函数的平均变化率与导数

导数的概念及运算

知识梳理

1. 平均变化率与瞬时变化率

（1）函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率x y

∆∆＝ ．

（2）函数()f x 在处0x x =的瞬时变化率为 2. 导数的概念

（1）函数()f x 在x x =o 处的导数：()f x 在点0x 处的导数就是函数()f x 在x x =o 处的瞬时变化率即()0'x f =

（2）函数()f x 的导函数:当x 变化时()x f '是x 的一个函数，称()x f '为()f x 的导函数（简称导数）即()x f '= 3. 导数的几何意义与物理意义 （1）几何意义

切线方程为： （2）物理意义

4．基本初等函数的导数

①;C '= ②()

;n x

'= ③(sin )x '=; ④(cos )x '=;

⑤()x a '=

;⑥();x e '=

⑦()l g a o x '=

; ⑧()ln x '=

.

5．导数的运算法则

_______ ______ ______

[](4)()'C f x ⋅=_______ ___________ 6．复合函数的导数 【题型分析】

一．导数的概念及其几何意义

例1：（1）若0'()2f x =，则当k 无限趋近于0时

00()()

2f x k f x k

--=________

（2）如图，函数

()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，， 的坐标分别为

(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f = ；

(1)(1)

lim

x f x f x

∆→+∆-=∆

．（用数字作答）

二．导数的计算

例2：求下列函数的导数

（1）

2()(2)()f x x a x a =+- （2）22()cos sin cos f x x x x =⋅+

()()时刻的是物体运动在处的导数在函数00'0t t S S S ===t t t t ()()()'

3f x g x ⎡⎤=

⎢⎥⎣⎦

（3）

()

x x

f x =（4）

322

ln ()x x x

f x x +=

（5）

()()ln ln ln f x x =⎡⎤⎣⎦

（6）()2()3lg 1cos2x

f x x =⋅- 三．与切线相关的问题

例3：（1）曲线32

242y x x x =--+在点(1,3)-处的切线方程是_________。

（2）若曲线4()f x x x =-在点P 处的切线平行于直线30x y -=,则点P 的坐标为__。

（3）曲线

1

y x

=

和2y x =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是__。 （4）设曲线1

1

x y x +=-在点（3，2）处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =____。

（5）在函数3

8y x x =-的图象上，其切线的倾斜角小于4

π的点中，坐标为整数的点

有____个。

（6）曲线

12

x y e =在点()

24,e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为______。

（7）点P 在曲线32

3

y x x =-+

上移动，设在点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是________。

（8）已知曲线3:3S

y x x =-及点(2,2)P ，则过点P 可向S 引切线，其切线共有__条。 （9）点P 是曲线

2ln y x x =-上任意一点，则P 到直线2y x =-的距离的最小值是

______。

例4：已知点P 在曲线4

1

x

y e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，求α的取值范围。

例5：偶函数4

3

2

()f x ax bx cx dx e =++++的图象过点(0,1)P ，且在1x =处的切线方

程为2y x =-，求()y f x =的解析式。 四．导数的综合应用

例6：对正整数n ，设曲线(1)n y x x =-在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，

则数列1n a n ⎧⎫

⎨⎬+⎩⎭

的前n 项和n S =__________。

例7：已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，已知'(0)0f >，且对于任意实数x 都有()0f x ≥，则

(1)

'(0)

f f 的最小值为（ ）

A ．3

B ．

52 C ．2 D ．32

例8：过点()0,4P -作抛物线24G x y =：的切线，求切线方程。

例9：已知过点()0,1P -的直线l 与抛物线24x y =交于两点()11,A x y 、()22,B x y 。

1l 、2l 分别是该抛物线在A 、B 两点处的切线。M 、N 分别是1l 、2l 与直线1y =-的交

点。

（1）求直线l 的斜率的取值范围

（2）试比较

PM 与PN 的大小，说明理由。

例10：设抛物线方程为()220x py p =>，M 为直线2y p =-上任意一点。过M 引抛物线的切线，切点分别为A 、B ，求证：A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列。

例11：已知抛物线2

4x y =的焦点为F ，A 、B 是直线上的两动点，(0)AF FB λλ=>u u u r u u u r 过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M 。

（1）证明FM AB ⋅u u u u r u u u r

为定值；

（2）设ABM

∆的面积为S ，写出()S f λ=的表达式，并求S 的最小值。

例12：已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==K ．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为

(0)n n k k >的切线n l ，切点为(,)n n n P x y 。

（1）求数列

{}n x 与{}n y 的通项公式；

（2）

证明：13521n n n

x

x x x x y -⋅⋅⋅⋅<

L