A EC ⊥侧面1AC ． （1）求证：1BE EB =；（2）若111AA A B =，求平面1A EC 与平面111A B C 所成二面角（锐角）的度数．注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为（1）的完整证明，交解答（2）．（右下图）（1）证明：在截面1A EC 内，过E 作1EG A C ⊥，G 是垂足． ①∵∴E G ⊥侧面1AC ，取A C 的中点F ，连结B F ，F G ，由A B B C =得BF AC ⊥， ②∵∴B F ⊥侧面1AC ，得B F ∥F G ，B F 、F G 确定一个平面，交侧面1AC 于F G ． ③∵ ∴B E ∥F G ，四边形B E G F 是平行四边形，B E F G =， ④∵ ∴F G ∥1A A ，△1AA C ∽△F G C ，⑤∵ ∴111122F G A A B B ==，即112B E B B =，故1BE EB =23．（本小题满分12分）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22％，人A 1ACB1C 1EA 1 A CB B 1C 1EF G均粮食占有量比现在提高10％．如果人口年增长率为1％，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？ （粮食单产＝总产量耕地面积，人均粮食占有量＝总产量总人口数24．（本小题满分12分）已知1l 、2l 是过点(0)P 的两条互相垂直的直线，且1l 、2l 与双曲线221y x -=各有两个交点，分别为1A 、1B 和2A 、2B ． （1）求1l 的斜率1k 的取值范围；（2）若1122|||A B A B =，求1l 、2l 的方程．25．（本小题满分12分）已知a 、b 、c 是实数，函数2()f x ax bx c =++，()g x ax b =+，当11x -≤≤时，|()|1f x ≤．（1）证明：||1c ≤；（2）证明：当11x -≤≤时，|()|2g x ≤；（3）设0a >，当11x -≤≤时，()g x 的最大值为2，求()f x ．数学试题参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力13．14．15．16．三、解答题 17．1996年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准说明：一．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－(15)题每小题5分．满分65分．(1)C (2)A (3)D (4)B (5)A (6)D (7)B (8)A (9)D (10)B (11)C (12)C (13)A (14)D (15)B二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．（16）2 （17）32（18）3（19）42三．解答题(20)本小题考查对数函数性质，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力．满分11分．解：(Ⅰ)当a ＞1时，原不等式等价于不等式组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-.11,011a x x——2分由此得xa 11>-．因为1－a <0，所以x <0，∴.011<<-x a——5分 (Ⅱ)当0<a <1⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-.11,011a x x由①得，x >1或x <0，由②得，,110a x -<<∴ax -<<111 ——10分 综上，当1>a 时，不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-011x a x；当10<<a 时，不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<a x x 111 ——11分(21)本小题考查三角函数基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力．满分12分． 解法一：由题设条件知B =60°，A +C =120°． ——2分 ∵,2260cos 2-=-∴22cos 1cos 1-=+CA将上式化为C A C A cos cos 22cos cos -=+ 利用和差化积及积化和差公式，上式可化为)]cos()[cos(22cos2cos2C A C A C A C A -++-=-+ ——6分将21)cos(,2160cos 2cos-=+==+C A C A代入上式得)cos(222)2cos(C A C A --=- 将1)2(cos 2)cos(2--=-C A C A 代入上式并整理得 023)2cos(2)2(cos 242=--+-CA C A ——9分,0)32cos22)(22cos2(=+---C A C A∵,032cos22≠+-C A ∴.022cos2=--C A 从而得.222cos=-C A ——12分解法二：由题设条件知B =60°，A +C =120°． 设αα2,2=--=C A C A 则，可得α+= 60A ，α-=60C——3分所以)60cos(1)60cos(1cos 1cos 1αα-++=+CAααααs23c211s23c211++-=ααα22sin 43cos 41cos -=43cos cos 2-=αα ——7分依题设条件有Bcos 243cos cos 2-=-αα，∵21cos =B ∴2243cos cos 2-=-αα整理得,023cos 2cos 242=-+αα——9分,0)3cos 22)(2cos 2(=+-αα∵03cos 22≠+α，∴02cos 2=-α．从而得222cos=-C A ． ——12分(22)本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力及运算能力．满分12分．(Ⅰ) ①∵面A 1EC ⊥侧面AC 1， ——2分②∵面ABC ⊥侧面AC 1， ——3分 ③∵BE ∥侧面AC 1， ——4分 ④∵BE ∥AA 1， ——5分 ⑤∵AF =FC ， ——6分(Ⅱ)解：分别延长CE 、C 1B 1交于点D ，连结A 1D ．∵1EB ∥11112121,CC BB EB CC ==，∴,21111111B A C B DC DB ===∵∠B 1A 1C 1=∠B 1 C 1A 1=60°，∠DA 1B 1=∠A 1DB 1=21（180°－∠D B 1A 1）=30°，∴∠DA 1C 1=∠DA 1B 1+∠B 1A 1C 1=90°，即1DA ⊥11C A ——9分∵CC 1⊥面A 1C 1B 1，即A 1C 1是A 1C 在平面A 1C 1D 上的射影，根据三垂线定理得DA 1⊥A 1C ， 所以∠CA 1C 1是所求二面角的平面角． ——11分∵CC 1=AA 1=A 1B 1=A 1C 1，∠A 1C 1C =90°，∴∠CA 1C 1=45°，即所求二面角为45° ——12分 (23)本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力，指数函数和二项式定理的应用，近似计算的方法和能力．满分10分．解：设耕地平均每年至多只能减少x 公顷，又设该地区现有人口为P 人，粮食单产为M 吨/公顷．依题意得不等式%)101(10%)11()1010(%)221(4104+⨯⨯≥+⨯-⨯+⨯PM P x M ——5分 化简得]22.1)01.01(1.11[10103+⨯-⨯≤x——7分∵]22.1)01.01(1.11[10103+⨯-⨯)]01.001.01(22.11.11[1022101103+⨯+⨯+⨯-⨯=C C]1045.122.11.11[103⨯-⨯≈1.4≈ —— 9分∴x ≤4（公顷）．答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷． ——10分 (24)本小题主要考查直线与双曲线的性质，解析几何的基本思想，以及综合运用知识的能力．满分12分．解：（I ）依题设，l 1、l 2的斜率都存在，因为l 1过点P )0,2(-且与双曲线有两个交点，故方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-≠+=1)0)(2(2211x y k x k y ① ——1分有两个不同的解．在方程组①中消去y ，整理得01222)1(2121221=-++-k x k x k ②若0121=-k ，则方程组①只有一个解，即l 1与双曲线只有一个交点，与题设矛盾，故0121≠-k ，即11≠k ，方程②的判别式为).13(4)12)(1(4)22(2121212211-=---=∆k k k k设2l 的斜率为2k ，因为2l 过点)0,2(-P 且与双曲线有两个交点，故方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-≠+=.1),0)(2(2222x y k x k y ③ 有两个不同的解．在方程组③中消去y ，整理得01222)1(2222222=-++-k x k x k ④ 同理有)13(4,0122222-=∆≠-k k又因为l 1⊥l 2，所以有k 1·k 2=－1．——4分于是，l 1、l 2与双曲线各有两个交点，等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-=⋅>->-.1,1,013,0131212221k k k k k 解得⎪⎩⎪⎨⎧≠<<.1,33311k k ——6分∴)3,1()1,33()33,1()1,3(1 ----∈k ——7分(Ⅱ)设),(),,(221111y x B y x A 由方程②知112,122212121212121--=⋅--=+k k x x k k x x∴│A 1B 1│2=(x 1－x 2)2+(y 1－y 2)222121))(1(x x k -+=2212121)1()13)(1(4--+=kk k ⑤ ——9分同理，由方程④可求得222B A ，整理得2212121222)1()3)(1(4k k k B A --+=⑥由22115B A B A =，得2222115B A B A =将⑤、⑥代入上式得22121212212121)1()3)(1(45)1()13)(1(4k k k kk k --+⨯=--+解得21±=k取21=k 时，)2(22:),2(2:21+-=+=x y l x y l ； 取21-=k 时，)2(22:),2(2:21+=+-=x y l x y l ．——12分(25)本小题主要考查函数的性质、含有绝对值的不等式的性质，以及综合运用数学知识分析问题与解决问题的能力．满分12分．(Ⅰ)证明：由条件当－1≤x ≤1时，│f (x )│≤1，取x =0得│c │=│f (0)│≤1，即│c │≤1． ——2分(Ⅱ)证法一：当a >0时，g (x )=ax +b 在[－1，1]上是增函数，∴g (－1)≤g (x )≤g (1)， ∵│f (x )│≤1 (－1≤x ≤1)，│c │≤1，∴g (1)=a +b =f (1)－c ≤│f (1)│+│c │≤2， g (－1)=－a +b =－f (－1)+c ≥－(│f (－1)│+│c │)≥－2， 由此得│g (x )│≤2; ——5分 当a <0时，g (x )=ax +b 在[－1，1]上是减函数，∴g (－1)≥g (x )≥g (1)， ∵│f (x )│≤1 (－1≤x ≤1)，│c │≤1，∴g (－1)=－a +b =－f (－1)+c ≤│f (－1)│+│c │≤2， g (1)=a +b =f (1)－c ≥－(│f (1)│+│c │)≥－2，由此得│g (x )│≤2; ——7分 当a =0时，g (x )=b ，f (x )=bx +c ．∵－1≤x ≤1，∴│g (x )│=│f (1)－c │≤│f (1)│+│c │≤2．综上得│g (x )│≤2． ——8分证法二：由4)1()1(22--+=x x x ，可得b ax x g +=)()2121(])21()21[(22--++--+=x x b x x a])21()21([])21()21([22c x b x a c x b x a +-+--++++=),21()21(--+=x f x f ——6分当－1≤x ≤1时，有,0211,1210≤-≤-≤+≤x x根据含绝对值的不等式的性质，得2)21()21()21()21(≤-++≤--+x f x f x f x f即│g (x )│≤2． ——8分(Ⅲ)因为a >0，g (x )在[－1，1]上是增函数，当x =1时取得最大值2，即g (1)=a +b =f (1)－f (0)=2． ①∵－1≤f (0)=f (1)－2≤1－2=－1，∴c =f (0)=－1． ——10分 因为当－1≤x ≤1时，f (x )≥－1，即f (x )≥f (0)，根据二次函数的性质，直线x =0为f (x )的图像的对称轴，由此得0,02==-b ab 即由① 得a =2．所以 f (x )=2x 2－1． ——12分。
(详细解析)1996年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(理)
1996年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共65分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．一．选择题：本大题共15小题，第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知全集I N =，集合{}{}2,,4,A x x n n N B x x n n N ==∈==∈||，则 A ．B A I = B ．B A I = C ．B A I = D ．B A I = 【答案】C【解析】由于B A Þ，所以AB I =．2．当1a >时，在同一坐标系中，函数xy a -=与log a y x =的图像【答案】A【解析】当1a >时，函数xy a -=是减函数，且过点(0,1)；而函数log a y x =为增函数，且过点(1,0)．3．若22sin cos x x >，则x 的取值范围是 A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,412432ππππ B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,452412ππππ C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,4141ππππ D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,4341ππππ 【答案】D【解析】2221sin cos sin sin 22x x x x >⇒>⇒>或sin 2x <-，解得24k x ππ+< 32()4k k Z ππ<+∈或322()44k x k k Z ππππ-<<-∈，即(21)(21)4k x k πππ-+<<- 3()4k Z π+∈，所以x 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,4341ππππ．4．复数54)31()22(i i -+等于A ．i 31+B ．i 31+-C ．i 31-D ．i 31--【答案】B44425(2)12()i ω===-+-．5．如果直线,l m 与平面,,αβγ满足：,//,l l m βγαα=⊂和m γ⊥，那么必有A ．αγ⊥且l m ⊥B ．αγ⊥且//m βC ．//m β且l m ⊥D ．//αβ且αγ⊥ 【答案】A 【解析】略． 6．当22x ππ-≤≤时，函数()sin f x x x =+的A ．最大值是1，最小值是1-B ．最大值是1，最小值是12-C ．最大值是2，最小值是2-D ．最大值是2，最小值是1- 【答案】D【解析】因为()sin 2sin()3f x x x x π==+，由已知5636x πππ-≤+≤．故当 32x ππ+=，即6x π=时，()f x 有最大值是2；当36x ππ+=-，即2x π=-时，()f x 有最小值是1-． 7．椭圆⎩⎨⎧+-=+=ϕϕsin 51,cos 33y x 的两个焦点坐标是A ．(3,5),(3,3)---B ．(3,3),(3,5)-C ．(1,1),(7,1)-D ．(7,1),(1,1)--- 【答案】B【解析】消去参数可得直角坐标方程22(1)(3)1259y x +-+=，故焦点坐标是(3,3),(3,5)-．8．若02πα<<，则arcsin[cos()]arccos[sin()]2παπα+++等于A ．2πB ．2π-C ．22πα-D ．22πα--【答案】A【解析】解法一：由于已知sin 0,cos()02παα>+<，原式arcsin(sin )arccos(sin )arccos(sin )αααπααπ=-+-=-+-=-+arccos[cos()]()222πππααπα--=-+--=．解法二：当1x ≤时arcsin arccos 2x x π+=，而1sin 0α-<-<，∴原式arcsin(sin )arccos(sin )2παα=-+-=．9．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD a =，则三棱锥D ABC -的体积为A ．63aB ．123a C ．3123a D ．3122a 【答案】D【解析】取AC 的中点O ，连接,BO DO ，如图所示．,ABC ADC ∆∆均为等腰直角三角形，22AC BO DO ===， ∴2BOD π∠=，则DO ⊥面ABC ，DO 就是三棱锥D ABC -的高，所以231132212D ABC V a -=⋅⋅=．10．等比数列{}n a 的首项11a =-，前n 项和为n S ，若3231510=S S 则n n S ∞→lim 等于 A ．32 B ．23- C ．2 D ．2- 【答案】B【解析】显然1q ≠，由3231510=S S 得10151(1)31(1)32a q a q -=-，则105323110q q --=，解得 5132q =-，得12q =-，所以12lim 13n n a S q →∞==--．11．椭圆的极坐标方程为θρcos 23-=，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是A ．(3,0),(1,)π B．3)22ππ C ．5(2,),(2,)33ππD ．（2arctg )22π- 【答案】C【解析】将极坐标方程为θρcos 23-=化为直角坐标方程22(1)143x y -+=，在短轴上的两个顶点的直角坐标是，所以极坐标是5(2,),(2,)33ππ．12．等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为A ．130B ．170C ．210D ．260 【答案】C【解析】由已知得230,100m m S S ==，则232,,m m m m m S S S S S --成等差数列，所以323()210m m m S S S =-=．13．设双曲线)0(12222b a by a x <<=-的半焦距为c ，直线l 过(,0),(0,)a b 两点．已知原点到直线l 的距离为c 43，则双曲线的离心率为 A ．2 B ．3 C ．2 D ．332 【答案】A【解析】直线l 的方程为0bx ay ab +-=，原点到直线l 4c =，则22222316a b c a b =+，即22222()316a c a c c -=，解得2e =或e =0a b <<，所以e ==>，所以3e =不合题意．14．母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角ϕ等于 A ．π322 B ．π332 C ．π2 D ．π362 【答案】D15．设()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数，(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，则(7.5)f 等于A ．0.5B ．0.5-C ．1.5D ． 1.5- 【答案】B【解析】(7.5)(5.52)(5.5)[(3.5)](3.5)(1.5)[(0.5)]f f f f f f f =+=-=--==-=---(0.5)0.5f =-=-．第Ⅱ卷（非选择题共85分）二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．16．已知圆07622=--+x y x 与抛物线)0(22>=p px y 的准线相切，则p = ． 【答案】2【解析】圆的标准方程为22(3)16x y -+=，圆心和半径分别为(3,0),4，所以4312p=-=，则2p =．17．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有 个．（用数字作答） 【答案】32【解析】从7个点中取3个点有37C 种取法，3个点共线的有3种，三角形共有37332C -=个．18．tg20tg403tg20tg40++的值是 ． 【答案】3【解析】∵tg20tg40tg(2040)31tg20tg40++==-，∴tg20tg403(1-tg20tg40)+=，tg20tg403tg20tg403++=．19．如图，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60的二面角，则异面直线AD与BF 所成角的余弦值是 ．【答案】42 【解析】由于//AD BC ，所以CBF ∠即为异面直线AD 与BF 所成角，设正方形边长为a ，在CBF ∆中，,,BF BC a FC =====，222cos 24BF BC FC CBF BF BC +-∠==⋅．三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20．（本小题满分11分）解不等式1)11(log >-xa ．【解】本小题考查对数函数性质，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力．满分11分．（Ⅰ）当1>a 时，原不等式等价于不等式组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-.11,011a xx——2分由此得xa 11>-． 因为10a -<，所以0x <，∴101x a<<-． ——5分 （Ⅱ）当01a <<时，原不等式等价于不等式组：110,11.xa x⎧->⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩——7分由①得，1x >或0x <， 由②得，101x a <<-，∴ax -<<111． ——10分 综上，当1>a 时，不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-011x a x；当10<<a 时，不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<a x x 111． ——11分 21．（本小题满分12分）已知ABC ∆的三个内角,,A B C 满足：BC A B C A cos 2cos 1cos 1,2-=+=+，求 2cosCA -的值． 【解】本小题考查三角函数基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力．满分12分．解法一：由题设条件知60,120B A C =+=． ——2分∵cos 60=-22cos 1cos 1-=+CA ．将上式化为C A C A cos cos 22cos cos -=+． 利用和差化积及积化和差公式，上式可化为)]cos()[cos(22cos 2cos2C A C A CA C A -++-=-+． ——6分 将21)cos(,2160cos 2cos-=+==+C A C A 代入上式得cos)22A C A C -=-． 将1)2(cos 2)cos(2--=-CA C A 代入上式并整理得 023)2cos(2)2(cos 242=--+-CA C A ——9分(2cos3)022A C A C ---+=，∵302A C -+≠，∴2cos 02A C-=．从而得cos2A C -=． ——12分 解法二：由题设条件知60,120B A C =+=．设2A Cα-=，则2A C α-=，可得60,60A C αα=+=-， ——3分 所以)60cos(1)60cos(1cos 1cos 1αα-++=+ C A ααααsin 23cos 211sin 23cos 211++-=ααα22sin 43cos 41cos -=43cos cos 2-=αα． ——7分 依题设条件有Bcos 243cos cos 2-=-αα， ∵21cos =B ，∴2243cos cos 2-=-αα．整理得22cos 0,αα+-= ——9分(2cos 3)0αα-+=，∵03cos 22≠+α，∴02cos 2=-α．从而得222cos=-C A ． ——12分22．（本小题满分12分）如图1，在正三棱柱111ABC A B C -中，1E BB ∈，截面1A EC ⊥侧面1AC ． （Ⅰ）求证：1BE EB =；（Ⅱ）若111AA A B =；求平面1A EC 与平面111A B C 所成二面角（锐角）的度数． 注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为（Ⅰ）的完整证明，并解答（Ⅱ）． （Ⅰ）证明：（如图2）在截面1A EC 内，过E 作1EG AC ⊥，G 是垂足．① ∵ ，∴EG ⊥侧面1AC ；取AC 的中点F ，连结,BF FG ，由AB BC = 得BF AC ⊥．② ∵ ，∴BF ⊥侧面1AC ；得//,,BF EG BF EG 确定一个平面，交侧面1AC 于FG ．③ ∵ ，∴//BE FG ，四边形BEGF 是平行四边形，BE FG =． ④ ∵ ，∴11//,FG AA AAC FGC ∆∆，⑤ ∵ ，∴112121BB AA FG ==，即112BE BB =，故1BE EB =． （Ⅱ）解：【解】本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力及运算能力．满分12分．（Ⅰ）①面1A EC ⊥侧面1AC ， ——2分②面ABC ⊥侧面1AC ， ——3分 ③//BE 侧面1AC ， ——4分 ④1//BE AA ， ——5分 ⑤//AF FC ， ——6分 （Ⅱ）分别延长11,CE C B 交于点D ，连结1A D ．∵1111111//,22EB CC EB BB CC ==，∴,21111111B A C B DC DB ===∵11111160B AC C B A ∠=∠=︒，1111111(180)302DA B A DB DB A ∠=∠=︒-∠=︒，∴111111190DAC DA B B AC ∠=∠+∠=︒， 即111DA AC ⊥． ——9分∵1CC ⊥面111AC B ，即11A C 是1A C 在平面11AC D 上的射影， 根据三垂线定理得11DA A C ⊥，所以11CAC ∠是所求二面角的平面角． ——11分 ∵11111111,90CC AA A B AC AC C ===∠=︒，∴1145CA C ∠=，即所求二面角为45． ——12分 23．（本小题满分10分）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）?（粮食单产=耕地面积总产量，人均粮食占有量=总人口数总产量）【解】本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力，指数函数和二项式定理的应用，近似计算的方法和能力．满分10分．设耕地平均每年至多只能减少x 公顷，又设该地区现有人口为P 人，粮食单产为M 吨/公顷．依题意得不等式%)101(10%)11()1010(%)221(4104+⨯⨯≥+⨯-⨯+⨯P M P x M ．——5分 化简得]22.1)01.01(1.11[10103+⨯-⨯≤x ． ——7分 ∵103312210101.1(10.01) 1.110[1]10[1(10.010.01)]1.22 1.22C C ⨯+⨯-=⨯-⨯+⨯+⨯+3 1.110[1 1.1045] 4.11.22≈⨯-⨯≈． —— 9分 ∴4x ≤（公顷）．答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷． ——10分 24．（本小题满分12分）已知12,l l 是过点)0,2(-P 的两条互相垂直的直线，且12,l l 与双曲线122=-x y 各有两个交点，分别为11,A B 和22,A B ．（Ⅰ）求1l 的斜率1k 的取值范围；（Ⅱ）若1122A B B =，求12,l l 的方程．【解】本小题主要考查直线与双曲线的性质，解析几何的基本思想，以及综合运用知识的能力．满分12分．（I ）依题设，12,l l 的斜率都存在，因为1l 过点)0,2(-P 且与双曲线有两个交点，故方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-≠+=1)0)(2(2211x y k x k y ① ——1分 有两个不同的解．在方程组①中消去y ，整理得01222)1(2121221=-++-k x k x k ． ②若0121=-k ，则方程组①只有一个解，即1l 与双曲线只有一个交点，与题设矛盾，故0121≠-k ，即11≠k ，方程②的判别式为2222211111)4(1)(21)4(31)k k k ∆=---=-．设2l 的斜率为2k ，因为2l 过点)0,2(-P 且与双曲线有两个交点，故方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-≠+=.1),0)(2(2222x y k x k y ③ 有两个不同的解．在方程组③中消去y ，整理得01222)1(2222222=-++-k x k x k ． ④同理有)13(4,0122222-=∆≠-k k ．又因为12l l ⊥，所以有121l l ⋅=-． ——4分于是，12,l l 与双曲线各有两个交点，等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-=⋅>->-.1,1,013,0131212221k k k k k解得⎪⎩⎪⎨⎧≠<<.1,33311k k——6分∴)3,1()1,33()33,1()1,3(1 ----∈k ． ——7分 （Ⅱ）设),(),,(221111y x B y x A ．由方程②知112,122212121212121--=⋅--=+k k x x k k x x ． ∴22222111212112()()(1)()A B x x y y k x x =-+-=+-22112214(1)(31)(1)k k k +-=-． ⑤ ——9分 同理，由方程④可求得222B A ，整理得2212121222)1()3)(1(4k k k B A --+= ⑥ 由22115B A B A =，得2211225A B A B =将⑤、⑥代入上式得22121212212121)1()3)(1(45)1()13)(1(4k k k k k k --+⨯=--+，解得21±=k 取21=k 时，)2(22:),2(2:21+-=+=x y l x y l ； 取21-=k 时，)2(22:),2(2:21+=+-=x y l x y l ． ——12分25．（本小题满分12分）已知,,a b c 是实数，函数2(),()f x ax bx c g x ax b =++=+，当11x -≤≤时，()1f x ≤． （Ⅰ）证明：1c ≤；（Ⅱ）证明：当11x -≤≤时，()2g x ≤；（Ⅲ）设0a >，当11x -≤≤时，()g x 的最大值为2，求()f x ．【解】本小题主要考查函数的性质、含有绝对值的不等式的性质，以及综合运用数学知识分析问题与解决问题的能力．满分12分．（Ⅰ）证明：由条件当11x -≤≤时，()1f x ≤，取0x =得(0)1c f =≤，即1c ≤．——2分（Ⅱ）证法一：当0a >时，()g x ax b =+在[1,1]-上是增函数，∴(1)(0)(1)g g g -≤≤，∵()1(11),1f x x c ≤-≤≤≤，∴(1)(1)(1)2g a b f c f c =+=-≤+≤，(1)(1)((1))2g a b f c f c -=-+=--+≥--+≥-，由此得()2g x ≤． ——5分 当0a <时，()g x ax b =+在[1,1]-上是减函数，∴(1)(0)(1)g g g -≥≥， ∵()1(11),1f x x c ≤-≤≤≤，∴(1)(1)(1)2g a b f c f c -=-+=--+≤-+≤，(1)(1)((1))2g a b f c f c =+=-≥-+≥-，由此得()2g x ≤； ——7分当0a =时，(),()g x b f x bx c ==+．∵11x -≤≤，∴()(1)(1)2g x f c f c =-≤+≤．综上得()2g x ≤． ——8分证法二：由4)1()1(22--+=x x x ，可得221111()[()()]()2222x x x x g x ax b a b +-+-=+=-+- ])21()21([])21()21([22c x b x a c x b x a +-+--++++= 11()()22x x f f +-=-， ——6分当11x -≤≤时，有,0211,1210≤-≤-≤+≤x x 根据含绝对值的不等式的性质，得2)21()21()21()21(≤-++≤--+x f x f x f x f ，即()2g x ≤． ——8分 （Ⅲ）因为0a >，()g x 在[1,1]-上是增函数，当1x =时取得最大值2，即(1)(1)(0)2g a b f f =+=-=． ①∵1(0)(1)2121f f -≤=-≤-=-，∴(0)1c f ==-． ——10分 因为当11x -≤≤时，()1f x ≥-，即()(0)f x f ≥，根据二次函数的性质，直线0x =为()f x 的图像的对称轴，由此得02ba-=，即0b =．由①得2a =．所以 2()21f x x =-． ——12分。
高考数学 正方体是多面体的题根知识分析
题根研究正方体为多面体之根一、正方体高考十年十年来，立体几何的考题一般呈“一小一大”的形式.分数约占全卷总分的八分之一至七分之一. 立几题的难度一般在0.55左右，属中档考题，是广大考生“上线竞争”时势在必夺的“成败线”或“生死线”.十年的立几高考，考的都是多面体. 其中： （1）直接考正方体的题目占了三分之一； （2）间接考正方体的题目也占了三分之一.因此有人说，十年高考，立体几何部分，一直在围绕着正方体出题.【考题1】（正方体与其外接球）（1996年）正方体的全面积为a 2，则其外接球的表面积为（B ）A.3 2a πB.22a π C.2πa 2D.3πa 2【解析】外接球的表面积，比起内接正方体的全面积来，自然要大一些，但绝不能是它的（C ）约6倍或（D ）约9倍，否定（C ），（D ）；也不可能与其近似相等，否定（A ），正确答案只能是（B ）.【考题2】（正方体中的线面关系）（1997年）如图，在正方体ABCD- A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点．（1）证明AD ⊥D 1F ；（2）求AE 与D 1F 所成的角； （3）证明面AED ⊥面A 1FD 1；（4）设AA 1=2，求三棱锥F -A 1ED 1的体积【说明】 小问题很多，但都不难. 熟悉正方体各棱、各侧面间位置关系的考生，都能迅速作答. 如解答（1），只要知道棱AD 与后侧面垂直 就够了.【考题3】（正方体的侧面展开图）（2001年）右图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM 与ED 平行；②与BE 是异面直线；③与BM 成60°角；④DM 与 BN 垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是（A）①②③（B）②④（C）③④（D）②③④【解析】考查空间想象能力. 如果能从展开图（右上）想到立体图（下），则能立即判定命题①、②为假，而命题③、④为真，答案是C.【考题4】（正方体中的垂直面）（2002年）如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直. 点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（）（1）求MN的长；（2）当a为何值时，MN的长最小；（3）当MN的长最小时，求面MNA与面MNB所成二面角α的大小.【解析】【考题5】（正方体中主要线段的关系）（2002年）在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是【解析】射影法：作AB在CD所在平面上的射影，由三垂线定理知其正确答案为A.平移法：可迅速排除(B)，(C)，(D)，故选（A）.【考题6】（正方体与正八面体）（2003年） 棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为A.33aB.43aC.63aD.123a【解析】将正八面体一分为二，得2个正四棱锥，正四棱锥的底面积为正方形面积的21，再乘31得61. 答案选C.【考题7】（正方体中的异面直线）（2004年）如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1、AD 的中点，那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于A.510 B.515 C.54 D.32【解析】【考题8】（正方体中的线线角）（2005年）如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是A.arccos 515B.4 πC.arccos 510D.2π【考题9】（正方体中的射影问题）（2006年）如图，E 、F 分别为正方体的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的射影可能是_______．(要求：把可能的图的序号都填上)【考题10】（正方体中的三角形）（2006年）在正方体上任选3个顶点连三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角青工的概率为 A.71 B.72 C.73 D.74【解析】在正方体上任选3个顶点连成三角形可得38C 个三角形，要得直角非等腰三角形，则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线)，共有24个，得38C 24，所以选C. 二、全国热炒正方体2006年的各地数学考卷中，直涉正方体的考题有13个，隐涉正方体的考题还有更多.其中，某某卷“一大一小”的立几考题，都是考的正方体.某某卷登峰造极，“一小一大”的两个立几考题，都是正方体中的难题. 其中，第18题的第2问还是个开放题目.【考题1】2006年某某卷第13题——正方体的一“角”在三棱锥O —ABC 中，三条棱OA 、OB 、OC 两两互相垂直，且OA =OB =OC ，M 是AB 边的中点，则OM 与平面ABC 所成角的大小是（用反三角函数表示）.【考题2】2006年某某卷第19题——两正方体的“并” 如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、P 分别是BC 、A 1D 1的中点，M 、N 分别是AE 、CD 1的中点，AD =AA 1=a ，AB =2a .（1）求证：MN ∥面ADD 1A 1； （2）求二面角P —AE —D 的大小； （3）求三棱锥P —DEN 的体积.【考题3】（2006年某某卷第18题）如图，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是侧棱CC 1上的一点，CP =m .（Ⅰ）试确定m ，使得直线AP 与平面BDD 1B 1所成角的正切值为3；（Ⅱ）在线段A 1C 1上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ，D 1Q 在平面APD 1上的射影垂直于AP .并证明你的结论.【分析】熟悉正方体对角面和对角线的考生，对第(Ⅰ)问，可心算出结果为m =1/3；对第(Ⅱ)问，可猜出这个Q 点在O 1点.可是由于对正方体熟悉不多，因此第（Ⅰ）小题成了大题，第(Ⅱ)小题成了大难题.【考题4】（2006年某某卷第16题）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A 在平面，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则P 到平面的距离可能是：①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7以上结论正确的为______________.（写出所有正确结论的编号）三、正四面体与正方体从“正方体高考十年”和“全国热炒正方体”中，我们看到正方体在立体几何中的特殊地位. 在实践中，正方体是最常见的多面体；在理论上，所有的多面体都可看作是由正方体演变而来.我们认定了正方体是多面体的“根基”. 我们在思考： （1）正方体如何演变出正四面体？ （2）正方体如何演变出正八面体？ （3）正方体如何演变出正三棱锥？ （4）正方体如何演变出斜三棱锥？【考题1】（正四面体化作正方体解）四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A.3πB.4πC.3π3D.6π【说明】本题如果就正四面体解正四面体，则问题就不是一个小题目了，而是有相当计算量的大题. 此时的解法也就沦为拙解.【拙解】正四面体棱长为⇒2底面ABC 是边长为2的正三角形△ABC 的高线BD =23·2=26（斜高VD =26）⇒△ABC 的边心距HD =31·26=⇒66正四面体V —ABC 的高 .332)66()26(2222=-=-=HD VD VH 正四面体外接球的半径为高的43，即R =43·.23332= 故其外接球的表面积为3π. 答案是A.【联想】1、2、3的关系正四面体的棱长为2，这个正四面体岂不是由棱长为1的 正方体的6条“面对角线”围成？为此，在棱长为1的正方体B —D 1中，（1）过同一顶点B 作3条面对角线BA 1、BC 1、BD ； （2）将顶点A 1，C 1，D 依次首尾连结.则三棱锥B —A 1C 1D 是棱长为2的正四面体.于是正四面体问题可化归为对应的正方体解决.【妙解】 从正方体中变出正四面体以2长为面对角线，可得边长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，这个正方体的体对角线长为3，则其外接球的半径为23，则其外接球的表面积为S =4πR 2=4π (23)2＝3π 以2为棱长的正四方体B —A 1C 1D 以1为棱长的正方体有共同的外接球，故其外接球的表面积也为S =3π.【寻根】 正方体割出三棱锥在正方体中割出一个内接正四面体后，还“余下”4个正三棱锥. 每个正三棱锥的体积均为1/6，故内接正四面体的体积为1/3 . 这5个四面体都与正方体“内接”而“共球”.事实上，正方体的内接四面体（即三棱锥）共有12C 48-=58个.至此可以想通，正方体为何成为多面体的题根.四、正方体成为十年大难题按理说，立体几何考题属中档考题，难度值追求在0.4到0.7之间. 所以，十年来立几考题——哪怕是解答题也没有出现在压轴题中.从题序上看，立几大题在6个大题的中间部分，立几小题也安排在小题的中间部分.然而，不知是因为是考生疏忽，还是命题人粗心，竟然在立几考题中弄出了大难题，其难度超过了压轴题的难度，从而成为近十年高考难题的高难之最！【命题】 将正方体一分为二2003年全国卷第18题，某某卷第18题，某某卷第19题等，是当年数学卷的大难题. 其难度，超过了当年的压轴题.在命题人看来，其载体是将正方体沿着对角面一分为二，得到了一个再简单不过的直三棱柱.图中的点E 正是正方体的中心.【考题】如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB =90°.侧棱AA 1=2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G .(Ⅰ)求A 1B 与平面ABD 所成角的大小(结果用反三角函数值表示)； (Ⅱ)求点A 1到平面AED 的距离.【解析】（Ⅰ）连结BG ，则BG 是BE 在面ABD 的射影，即 ∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角.设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，∵D 、E 分别是CC 1、A 1B 的中点，又DC ⊥平面ABC ， ∴CDEF 为矩形.连结DF ，G 是△ADB 的重心，∴G ∈DF .在直角三角形EFD 中，EF 2=FG ·FD =31FD 2，∵EF =1，∴FD =3. 于是ED =2，EG =36321=⨯. ∵FC =ED =2，∴AB =22，A 1B =23，EB =3. ∴sin ∠EBG =EB EG =36·31=32.∴A 1B 与平面ABD 所成的角是arcsin32. （Ⅱ）连结A 1D ，有E AA D ADE A V V 11--=.∵ED ⊥AB ，ED ⊥EF ，又EF ∩AB =F ，∴ED ⊥平面A 1AB ， 设A 1到平面AED 的距离为h ，则S △AED ·h =AE A S 1∆·ED . 又AE A S 1∆=A A S AB A 114121=∆·AB =2， S △AED =21AE ·ED =26.∴h =3622622=⨯. 即A 1到平面AED 的距离为362. 本题难在哪里？从正方体内切出的直三棱柱的画法不标准！ 难点突破：斜二测改图法，把问题转到正方体中.EFCD 为矩形EF =1（已知）FD =3FG （重心定理）FD =3（射影定理）EG =36（Ⅰ）ED =2（勾股定理）FC =2（正方体！） FB =2EB =3（Ⅱ）sin ∠EBG =32=EB EG .难题（0318）的题图探究正方体立体图常见的画法有两种： （1）斜二测法（图（1））此法的缺点：A1、B、C 三点“共线”导致“三线”重合（2）正等测法（图（2））此法的缺点：A、C、C1、A1“共线”导致“五线”重合难题的图近乎第二种画法（图（3））：将正方体的对角面置于正前面.五、解正方体正方体既然这么重要，我们就不能把这个“简单的正方体”看得太简单.像数学中其他板块的基础内容一样，越简单的东西，其基础性就越深刻，其内涵和外延的东西就越多.我们既然认定了正方体是多面体的根基，那我们就得趁着正方体很“简单”的时候，把它的上上下下、左左右右、里里外外的关系，都弄个清楚明白！关于正方体你已经知道了多少？正方体，（）个面，线面距转（）面距，（）个顶点（）棱。
解高考数学选择题的常用方法和解答技巧
解高考数学选择题的常用方法和解答技巧云南省文山州砚山一中，（663100） 马兴奎趣题引入正三棱锥BCD A -中，E 在棱AB 上，F 在棱CD 上，并使λ==FDCF EB AE )0(>λ，设α为异面直线EF 与AC 所成的角，β为异面直线EF 与BD 所成的角，则βα+的值是 （ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 分析：解本题通常方法是画一个图，但不容易求解，只有紧紧抓住λ的两个极端值才能快速获解。
解：当0→λ时，A E →，且C F →，从而AC EF →。
因为BD AC ⊥（正三棱锥中对棱互相垂直），排除选择支C B A ,,。
故选D （或+∞→λ时的情况，同样可排除C B A ,,）技巧精髓一、选择题中的题干、选项和四选一的要求都是题目给出的重要信息，答题时要充分利用。
二、解答选择题的基本原则是小题不能大做，小题需小做、繁题会简做、难题要巧做。
求解选择题的基本方法是以直接思路肯定为主，间接思路否定为辅，即求解时出了用直接计算方法之外还可以用逆向化策略、特殊化策略、图形化策略、整体化策略等方法求解。
三、解答选择题应注意以下几点：认真审题、先易后难、大胆猜想、小心验证。
1、逆向化策略在解选择题时，四个选项以及四个选项中只有一个答案符合题目要求都是做题的重要信息，逆向化策略是把四个选项作为首先考虑的信息。
解题时，要“盯住选项”，着重通过对选项的分析、考查、验证、推断而进行肯定或否定，或者根据选项之间的关系进行逻辑分析和筛选，从而迅速找到所要选择的、符合题目的选项。
【例1】（2005年，天津卷）设)(1x f -是函数)1( )(21)(>-=-a a a x f x x 的反函数，则使1)(1>-x f 成立的x 的取值范围为（ ） A ．),21(2+∞-a a B ． )21,(2a a --∞ C ． ),21(2a aa - D ． ),[+∞a 【绿色通道】本题用直接法求解是先求出反函数，然后带入已知1)(1>-x f 得到一个不等式，转化为解一个无理不等式问题，但运算量大。
64高考数学易错题举例解析
k 2 或 k 3.
错解 由已知得 y2=－4x2－16x－12，因此 x2+y2=－3x2－16x－12=－3(x+
8 2 28 )+ ， 3 3
8 28 28 ∴当 x=－3 时，x2+y2 有最大值 3 ，即 x2+y2 的取值范围是(－∞, 3 ]。 分析 没有注意 x 的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。 事实上，由于(x+2)2+ y2 y2 =1 (x+2)2=1－ ≤1 －3≤x≤－1， 4 4 x2+y2 的取值范围是[1, 28 ]。 3
1 ，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8 不是最小值。 ab 1 1 1 1 1 1 2 事实上，原式= a2+b2+ 2 + 2 +4=( a2+b2)+( 2 + 2 )+4=[(a+b)2－2ab]+[( + )2－ ]+4 a b ab a b a b
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= (1－2ab)(1+ 由 ab≤(
从而当 x=－1 时 x2+y2 有最小值 1。∴
注意有界性：偶次方 x2≥0，三角函数－1≤sinx≤1，指数函数 ax>0，圆锥曲线有界性等。
●忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。 1 1 【例 3】已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ a )2+(b+ b )2 的最小值。 错解 (a+
4 2
或 q 1。
错误分析 在错解中，由
a1 (1 q 3 ) a1 (1 q 6 ) a (1 q 9 ) ， 2 1 1 q 1 q 1 q
1996年全国Ⅱ高考数学试题(文)
1996年普通高等数学招生全国统一考试（全国Ⅱ）文科数学参考公式：三角函数的积化和差公式：[]1sin cos sin()sin()2αβαβαβ=++- []1cos sin sin()sin()2αβαβαβ=+--[]1cos cos cos()cos()2αβαβαβ=++-[]1sin sin cos()cos()2αβαβαβ=-+--正棱台、圆台的侧面积公式1()2S c c l ='+台侧 其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长．球的体积公式：343V r π=球，其中R 表示球的半径．第Ⅰ卷（选择题共65分）一、选择题：本大题共15小题，第1－10题第小题4分，第11－15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7I =，集合{}1,3,5,7A =，{}3,5B =，则A ．I AB =B ．I A B =C ．I A B =D ．I A B =2．当1a >时，在同一坐标系中，函数xy a -=与logy x =的图像是3．若22sin cos x x >，则x 的取值范围是A ．322,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭B ．522,44x k x k k Z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭C ．22,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭D ．322,44x k x k k Z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭44等于A ．1B ．1-C ．1D ．1-5．6名同学排成一排，其中甲、乙两必须排在一起的不同排法有A ．720种B ．360种C ．240种D ．120种6．已知α是第三象限角，24sin 25α=-，则tan 2α＝ A ．43B ．34 C ．34- D ．43-7．如果直线,l m 与平面,,αβγ满足：l βγ= ，l ∥α，m α⊂和m γ⊥，那么必有A ．a γ⊥且l m ⊥B ．αγ⊥且m ∥βC ．m ∥β且l m ⊥D ．α∥β且αγ⊥8．当22x ππ-≤≤时，函数()sin f x x x =的A ．最大值是1，最小值是－1B ．最大值是1，最小值是12-C ．最大值是2，最小值是－2D ．最大值是2，最小值是－18．若02πα<<，则arcsin[cos()]arccos[sin()]2παπα+++等于A ．2π B ．2π-C ．22πα- D ．22πα--9．中心在原点，准线方程为4x =±，离心率为12的椭圆方程是 A ．22143x y += B ．22134x y += C ．2214x y += D ．2214y x += 10．圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角为240°，该圆锥的体积A B ．881π C D ．1081π11．椭圆222515091890x x y y -+++=的两个焦点坐标是A ．(3,5)-，(3,3)--B ．(3,3)，(3,5)-C ．(1,1)，(7,1)-D ．(7,1)-，(1,1)--12．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD a =，则三棱锥D ABC -的体积为A ．36aB ．312aCD13．等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为A ．130B ．170C ．210D ．26014．设双曲线22221(0)x y a b a b-=<<的半焦距为c ，直线l 过(,0)a ，(0,)b 两点，已知原点到直线l，则双曲线的离心率为 A ．2BCD15．设()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数，(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，则(7.5)f 等于A ．0.5B ．0.5-C ．1.5D ． 1.5-第Ⅱ卷（非选择题共85分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．16．已知点(2,3)-与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离是5，则p ＝ ．17．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有 个（用数字作答）．18．tan 20tan 4020tan 40+的值是 ． 19．如图，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60°的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是 ．三、解答题：本大题共6小题，共69分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．ABDCF EA 1AC BB 1C 1E F20．（本小题满分11分）解不等式log (1)1a x a +->．21．（本小题满分12分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若3692S S S +=，求数列的公比q ． 22．（本小题满分11分）已知△ABC 的三个内角A、B 、C 满足：2A C B +=，11cos cos cos A C B+=-，求cos 2A C -的值． 23．（本小题满分12分）【注意：本题的要求是，参照标①的写法，在标号②、③、④、⑤的横线上填写适当步骤，完成（1）证明的全过程，并解答（2）．】如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，13AA AB a ==，E ，F 分别是1BB ，1CC 上的点，且BE a =，2CF a =．（1）求证：面AEF ⊥面ACF ； （2）求三棱锥1A AEF -的体积．（1）证明：在截面1A EC 内，过E 作1EG AC ⊥，G 是垂足．①∵BE a =，2CF a =，BE ∥CF ，延长FE 与CB 延长线交于D ，连结AD ．∴△DBE ∽△DCF ∴DB BEDE CF= ② ∴DB AB =．③ ∴DA AC ⊥④ ∴FA AD ⊥⑤ ∴面AEF ⊥面ACF ．24．（本小题满分12分）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22％，人均粮食占有量比现在提高10％．如果人口年增长率为1％，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？A 1AC BB 1C 1E FD（粮食单产＝总产量耕地面积，人均粮食占有量＝总产量总人口数25．（本小题满分12分）已知1l 、2l 是过点(P 的两条互相垂直的直线，且1l 、2l 与双曲线221y x -=各有两个交点，分别为1A 、1B 和2A 、2B ． （1）求1l 的斜率1k 的取值范围；（2）若1A 恰 是双曲线的一个顶点，求22||A B 的值．数学试题参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧 13． 14． 15． 16．三、解答题 17．1996年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答及评分标准说明：一．答指出了每题要考查主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准相应的评分细则．二．对计算题，当考生的解答某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答较错误，就不再给分．三．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得累加数． 四．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题：本题考查基本知识和基本运算，第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－(15)题每小题5分．满分65分．(1)C (2)A (3)D (4)B (5)C (6)D (7)A (8)D (9)A (10)C (11)B (12)D (13)C (14)A (15)B二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．(16)4 (17)32 (18)3 (19)42 三．解答题(20)本小题考查对数函数性质，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力，满分11分． 解：（Ⅰ）当a >1时，原不等式等价于不等式组：⎩⎨⎧>-+>-+.1,01a a x a x 解得 x >2a －1． (Ⅱ)当0<a <1时，原不等式等价于不等式组：⎩⎨⎧<-+>-+.101a a x a x 解得 a －1<x <2a －1综上，当a >1时，不等式的解集为{x |x >2a －1};当0<a <1时，不等式的解集为{x |a －1<x <2a －1}．(21)本小题主要考查等比数列的基础知识，逻辑推理能力和运算能力．满分12分．解：若q =1，则有S 3=3a 1，S 6=6a 1，S 9=9a 1．但a 1≠0，即得S 3＋S 6≠2S 9，与题设矛盾，q ≠1．又依题意S 3＋S 6=2S 9可得qq a q q a q q a --=--+--1)1(21)1(1)1(916131整理得q 3(2q 6－q 3－1)=0． 由q ≠0得方程 2q 6－q 3－1=0．(2q 3＋1)(q 3－1)=0， ∵ q ≠1，q 3－1≠0，∴ 2q 3＋1=0∴ q =－243(22)本小题考查三角函数基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算能力．满分12分． 解法一：由题设条件知B =60º，A ＋C =120º．∵ －︒60cos 2=－22∴ C A cos 1cos 1+=－22 将上式化为 cos A ＋cos C =－22 cos A cos C利用和差化积及积化和差公式，上式可化为2cos2C A +cos 2CA -=－2[cos(A ＋C)＋cos(A －C)] 将cos 2)(C A +=cos60º=21，cos(A +C )= 21代入上式得cos 2)(C A -=22－2cos(A －C)cos(A －C)=2cos 22)(C A -－1代入上式并整理得42cos 22)(C A -＋2cos 2)(C A -－32=0，(2cos2C A -－2)(22cos 2CA -＋3)=0． ∵ 22cos 2C A -＋3≠0，∴ 2cos 2C A -－2=0，∴ cos 2C A -=22．解法二：由题设条件知 B=60º，A ＋C =120º．设α=2C A - 则2C A -=2α，可得A=60º＋α，C=60º－α 所以)60cos(1)60cos(1cos 1cos 1o o αα-++=+C A =ααsin 23cos 211-＋ααsin 23cos 211+=ααα22sin 43cos 41cos -=43cos cos 2-αα依题得B cos 243cos cos 2-=-α，∵ cos B =21，∴ 2243cos cos 2-=-αα． 整理得42cos 2α＋2cos α－32=0， (2cos α－2)(22cos α＋3)=0，∵ 22cos α＋3≠0，∴ 2cos α－2=0从而得cos 222=-C A ． (23)本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力运算能力．满分12分．(Ⅰ)②∵BE :CF =1:2 ∴ DC =2BD ，∴ DB =BC ，③∵△ABD 是等腰三角形，且∠ABD =120º，∴∠BAD =30º，∴∠CAD =90º， ④∵FC ⊥面ACD ， ∴CA 是F A 在面ACD 上射影，且CA ⊥AD ， ⑤∵F A ∩AC =A ，DA ⊥面ACF ，DA ⊂面ADF ⑥∴面ADF ⊥面ACF ． (Ⅱ)解： ∵ F AA E AEF A V V 11--=．在面A 1B 1C 1内作B 1G ⊥A 1C 1，垂足为G ．B 1G=23a 面A 1B 1C 1⊥面A 1 C ∵ B 1G ⊥面A 1 C ，∵ E ∈B B 1，而B B 1∥面A 1 C ，∴ 三棱柱E －AA 1F 的高为23a F AA S 1∆=AA 1·2AC =232a ∴43311a V V F AA E AEF A ==-- (24)本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力，指数函数和二项式定理的应用，近似计算的方法和能力．满分10分．解：设耕地平均每年至多只能减少x 公项，又设该地区现有人口为p 人，粮食单产为M 吨/公顷．依题意得不等式()()()()%10110%111010%2214104+⨯⨯≥+⨯-⨯+⨯PM P xM化简得x ≤103×[1－22.1)01.01(1.110+⨯]．∵ ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯-⨯22.101.011.1110103=103×[1－22.11.1×(1＋110C ×0.01＋210C ×0.012＋…)] ≈103×[1－22.11.1×1.1045]≈4.1 9分∴ x ≤4(公顷)答：按规则该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷．(25)本小题主要考查直线与双曲线的性质，解析几何的基本思想，以及综合运用知识的能力．满分12分．解：依题设：l 1、l 2都存在，因为l 1过点P ()02，-且与双曲线有两个交点，故方程组 y =k 1(x ＋2)(k 1≠0)，y 2－x 2=1 ①有两个不同的解，在方程组①中消去y ，整理得(21k －1)x 2＋2221k x ＋221k －1=0 ② 若(21k －1)=0，则方程①只有一个解，则l 1与以曲线只有一个交点，与题设矛盾． 故(21k －1) ≠0，即|k 1|≠1．方程②的判别式为 △ 1=(2221k )2－4(21k －1)(221k －1)=4(321k －1)设l 2的斜率k 2，因为l 2过点P ()02，-且与双曲线有两个交点，故方程组 y =k 2(x ＋2)(k 2≠0)，y 2－x 2=1 ③有两个不同的解，在方程组③中消去y ，整理得(22k －1)x 2＋2222k x ＋222k －1=0 ④ 同理有(22k －1) ≠0，△2=4(322k －1) 又因为l 1⊥l 2，所以有k 1·k 2=－1 于是，l 1、l 2与双曲线各有两个交点，等价于 321k －1>0， 322k －1>0， k 1·k 2=－1， |k 1|≠1． 解得3||331<<k ， |k 1| ≠1．∴ k 1∈(－3，－1) ∪(－1，－33)∪(33，1)∪(1，3) (Ⅱ)双曲线y 2－x 2=1的顶点(0，1)、(0，－1)．取A 1(0，1)时，有 k 1(0＋2)=1，解得k 1=22．从而k 2=11k -=－2． 将k 2=－2代入方程④得 x 2＋42x ＋3=0 ⑤记l 2与双曲线的两交点为A 2(x 1，y 1)、B 2(x 2，y 2)，则|A2B2|2=(x1－x2)2+(y1－y2)2=3(x1－x2)2=3[(x1＋x2)2－4x1x2]．由⑤知x1＋x2=－42x1x2=3∴| A2 B2|2=60，| A2 B2|=215当取A1(0，－1)时，由双曲线y2－x2=1关于x轴的对称性，知| A2 B2|=215所以l1过双曲线的一个顶点时，|A2 B2|=215。
排列组合
排列组合一、相临问题——捆绑法例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。
评注：一般地: 个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有种排法。
二、不相临问题——选空插入法例2．7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种 .评注：若个人站成一排，其中个人不相邻，可用“插空”法解决，共有种排法。
三、复杂问题——总体排除法在直接法考虑比较难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法”，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。
例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有－3＝32个.四、特殊元素——优先考虑法对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。
例4．(1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种．解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有种，而其余学生的排法有种，所以共有＝72种不同的排法.例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有种排法，所以不同的出场安排共有＝252种.五、多元问题——分类讨论法对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。
1996年高考试题
1996年全国普通高等学校招生统一考试（理工农医类）数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至8页.共150分.考试时间120分钟.第I卷（选择题共65分）注意事项:1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上.3.考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回.一、选择题:本大题共15小题;第1—10题每小题4分,第11—15题每小题5分,共65分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)已知全集I=N,集合A={x│x=2n,n∈N},B={x│x=4n,n∈N},则(2)当a>1时,在同一坐标系中,函数y=a-x与y=log a x的图象是(3)若sin2x>cos2x,则x的取值范围是(A)α⊥γ且l⊥m(B)α⊥γ且m∥β(C)m∥β且l⊥m(D)α∥β且α⊥γ(A)(-3,5),(-3,-3) (B)( 3,3,),(3,-5)(C)(1,1,),(-7,1) (D)(7,-1,),(-1,-1)(9)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得BD=a,则三棱锥D-ABC的体积为(12)等差数列{a n的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为(A)130 (B)170(C)210 (D)260(14)母线长为1的圆锥体积最大时,其侧面展开图圆心角ψ等于(15)设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f等于(A) (B)(C) (D)第Ⅱ卷(非选择题共85分)注意事项1.第Ⅱ卷共6页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题:本大题共4小题;每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.(16)已知圆x2+y2-6x-7=0与抛物线y2=2px(p>0)的准线相切.则P= .(17)正六边形的中心和顶点共7个点,以其中3个点为顶点的三角形共有个(用数字作答).(19)如图,正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角,则异面直线AD与BF所成角的余弦值是 .三、解答题:本大题共6小题;共69分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（20）（本小题满分11分）（21）（本小题满分12分）（22）（本小题满分12分）如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,E∈BB1，截面A1EC⊥侧面AC1.(Ⅰ)求证:BE=EB1;(Ⅱ)若AA1=A1B1;求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角(锐角)的度数.注意:在下面横线上填写适当内容,使之成为(Ⅰ)的完整证明,并解答(Ⅱ).(Ⅰ)证明:在截面A1EC内,过E作EG⊥A1C,G是垂足.①∵∴EG⊥侧面AC1;取AC的中点F,连结BF,FG,由AB=BC得BF⊥AC,② ∵∴BF⊥侧面AC1;得BF∥EG,BF、EG确定一个平面,交侧面AC1于FG.③ ∵∴BE∥FG,四边形BEGF是平行四边形,BE=FG,④ ∵∴FG∥AA1,△AA1C∽△FGC,⑤ ∵(Ⅱ)解:（23）（本小题满分10分）某地现有耕地10000公顷,规划10年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食占有量比现在提高10%.如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）?（24）（本小题满分12分）（25）（本小题满分12分）已知a、b、c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时,│f(x)│≤1.(Ⅰ)证明:│c│≤l;(Ⅱ)证明:当-1≤x≤1时,│g(x)│≤2;(Ⅲ)设a>0,当-1≤x≤1时,g(x)的最大值为2,求f(x).1996年全国普通高等学校招生统一考试（理工农医卷）数学参考答案说明:一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.第(1)-(10)题每小题4分,第(11)-(15)题每小题5分.满分65分.(1)C (2)A (3)D (4)B(5)A(6)D (7)B (8)A (9)D(10)B(11)C (12)C (13)A (14)D (15)B二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.(20)本小题考查对数函数性质,对数不等式的解法,分类讨论的方法和运算能力.满分11分.解:(Ⅰ)当a＞1时,原不等式等价于不等式组:因为1-a<0,所以x<0,(Ⅱ)当0<a<1时,原不等式等价于不等式组:由①得,x>1或x<0,(21)本小题考查三角函数基础知识,利用三角公式进行恒等变形和运算的能力.满分12分.解法一:由题设条件知B=60°,A+C=120°.2分利用和差化积及积化和差公式,上式可化为解法二:由题设条件知B=60°,A+C=120°.(22)本小题考查空间线面关系,正三棱柱的性质,逻辑思维能力,空间想象能力及运算能力.满分12分.(Ⅰ)①∵面A1EC⊥侧面AC1,2分②∵面ABC⊥侧面AC1,3分③∵BE∥侧面AC1,4分④∵BE∥AA1,5分⑤∵AF=FC,6分(Ⅱ)解:分别延长CE、C1B1交于点D,连结A1D.∵CC1⊥面A1C1B1,即A1C1是A1C在平面A1C1D上的射影,根据三垂线定理得DA1⊥A1C,所以∠CA1C1所求二面角的平面角.11分∵CC1=AA1=A1B1=A1C1,∠A1C1C=90°,∴∠CA1C1=45°,即所求二面角为45°. 1 2分(23)本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力,指数函数和二项式定理的应用,近似计算的方法和能力.满分10分.解:设耕地平均每年至多只能减少X公顷,又设该地区现有人口为P人,粮食单产为M吨/公顷.依题意得不等式答:按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷. 10分(24)本小题主要考查直线与双曲线的性质,解析几何的基本思想,以及综合运用知识的能力.满分12分.有两个不同的解.在方程组①中消去y,整理得有两个不同的解.在方程组③中消去y,整理得又因为l1⊥l2,所以有k1·k2=-1.4分于是,l1、l2与双曲线各有两个交点，等价于(Ⅱ)设A1(x1y1),B1(x2y2)1.由方程②知∴│A1B1│2=(x1-x2)2+(y1-y2)2将⑤、⑥代入上式得(25)本小题主要考查函数的性质、含有绝对值的不等式的性质，以及综合运用数学知识分析问题与解决问题的能力。
1996年全国高考数学试题
一九九六年全国高考数学试题理科试题一．选择题：本题共15个小题;第（1）-（10）题每小题4分，第（11）-（15）题每小题5分，共65分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知全集I=N ，集合},2|{N n n x x A ∈==，},4|{N n n x x B ∈==。
则 （ C ）（A ）B A I ⋃= （B ）B A I ⋃= （C ）B A I ⋃= （D ）B A I ⋃=（2）当1>a 时，在同一坐标系中，函数x a y -=与x y a log =的图象是 （ A ）（3）若x x 22cos sin >，则x 的取值范围是 （ D ）（A ）},412432|{Z k k x k x ∈π+π<<π-π（B ）},452412|{Z k k x k x ∈π+π<<π+π（C ）},4141|{Z k k x k x ∈π+π<<π-π（D ）},4341|{Z k k x k x ∈π+π<<π+π（4）复数54)31()22(i i -+等于 （ B ）（A ）i 31+ （B ）i 31+- （C ）i 31- （D ）i 31--（5）如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足：α⊂αγ⋂β=m l l ,//,和γ⊥m ，那么必有 （ A ）(A) y (B) y (C) y (D) yx（A ）γ⊥α且m l ⊥ （B ）γ⊥α且β//m （C ）β//m 且m l ⊥ （D ）βα//且γ⊥α（6）当22π≤≤π-x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的 （ D ） （A ）最大值是1，最小值是-1 （B ）最大值是1，最小值是21- （C ）最大值是2，最小值是-2 （D ）最大值是2，最小值是-1 （7）椭圆⎩⎨⎧ϕ+-=ϕ+=.sin 51,cos 33y x 的两个焦点坐标是 （ B ）（A ）（-3，5），（-3，-3） （B ）（3，3），（3，-5） （C ）（1，1），（-7，1） （D ）（7，-1），（-1，-1）（8）若20π<α<，则)](arccos[sin )]2(arcsin[cos α+π+α+π等于 （ A ） （A ）2π （B ）2π- （C ）α-π22 （D ）α-π-22（9）将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD=a ，则三棱锥D-ABC 的体积为 （ D ）（A ）63a （B ）123a （C ）3123a （D ）3122a（10）等比数列}{n a 的首项11-=a ，前n 项和为n S ，若3231510=S S ，则nn S ∞→lim 等于 （ B ） （A ）32 （B ）32- （C ）2 （D ）-2 （11）椭圆的极坐标方程为θ-=ρcos 23，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是 （ C ）（A ）（3，0），（1，π） （B ）（2,3π），（23,3π） （C ）（2，3π），（2，35π） （D ）（23,7arctg ），（232,7arctg -π）（12）等差数列}{n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为 （ C ） （A ）130 （B ）170 （C ）210 （D ）260（13）设双曲线)0(12222b a by a x <<=-的半焦距为c ，直线l 过（a ，0），（0，b ）两点。
1996年全国高考数学(理科)试题
1996年全国统一高考数学试卷（理科数学）一、选择题： 本大题共15小题:第1-10题每小题4分,第11-15题每小题5分,共65分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集I N =，集合{}2,A x x n n N ==∈，{}4,B x x n n N ==∈，则 A.I A B = B.()I I C A B = C.()I I A C B = D.()()I I I C A C B =2.当1a >时，在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =的图象3．若22sin cos x x>，则x 的取值范围是A. 322,44x k x k k z ππππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭ B. 522,44x k x k k z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭C. ,44x k x k k z ππππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭D. 3,44x k x k k z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭44等于 A.1+ B. 1-+ C. 1- D. 1- 5．如果直线,l m 与平面,,αβγ满足：l βγ=，l ∥α，m α⊂和m γ⊥，那么必有A.αγ⊥且l m ⊥B.αγ⊥且m ∥βC.m ∥β且l m ⊥D.α∥β且αγ⊥ 6．当22x ππ-≤≤时，函数()sin f x x x =的A. 最大值是1,最小值是1-B. 最大值是1,最小值是12-C. 最大值是2,最小值是2-D. 最大值是2,最小值是1-7.椭圆33cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数）的两个焦点坐标是A.(3,5)-,(3,3)-B. (3,3),(3,5)-C. (1,1),(7,1)-D. (7,1),(1,1)-- 8.若02πα<<，则arcsin[cos()]arccos[sin()]2παπα+++等于 A.2πB. 2π-C. 22πα-D. 22πα--9．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD a =，则三棱锥D ABC -的体积为A.36aB. 312aC. 312D. 31210．等比数列{}n a 的首项11a =-，前n 项和为n S ，若1053132S S =,则lim n n S →∞等于A.23 B . 23- C. 2 D. 2- 11．椭圆的极坐标方程为32cos ρθ=-，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是A.(3,0),(1,)πB.(3,)2π,3)2πC.(2,)3π,5(2,)3πD. )2,2arctan )2π- 12.等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为 A.130 B. 170 C. 210 D. 26013.设双曲线22221x y a b-=（0a b <<）的半焦距为c ，直线l 过(,0),(0,)a b 两点，已知原点到直线l的距离为4，则双曲线的离心率为 A.214.母线长为l 的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角ϕ等于A.315.设()f x 是(,)-∞∞上的奇函数，(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时()f x x =， 则(7.5)f 等于A. 0.5B. 0.5-C. 1.5D. 1.5- 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）16.已知圆22670x y x +--=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切，则p =__ . 17.正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有 个（用数字作答）．18.求值：tan 20tan 403tan 20tan 40++=_______ ．19.如图，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是 ____ ． 三、解答题：本大题共6小题,共65分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.20.（本小题满分11分）解不等式1log (1)1a x ->．21.（本小题满分12分）已知ABC ∆的三个内角,,A B C 满足：2A C B +=,11cos cos cos A C B+=-，求cos2A C-的值． 22．（本小题满分12分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，E 在1BB 上， 截面1A EC ⊥侧面11AAC C ．（1）求证：1BE EB =；注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为（1）的完整证明，并解答（2）． （1）证明：在截面1A EC 内，过E 作1EG A C ⊥，G 是垂足． ①∵ _________ABCD E FABCEA 1B 1C 1∴EG ⊥侧面1AC ；取AC 的中点F ，连接,BF FG ，由AB BC =,得BF AC ⊥， ②∵ _________∴BF ⊥侧面1AC ；得BF ∥EG ，BF 、EG 确定一个平面，交侧面1AC 于FG ． ③∵ _________∴BE ∥FG ，四边形BEFG 是平行四边形，BE FG =， ④∵ _________∴FG ∥1AA ，1AA C ∆∽FGC ∆，⑤∵ _________∴111122FG AA BB ==，112BE BB =,故1BE EB =（2）若111AA A B =；求平面1A EC 与平面111A B C 所成二面角（锐角）的度数． 23.（本小题满分10分）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？（精确到1公顷）（粮食单产=总产量/耕地面积，人均粮食占有量=总产量/总人口数） 24.（本小题满分12分）已知1l ,2l 是过点(P 的两条互相垂直的直线，且1l ,2l 与双曲线221y x -=,各有两个交点，分别为1A ,1B 和2A ,2B ． （1）求1l 的斜率1k 的取值范围；（2）若1122A B B =，求1l ,2l 的方程． 25．（本小题满分12分）已知,,a b c R ∈，函数2()f x ax bx c =++，()g x ax b =+，当11x -≤≤时，()1f x ≤. （1）证明：1c ≤；（2）证明：当11x -≤≤时，()2g x ≤；（3）设0a >,当11x -≤≤时，()g x 的最大值为2，求()f x .。
1996年全国高考数学试题含答案
1996年普通高等学校招生全国统一考试数学 (理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟. 第Ⅰ卷(选择题共65分)一、选择题:本大题共15小题;第(1) (10)题每小题4分,第(11) (15)题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)已知全集I=N,集合A={x │x=2n,n ∈N},B={x │x=4n,n ∈N},则B A I )D (B A I )C (B A I )B (B A I )A (⋃=⋃=⋃=⋃=[Key] C(1)已知全集I=N,集合A={x │x=2n,n ∈N},B={x │x=4n,n ∈N},则B A I )D (B A I )C (B A I )B (B A I )A (⋃=⋃=⋃=⋃=[Key] C(3)若sin 2x>cos 2x,则x 的取值范围是}Z k ,43k x 41k 2|x ){D (}Z k ,43k x 41k |x ){C (}Z k ,45k 2x 41k 2|x ){B (}Z k ,41k 2x 43k 2|x ){A (∈π+π<<π+π∈π+π<<π-π∈π+π<<π+π∈π+π<<π-π[Key] D(4)复数)i 31()i 22(4-+等于i 31)D (i 31)C (i 31)B (i 31)A (---+-+[Key] B5)如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足：l=β∩γ,l//α,m ⊂α和m ⊥γ那么必有 (A)α⊥γ且l ⊥m (B)α⊥γ且m ∥β (C)m ∥β且l ⊥m (D)α∥β且α⊥γ [Key] A (6)当2x 2π≤≤π-，函数xcos 3x sin )x (f +=的(A)最大值是1，最小值是-1(B)最大值是1，最小值是-(1/2) (C)最大值是2，最小值是-2(D)最大值是2，最小值是-1 [Key] D(7)椭圆⎩⎨⎧ϕ+-=ϕ+=sin 51y cos 33x 的两个焦点坐标是(B) (A)(-3,5),(-3,-3) (B)(3,3,),(3,-5) (C)(1,1,),(-7,1) (D)(7,-1,),(-1,-1) (8)若2a 0π<<，则)]a (arccos[sin )]a 2(arcsin[cos +π++π等于a 22)D (a 22)C (2)B (2)A (-π--ππ-π[Key] A(9)将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起,使得BD=a,则三棱锥D-ABC 的体积为3333a 122)D (a 123)C (12a )B (6a )A ([Key] D(10)等比数列{a n }的首项a 1=-1，前n 项的和为S n ，若3231S S 510=，则n n S lim ∞→等于2)D (2)C (32)B (32)A (-- [Key]B (11)椭圆的极坐标方程为θ-=ρcos 23，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是)23arctg 2,7)(23arctg ,7)(B ()35,2)(3,2)(B ()23,3)(2,3)(B (),1)(0,3)(A (-ππππππ [Key] C(12)等差数列{a n 的前m 项和为30,前2m 项和为100,则它的前3m 项和为 (A)130 (B)170 (C)210 (D)260 [Key] C(13)设双曲线)b a 0(1b y a x 2222<<=+的半焦距为c ，直线l 过两点(a,0)(0,b)。
【高考数学试题】1996年普通高等学校招生全国统一考试.文科数学试题及答案
【高考数学试题】1996年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)第Ⅰ卷(选择题共65分)注意事项:1.答案Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,在选涂其它答案,不能答在试题卷上.3.考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回.一.选择题:本大题共15小题;第1—10题每小题4分,第11—15题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)设全集I=｛1,2,3,4,5,6,7｝,集合A=｛1,3,5,7｝,B=｛3,5｝.则(A)I=A∪B(B)I=∪B(C)I=A∪(D)I=∪(2)当a>1时,在同一坐标系中.函数y=a-x与y=logax的图象是(3)若sin2x>cos2x,则x的取值范围是(A){x|2kπ-3π/4<x<2kπ+π/4,k∈Z}(B){x|2kπ+π/4<x<2kπ+5π/4,k∈Z}(C){x|kπ-π/4<x<kπ+π/4,k∈Z}(D){x|kπ+3π/4<x<kπ+3π/4,k∈Z}(4)复数(2+2i)4/(1-i)5等于(A)1+i (B)-1+i (C)1-i (D)-1-i(5)6名同学排成一排,其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有(A)720种(B)360种(C)240种(D)120种(6)已知α是第三象限角且sinα=-24/25,则tgα=(A)4/3 (B)3/4 (C)-3/4 (D)-4/3(7)如果直线l、m 与平面α、β、γ满足l=β∩γ，l∥α，m =α，m⊥γ，那么必有(A)α⊥γ且l⊥m(B)α⊥γ且m∥β(C)m∥β且l⊥m (D)α∥β且α⊥γ(8)当-π/2≤x≤π/2时，函数f(x)＝sinx+cosx的(A)最大值是1,最小值是-1 (B)最大值是1,最小值是-1/2(C)最大值是2,最小值是-2 (D)最大值是2,最小值是-1(9)中心在原点，准线方程为x=±4，离心率为1/2的椭圆方程是(A)x2/4+y2/3=1 (B)x2/3+y2/4=1(C)x2/4+y2=1 (D)x2+y2/4=1(10)圆锥母线长为1,侧面展开图圆心角为240°,该圆锥的体积是(A)2π/81 (B)4π/81 (C)10π/81 (D)8π/81(11)椭圆25x2-150x+9y2+18y+9=0的两个焦点坐标是(A)(-3,5),(-3,-3) (B)(3,3),(3,-5)(C)(1,1),(-7,1) (D)(7,-1),(-1,-1)(12)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得BD=a,则三棱锥D-ABC 的体积为(A)a3/6 (B)a3/12 (C)a3/12 (D)a3/12(13)等差数列｛an｝的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为(A)130 (B)170 (C)210 (D)260(14)设双曲线x2/a2+y2/b2=1(0<a<b)的半焦距为c，直线l过(a,0),(0,b)两点.已知原点到直线的距离为c/4，则双曲线的离心率为(A)2 (B)(C)(D)2/3(15)设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7,5)等于(A)0.5 (B)-0.5 (C)1.5 (D)-1.5第Ⅱ卷(非选择题共85分)注意事项:1.第Ⅱ卷共6页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.二.填空题:本大题共4小题;每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.(16)已知点(-2,3)与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离是5,则p=______.(17)正六边形的中心和顶点共7个点,以其中3个点为顶点的三角形共有______个.(用数字作答)(19)如图,正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角,则异面直线AD与BF所成角的余弦值是______ .三.解答题:本大题共6小题;共69分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(20)(本小题满分11分) 解不等式loga(x+1-a)>1.21)(本小题满分12分)设等比数列｛an ｝的前n项和为Sn.若S3+S6=2S9 ，求数列的公比q.(22)(本小题满分11分)已知三角形ABC的三个内角A,B,C满足A+C=2B,1/cosA+1/cosC=－/cosB,求cos{(A-C)/2}.(23)(本小题满分12分)【注意:本题的要求是,参照标号①的写法,在标号②、③、④、⑤的横线上填写适当步骤,完成(Ⅰ)证明的全过程;并解答(Ⅱ).】如图：在正三棱柱ABC－A1B1C1中,AB=AA1/3=a,E,F分别是BB1,CC1上的点,且BE=a,CF=2a.(Ⅰ)求证:面AEF⊥面ACF;(Ⅱ)求三棱锥A1-AEF的体积.(Ⅰ)证明:①∵BE=a,CF=2a,BE∥CF,延长FE与CB延长线交于D,连结AD.∴△DBE∽△DCF________________________________________________。
第23讲 正弦定理与余弦定理
《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《正弦定理与余弦定理》 第1页（共21页） 第三讲 正弦定理与余弦定理本专题涉及到的知识点是正、余弦定理及三角形中的边角关系．三角形中边角关系处理的基本方法是化角为边或化边为角，以及向量方法的运用． A 类例题例１ 在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，设2,3a c b A C π+=-=．求sin B 的值．（１９９８年全国高考卷）分析 化角为边转化为三角关系处理．解 由正弦定理及角变换求解．由2a c b +=，得 sin sin 2sin A C B +=．再由三角形内角和定理及3A C π-=得2,3232B B AC ππ=-=-， 所以21sin sin()sin 32222B B B A π=-=+，1sin sin()sin 322222B B BC π=-=-， 又sin 2sin cos 22B B B =，代入到sin sin 2sin AC B +=中得4sin cos 222B B B =，由cos 02B >得sin 24B =，《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《正弦定理与余弦定理》 第2页（共21页）从而cos 24B =，所以sin 8B = 例２．已知ABC ∆的三个内角,,A B C 满足：2A C B +=，11cos cos cos A C B+=-，求cos 2A C -的值．（１９９６年全国高考卷） 分析 通过角换元，利用两角和差公式得方程求值．解 由题设知060B =，0120A C +=，设2A C α-=，则2A C α-=，可得0060,60A C αα=+=-代入条件中得0011cos(60)cos(60)αα+=-+-=-化简得22cos 13cos sin 44ααα=--即22cos 0αα+-=，从而求出cos 2α=即cos 22A C -=．《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《正弦定理与余弦定理》 第3页（共21页）例３ 在ABC ∆中，已知ABB ==，AC 边上的中线BD =，求sin A 的值．（２００５湖北高考卷）分析 用坐标和向量方法求解． 解 以B 为原点，BC为x 轴正向建立直角坐标系，且不妨设点A 在第一象限．由sinB =)BA B B = 4(3=．设(,0)BC x = ，则43(6x BD += ，由BD 求出2x =（另一负值舍去）．于是由数量积得 cos 14BA CA A BA CA⋅==，所以sin A = 情景再现１．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知,,a b c 成等比数列，且3cos 4B =． （１） 求cot cot A C +的值；《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《正弦定理与余弦定理》 第4页（共21页）1（２） 设32BA BC ⋅= ，求a c +的值．（２００５年全国高考卷Ⅲ） ２．已知在ABC ∆中，sin (sin cos )sin 0A B B C +-=，sin cos 20B C +=，求角,,A B C 的大小．B 类例题交此圆于点11,,A B C ，求1111cos cos cos 222C A B AA BB CC ++的值．（２００５年全国高中数学联赛）分析 用正弦定理化边为角转化为三角式处理．解 如图连接，则12sin()A AA B =+2cos B C -=， 故1cos 2cos cos sin sin A B C A AA C -==+， 同理1c o s s iB B B A =+，1cos sin sinC CC A B =+，《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《正弦定理与余弦定理》 第5页（共21页） 代入原式得1111cos cos cos 222C A B AA BB CC ++ 2(sin sin sin )2A B C ++==．222求cot C 的值．（１９９９年全国高中数学联赛） 分析 综合运用正余弦定理，边角关系相互转化求解．解 由已知得22219b c +=，又由余弦定理，得 222cos a b c C +-=，所以2255sin c C C ==， 所以5sin 5sin()C A B C +== 5sin cos cos sin 5(cot cot A B A B A B +==+，故cot 5C =． 情景再现３．在ABC ∆中，求证：《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《正弦定理与余弦定理》 第6页（共21页） 2222220cos cos cos cos cos cos a b b c c a A B B C C A---++=+++． C 类例题例６．设非直角ABC ∆的重心为G ，内心为I ，垂心为H ，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．求证（１）sin sin sin 0A IA B IB C IC ⋅+⋅+⋅= ；（２）tan tan tan 0A HA B HB C HC ⋅+⋅+⋅= ；（３）cot (cot cot )cot (cot cot )HG C B A GB B C A GC =-+- ．分析 利用三角形中三角函数关系和平面向量的基本定理求证． 证明（１）由定比分点的向量形式得11BD AB IB IC IB ICDC AC ID BD AB DC AC ++===++ 由,IA ID 共线得AI IA ID ID =-⋅ ， 即AB IA ID BD =-⋅ ，又ac BD b c=+所以b c b IB c IC IA ID a a +⋅+⋅=-=- 图１ 即0a IA b IB c IC ⋅+⋅+⋅= ，由正弦定理可得《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《正弦定理与余弦定理》 第7页（共21页） sin sin sin 0A IA B IB C IC ⋅+⋅+⋅= ．（２）由tan ,tan AD AD B C BD DC ==，得B D DC =由定比分点公式的向量形tan tan tan tan tan tan tan 1tan C HB HC B HB C HC B HD C B C B+⋅+⋅==++ ． 又HA HA HD HD =- ．下面求HA HD，tan tan BD HD BD HBD C =⋅∠=，tan AD BD B =⋅，所以HA AD HD HD HD-=tan tan tan tan 1tan BD BD B C B C BD C⋅-==-． 由tan tan tan tan()tan tan 1B C A B C B C +=-+=-得 tan tan tan tan 1tan B C B C A +-=．所以tan tan tan HA B C HD A+=代入即得证． （３）由（２）知tan tan tan 0A HA B HB C HC ⋅+⋅+⋅= ，所以tan ()tan ()tan ()0A HG GA B HG GB C HG GC ⋅++⋅++⋅+= ，由G 是三角形的重心有0GA GB GC ++= 得()GA GB GC =-+ 代入并《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《正弦定理与余弦定理》 第8页（共21页） 利用：tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=整理即得．例７ 在非直角ABC ∆中，边长,,a b c 满足a c b λ+=(1)λ>． （１） 证明：1tan tan 221A C λλ-=+； （２） 是否存在函数()f λ，使得对于一切满足条件的λ，代数式cos cos ()()cos cos A C f f A Cλλ++恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的()f λ，并证明之；若不存在，请给出一个理由．（２００４年河南省高中数学联赛预赛）分析 （１）化边为角进行三角式的变形；（２）运用结构特征构造函数． 证明 （１）由a c b λ+=得sin sin sin A C B λ+=，和差化积得2sincos 2sin cos 2222A C A CB B λ+-= 因为222AC B π+=-，所以有cos cos 22A C A C λ-+=， 展开整理得(1)sin sin (1)cos cos 2222A C A C λλ+=-， 故1tan tan 221A C λλ-=+． （２）从要为定值的三角式的结构特征分析，寻求cos cos A C +与 cos cos A C 之间的关系． 由1tan tan 221A C λλ-=+及半角公式得221cos 1cos (1)1cos 1cos (1)A C A C λλ---⋅=+++， 对其展开整理得242(1)(cos cos )4cos cos A C A C λλλ-++=-《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《正弦定理与余弦定理》 第9页（共21页） 即 242(1)(c o s c o s )4c o s c o sA C A C λλλ-++=-， 即222cos cos 21cos cos 1A C A C λλλλ+-+=+，即222cos cos 112cos cos 1A C A C λλλλ+-+=--+ 与原三角式作比较可知()f λ存在且22()1f λλλ=-+． 例８ 在非钝角ABC ∆中，0,45AB AC B >=，,O I 分别是ABC ∆的AB AC =-，求sin A ．分析 化边为角，利用三角形中的几何关系求值．解由已知条件及欧拉公式得222OI R Rr ==-，其中,R r 分别为外接圆和内切圆的半径，再由三角形中的几何关系得1tan tan ()22282c a b B c a b r c a b π+-+-===+- 结合正弦定理消去边和,R r 得212(sin sin )2(sin sin sin 1)C B A C B --=+-，又3sin sin()cos )242B C A A A π==-=+， 代入并分解因式得11)0A A -=《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《正弦定理与余弦定理》 第10页（共21页）即sin 2A =或cos 12A =-sin 2A =或sin A = 经验证这两个值都满足条件．情景再现４．在ABC ∆中，求证222sin sin sin 4cos cos cos 222a Ab Bc C a b c A B C a b c ++++=++． 习题１．在ABC ∆中，,4c a b C π=>=，且有tan tan 6A B =，求,a b及ABC ∆的面积．２．在ABC ∆中，0280,()A a b b c ==+，求角C ． ３． 已知圆内接四边形ABCD 的边长分为2,6A B B C==，4CD DA ==，求四边形ABCD 的面积．（２００１年全国高考卷）４．在ABC ∆中，若c a -等于AC 边上的高h ，求s i n c o s 22C A C A -++的值．５．已知锐角三角形ABC 中，.51)sin(,53)sin(=-=+B A B A （１）求证：B A tan 2tan =；（２）设AB=3，求AB 边上的高.《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《正弦定理与余弦定理》 第11页（共21页）６．在ABC ∆中，29cos ,52210A b c c c +===，求ABC ∆内切圆的半径． ７．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 所对的边，且12cos 2sin 22=++C B A ． （１）求角C 的大小； （２）若22221c b a +=，试求sin （A-B ）的值． ８．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若()()23sin cos cos sin sin A B C B C +=+（１）求角A 的大小；（２）若a b c =+=619，，求b 和c 的值． ９．已知向量→a =（2，2），向量与向量→a 的夹角为43π，且→a ·→b =－2， （1）求向量→b ；（2）若)2cos 2,(cos ,)0,1(2C A c t b t =⊥=→→→→且，其中A 、C 是△ABC 的内角，若三角形的三内角A 、B 、C |→b +→c |的取值范围.１０．如图在等边三角形ABC 中，,AB a O =中心，过O 的直线交AB 于,M 交AC 于N ，《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《正弦定理与余弦定理》 第12页（共21页） 求2211OM ON +的最大值和最小值． １１．在ABC ∆中， 已知3331tan tan tan 6181tan tan tan 216A B C A B C ⎧++=-⎪⎪⎨⎪++=-⎪⎩，求ABC ∆的三个内角的大小． １２．ABC ∆中2,A B C =是钝角，三边长均为整数，求ABC ∆周长的最小值．本节“情景再现”解答：１．解 化弦变形和余弦定理求角． （１）由3cos 4B =得sin 4B =， 由2b ac =得，2sin sin sin B A C =，于是cot cot A C +cos sin cos sin sin sin A C C A A C +2sin()sin A C B +=2sin 1sin sin 7B B B ===． （２）由32BA BC ⋅= 得3cos 2ca B =，又3cos 4B =所以2ca =，即22b =．由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，即2222cos 5a c b ac B +=+=，所以2()9a c +=，即3a c +=． ２．解 消元化简．由sin (sin cos )sin 0A B B C +-=消去角C 得《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《正弦定理与余弦定理》 第13页（共21页） sin sin sin cos sin()0A B A B A B +-+=，即sin sin sin cos sin cos cos sin 0A B A B A B A B +--=，即sin (sin cos )0B A A -=，从而有sin cos A A =，即4A π=． 所以34B C π+=，再消去角C 得3sin cos 2()04B B π+-=， 即sin sin 20,sin (12cos )0B B B B -=-=，1cos ,23B B π==． 最后角512C π=． ３．证明 由正弦定理化边为角．222222224(sin sin )4(cos cos )cos cos cos cos cos cos a b R A B R B A A B A B A B---==+++ 24(cos cos )R B A =-，同理2224(cos cos )cos cos b c R C B B C -=-+， 2224(cos cos )cos cos c a R A B C A-=-+，上面三式相加即得证． ４．证明 由正弦定理sin sin sin A B C a b c==得 sin sin sin sin A B C C a b c c ++=++即cos cos 222sin 2A B a b c C c ++=，① 将①式左边分子分母同乘以2cos 2C 得《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《正弦定理与余弦定理》 第14页（共21页） 2cos cos cos 222sin 2A B C a b c C c ++=,即2sin 4cos cos cos 222c C c A B C a b c =++， 同理可得2sin 4cos cos cos 222a A a A B C abc =++， 2sin 4cos cos cos 222b B b A B C a bc =++，三式相加即得证． “习题”解答：１．解 由tan tan tan()(1tan tan )A B A B A B +=+-tan (1tan tan )C A B =--得tan tan 5A B +=，又a b >，从而tan 3,tan 2A B ==．所以sin A B ==，由正弦定理，得a =，b =245． ２．解 2()a b b c =+化边为角为2sin sin (sin sin )A B B C =+，即22sin sin sin sin A B B C -=，《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《正弦定理与余弦定理》 第15页（共21页）所以1cos 21cos 2sin sin 22A B B C ---=， 即1(cos 2cos 2)sin sin 2A B B C --=， 即sin()sin()sin sin A B A B B C +-=，由sin()sin A B C +=得sin()sin A B B -=，由三角形内角的范围可知只能有,2A B B A B -==，所以040B =，从而060C =．３．解 利用余弦定理构造等量关系求角的三角函数值． 如图，连接BD ，则有四边形ABCD 的面积 11sin sin 22ABD CDB S S S AB AD A BC CD C ∆∆=+=⋅+⋅ 由0180A C +=，得sin sin A C =，从而四边形ABCD 的面积16sin S A =．由余弦定理，在ABD ∆中 2222cos 2016cos BD AB AD AB AD A A =+-⋅=-，同样在CDB ∆中2222cos 5248cos BD CB CD CB CD C C =+-⋅=-，所以2016cos 5248cos A C -=-，及cos cos A C =-，求得1cos 2A =-，0120A =，所以16sin SA ==． ４．解 AC 边上的高sin h a C =，故sin c a a C -=，化边为角即sin sin sin sin C A A C -=，《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《正弦定理与余弦定理》 第16页（共21页） 12cossin [cos()cos()]222C A C A A C A C +-∴=--+ 2212cos sin [(1sin )(2cos 1)]22222C A C A C A C A +--+∴=--- 整理得22sin 2sin cos cos 12222C A C A C A C A --++++=， 即2(sin cos )122C A C A -++=，从而sin cos 122C A C A -++=． ５．解 （１）证明：,51)sin(,53)sin(=-=+B A B A .2tan tan 51sin cos ,52cos sin .51sin cos cos sin ,53sin cos cos sin =⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+∴B A B A B A B A B A B A B A 所以.tan 2tan B A = （２）ππ<+<B A 2 ，33sin(),tan(),54A B A B +=∴+=- 即43tan tan 1tan tan -=-+B A B A ，将B A tan 2tan =代入上式并整理得 .01tan 4tan 22=--B B 解得262tan ±=B ，舍去负值得262tan +=B ， .62tan 2tan +==∴B A 设AB 边上的高为CD.《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《正弦定理与余弦定理》 第17页（共21页） 则AB=AD+DB=.623tan tan +=+CD B CD A CD 由AB=3，得CD=2+6. 所以AB 边上的高等于2+6.６．解 由21cos cos 222A A b c c ++==得cos b A c=，又由余弦定理得222cos 2b c a b A bc c+-==，即222a b c +=，从而ABC ∆是直角三角形． 又95,210b c c c +==得3,4a b ==，所以12a b c r +-==． ７．解（１）由12cos 2sin 22=++C B A 得 11cos 2)cos(12=-++-C B A ，又由A+B+C=π，将上式整理得 01cos cos 22=-+C C ，即(2cosC-1)(cosC+1)=0∴21cos =C 或cosC=-1（舍去） 由0<C<π，得3π=C ． （２）设△ABC 外接圆半径为R ，由22221c b a += 有C B A 222sin sin 2sin 2=-，即432cos 12cos 1=+--B A 432cos 2cos -=-B A ∴43)sin()sin(2-=-⋅+-B A B A 又32π=+B A ∴43)sin(23)2(-=-⋅⋅-B A ∴43)sin(=-B A ．《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《正弦定理与余弦定理》 第18页（共21页） ８．解（１）在△ABC 中，由已知有：()()()23sin cos cos sin sin B C B C B C ++=+∴+++-=+-422222622sincos cos cos sin cos B C B C B C B C B C B C · 2s i n c o s 04c o s 3222B C B C B C +-+≠∴= 即4232sin A = ，∴=±sin A 232（舍负）∴==A A 2323ππ， ． （２）由cos A =-12得b c a bc 222212+-=- 即()b c a bc +-=22 又a b c =+=619，，代入上式得：bc =20由b c bc +==⎧⎨⎩920，得： b c ==⎧⎨⎩54或b c ==⎧⎨⎩45 ９．解（1）设=（x ,y ），则222,x y +=-且||13||cos 4a b b a π⋅=== ∴解得)1,0()0,1(,1001-=-=⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-=y x y x 或或（2）)1,0(),0,1(,,3-=∴=⊥=B 且 π. ∴),cos ,(cos )12cos 2,(cos 2C A C A =-=+《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《正弦定理与余弦定理》 第19页（共21页） ∴)2cos 2(cos 211cos cos ||222C A C A c b ++=+=+ =1+1cos()cos()1cos(),2A C A C A C +-=-- 22,33A C ππ-<-< ∴,1)cos(21≤-<-C A ∴.25||22<+≤ １０．解 设00,60120MOA θθ∠=≤≤，在MOA ∆、NOA ∆中分别得06sin(30)OM θ=+，06sin(30)a ON θ=-， 所以2211OM ON +2212[sin (30)sin (30)]a θθ=++-26(a θ=-， 由θ角的范围可知11cos 22θ-≤≤-，所以其最大值是218a ，最小值为215a． １１．解 构造方程求解．在ABC ∆中，有tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，因为333tan tan tan 3tan tan tan A B C A B C ++- 2(tan tan tan )[(tan tan tan )A B C A B C =++++3(tan tan tan tan tan tan )]A B B C C A -++ 从而求得2tan tan tan tan tan tan 3A B B C C A ++=-， 所以tan ,tan ,tan A B C 是方程《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《正弦定理与余弦定理》 第20页（共21页） 321210636x x x +-+=即326410x x x +-+=的三个根． 由32641(1)(21)(31)x x x x x x +-+=+--得tan ,tan ,tan A B C 的值分别是111,,32-，从而三个内角为311,arctan ,arctan 432π． １２．解 利用正余弦定理及整数的性质求解．32C A B B πππ=--=->,cos 6B B π∴<>且cos B 是有理数， 令cos ,,,,(,)1n B m n m n N m n m =>∈=，由67728<<，故8m ≥． 又22sin 3(34sin )(4cos 1)sin b c B b B b B B =⋅=-=-224(1)n b m=-， 故224bn m 是整数，又(,)1m n =，故24b m 为整数，由8m ≥知16b ≥，再由cos B >21]32,c >-=故32c ≥．sin 22cos 21627sin b B a b B B ==≥⋅=>，故28a ≥， 即28163377a b c ++≥++=．即周长的最小值为77．此时 28,16,33a b c ===，由余弦定理求得177cos ,cos 328A B ==，故《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《正弦定理与余弦定理》 第21页（共21页） cos cos 2A B =，即满足2A B =，又171c o s 322A =>7,cos 82B =>即,63B A ππ<<，从而角C 是钝角，满足条件．故ABC ∆周长的最小值是77，此时28,16,33a b c ===．。
高考理科数学试题及答案1996
高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.31ii+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -2. 设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =（）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．15-B ．9-C ．1D ．96. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（）A ．2 B ．3 C ．4 D ．59. 若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的 离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．2310. 若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）A.1-B.32e --C.35e -D.111. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB与1C B 所成角的余弦值为（）A ．32 B ．155 C ．105D ．33 12. 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）A.2-B.32-C. 43- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三数学 三 数学思维的严密性素材
三 数学思维的严密性一、概述在中学数学中，思维的严密性表现为思维过程服从于严格的逻辑规则，考察问题时严格、准确，进行运算和推理时精确无误。
数学是一门具有高度抽象性和精密逻辑性的科学，论证的严密性是数学的根本特点之一。
但是，由于认知水平和心里特征等因素的影响，中学生的思维过程常常出现不严密现象，主要表现在以下几个方面：概念模糊 概念是数学理论体系中十分重要的组成部分。
它是构成判断、推理的要素。
因此必须弄清概念，搞清概念的内涵和外延，为判断和推理奠定基础。
概念不清就容易陷入思维混乱，产生错误。
判断错误 判断是对思维对象的性质、关系、状态、存在等情况有所断定的一种思维形式。
数学中的判断通常称为命题。
在数学中，如果概念不清，很容易导致判断错误。
例如，“函数xy -=)31(是一个减函数”就是一个错误判断。
推理错误 推理是运用已知判断推导出新的判断的思维形式。
它是判断和判断的联合。
任何一个论证都是由推理来实现的，推理出错，说明思维不严密。
例如，解不等式.1x x > 解 ,1,12>∴>x xx Θ,1>∴x 或 .1-<x 这个推理是错误的。
在由xx 1>推导12>x 时，没有讨论x 的正、负，理由不充分，所以出错。
二、思维训练实例思维的严密性是学好数学的关键之一。
训练的有效途径之一是查错。
(1) 有关概念的训练 概念是抽象思维的基础，数学推理离不开概念。
“正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。
”《中学数学教学大纲》（试行草案）例1、不等式 ).23(log )423(log 2)2(2)2(22+->--++x x x x x x错误解法 ,122>+x Θ,2342322+->--∴x x x x.223,0622-<>∴>-+∴x x x x 或错误分析 当2=x 时，真数0232=+-x x 且2=x 在所求的范围内（因 232>），说明解法错误。
(详细解析)1996年全国高考文科试题
1996年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）第Ⅰ卷（选择题共65分）注意事项：1．答案Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．一．选择题：本大题共15小题；第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{}1,2,3,4,5,6,7I =，集合{}{}1,3,5,7,3,5A B ==．则 A ．I AB = B ．I A B =C ．I A B =D ．I A B =【答案】C【解析】显然C 正确．2．当1a >时，在同一坐标系中，函数xy a -=与log a y x =的图像【答案】A【解析】当1a >时，函数xy a -=是减函数，且过点(0,1)；而函数log a y x =为增函数，且过点(1,0)．3．若22sin cos x x >，则x 的取值范围是A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,412432ππππ B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,452412ππππ C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,4141ππππ D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,4341ππππ 【答案】D【解析】2221sin cos sin sin 22x x x x >⇒>⇒>或sin 2x <-，解得24k x ππ+< 32()4k k Z ππ<+∈或322()44k x k k Z ππππ-<<-∈，即(21)(21)4k x k πππ-+<<- 3()4k Z π+∈，所以x 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,4341ππππ． 4．复数54)31()22(i i -+等于A ．i 31+B ．i 31+-C ．i 31-D ．i 31-- 【答案】B44425(2)12()i ω===--．5．6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有 A ．720种 B ．360种 C ．240种 D ．120种 【答案】C【解析】将甲、乙两人捆绑在一起，不同的排法有5252240A A =．6．已知α是第三象限角且24sin 25α=-，则tan 2α=A ．43 B ．34 C ．34- D ．43- 【答案】D【解析】由已知得7cos 25α=-，所以2sin 2sin 1cos 22tan 2sin cos2sincos222αααααααα-===71()42524325--==--．7．如果直线,l m 与平面,,αβγ满足：,//,l l m βγαα=⊂和m γ⊥，那么必有A ．αγ⊥且l m ⊥B ．αγ⊥且//m βC ．//m β且l m ⊥D ．//αβ且αγ⊥ 【答案】A 【解析】略． 8．当22x ππ-≤≤时，函数()sin f x x x =的A ．最大值是1，最小值是1-B ．最大值是1，最小值是12-C ．最大值是2，最小值是2-D ．最大值是2，最小值是1- 【答案】D【解析】因为()sin 2sin()3f x x x x π=+=+，由已知5636x πππ-≤+≤．故当 32x ππ+=，即6x π=时，()f x 有最大值是2；当36x ππ+=-，即2x π=-时，()f x 有最小值是1-．9．中心在原点，准线方程为4x =±，离心率为12的椭圆方程是 A ．22143x y += B ．22134x y += C ．2214x y += D ．2214y x += 【答案】A【解析】由题设可得214,2a c c a ==，解得2,1a c ==，所以椭圆方程是22143x y +=．10．圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角为240︒，该圆锥的体积是A B ．881π C D ．1081π【答案】C【解析】设圆锥底面半径为r ，则224021360r ππ︒=⨯︒，得23r =，3=，圆锥的体积是212()33π=．11．椭圆222515091890x x y y -+++=的两个焦点坐标是A ．(3,5),(3,3)---B ．(3,3),(3,5)-C ．(1,1),(7,1)-D ．(7,1),(1,1)--- 【答案】B【解析】椭圆的标准方程为2222(1)(3)153y x +-+=，而2222153y x +=的焦点为(0,4)±，所以2222(1)(3)153y x +-+=的焦点坐标是(3,3),(3,5)-．12．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD a =，则三棱锥D ABC -的体积为A ．63aB ．123aC ．3123aD ．3122a【答案】D【解析】取AC 的中点O ，连接,BO DO ，如图所示．,ABC ADC ∆∆均为等腰直角三角形，2AC BO DO ===， ∴2BOD π∠=，则DO ⊥面ABC ，DO 就是三棱锥D ABC -的高，所以231132D ABC V a -=⋅=．13．等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为 A ．130 B ．170 C ．210 D ．260 【答案】C【解析】由已知得230,100m m S S ==，则232,,m m m m m S S S S S --成等差数列，所以323()210m m m S S S =-=．14．设双曲线)0(12222b a by a x <<=-的半焦距为c ，直线l 过(,0),(0,)a b 两点．已知原点到直线l 的距离为c 43，则双曲线的离心率为 A ．2 B ．3 C ．2 D ．332 【答案】A【解析】直线l 的方程为0bx ay ab +-=，原点到直线l 4=，则22222316a b c a b =+，即22222()316a c a c c -=，解得2e =或e =0a b <<，所以e ==>，所以e =15． ()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数，(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，则(7.5)f等于A ．0.5B ．0.5-C ．1.5D ． 1.5- 【答案】B【解析】(7.5)(5.52)(5.5)[(3.5)](3.5)(1.5)[(0.5)]f f f f f f f =+=-=--==-=---(0.5)0.5f =-=-．第Ⅱ卷（非选择题共85分）注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．16．已知点(2,3)-与抛物线)0(22>=p px y 的焦点的距离是5，则p = ． 【答案】45=，解得4p =．17．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有 个．（用数字作答） 【答案】32【解析】从7个点中取3个点有37C 种取法，3个点共线的有3种，三角形共有37332C -=个．18．tg20tg403tg20tg40++的值是 ． 【答案】3【解析】∵tg20tg40tg(2040)31tg20tg40++==-，∴tg20tg403(1-tg20tg40)+=，tg20tg403tg20tg403++=．19．如图，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是 ．【答案】42 【解析】由于//AD BC ，所以CBF ∠即为异面直线AD 与BF所成角，设正方形边长为a ，在CBF ∆中，,,BF BC a FC =====，222cos 24BF BC FC CBF BF BC +-∠==⋅．三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．20．（本小题满分11分） 解不等式log (1)1a x a +->．【解】本小题考查对数函数性质，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力，满分11分．（Ⅰ）1>a 时，原不等式等价于不等式组：10,1.x a x a a +->⎧⎨+->⎩ ——2分解得21x a >-． ——5分（Ⅱ）当01a <<时，原不等式等价于不等式组：10,1.x a x a a +->⎧⎨+-<⎩——7分解得121a x a -<<-． 10分综上，当1>a 时，不等式的解集为{}21x x a >-；当01a <<时，不等式的解集为{}121x a x a -<<-． ——11分21．（本小题满分12分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若3692S S S +=，求数列的公比q ．【解】本小题主要考查等比数列的基础知识，逻辑推理能力和运算能力．满分12分．若1q =，则有3161913,6,9S a S a S a ===．但10a ≠，即得3692S S S +≠，与题设矛盾，故1q ≠． ——2分又依题意3692S S S +=可得369111(1)(1)2(1)111a q a q a q q q q---+=---． 整理得363(21)0q q q --=．由0q ≠得方程63210q q --=．33(21)(1)0q q +-=， —— 9分∵ 31,1q q ≠≠，∴3210q +=，∴2q =-． ——12分22．（本小题满分11分）已知ABC ∆的三个内角,,A B C 满足：BC A B C A cos 2cos 1cos 1,2-=+=+，求 2cosCA -的值． 解法一：由题设条件知60,120B AC =+=． ——2分=-22cos 1cos 1-=+C A ． 将上式化为C A C A cos cos 22cos cos -=+． 利用和差化积及积化和差公式，上式可化为)]cos()[cos(22cos 2cos2C A C A CA C A -++-=-+． ——6分 将21)cos(,2160cos 2cos -=+==+C A C A 代入上式得cos)22A C A C -=-． 将1)2(cos 2)cos(2--=-CA C A 代入上式并整理得 023)2cos(2)2(cos 242=--+-CA C A ——9分(2cos 3)022A C A C ---+=，∵302A C -+≠，∴2cos 02A C-=．从而得cos2A C -=——12分 解法二：由题设条件知60,120B A C =+=．设2A Cα-=，则2A C α-=，可得60,60A C αα=+=-， ——3分 所以)60cos(1)60cos(1cos 1cos 1αα-++=+ C A ααααsin 23cos 211sin 23cos 211++-=ααα22sin 43cos 41cos -=43cos cos 2-=αα． ——7分 依题设条件有Bcos 243cos cos 2-=-αα， ∵21cos =B ，∴2243cos cos 2-=-αα．整理得22cos 0,αα+-= ——9分(2cos 3)0αα+=，∵03cos 22≠+α，∴02cos 2=-α．从而得222cos =-C A ． ——11分23．（本小题满分12分）【注意：本题的要求是，参照标号①的写法，在标号②、③、④、⑤的横线上填写适当步骤，完成（Ⅰ）证明的全过程；并解答（Ⅱ），如图2．】如图1，在正三棱柱111ABC A B C -中，13AA AB a ==，,E F 分别是11,BB CC 上的点，且,2BE a CF a ==．（Ⅰ）求证：面AEF ⊥面ACF ； （Ⅱ）求三棱锥1A AEF -的体积．（Ⅰ）证明： ①∵,2BE a CF a ==，//BE CF ，延长FE 与CB 延长线交于D ，连结AD ．∴DBEDCF ∆∆，∴DB BEDC CF=． ② ． ∴DB AB =．③ ． ∴DA AC ⊥．④ ． ∴FA AD ⊥．⑤ ． ∴AEF ⊥面ACF ． （Ⅱ）解：【解】本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力及运算能力．满分12分．（Ⅰ）②∵:1:2BE CF =，∴2DC DB =，∴DB BC =， ——1分③∵ABD ∆是等腰三角形，且120ABD ∠=︒，∴30BAD ∠=︒，∴90CAD ∠=︒， —— 3分 ④∵FC ⊥面ACD ，∴CA 是FA 在面ACD 上的射影，且CA AD ⊥， —— 5分 ⑤∵FA AC A =，DA ⊥面ACF ，DA ⊂面ADF ，∴面ADF ⊥面ACF ． 7分（Ⅱ）∵11A AEF E AA F V V --=，在面111A B C 内作111B G AC ⊥，垂足为G ．12B G =． 面111A BC ⊥面1AC ，∴1B G ⊥面1AC ，∵1E BB ∈，而1//BB 面1AC ，∴三棱柱1E AA F -的高为2．——9分1112A FAS AA AC ∆=⋅= ——10分∴11A AEF E AA FV V --== ——12分24．（本小题满分10分）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）?（粮食单产=耕地面积总产量，人均粮食占有量=总人口数总产量） 【解】本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力，指数函数和二项式定理的应用，近似计算的方法和能力．满分10分．设耕地平均每年至多只能减少x 公顷，又设该地区现有人口为P 人，粮食单产为M 吨/公顷． 依题意得不等式%)101(10%)11()1010(%)221(4104+⨯⨯≥+⨯-⨯+⨯P M P x M ．——5分 化简得]22.1)01.01(1.11[10103+⨯-⨯≤x ． ——7分 ∵103312210101.1(10.01) 1.110[1]10[1(10.010.01)]1.22 1.22C C ⨯+⨯-=⨯-⨯+⨯+⨯+3 1.110[1 1.1045] 4.11.22≈⨯-⨯≈． —— 9分 ∴4x ≤（公顷）．答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷． ——10分25．（本小题满分12分）已知12,l l 是过点)0,2(-P 的两条互相垂直的直线，且12,l l 与双曲线122=-x y 各有两个交点，分别为11,A B 和22,A B ．（Ⅰ）求1l 的斜率1k 的取值范围；（Ⅱ）若1A 恰是双曲线的一个顶点，求22A B 的值．【解】本小题主要考查直线与双曲线的性质，解析几何的基本思想，以及综合运用知识的能力．满分12分．（Ⅰ）依题设，12,l l 的斜率都存在，因为1l 过点)0,2(-P 且与双曲线有两个交点，故方程组1122(0),1.y k x k y x ⎧=+≠⎪⎨-=⎪⎩ ① ——1分有两个不同的解．在方程组①中消去y ，整理得01222)1(2121221=-++-k x k x k ． ② 若0121=-k ，则方程组①只有一个解，即1l 与双曲线只有一个交点，与题设矛盾，故 0121≠-k ，即11≠k ，方程②的判别式为2222211111)4(1)(21)4(31)k k k ∆=---=-．设2l 的斜率为2k ，因为2l 过点)0,2(-P 且与双曲线有两个交点，故方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-≠+=.1),0)(2(2222x y k x k y ③ 有两个不同的解．在方程组③中消去y ，整理得01222)1(2222222=-++-k x k x k ． ④同理有)13(4,0122222-=∆≠-k k ．又因为12l l ⊥，所以有121l l ⋅=-． ——4分于是，12,l l 与双曲线各有两个交点，等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-=⋅>->-.1,1,013,0131212221k k k k k 解得⎪⎩⎪⎨⎧≠<<.1,33311k k——6分 ∴)3,1()1,33()33,1()1,3(1 ----∈k ． ——7分 （Ⅱ）双曲线122=-x y 的顶点为(0,1),(0,1)-．取1(0,1)A时，有1(01k =，解得12k =．从而211k k =-= ——8分将2k =230x ++=． ⑤记2l 与双曲线的两交点为211222(,),(,)A x y B x y ，则2222222122121212()()3()3[()4]A B x x y y x x x x x x =-+-=-=+-．由⑤知1212)3x x x x +=-=．∴2222260,A B A B == ——11分当取1(0,1)A -时，由双曲线122=-x y 关于x 轴的对称性，知22A B =所以1l 过双曲线的一个顶点时，22A B = ——12分。
集合经典例题讲解
集合经典例题讲解集合元素的“三性”及其应用集合的特征是学好集合的基础，是解集合题的关键，它主要指集合元素的确定性、互异性和无序性，这些性质为我们提供了解题的依据，特别是元素的互异性，稍有不慎，就易出错．例1 已知集合Ａ＝｛a ，a ＋b ，a ＋2b ｝，Ｂ＝｛a ，a q ，a 2q ｝，其中a 0≠，Ａ＝Ｂ，求q 的值．例2 设Ａ＝｛ｘ∣2x ＋（ｂ＋2）ｘ＋ｂ＋1＝０，ｂ∈R ｝，求Ａ中所有元素之和．例3 已知集合 =A {2，3,2a +4a +2}， B ＝{0,7, 2a +4a -2,2-a }，且A B={3,7},求a 值．分析：集合易错题分析1．进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解.2．你会用补集的思想解决有关问题吗？3．求不等式（方程）的解集，或求定义域（值域）时，你按要求写成集合的形式了吗？1、忽略φ的存在：例题1、已知A={x|121m x m +≤≤-}，B={x|25x -≤≤}，若A ⊆B ，求实数m 的取值范围．2、分不清四种集合：{}()x y f x =、{}()y y f x =、{},)()x y y f x =（、{}()()x g x f x ≥的区别.例题2、已知函数()x f y =，[]b a x ,∈，那么集合()()[]{}(){}2,,,,=∈=x y x b a x x f y y x 中元素的个数为…………………………………………………………………………（ ）（A ） 1 （B ）0 （C ）1或0 （D ） 1或23、搞不清楚是否能取得边界值：例题3、A={x|x<－2或x>10}，B={x|x<1－m 或x>1＋m}且B ⊆A ，求m 的范围.例4、已知集合{}R x x y y P ∈+-==,22，{}R x x y x Q ∈+-==,2，那么Q P 等于 （ ） A.（0,2）,(1,1) B.{(0,2),(1,1)} C. {1,2} D.{}2≤y y集合与方程例1、已知{}φ=∈=+++=+R A R x x p x x A ,,01)2(2，求实数p 的取值范围。
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一九九六年全国高考数学试题理科试题一．选择题：本题共15个小题;第（1）-（10）题每小题4分，第（11）-（15）题每小题5分，共65分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知全集I=N ，集合},2|{N n n x x A ∈==，},4|{N n n x x B ∈==。
则 （ C ）（A ）B A I ⋃= （B ）B A I ⋃= （C ）B A I ⋃= （D ）B A I ⋃=（2）当1>a 时，在同一坐标系中，函数x a y -=与x y a log =的图象是 （ A ）（3）若x x 22cos sin >，则x 的取值范围是 （ D ）（A ）},412432|{Z k k x k x ∈π+π<<π-π（B ）},452412|{Z k k x k x ∈π+π<<π+π（C ）},4141|{Z k k x k x ∈π+π<<π-π（D ）},4341|{Z k k x k x ∈π+π<<π+π（4）复数54)31()22(i i -+等于 （ B ）（A ）i 31+ （B ）i 31+- （C ）i 31- （D ）i 31--（5）如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足：α⊂αγ⋂β=m l l ,//,和γ⊥m ，那么必有 （ A ）(A) y (B) y (C) y (D) yx（A ）γ⊥α且m l ⊥ （B ）γ⊥α且β//m （C ）β//m 且m l ⊥ （D ）βα//且γ⊥α（6）当22π≤≤π-x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的 （ D ） （A ）最大值是1，最小值是-1 （B ）最大值是1，最小值是21- （C ）最大值是2，最小值是-2 （D ）最大值是2，最小值是-1 （7）椭圆⎩⎨⎧ϕ+-=ϕ+=.sin 51,cos 33y x 的两个焦点坐标是 （ B ）（A ）（-3，5），（-3，-3） （B ）（3，3），（3，-5） （C ）（1，1），（-7，1） （D ）（7，-1），（-1，-1）（8）若20π<α<，则)](arccos[sin )]2(arcsin[cos α+π+α+π等于 （ A ） （A ）2π （B ）2π- （C ）α-π22 （D ）α-π-22（9）将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD=a ，则三棱锥D-ABC 的体积为 （ D ）（A ）63a （B ）123a （C ）3123a （D ）3122a（10）等比数列}{n a 的首项11-=a ，前n 项和为n S ，若3231510=S S ，则nn S ∞→lim 等于 （ B ） （A ）32 （B ）32- （C ）2 （D ）-2 （11）椭圆的极坐标方程为θ-=ρcos 23，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是 （ C ）（A ）（3，0），（1，π） （B ）（2,3π），（23,3π） （C ）（2，3π），（2，35π） （D ）（23,7arctg ），（232,7arctg -π）（12）等差数列}{n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为 （ C ） （A ）130 （B ）170 （C ）210 （D ）260（13）设双曲线)0(12222b a by a x <<=-的半焦距为c ，直线l 过（a ，0），（0，b ）两点。
已知原点到直线l 的距离为c 43，则双曲线的离心率为 （ A ） （A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）332 （14）母线长为1的圆锥的体积最大时，其侧面展开图圆心角ϕ等于 （ D ） （A ）π322 （B ）π332 （C ）π2 （D ）π362 （15）设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.7(f 等于 （ B ）（A ）0.5 （B ）-0.5 （C ）1.5 （D ）-1.5二．填空题：本大题共4小题;每小题4分，共16分。
把答案填在题中横线上。
（16）已知圆07622=--+x y x 与抛物线)0(22>=p px y 的准线相切。
则p=__________ 答：2（17）正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有_______个（用数字作答） 答：32(18)︒︒+︒+︒402034020tg tg tg tg 的值是_______ 答：3（19）如图，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成600的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是_______ 答：42 三．解答题：本大题共5小题;共50分. 解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。
（20）（本小题满分11分） 解不等式.1)11(log >-xa解：（Ⅰ）当1>a 时，原不等式等价于不等式组：.11.11,011x a a xx >-⎪⎩⎪⎨⎧>->-由此得 因为,01<-a 所以,0<x.011<<-∴x a（Ⅱ）当10<<a 时，原不等式等价于不等式组：D C A B F E⎪⎩⎪⎨⎧<->-)2(.11)1(,011a xx由（1）得，,01<>x x 或 由（2）得，.111,110ax a x -<<∴-<< 综上，当1>a 时，不等式的解集为};011|{<<-x ax 当10<<a 时，不等式的解集为}.111|{ax x -<<（21）（本小题满分12分）已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足： A+C=2B ，.cos 2cos 1cos 1B C A -=+求2cos CA -的值。
解：由题设条件知： B=600，A+C=1200CA C A CA cos cos 22cos cos .22cos 1cos 1,2260cos 2-=+-=+∴-=︒-将上式化为Θ利用和差化积及积化和差公式，上式可化为代入上式得将21)cos(,2160cos 2cos )]cos()[cos(22cos 2cos2-=+=︒=+-++-=-+C A C A C A C A CA C A)cos(2222cosC A C A --=- 将1)2(cos 2)cos(2--=-CA C A 代入上式并整理得.022cos 2,032cos 220)32cos 22)(22cos 2(0232cos 2)2(cos 242=--∴≠+-=+---=--+-CA CA C A C A CA C A Θ从而得.222cos=-C A （22）（本小题满分12分）如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，E ∈BB 1，截面A 1EC ⊥侧面AC 1 （Ⅰ）求证：BE=EB 1;（Ⅱ）若AA 1=A 1B 1，求平面A 1EC 与平面A 1B 1C 1所成二面角（锐角）的度数。
注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为（Ⅰ）的完整证明，并解答（Ⅱ）。
（Ⅰ）证明：在截面A 1EC 内， 过E 作EG ⊥A 1C ，G 是垂足。
①∵面A 1EC ⊥侧面AC 1，∴EG ⊥侧面AC 1;取AC 中点F ，连结BF ，FG ，由AB=BC 得BF ⊥AC ， ②∵面ABC ⊥侧面AC 1，∴BF ⊥侧面AC 1;得BF ∥EG ，BF 、EG 确定一个平面，交侧面AC 1于FG 。
③∵BE ∥侧面AC 1，A CBEA 1 C 1B 1A F CB G E A 1C 1D B 1∴BE ∥FG ，四边形BEGF 是平行四边形，BE=FG ， ④∵BE ∥AA 1，∴FG ∥AA 1，△AA 1C ∽△FGC ， ⑤∵AF=FC ，∴FG=21AA 1=21BB 1，即BE=21BB 1，故BE=EB 1。
（Ⅱ）解：分别延长CE 、C 1B 1交于点D ，连结A 1D ∵EB 1∥CC 1，EB 1=21BB 1=21CC 1， ∴DB 1=21DC 1=B 1C 1=A 1B 1，∵∠B 1A 1C 1=∠B 1C 1A 1=600，∠DA 1B 1=∠A 1DB 1=21（1800-∠DB 1A 1）=300， ∴∠DA 1C 1=∠DA 1B 1+∠B 1A 1C 1=900，即DA 1⊥A 1C 1。
∵CC 1⊥面A 1C 1B 1，即A 1C 1是A 1C 在平面A 1C 1D 上的射影，根据三垂线定理得DA 1⊥A 1C所以∠CA 1C 1是所求二面角的平面角。
∵CC 1=AA 1=A 1B 1=A 1C 1，∠A 1C 1C=900， ∴∠CA 1C 1=450，即所求二面角为450。
（23）（本小题满分10分）某地现有耕地１0000公顷。
规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%。
如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到１公顷）？（产量粮食=耕地面积总产量，占有量人均粮食=总人口数总产量）解：设耕地平均每年至多只能减少x 公顷，又设该地区现有人口为P 人，粮食单产为M 吨/公顷。
依题意得不等式%).101(10%)11()1010(%)221(4104+⨯⨯≥+⨯-⨯+⨯P M P x M 化简得]22.1)01.01(1.11[10103+⨯-⨯≤x )(41.4]1045.122.11.11[10)]01.001.01(22.11.11[10]22.1)01.01(1.11[10322101103103公顷≤∴≈⨯-⨯≈+⨯+⨯+⨯-⨯=+⨯-⨯x C C ΛΘ 答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷。
（24）（本小题满分12分）已知21,l l 是过点P （0,2-）的两条互相垂直的直线，且21,l l 与双曲线122=-x y 各有两交点，分别为A 1、B 1和A 2、B 2。
（Ⅰ）求1l 的斜率k 1的取值范围;（Ⅱ）若|A 1B 1|=5|A 2B 2|，求21,l l 的方程。
解：（Ⅰ）依题意，21,l l 的斜率都存在。
因为1l 过点P （0,2-）且与双曲线有两个交点，故方程组⎩⎨⎧=-≠+=1),0)(2(2211x y k x k y （1） 有两个不同的解。
在方程组（1）中消去y ，整理得01222)1(2121221=-++-k x k x k （2）若0121=-k ，则方程组（1）只有一个解，即1l 与双曲线只有一个交点，与题设矛盾。