2020年考研数学二真题及答案分析(word版)
2020年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题完整版附答案分析及详解
x (0, 0)
xy (0, 0)
(x, y)→( 0,0 )
y→0 x→0
数是
A.4 B.3 C.2 D.1
答案：B
6. 设函数 f (x) 在区间 − 2,2上可导，且 f (x) f (x) 0 ，则（）
A f (−2) 1 f (−1)
B f (0) e C f (1) e2 D f (2) e3
3.
1
0
arcsin
x (1−xx)源自dx=π2
A.
4
π2
B.
8
C. π
D. π
4
8
答案： A
解析： 1 arcsin xdx = arcsin2
0 x(1− x)
x
1 0
2 =
4
.
4. f ( x) = x2 ln (1− x), n 3 时， f (n) (0) =
A. − n! n−2
答案： A
+
y(x)dx =
0
解析：由
y + 2y + y = 0
y
(0)
=0，y
(
0)
y))dy
dz
(0, )
=
(
−1)dx − dy
12.斜边长为 2a 等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐，设重力加速度 为 g，水密度为 ，则该平板一侧所受的水压力为
答案： 1 ega3 3
解析： a g(a − y)[ y − (− y)]dy = 1 ga3
0
3
13.设 y = y ( x) 满足 y + 2y + y = 0 ，且 y (0) =0，y(0) =1，则
2020考研数学二真题含答案解析
2020年全国硕士研究生招生考试数学二试题一、选择题：1~8题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（1）当x 0时，下列无穷小量中最高阶的是A. （）x0(e 1)dte1x 1t 2 B.x0ln(1 t )dt3 C.sin x0sin t dt2 D.1 cos xsin 3tdt（2）函数f (x ) A.1个（3）ln1 x(e x 1)(x 2)的第二类间断点的个数为C.3个D.4个（）B.2个arcsin xx (1 x )dx 1（）2A.42 2B.8 C.(n )4D. 8（）（4）已知函数f (x ) x ln(1 x ),当n 3时，f A.(0)(n 2)!nD.n !n 2B.n !n 2 C.(n 2)!n（）xy ,xy 0 （5）关于函数f (x ,y )x ,y 0,给出下列结论： y ,x 0f ① x2f 1;②x yB.3(0,0)(0,0)1;③(x ,y ) (0,0)limf (x ,y ) 0;④lim lim f (x ,y ) 0.y 0x 0其中正确的个数为A.4（C.2D.1（D.）（6）设函数f (x )在区间 2,2 上可导，且f (x ) f (x ) 0.则A.）f ( 2)1f ( 1)B.f (0) e f ( 1)C.f (1) e 2f ( 1)f (2) e 3f ( 1)*（7）设4阶矩阵A (a ij )不可逆，a 12的代数余子式A 12 0， 1, 2, 3, 4为矩阵A 的列向量组，A 为A 的伴随矩阵，则方程组A *x 0的通解为A.x k 1 1k 22k 33,其中k 1,k 2,k 3为任意数B.x k 1 1k 22k 34,其中k 1,k 2,k 3为任意数C.x k 1 1k 23k 34,其中k 1,k 2,k 3为任意数D.x k 12k 23k 34,其中k 1,k 2,k 3为任意数（）（8）设A 为3阶矩阵， 1, 2为A 的属于特征值1的线性无关的特征向量， 3为A 的属于特征值-1的特1001征向量，则满足P AP 0 10 的可逆矩阵P 可为001A.( 13, 2, 3)B.( 1 2, 2, 3)C.( 1 3, 3, 2)（）D.( 1 2, 3, 2)二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在横线上.x t 2 1d 2y （9）设,则22dxy ln(t t 1)（10） ________.t 110dy1yx 3 1dx ________.(0, )（11）设z arctan xy sin(x y ),则dz ________.（12）斜边长为2a 的等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐，记重力加速度为g ，水的密度为 ，则该平板一侧所受的水压力为________.（13）设y y (x )满足y 2y y 0,且y (0) 0,y (0) 1,则y (x )dx ________.a（14）行列式a1 1 11a 0110a________.0 11三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.（15）（本题满分10分）x 1 x求曲线y x 0 的斜渐近线方程. 1 x x（16）（本题满分10分）已知函数f x 连续且lim x 01f (x ) 1,g (x ) f (xt )dt ,求g (x )并证明g (x )在x 0处连续.0x求函数f x ,y x 8y xy 的极值.33（18）（本题满分10分）21 x 2x 设函数f (x )的定义域为 0, 且满足2f (x ) x f.求f (x ),并求曲线2 x 1 x 213y f (x ),y ，y 及y 轴所围图形绕x 轴旋转所成转体的体积.22（19）（本题满分10分）设平面区域D 由直线x 1,x 2,y x 与x 轴围成，计算Dx 2 y 2dxdy .x设函数f (x ) x 1e t dt .22（Ⅰ）证明：存在 (1,2),使得f ( ) (2 )e ;（Ⅱ）证明：存在 (1,2),使得f (2) ln 2 e .2（21）（本题满分11分）设函数f (x )可导，且f (x ) 0，曲线y f (x )(x 0)经过坐标原点O ,其上任意一点M 处的切线与x 轴交于T ,又MP 垂直x 轴与点P .已知由曲线y f (x ),直线MP 以及x 轴所围图形的面积与 MTP 的面积之比恒为3:2，求满足上述条件的曲线的方程.设二次型f (x 1,x 2,x 3) x 1 x 2x 3 2ax 1x 2 2ax 1x 3 2ax 2x 3经过可逆线性变换222 x 1 y 1222x P 2 y 2 化为二次型g (y 1,y 2,y 3) y 1 y 24y 3 2y 1y 2. x y 33（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求可逆矩阵P .（23）（本题满分11分）设A 为2阶矩阵，P ( ,A ),其中 是非零向量且不是A 的特征向量.（Ⅰ）证明P 为可逆矩阵；（Ⅱ）若A A 6 0，求P AP ,并判断A 是否相似于对角矩阵.2 12020考研数学真题（数学二）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．．．．1.当x →0+时，下列无穷小量中最高阶的是（）A.⎰x0(e -1)dtB.⎰ln(1+t )dtC.⎰0t 2x3sin x0sin t dtD.⎰21-cos xsin 3tdt解析：本题选D.考查了无穷小量的阶的比较，同时考查了变上限积分的函数的求导方法、洛必达法则等。
2020年考研数学二真题及解析
2020全国硕士研究生入学统一考试数学二试题详解一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）当0x +→时，下列无穷小量中最高阶是（ ） （A ）()21xt e dt -⎰（B）(0ln 1xdt +⎰（C ）sin 20sin xt dt ⎰（D）1cos 0-⎰【答案】（D ）【解析】由于选项都是变限积分，所以导数的无穷小量的阶数比较与函数的比较是相同的。
（A ）()()222011x t x e dt e x '-=-~⎰（B ）(()(22ln 1ln 1x t dt x x'+=⎰（C ）()()sin 2220sin sin sin xt dt x x '=⎰（D ）()1cos 22301sin sin(1cos )2xt dt x x x-'=-⎰经比较，选（D ）（2）函数11ln 1()(1)(2)x x e xf x e x -+=--的第二类间断点的个数为 （ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】（C ）【解析】由题设，函数的可能间断点有1,0,1,2x =-，由此11121111ln 1lim ()lim lim ln 1(1)(2)3(1)x x x x x e x ef x x e x e ---→-→-→-+==-+=-∞---； 111000ln 1ln(1)1lim ()lim lim (1)(2)22x x x x x e x e x f x e x x e--→→→++==-=---；1111111111111ln 1ln 2lim ()lim lim 0;(1)(2)1ln 1ln 2lim lim ;(1)(2)1x x x x x x x x x x x exf x e e x e e x e e x e ---++--→→→--→→+===---+==-∞---；112222ln 1ln 31lim ()limlim (1)(2)(1)2x x x x x e x e f x e x e x -→→→+===∞----故函数的第二类间断点（无穷间断点）有3个，故选项（C ）正确。
2020年考研(数学二)真题试卷(题后含答案及解析)
2020年考研（数学二）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．当x→0+时，下列无穷小量中最高阶是A．(et2-1)dt．B．ln(1+)dt．C．sin t2dt．D．正确答案：D解析：x→0+时，A ∴(et2-1)dt是x的3阶无穷小．B∴是x的5/2导阶无穷小，C=sin(sin2x)·cos x～x2∴sint2dt是x的3阶无穷小．D∴是x的5阶无穷小．故应选D．2．函数f(x)=的第二类间断点的个数为A．1．B．2．C．3．D．4．正确答案：C解析：间断点为：x=-1，x=0，x=1，x=2因此x=0是f(x)的第一类可去间断点；所以x=1是f(x)的第二类间断点；同理由知x=2也是f(x)的第二类间断点．故应选C．3．dx=A．π2/4．B．π2/8．C．π/4．D．π/8．正确答案：A解析：所以x=0是可去间断点；x=1是无穷间断点．故是广义积分今：t=，则x=t2，dx=2t·dt故选A．4．已知函数f(x)=x2ln(1-x)．当n≥3时，f（n）(0)=A．-n!/(n-2)．B．n!/(n-2)．C．-(n-2)!/n．D．(n-2)!/n．正确答案：A解析：5．关于函数f(x，y)=给出以下结论正确的个数是A．4．B．3．C．2．D．1．正确答案：B解析：6．设函数f(x)在区间[-2，2]上可导，且f’(x)>f(x)>0，则A．f(-2)/f(-1)>1．B．f(0)/f(-1)>e．C．f(1)/f(-1)＜e2．D．f(2)/f(-1)=0可知，A11a1+A12a2+A13a3+A14a4=0，因为A12≠0，因此a2可由a1，a3，a4线性表示，故a1，a3，a4线性无关．因为r(A)一r(a1，a2，a3，a4)=3，因此a1，a3，a4为基础解系，故应选C．又因为A*A=|A|E=O，A的每一列a1，a2，a3，a4是A*x=0的解向量．只要找到是A*x=0的3个无关解就构成基础解系．8．设A为3阶矩阵，a1，a2为A的属于特征值为1的线性无关的特征向量，a3为A的属于特征值-1的特征向量，则满足P-1AP=的可逆矩阵P为A．(a1+a3,a2,-a3)．B．(a1+a2，a2，-a3)．C．(a1+a3,-a3,a2)．D．(a1+a2，-a3，a2)．正确答案：D解析：因为a1，a2为属于特征值1的线性无关的特征向量，所以a1+a2，a2仍为属于特征值1的线性无关的特征向量，a3为A的属于特征值-1的特征向量，故-a3为A的属于特征值-1的特征向量矩阵，因为特征向量与特征值的排序一一对应，故只需P=(a1+a2，-a3，a2)就有P-1AP=，故应选D．填空题9．=_______正确答案：一√2解析：10．=________正确答案：2/9(2√2-1)解析：11．设z=arctan[xy+sin(x+y)]，则dz|(0，π)=_________正确答案：(π-1)dx-dy解析：12．斜边长为2a等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐，设重力加速度为g，水密度为ρ，则该平板一侧所受的水压力为_________正确答案：(ρga3)/3解析：13．设y=y(x)满足y”+2y’+y=0，且y(0)=0，y’(0)=l，则y(x)dx=_________正确答案：1解析：由条件知，特征方程为：r2+2r+1=0，特征值r1=r2=-1齐次方程通解为：y=(C1+C2x)e-x，由y(0)=0，y’(0)=1得C1=0，C2=1即y(x)=xe-x，从而知：14．行列式=________正确答案：a2(a2-4)解析：解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2020年考研数学二真题及解析
dF y2x gdy 2 gy( y a)dy ，
则一侧的压力 F
0
2 gy( y
a
a)dy
g(
2 3
y3
ay2 )
0 a
1 3
ga3.
（13）设 y y x 满足 y'' 2 y' y 0 ，且 y 0 0, y' 0 1，则
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（C） x k11 k23 k34 ，其中 k1, k2 , k3 为任意常数
（D） x k12 k23 k34 ，其中 k1, k2 , k3 为任意常数
【答案】（C）
【解析】由于A 不可逆， 故r A 4 ， A 0 .由 A12 0 r A* 1，r A 4 1 3 ， 则 r A 3 ， r A* 1，故 A*x 0 的基础解系中有 4 1 3个无关解向量。
此外， A* A A E 0 ，则 A 的列向量为 A*x 0 的解。则由 A12 0 ，可知1,3,4 线性
无关（向量组无关，则其延伸组无关），故 A*x 0 的通解为 x k11 k23 k34 ，即选
项（C）正确。
（8）设 A 为 3 阶矩阵，1,2 为 A 的属于特征值 1 的线性无关的特征向量，3 为 A 的属
xexdx 1
0
0
a 0 1 1
0 a 1 1
（14）行列式
1 1 a 0
1 1 0 a
【答案】 a4 4a2
【解析】
a 0 1 1 a 10 0 a 0
0 a 1 1 a 1 a a 1 1 a
1 1 a 0 1 0 a 1 1 a
1 1 0 a
2020年考研数学二试题及答案
全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 曲线221x x y x +=-渐近线的条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】C【考点】函数图形的渐近线 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：（i ）当曲线上一点M 沿曲线无限远离原点时，如果M 到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。
（ii ）渐近线分为水平渐近线（lim ()x f x b →∞=，b 为常数）、垂直渐近线（0lim ()x x f x →=∞）和斜渐近线（lim[()()]0x f x ax b →∞-+=，,a b 为常数）。
（iii ）注意：如果 （1）()limx f x x→∞不存在； （2）()limx f x a x→∞=，但lim[()]x f x ax →∞-不存在，可断定()f x 不存在斜渐近线。
在本题中，函数221x xy x +=-的间断点只有1x =±.由于1lim x y →=∞，故1x =是垂直渐近线.（而11(1)1lim lim(1)(1)2x x x x y x x →-→-+==+-，故1x =-不是渐近线）.又211lim lim111x x x y x→∞→∞+==-，故1y =是水平渐近线.（无斜渐近线） 综上可知，渐近线的条数是2.故选C.(2) 设函数2()(1)(2)()xxnx f x e ee n =---,其中n 为正整数,则(0)f '= ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -【答案】A【考点】导数的概念 【难易度】★★【详解一】本题涉及到的主要知识点：00000()()()limlim x x f x x f x yf x x x→→+-'==. 在本题中，按定义200()(0)(1)(2)()(0)lim lim0x x nx x x f x f e e e n f x x →→----'==-1(1)(2)[(1)](1)(1)!n n n -=-⨯-⨯⨯--=--.故选A.【详解二】本题涉及到的主要知识点：()[()()]()()()()f x u x v x u x v x u x v x ''''==+.在本题中，用乘积求导公式.含因子1xe -项在0x =为0，故只留下一项.于是20(0)[(2)()]x x nx x f e e e n ='=--1(1)(2)[(1)](1)(1)!n n n -=-⨯-⨯⨯--=--故选（A ）.(3) 设0(1,2,)n a n >=，123n n S a a a a =++++，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的( )（A ）充分必要条件 （B ）充分非必要条件（C ）必要非充分条件 （D ）既非充分也非必要条件 【答案】B【考点】数列极限 【难易度】★★★【详解】因0(1,2,)n a n >=，所以123n n S a a a a =++++单调上升.若数列{}n S 有界，则lim n n S →∞存在，于是11lim lim()lim lim 0n n n n n n n n n a S S S S --→∞→∞→∞→∞=-=-=反之，若数列{}n a 收敛，则数列{}n S 不一定有界.例如，取1n a =(1,2,)n =，则n S n =是无界的.因此，数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的充分非必要条件.故选（B ）. (4)设20sin (1,2,3)k x K e xdx k π==⎰I 则有 ( )(A)123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D)213I I I << 【答案】D【考点】定积分的基本性质 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点： 设a c b <<，则()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰.在本题中，210sin x I e xdx π=⎰，2220sin x I e xdx π=⎰，2330sin x I e xdx π=⎰222121sin 0x I I e xdx I I ππ-=<⇒<⎰，2332322sin 0x I I e xdx I I ππ-=>⇒>⎰，222323312sin sin sin x x x I I e xdx e xdx e xdx ππππππ-==+⎰⎰⎰2233()22sin()sin t x e t dt e xdx ππππππ-=-+⎰⎰223()312[]sin 0x x e e xdx I I πππ-=->⇒>⎰因此213I I I <<.故选D.（5）设函数(,)f x y 可微，且对任意的,x y 都有(,)0f x y x∂>∂，(,)0f x y y ∂<∂，则使不等式1122(,)(,)f x y f x y <成立的一个充分条件是( )（A ）12x x >，12y y < （B ）12x x >，12y y > （C ）12x x <，12y y < （D ）12x x <，12y y > 【答案】D【考点】多元函数的偏导数；函数单调性的判别 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：函数单调性的判定法 设函数()y f x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导. ①如果在(,)a b 内()0f x '>，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加； ②如果在(,)a b 内()0f x '<，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少. 在本题中，因(,)0f x y x∂>∂，当y 固定时对x 单调上升，故当12x x <时1121(,)(,)f x y f x y < 又因(,)0f x y y∂<∂，当x 固定时对y 单调下降，故当12y y >时2122(,)(,)f x y f x y < 因此，当12x x <，12y y >时112122(,)(,)(,)f x y f x y f x y << 故选D.（6）设区域D 由曲线sin y x =，2x π=±，1y =围成，则5(1)Dx y dxdy -=⎰⎰( )（A ）π（B ）2（C ）-2（D ）π-【答案】D【考点】二重积分的计算 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：10,(,)(,)2(,),(,)DD f x y x y f x y dxdy f x y dxdy f x y x y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对或为奇函数，对或为偶函数在本题中，11555222sin sin 221(1)(1)()2x x Dx y dxdy dx x y dy x y y dx ππππ---=-=-⎰⎰⎰⎰⎰5222221(1sin )(1sin )2x x dx x dx πππππ--=---=-⎰⎰ 其中521(1sin )2x x -，sin x 均为奇函数，所以 52221(1sin )02x x dx ππ--=⎰，22sin 0xdx ππ-=⎰故选（D ）(7)设1100c α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201c α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,3311c α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411c α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα 【答案】C【考点】向量组的线性相关与线性无关 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：n 个n 维向量相关12,,,0n ααα⇔=在本题中，显然134123011,,0110c c c ααα-=-=， 所以134,,ααα必线性相关.故选C.(8) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B【考点】矩阵的初等变换；初等矩阵 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：设A 是一个m n ⨯矩阵，对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵. 在本题中，由于P 经列变换为Q ，有12100110(1)001Q P PE ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，那么111112121212[(1)][(1)](1)()(1)Q AQ PE A PE E P AP E ----==100110011101110100120012⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故选B.二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数，则22x d ydx== .【答案】1【考点】隐函数的微分 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点： 隐函数求导的常用方法有：1. 利用复合函数求导法，将每个方程两边对指定的自变量求偏导数（或导数），此时一定要注意谁是自变量，谁是因变量，对中间变量的求导不要漏项。
2020年全国硕士研究生入学统一考试数学二答案及解析
2020年全国硕士研究生招生考试 数学（二）试题参考答案及解析一、选择题1-8题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的4个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上。
1. 当0x +®时，下列无穷小量中最高阶的是 ( ). （A ）2(1)-⎰xt e dt （B）0ln(1+⎰x dt （C ）sin 20sin ⎰xt dt （D）1cos 0-⎰【答案】（D ）【解析】22320(e 1)11lim lim ,33++→→--==⎰xt x x x dte x x可知2301(e 1),0;3+-→⎰:x t dt x x5022ln(12limlim ,52++→→==⎰xx x dtxx可知5202ln(1,0;5+→⎰:xdt x xsin 22032000sin sin(sin x)cosx cos 1limlim lim ,333+++→→→⋅===⎰xx x x t dtx x x可知sin 2301sin ,0;3x t dt x x +→⎰:1cos 0500limlim lim x x x x +++-→→→===⎰可知1cos 50,0,-+→⎰:xx x对比可知1cos 0-⎰的阶数最高，故选（D ）.2....第二类间断点的个数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】（C ）【解析】()f x 可能的间断点有1,0,1,2x x x x =-===，由于1lim ln |1|x x ?+=-?，111lim0(1)(2)x x x ee x -?¹--，可知-1lim ()x f x ®=?，则1x =-为()f x 的第二类（无穷）间断点；111lim ()lim(2)2x x x e x f x x x e-==--，又由于()f x 在0x =处无定义，可知0x =为()f x 的第一类（可去）间断点；1111ln(1)lim ,lim 0(1)(2)x x x x x e e x ++-+=+ス--，则1lim ()x f x +®=?，则1x =为()f x 的第二类（无穷）间断点；11221ln(1)lim,lim021x x xx e x x e -+=ス--，则2lim ()x f x ®=?，则2x =为()f x 的第二类（无穷）间断点.综上所述，()f x 的第二类间断点有3个，故选（C ）.3.1=ò（ ）.（A ）24p （B ）28p （C ）4p （D ）8p【答案】（A ）【解析】11002=2112002(arcsin (arcsin 4p ===ò，故选（A ）.4.设2()()ln(1),...,(0)n f x x x f =-=（ ）.（A ）!2n n --（B ）!2n n -（C ）(2)!n n --（D ）(2)!n n -【答案】（A ）.【解析】由ln(1)x -的麦克劳林公式可知242232()()()22n n n n x x x x f x x x o x x o x n n ++骣骣鼢珑鼢=----+=-++++珑鼢鼢珑桫桫L Ln x 的系数为12n --，则()!(0)2n n f n =--，故选（A ）.5.关于函数...给出以下结论①(0,0)1fx ¶=¶①2(0,0)1f x y ¶=抖①(,)(0,0)lim (,)0x y f x y ®=①00limlim (,)0y x f x y =正确的个数是（ ）（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 【答案】（B ）【解析】(,0)f x x =可知(0,0)1fx ¶=¶，故①正确.不论0,0xy x?还是0y =时，都有(,)(0,0)lim (,)0x y f x y ®=，故①正确.lim (,)0x f x y ®=，进而00limlim (,)0yxf x y =，可知①正确，当0y =时，00(,0)(,0)(,0)lim lim 1x x x f x x f x x x xf x x x D 瓺?+D -+D -¢===D D当0,0y x 构时，00(,)(,)()(,)lim lim x x x f x x y f x y x x y xyf x y yx x D 瓺?+D -+D -¢===D D当0,0y x?时，00(,)(0,)(0,)lim limx x x f x y f y x y yf y x x D 瓺?D -D ?¢==D D 不存在，则(0,)(0,0)(0,0)limx x xy y f y f f y®ⅱ-ⅱ=不存在，故①错误，故正确的有3个，选（B ）6.设函数()f x 在区间[2,2]-上可导，。
2020考研数学二解析
D
x
∫ （20）设函数 f (x) = x et2 dx 1 （I）证：存在 ξ ∈ (1，2) ，f (ξ ) = (2 − ξ )eξ2 ； （II）证：存在η ∈ (1，2) ，f (2) = ln 2 ⋅ηeη2 .
2020 数学（二）真题 第 8 页 共 11 页
（21）设函数 f (x) 可导，且 f ′(x) > 0 ，曲线 y = f (x)(x 0) 经过坐标原点 O ，其 上任意一点 M 处的切线与 x 轴交于 T ，又 MP⊥x 轴于点 P ，已知由曲线 y = f (x) 直线 MP 以及 x 轴所围图形的面积与 ∆MTP 的面积之比恒为 3：2 ， 求满足上述条件的曲线的方程.
∫ ∫ 【解析】A.
x (et2
0
−1) dt
x t 2 dt = x3 ；
0
3∫ B.xln( Nhomakorabea +
0
t3
)
dt
t
3 2
dt
= 2 x 52 ； 5
∫ ∫ C.
sin x sin t 2
0
dt
x t 2 dt = 1 x3 ；
0
3
D.
1−cos x
∫0
∫ sin3 t dt
1 x2 3
2 t2
+
y22
+
4 y32
+ 2 y1 y2
.
x3 y3
（I）求 a 的值；
（II）求可逆矩阵 P .
2020 数学（二）真题 第 10 页 共 11 页
（23）设 A 为二阶矩阵，P = (α ，Aα) ，其中 α 是非零向量且不是 A 的特征向量： （I）证明 P 为可逆矩阵； （II）若 A2α + Aα − 6α = 0 ，求 P −1AP ，并判断 A 是否相似于对角矩阵.
考研真题 精品推荐 2020年全国硕士研究生招生考试(数学二)--答案解析
1 ，故
f (0) f (1)
e
.
7. C
解析：由于 A 是不可逆的，所以 r( A) 4 ，又由于 A12 0 ，所以 r( A) 3，故 r( A) 3 ，
所以 r( A* ) 1 ，所以 A* x 0 的基础解系中有 3 个向量，又因为 A12 0 ，所以 α1 ，α3 ，α4
线性无关，所以解为 x k1α1 k2α3 k3α4 ，故选 C .
PM | TP
x
y ( x)dt
|
3 2
，化简得
yy 2( 3 2
1) y2
0
，为可降阶微分方程代入初始解
y(0)
0
，得
0
1
所求曲线方程为 y Cx 2 （ C 为任意大于零的常数）.
1 a a 22.（1）设 A= a 1 a
a a 1
1 1 0 B= 1 1 0
0 0 4
因为 B=P T AP 所以 r(B)=r( A)
2
10. 2 1 2
1
1
解析： dy
x3 1dx
1
dx
x2
x3 1dy 1
x3 1
1
3/2
2 1
0
y
0
0
2
0
2
11. ( 1)dx dy
解析：
dz
(y
cos(x y))dx (x cos(x 1 [xy sin(x y)]2
y))dy
dz (0, ) ( 1)dx dy
1-cos x
D 选项 (
sin3 tdt) ' sin x
sin3(1 cos x) ~
1 x4 .
0
2020考研数学二真题及答案解析
2020考研数学二真题及答案解析2020 年考研数学二的真题整体难度适中，考查的知识点分布较为全面，既注重对基础知识的考查，也有对综合运用能力的检验。
先来看选择题部分。
第一题通常是较为基础的概念性问题，考查了函数的性质。
比如，给出了几个函数表达式，要求判断其奇偶性、单调性等。
这就需要考生对函数的基本性质有清晰的理解和准确的判断。
第二题可能涉及到极限的计算。
极限是数学中的重要概念，也是考研数学经常考查的知识点。
考生需要熟练掌握各种求极限的方法，如洛必达法则、等价无穷小替换等。
第三题或许会考查导数的应用。
通过给出函数的表达式，要求计算其导数，并判断函数在某一点处的单调性或者凹凸性。
接下来是填空题部分。
填空题同样注重对基本概念和基本运算的考查。
比如，可能会有一道关于积分的题目，要求计算定积分或者不定积分的值。
这就要求考生熟练掌握积分的基本公式和运算方法。
还有可能出现一道关于空间解析几何的题目，比如给出一个空间曲线的方程，要求计算其在某一点处的切线方程或者法平面方程。
再来看解答题。
第一道解答题往往是关于一元函数微积分的问题。
可能是要求计算函数的极值、最值，或者证明函数的单调性、凹凸性等。
这需要考生有清晰的解题思路和准确的计算能力。
第二道解答题可能会涉及到多元函数微积分的知识。
比如，给出一个二元函数，要求计算其偏导数、全微分，或者求极值、最值等。
这部分题目对考生的综合运用能力要求较高，需要熟练掌握多元函数微积分的相关概念和方法。
第三道解答题可能是关于常微分方程的问题。
要求考生根据给定的条件求解常微分方程，或者判断方程的类型并进行求解。
第四道解答题或许是关于概率论与数理统计的问题。
这部分内容相对来说比较独立，需要考生掌握基本的概率分布、数字特征等知识，并能够运用这些知识解决实际问题。
总之，2020 年考研数学二真题覆盖了高等数学和线性代数的重要知识点，题目设置既注重基础，又有一定的综合性和难度。
下面给出部分题目的具体答案解析。
2020考研数学二解析
(C) (α1 + α3 ，− α3 ，α2 )
(D) (α1 + α2 ，− α3 ，α2 )
【答案】D.
二、填空题
（9）若
=x y =
t2 ln(t
+1， + t2
+ 1)
则 ，
d2 y dx2
t =1
=
____.
【答案】 − 2 .
2020 数学（二）真题 第 4 页 共 11 页
∫ ∫ 1
3;1 dx = ____.
0
y
【答案】 2 (2 2 −1) . 9
（11）设=z arctan[xy + sin(x + y)]，则 dz (0，π) = ____. 【答案】 (π −1)dx − dy .
（12）斜边长为 2a 等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐， 设重力加速度为 g ，水密度为 ρ ，则该平板一侧所受的水压力为____.
在 x = 0 处连续.
2020 数学（二）真题 第 6 页 共 11 页
（17）求函数 f (x ，y) =x3 + 8y3 − xy 的极值.
（18）
2020 数学（二）真题 第 7 页 共 11 页
∫∫ （19）设平面区域 D 由直线=x 1= ，x 2= ，y x 与 x 轴围成，计算
x2 + y2 dxdy .
2020 年全国硕士研究生招生考试数学二答案 数学（二）
一、选择题 （1） x → 0+ 时，下列无穷小量中最高阶的是
∫ (A) x (et2 −1) dt 0
∫ (B)
x
ln(1 +
t3 ) dt
2020年全国研究生考试数学(二)真题+答案详解
(1- x)n
(1- x)n -1
2
(1- x)n -2
\ f (n) (0) = - n! . n-2
ìxy
5.关于函数
f
(x,
y)
=
ï í
x
ï î
y
xy ¹ 0 y = 0 给出以下结论 x=0
¶f
①
=1
¶x (0,0)
¶2 f
②
=1
¶x¶y
(0,0)
③ lim f ( x, y) = 0
( x, y )®(0,0)
ò = 1
1
1 (x3 + 1) 2 d (x3 + 1)
30
=
1
×
2
(x3
+ 1)
3 2
1
33 0
=
2
æ ç
3
22
ö - 1÷
9è ø
11.
|(0,p)= .
设 z = arctan[xy + sin(x + y)] ，则 dz
解析:
dz = ¶z dx + ¶z dy
¶x ¶x
¶z =
1
[ y + cos(x + y)], ¶z = π- 1
a 0 -1 1
14.行列式 0
a
1 -1 =
-1 1 a 0
1 -1 0 a
解析：
a 0 -1 1 a 0 -1 1
0 a 1 -1 0 a 1 -1 =
-1 1 a 0 -1 1 a 0
1 -1 0 a 0 0 a a
0 a -1 + a 2 1
a -1+ a 2 1
2020年全国硕士研究生招生考试(数学二)--答案解析
2020年全国硕士研究生招生考试（数学二）参考答案及解析1.D解析：A 选项可知2220((1))'1~xt x e dt e x -=-⎰；B 选项32(ln(1)'ln(1~xdt x =⎰； C 选项sin 2220(sin )'sin cos ~xt dt x x x =⎰；D 选项1-cos 40()'sin ~=⎰. 2.C解析：11ln(1)()(1)(2)x xe xf x e x -+=--，则可疑点为1x =，1x =-，0x =，2x =， 1lim ()x f x +→=-∞，1lim ()x f x +→-=-∞，2lim ()x f x →=∞，+100lim()lim ()2x x e f x f x --→→==-， 故选C3.A解析：220arcsin =4x π=⎰. 4.A解析：2()ln(1)f x x x =- 5.B6.B由题意得()1()f x f x '>，从而0011()d 1d ()f x x x f x --'>⎰⎰，即(0)ln 1(1)f f >-，故(0)e (1)f f >-. 7.C解析：由于A 是不可逆的，所以()4r <A ，又由于120≠A ，所以()3r ≥A ，故()3r =A ，所以*()1r =A ，所以*=A x 0的基础解系中有3个向量，又因为120≠A ，所以1α，3α，4α线性无关，所以解为123134k k k +=+αααx ，故选C . 8.D解析：由于1α，2α是A 的属于1的特征向量，3α是A 的属于1-的特征向量，故3α-也是A 的属于1-的特征向量，12+αα是A 的属于1的特征向量，故选D .9.解析：1dydx t=，22d ydx=221td ydx=⇒=12解析：()21113/2300011122xdy dx x==+=⎰⎰⎰11.(1)dx dyπ--解析：2(cos())(cos())1[sin()]y x y dx x x y dydzxy x y+++++=+++(0,)(1)dz dx dyππ⇒=--12.313ega解析31()[()]3ag a y y y dy gaρρ---=⎰13.1解析由()()200=00=1y y yy y'''++='⎧⎨⎩，得()xy x xe-=所以+()d1y x x∞=⎰14.242aa-011011110110aaaa----00011=00110a aaa aa--411100=0(1)11100a aa a a aa a a+-⨯+---241011+00=0(1)11100a aa a a aa a a+-⨯+---24=4a a-+.15.解：()11lim lim lim lim1111xxx xx x x xy x xkx x exx→+∞→+∞→+∞→+∞⎛⎫=====⎪+⎝⎭+⎛⎫+⎪⎝⎭()()1ln11222111 lim lim lim1lim ln1111111111lim ln1lim22xxxxxx x x xx xx xb y kx x x e x xe e e xxx xe x x e x e+++→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫=-=-=-=+⎢⎥⎢⎥ ⎪+⎝⎭+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎛⎫=-+=⋅=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦16.解：当0x ≠时，令u xt =，则()()()11xg x f xt dt f u du x ==⎰⎰；当0x =时，()()00g f =，再由()0lim1x f x x→=及函数连续得()()00lim 0x f f x →==，从而()00g =.从而当0x ≠时，()()()'02xxf x f t dtg x x-=⎰.又()()()()()'201lim limlim 0022xx x x f t dt g x g f x g x xx →→→-====-⎰，从而得()()()02',01,02x xf x f t dtx x g x x ⎧-⎪≠⎪=⎨⎪=⎪⎩⎰.又()()()()()()''002200011lim limlim 1022xxx x x xf x f t dt f t dt f x g x g x x x →→→⎡⎤-⎢⎥==-=-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰，从而()'g x 在0x =处连续.16. 解：对函数关于,x y 分别求导，令并两偏导数同时为零，得'2'230240x x f x y f y x ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或16112x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.又''''''6,1,48xx xy yy f x f f y ==-=，在()0,0处，210AC B -=-<，从而函数在此处不取极值；在11,612⎛⎫ ⎪⎝⎭处，230,10AC B A -=>=>，从而函数在此处取极小值，且111,612216f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.综上函数的极值为111,612216f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.18解：由任意x 均有()2212f x x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则22121112f f x x x +⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两式消去1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可解得()f x =，从而可得x =可得所求()22233112266222sin 1cos 26V xydy tdt t dt πππππππππ====-=⎰⎰⎰⎰19解：d Dx y 2sec 40sec 2sec 40sec 340d d cos d sec d 3sec d 2rr r r r rπθθπθθπθθθθθθ===⎰⎰⎰⎰⎰其中，34040244034403440340sec d sec dtan sec tan sec (sec 1)d sec d sec d sec d ln sec tan sec d 1)11)2πππππππππθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ==--=+=++=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰3d 1)4Dx y =20（1）证：令2()()(2)e x F x f x x =--，则221(1)e<0,(2)e 0t F F dt =-=>⎰.由零点定理，(1,2)ξ∃∈使()0F ξ= 即2()(2)e f ξξξ=-.（2）令()ln g x x =，由柯西中值定理，(1,2)η∃∈使(2)(1)()(2)(1)()f f fg g g ηη'-='-即2(2)e 1ln 2f ηη=故2(2)ln 2e f ηη=.21. 设点M 的坐标为),(y x ，（0,0>>y x ）,则)()(),(),(x y x y TP x y TP PM x y PM '='==，由已知，有23)(||21=⋅⎰x dtx y TP PM ，化简得0)123(22='-+''y y y ，为可降阶微分方程代入初始解0)0(=y ，得所求曲线方程为21Cx y =（C 为任意大于零的常数）.22.（1）设1=11a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 110=110004⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦B 因为T=B P AP 所以()=()r r B A 由于()=2r B 所以()=2r A故2=(2+1)(1)0a a A -= 解得1(1)2a a =-=舍去 （2）22321231233(,,)()()224x x f x x x x x x =--+- 22123123316(,,)()()43g y y y y y y =++令3211223322=22x x x y y x x y x y ⎧--+⎪⎪⎨-⎪⎪=⎩，则1201001P 轾犏-犏犏犏=犏犏犏-犏臌. 23.（1）由于(,)P αA α=，0α¹，且αA αl ¹ 则α与A α不成比例，且0α¹，故P 可逆. （2）2(,)(,)(,6)AP A αA αA αA αA αA αα===-+即0611AP P 轾犏=犏-臌故10611P AP -轾犏=犏-臌所以0611A B 轾犏=犏-臌: 6==(3)(2)11B E l l l l l--+---故12l =，23l =-，故B 可以有两个不同的特征值，可以相似对角化，因此A可以相似对角化.。
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由 ，可得A的属于特征值-3的特征向量为 ；
由 ，可得A的属于特征值6的特征向量为
由 ，可得A的属于特征值0的特征向量为
令 ，则 ，由于 彼此正交，故只需单位化即可： ，
则 ，
如果想要了解更多，广大研友们也可加入2017考研复试交流群（0）和大家一起交流考研心
路历程。也可将自己考研的经验传授给学弟学妹们2018考研交流总群（1），希望他们在
（1）
令 得
对（1）式两边关于x求导得 （2）
将 代入原题给的等式中，得 ，
将 代入（2）得
将 代入（2）得
故 为极大值点， ； 为极小值点，
（19）（本题满分10分）设函数 在区间 上具有2阶导数，且 ，证明：
方程 在区间 内至少存在一个实根；
方程 在区间 内至少存在两个不同实根。
【答案】
【解析】
2018年金榜题名。
（15）（本题满分10分）求极限
【答案】
【解析】 ，令 ，则有
（16）（本题满分10分）设函数 具有2阶连续偏导数， ，求 ，
【答案】
【解析】
结论：
（17）（本题满分10分）求
【答案】
【解析】
（18）（本题满分10分）已知函数 由方程 确定，求 的极值
【答案】极大值为 ，极小值为
【解析】
两边求导得：
（2）设二阶可导函数 满足 且 ，则（）
【答案】B
【解析】
为偶函数时满足题设条件，此时 ，排除C,D.
取 满足条件，则 ，选B.
（3）设数列 收敛，则（）
当 时， 当 时，
当 时， 当 时，
【答案】D
【解析】特值法：（A）取 ，有 ，A错；
取 ，排除B,C.所以选D.
（4）微分方程的特解可设为
（A） （B）
【答案】
【解析】
（21）（本题满分11分）设 是区间 内的可导函数，且 ，点 是曲线L: 上任意一点，L在点P处的切线与y轴相交于点 ，法线与x轴相交于点 ，若 ，求L上点的坐标 满足的方程。
【答案】
【解析】设 的切线为 ，令 得 ，法线 ,令 得 。由 得 ，即 。令 ，则 ，按照齐次微分方程的解法不难解出 ,
2017年全国硕士研究生入学统一考试
数学二真题分析
（word版）
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1））若函数 在 处连续，则（）
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】 在 处连续 选A.
（22）（本题满分11分）设3阶矩阵 有3个不同的特征值，且 。
证明：
若 ，求方程组 的通解。
【答案】（I）略；（II）通解为
【解析】
（I）证明：由 可得 ，即 线性相关，
因此， ，即A的特征值必有0。
又因为A有三个不同的特征值，则三个特征值中只有1个0，另外两个非0.
且由于A必可相似对角化，则可设其对角矩阵为
∴
（II）由（1） ，知 ，即 的基础解系只有1个解向量，
由 可得 ，则 的基础解系为 ，
又 ，即 ，则 的一个特解为 ，
综上， 的通解为
（23）（本题满分11分）设二次型 在正交变换 下的标准型 ，求 的值及一个正交矩阵 .
【答案】
【解析】
，其中
由于 经正交变换后，得到的标准形为 ，
故 ，
将 代入，满足 ，因此 符合题意，此时 ，则
因为 ，∴A可相似对角化，即
由 可知B特征值为2,2,1.
因为 ，∴B不可相似对角化，显然C可相似对角化，∴ ，但B不相似于C.
二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
(9)曲线 的斜渐近线方程为_______
【答案】
【解析】
(10)设函数 由参数方程 确定，则 ______
（I） 二阶导数，
解：1）由于 ，根据极限的保号性得
有 ，即
进而
又由于 二阶可导，所以 在 上必连续
那么 在 上连续，由 根据零点定理得：
至少存在一点 ，使 ，即得证
（II）由（1）可知 ， ，令 ，则
由罗尔定理 ，则 ，
对 在 分别使用罗尔定理：
且 ，使得 ，即
在 至少有两个不同实根。
得证。
（20）（本题满分11分）已知平面区域 计算二重积分 。
【答案】
【解析】
(11) _______
【答案】1
【解析】
(12)设函数 具有一阶连续偏导数，且 ， ，则
【答案】
【解析】 故
，
因此 ，即 ，再由 ，可【答案】 .
【解析】交换积分次序：
.
（14）设矩阵 的一个特征向量为 ，则
【答案】-1
【解析】设 ，由题设知 ，故
故 .
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】从0到 这段时间内甲乙的位移分别为 则乙要追上甲，则
，当 时满足，故选C.
（7）设 为三阶矩阵， 为可逆矩阵，使得 ，则 （）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】
,
因此B正确。
（8）设矩阵 ,则（）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
【解析】由 可知A的特征值为2,2,1,
（C） （D）
【答案】A
【解析】特征方程为：
故特解为： 选C.
（5）设 具有一阶偏导数，且对任意的 ，都有 ，则
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】 是关于 的单调递增函数，是关于 的单调递减函数，
所以有 ，故答案选D.
（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线 （单位： ），虚线表示乙的速度曲线 ，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为 （单位：s），则（）