主成分分析在分析化学中的应用
主成分分析法及其应用PPT课件
x4 -0.34 0.644 0.07 1 0.383 0.069 -0.05 -0.031 0.073
x5 0.309 0.42 -0.74 0.383 1
0.734 0.672 0.098 0.747
x6 0.408 0.255 -0.755 0.069 0.734
1 0.658 0.222 0.707
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
荷的平方
三个主成分的
占方差的百分数
“占方差的百分
z1
z2
z3
（%）
数:各个主成分提 取了第i个指标的
x1
0.739
-0.532 -0.0061
82.918
“效率”之和， 它等于各个主成
x2
0.123
0.887 -0.0028
x3
-0.964 0.0096 0.0095
80.191 92.948
分在第i个指标上 的载荷的平方之
x 2：人 均耕地 面积
(ha)
0.352
2 141.5 1.684
3 100.7 1.067
4 143.74 1.336
5 131.41 1.623
x 3：森 林覆盖 率(%)
16.101
x 4：农 民人均 纯收入 (元/人)
192.11
x 5：人 均粮食 产量 (kg/
人)
295.34
x 6：经济 作物占农 作物播面 比例(％)
表3.5.1 相关系数矩阵
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x1
1 -0.327 -0.714 -0.336 0.309 0.408 0.79 0.156 0.744
主成分法及其应用
【作者简介】苏键（1985-），男，广西钦州人，助理工程师，研究方向：食品科学。
1主成分分析法何谓主成分分析，就是将多个变量通过线性变换以选出较少个数重要变量的一种多元统计分析方法，又称主分量分析[1]。
主成分分析的中心思想是缩减一个包括很多相互联系着的变量的数量集，在数量集中保留尽可能多的有用的变量。
主成分分析的原理是设法将原来变量重新组合成一组新的相互无关的几个综合变量，同时根据实际需要从中可以取出几个较少的总和变量尽可能多地反映原来变量的信息的统计方法叫做主成分分析或称主分量分析，也是数学上处理降维的一种方法。
主成分分析是设法将原来众多具有一定相关性（比如P 个指标），重新组合成一组新的互相无关的综合指标来代替原来的指标。
通常数学上的处理就是将原来P 个指标作线性组合，作为新的综合指标。
最经典的做法就是用F1（选取的第一个线性组合，即第一个综合指标）的方差来表达，即Var （F1）越大，表示F1包含的信息越多。
因此在所有的线性组合中选取的F1应该是方差最大的，故称F1为第一主成分。
如果第一主成分不足以代表原来P 个指标的信息，再考虑选取F2即选第二个线性组合，为了有效地反映原来信息，F1已有的信息就不需要再出现再F2中，用数学语言表达就是要求Cov （F1,F2）=0，则称F2为第二主成分，依此类推可以构造出第三、第四，……，第P 个主成分[2]。
主成分分析首先是由K.皮尔森对非随机变量引入的，而后H.霍特林将此方法推广到随机向量的情形[2]。
信息的大小通常用离差平方和或方差来衡量。
在实际课题中，为了全面分析问题，往往提出很多与此有关的变量（或因素），因为每个变量都在不同程度上反映这个课题的某些信息。
但是，在用统计分析方法研究这个多变量的课题时，变量个数太多就会增加课题的复杂性。
人们自然希望变量个数较少而得到的信息较多。
在很多情形，变量之间是有一定的相关关系的，当两个变量之间有一定相关关系时，可以解释为这两个变量反映此课题的信息有一定的重叠。
主成分分析方法
主成分分析方法主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）是一种常用的数据降维技术，它可以将高维数据转化为低维数据，同时保留数据的主要特征。
主成分分析方法在数据挖掘、模式识别、图像处理等领域被广泛应用，本文将介绍主成分分析的基本原理、算法步骤和应用场景。
1. 基本原理。
主成分分析的基本原理是通过线性变换将原始的特征空间转换为新的特征空间，新的特征空间是由原始特征的线性组合构成的，这些线性组合被称为主成分。
主成分分析的目标是找到能够最大程度保留原始数据信息的主成分，从而实现数据的降维。
2. 算法步骤。
主成分分析的算法步骤如下：（1）标准化数据，对原始数据进行标准化处理，使得每个特征的均值为0，方差为1。
（2）计算协方差矩阵，根据标准化后的数据计算特征之间的协方差矩阵。
（3）计算特征值和特征向量，对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。
（4）选择主成分，按照特征值的大小，选择最大的k个特征值对应的特征向量作为主成分。
（5）数据转换，利用选定的主成分进行数据转换，将原始数据映射到新的低维空间中。
3. 应用场景。
主成分分析方法在实际应用中具有广泛的场景，例如：（1）数据可视化，通过主成分分析可以将高维数据转化为二维或三维数据，便于数据的可视化展示和分析。
（2）特征提取，在图像处理和模式识别领域，主成分分析可以用于提取图像的主要特征，从而实现图像的压缩和识别。
（3）数据预处理，在机器学习和数据挖掘任务中，主成分分析可以用于数据的降维处理，减少特征的数量和复杂度，提高模型的训练效率和预测准确度。
总结。
主成分分析是一种重要的数据分析方法，它通过线性变换将高维数据映射到低维空间，从而实现数据的降维和特征提取。
在实际应用中，主成分分析具有广泛的应用场景，能够帮助人们更好地理解和分析数据。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解主成分分析方法，并在实际工作中加以应用。
主成分分析法在香菇化学成分评价中的应用
主成分分析法在香菇化学成分评价中的应用摘要为了研究主成分分析法在香菇（Lentinula edodes）化学成分评价中的应用，利用SPSS 软件对8种常用香菇栽培材料的多糖、蛋白、糖醇和核苷类共9种化学成分进行分析。
提取的前3个主成分的累计方差贡献率为91.73%。
决定第1主成分大小的主要是蛋白、尿嘧啶、尿苷、腺苷和香菇嘌呤；决定第2主成分大小的主要是阿糖醇和甘露醇；决定第3主成分大小的主要是多糖和海藻糖。
综合试验材料的主成分得分和综合得分，S604、S605和S606化学成分组成优于其他品种。
利用SPSS 软件和主成分分析法可以有效地比较香菇品种材料间化学成分品质差异，适用于香菇化学成分评价。
关键词主成分分析；香菇；化学成分；多糖；蛋白；香菇嘌呤香菇（Lentinula edodes）是世界第二大食用菌[1]，又名香菌、花菇、香蕈，俗称中国蘑菇，是我国特产之一，在民间素有“山珍”之称，味道鲜美，香气沁人，营养丰富，是我国重要的药食两用真菌[2-3]。
古籍记载香菇性平味甘、平，具有益气补虚、健脾胃、活血美容颜之功效[4]。
现代研究发现对高血压、高血脂、动脉硬化者均可有治疗效果[5-7]。
香菇中蛋白质含量高于糙皮侧耳（Pleurotus ostreatus）、双孢蘑菇（Agaricus bisporus）、银耳（Tremella fuciformis）等其他食用菌[8]，碳水化合物含量在50%以上，具有高蛋白低脂肪的特点，这是动物性食品无法比拟的，是高血脂和肥胖症的病人的理想食品[9]。
在人们日常的饮食结构中适当增加香菇的摄入量，能够增进食欲，平衡营养。
在香菇的营养、活性功能评价过程中，需对香菇化学成分进行综合分析评价，才能对香菇的价值做到全面认识。
目前，我国人工栽培香菇品种较多，为了解不同香菇品种之间化学成分含量是否具有一定的差异，笔者对6个主栽品种在同一地点进行栽培后，再测定其中的多糖、蛋白、糖醇、核苷类等化学成分含量，同时以市售的金钱菇子实体和菇柄材料为参照，尝试利用SPSS 软件和主成分分析法对8个香菇材料的化学成分进行分析，以期找到一种评价香菇价值的新方法，为香菇的品种选育和材料科学利用提供参考依据。
分析化学中主成分分析法应用探讨
分析化学中主成分分析法应用探讨作者：张丹来源：《中国科技博览》2013年第17期[摘要]随着计算机技术及其应用的发展，作为化学计量学基础的主成分分析方法，在分析化学中应用越来越广泛。
尤其在仪器分析中应用较为广泛，本文就主成分分析方法在化学分析及仪器分析中的具体应用进行综述。
[关键词]主成分分析法分析化学仪器分析化学分析中图分类号：O65文献标识码：A文章编号：1009-914X（2013）17-0139-011.主成分分析法1.1 主成分分析法介绍主成分分析（principal component analysis）是将多个变量通过线性变换以选出较少个数重要变量的一种多元统计分析方法，又称主分量分析。
由Hotelling于1933年首先提出，主要是利用降维思想，把多指标转化为少数几个综合指标的多元统计分析方法。
这些指标是原指标的线性组合，且彼此不相关，它可以在力保原始数据丢失最少情况下，对高维变量空间进行量降维。
由原始变量线性组合的主成分，以揭示数据结构特征，提取化学信息。
在进行化学变量多元分析的时候，我们用多个变量去描述样本的性质，这些变量也可以称之为特征。
对于复杂体系，特征数可能达到成百上千，计算量十分巨大，而且变量之间可能存在关联，即存在冗余。
使用主成分分析即可将彼此间具有关联的变量整合成少数几个综合型变量，新得到的变量间不存在关联。
1.2 主成分分析法分析的主要步骤（1）列出指标数据矩阵X；（2）计算X的协方差矩阵S；（3）计算协方差矩阵S（或相关矩阵R）的特征值·和特征向量L（即指标X的系数）；（4）计算贡献率和累计贡献率，并据以确定主成分（即综合指标y1）的个数，建立主成分方程；（5）解释各主成分的意义，并将各单位的原始数据代入方程中，计算综合评价进行分析比较。
2 主成分分析在分析化学中的应用2.1 主成分分析在仪器分析中的应用2.1.1 在色谱（气相色谱和液相色谱）分析中的应用气相色谱在广泛应用于环境监测、农药残留量的分析、汽油、柴油等石油化工产品组成成分的分析。
主成分分析的理论和应用
主成分分析的理论和应用 1主成分分析及主成分回归的基本思想主成分分析是把各变量之间互相关联的复杂关系进行简化分析的方法。
由于多个变量之间往往存在着一定程度的相关性。
人们自然希望通过线性组合的方式，从这些指标中尽可能快的提取信息。
当第一个线性组合不能提取更多的信息时，再考虑用第二个线性组合继续这个快速提取过程，直到所提取的信息与原指标相差不多时为止。
主成分分析试图在力保数据信息丢失最少的原则下，对这种多变量的截面数据表进行最佳综合简化，也就是说，对高维变量空间进行降维处理。
很显然，识辨系统在一个低维空间要比在一个高维空间容易得多。
主成分回归是在主成分分析法的基础上，由1m +个自变量选出前q 个主成分，他们是互不相关的；在保持因变量不变，用这q 个主成分作为自变量作回归；最后把所得的结果作变量代换，转化成原来因变量与自变量的关系。
2数学模型与几何解释主成分分析的数学模型是，设p 个变量构成p 维随机向量为12,,...,p X X X 。
对X 作正交变换，令T Y T X =，其中T 为正交阵，要求Y 的各分量是不相关的，并且Y 的第一个方差是最大的，第二个分量的方差次之，……。
为了保持信息不丢失，Y 的各分量方差与X 的各分量方差和相等。
其数学推导为：设()12,,,Tp X X X X =为一个p 维随机向量，并假定存在二阶矩，其均值向量与协方差分别记为(),()E X D X μ=∑=考虑如下的线性变换11112121...p p Y t X t X t X =+++ 21212222...p p Y t X t X t X =+++ ……1122...p p p pp p Y t X t X t X =+++ 用矩阵表示为T Y T X =其中，()12,,,T P Y Y Y Y =；()12,,,P T T T T =。
满足如下条件：每个主成分的系数平方和为1。
即||||1i T =。
05主成分分析
主成分分析专题§1 引言我们在作数据分析处理时，涉及的样品往往包含有多个测量指标（比如p 个指标），较多的指标会带来分析问题的复杂性。
然而，这些指标彼此之间常常存在着一定程度的、有时甚至是相当高的相关性，这就使含在观测数据中的信息在一定程度上有所重叠。
主成分分析就是一种通过降维技术把多个指标约化为少数几个综合指标的统计分析方法。
这些综合指标能够反映原始指标的绝大部分信息，它们通常表示为原始p 个指标的某种线性组合。
为了使这些综合指标所含的信息互不重叠，应要求它们互不相关。
例如，考虑p ＝2的情形，假设共有n 个样品，每个样品都测量了两个指标),(21x x ，它们大致分布在一个椭圆内。
如图所示。
显然，在坐标系21Ox x 中，n 个点的坐标1x 和2x 呈现某种线性相关性。
我们将该坐标系按逆时针方向旋转某个角度θ变成新坐标系21Oy y ，这里1y 是椭圆的长轴方向，2y 是短轴方向。
旋转公式为112212cos sin sin cos y x x y x x θθθθ=+⎧⎨=-+⎩ 易见，n 个点在新坐标系下的坐标1y 和2y 几乎不相关。
1y 和2y 称为原始变量1x 和2x 的综合变量，n 个点在1y 轴上的方差达到最大，即在此方向上所含的有关n 个样品间差异的信息是最多的。
因此，若欲将二维空间的点投影到某个一维方向，则选择1y 轴方向能使信息的损失降低到最小。
我们称1y 轴为第一主成分，而与1y 轴正交的2y 轴，有着较小的方差，称为第二主成分。
第一主成分的效果与椭圆的形状有很大关系，椭圆越是扁平，n 个点在1y 轴上的方差就相对越大，在2y 轴上的方差就相对越小。
考虑这样两种极端的情形：一种是椭圆的长轴与短轴的长度相等，即椭圆变成圆，第一主成分只含有二维空间点的约一半信息，若仅用这一个综合变量，则将损失约50％的信息，这显然是不可取的。
造成它的原因是，原始变量1x 和2x 的相关程度几乎为零，也就是说，1x 和2x 所包含的信息几乎互不重叠，因此无法用一个一维的综合变量来代替它们。
第5章 主成分分析及应用
主成分分析是设法将原来众多具有一定相关性（比如p个指标），重新组合成一组新的互相无关的综合指标 来代替原来的指标。通常数学上的处理就是将原来p个指标作线性组合，作为新的综合指标。最经典的做法就 是用F1（选取的第一个线性组合，即第一个综合指标）的方差来表达，即Var（F1）越大，表示F1包含的信息 越多。因此在所有的线性组合中选取的F1应该是方差最大的，故称F1为第一主成分。如果第一主成分不足以代 表原来p个指标的信息，再考虑选取F2即选第二个线性组合，为了有效地反映原来信息，F1已有的信息就不需 要再出现再F2中，用数学语言表达就是要求 ，则称F2为第二主成分，依此类推可以构造出第三、第四，……， 第p个主成分。
5.1.4主成分分析法的基本原理
主成分分析法是一种降维的统计方法，它借助于一个正交变换，将其分量相关的原随机 向量转化成其分量不相关的新随机向量，这在代数上表现为将原随机向量的协方差阵变换 成对角形阵，在几何上表现为将原坐标系变换成新的正交坐标系，使之指向样本点散布最
开的p个正交方向，然后对多维变量系统进行降维处理，使之能以一个较高的精度转换成
目录
Байду номын сангаасCONTENTS
5.1主成分分 析法概概述
5.2主成分分 5.3主成分分析法 2.4主成分分析法 5.5主成分分 5.6用Python实
析法代数模型 的步骡和方法
的操作流程
析举例
主成分分析在化学计量学中的的应用
主成分分析在化学计量学中的的应用张文彪2012051543 应用化学化学计量学研究有关化学量测的基础理论和方法,分析信号的多元分辨和校正在化学计量学中是非常活跃的一个领域。
化学计量学提供了很多方法来进行多元分辨和校正,常用的有主成分分析(PCA)、偏最小二乘法(PLS)、迭代目标转换因子分析(ITTFA)、渐进因子分析(EFA) 、窗口因子分析(WFA) 、秩消失因子分析( RAFA)、广义秩消失因子分子(GRAFA)、投影旋转因子分析( PRFA)、直观推导式演进特征投影法(HELP)以及广泛使用的正交投影分辨(OPR)和正交信号校正(OSC)以及残差双线性分解(RBL)等等,在这些方法中,主成分分析(PCA)是多元信号分辨与校正中常用方法,是其他化学计量学方法的基础。
主成分分析是对多变量数据进行统计处理的一种数据线性投影方法,它在尽可能保留原有信息的基础上将高维空间中的样本映射到较低维的主成分空间中。
其基本思路是以一种最优化方法浓缩量测数据(用Y表示)信息,使数据矩阵简化,降低维数,寻找少数几个由原始变量线性组合的主成分,以揭示数据Y 结构特征,提取基本信息。
主成分分析主要用于(1)降维(或称数据压缩),寻找几个主成分(也称潜变量)在低维空间表示高维数据;(2)数据的可视化和分类聚类,主成分的投影显示法即可用于分类判别又可用于聚类,可以从投影图中看出样本与样本之间的关系,变量和变量之间的关系;(3)降低随机误差,主成分分析的过程是寻找少数几个相互正交,方差最大的新变量,来重新构造数据,能够有效去除抽出误差;(4)确定化学组分数,从数学意义上主成分分析的实质是特征值问题,主成分分析所得到的非零特征值的个数就是矩阵的秩,从化学意义上就是构成数据的化学组分数,确定了矩阵的秩就可以确定体系的组分数。
1.数据降维( 压缩和变量选择)主成分分析作为一种投影方法,可以在互不相关相互正交的新坐标轴构成的低维空间可以表示高维数据,进行数据压缩;通过寻找新的,相对于原变量来说数目少得多的潜变量来表示原数据,大大降低了变量的维数,由于主成分分析的方差最大原则,主成分能基本代表数据的结构,换句话说,可以通过少数的新变量重构数据,而并不损失原来的基本数据信息。
主成分分析完整版
问题的答案是：X的协方差矩阵S 的第二大特征根 2
所对应的单位特征向量即为
是F2的方差。
a12, a22
。并且 2 就
F1 a11(x1 x1) a21(x2 x2 )
F2 a12(x1 x1) a22(x2 x2 )
其中，aij称为因子载荷量
因子载荷量：主成分与变量间的相关系数， 即：因子载荷量的大小和它前面的正负号直接反映了 主成分与相应变量之间关系的密切程度和方向。从而可以说 明各主成分的意义
主 旋转坐标轴
x 2
F 1
成 分 分 析 的 几 何 解
F2
•
•••
•••
• •
•
•••••••••••••••••••••••
• •
F1 x1 cos x2 sin
F2 x1 sin x2 cos
F1 F2
cos sin
sin x1
cos
x2
x2
旋转变换的目的是为了使得n个
1、数据标准化 2、 求相关矩阵R
zijxijsi xi
R 1 ZZT n1
Z(zij)
3、 计算R的特征值及累积贡献率，并计算相应的特征 向量
经过计算取2个主成分，信息的可靠程度超过85%
F 1 0 . 4 Z 1 4 0 . 4 Z 5 2 8 0 . 4 Z 3 5 0 . 1 Z 4 7 0 . 5 Z 58 F 2 0 . 4 Z 1 5 0 . 4 Z 2 0 0 . 4 Z 3 3 0 . 6 Z 6 4 5 0 . 1 Z 56
从原变量的相关矩阵 R 出发进行主成分分析。统计学上称
这种分析法为R型分析，由协方差矩阵出发的主成分分析为 S型分析。
S型分析和R型分析的结果是不同的。在一般情况下， 若各变量的量纲不同，通常采用R型分析。
主成分分析
PCA分析在很多领域有广泛应用（模式识别、化学组 分的定量分析、多元物系的组分数目确定、动力学反 应机理的确定等）
维数问题
在实际的分类问题中，遇到包含成百上千 （甚至更多）特征问题是根本不令人惊讶的。通 常认为其中的任何一个特征对于实现正确的分类 都有他自己的一定的贡献。但是，我们还是有理 由怀疑这些特征之间是否存在着相关性，即，里 面是否存在某种信息的冗余。这样，就产生了两 个必需面对的问题: 1.特征的维数（和训练样本集的大小）对于分 类精度的影响； 维数多，精度好 2.特征的维数对于设计分类器的计算复杂度有 何影响； 维数多，复杂度大
d k
n
A
n
X
主成分变换将三维空间的样本显示在二维空间
对三维空间下的一组样本（设样本数为n）， 其原始变量的坐标系为x1,x2,x3，在对原始坐 标系经过坐标平移、尺度伸缩、旋转等变换 后, 得到一组新的、相互正交的坐标轴v1,v2 ， 可使原始变量在新坐标系上的投影值（分 别称为第一、第二主成分）的方差达到最 大。其中v1,v2称为第一、第二载荷轴。对于 m维空间，载荷轴的个数最多为m。
一般来说，我们希望能用一个或少数几个综合 指标（分数）来代替原来分数表做统计分析， 而且希望新的综合指标能够尽可能地保留原有 信息，并具有最大的方差。
主成分分析 (Principle Component Analysis)
考虑这样一个问题，有n个d维的样本 X1 , X 2 , X 3 X n ,如何能够用仅仅一个d维的向 量X0来最好代表这n个样本，或者更确切的 说，我们希望这个代表向量X0与各个样本 Xk（k=1,2…..,n）的距离的平方和越小越好。
Eigenvalues
化学校正理论与主成分分析的应用
丹参水提液中丹参酮IIA的实测值与预测值
丹酚酸B偏最小二乘建模 （取1300nm～1600nm和2200nm～2400nm 的一阶导数光谱分析）
丹酚酸B最小二乘建模分析结果— （最佳主因子数＝5）
丹酚酸B偏最小二乘建模分析结 果— （相关系数R2=0.9143 ）
丹酚酸B偏最小二乘建模分析结果— 因子数、相关系数、校正标准差、PRESS
偏最小二乘(Partial Least Square)
交叉验证（Cross-validation）
用PCR、PLS建模时，取几个主成分， 模型预测性能最好？ 依次取1～m个主成分，在每个主成分下 建模时，取n-1个建模，留第一个做检验， 然后取第二个样本做检验，其余n-1个样 本建模，将n个模型预测值与实际值的误 差平方求和，称为PRESS (prediction sum of squares)。对应PRESS最小的 主成分个数即为最佳建模主成分数。 此时模型的预测效果最好,这一过程叫交 叉验证。
基本算法
缺点 需要求两次逆，在各组分响应信号重叠较 多时难免会增大计算误差
例2：对不同浓度的亮氨酸、异亮氨酸组成的16 个混合样品，采用与例1相同条件测其吸光度。 利用实验所得的16个样本的吸光度数值,由（512）可得K矩阵为：
配制3个混合物样本作为检验集，测定这3个样 本在对应波长下的吸光度矩阵Y。由（5-13）有： X3*2=YKT(KKt)-1 , X3*2的结果见表5-4。
多元校正理论的新进展
神经元网络结合PCA进行多元建模：如对 光谱信息用PCA进行压缩，抽提若干主成 分作为神经元输入节点值，需预测的组分 浓度作为输出值。
对偏最小二乘（PLS）的改进算法NIPLS
引进数学中的一些新方法（如稳健算法、 岭回归法等）建立多元校正模型。
主成分分析方法在主成分分析方法中的应用
主成分分析与因子分析及SPSS实现(-):原理与方法(2014-09-08 13:33:57)一、主成分分析(1)问题提出在问题研究中，为了不遗漏和准确起见，往往会面而俱到，取得大量的指标来进行分析。
比如为了研究某种疾病的彩响因素，我们可能会收集患者的人口学资料、病史、体征、化验检查等等数十项指标.如果将这些指标直接纳入多元统计分析，不仅会便模型变得复杂不稳定，而且还有可能因为变量之间的多重共践性引起较大的误差.有没有一种办法能对信息进行浓缩，减少变量的个数，同时消除多重共践性？这肘，主咸分分析隆重登场。
(2)主成分分析的原理主成分分析的本质是坐标的族转变换，将凍始的n个变量进行重新的线性组合，生成n个新的变量，他们之间互不相关，称为n个“成分”。
同时按照方差最大牝的原则，保证第一个成分的方差最大，然后依次递减。
这n个成分長按照方差从大到小排列的，其中前m个成分可能就包含了原始变量的大部分方差(及变异信息)。
那么这m个咸分就成为原始变苣的“主成分”，他们包含了原始变It的大部分信息。
注意得到的主成分不是原始变量筛选后的剩余变量，而是原始变量经过重新组合后的“综合变量”。
我们以最简单的二维数据来直观的解释主成分分析的原理。
假设现在有两个变it XI、X2,在坐标上画出散点图如下：x2XI与x2相关可见，他们之间存在相关关系，如果我们将坐标轴整体逆时针敲转45° ,变成新的坐标系Yl、Y2,如下图：Y1与Y2不相关根据坐标变化的原理.我们可以算出： Y1 = sqrt （2）/2 * XI + sqrt （2）/2 ♦ X2 Y2 = sqrt （2）/2 ♦ XI - sqrt （2）/2 ♦ X2 其中sqrt （x ）为x 的平方根。
通过对XI 、X2的重新进行践性组合，得到了两个新的变itYl 、Y2。
此时，Yl 、Y2变得不再相关，而且Y1方向变异（方差）较大，Y2方向的变异（方差）较小，这时我们可 以提取Y1作为XI 、X2的主咸分，參与后续的统计分析，因为它携帶了原始变量的大部分信息。
主成分分析及其实际应用
主成分分析法及其在区域经济评价中的应用王佳(燕山大学经济管理学院，河北秦皇岛，066004)摘要：主成分分析是一种通过降维技术把多个变量化为少数几个主成分的统计分析方法。
本文首先介绍了主成分分析法的基本思想及计算步骤，并以此为研究方法，分析了其在区域经济发展水平评价中的实际应用。
关键词：主成分分析；区域经济；评价0 引言在用统计分析方法研究多变量的课题时，变量个数太多就会增加课题的复杂性。
人们自然希望变量个数较少而得到的信息较多。
在很多情形，变量之间是有一定的相关关系的，当两个变量之间有一定相关关系时，可以解释为这两个变量反映此课题的信息有一定的重叠。
主成分分析是对于原先提出的所有变量，建立尽可能少的新变量，使得这些新变量是两两不相关的，而且这些新变量在反映课题的信息方面尽可能保持原有的信息。
1 主成分分析法的界定1.1概念主成分分析（principal component analysis）将多个变量通过线性变换以选出较少个数重要变量的一种多元统计分析方法。
又称主分量分析。
在实际课题中，为了全面分析问题，往往提出很多与此有关的变量（或因素），因为每个变量都在不同程度上反映这个课题的某些信息。
信息的大小通常用离差平方和或方差来衡量。
1.2 基本思想主成分分析法是由K.Pearson 在1901 年提出，并由H.Hotelling 在1933 年加以发展的，是一种简化数据集的技术，它是一种较为客观的多指标评价方法。
该方法将多指标问题化为较少的新指标，新指标是原来多个指标的线性组合，它们之间彼此互不相关，又能综合反映原来多个指标的信息，综合后的新指标称为原来指标的主成分。
其目的是：（1）变量的降维；（2）主成分的合理解释。
1.3 计算步骤第一步，对原始数据进行标准化处理，消除量纲不同的影响。
第二步，计算样本矩阵的相关系数矩阵R。
假定某评价体系中有n个样本，每个样本共有p个变量描述，则构成一个n×p 阶的初始矩阵：X=(xij )pn⨯，通过计算得相关系数矩阵R=(rij)pp⨯第三步，计算R的特征值和特征向量。
主成分分析与应用
协方差矩阵的对角化
主元分析以及协方差矩阵优化的原则是： 1）最小化变量冗余，对应于协方差矩阵的非对角元素要 尽量小； 2）最大化信号，对应于要使协方差矩阵的对角线上的元 素尽可能的大。 因为协方差矩阵的每一项都是正值，最小值为0，所 以优化的目标矩阵Cy的非对角元素应该都是0，对应于冗 余最小。所以优化的目标矩阵Cy应该是一个对角阵。即只 有对角线上的元素可能是非零值。同时，PCA假设P所对应 的一组变换基{p1,p2,….pm}必须是标准正交的，而优化矩 阵Cy对角线上的元素越大，就说明信号的成分越大，换句 话就是对应于越重要的“主元”。
谢谢！！谢谢老师和同学指导！
Hale Waihona Puke 赫赫~~主成分分析（PCA)
袁丁 天津大学神经工程与康复实验室 /
目录
什么是PCA 一个简单的模型引出的PCA PCA的代数原理 PCA求解 总结和讨论 应用领域
PCA
PCA（Principal component analysis），主元分析。 它是一种对数据进行分析的技术，最重要的应用是对原 有数据进行简化。 正如它的名字：主元分析，这种方法可以有效的找 出数据中最 “主要”的元素和结构，去除噪音和冗余， 将原有的复杂数据降维，揭示隐藏在复杂数据背后的简 单结构。 它的优点是简单，而且无参数限制，可以方便的应 用与各 个场合。
一个简单的模型 Question:
大量的变量代表可能变化的因素
光谱 限制因素
观测手段
电压
速度
实验环境
复杂、混乱、冗余
How
分析变量背后的关系？ 一个简单的物理模型
这是一个理想弹簧运动规律的测定实验。假设球是连接在 一个无质量无摩擦的弹簧之上，从平衡位置沿 轴拉开一定 的距离然后释放。
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主成分分析法在分析化学中的应用专业：应用化学学号：200902030134姓名：何德聪日期：2012.06.23主成分分析法在分析化学中的应用摘要：主成分分析法( Princ ipal Components Ana lysis)也称定量分析。
由Ho telling 于1933 年首先提出，主要是利用降维思想,把多指标转化为少数几个综合指标的多元统计分析方法。
这些指标是原指标的线性组合, 且彼此不相关, 它可以在力保原始数据丢失最少情况下, 对高维变量空间进行降维。
随着计算机技术及其应用的发展, 作为化学计量学基础的主成分分析方法，在分析化学中应用越来越广泛。
尤其在仪器分析中应用较为广泛，本文就主成分分析方法在化学分析及仪器分析中的具体应用进行综述。
关键词：主成分分析法分析化学仪器分析化学分析1.主成分分析法1.1主成分分析法介绍主成分分析(principal component analysis) 是将多个变量通过线性变换以选出较少个数重要变量的一种多元统计分析方法，又称主分量分析。
由Ho telling 于1933 年首先提出, 主要是利用降维思想, 把多指标转化为少数几个综合指标的多元统计分析方法。
这些指标是原指标的线性组合, 且彼此不相关, 它可以在力保原始数据丢失最少情况下, 对高维变量空间进行量降维［1］。
由原始变量线性组合的主成分, 以揭示数据结构特征, 提取化学信息。
在进行化学变量多元分析的时候，我们用多个变量去描述样本的性质，这些变量也可以称之为特征。
对于复杂体系，特征数可能达到成百上千，计算量十分巨大，而且变量之间可能存在关联，即存在冗余。
使用主成分分析即可将彼此间具有关联的变量整合成少数几个综合型变量，新得到的变量间不存在关联。
1.2主成分分析的原理［2］设P个进行综合评价的原始指标: x1, x2, ..., xp, 并假定这些指标在n 个单位之间的初始目标是将这些原始指标组合成新的相互独立的综合指标y1, y2, ..., yp, 这些综合指标表现为原始指标的线性函数:yi ∑Iijxj ( i = 1, 2, ...,p )式中, 指标yi互不相关。
因为每个新指标yi 都是原始指标的线性组合。
实际上, 主成分分析是将p 个原始指标的总方差分解为p 个不相关的的综合指标yi 的方差之和λ1 +λ 2 + ..., + λp, 而且使第一个综合指标yi 的方差达到最大(贡献率最大) ;第二个综合指标y1, y2, ..., yr ( r < p ), 即包括总方差中的绝大部分信息。
我们称它们为原始指标的第一, 第二, ..., 第r个主成分。
即: 主成分分析法可以使原始指标的大部分方差“集中”于少数几个主成分上, 通过对这几个主成分的分析, 实现对总体的综合评价。
1．3主成分分析法分析的主要步骤( 1) 列出指标数据矩阵X;( 2) 计算X 的协方差矩阵S;( 3) 计算协方差矩阵S (或相关矩阵R ) 的特征值和特征向量L (即指标X的系数) ; ( 4) 计算贡献率和累计贡献率, 并据以确定主成分(即综合指标y1 ) 的个数, 建立主成分方程;( 5) 解释各主成分的意义, 并将各单位的原始数据代入方程中, 计算综合评价进行分析比较。
2主成分分析在分析化学中的应用2 .1主成分分析在仪器分析中的应用2.1．1在色谱( 气相色谱和液相色谱) 分析中的应用气相色谱在广泛应用于环境监测、农药残留量的分析、汽油、柴油等石油化工产品组成成分的分析。
尤其是多维毛细管气相色谱和色谱-质谱法, 运用PCA 方法可降低快速气相色谱-质谱法测量中低含量组分的噪音［3］。
而对于汽油、柴油、农药残留量这样组成复杂的样品分析, 鉴于分离手段和检测方法的有限, 最终得到的色谱峰中存在大量严重重叠的谱峰难以识别。
而化学计量学方法又不能适当地在复数范围内模拟从一个变量到另一个变量转换的信息, 使色谱-质谱法中保留时间的变化成为了化学计量学方法在色谱数据分析中应用的主要障碍。
例如: KEVIN 采用一种化学计量学方法分析气相色谱数据保留时间校正-高速谱峰匹配运算法则, 通过保留化学选择性而减小色谱-质谱法中保留时间的变化, 以增加应用在柴油色谱中模式识别方法的效率, 得到了较好的结果［4］AOAC在20世纪80年代就对大部分有机磷农药建立了气相色谱分析法，近年来，AOAC又对近半数的有机磷农药建立了HPLC检测法。
我国食品卫生国家标准GB/T17331-1998才用的事气相色谱分析法检测有机磷农残。
该法的适用范围是粮食、蔬菜中有机磷和氨基甲酸酯类农药残留的检测。
基于这种方法，固定相和不同的流动相组分中, 根据理论塔板和对称因素值对色谱柱及其流出物进行分类和研究十分重要。
毛细管柱的极性选择与待测物的极性相匹配。
因此可以利用主成分分析方法进行评价。
选择适合的分析条件。
2.1.2主成分分析方法的其他应用随着计算机的发展及仪器制造技术的进步, 作为化学计量学基础的PCA 方法, 在各仪器分析中的应用越来越广泛, 除了在上述气液相色谱分析中的应用外, PCA 方法已逐渐被推广到其他仪器分析的应用中。
在红外及近红外光谱中的应用，PCA 方法常被用来解析混合物的近红外光谱图［4］从而提取所需的化学信息, 根据纯物质的物理化学性质预测混合物的物理化学性质, 鉴定官能团及分子结构PCA 方法也经常被用在傅里叶变换-红外光谱解析中。
如: 研究人员将PCA 方法应用到傅里叶变换-红外光谱中, 分别测定了聚甲基丙烯酸丁酯LB(LangmuirBlodg ett) 膜玻璃化转变温度和牛的血清蛋白( BSA) 在极性溶液中的水合作用和二次结构发生转变的温度PCA 方法是核磁共振光谱数据多变量分析中常用的运算法则, 它充分地减小了含大量相关变量的数据的复杂性, 使计算机的效率最优化, 降低仪器噪音, 同时使小化学位移的变化最小化, 预测复杂结构的核磁共振光谱参数, 从而分离复杂体系。
PCA 方法可以同时对数据集中所有的谱进行分解,来获取它们的基本特征, 即主成分, 它不需要预先对波谱的形状等进行假定, 即不需要有关的先验知识;另一方面, MRS 数据集中, 各谱一般恰恰具有这种共同的基本信息, 如基本的波形函数等, 所以在MRS 参数量化及校正中, PCA 方法有着独特的优势。
例如: BROWN 证明, PCA 方法能够检测很小的频率和相位变化; HUFFEL 展示它有比相关法更好的幅度估计2 .2主成分分析在化学分析中的应用2.2.1在重量分析中的应用重量分析方法是经典化学分析方法的一种，硅酸盐矿物和岩石的分析中，需要测定的项目比较多，经常测定的是主要成分十三项。
凡是涉及硅酸盐作材料或以硅酸盐为产品的国民经济各部门和企业都要对硅酸进行分析。
如对水泥、玻璃、陶瓷等硅酸盐产品及原料的分析、冶金原料中硅酸盐的分析。
主成分分析有助于让我们确定主成分个数，可以将哪些类型的化学成分话分为一个主成分，了解哪些化学成分对硅酸盐石的贡献最大。
例如SiO2,Al2O3,Fe2O3,FeO,MnO,TiO2,CaO,MgO,Na2O,K2O,P2O3,H2O+,H2O-为硅酸盐的主要成分，Cr2O3,V2O5,ZrO2,(Ce,Y)2O3,SrO,BaO,BeO,CuO,NiO,CoO,Li2O,B2O3为硅酸盐的次要成分。
根据确定主要成分来进行硅酸盐分析，对次要成分的分析，通常应根据岩石鉴定、化学定性分析、光谱分析等资料，确定需要分析的项目。
2.2．2在容量分析中的应用PCA 方法在滴定分析中应用的基本原理是将已知混合液测定数据中能代表多组分特性的有效信息, 以主成分向量形式逐步提取出来, 把代表测量误差的次要成分向量忽略, 进而建立回归形式的数学模型, 以测定试液中各组分浓度或含量。
应用主成分分析法, 将电位滴定、数学计算法和计算机技术三者有机地结合在一起, 用现代数学分离法代替繁琐的化学分离或掩蔽法, 其突出优点是无需知道酸的电离常数, 也无需对电极系统进行严格校正, 只需准确测定几个pH 点所消耗滴定剂的体积即可。
张传宇用PCA 方法研究了用电位滴定法直接同时测定磷酸和亚磷酸［5］。
马继平采用主成分回归法同时测定油品中的铁、钴、镍、钒的含量及油品的安定性［6］张大伦将PCA 方法用于同时单点pH 络合滴定［7-8］, 讨论了方法原理, 指定了pH 值的选择, 建立了PCA 方法常数矩阵, 并用于测定EDT A 络合物稳定常数相近的金属离子混合物的各组分浓度, 获得满意结果; 他还将PCA方法用于对极弱酸碱、多组分极弱碱混合试样的pH 值滴定进行了研究, 并将PCA 用于pM 滴定及单点R 滴定［9-12］.3参考文献[ 1] 何晓群. 现代统计分析方法与应用[M ] . 北京: 中国人民大学出版社, 2003 .[ 2] 刘永才. 统计分析中主成分分析法与应用[ J ]. 电工理工,2005, ( 2) .[ 3] ST AT HEROPOUL OS M . Noise reducti on of f as t, r epet it iveGC/ MS measu rement s us ing principal componen t analysis( PCA) [ J] . Analyt ica C himica Act a, 1999, 401: 35-43.[ 4] 任玉林, 逮家辉, 郭晔, 等. 近红外漫反射光谱的主成分分析[ J ] . 光谱学与光谱分析, 1996, 16( 6) : 31- 35.[ 5] 张传宇. 同时直接测定磷酸与亚磷酸的研究[ J] . 化学工程师,2000, 79( 4) : 62-64 [ 6] 马继平. 主成分回归法同时测定油品中铁钴镍钒[ J ] . 理化检验-化学分册, 1999, 35( 9) : 36- 38.[ 7] 张大伦. 主成分分析同时测定多组分金属离子[ J ] . 化学分析计量, 1999, 8( 4) : 16-18[ 8] 张大伦. 主成分分析同时单点pH 络合滴定法[ J] . 分析化学,1996, 24( 7) :820-823.[ 9] 张大伦. 主成分分析同时单点pH 滴定法研究[ J] . 武汉化工学院学报, 1999, 21( 4) : 1-4.[ 10] 张大伦. 极弱酸碱的pH 滴定法研究[ J ] . 分析试验室, 1993,12( 6) : 45-48. [ 11] 张大伦. 主成分分析同时单点pM 滴定法研究[ J ] . 分析试验室, 1995, 14( 6) : 64-67.[ 12] 张大伦. 主成分分析同时单点R 滴定法研究[ J ] . 分析科学学报, 1998, 14( 3) : 196-198.。