课时跟踪检测 (四十九) 抛物线

课时跟踪检测 (四十九) 抛物线 一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．以x ＝1为准线的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝2x B ．y 2＝－2x C ．y 2＝4x

D ．y 2＝－4x

解析：选D 由准线x ＝1知，抛物线方程为： y 2＝－2px (p >0)且p

2＝1，p ＝2，

∴抛物线的方程为y 2＝－4x ，故选D ．

2．已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是( ) A ．2 B ．12

C ．32

D ．52

解析：选C 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4，又p ＝1，所以x 1＋x 2

＝3，所以点C 的横坐标是

x 1＋x 22＝3

2

． 3．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )

A ．－4

3

B ．－1

C ．－34

D ．－12

解析：选C 由已知，得准线方程为x ＝－2，所以F 的坐标为(2,0)．又A (－2,3)，所以直线AF 的斜率为k ＝

3－0－2－2

＝－3

4．

4．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，且点P 到y 轴的距离与其到焦点的距离之比为1

2，则

点P 到x 轴的距离为________．

解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，根据抛物线的定义，点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离，故x P x P －(－1)＝1

2

，

解得x P ＝1，

所以y 2P ＝4，所以|y P |＝2． 答案：2

5．一个顶点在原点，另外两点在抛物线y 2＝2x 上的正三角形的面积为________． 解析：如图，根据对称性：A ，B 关于x 轴对称，故∠AOx ＝30°．

直线OA 的方程y ＝33

x ， 代入y 2＝2x ， 得x 2－6x ＝0，

解得x ＝0或x ＝6． 即得A 的坐标为(6,23)．

∴|AB |＝43，正三角形OAB 的面积为1

2×43×6＝123．

答案：12 3

二保高考，全练题型做到高考达标 1．抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A ．(0，a ) B ．(a,0) C ．⎝⎛⎭

⎫0，116a D ．⎝⎛⎭⎫116a ，0

解析：选C 将y ＝4ax 2(a ≠0)化为标准方程得x 2＝1

4a

y (a ≠0)，所以焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，116a ，所以选C ．

2．(2016·山西高三考前质量检测)已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的准线与抛物线C 2：x 2

＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，C 1的焦点为F ，若△FAB 的面积等于1，则C 1的方程是( )

A ．x 2＝2y

B ．x 2＝2y

C ．x 2＝y

D ．x 2＝

22

y 解析：选A 由题意得，

F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，不妨设A ⎝⎛⎭⎫p ，－p 2，B ⎝⎛⎭⎫－p ，－p

2， ∴S △FAB ＝12·2p ·p ＝1，则p ＝1，

即抛物线C 1的方程是x 2＝2y ，故选A ．

3．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则

|AF |

|BF |

的值为( ) A ．5 B ．4 C ．3

D ．2 解析：选C 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由题意知AB 所在的直线方程为y ＝3⎝⎛⎭

⎫x －p 2，

联立⎩⎪⎨⎪⎧

y 2＝2px ，y ＝3⎝⎛⎭⎫x －p 2. 得：x 2

－5p 3x ＋p 2

4

＝0，

∴x 1＋x 2＝5p 3，x 1x 2＝p 2

4，

所以x 1＝3p 2，x 2＝p

6，

所以|AF ||BF |＝32p ＋

p 2p 2＋p

6

＝3．

4．已知P 为抛物线y ＝1

2x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为点M ，点A 的坐标是⎝⎛⎭⎫6，172，则|PA |＋|PM |的最小值是( )

A ．8

B ．

19

2 C ．10

D ．

212

解析：选B 依题意可知焦点F ⎝⎛⎭⎫0，12，准线方程为y ＝－12，延长PM 交准线于点H (图略)．

则|PF |＝|PH |，|PM |＝|PF |－1

2，

|PM |＋|PA |＝|PF |＋|PA |－1

2，

即求|PF |＋|PA |的最小值． 因为|PF |＋|PA |≥|FA |， 又|FA |＝

62＋⎝⎛⎭⎫172－122

＝10．

所以|PM |＋|PA |≥10－12＝19

2

，故选B ．

5．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程为( )

A ．y 2＝3

2x

B ．y 2＝3x

C ．y 2＝9

2

x

D ．y 2＝9x

解析：选B 如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，