矩阵知识点归纳

矩阵知识点归纳

(一)二阶矩阵与变换

1．线性变换与二阶矩阵

在平面直角坐标系xOy 中，由⎩

⎪⎨⎪⎧

x ′＝ax ＋by ，

y ′＝cx ＋dy ，(其中a ，b ，c ，d

是常数)构成的变换称为线性变换．由四个数a ，b ，c ，d 排成的正方

形数表⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤

a b c d 称为二阶矩阵，其中a ，b ，c ，d 称为矩阵的元素，矩阵通常用大写字母A ，B ，C ，…或(a ij )表示(其中i ，j 分别为元素a ij 所在的行和列)．

2．矩阵的乘法

行矩阵[a 11a 12]与列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21的乘法规则为[a 11a 12]⎣⎢⎡⎦

⎥⎤b 11b 21＝[a 11b 11＋a 12b 21]，二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 与列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 的乘法规则为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦

⎥⎥⎤ax ＋by cx ＋dy .矩阵乘法满足结合律，不满足交换律和消去律．

3．几种常见的线性变换

(1)恒等变换矩阵M ＝⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤

1 00 1； (2)旋转变换R θ对应的矩阵是M ＝⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤

cos θ －sin θsin θ cos θ； (3)反射变换要看关于哪条直线对称．例如若关于x 轴对称，则变

换对应矩阵为M 1＝⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤

1 00 －1；若关于y 轴对称，则变换对应矩阵为M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1；若关于坐标原点对称，则变换对应矩阵M 3＝⎣⎢⎢⎡⎦

⎥

⎥⎤－1 0 0 －1； (4)伸压变换对应的二阶矩阵M ＝⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤

k 1 00 k 2，表示将每个点的横坐标变为原来的k 1倍，纵坐标变为原来的k 2倍，k 1，k 2均为非零常数；

(5)投影变换要看投影在什么直线上，例如关于x 轴的投影变换的

矩阵为M ＝⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤

1 00 0； (6)切变变换要看沿什么方向平移，若沿x 轴平移|ky |个单位，则对

应矩阵M ＝⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤

1 k 0 1，若沿y 轴平移|kx |个单位，则对应矩阵M

＝⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤

1 0k 1.(其中k 为非零常数)． 4．线性变换的基本性质

设向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，规定实数λ与向量α的乘积λα＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

λx λy ；设向量α

＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2，规定向量α与β的和α＋β＝⎣⎢⎢⎡⎦

⎥⎥

⎤x 1＋x 2y 1＋y 2. (1)设M 是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ是一个任意实数，则①M (λα)＝λMα，②M (α＋β)＝Mα＋Mβ.

(2)二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或一点)．

(二)矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量

1．矩阵的逆矩阵

(1)一般地，设ρ是一个线性变换，如果存在线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝I ，则称变换ρ可逆．并且称σ是ρ的逆变换．

(2)设A 是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B ，使得BA ＝AB ＝E ，则称矩阵A 可逆，或称矩阵A 是可逆矩阵，并且称B 是A 的逆矩阵．

(3)(性质1)设A 是一个二阶矩阵，如果A 是可逆的，则A 的逆矩阵是唯一的．A 的逆矩阵记为A －1．

(4)(性质2)设A ，B 是二阶矩阵，如果A ，B 都可逆，则AB 也可逆，且(AB )－1＝B －1A －1.

(5)已知A ，B ，C 为二阶矩阵，且AB ＝AC ，若矩阵A 存在逆矩阵，则B ＝C .

(6)对于二阶可逆矩阵A ＝⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤

a b c d (ad －bc ≠0)，它的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦

⎥⎥⎤d ad －bc

－b ad －bc －c ad －bc

a

ad －bc

.

2．二阶行列式与方程组的解

对于关于x ，y 的二元一次方程组⎩

⎪⎨⎪⎧

ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n ，我们把⎪⎪

⎪⎪⎪⎪a b c d 称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值(或多项式)，记为det(A )＝⎪⎪⎪⎪

⎪⎪a b c d ＝ad －bc .

若将方程组中行列式⎪⎪

⎪⎪⎪⎪a b c d 记为D ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪m b n d 记为D x ，⎪⎪⎪⎪

⎪⎪

a m c n 记为D y ，则当D ≠0时，方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝D x

D ，

y ＝D y

D .

3．二阶矩阵的特征值和特征向量

(1)特征值与特征向量的概念

设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，α称为A 的一个属于特征值λ的一个特征向量．

(2)特征多项式

设λ是二阶矩阵A ＝⎣⎢

⎡⎦⎥⎤

a b c d 的一个特征值，它的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋by ＝λx ，cx ＋dy ＝λy ，也即⎩

⎪⎨⎪⎧

?λ－a ?x －by ＝0，

－cx ＋?λ－d ?y ＝0.(*)

定义：设A ＝⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤

a b c d 是一个二阶矩阵，λ∈R ，我们把行列式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

λ－a －b －c λ－d ＝λ2

－(a ＋d )λ＋ad －bc 称为A 的特征多项式． (3)矩阵的特征值与特征向量的求法

如果λ是二阶矩阵A 的特征值，则λ一定是二阶矩阵A 的特征多项式的一个根，即f (λ)＝0，此时，将λ代入二元一次方程组(*)，

就可得到一组非零解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，于是非零向量⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

x 0y 0即为A 的属于λ的一个特

征向量

．

所有变换矩阵

单位矩阵：1001M ⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦

，点的变换为(,)(,)x y x y →

伸压变换矩阵：001k M ⎡⎤

=⎢

⎥⎣⎦

：1k >，将原来图形横坐标扩大为原来k 倍，纵坐标不变 01k <<，

将原来图形横坐标缩小为原来k 倍，纵坐标不变 点的变换为(,)(,)x y kx y →