专题讲座4-不确定原理

不确定原理

定义：一个力学量A 的标准偏差为

A σ≡

=

()()2

ˆˆ,A A

A A A f f σ=

-ψ-ψ=

式中()ˆ,f A

A ≡-ψ。

同样地，对于任何另外一个可观测量B ，有

2,B g g σ= 其中 ()

ˆ.g B B ≡-ψ

由Schwarz 不等式

2

2

2

.A B

f f

g g f g

σσ=≥

那么现在对于任意一个复数z ，

[][][]2

2

2

2

2

1Re()Im()Im()().2z z z z z z i *⎡⎤

=+≥=-⎢⎥⎣⎦

因此，令z f g =，

2

22

12A B f g g f i σσ⎛⎫⎡⎤≥- ⎪⎣⎦⎝⎭

但是

()()()()ˆˆˆˆ

f g A

A B B A

A B

B =

-ψ-ψ=ψ--ψ

()

ˆˆˆˆAB A B B A A B =ψ--+ψ

ˆˆˆˆAB B

A

A B A B =ψψ-ψψ-ψψ+ψψ

ˆˆAB B A A B A B =--+

ˆˆ.AB A B =-

类似有，

ˆˆ,g f BA

A B =- 因此

ˆˆˆ

ˆˆˆ,,

f g g f AB BA A B

⎡⎤

-=-=⎣⎦

式中

ˆˆˆ

ˆˆˆ

,A B AB BA

⎡⎤≡-

⎣⎦

是两个算符之间的对易关系。结论：

这就是（普遍的）不确定原理。

举例来说，假设第一个可观测量是坐标（A x

=），第二个是动量（(/)/

B i d dx

=）。它们的对易式是

[]

ˆˆ,x p i=

所以

22

22

1

,

22

x p

i

i

σσ⎛⎫⎛⎫

≥=

⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

或者，因为标准差由其本质是正值，

.

2

x p

σσ≥

事实上，对每一对其算符不对易的可观测量的都存在一个“不确定原理”—我们称它们为不相容可观测量。不相容可观测量没有完备的共同本征函数系注意，不确定原理并不是量子力学中一个额外的假设，而是统计诠释的结果。你或许感到奇怪，它在实验室是怎么起作用的呢—为什么就不能同时确定(比方说)一个粒子的坐标和动量呢？你当然可以测量一个粒子的位置，但是测量本身使波函数坍塌为一个尖峰，这样波的傅立叶展开中波长(动量)分布范围很宽。如果你此时再去测量动量，这个态就会坍塌为一个长正弦波，（现在）具有确定的波长—但是此刻的粒子已经不再处于第一次测量时你得到的位置。这样问题是，第二次测量使得第一次测量的结果无效了。只有波函数同时是两个力学量的本征态时，才有可能在不破坏粒子的状态的情况下进行第二次测量（这种情况下第二次坍塌不改变任何事情）。但是，一般来说，这只是在两个可观测量相互对易的情况下才有可能。

假设你握着一根长绳的一端，有节奏地上下摆动产生一个波。如果有人问：“精确来讲波在那里？”你可能会认为此人有点不合时宜：精确来讲波不在任何地方−它分布在50英尺或更长的范围。另一方面，如果他问波长是多少，你可以给他一个合理的答案：大约是6英尺。

反过来,如果你突然抖动一下绳子,可以得到一个沿绳子传播的孤峰。对这种情况,第一个问题(精确来讲波在那里)就有意义了，但是第二个(波长是多少?) 就有点不合时宜了−它并没有一个明确的周期，所以如何你能赋予它一个周期？

当然，你也可以给出介于两者之间的情况，波是可以相当好的定域的，波长也可以相当好定义的，但是这里存在一个不可避免的权衡选择：波的位置越精确，波长就越不精确，反过来也一样。上面的讨论当然适合任何波动现象，特别是对量子力学的波函数。粒子的动量同ψ波长的联系由德布罗意（de Broglie ）公式给出：

2.h

p π

λ

λ

=

=

这样波长的弥散对应动量的弥散，对我们通常的观测有：粒子的位置确定的越精确,它的动量就越不精确。

能量-时间不确定原理

坐标-动量不确定原理

;2

x p ∆∆≥

经常和下面的能量-时间不确定原理类比： .2

t E ∆∆≥

的确，在狭义相对论里，能量-时间的形式可以被认为是坐标-动量版本的的一个推论，因为x 和t （或者说ct ）在坐标-时间4-矢量里一同变换，而p 和E （或者说/E c ）在能量-动量4-矢量里一同变换。所以在相对论理论里，能量-时间不确定原理应该是坐标-动量不确定原理的一个必要的伴随式。但是我们不是在讨论相对论量子力学。薛定谔方程显然是非相对论的：式中赋予x 和t 非常不同的立足点（在同一微分方程中t 是一次导数，而x 是二次导数），时间不是一个力学量，它仅是一个参数。我们现在的目的是导出能量-时间不确定原理，并且在推导的过程中使你相信，它实际上是另一个完全不同的概念，而它与位置-动量不确定原理表面上的相似之处实际上让人相当误解。

首先，坐标、动量和能量都是动力学变量—是体系在任何时刻都可观测的特征。但是时间本身不是动力学变量（在任何情况下，在非相对论中都不是）：你不会像测量坐标和能量一样去测量一个粒子的“时间”。时间是一个独立变量，动力学量是它的函数。特别地，能量-时间不确定原理中的t ∆不是对时间测量所收集数据的标准差；粗略地讲（一会儿将对此做出更精确的解释）正是时间让体系发生实质性的变化。

当测量一个体系变化有多快时，我们来算某个可观测量的期望值对时间的导数，(,,)Q x p t ：

ˆˆˆˆ.d d Q Q Q Q Q dt dt t t t ∂ψ∂∂ψ=ψψ=ψ+ψψ+ψ∂∂∂ 由薛定谔方程

ˆ

i H t

∂ψ=ψ∂

（式中22H p m V =+是哈密顿）。所以

ˆ11ˆˆˆˆ.d Q Q H Q QH dt i i t

∂=-ψψ+ψψ+∂ 但是ˆH

⎡⎣⎦ [3.71]

在算符不显含时间的典型情况下，它告诉我们算符期望值的变化率决定于此算符与哈密顿量的对易式。特别地，如果ˆQ

与ˆH 对易，则Q 是常量，在这个意义上Q 是一个守恒量。

现在假设我们在广义不确定原理中（3.62式）令A H =和B Q =，并且假设Q 不显含时间：