课时跟踪检测 (四十九) 抛物线
课时跟踪检测(六十) 抛物线
课时跟踪检测（六十） 抛物线A 级——保大分专练1．(2018·永州三模)已知抛物线y ＝px 2(其中p 为常数)过点A (1,3)，则抛物线的焦点到准线的距离等于( )A ．92B ．32C ．118D ．16解析：选D 由抛物线y ＝px 2(其中p 为常数)过点A (1,3)，可得p ＝3，则抛物线的标准方程为x 2＝13y ，则抛物线的焦点到准线的距离等于16.故选D. 2．过点P (－2,3)的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝－92x 或x 2＝43y B ．y 2＝92x 或x 2＝43y C ．y 2＝92x 或x 2＝－43y D ．y 2＝－92x 或x 2＝－43y 解析：选A 设抛物线的标准方程为y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P (－2,3)，解得k ＝－92，m ＝43，所以y 2＝－92x 或x 2＝43y . 3．(2019·龙岩质检)若直线AB 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，且AB ⊥x 轴，|AB |＝42，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．5解析：选A 由|AB |＝42及AB ⊥x 轴，不妨设点A 的纵坐标为22，代入y 2＝4x 得点A 的横坐标为2，从而直线AB 的方程为x ＝2.又y 2＝4x 的焦点为(1,0)，所以抛物线的焦点到直线AB 的距离为2－1＝1，故选A.4．(2018·齐齐哈尔八中三模)已知抛物线C ：y ＝x 28的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，且|AF |＝2y 0，则x 0＝( )A ．2B ．±2C ．4D ．±4解析：选D 由y ＝x 28，得抛物线的准线为y ＝－2，由抛物线的几何意义可知，|AF |＝2y 0＝2＋y 0，得y 0＝2，所以x 0＝±4，故选D.5．(2019·湖北五校联考)直线l 过抛物线y 2＝－2px (p ＞0)的焦点，且与该抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )A ．y 2＝－12xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝－6xD ．y 2＝－4x解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线的定义可知|AB |＝－(x 1＋x 2)＋p ＝8.又AB 的中点到y 轴的距离为2，∴－x 1＋x 22＝2，∴x 1＋x 2＝－4，∴p ＝4，∴所求抛物线的方程为y 2＝－8x .故选B.6．已知点A (0,2)，抛物线C 1：y 2＝ax (a ＞0)的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N .若|FM |∶|MN |＝1∶5，则a 的值为( )A ．14B ．12C ．1D ．4解析：选D 依题意，点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，设点M 在准线上的射影为K ，由抛物线的定义知|MF |＝|MK |，|KM |∶|MN |＝1∶5，则|KN |∶|KM |＝2∶1.∵k FN ＝0－2a 4－0＝－8a ，k FN ＝－|KN ||KM |＝－2，∴8a ＝2，解得a ＝4. 7．抛物线x 2＝－10y 的焦点在直线2mx ＋my ＋1＝0上，则m ＝________.解析：抛物线的焦点为⎝⎛⎭⎫0，－52，代入直线方程2mx ＋my ＋1＝0，可得m ＝25. 答案：258．(2019·沈阳质检)已知正三角形AOB (O 为坐标原点)的顶点A ，B 在抛物线y 2＝3x 上，则△AOB 的边长是________．解析：如图，设△AOB 的边长为a ，则A ⎝⎛⎭⎫32a ，12a ，∵点A 在抛物线y 2＝3x 上，∴14a 2＝3×32a ，∴a ＝6 3. 答案：6 39．(2018·广州一模)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 23－y 2＝1的右焦点重合，若A 为抛物线在第一象限上的一点，且|AF |＝3，则直线AF 的斜率为________．解析：∵双曲线x 23－y 2＝1的右焦点为(2,0)，∴抛物线方程为y 2＝8x ，∵|AF |＝3，∴x A ＋2＝3，得x A ＝1，代入抛物线方程可得y A ＝±2 2.∵点A 在第一象限，∴A (1,22)，∴直线AF 的斜率为221－2＝－2 2. 答案：－2 210．已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________．解析：由题意知F (1,0)，|AC |＋|BD |＝|AF |＋|FB |－2＝|AB |－2，即|AC |＋|BD |取得最小值时当且仅当|AB |取得最小值．依抛物线定义知当|AB |为通径，即|AB |＝2p ＝4时为最小值，所以|AC |＋|BD |的最小值为2.答案：211．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标．解：(1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p 2， 于是4＋p 2＝5，∴p ＝2. ∴抛物线方程为y 2＝4x .(2)∵点A 的坐标是(4,4)，由题意得B (0,4)，M (0,2)．又∵F (1,0)，∴k FA ＝43， ∵MN ⊥FA ，∴k MN ＝－34. ∴FA 的方程为y ＝43(x －1)，① MN 的方程为y －2＝－34x ，② 联立①②，解得x ＝85，y ＝45，∴点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，45.12．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求△FAB 的面积．解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，∴(－8)2＝2p ×8，∴2p ＝8，∴抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)直线l 2与l 1垂直，故可设直线l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝y ＋m ，得y 2－8y －8m ＝0， Δ＝64＋32m ＞0，∴m ＞－2.y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，∴x 1x 2＝y 21y 2264＝m 2. 由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0，∴m ＝8或m ＝0(舍去)，∴直线l 2：x ＝y ＋8，M (8,0)．故S △FAB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·|FM |·|y 1－y 2|＝3(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝24 5.B 级——创高分自选1．设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，M ∈C ，以M 为圆心的圆M 与准线l 相切于点Q ，Q 点的纵坐标为3p ，E (5,0)是圆M 与x 轴不同于F 的另一个交点，则p ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 如图，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F⎝⎛⎭⎫p 2，0，由Q 点的纵坐标为3p 知M 点的纵坐标为3p ，则M 点的横坐标x ＝3p 2，即M ⎝⎛⎭⎫3p 2，3p .由题意知点M 是线段EF 的垂直平分线上的点，3p 2＝5－p 22＋p 2，解得p ＝2.故选B. 2．(2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.解析：法一：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，∴y 21－y 22＝4(x 1－x 2)， ∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2. 设AB 中点M ′(x 0，y 0)，抛物线的焦点为F ，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足为A ′，B ′，则|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |) ＝12(|AA ′|＋|BB ′|)． ∵M ′(x 0，y 0)为AB 的中点，∴M 为A ′B ′的中点，∴MM ′平行于x 轴，∴y 1＋y 2＝2，∴k ＝2.法二：由题意知，抛物线的焦点坐标为F (1,0)，设直线方程为y ＝k (x －1)，直线方程与y 2＝4x 联立，消去y ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.由M (－1,1)，得AM ―→＝(－1－x 1,1－y 1)，BM ―→＝(－1－x 2,1－y 2)．由∠AMB ＝90°，得AM ―→·BM ―→＝0，∴(x 1＋1)(x 2＋1)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，∴x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0.又y 1y 2＝k (x 1－1)·k (x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)，∴1＋2k 2＋4k 2＋1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2k 2＋4k 2＋1－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋4k 2－2＋1＝0， 整理得4k 2－4k＋1＝0，解得k ＝2. 答案：23．(2019·洛阳模拟)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)，过焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，D 是抛物线的准线l 与y 轴的交点．(1)若AB ∥l ，且△ABD 的面积为1，求抛物线的方程；(2)设M 为AB 的中点，过M 作l 的垂线，垂足为N .证明：直线AN 与抛物线相切． 解：(1)∵AB ∥l ，∴|FD |＝p ，|AB |＝2p .∴S △ABD ＝p 2，∴p ＝1，故抛物线C 的方程为x 2＝2y .(2)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋p 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋p 2，x 2＝2py得x 2－2kpx －p 2＝0.∴x 1＋x 2＝2kp ，x 1x 2＝－p 2.其中A ⎝⎛⎫x 1，x 212p ，B ⎝⎛⎫x 2，x 222p . ∴M ⎝⎛⎭⎫kp ，k 2p ＋p 2，N ⎝⎛⎭⎫kp ，－p 2.∴k AN ＝x 212p ＋p 2x 1－kp ＝x 212p ＋p 2x 1－x 1＋x 22＝x 21＋p 22p x 1－x 22＝x 21－x 1x 22p x 1－x 22＝x 1p . 又x 2＝2py ，∴y ′＝x p .∴抛物线x 2＝2py 在点A 处的切线斜率k ＝x 1p. ∴直线AN 与抛物线相切．。
课时跟踪检测(五十) 抛物线
课时跟踪检测(五十) 抛物线 (分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页) 第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2013·沈阳模拟) 抛物线x 2＝12y 的焦点F 到其准线l 的距离是( )A ．2B ．1 C.12D.142．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与曲线x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( ) A ．2 B ．1 C.12D.143．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2 4．(2014·北京东城区期末)已知抛物线y 2＝2px的焦点F 与双曲线x 27－y 29＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上，且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．325．(2014·武汉调研)已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．若AB 的中点的坐标为(2,2)，则直线l 的方程为________．6．(2013·江西高考) 抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.7．已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，过点K (0，－1)的直线l 与C 相交于A ，B 两点，点A 关于y 轴的对称点为D .(1)证明：点F 在直线BD 上；(2)设FA ·FB ＝89，求∠DBK 的平分线与y 轴的交点坐标．8．已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p ＞0)相交于B ，C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC ＝4AB .(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2014·淄博模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A ，B 两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA ·OB 的值； (2)如果OA ·OB ＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点．2．(2014·珠海模拟)在平面直角坐标系xOy 中，设点F ⎝⎛⎭⎫12，0，直线l ：x ＝－12，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，RQ ⊥FP ，PQ ⊥l .(1)求动点Q 的轨迹方程C ；(2)设圆M 过A (1,0)，且圆心M 在曲线C 上，TS 是圆M 在y 轴上截得的弦，当M 运动时，弦长|TS |是否为定值？请说明理由．3. (2014·长春三校调研)在直角坐标系xOy 中，点M ⎝⎛⎭⎫2，－12，点F 为抛物线C ：y ＝mx 2(m ＞0)的焦点，线段MF 恰被抛物线C 平分．(1)求m 的值；(2)过点M 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，设直线F A ，FM ，FB 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，问k 1，k 2，k 3能否成公差不为零的等差数列？若能，求直线l 的方程；若不能，请说明理由．答 案第Ⅰ卷：夯基保分卷1．选D 因为2p ＝12，p ＝14，所以由抛物线的定义可知所求的距离为14.2．选A 注意到抛物线y 2＝2px 的准线方程是x ＝－p2，曲线x 2＋y 2－6x －7＝0，即(x－3)2＋y 2＝16是圆心为(3,0)，半径为4的圆．于是依题意有⎪⎪⎪⎪p 2＋3＝4.又p ＞0，因此有p 2＋3＝4，解得p ＝2，故选A.3．选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题知抛物线的焦点坐标为F (p2，0)，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p 2，将其代入抛物线方程得y 2＝2px ＝2p (y ＋p2)＝2py ＋p 2，所以y 2－2py －p 2＝0，所以y 1＋y 22＝p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1，故选B.4．选D 由题可知抛物线焦点坐标为F (4,0)．过点A 作直线AA ′垂直于抛物线的准线，垂足为A ′，根据抛物线定义知，|AA ′|＝|AF |，在△AA ′K 中，|AK |＝2|AA ′|，故∠KAA ′＝45°，所以直线AK 的倾斜角为45°，直线AK 的方程为y ＝x ＋4，代入抛物线方程y 2＝16x 得y 2＝16(y －4)，即y 2－16y ＋64＝0，解得y ＝8.所以△AFK 为直角三角形，故△AFK 的面积为12×8×8＝32.5．解析：由于抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以抛物线的方程为y 2＝4x .显然当直线的斜率不存在或为零时不满足题意，故设直线l 的方程为y －2＝k (x －2)，其中k ≠0，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋(2－2k )，y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2＋[4k (1－k )－4]x ＋4(1－k )2＝0，显然4k 2－4k ＋42k 2＝2，解得k ＝1.故直线l 的方程为y ＝x .答案：y ＝x6．解析：由x 2＝2py (p >0)得焦点F ⎝⎛⎭⎫0，p2， 准线l 为y ＝－p 2，所以可求得抛物线的准线与双曲线x 23－y 23＝1的交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋p 22，－p 2，B ⎝⎛⎭⎪⎫12＋p 22，－p 2， 所以|AB |＝12＋p 2，则|AF |＝|AB |＝12＋p 2，所以p |AF |＝sin π3，即p12＋p 2＝32，解得p ＝6. 答案：67．解：(1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， D (－x 1，y 1)，l 的方程为y ＝kx －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2＝4y ，得x 2－4kx ＋4＝0， 从而x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝4.直线BD 的方程为y －y 1＝y 2－y 1x 2＋x 1(x ＋x 1)，即y －x 214＝x 2－x 14(x ＋x 1)，令x ＝0，得y ＝x 1x 24＝1，所以点F 在直线BD 上．(2)因为F A ―→·FB ―→＝(x 1，y 1－1)·(x 2，y 2－1)＝x 1x 2＋(y 1－1)·(y 2－1)＝8－4k 2， 故8－4k 2＝89，解得k ＝±43，所以l 的方程为4x －3y －3＝0,4x ＋3y ＋3＝0. 又由(1)得x 2－x 1＝±16k 2－16＝±473，故直线BD 的斜率为x 2－x 14＝±73，因而直线BD 的方程为7x －3y ＋3＝0， 7x ＋3y －3＝0.设∠DBK 的平分线与y 轴的交点为M (0，t )， 则M (0，t )到l 及BD 的距离分别为3|t ＋1|5，3|t －1|4，由3|t ＋1|5＝3|t －1|4，得t ＝19或t ＝9(舍去)，所以∠DBK 的平分线与y 轴的交点为 M ⎝⎛⎭⎫0，19.8．解：(1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率为12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x＝2y －4.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4，得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0， ∴⎩⎨⎧y 1y 2＝4， ①y 1＋y 2＝8＋p2， ②又∵AC ＝4AB ，∴y 2＝4y 1，③由①②③及p ＞0得：y 1＝1，y 2＝4，p ＝2， 则抛物线G 的方程为x 2＝4y . (2)设l ：y ＝k (x ＋4)， BC 的中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k (x ＋4)，得x 2－4kx －16k ＝0，④ ∴x 0＝x 1＋x 22＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k . ∴线段BC 的中垂线方程为 y －2k 2－4k ＝－1k(x －2k )，∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为： b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2，对于方程④，由Δ＝16k 2＋64k ＞0得k ＞0或k ＜－4.∴b ∈(2，＋∞)． 故b 的取值范围为(2，＋∞)． 第Ⅱ卷：提能增分卷1．解：(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)， 设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线y 2＝4x ，消去x得y2－4ty－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，∴OA·OB＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)·(ty2＋1)＋y1y2＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.(2)证明：设l：x＝ty＋b代入抛物线y2＝4x，消去x得y2－4ty－4b＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，∴OA·OB＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2.∴直线l过定点(2,0)．∴若OA·OB＝－4，则直线l必过一定点(2,0)．2．解：(1)依题意知，点R是线段FP的中点，且RQ⊥FP，∴RQ是线段FP的垂直平分线．∵|PQ|是点Q到直线l的距离．点Q在线段FP的垂直平分线上，∴|PQ|＝|QF|.故动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y2＝2x(x＞0)．(2)弦长|TS|为定值．理由如下：取曲线C上一点M(x0，y0)，M到y轴的距离为d＝|x0|＝x0，圆的半径r＝|MA|＝(x0－1)2＋y20，则|TS|＝2r2－d2＝2y20－2x0＋1，因为点M在曲线C上，所以x0＝y20，2所以|TS |＝2y 20－y 20＋1＝2，是定值．3．解：(1)由题得抛物线C 的焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，14m ，线段MF 的中点 N ⎝⎛⎭⎫1，18m －14在抛物线C 上， ∴18m －14＝m,8m 2＋2m －1＝0， ∴m ＝14(m ＝－12舍去)．(2)由(1)知抛物线C ：x 2＝4y ，F (0,1)． 设直线l 的方程为y ＋12＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋12＝k (x －2)，x 2＝4y ，得x 2－4kx ＋8k ＋2＝0， Δ＝16k 2－4(8k ＋2)＞0， ∴k ＜2－62或k ＞2＋62由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝8k ＋2，假设k 1，k 2，k 3能成公差不为零的等差数列，则k 1＋k 3＝2k 2.而k 1＋k 3＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝x 2y 1＋x 1y 2－x 2－x 1x 1x 2＝x 2x 214＋x 1x 224－x 2－x 1x 1x 2＝⎝⎛⎭⎫x 1x 24－1(x 1＋x 2)x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8k ＋24－1·4k 8k ＋2＝4k 2－k 4k ＋1，k 2＝－12－12－0＝－34，∴4k 2－k 4k ＋1＝－32，8k 2＋10k ＋3＝0，解得k ＝－12(符合题意)或k ＝－34(不合题意，舍去)．∴直线l 的方程为y ＋12＝－12(x －2)，即x ＋2y －1＝0.∴k 1，k 2，k 3能成公差不为零的等差数列， 此时直线l 的方程为x ＋2y －1＝0.。
高中数学(文)统考版 复习 课时作业 49抛物线
解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4，又p ＝1，∴x 1＋x 2＝3，∴点C 的横坐标是x 1＋x 22＝32.故选C.答案：C5．[2020·云南昆明调研]设点M 为抛物线C ：y 2＝4x 的准线上一点(不同于准线与x 轴的交点)，过抛物线C 的焦点F 且垂直于x 轴的直线与C 交于A ，B 两点，设MA ，MF ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1＋k 3k 2的值为( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2 解析：不妨设点A 在x 轴上方，如图，由题意知，抛物线C 的准线方程为x ＝－1，焦点F (1,0)．将x ＝1代入抛物线C 的方程得y ＝±2，所以A (1,2)，B (1，－2)．设点M 的坐标为(－1，y 0)，则k 1＝2－y 02，k 2＝－y 02，k 3＝－2－y 02，所以k 1＋k 3k 2＝2.故选A.答案：A 二、填空题6．[2020·长沙模拟]已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (3,0)，P 1，P 2，…，P 2017是抛物线C 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x 2 017，若x 1＋x 2＋…＋x 2 017＝2 017，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 2 017F |＝________.解析：因为抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (3,0)，所以抛物线C 的方程为y 2＝12x ，其准线方程为x ＝－3.由抛物线的定义可得|P i F |＝x i ＋3(i ＝1,2，…，2 017)，所以|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 2 017F |＝(x 1＋3)＋(x 2＋3)＋…＋(x 2 017＋3)＝x 1＋x 2＋…＋x 2 017＋3×2 017＝8 068.答案：8 0687．[2020·宝安，潮阳，桂城八校联考]过抛物线y2＝4x的焦点F 的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|＝3，则|BF|＝________.解析：解法一由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，|AF|＝3，由抛物线的定义知，点A到准线x＝－1的距离为3，所以点A 的横坐标为2.如图，不妨设点A在第一象限，将x＝2代入y2＝4x，得y2＝8，所以点A的纵坐标为22，即A(2,22)，所以直线AF的方程为y＝22(x－1)．由⎩⎨⎧y＝22(x－1)，y2＝4x，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝12，y＝－2或⎩⎨⎧x＝2，y＝2 2.所以点B的横坐标为12，所以|BF|＝32.解法二如图，不妨设点A在第一象限，设∠AFx＝θ，A(x A，y A)，B(x B，y B)，则由抛物线的定义知x A＋1＝2＋3cosθ＝3，解得cosθ＝13.又|BF|＝x B＋1＝1－|BF|cosθ＋1＝2－13|BF|，所以|BF|＝32.答案：328．[2019·河北六校模拟]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，O是坐标原点，过点O，F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线C的方程为________．解析：设圆的圆心为M(x M，y M)，根据题意可知圆心M在抛物线C上．又圆的面积为36π，∴圆的半径为6，则|MF|＝x M＋p2＝6，即x M＝6－p2，又由题意可知x M＝p4，∴p4＝6－p2，解得p＝8，∴抛物线坐标为(2,2)，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－p 2，4，又点A 在抛物线C 上，代入抛物线C的方程可得16＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－p 2，得p ＝4，所以抛物线C 的方程为y 2＝8x ，故选B.答案：B12．[2020·湖南五市十校联考]在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点，PQ 垂直l 于点Q ，M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，直线MN 与x 轴交于点R ，若∠NFR ＝60°，则|NR |＝( )A ．2 B. 3 C ．2 3 D ．3 解析：如图，连接MF ，QF ，设准线l 与x 轴交于H ，∵抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点，∴|FH |＝2，|PF |＝|PQ |，∵M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，∴MN ∥QF ，∵PQ 垂直l 于点Q ，∴PQ ∥OR ，∵|PQ |＝|PF |，∠NFR ＝60°，∴△PQF 为等边三角形，∴MF ⊥PQ ，∴F 为HR 的中点，∴|FR |＝|FH |＝2，∴|NR |＝2.故选A.答案：A13．[2020·郑州入学测试]抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，点A (6,3)，P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则△P AF 周长的最小值为________．解析：由题意得抛物线的焦点F (2,0)，准线方程为x ＝－2.∵|AF |＝(6－2)2＋32＝5，∴求△P AF 周长的最小值，即求|P A |＋|PF |的最小值．设点P在准线上的射影为D，如图，连接PD，根据抛物线的定义，可知|PF|＝|PD|，∴|P A|＋|PF|的最小值，即|P A|＋|PD|的最小值．根据平面几何的知识，可得当D，P，A三点共线时|P A|＋|PD|取得最小值，∴|P A|＋|PF|的最小值为x A－(－2)＝8，∴△P AF周长的最小值为8＋5＝13.答案：13。
新教材高考数学一轮复习课时质量评价49抛物线含解析新人教A版
课时质量评价(四十九)(建议用时：45分钟) A 组 全考点巩固练1．(2020·银川一中高三模拟)若抛物线y ＝－4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( )A ．－1716B ．－1516C ．716D ．1516B 〖解 析〗由抛物线的方程y ＝－4x 2，可得标准方程为x 2＝－14y ，则焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫0，－116，准线方程为y ＝116.设M (x 0，y 0)，则由抛物线的定义可得－y 0＋116＝1，解得y 0＝－1516. 2．(多选题)已知点F (0,2)为圆锥曲线Ω的焦点，则Ω的方程可能为(BC) A ．y 2＝8x B ．x 2＝8yC ．x 2m －4＋y 2m ＝1(0＜m ＜4)D ．x 24－m －y 2m＝1(0＜m ＜4)3．(2020·湖北十堰第二中学二诊)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点F 作斜率为1的直线l 1与抛物线C 交于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线l 2与x 轴交于点P .若|PF |＝6，则|MN |＝( )A ．10B ．12C ．14D ．16B 〖解 析〗设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由题意知直线MN ：y ＝x －p 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px ，得y 2－2py －p 2＝0，则y 1＋y 2＝2p ，y 1y 2＝－p 2.设线段MN 的中点为A (x 0，y 0)，则y 1＋y 22＝p ＝y 0，代入y ＝x －p 2中，解得x 0＝32p ，故直线l 2：y －p ＝－⎝⎛⎭⎫x －3p 2.令y ＝0，得x ＝5p2，故|PF |＝2p ＝6，则y 1＋y 2＝6，y 1y 2＝－9，则|MN |＝2|y 1－y 2|＝2×62＝12.4．(2020·绵阳市高三三模)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过抛物线的焦点作x 轴的垂线，与抛物线交于A ，B 两点，点M 的坐标为(－2,0)，且△ABM 为直角三角形，则以直线AB 为准线的抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝－4xD ．y 2＝4xB 〖解 析〗设点A 位于第一象限，直线AB 的方程为x ＝p2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＝p 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p 2，y ＝±p ，所以点A ⎝⎛⎭⎫p 2，p .因为△ABM 为等腰直角三角形，由抛物线的对称性可得出|AM |＝|BM |，所以直线AM 的斜率为1，即k AM ＝p p2＋2＝1，解得p ＝4.因此，以直线AB 为准线的抛物线的标准方程为y 2＝－8x .5．(多选题)(2020·济宁市高三一模)已知直线l 过抛物线C ：y 2＝－2px (p >0)的焦点，且与该抛物线交于M ，N 两点．若线段MN 的长是16，MN 的中点到y 轴的距离是6，O 是坐标原点，则( )A ．抛物线C 的方程是y 2＝－8xB ．抛物线的准线方程是y ＝2C ．直线MN 的方程是x －y ＋2＝0D ．△MON 的面积是82AD 〖解 析〗设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，根据抛物线的定义可知|MN |＝－(x 1＋x 2)＋p ＝16.又MN 的中点到y 轴的距离为6，所以－x 1＋x 22＝6，所以x 1＋x 2＝－12，所以p ＝4.所以抛物线C 的方程为y 2＝－8x ，故A 项正确． 抛物线C 的准线方程是x ＝2，故B 项错误．设直线l 的方程是x ＝my －2，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝－8x ，x ＝my －2，消去x 得y 2＋8my －16＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－8m ，y 1·y 2＝－16， 所以x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－8m 2－4＝－12，解得m ＝±1. 故直线l 的方程是x －y ＋2＝0或x ＋y ＋2＝0，故C 项错误． S △MON ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝12×2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝64＋64＝82，故D 项正确．6．(2020·池州市高三一模)已知F 是抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，P 是抛物线C 在x 轴上方一点，以P 为圆心，3为半径的圆过点F ，且被y 轴截得的弦长为25，则抛物线C的方程为____________．y 2＝4x 〖解 析〗设P (x 0，y 0)，由抛物线的定义知|PF |＝p2＋x 0＝3，则点P 到y 轴的距离为x 0＝3－p2>0，由垂径定理知，5＋⎝⎛⎭⎫3－p 22＝9，解得p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . 7．(2020·宜宾高三月考)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.6 〖解 析〗如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点F ′，作MB ⊥l 于点B ，NA ⊥l 于点A ．由抛物线的解析式可得准线方程为x ＝－2，则|AN |＝2，|FF ′|＝4.在直角梯形ANFF ′中，|BM |＝|AN |＋|FF ′|2＝3.由抛物线的定义有|MF |＝|MB |＝3.结合题意，有|MN |＝|MF |＝3，故|FN |＝|FM |＋|NM |＝3＋3＝6.8．(2020·西安中学高三模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，过点F 斜率为3的直线l ′与抛物线C 交于点M (M 在x 轴的上方)，过M 作MN ⊥l 于点N ，连接NF 交抛物线C 于点Q ，则|NQ ||QF |＝________.2 〖解 析〗由抛物线定义可得|MF |＝|MN |，又斜率为3的直线l ′倾斜角为π3，MN ⊥l ，所以∠NMF ＝π3，即△MNF 为正三角形．因此NF 的倾斜角为2π3.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝－3⎝⎛⎭⎫x －p 2，解得x ＝p 6或x ＝3p 2(舍)，即x Q ＝p 6，|NQ ||QF |＝p 6－⎝⎛⎭⎫－p 2p 2－p6＝2. 9．设抛物线抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，M (p ，p －1)是C 上的点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与C 交于A ，B 两点，且|AF ||BF |＝13，求k 的值． 解：(1)因为M (p ，p －1)是C 上的点， 所以p 2＝2p (p －1)． 因为p >0，解得p ＝2， 所以抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2＝4y ，得x 2－4kx －8＝0，Δ＝16k 2＋32>0， 则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－8.由抛物线的定义知，|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1，则|AF ||BF |＝(y 1＋1)·(y 2＋1)＝(kx 1＋3)(kx 2＋3)＝k 2x 1x 2＋3k (x 1＋x 2)＋9＝4k 2＋9＝13，解得k ＝±1.B 组 新高考培优练10．(2020·邯郸一模)抛物线y 2＝8x 的焦点为F .设A ，B 是抛物线上的两个动点，|AF |＋|BF |＝233|AB |，则∠AFB 的最大值为( ) A ．π3 B ．3π4 C ．5π6 D ．2π3D 〖解 析〗设|AF |＝m ，|BF |＝n . 因为|AF |＋|BF |＝233|AB |， 所以233|AB |≥2mn ，所以mn ≤13|AB |2，当且仅当m ＝n 时等号成立．在△AFB 中，由余弦定理得 cos ∠AFB ＝m 2＋n 2－|AB |22mn＝(m ＋n )2－2mn －|AB |22mn＝13|AB |2－2mn 2mn ≥－12，所以∠AFB 的最大值为2π3.11．(2020·福建质量检测)设抛物线E ：y 2＝6x 的弦AB 过焦点F ，|AF |＝3|BF |，过A ，B 分别作E 的准线的垂线，垂足分别是A ′，B ′，则四边形AA ′B ′B 的面积等于( )A ．4 3B ．8 3C ．16 3D ．323C 〖解 析〗(方法一)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为F ⎝⎛⎭⎫32，0，所以可设直线AB 的方程x ＝my ＋32.代入E 的方程，整理得y 2－6my －9＝0，故y 1＋y 2＝6m ，y 1y 2＝－9，不妨设y 1>y 2.因为|AF |＝3|BF |，所以y 1＝－3y 2，解得y 1＝33，y 2＝－3，m ＝33，所以A ⎝⎛⎭⎫92，33，B ⎝⎛⎭⎫12，－3.故|AA ′|＝92＋32＝6，|BB ′|＝12＋32＝2，|A ′B ′|＝|y 1－y 2|＝43，故四边形AA ′B ′B 的面积为12(|AA ′|＋|BB ′|)·|A ′B ′|＝12×(6＋2)×43＝16 3.(方法二)设弦AB 与x 轴的夹角为θ，则有|AF |＝p 1－cos θ＝31－cos θ，|BF |＝p1＋cos θ＝31＋cos θ，所以31－cos θ＝3×31＋cos θ，所以cos θ＝12，故θ＝60°.故|AA ′|＝|AF |＝6，|BB ′|＝|BF |＝2，|A ′B ′|＝|AB |sin θ＝43，所直角梯形AA ′B ′B 的面积为12(|AA ′|＋|BB ′|)·|A ′B ′|＝12×(6＋2)×43＝16 3.(方法三)如图所示，作BG ⊥AA ′，垂足为G ，连接A ′F .设|BF |＝m ，则|AF |＝3m . 由抛物线的定义知|AA ′|＝3m ， |A ′G |＝|BB ′|＝|BF |＝m ， 所以|AB |＝4m ，|AG |＝2m ， 所以∠BAA ′＝60°，即△F AA ′为正三角形，故∠B ′A ′F ＝30°，故|AA ′|＝|A ′F |＝2p ＝6＝3m ，解得m ＝2.故|AA ′|＝6，|BB ′|＝2，|A ′B ′|＝43，所以四边形AA ′B ′B 的面积为12(|AA ′|＋|BB ′|)·|A ′B ′|＝12×(6＋2)×43＝16 3.12．已知点A (0,2)，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N .若|FM ||MN |＝55，则p 的值等于( ) A ．14B ．2C ．4D ．8B 〖解 析〗过点M 作抛物线的准线的垂线，垂足为点M ′，则易得|MM ′|＝|MF |，所以cos ∠NMM ′＝|MM ′||MN |＝|MF ||MN |＝55，则k AM ＝－tan ∠NMM ′＝－1－cos 2∠NMM ′cos 2∠NMM ′＝－2，则直线AM 的方程为y －2＝－2x .令y ＝0得抛物线的焦点坐标F (1,0)，则p ＝2×1＝2.故选B ．13．已知抛物线方程为y 2＝－4x ，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，在抛物线上有一动点A ，点A 到y 轴的距离为m ，到直线l 的距离为n ，则m ＋n 的最小值为________．655－1 〖解 析〗如图，过A 作AH ⊥l ，AN 垂直于抛物线的准线，则|AH |＋|AN |＝m ＋n ＋1.连接AF ，则|AF |＋|AH |＝m ＋n ＋1.由平面几何知识，知当A ，F ，H 三点共线时，|AF |＋|AH |＝m ＋n ＋1取得最小值，最小值为F 到直线l 的距离，即65＝655，即m ＋n 的最小值为655－1.14．设抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点A 是E 上一点，且线段AF 的中点坐标为(1,1)．(1)求抛物线E 的标准方程；(2)若B ，C 为抛物线E 上的两个动点(异于点A )，且BA ⊥BC ，求点C 的横坐标的取值范围．解：(1)依题意得F ⎝⎛⎭⎫0，p2，设A (x 0，y 0)． 由AF 的中点坐标为(1,1)，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝x 02，1＝y 0＋p22，即x 0＝2，y 0＝2－p2，所以4＝2p ⎝⎛⎭⎫2－p 2， 得p 2－4p ＋4＝0，解得p ＝2. 所以抛物线E 的标准方程为x 2＝4y . (2)由题意知A (2,1)． 设B ⎝⎛⎭⎫x 1，x 214，C ⎝⎛⎭⎫x 2，x 224， 则k BA ＝x 214－1x 1－2＝14(x 1＋2)．因为x 1≠－2，所以k BC ＝－4x 1＋2，所以BC 所在直线方程为y －x 214＝－4x 1＋2·(x －x 1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y －x 214＝－4x 1＋2(x －x 1)，x 2＝4y .因为x ≠x 1，得(x ＋x 1)(x 1＋2)＋16＝0， 即x 21＋(x ＋2)x 1＋2x ＋16＝0. 因为Δ＝(x ＋2)2－4(2x ＋16)≥0， 即x 2－4x －60≥0， 故x ≥10或x ≤－6.经检验，当x ＝－6时，不满足题意．所以点C 的横坐标的取值范围是(－∞，－6)∪〖10，＋∞)．15．(2020·厦门一模)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点A 在抛物线C 上．若|AO |＝|AF |＝32.(1)求抛物线C的方程．(2)设直线l与抛物线C交于点P，Q.若线段PQ的中点的纵坐标为1，求△OPQ的面积的最大值．解：(1)因为点A在抛物线C上，|AO|＝|AF|＝32，所以点A的纵坐标为p4.所以p4＋p2＝32.所以p＝2.所以抛物线C的方程为x2＝4y.(2)由题意知直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝kx＋b(b≥0)，代入抛物线方程，可得x2－4kx－4b＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，所以y1＋y2＝4k2＋2b.因为线段PQ的中点的纵坐标为1，所以2k2＋b＝1，即2k2＝1－b≥0.所以0<b≤1.所以S△OPQ＝12b|x1－x2|＝12b(x1＋x2)2－4x1x2＝12b16k2＋16b＝b2＋2b＝2·b3＋b2(0<b≤1)．设y＝b3＋b2，y′＝3b2＋2b>0，函数单调递增，所以b＝1时，△OPQ的面积最大，最大值为2.。
课时跟踪检测49讲解
课时跟踪检测(四十九)[高考基础题型得分练]1．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为( )A.14 B ．12 C ．2 D ．4答案：A解析：由题意知，a 2＝1m ，b 2＝1，且a ＝2b ，∴1m ＝4，∴m ＝14.2．已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2m ＋y 2＝1的离心率为( )A.306 B ．7 C.306或7 D ．56或7答案：C解析：因为实数4，m,9构成一个等比数列， 所以可得m 2＝36， 解得m ＝6或m ＝－6.当圆锥曲线为椭圆时，即x 2m ＋y 2＝1的方程为x 26＋y 2＝1， 所以a 2＝6，b 2＝1，则c 2＝a 2－b 2＝5. 所以离心率e ＝ca ＝56＝306.当曲线是双曲线时可求得离心率为7.3．[2017·河北邯郸一模]椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 2的中点在y 轴上，那么|PF 2|是|PF 1|的( )A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍答案：A解析：设线段PF 2的中点为D ， 则|OD |＝12|PF 1|且OD ∥PF 1，OD ⊥x 轴， ∴PF 1⊥x 轴，∴|PF 1|＝b 2a ＝323＝32.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝43， ∴|PF 2|＝43－32＝732. ∴|PF 2|是|PF 1|的7倍．4．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上的点A 满足AF 2⊥F 1F 2.若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P →·F 2A →的最大值为( )A.32B ．332C.94 D ．154答案：B解析：设向量F 1P →，F 2A →的夹角为θ. 由条件知|AF 2|为椭圆通径的一半， 即|AF 2|＝b 2a ＝32， 则F 1P →·F 2A →＝32|F 1P →|cos θ， 于是F 1P →·F 2A →要取得最大值， 只需F 1P →在F 2A →上的投影值最大， 易知此时点P 在椭圆短轴的上顶点， 所以F 1P →·F 2A →＝32×|F 1P →|cos θ≤332. 故选B.5．[2017·陕西西安质量检测]已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1 B ．x 24＋y 23＝1C.x 24＋y 23＝1 D ．x 24＋y 2＝1答案：C解析：依题意，所求椭圆的焦点位于x 轴上，且c ＝1，e ＝c a ＝12⇒a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，因此其方程是x 24＋y 23＝1，故选C.6．[2017·甘肃兰州诊断]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，若椭圆C 的中心到直线AB 的距离为66|F 1F 2|，则椭圆C 的离心率e ＝( )A.22 B ．32 C.23 D ．33答案：A解析：设椭圆C 的焦距为2c (c <a )， 由于直线AB 的方程为bx ＋ay －ab ＝0， ∴aba 2＋b 2＝63c ， ∵b 2＝a 2－c 2，∴3a 4－7a 2c 2＋2c 4＝0， 解得a 2＝2c 2或3a 2＝c 2(舍去)，∴e ＝22.7．[2017·江西师大附中模拟]椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ba 的值为( )A.32B ．233C.932 D ．2327答案：B解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1，即ax 21－ax 22＝－(by 21－by 22)，by 21－by 22ax 21－ax 22＝－1， ∴b (y 1－y 2)(y 1＋y 2)a (x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝－1， ∴b a ×(－1)×32＝－1， ∴b a ＝233，故选B.8．[2017·山东青岛模拟]设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为_______．答案：x 216＋y 212＝1解析：抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)， ∴m 2－n 2＝4，① e ＝12＝2m ，∴m ＝4， 代入①得，n 2＝12， ∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1.9．[2017·湖南长沙一模]椭圆Г：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．答案：3－1解析：依题意得∠MF 1F 2＝60°， ∠MF 2F 1＝30°，∠F 1MF 2＝90°， 设|MF 1|＝m ，则有|MF 2|＝3m ，|F 1F 2|＝2m ， 该椭圆的离心率是 e ＝|F 1F 2||MF 1|＋|MF 2|＝3－1. 10．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin C sin B的值为________． 答案：54解析：sin A ＋sin C sin B＝|BC |＋|BA ||AC |＝2a 2c ＝a c ＝54. 11．[2017·山东三校联考]椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，双曲线x 2－y 23＝1的一条渐近线与椭圆C 交于A ，B 两点，且AF ⊥BF ，则椭圆C 的离心率为________．答案：3－1解析：不妨取双曲线x 2－y 23＝1的一条渐近线的方程为y ＝3x ，记椭圆C 的左焦点为F 1，由题意得|OA |＝|OB |＝|OF |＝|OF 1|＝c ， ∴四边形AFBF 1为矩形，△AFO 是正三角形， ∴|AF |＝c ，|AF 1|＝3c ， ∴椭圆C 的离心率e ＝c a ＝2c2a ＝|FF 1||AF |＋|AF 1|＝2cc ＋3c ＝3－1.12．已知椭圆的左焦点为F 1，右焦点为F 2，若椭圆上存在一点P ，满足线段PF 2相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF 2的中点，则该椭圆的离心率为________．答案：53解析：因为线段PF 2相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF 2的中点M ，则OM ∥PF 1，OM ⊥PF 2，∴PF 1⊥PF 2. 设|F 1F 2|＝2c ，|PF 1|＝2|OM |＝2b ， 由椭圆的定义，得|PF 2|＝2a －2b . 由勾股定理，得4b 2＋(2a －2b )2＝4c 2， 解得b ＝23a ，c ＝53a ， 所以椭圆的离心率e ＝c a ＝53.[冲刺名校能力提升练]1．[2017·广东汕头一模]已知椭圆x 24＋y 22＝1上有一点P ，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若△F 1PF 2为直角三角形，则这样的点P 有( )A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个答案：C解析：当∠PF 1F 2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P 有2个；同理当∠PF 2F 1为直角时，这样的点P 有2个；当P 点为椭圆的短轴端点时，∠F 1PF 2最大，且为直角，此时这样的点P 有2个．故符合要求的点P 有6个．2．[2017·河北唐山模拟]椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，若F 关于直线 3x ＋y ＝0的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为( )A.12 B ．3－12 C.32 D ．3－1答案：D解析：解法一：设A (m ，n )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧nm ＋c×(－3)＝－1，3×m －c2＋n2＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，32c ，代入椭圆C 中，有c 24a 2＋3c 24b 2＝1， ∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，∴(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)， ∴c 4－8a 2c 2＋4a 4＝0， ∴e 4－8e 2＋4＝0， ∴e 2＝4±23， ∵0<e <1，∴e ＝3－1.解法二：借助于椭圆的定义，本题还有如下简捷解法： 设F ′是椭圆的右焦点，连接AF ，AF ′.由已知得△AFF ′是直角三角形，其中∠A ＝90°，∠AFF ′＝30°，∵|FF ′|＝2c ，∴|AF |＝3c ，|AF ′|＝c ，∴e ＝2c 2a ＝|FF ′||AF |＋|AF ′|＝2cc ＋3c＝3－1，故选D.3．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.答案：3解析：设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则⎩⎨⎧r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2，∴2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2，又∵S △PF 1F 2＝12r 1r 2＝b 2＝9，∴b ＝3.4．[2017·河北保定一模]与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，且与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为________．答案：x 225＋y 216＝1解析：设动圆的半径为r ，圆心为P (x ，y )， 则有|PC 1|＝r ＋1，|PC 2|＝9－r . 所以|PC 1|＋|PC 2|＝10＞|C 1C 2|，即P 在以C 1(－3,0)，C 2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.5．已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1和F 2，且|F 1F 2|＝2，点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在该椭圆上． (1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的面积为1227，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．解：(1)由题意知c ＝1,2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝4，解得a ＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)①当直线l ⊥x 轴时，可取A ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，△AF 2B 的面积为3，不符合题意． ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，代入椭圆方程得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，显然Δ>0成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2， 可得|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝12(k 2＋1)3＋4k 2， 又圆F 2的半径r ＝2|k |1＋k 2， ∴△AF 2B 的面积为12|AB |·r ＝12|k |k 2＋13＋4k 2＝1227，化简得17k 4＋k 2－18＝0，得k ＝±1，∴r ＝2，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.6．[2017·湖南四校联考]在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，且过点(0，3)，椭圆C 的长轴的两端点为A ，B ，点P 为椭圆上异于A ，B 的动点，定直线x ＝4与直线P A ，PB 分别交于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)在x 轴上是否存在定点经过以MN 为直径的圆？若存在，求定点坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)⎩⎨⎧ e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，b 2＝3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，P (x 0，y 0)，则k 1＝y 0x 0＋2，k 2＝y 0x 0－2， k 1k 2＝y 20x 20－4＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204x 20－4＝3×4－x 204x 20－4＝－34， 由l P A ：y ＝k 1(x ＋2)知M (4,6k 1)，由l PB ：y ＝k 2(x －2)知N (4,2k 2)，∴MN 的中点G (4,3k 1＋k 2)，∴以MN 为直径的圆的方程为(x －4)2＋(y －3k 1－k 2)2＝14(6k 1－2k 2)2＝(3k 1－k 2)2，令y ＝0，得x 2－8x ＋16＋9k 21＋6k 1k 2＋k 22＝9k 21－6k 1k 2＋k 22，∴x 2－8x ＋16＋12k 1k 2＝0，∴x 2－8x ＋16＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝0， 即x 2－8x ＋7＝0，解得x ＝7或x ＝1，∴存在定点(1,0)，(7,0)经过以MN 为直径的圆．。
课时跟踪检测(四十六) 抛物线
课时跟踪检测（四十六） 抛物线一、基础练——练手感熟练度1．(2021·武汉模拟)已知抛物线y 2＝2px (p >0)上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到y 轴的距离大12，则抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝xB ．y 2＝2xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：选B 由抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到y 轴的距离大12，根据抛物线的定义可得p 2＝12，所以p ＝1，所以抛物线的标准方程为y 2＝2x .故选B. 2．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的点到准线的最小距离为3，则抛物线的焦点坐标为( )A ．(3，0)B ．(0，3)C ．(23，0)D ．(0,23)解析：选A 抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的点到准线的最小距离为3，就是顶点到焦点的距离是3，即p2＝3，则抛物线的焦点坐标为(3，0)．故选A.3．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，M 是抛物线C 上的一点，若△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选D 依题意，△OFM 的外接圆半径为6，△OFM 的外接圆圆心应位于OF 的垂直平分线x ＝p 4上，圆心到准线x ＝－p 2的距离为6，即p 4＋p2＝6，解得p ＝8，故选D.4．若直线AB 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，且AB ⊥x 轴，|AB |＝42，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．5解析：选A 由|AB |＝42及AB ⊥x 轴，不妨设点A 的纵坐标为22，代入y 2＝4x 得点A 的横坐标为2，从而直线AB 的方程为x ＝2.又y 2＝4x 的焦点为(1,0)，所以抛物线的焦点到直线AB 的距离为2－1＝1，故选A.5．已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，点P 在该抛物线上，且P 在y 轴上的投影为点E ，则|PF |－|PE |的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 因为抛物线y 2＝8x ，所以抛物线的准线方程为x ＝－2，因为P 在y 轴上的投影为点E ，所以|PE |即为点P 到x ＝－2的距离减去2，因为点P 在该抛物线上，故点P 到x ＝－2的距离等于|PF |，所以|PE |＝|PF |－2，故|PF |－|PE |＝2，故选B.6．已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．解析：由题知直线l 的方程为x ＝1，则直线与抛物线的交点为(1，±2a )(a >0)． 又直线被抛物线截得的线段长为4，所以4a ＝4，即a ＝1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)． 答案：(1,0)二、综合练——练思维敏锐度1．若抛物线y 2＝2px 上一点P (2，y 0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝4x B ．y 2＝6x C ．y 2＝8xD ．y 2＝10x解析：选C ∵抛物线y 2＝2px ，∴准线为x ＝－p 2.∵点P (2，y 0)到其准线的距离为4，∴⎪⎪⎪⎪－p2－2＝4. ∴p ＝4，∴抛物线的标准方程为y 2＝8x .2．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选A 由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14＝|AF |＝54x 0，解得x 0＝1.故选A.3．双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn ≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为( )A.316 B ．38C.163D ．83解析：选A ∵抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，∴双曲线中c ＝1，又e ＝2，∴1m＝2，∴m ＝14，∴n ＝34，∴mn ＝316.4．已知点A (0,2)，抛物线C 1：y 2＝ax (a ＞0)的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N .若|FM |∶|MN |＝1∶5，则a 的值为( )A.14 B ．12C ．1D ．4解析：选D 依题意，点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，如图，设点M 在准线上的射影为K ，由抛物线的定义知|MF |＝|MK |，|KM |∶|MN |＝1∶5，则|KN |∶|KM |＝2∶1.∵k FN ＝0－2a 4－0＝－8a ，k FN ＝－|KN ||KM |＝－2，∴8a ＝2，解得a ＝4.5．(2020·北京高考)设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于Q .则线段FQ 的垂直平分线( )A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP解析：选B 连接PF ，由题意及抛物线的定义可知|PQ |＝|FP |，则△QPF 为等腰三角形，故线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选B.6．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若△AOB 的面积为4，则|AB |＝( )A ．6B ．8C ．12D ．16解析：选D 设A ⎝⎛⎭⎫y 214，y 1，B ⎝⎛⎭⎫y 224，y 2，F (1,0)．当AB ⊥x 轴时，|AB |＝4，S △AOB ＝12|OF |·|AB |＝2，不成立，所以y 2y 224－1＝y 1y 214－1⇒y 1y 2＝－4.由△AOB 的面积为4，得12|y 1－y 2|×1＝4，所以y 21＋y 22＝56，因此|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝y 21＋y 224＋2＝16. 7．(2021年1月新高考八省联考卷)已知抛物线y 2＝2px 上三点A (2,2)，B ，C ，直线AB ，AC 是圆(x －2)2＋y 2＝1的两条切线，则直线BC 的方程为( )A ．x ＋2y ＋1＝0B ．3x ＋6y ＋4＝0C ．2x ＋6y ＋3＝0D ．x ＋3y ＋2＝0解析：选B 把A (2,2)代入y 2＝2px 得p ＝1， 又直线AB ，AC 是圆(x －2)2＋y 2＝1的两条切线， 易得AB 方程为y －2＝3(x －2)， AC 方程为y －2＝－3(x －2)，联立AB 方程和抛物线方程得B ⎝⎛⎭⎫83－43，23－2， 同理：C ⎝⎛⎭⎫83＋43，－23－2，由B ，C 两点坐标可得直线BC 的方程为3x ＋6y ＋4＝0，所以选B.8．(多选)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心，|FA |为半径的圆交l 于B ，D 两点．若∠ABD ＝90°，且△ABF 的面积为93，则下列说法正确的是( )A ．△ABF 是等边三角形B ．|BF |＝3C ．点F 到准线的距离为3D ．抛物线C 的方程为y 2＝6x解析：选ACD ∵以F 为圆心，|FA |为半径的圆交l 于B ，D 两点，∠ABD ＝90°，由抛物线的定义可得|AB |＝|AF |＝|BF |，∴△ABF 是等边三角形，∴∠FBD ＝30°.∵△ABF 的面积为34|BF |2＝93，∴|BF |＝6.又点F 到准线的距离为|BF |sin 30°＝3＝p ，则该抛物线的方程为y 2＝6x .9．(2021·海口调研)若抛物线y 2＝8x 上一点P (m ，n )到其焦点的距离为8m ，则m ＝______. 解析：由题意得，抛物线的准线方程为x ＝－2， 又点P (m ，n ) 到焦点的距离为8m ， 所以|PF |＝m ＋2＝8m ，解得m ＝27.答案：2710．抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为A ，其准线与x 轴的交点为B ，如果在直线3x ＋4y ＋25＝0上存在点M ，使得∠AMB ＝90°，则实数p 的取值范围是________．解析：由题得A ⎝⎛⎭⎫p 2，0，B ⎝⎛⎭⎫－p2，0， ∵M 在直线3x ＋4y ＋25＝0上，设点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，－3x －254，∴ AM ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，－3x －254，BM ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋p 2，－3x －254.又∠AMB ＝90°，∴AM ―→·BM ―→＝⎝⎛⎭⎫x －p 2·⎝⎛⎭⎫x ＋p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x －2542＝0， 即25x 2＋150x ＋625－4p 2＝0，∴Δ≥0， 即1502－4×25×(625－4p 2)≥0， 解得p ≥10，或p ≤－10，又p >0，∴p 的取值范围是[10，＋∞)． 答案：[10，＋∞)11．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC ―→＝OA ―→＋λOB ―→，求λ的值． 解：(1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p 2， 与y 2＝2px 联立，消去y 得4x 2－5px ＋p 2＝0， 所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x . (2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0，即x 2－5x ＋4＝0， 则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设C (x 3，y 3)，则OC ―→＝(x 3，y 3)＝OA ―→＋λOB ―→＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(4λ＋1,42λ－22)．又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.12．已知点F 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，过点F 的动直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，且当直线l 的倾斜角为45°时，|MN |＝16.(1)求抛物线C 的方程；(2)试确定在x 轴上是否存在点P ，使得直线PM ，PN 关于x 轴对称？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)当直线l 的倾斜角为45°时，l 的斜率为1， ∵F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，∴l 的方程为y ＝x －p2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px ，得x 2－3px ＋p 24＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3p ， ∴|MN |＝x 1＋x 2＋p ＝4p ＝16，p ＝4， ∴抛物线C 的方程为y 2＝8x . (2)假设满足题意的点P 存在． 设P (a,0)，由(1)知F (2,0)，①当直线l 不与x 轴垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y 2＝8x得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0， 则x 1＋x 2＝4k 2＋8k2，x 1x 2＝4.Δ＝[－(4k 2＋8)]2－4·k 2·4k 2＝64k 2＋64>0， ∵直线PM ，PN 关于x 轴对称， ∴k PM ＋k PN ＝0，又k PM ＝k (x 1－2)x 1－a ，k PN ＝k (x 2－2)x 2－a，∴k (x 1－2)(x 2－a )＋k (x 2－2)(x 1－a )＝k [2x 1x 2－(a ＋2)(x 1＋x 2)＋4a ]＝－8(a ＋2)k ＝0，∴a ＝－2，此时P (－2,0)．②当直线l 与x 轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM ，PN 关于x 轴对称，此时只需P 与焦点F 不重合即可．综上，存在唯一的点P (－2,0)，使直线PM ，PN 关于x 轴对称．三、自选练——练高考区分度1．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点M (3,1)射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经过抛物线上的另一点B 射出，则△ABM 的周长为( )A.7112＋26 B ．9＋10 C.8312＋26 D ．9＋26解析：选D 对于y 2＝4x ，令y ＝1，得x ＝14，即A ⎝⎛⎭⎫14，1，结合抛物线的光学性质，得AB 经过焦点F ，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，与抛物线方程联立可得，k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0，据此可得x A x B ＝1，∴x B ＝1x A＝4.∴|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝254.将x ＝4代入y 2＝4x 可得y ＝±4，故B (4，－4)， ∴|MB |＝(4－3)2＋(－4－1)2＝26.∴△ABM 的周长为|MA |＋|MB |＋|AB |＝⎝⎛⎭⎫3－14＋254＋26＝9＋26.故选D. 2．(多选)设F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，直线l 过点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是( )A ．|AB |≥4 B ．|OA |＋|OB |>8C ．若点P (2,2)，则|PA |＋|AF |的最小值是3D ．△OAB 的面积的最小值是2解析：选ACD F (1,0)，如图，不妨设A 在第一象限．(1)若直线l 斜率不存在，则A (1,2)，B (1，－2)，则|AB |＝4，|OA |＋|OB |＝2|OA |＝25，S △OAB ＝12×4×1＝2，显然B 错误；(2)若直线l 斜率存在，设直线l 斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)，显然k ≠0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，消元得：k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k 2，∴|AB |＝x 1＋x 2＋2＝4＋4k 2>4，原点O 到直线l 的距离d ＝|k |k 2＋1，∴S △OAB ＝12×|AB |×d ＝12×⎝⎛⎭⎫4＋4k 2×|k |k 2＋1＝21＋1k2>2. 综上，|AB |≥4，S △OAB ≥2，故A 正确，D 正确．过点A 向准线作垂线，垂足为N ，则|PA |＋|AF |＝|PA |＋|AN |，又P (2,2)在抛物线右侧，故当P ，A ，N 三点共线时，|PA |＋|AF |取得最小值3，故C 正确．故选A 、C 、D.3．(多选)已知过抛物线C ：y 2＝4x 焦点的直线交抛物线C 于P ，Q 两点，交圆x 2＋y 2－2x ＝0于M ，N 两点，其中P , M 位于第一象限，则1|PM |＋4|QN |的值可能为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选BCD 如图所示，可设||PF ＝m ，||QF ＝n ，则||PM ＝m －1，||QN ＝n －1，∵y 2＝4x ，∴p ＝2，根据抛物线的常用结论，有1m ＋1n ＝2p ＝1，∴m ＋n mn＝1，则m ＋n ＝mn ， ∴1|PM |＋4|QN |＝1m －1＋4n －1＝4m ＋n －5mn －(m ＋n )＋1＝4m ＋n －5， 又∵(4m ＋n )·1＝(4m ＋n )·⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ＝4＋4m n ＋n m＋1≥5＋2 4m n ·n m ＝9，得4m ＋n ≥9，∴4m ＋n －5≥4，则1|PM |＋4|QN |的值不可能为3.。
2019年高考数学(文)一轮复习第八章 解析几何跟踪检测 (四十九)抛物线及答案
课时跟踪检测 (四十九) 抛物线一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．以x＝1为准线的抛物线的标准方程为( ) A．y2＝2x B．y2＝－2xC．y2＝4x D．y2＝－4x解析：选D 由准线x＝1知，抛物线方程为：y2＝－2px(p>0)且p2＝1，p＝2，∴抛物线的方程为y2＝－4x，故选D．2．已知AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是( )A．2 B．1 2C．32D．52解析：选C 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝4，又p＝1，所以x1＋x2＝3，所以点C的横坐标是x1＋x22＝32．3．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记C 的焦点为F，则直线AF的斜率为( )A．－43B．－1C．－34D．－12解析：选C 由已知，得准线方程为x＝－2，所以F的坐标为(2,0)．又A(－2,3)，所以直线AF的斜率为k＝3－0－2－2＝－34．4．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，且点P 到y 轴的距离与其到焦点的距离之比为12，则点P 到x 轴的距离为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，根据抛物线的定义，点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离，故x Px P －－＝12， 解得x P ＝1，所以y 2P ＝4，所以|y P |＝2．答案：25．一个顶点在原点，另外两点在抛物线y 2＝2x 上的正三角形的面积为________．解析：如图，根据对称性：A ，B 关于x 轴对称，故∠AOx ＝30°．直线OA 的方程y ＝33x ， 代入y 2＝2x ， 得x 2－6x ＝0， 解得x ＝0或x ＝6． 即得A 的坐标为(6,23)．∴|AB |＝43，正三角形OAB 的面积为12×43×6＝123．答案：12 3二保高考，全练题型做到高考达标1．抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A ．(0，a )B ．(a,0)C ．⎝⎛⎭⎪⎫0，116a D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫116a ，0 解析：选C 将y ＝4ax 2(a ≠0)为标准方程得x 2＝14ay (a ≠0)，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a ，所以选C ． 2．(2016·山西高三考前质量检测)已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的准线与抛物线C 2：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，C 1的焦点为F ，若△FAB 的面积等于1，则C 1的方程是( )A ．x 2＝2yB ．x 2＝2yC ．x 2＝yD ．x 2＝22y解析：选A 由题意得，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，－p 2，B ⎝⎛⎭⎪⎫－p ，－p 2，∴S △FAB ＝12·2p ·p ＝1，则p ＝1，即抛物线C 1的方程是x 2＝2y ，故选A ．3．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选C 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知AB 所在的直线方程为y ＝3⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝3⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2.得：x 2－5p 3x ＋p24＝0，∴x 1＋x 2＝5p 3，x 1x 2＝p 24，所以x 1＝3p 2，x 2＝p6，所以|AF ||BF |＝32p ＋p 2p 2＋p6＝3．4．已知P 为抛物线y ＝12x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为点M ，点A 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫6，172，则|PA |＋|PM |的最小值是( )A ．8B ．192C ．10D ．212解析：选B 依题意可知焦点F ⎝⎛⎭⎪⎫0，12，准线方程为y ＝－12，延长PM 交准线于点H (图略)．则|PF |＝|PH |，|PM |＝|PF |－12，|PM |＋|PA |＝|PF |＋|PA |－12，即求|PF |＋|PA |的最小值． 因为|PF |＋|PA |≥|FA |，又|FA |＝62＋⎝ ⎛⎭⎪⎫172－122＝10．所以|PM |＋|PA |≥10－12＝192，故选B ．5．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝32xB ．y 2＝3xC ．y 2＝92xD ．y 2＝9x解析：选B 如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则|BC |＝2a ，由定义得：|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°，在直角三角形ACE 中，因为|AF |＝3，|AC |＝3＋3a ， 所以2|AE |＝|AC |，所以3＋3a ＝6，从而得a ＝1， 因为BD ∥FG ，所以1p ＝23，求得p ＝32，因此抛物线方程为y 2＝3x ．6．抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________．解析：在等边三角形ABF 中，AB 边上的高为p ，AB2＝33p ，所以B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫±33p ，－p 2． 又因为点B 在双曲线上，故p 233－p 243＝1，解得p ＝6． 答案：67．(2017·广西质检)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且|PA |＝12|AB |，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为D ，E (图略)，∵|PA |＝12|AB |，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋＝x 2＋2，3y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C的焦点的距离为1＋23＝53．答案：538．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为________米．解析：由题意，可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)． ∵点(2，－2)在抛物线上，∴p ＝1，即抛物线方程为x 2＝－2y ． 当y ＝－3时，x ＝±6．∴水位下降1米后，水面宽为26米． 答案：2 69．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M ．(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，∴p ＝2．∴抛物线方程为y 2＝4x ． (2)∵点A 的坐标是(4,4)， 由题意得B (0,4)，M (0,2)． 又∵F (1,0)，∴k FA ＝43，∵MN ⊥FA ，∴k MN ＝－34．又FA 的方程为y ＝43(x －1)，①MN 的方程为y －2＝－34x ，②联立①②，解得x ＝85，y ＝45，∴N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45．10．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9．(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC ―→＝OA ―→＋λOB ―→，求λ的值．解：(1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，消去y 有4x 2－5px ＋p 2＝0， 所以x 1＋x 2＝5p4．由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x ． (2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0， 即x 2－5x ＋4＝0， 则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4,42)． 设C (x 3，y 3)，则OC ―→＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(4λ＋1,42λ－22)．又y 23＝8x 3，所以2＝8(4λ＋1)，整得(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2． 故λ的值为0或2．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线AB ，CD 与抛物线交于A ，B ，C ，D 四点，且AB ⊥CD ，则FA ―→·FB ―→＋FC ―→·FD―→的最大值等于( ) A ．－4 B ．－16 C ．4D ．－8解析：选B 依题意可得，FA ―→·FB ―→＝－(|FA ―→|·|FB ―→|)． 又因为|FA ―→|＝y A ＋1，|FB ―→|＝y B ＋1， 所以FA ―→·FB ―→＝－(y A y B ＋y A ＋y B ＋1)． 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)， 联立x 2＝4y ，可得x 2－4kx －4＝0， 所以x A ＋x B ＝4k ，x A x B ＝－4． 所以y A y B ＝1，y A ＋y B ＝4k 2＋2． 所以FA ―→·FB―→＝－(4k 2＋4)． 同FC ―→·FD ―→＝－⎝⎛⎭⎪⎫4k 2＋4．所以FA ―→·FB ―→＋FC ―→·FD ―→＝－⎝⎛⎭⎪⎫4k 2＋4k 2＋8≤－16．当且仅当k ＝±1时等号成立．2．如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程．(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)．因为点P (1,2)在抛物线上， 所以22＝2p ×1， 解得p ＝2．故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1． (2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ．则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)，因为PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补， 所以k PA ＝－k PB ．由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1， ①y 22＝4x 2， ②所以y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1， 所以y 1＋2＝－(y 2＋2)． 所以y 1＋y 2＝－4．由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2)．。
课时跟踪检测(四十七) 抛物线
课时跟踪检测（四十七） 抛物线一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．以x ＝1为准线的抛物线的标准方程为________．解析：由准线x ＝1知，抛物线方程为：y 2＝－2px (p >0)且p 2＝1，p ＝2， 所以抛物线的方程为y 2＝－4x .答案：y 2＝－4x2．(2016·扬州期末)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点也是双曲线x 2－y 2＝8的一个焦点，则p ＝________.解析：抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0，双曲线x 2－y 2＝8的右焦点为(4,0)，故p 2＝4，即p ＝8.答案：83．已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，AB ＝4，则AB 中点C 的横坐标是________． 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ＝x 1＋x 2＋p ＝4，又p ＝1，所以x 1＋x 2＝3，所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝32. 答案：324．(2016·前黄中学检测)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为________．解析：由于抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p 2，由题意得－p 2＝－1，p ＝2， 所以焦点坐标为()1，0.答案：()1，05．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，且点P 到y 轴的距离与其到焦点的距离之比为12，则点P 到x 轴的距离为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，根据抛物线的定义，点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离，故x P x P －(－1)＝12， 解得x P ＝1，所以y 2P ＝4，所以|y P |＝2.答案：26．一个顶点在原点，另外两点在抛物线y 2＝2x 上的正三角形的面积为________． 解析：如图，根据对称性：A ，B 关于x 轴对称，故∠AOx ＝30°.直线OA 的方程y ＝33x ， 代入y 2＝2x ，得x 2－6x ＝0，解得x ＝0或x ＝6.即得A 的坐标为(6,23)．所以|AB |＝43，正三角形OAB 的面积为12×43×6＝12 3. 答案：12 3二保高考，全练题型做到高考达标 1．抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是________．解析：将y ＝4ax 2(a ≠0)化为标准方程得x 2＝14ay (a ≠0)，所以焦点坐标为⎝⎛⎫0，116a . 答案：⎝⎛⎭⎫0，116a 2．(2016·天星湖中学检测)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________________．解析：设抛物线方程为y 2＝2ax (a ≠0)，或x 2＝2ay (a ≠0)．将P (－2，－4)代入，分别得方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y .答案：y 2＝－8x 或x 2＝－y3．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则AF BF＝________. 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知AB 所在的直线方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －p 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝3⎝⎛⎭⎫x －p 2.得：x 2－5p 3x ＋p 24＝0， 解得x 1＝3p 2，x 2＝p 6， 所以AF BF ＝32p ＋p 2p 2＋p 6＝3. 答案：34．已知P 为抛物线y ＝12x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为点M ，点A 的坐标是⎝⎛⎭⎫6，172，则PA ＋PM 的最小值是________．解析：依题意可知焦点F ⎝⎛⎭⎫0，12，准线方程为y ＝－12，延长PM 交准线于点H (图略)． 则PF ＝PH ，PM ＝PF －12， PM ＋PA ＝PF ＋PA －12， 即求PF ＋PA 的最小值．因为PF ＋PA ≥FA ，又FA ＝ 62＋⎝⎛⎭⎫172－122＝10. 所以PM ＋PA ≥10－12＝192. 答案：1925.如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，若BC ＝2BF ，且AF ＝3，则抛物线的方程为________．解析：如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设BF ＝a ，则BC ＝2a ，由定义得：BD ＝a ，故∠BCD ＝30°，在直角三角形ACE 中，因为AF ＝3，AC ＝3＋3a ，所以2AE ＝AC ，所以3＋3a ＝6，从而得a ＝1，因为BD ∥FG ，所以1p ＝23， 求得p ＝32，因此抛物线方程为y 2＝3x . 答案：y 2＝3x6．抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.解析：在等边三角形ABF 中，AB 边上的高为p ，AB 2＝33p ， 所以B ⎝⎛⎭⎫±33p ，－p 2. 又因为点B 在双曲线上，故p 233－p 243＝1，解得p ＝6. 答案：67．(2017·无锡调研)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且PA ＝12AB ，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为________． 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为D ，E (图略)，因为PA ＝12AB ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3(x 1＋2)＝x 2＋2，3y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53. 答案：538．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为________米．解析：由题意，可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)．因为点(2，－2)在抛物线上，所以p ＝1，即抛物线方程为x 2＝－2y .当y ＝－3时，x ＝±6.所以水位下降1米后，水面宽为26米．答案：2 69．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标．解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2， 于是4＋p 2＝5，所以p ＝2. 所以抛物线方程为y 2＝4x .(2)因为点A 的坐标是(4,4)，由题意得B (0,4)，M (0,2)．又因为F (1,0)，所以k FA ＝43， 因为MN ⊥FA ，所以k MN ＝－34. 又FA 的方程为y ＝43(x －1)，① MN 的方程为y －2＝－34x ，② 联立①②，解得x ＝85，y ＝45， 所以N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，45.10．(2017·扬州中学检测)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA ―→·OB ―→的值；(2)如果OA ―→·OB ―→＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点．解：(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4ty －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4，所以OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3.(2)证明：设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4ty －4b ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b ，所以OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b .令b 2－4b ＝－4，得b 2－4b ＋4＝0，解得b ＝2.所以直线l 过定点(2,0)．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线AB ，CD 与抛物线交于A ，B ，C ，D 四点，且AB⊥CD ，则FA ―→·FB ―→＋FC ―→·FD ―→的最大值等于________．解析：依题意可得，FA ―→·FB ―→＝－(|FA ―→|·|FB ―→|)．又因为|FA ―→|＝y A ＋1，|FB ―→|＝y B ＋1，所以FA ―→·FB ―→＝－(y A y B ＋y A ＋y B ＋1)．设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，联立x 2＝4y ，可得x 2－4kx －4＝0，所以x A ＋x B ＝4k ，x A x B ＝－4.所以y A y B ＝1，y A ＋y B ＝4k 2＋2.所以FA ―→·FB ―→＝－(4k 2＋4)．同理FC ―→·FD ―→＝－⎝⎛⎭⎫4k 2＋4. 所以FA ―→·FB ―→＋FC ―→·FD ―→＝－⎝⎛⎭⎫4k 2＋4k 2＋8≤－16. 当且仅当k ＝±1时等号成立．答案：－162.如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程．(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)．因为点P (1,2)在抛物线上，所以22＝2p ×1，解得p ＝2.故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1.(2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB .则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)， 因为PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补， 所以k PA ＝－k PB .由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1， ①y 22＝4x 2， ② 所以y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1， 所以y 1＋2＝－(y 2＋2)．所以y 1＋y 2＝－4.由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2)．。
课时跟踪训练49
课时跟踪训练(四十九)一、选择题1．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( )A ．1B ．2C ．4D ．8[解析] y 2＝8x 的焦点到准线的距离为p ＝4，故选C.[答案] C2．若抛物线y 2＝2px 的焦点与双曲线x 23－y 2＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－4B ．4C ．－2D ．2[解析] 抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0， 由双曲线的方程可知a 2＝3，b 2＝1，所以c 2＝a 2＋b 2＝4，即c ＝2，所以右焦点为(2，0)，所以p 2＝2，p ＝4.故选B.[答案] B3．已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12[解析] 由点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，得焦点F (2，0)，∴k AF ＝3－2－2＝－34，故选C. [答案] C4．(2016·兰州一模)已知圆x 2＋y 2＋mx －14＝0与抛物线y ＝14x 2的准线相切，则m ＝( )A ．±2 2B ． 3 C. 2 D ．± 3[解析] 抛物线的标准方程为x 2＝4y ，所以准线为y ＝－1.圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m 22＋y 2＝m 2＋14，所以圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，0，半径为m 2＋12.所以圆心到直线的距离为1，即m 2＋12＝1，解得m ＝±3.故选D.[答案] D5．(2016·郑州第一次摸底)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝4，则△POF 的面积为( ) A. 2B ． 3C ．2D ．3[解析] 设P (x 0，y 0)，则x 0＋p 2＝x 0＋1＝4，x 0＝3，故|y 0|＝2 3.S △POF ＝12³1³23＝ 3.故选B.[答案] B6．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B ．[－2，2] C ．[－1，1] D ．[－4，4][解析] Q (－2，0)，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，由Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0，解得－1≤k ≤1.故选C.[答案] C7．(2016·济南质检)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 、Q 是抛物线上的两个点，若△PQF 是边长为2的正三角形，则p 的值是( )A ．2± 3B ．2＋ 3 C.3±1 D ．3－1[解析] F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212p ，y 1，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222p ，y 2(y 1≠y 2)．由抛物线定义及|PF |＝|QF |，得y 212p ＋p 2＝y 222p ＋p 2，所以y 21＝y 22，又y 1≠y 2，所以y 1＝－y 2，所以|PQ |＝2|y 1|＝2，|y 1|＝1，所以|PF |＝12p ＋p 2＝2，解得p ＝2±3.故选A.[答案] A8．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( ) A.303B ．6C ．12D ．7 3[解析] 由已知得过F 且倾斜角为30°的直线为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34， 由⎩⎨⎧y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，y 2＝3x ，得x 2－212x ＋916＝0. ∴x 1＋x 2＝212.由|AB |＝x 1＋x 2＋p ，得|AB |＝212＋32＝12.故选C.[答案] C9．(2016·邯郸摸底)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p 的值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] ∵△OFM 的外接圆与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线相切，∴△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径．∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6.又∵圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p 2， ∴p 2＋p 4＝6，p ＝8，故选D.[答案] D10．(2015·郑州第一次质量预测)已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( )A.34B ．32C ．1D ．2[解析] 由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过点A 作AA 1⊥l 交l 于点A 1，过点B 作BB 1⊥l 交l 于点B 1，设弦AB 的中点为M ，过点M 作MM 1⊥l 交l 于点M 1，则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2.因为|AB |≤|AF |＋|BF |(F 为抛物线的焦点)，即|AF |＋|BF |≥6，当直线AB 过点F 时，等号成立，所以|AA 1|＋|BB 1|≥6，2|MM 1|≥6，|MM 1|≥3，故点M 到x 轴的距离d ≥2，故选D.[答案] D11．(2016·北京海淀期末)若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的左顶点，则p ＝________．[解析] 由题意知抛物线的准线为x ＝－p 2，双曲线的左顶点为(－1，0)，所以－p 2＝－1，p ＝2.[答案] 212．(2015·河北唐山一模)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，若A 到抛物线的准线的距离为4，则|AB |＝__________．[解析] ∵y 2＝4x ，∴抛物线的准线为x ＝－1，F (1，0)．又A 到抛物线准线的距离为4，∴x A ＋1＝4，∴x A ＝3.∵x A x B ＝p 24＝1，∴x B ＝13.∴|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝3＋13＋2＝163.[答案] 16313．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝3，则|BF |＝________．[解析] 设∠AFx ＝θ(0<θ<π)及|BF |＝m .由题意知点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，则3＝2＋3cos θ，cos θ＝13.又m ＝2＋m cos(π－θ)，则m ＝21＋cos θ＝32.[答案] 32三、解答题14．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点．若AF ＝2FB→，求直线AB 的方程． [解] 依题意知F (1，0)，设直线AB 的方程为x ＝my ＋1.将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.①因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2.②联立①和②，消去y 1，y 2，得m ＝±24.所以直线AB 的方程是x ±24y －1＝0.即4x ±2y －4＝0.15．(2015·唐山统考)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过点C (－2，0)的直线l 交抛物线于A 、B 两点，坐标原点为O ，OA→²OB →＝12. (1)求抛物线的方程；(2)当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程．[解] (1)设l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy ＋4p ＝0.(*)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则x 1x 2＝y 21y 224p 2＝4.因为OA →·OB →＝12，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12， 得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x .(2)(1)中(*)式可化为y 2－4my ＋8＝0，y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8.设AB 的中点为M ，则|AB |＝2x M ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4，①又|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝（1＋m 2）（16m 2－32），②由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2，解得m 2＝3，m ＝± 3.所以，直线l 的方程为x ＋3y ＋2＝0或x －3y ＋2＝0.16．已知过点A (－4，0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B 、C两点．当直线l 的斜率是12时，AC→＝4AB →. (1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．[解] (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4.由⎩⎨⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1y 2＝4， ①y 1＋y 2＝8＋p 2. ② 又∵AC →＝4AB →，∴y 2＝4y 1，③ 由①②③及p >0得：y 1＝1，y 2＝4，p ＝2，则抛物线G 的方程为x 2＝4y .(2)设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 的中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎨⎧x 2＝4y ，y ＝k （x ＋4）得x 2－4kx －16k ＝0，④ ∴x 0＝x C ＋x B 2＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k . ∴线段BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k (x －2k )，∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为：b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2， 对于方程④，由Δ＝16k 2＋64k >0得：k >0或k <－4.∴b ∈(2，＋∞)．。
高中数学课时检测49获取数据的途径及统计概念含解析湘教版必修第一册
课时跟踪检测(四十九) 获取数据的途径及统计概念[A级基础巩固]1．下列获取的数据属于直接来源数据的是( )A．看报纸获得的数据B．通过问卷调查获得的数据C．通过网络获得的数据D．听广播获得的数据解析：选B 根据直接来源数据的概念，可知通过问卷调查获得的数据属于一手数据，即直接来源数据，其他都属于二手数据，即间接来源数据．故选B.2．下列调查中，适宜采用抽样调查的是( )①调查某市中小学生每天的运动时间；②某幼儿园中有位小朋友得了手足口病，对此幼儿园中的小朋友进行检查；③农业科技人员调查今年麦穗的单穗平均质量；④调查某快餐店中8位店员的生活质量情况．A．①②B．①③C．③D．②④解析：选B 因为②中要对所有小朋友进行检查，所以用普查的方式；④中共8名店员，可采用普查的方式；①③中总体容量大，难以做到普查，故采用抽样调查的方式．3．某校有20个班，每班40人，每班选派3人参加调查活动，在这个调查活动中样本容量是( )A．20 B．40C．60 D．120解析：选C 样本容量是3×20＝60.4．为了了解全校1 740名学生的身高情况，从中抽取140名学生进行测量，下列说法正确的是( )A．总体是1 740 B．个体是每名学生C．样本是140名学生D．样本容量是140解析：选D 本题考查的对象是1 740名学生的身高情况，故总体是1 740名学生的身高情况，个体是每名学生的身高情况，样本是140名学生的身高情况，样本容量是140.故选D.5．为客观了解上海市民家庭存书量，上海市统计局社情民意调查中心通过电话调查系统开展专项调查，成功访问了2 020位市民，在这项调查中，总体、样本及样本容量分别是( )A．总体是上海市民家庭总数量，样本是2 020位市民家庭的存书量，样本容量是2 020 B．总体是上海市民家庭的存书量，样本是2 020位市民家庭的存书量，样本容量是2 020 C．总体是上海市民家庭的存书量，样本是2 020位市民，样本容量是2 020D．总体是上海市民家庭总数量，样本是2 020位市民，样本容量是2 020解析：选B 由题可知，总体是上海市民家庭的存书量，样本2 020位市民家庭的存书量，样本容量是2 020，故选B.6．下列问题，适合抽样调查的是________(填序号)．①调查黄河水的水质情况；②调查某化工厂周围8个村庄的水质是否受到污染；③调查某药品生产厂家一批药品的质量情况；④进行某一项民意测验．解析：根据抽样调查的定义可以判断①③④适合抽样调查，根据普查的定义可以判断②适合普查，故选①③④.答案：①③④7．一名交警在公路上随机观测了6辆车的行驶速度，结果如下表：(1)该交警采取的是____________(填“抽样调查”或“普查”)；(2)这次调查的样本是____________．解析：此种调查是抽样调查，样本是6辆车的行驶速度．答案：(1)抽样调查(2)6辆车的行驶速度8．为制定某市初中七、八、九年级学生校服的生产计划，有关部门准备对180名初中男生的身高做调查，现有三种调查方案：①测量少年体校中180名男子篮球、排球队员的身高；②查阅有关外地180名男生身高的统计资料；③在本市的市区和郊县各任选一所中学，在两所学校有关的年级中，分别选出10名男生，然后测量他们的身高．为了达到估计本市初中这三个年级男生身高分布的目的，则上述调查方案比较合理的是________(填序号)．解析：①中，少年体校的男子篮球、排球运动员的身高一定高于一般的情况，因此无法用测量的结果去估计总体的结果；②中，用外地学生的身高也不能准确地反映本地学生身高的实际情况；而③中的调查方案比较合理，能达到估计本市初中这三个年级男生身高分布的目的．答案：③9．有人说“如果抽样方法设计得好，对样本进行视力调查与对24 300名学生进行视力普查的结果会差不多，而且对于教育部门掌握学生视力状况来说，因为节省了人力、物力和财力，所以抽样调查更可取”，你认为这种说法有道理吗？为什么？解：这种说法有道理，因为一个好的抽样方法应该能够保证随着样本容量的增加，抽样调查的结果接近于普查的结果，因此只要根据误差的要求按一定的方法抽取相应容量的样本进行调查，就可以节省人力、物力和财力．10．要调查中央电视台《新闻联播》的收视情况，某同学到某一大型商场调查了所有的顾客和售货员的收视情况，得出数据并进行分析，你认为他的调查结果可靠吗？为什么？解：他的调查结果不可靠．因为某一商场的顾客和售货员的收视情况不具有代表性，不能反映该时间内工人、农民、学生等人员的收视情况，故调查结果不可靠．[B级综合运用]11．某县为了传承中华优秀传统文化，组织了一次全县600名学生参加的“中华经典诵读”大赛，为了解本次大赛的选手成绩，抽取了其中50名选手的成绩进行分析．在这个问题中，数字50是( )A．样本B．总体C．样本容量D．个体解析：选C 总体：研究对象的全部；样本：从总体中抽取一部分个体的集合；样本容量：样本中个体的数量；个体：研究对象，所以结合题意，数字50表示样本容量，故选C.12．某年春季，某著名的全国性连锁服装店进行了一项关于当年秋季服装流行色的民意调查，调查者通过向顾客发放饮料，并让顾客通过挑选饮料瓶的颜色来对自己喜欢的服装颜色“投票”．这次调查结果显示，某大城市服装颜色的众数(大多数人的选择)为红色，而当年全国服装协会发布的秋季服装流行色是咖啡色．这个结果是否意味着该城市的人比其他城市的人较少倾向于选择咖啡色？你认为这两种调查结果的差异是由什么引起的？解：这个结果意味着该城市光顾这家连锁店的人比其他城市的人较少倾向于选择咖啡色，由于光顾这家连锁店的人是一种比较容易得到的样本(方便样本)，不一定能代表该城市其他人的想法．而该城市的调查结果来自于该城市光顾这家连锁店的人，这个样本也不能很好地代表全国民众的观点，从而带来了调查结果的差异．。
高考文科数学练习题含解析椭圆
课时跟踪检测（四十九） 椭圆[A 级 基础题——基稳才能楼高]1．椭圆mx 2＋ny 2＋mn ＝0(m ＜n ＜0)的焦点坐标是( ) A ．(0，±m －n ) B ．(±m －n ，0) C ．(0，±n －m )D ．(±n －m ，0)解析：选C 化为标准方程是x 2－n ＋y 2－m ＝1，∵m ＜n ＜0，∴0＜－n ＜－m .∴焦点在y 轴上，且c ＝－m －(－n )＝n －m .2．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( ) A.x 22＋y 24＝1 B ．x 2＋y 26＝1 C.x 26＋y 2＝1 D.x 28＋y 25＝1 解析：选B 椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，可知焦点在y 轴上，焦点坐标为(0，±5)，故可设所求椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则c ＝ 5.又2b ＝2，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝6， 则所求椭圆的标准方程为x 2＋y 26＝1. 3．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．15解析：选B 由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7.4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP ―→＝2PB ―→，则椭圆的离心率是( )A.32B.22C.13D.12解析：选D ∵AP ―→＝2PB ―→，∴|AP ―→|＝2|PB ―→|.又∵PO ∥BF ，∴|PA ||AB |＝|AO ||AF |＝23，即a a ＋c ＝23，∴e ＝c a ＝12. 5．(2019·长沙一模)椭圆的焦点在x 轴上，中心在原点，其上、下顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为( )A.x 22＋y 22＝1 B.x 22＋y 2＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.y 24＋x 22＝1 解析：选C 由条件可知b ＝c ＝2，a ＝2，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.故选C.6．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫23，1B.⎣⎡⎦⎤13，22 C.⎣⎡⎭⎫13，1D.⎝⎛⎦⎤0，13 解析：选C 如图所示，∵线段PF 1的中垂线经过F 2，∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得|PF 2|＝2c .∴a －c ≤2c ≤a ＋c .∴e ＝c a ∈⎣⎡⎭⎫13，1.[B 级 保分题——准做快做达标]1．(2019·武汉模拟)曲线x 225＋y 29＝1与曲线x 225－k ＋y 29－k ＝1(k ＜9)的( )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等解析：选D 曲线x 225＋y 29＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，其长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，离心率为45.曲线x 225－k ＋y 29－k ＝1(k ＜9)表示焦点在x 轴上的椭圆，其长轴长为225－k ，短轴长为29－k ，焦距为8，离心率为425－k.对照选项，知D 正确．故选D. 2．(2019·德阳模拟)设P 为椭圆C ：x 249＋y 224＝1上一点，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，且△PF 1F 2的重心为点G ，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，那么△GPF 1的面积为( )A ．24B ．12C ．8D ．6解析：选C ∵P 为椭圆C ：x 249＋y 224＝1上一点，|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，|PF 1|＋|PF 2|＝2a＝14，∴|PF 1|＝6，|PF 2|＝8，又∵|F 1F 2|＝2c ＝249－24＝10，∴易知△PF 1F 2是直角三角形，S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝24，∵△PF 1F 2的重心为点G ，∴S △PF 1F 2＝3S △GPF 1，∴△GPF 1的面积为8，故选C.3．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455 C.4105D.8105解析：选C 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝x ＋t ，消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0， 则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2· ⎝⎛⎭⎫－85t 2－4×4(t 2－1)5＝425·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105. 4．(2019·贵阳摸底)P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，A 为左顶点，F 为右焦点，PF ⊥x 轴，若tan ∠PAF ＝12，则椭圆的离心率e 为( )A.23B.22C.33D.12解析：选D 不妨设点P 在第一象限，因为PF ⊥x 轴，所以x P ＝c ，将x P ＝c 代入椭圆方程得y P ＝b 2a ，即|PF |＝b 2a ，则tan ∠PAF ＝|PF ||AF |＝b 2a a ＋c ＝12，结合b 2＝a 2－c 2，整理得2c 2＋ac －a 2＝0，两边同时除以a 2得2e 2＋e －1＝0，解得e ＝12或e ＝－1(舍去)．故选D.5．(2019·长郡中学选拔考试)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与圆D ：x 2＋y 2－2ax ＋316a 2＝0交于A ，B 两点，若四边形OADB (O 为原点)是菱形，则椭圆C 的离心率为( )A.13 B.12 C.32D.62解析：选B 由已知可得圆D ：(x －a )2＋y 2＝1316a 2，圆心D (a ，0)，则菱形OADB 对角线的交点的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，0，将x ＝a 2代入圆D 的方程得y ＝±3a4，不妨设点A 在x 轴上方，即A ⎝⎛⎭⎫a 2，3a 4，代入椭圆C 的方程可得14＋9a 216b 2＝1，所以34a 2＝b 2＝a 2－c 2，解得a ＝2c ，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝12.6．(2019·沙市中学测试)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有4个交点，以这4个交点为顶点的四边形的面积为8，则椭圆C 的方程为( )A.x 28＋y 22＝1 B.x 212＋y 26＝1 C.x 26＋y 23＝1 D.x 220＋y 25＝1 解析：选C 由题意知双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±x ，由椭圆的对称性可知以这4个交点为顶点的四边形是正方形，由四边形的面积为8，知正方形的边长为22，所以点(2，2)在椭圆上，所以2a 2＋2b2＝1.①又椭圆的离心率为22， 所以a 2－b 2a 2＝12，所以a 2＝2b 2.②由①②得a 2＝6，b 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 26＋y 23＝1.故选C.7．(2019·安阳模拟)已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1―→·(OF 1―→＋OP ―→)＝0(O 为坐标原点)，若|PF 1―→|＝2|PF 2―→|，则椭圆的离心率为( )A.6－ 3B.6－32 C.6－ 5D.6－52解析：选A 以OF 1，OP 为邻边作平行四边形，根据向量加法的平行四边形法则， 由PF 1―→·(OF 1―→＋OP ―→)＝0知，此平行四边形的对角线垂直，即此平行四边形为菱形，∴|OP ―→|＝|OF 1―→|，∴△F 1PF 2是直角三角形，即PF 1⊥PF 2.设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝2x ，结合椭圆的性质和三角形勾股定理可得⎩⎨⎧2x ＋x ＝2a ，(2x )2＋x 2＝(2c )2，∴e ＝c a ＝32＋1＝6－ 3.故选A.8．(2019·西宁复习检测)在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆y 24＋x 23＝1上的一个动点，点A (1,1)，B (0，－1)，则|PA |＋|PB |的最大值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选A ∵椭圆的方程为y 24＋x 23＝1，∴a 2＝4，b 2＝3，c 2＝1，∴B (0，－1)是椭圆的一个焦点，设另一个焦点为C (0,1)，如图所示，根据椭圆的定义知，|PB |＋|PC |＝4，∴|PB |＝4－|PC |，∴|PA |＋|PB |＝4＋|PA |－|PC |≤4＋|AC |＝5.9．已知点P 是椭圆x 216＋y 28＝1(x ≠0，y ≠0)上的动点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的平分线上一点，且F 1M ―→·MP ―→＝0，则|OM ―→|的取值范围是( )A ．[0,3)B ．(0,22)C ．[22，3)D ．(0,4]解析：选B 如图，延长F 1M 交PF 2的延长线于点G . ∵F 1M ―→·MP ―→＝0，∴F 1M ―→⊥MP ―→. 又MP 为∠F 1PF 2的平分线， ∴|PF 1|＝|PG |，且M 为F 1G 的中点． ∵O 为F 1F 2的中点，∴OM 綊12F 2G .∵|F 2G |＝||PF 2|－|PG ||＝||PF 1|－|PF 2||， ∴|OM ―→|＝12|2a －2|PF 2||＝|4－|PF 2||.∵4－22＜|PF 2|＜4或4＜|PF 2|＜4＋22， ∴|OM ―→|∈(0,22)．10．已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的两个焦点，P 在椭圆上且满足PF 1―→·PF 2―→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫33，1 B.⎣⎡⎦⎤33，22C.⎣⎡⎦⎤13，12D.⎝⎛⎦⎤0，22 解析：选B 设P (x ，y )，则x 2a 2＋y 2b 2＝1，y 2＝b 2－b 2a 2x 2，－a ≤x ≤a ，PF 1―→＝(－c －x ，－y )，PF 2―→＝(c －x ，－y )．所以PF 1―→·PF 2―→＝x 2－c 2＋y 2＝⎝⎛⎭⎫1－b 2a 2x 2＋b 2－c 2＝c 2a 2x 2＋b 2－c 2.因为－a ≤x ≤a ，所以b 2－c 2≤PF 1―→·PF 2―→≤b 2. 所以b 2－c 2≤c 2≤b 2. 所以2c 2≤a 2≤3c 2. 所以33≤c a ≤22.故选B. 11．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ＝23，则实数k 的值是________．解析：当k ＞4 时，有e ＝1－4k ＝23，解得k ＝365；当0＜k ＜4时，有e ＝1－k4＝23，解得k ＝209.故实数k 的值为209或365. 答案：209或36512．(2019·湖北稳派教育联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，且满足c 2－b 2＋ac ＜0，则该椭圆的离心率e 的取值范围是________．解析：∵c 2－b 2＋ac ＜0，∴c 2－(a 2－c 2)＋ac ＜0，即2c 2－a 2＋ac ＜0，∴2c 2a 2－1＋c a ＜0，即2e 2＋e －1＜0，解得－1＜e ＜12.又∵0＜e ＜1，∴0＜e ＜12.∴椭圆的离心率e 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，12.答案：⎝⎛⎭⎫0，12 13.如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1PA 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为______．解析：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∠B 1PA 2为钝角可转化为B 2A 2―→，F 2B 1―→所夹的角为钝角，则(a ，－b )·(－c ，－b )＜0，即b 2＜ac ，则a 2－c 2＜ac ，故⎝⎛⎭⎫c a 2＋c a －1＞0，即e 2＋e －1＞0，解得e ＞5－12或e ＜－5－12，又0＜e ＜1，所以5－12＜e ＜1.答案：⎝⎛⎭⎪⎫5－12，114．(2019·辽宁联考)设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．解析：在椭圆x 225＋y 216＝1中，a ＝5，b ＝4，c ＝3，所以焦点坐标分别为F 1(－3，0)，F 2(3,0)．根据椭圆的定义得|PM |＋|PF 1|＝|PM |＋(2a －|PF 2|)＝10＋(|PM |－|PF 2|)．∵|PM |－|PF 2|≤|MF 2|，当且仅当P 在直线MF 2上时取等号， ∴当点P 与图中的点P 0重合时，有(|PM |－|PF 2|)max ＝(6－3)2＋(4－0)2＝5，此时得|PM |＋|PF 1|的最大值，为10＋5＝15.答案：1515．(2019·武汉调研)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1，a ∈R )上，过O 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，F 为椭圆C 的左焦点．(1)若△FAB 的面积的最大值为1，求a 的值；(2)若直线MA ，MB 的斜率乘积等于－13，求椭圆C 的离心率．解：(1)S △FAB ＝12|OF |·|y A －y B |≤|OF |＝a 2－1＝1，所以a ＝ 2.(2)由题意可设A (x 0，y 0)，B (－x 0，－y 0)，M (x ，y )，则x 2a 2＋y 2＝1，x 20a 2＋y 20＝1， k MA ·k MB ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 20x 2－x 20＝1－x 2a 2－⎝⎛⎭⎫1－x 20a 2x 2－x 20＝－1a 2(x 2－x 20)x 2－x 20＝－1a 2＝－13，所以a 2＝3，所以a ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝2， 所以椭圆的离心率e ＝c a ＝23＝63.16．(2019·广东七校联考)已知动点M 到定点F 1(－2,0)和F 2(2,0)的距离之和为4 2. (1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)设N (0,2)，过点P (－1，－2)作直线l ，交C 于不同于N 的两点A ，B ，直线NA ，NB 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1＋k 2的值．解：(1)由椭圆的定义，可知点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点，42为长轴长的椭圆．由c ＝2，a ＝22，得b ＝2.故动点M 的轨迹C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＋2＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＋2＝k (x ＋1)，得(1＋2k 2)x 2＋4k (k －2)x ＋2k 2－8k ＝0.Δ＝[4k (k －2)]2－4(1＋2k 2)(2k 2－8k )＞0，则k ＞0或k ＜－47.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k (k －2)1＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－8k1＋2k 2.从而k 1＋k 2＝y 1－2x 1＋y 2－2x 2＝2kx 1x 2＋(k －4)(x 1＋x 2)x 1x 2＝2k －(k －4)4k (k －2)2k 2－8k＝4.当直线l 的斜率不存在时，得A ⎝⎛⎭⎫－1，142，B ⎝⎛⎭⎫－1，－142.所以k 1＋k 2＝4. 综上，恒有k 1＋k 2＝4.。
跟踪检测49
跟踪检测(四十九) 抛物线的方程及性质[基础训练]1．过抛物线y 2＝4x 焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝10，则AB 的中点到y 轴的距离等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：D 解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，准线为l ：x ＝－1.设AB 的中点为E ，过A ，E ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为C ，G ，D .EG 交y 轴于点H (如图所示)．则由EG 为直角梯形ACDB 的中位线知， |EG |＝|AC |＋|BD |2＝|AF |＋|FB |2＝|AB |2＝5， |EH |＝|EG |－1＝4.则AB 的中点到y 轴的距离等于4.2．已知抛物线C: y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝32x 0，则x 0＝( )A.14B.12 C ．1D ．2答案：B 解析：由题意知，抛物线的准线为x ＝－14， 因为|AF |＝32x 0，根据抛物线的定义可得 x 0＋14＝|AF |＝32x 0，解得x 0＝12.3．[2019吉林长春一模]过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |＝( )A.13 B.23 C.34D.43答案：A 解析：记抛物线y 2＝2px 的准线为l ′，如图，作AA 1⊥l ′，BB 1⊥l ′，AC ⊥BB 1，垂足分别是A 1，B 1，C ， 则有cos ∠ABB 1＝|BC ||AB |＝|BB 1|－|AA 1||AF |＋|BF |＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |，即cos 60°＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |＝12，解得|AF ||BF |＝13.4．[2019洛阳模拟]已知点M 是抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，F 为C 的焦点，MF 的中点坐标是(2,2)，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：D 解析：F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，那么M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－p 2，4在抛物线上，即16＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－p 2，即p 2－8p ＋16＝0，解得p ＝4.5．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22B. 2C.322D ．2 2答案：C 解析：焦点F (1,0)，设A ，B 分别在第一、四象限，则点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，得A 的横坐标为2，纵坐标为22，AB 的方程为y ＝22(x －1)，与抛物线方程联立可得2x 2－5x ＋2＝0，所以B 的横坐标为12，纵坐标为－2，S △AOB ＝12×1×(22＋2)＝322.6．[2019海南海口模拟]过点F (0,3)，且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心轨迹方程是( )A ．y 2＝12xB ．y 2＝－12xC ．x 2＝－12yD ．x 2＝12y答案：D解析：由已知条件知，动圆圆心到点F和到直线y＋3＝0的距离相等，所以动圆圆心轨迹是以点F(0,3)为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线，故其方程为x2＝12y，故选D.7．[2019豫南九校联考]已知点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P 在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8,7)，则|P A|＋|PQ|的最小值为( )A．7 B．8C．9 D．10答案：C解析：如图，抛物线的焦点为F(0,1)，准线方程为y＝－1，根据抛物线的定义知，|PF|＝|PM|＝|PQ|＋1.∴|P A|＋|PQ|＝|P A|＋|PM|－1＝|P A|＋|PF|－1≥|AF|－1＝82＋(7－1)2－1＝10－1＝9，当且仅当点P在线段AF上时，等号成立，则|P A|＋|PQ|的最小值为9.故选C.8．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A.34 B ．1 C.54D.74答案：C 解析：如图，过A ，B 及线段AB 的中点C 向抛物线的准线l 作垂线，垂足分别为A 1，B 1，C 1，CC 1交y 轴于C 0.由抛物线定义可知， |AA 1|＋|BB 1|＝|AF |＋|BF |， ∴|CC 0|＝|CC 1|－|C 1C 0| ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)－|C 1C 0| ＝32－14＝54， 故选C.9．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，交准线于点C ，若CB→＝3BF →，则直线l 斜率为________． 答案：±22 解析：作BB 1垂直于准线，B 1为垂足，由抛物线定义可知，|BB1|＝|BF|，∴|BC|＝3|BB1|.在Rt△B1BC中，tan∠B1BC＝2 2.∴tan α＝22(α为倾斜角)．由对称性可知，斜率还可等于－2 2.∴斜率为±2 2.10．[2017全国卷Ⅱ]已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C 上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.答案：6解析：如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C 的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF.由题意，知F (2,0)，|FO |＝|AO |＝2. ∵ 点M 为FN 的中点，PM ∥OF ， ∴ |MP |＝12|FO |＝1. 又|BP |＝|AO |＝2， ∴ |MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义，知|MF |＝|MB |＝3， 故|FN |＝2|MF |＝6.11．[2017北京卷]已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)．过点⎝⎛⎭⎪⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．(1)解：由抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)，得p ＝12.所以抛物线C 的方程为y 2＝x .抛物线C 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程为x ＝－14.(2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k 2. 因为点P 的坐标为(1,1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1)． 直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，y 2x 1x 2.因为y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1＋12x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫kx 2＋12x 1－2x 1x 2x 2＝(2k －2)x 1x 2＋12(x 2＋x 1)x 2 ＝(2k －2)×14k 2＋1－k 2k 2x 2＝0， 所以y 1＋y 2x 1x 2＝2x 1，故A 为线段BM 的中点．[强化训练]1．[2019清华大学学术能力诊断]已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，过焦点F 且斜率为3的直线与C 相交于P ，Q 两点，且P ，Q 两点在准线上的射影分别为M ，N 两点，则S △MFN ＝( )A.83p 2B.233p 2C.433p 2 D.833p 2答案：B 解析：不妨设P 在第一象限，过Q 作QR ⊥PM ，垂足为R ，设准线与x 轴的交点为E ，∵直线PQ 的斜率为3，∴直线PQ 的倾斜角为60°.由抛物线焦点弦的性质可得|PQ |＝|PF |＋|QF |＝p1－cos 60°＋p1＋cos 60°＝2p sin 260°＝83p .在Rt △PRQ 中，sin ∠RPQ ＝|QR ||PQ |， ∴|QR |＝|PQ |·sin ∠RPQ ＝83p ×32＝433p ， 由题意可知，|MN |＝|QR |＝433p ， ∴S △MNF ＝12|MN |·|FE |＝12×433p ×p ＝233p 2. 故选B.2．[2019湖北四地七校3月联考]已知抛物线y 2＝2px (p >0)，点C (－4,0)．过抛物线的焦点作垂直于x 轴的直线，与抛物线交于A ，B 两点，若△CAB 的面积为24.则以直线AB 为准线的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝8xD ．y 2＝－8x答案：D 解析：因为AB ⊥x 轴，且AB 过点F ， 所以AB 是焦点弦，且|AB |＝2p ，所以S △CAB ＝12×2p ×⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋4＝24，解得p ＝4或－12(舍)， 所以抛物线方程为y 2＝8x ， 所以直线AB 的方程为x ＝2，所以以直线AB 为准线的抛物线的标准方程为y 2＝－8x ， 故选D.3.[2019安徽芜湖模拟]已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2的值一定等于( )A ．－4B ．4C ．p 2D ．－p 2答案：A 解析：①焦点弦AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝p 2，则x 1x 2＝p 24； ②若焦点弦AB 不垂直于x 轴， 可设直线AB ：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立y 2＝2px ，得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋p 2k24＝0，则x 1x 2＝p 24.∵y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，∴y 21y 22＝4p 2x 1x 2＝p 4.又∵y 1y 2<0，∴y 1y 2＝－p 2. 故y 1y 2x 1x 2＝－4. 4．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，且点P 在y 轴上的射影是M ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4，则|P A |＋|PM |的最小值是( ) A.72 B ．4 C.92D ．5答案：C 解析：设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，则F ⎝⎛⎭⎪⎫12，0. 又点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x ＝－12，则|PM |＝d －12.又|P A |＋d ＝|P A |＋|PF |≥|AF |＝5， 所以|P A |＋|PM |≥92.5．设F 为抛物线y 2＝6x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点．若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB→|＋|FC →|＝( ) A ．4 B ．6 C ．9D ．12答案：C 解析：由题意，得抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，准线方程为x ＝－32. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)， ∵F A →＋FB →＋FC →＝0，∴点F 是△ABC 的重心， ∴x 1＋x 2＋x 3＝92.由抛物线的定义，可得|F A |＝x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝x 1＋32， |FB |＝x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝x 2＋32，|FC |＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝x 3＋32， ∴|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋32＋x 2＋32＋x 3＋32 ＝9.6．[2019石家庄模拟]已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833y B ．x 2＝1633y C ．x 2＝8yD ．x 2＝16y答案：D 解析：因为x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，所以c a ＝2，即c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，所以ba ＝ 3.x 2＝2py 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，即y ＝±3x .由题意得p21＋(3)2＝2，所以p ＝8.故C 2的方程为x 2＝16y .7．[2019永州模拟]已知点M ，N 是抛物线y ＝4x 2上不同的两点，F 为抛物线的焦点，且满足∠MFN ＝135°，弦MN 的中点P 到直线l ：y ＝－116的距离为d ，若|MN |2＝λ·d 2，则λ的最小值为( )A.22 B ．1－22 C ．1＋22D ．2＋ 2答案：D 解析：抛物线y ＝4x 2的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116， 准线为y ＝－116，设|MF |＝a ，|NF |＝b ，由∠MFN ＝135°， 可得|MN |2＝|MF |2＋|NF |2－2|MF |·|NF |·cos ∠MFN ＝a 2＋b 2＋2ab ， 由抛物线的定义，可得M 到准线的距离为|MF |，N 到准线的距离为|NF |， 由梯形的中位线定理，可得 d ＝12(|MF |＋|NF |)＝12(a ＋b )， 由|MN |2＝λ·d 2，可得14λ＝a 2＋b 2＋2ab (a ＋b )2＝1－(2－2)ab (a ＋b )2≥1－(2－2)ab (2ab )2＝1－2－24＝2＋24，可得λ≥2＋2，当且仅当a ＝b 时，取得最小值2＋ 2.8．如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则b a ＝________.答案：1＋2 解析：|OD |＝a2，|DE |＝b ，|DC |＝a ，|EF |＝b ，故C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－a ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b ，b ，又抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点， 从而有⎩⎪⎨⎪⎧(－a )2＝2p ×a 2，b 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b ，即⎩⎨⎧a ＝p ，b 2＝ap ＋2bp ，∴b 2＝a 2＋2ab ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－2·ba －1＝0，又b a >1，∴ba ＝1＋ 2.9．[2019河南安阳一模]已知抛物线C 1：y ＝ax 2(a >0)的焦点F 也是椭圆C 2：y 24＋x 2b 2＝1(b >0)的一个焦点，点M ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1分别为曲线C 1，C 2上的点，则|MP |＋|MF |的最小值为________．答案：2 解析：将P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1代入y 24＋x2b 2＝1，可得14＋94b 2＝1，∴b ＝3，∴c ＝1，∴抛物线的焦点F 为(0,1)， ∴抛物线C 1的方程为x 2＝4y ， 准线为直线y ＝－1.设点M 在准线上的射影为D ， 根据抛物线的定义可知，|MF |＝|MD |，∴要求|MP |＋|MF |的最小值，即求|MP |＋|MD |的最小值，易知当D ，M ，P 三点共线时，|MP |＋|MD |最小，最小值为1－(－1)＝2.10．[2019湖北武汉一模]设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l .过焦点的直线分别交抛物线于A ，B 两点，分别过点A ，B 作l 的垂线，垂足分别为点C ，D .若|AF |＝2|BF |，且△CDF 的面积为2，则p 的值为________．答案：233 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 因为直线AB 过焦点F ，所以y 1y 2＝－p 2. 不妨设点A 在第一象限，因为|AF |＝2|BF |，所以|y 1|＝2|y 2|，所以－2y 22＝－p 2.解得y 2＝－22p ，所以y 1＝－2y 2＝2p . 所以S △CDF ＝12|y 1－y 2|×p ＝12×322p 2＝2， 解得p ＝233.11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上一点，横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，∴p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x . (2)由(1)知，点A 的坐标是(4,4)． 由题意，得B (0,4)，M (0,2)， 又∵F (1,0)，∴k F A ＝43. ∵MN ⊥F A ，∴k MN ＝－34， ∴直线F A 的方程为y ＝43(x －1)，① 直线MN 的方程为y ＝－34x ＋2，② 由①②联立，得x ＝85，y ＝45，∴N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45.。
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课时跟踪检测 (四十九) 抛物线 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．以x ＝1为准线的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝2x B ．y 2＝－2x C ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析：选D 由准线x ＝1知，抛物线方程为： y 2＝－2px (p >0)且p2＝1，p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝－4x ，故选D ．2．已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是( ) A ．2 B ．12C ．32D ．52解析：选C 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4，又p ＝1，所以x 1＋x 2＝3，所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝32． 3．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12解析：选C 由已知，得准线方程为x ＝－2，所以F 的坐标为(2,0)．又A (－2,3)，所以直线AF 的斜率为k ＝3－0－2－2＝－34．4．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，且点P 到y 轴的距离与其到焦点的距离之比为12，则点P 到x 轴的距离为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，根据抛物线的定义，点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离，故x P x P －(－1)＝12，解得x P ＝1，所以y 2P ＝4，所以|y P |＝2． 答案：25．一个顶点在原点，另外两点在抛物线y 2＝2x 上的正三角形的面积为________． 解析：如图，根据对称性：A ，B 关于x 轴对称，故∠AOx ＝30°．直线OA 的方程y ＝33x ， 代入y 2＝2x ， 得x 2－6x ＝0，解得x ＝0或x ＝6． 即得A 的坐标为(6,23)．∴|AB |＝43，正三角形OAB 的面积为12×43×6＝123．答案：12 3二保高考，全练题型做到高考达标 1．抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A ．(0，a ) B ．(a,0) C ．⎝⎛⎭⎫0，116a D ．⎝⎛⎭⎫116a ，0解析：选C 将y ＝4ax 2(a ≠0)化为标准方程得x 2＝14ay (a ≠0)，所以焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，116a ，所以选C ．2．(2016·山西高三考前质量检测)已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的准线与抛物线C 2：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，C 1的焦点为F ，若△FAB 的面积等于1，则C 1的方程是( )A ．x 2＝2yB ．x 2＝2yC ．x 2＝yD ．x 2＝22y 解析：选A 由题意得，F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，不妨设A ⎝⎛⎭⎫p ，－p 2，B ⎝⎛⎭⎫－p ，－p2， ∴S △FAB ＝12·2p ·p ＝1，则p ＝1，即抛物线C 1的方程是x 2＝2y ，故选A ．3．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值为( ) A ．5 B ．4 C ．3D ．2 解析：选C 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由题意知AB 所在的直线方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －p 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝3⎝⎛⎭⎫x －p 2. 得：x 2－5p 3x ＋p 24＝0，∴x 1＋x 2＝5p 3，x 1x 2＝p 24，所以x 1＝3p 2，x 2＝p6，所以|AF ||BF |＝32p ＋p 2p 2＋p6＝3．4．已知P 为抛物线y ＝12x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为点M ，点A 的坐标是⎝⎛⎭⎫6，172，则|PA |＋|PM |的最小值是( )A ．8B ．192 C ．10D ．212解析：选B 依题意可知焦点F ⎝⎛⎭⎫0，12，准线方程为y ＝－12，延长PM 交准线于点H (图略)．则|PF |＝|PH |，|PM |＝|PF |－12，|PM |＋|PA |＝|PF |＋|PA |－12，即求|PF |＋|PA |的最小值． 因为|PF |＋|PA |≥|FA |， 又|FA |＝62＋⎝⎛⎭⎫172－122＝10．所以|PM |＋|PA |≥10－12＝192，故选B ．5．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝32xB ．y 2＝3xC ．y 2＝92xD ．y 2＝9x解析：选B 如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则|BC |＝2a ，由定义得：|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°，在直角三角形ACE 中，因为|AF |＝3，|AC |＝3＋3a ， 所以2|AE |＝|AC |，所以3＋3a ＝6，从而得a ＝1， 因为BD ∥FG ，所以1p ＝23，求得p ＝32，因此抛物线方程为y 2＝3x ． 6．抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________．解析：在等边三角形ABF 中，AB 边上的高为p ，AB 2＝33p ，所以B ⎝⎛⎭⎫±33p ，－p 2．又因为点B 在双曲线上， 故p 233－p 243＝1，解得p ＝6． 答案：67．(2017·广西质检)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且|PA |＝12|AB |，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为________． 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为D ，E (图略)，∵|PA |＝12|AB |，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3(x 1＋2)＝x 2＋2，3y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53．答案：538．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为________米．解析：由题意，可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)． ∵点(2，－2)在抛物线上，∴p ＝1，即抛物线方程为x 2＝－2y ． 当y ＝－3时，x ＝±6．∴水位下降1米后，水面宽为26米． 答案：2 69．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M ．(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，∴p ＝2．∴抛物线方程为y 2＝4x ． (2)∵点A 的坐标是(4,4)， 由题意得B (0,4)，M (0,2)． 又∵F (1,0)，∴k FA ＝43，∵MN ⊥FA ，∴k MN ＝－34．又FA 的方程为y ＝43(x －1)，①MN 的方程为y －2＝－34x ，②联立①②，解得x ＝85，y ＝45，∴N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，45．10．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9．(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC ―→＝OA ―→＋λOB ―→，求λ的值．解：(1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p 2， 与y 2＝2px 联立，消去y 有4x 2－5px ＋p 2＝0， 所以x 1＋x 2＝5p4． 由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x ． (2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0， 即x 2－5x ＋4＝0， 则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4,42)． 设C (x 3，y 3)，则OC ―→＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(4λ＋1,42λ－22)．又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 整理得(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2． 故λ的值为0或2．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线AB ，CD 与抛物线交于A ，B ，C ，D 四点，且AB ⊥CD ，则FA ―→·FB ―→＋FC ―→·FD ―→的最大值等于( )A ．－4B ．－16C ．4D ．－8解析：选B 依题意可得，FA ―→·FB ―→＝－(|FA ―→|·|FB ―→|)． 又因为|FA ―→|＝y A ＋1，|FB ―→|＝y B ＋1， 所以FA ―→·FB ―→＝－(y A y B ＋y A ＋y B ＋1)． 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)， 联立x 2＝4y ，可得x 2－4kx －4＝0， 所以x A ＋x B ＝4k ，x A x B ＝－4． 所以y A y B ＝1，y A ＋y B ＝4k 2＋2． 所以FA ―→·FB ―→＝－(4k 2＋4)．同理FC ―→·FD ―→＝－⎝⎛⎭⎫4k 2＋4． 所以FA ―→·FB ―→＋FC ―→·FD ―→＝－⎝⎛⎭⎫4k 2＋4k 2＋8≤－16． 当且仅当k ＝±1时等号成立．2．如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程．(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)． 因为点P (1,2)在抛物线上， 所以22＝2p ×1， 解得p ＝2．故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1． (2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ． 则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)，因为PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补， 所以k PA ＝－k PB ．由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1， ①y 22＝4x 2， ② 所以y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1， 所以y 1＋2＝－(y 2＋2)． 所以y 1＋y 2＝－4．由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2)．。