小波分析经典
(完整word版)滚动轴承故障诊断分析
滚动轴承故障诊断分析学院名称：机械与汽车工程学院专业班级：学生姓名：学生学号：指导教师姓名：摘要滚动轴承故障诊断本文对滚动轴承的故障形式、故障原因、常用诊断方法等诊断基础和滚动轴承故障的振动机理作了研究，并建立了相应的滚动轴承典型故障(外圈损伤、内圈损伤、滚动体损伤)的理论模型，给出了一些滚动轴承故障诊断常见实例。
通过对滚动轴承故障振动机理的研究可以帮助我们了解滚动轴承故障的本质和特征。
本文对特征参数的提取，理论推导，和过程都进行了详细的阐述，关键词:滚动轴承；故障诊断；特征参数；特征；ABSTRACT ：The Rolling fault diagnosisIn the thesis ,the fault types,diagnostic methods an d vibration principle of rolling bearing are discussed.the thesis sets up a series of academic m odels of faulty rolling bearings and lists some sym ptom parameters which often used in fault diagnosis of rolling bearings . the study of vibration prin ciple of rolling bearings can help us to know the essence and feature of rolling bearings.In this paper, the parameters of the extraction, theoretical a nalysis, and process are described in detail. Keywords: Rolling Bearing; Fault Diagnosis; Symptom P arameter; Distinction Index; Distinction Rate0引言：随着科技的发展，现代工业正逐步向生产设备大型化、复杂化、高速化和自动化方向发展，在提高生产率、降低成本、节约能源、减少废品率、保证产品质量等方面具有很大的优势。
一种自适应小波提升格式及应用效果分析
一种自适应小波提升格式及应用效果分析郑诣曾辉(成都N q-大学信息管理学院，IⅡl J J I成都610059)B裔要】在经典小波分析中。
小波基的选择是一个难题，一旦选用不当，就会使应用效果大打折扣。
造戍应用上的低效率。
为了允腰E述缺陷，w i reSw e l derl$提出了小波提升格式本文探讨了一种自适应提升格式。
并通过M A T LA B舞验验征了自适砬提升洛式的有麴技。
瞎键词]第二代小波；自适应提升格式；应用效果小波分析是近年来在理论数学和应用数学中迅速发展的新领域，它是继傅里叶分析之后在数学上的一项重大突破。
1996年Sw el dens 提出了小波提升格式，该方法可以灵活高效地U已有的双正交小波构造新的双正交小波，并且能够继承传统小波的多分辨分析等特征，小波提升格式是90年代在小波领域的一项突出成就．随后，T℃ha n，H el l—m a R s，G．P i el l a，R oger L等人先后提出了自适应提升格式，所谓自适应提升格式就是根据输入信号的特征和具体问题的需要设计适当的更新和预测算子，使得我们得到的小波滤波器能够达到预期的要求，从而也就实现了小波滤波器的改进。
1提升格式原理1．1正变换t4埔：翟蟥二塞一州!k殳良塑!．廿I b'蘧受摊图1第二代，J谢理彗变开意图对输入信号删，对其进行提升格式变换的步骤如下(图1)1．1．1分裂将信号序列按奇样本xdnl，偶样本x／n]进行分裂x dn}=-x[2n+l l，，(。
Inl=x12nl。
1．12预测保矧禺样本不变，由偶样本预测奇样本，并对奇样本进行修正。
d[nl=×击¨P(×州)其中p(g)为预测算子，显然信号在局部是高度相关的，因而奇、偶样本是高度相关的，用偶样本对奇样本进行预测分析是合理的，因而得到的d『1l具有小的能量，作为高频系数是合理的。
1．13更新原始吲禺样本xdnl并不能构成信号的低频部分，因为它仅是信号的—个偶采样，因而需要对其进行更新，使之成为信号的低频部分，我们用修正后的高频系数di n]来进行更新，dnl=-xdnl+U(d[n1)其中U(g)是更新算子。
小波分析简述
第一篇：小波分析发展历史简述1910年，Haar提出了L2(R)中第一个小波规范正交基，即Haar正交基。
1936年，Littlewood和Paley对傅立叶级数建立了二进制频率分量分组理论，（即L-P理论：按二进制频率成分分组，其傅立叶变换的相位并不影响函数的大小和形状），这是多尺度分析思想的最早起源。
1952年～1962年，Calderon等人将L-P理论推广到高维，建立了奇异积分算子理论。
1965年，Calderon发现了著名的再生公式，给出了抛物型空间上H1的原子分解。
1974年，Coifman实现了对一维空间和高维空间的原子分解。
1976年，Peetre在用L-P理论对Besov空间进行统一描述的同时，给出了Besov空间的一组基。
1981年，Stromberg引入了Sobolev空间Hp的正交基，对Haar正交基进行了改造，证明了小波函数的存在性。
1981年，法国地球物理学家Morlet提出了小波的正式概念。
1985年，法国数学家Meyer提出了连续小波的容许性条件及其重构公式。
1984年～1988年，Meyer、Battle和Lemarie分别给出了具有快速衰减特性的小波基函数：Meyer小波、Battle-Lemarie样条小波。
1987年，Mallat将计算机视觉领域中的多尺度分析思想引入到小波分析中，提出了多分辨率分析的概念，统一了在此前的所有具体正交小波的构造，给出了构造正交小波基的一般方法，提出了快速小波变换（即Mallat算法）。
1988年，Daubechies基于多项式方式构造出具有有限支集的光滑正交小波基（即Daubechies基）。
Chui和中国学者王建忠基于样条函数构造出单正交小波函数，并提出了具有最优局部化性能的尺度函数和小波函数的一般性构造方法。
1988年，Daubechies在美国NSF/CBMS 主办的小波专题研讨会上进行了10次演讲，引起了广大数学家、物理学家、工程师以及企业家的重视，将小波理论发展与实际应用推向了一个高潮。
R学习书籍推荐汇总
现在对R感兴趣的人越来越多，很多人都想快速的掌握R语言，然而，由于目前大部分高校都没有开设R语言课程，这就导致很多人不知道如何着手学习R语言。
对于初学R语言的人，最常见的方式是：遇到不会的地方，就跑到论坛上吼一嗓子，然后欣然or悲伤的离去，一直到遇到下一个问题再回来。
当然，这不是最好的学习方式，最好的方式是——看书。
目前，市面上介绍R语言的书籍很多，中文英文都有。
那么，众多书籍中，一个生手应该从哪一本着手呢？入门之后如何才能把自己练就成某个方面的高手呢？相信这是很多人心中的疑问。
有这种疑问的人有福了，因为笔者将根据自己的经历总结一下R 语言书籍的学习路线图以使Ruser少走些弯路。
本文分为6个部分，分别介绍初级入门，高级入门，绘图与可视化，计量经济学，时间序列分析，金融等。
1.初级入门《An Introduction to R》，这是官方的入门小册子。
其有中文版，由丁国徽翻译，译名为《R导论》。
《R4Beginners》，这本小册子有中文版应该叫《R入门》。
除此之外，还可以去读刘思喆的《153分钟学会R》。
这本书收集了R初学者提问频率最高的153个问题。
为什么叫153分钟呢？因为最初作者写了153个问题，阅读一个问题花费1分钟时间，全局下来也就是153分钟了。
有了这些基础之后，要去读一些经典书籍比较全面的入门书籍，比如《统计建模与R软件》，国外还有《R Cookbook》和《R in action》，本人没有看过，因此不便评论。
最后推荐，《R in a Nutshell》。
对，“果壳里面的R”！当然，是开玩笑的，in a Nutshell 是俚语，意思大致是“简单的说”。
目前，我们正在翻译这本书的中文版，大概明年三月份交稿！这本书很不错，大家可以从现在开始期待，并广而告知一下！2.高级入门读了上述书籍之后，你就可以去高级入门阶段了。
这时候要读的书有两本很经典的。
《Statistics with R》和《The R book》。
小波分析-经典解读
时间序列-小波分析时间序列（Time Series ）是地学研究中经常遇到的问题。
在时间序列研究中，时域和频域是常用的两种基本形式。
其中，时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；频域分析（如Fourier 变换）虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析。
然而，地学中许多现象（如河川径流、地震波、暴雨、洪水等）随时间的变化往往受到多种因素的综合影响，大都属于非平稳序列，它们不但具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及“多时间尺度”结构，具有多层次演变规律。
对于这类非平稳时间序列的研究，通常需要某一频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息。
显然，时域分析和频域分析对此均无能为力。
20世纪80年代初，由Morlet 提出的一种具有时-频多分辨功能的小波分析（Wavelet Analysis ）为更好的研究时间序列问题提供了可能，它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期，充分反映系统在不同时间尺度中的变化趋势，并能对系统未来发展趋势进行定性估计。
目前，小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应。
在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分形维数的计算，突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。
一、小波分析基本原理1. 小波函数小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。
因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数)R (L )t (2∈ψ且满足：⎰+∞∞-=0dt )t (ψ （1）式中，)t (ψ为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系：)abt (a)t (2/1b ,a -=-ψψ 其中，0a R,b a,≠∈ （2） 式中，)t (b ,a ψ为子小波；a 为尺度因子，反映小波的周期长度；b 为平移因子，反应时间上的平移。
周边固支环扇形板静力学问题的小波方法
周边固支环扇形板静力学问题的小波方法经典环形扇形板静力学问题主要涉及一个扇形板平面固定在环形支架上，其中在板的边界处施加恒定应力或简平均应力，而环形支架的位置在板的一定距离外圆的边界处以外的地方被固定住，有时加上在板边缘处的边界条件。
本文将主要讨论如何使用小波技术来分析经典环形扇形板问题的静力学性质。
一般来说，小波分析旨在将信号分解成多维子信号，这些子信号可以用于说明信号的结构。
首先，它们可以提供信号的能量分布统计信息，其次，他们还可以指示特定的特征，并提供被这些特征确定的坐标系。
因此，小波可以给出信号的几何分析结果以及所计算的和付出的力的分布特征。
考虑到经典环形扇形板问题，其板在板的一定距离外圆的边界处以外的地方被固定住，于是，小波分解将对信号使用小波基本函数，以发现不同分贝水平上的频率分布、功率谱回归和静力学性质的解析等力。
在解析小波方法中，首先，使用小波分解将能量分布进行分级，而后，根据每个分级中的频率进行傅立叶变换，以及计算时域内各个子波的相关函数等等，建立有关实际系统的数学模型。
接下来，根据计算得到的模型，采用小波系数计算环形扇形板的载荷-位移曲线，计算平均应力以及应变的极限和護壁的解析表达式。
最后，可以比较小波方法的解析分析结果与实际数据的差异，以进一步验证对经典环形扇形板静力学问题的分析。
经典环形扇形板静力学问题的小波方法是一种有效的分析工具，它不仅可以提供该问题的有关能量分布统计信息，还可以为我们提供载荷-位移曲线、平均应力分析和应变极限的计算。
因此，小波分析是实现精确分析经典环形扇形板静力学问题的一组非常有效的工具，非常适合用于结构优化和综合设计等分析工作。
小波分析完美教程经典
(征求意见稿) 清华大学计算机科学与技术系 智能技术与系统国家重点实验室
林福宗，2001-9-25
小波是近十几年才发展起来并迅速应用到图像处理和语音分析等众多领域的一种数学 工具，是继 110 多年前的傅立叶(Joseph Fourier)分析之后的一个重大突破，无论是对古老的 自然学科还是对新兴的高新技术应用学科都产生了强烈冲击。
图 3-05 离散小波变换分析图 执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器。该方法是 Mallat 在 1988 年开发的，叫做 Mallat 算法[1]，这种方法实际上是一种信号的分解方法，在数字信号处理中称为双通道子带 编码。 用滤波器执行离散小波变换的概念如图 3-06 所示。图中，S 表示原始的输入信号，通 过两个互补的滤波器产生 A 和 D 两个信号，A 表示信号的近似值(approximations)，D 表示 信号的细节值(detail)。在许多应用中，信号的低频部分是最重要的，而高频部分起一个“添 加剂”的作用。犹如声音那样，把高频分量去掉之后，听起来声音确实是变了，但还能够听
3.1.3 小波分析
信号分析一般是为了获得时间和频率域之间的相互关系。傅立叶变换提供了有关频率域 的信息，但时间方面的局部化信息却基本丢失。与傅立叶变换不同，小波变换通过平移母小 波(mother wavelet)可获得信号的时间信息，而通过缩放小波的宽度(或者叫做尺度)可获得信 号的频率特性。对母小波的缩放和平移操作是为了计算小波的系数，这些系数代表小波和局 部信号之间的相互关系。本节将介绍小波分析中常用的三个基本概念：连续小波变换、离散 小波变换和小波重构。
S=A1 + AAD3 + DAD3 + DD2。
6
基于小波分析的股票市场分析
第 ６ 卷 第 ２期 太 原 师 范 学 院 学 报 （ 自然 科 学 版 ） ２０ ０ ７年 ６月 Ｊ ＯＵＲ ＮＡＬ Ｏ ＡＩ Ｆ Ｔ ＹＵＡＮ ＮＯＲ ＭＡＬ ＵＮＩ Ｒ Ｉ ＶＥ Ｓ ＴＹ （ ｔ ｒ ｌ ｃ ｎ ｅＥ ｉｏ ） Ｎａｕ ａ Ｓ ｉ ｃ ｄｔ ｎ ｅ ｉ
在这 些 作用 的综 合 作用 下股 票 市场 的 发展 所体 现 的是 不稳 定性 和 规 律性 相结 合 的走 势． 于股 市 中所 由 存 在 的巨额 利 润 的驱动 和其 体 现 的不 稳定 性 ， 和规 律性 相结 合 的 神秘 色彩 ， 仅 大量 股 民参 与 其 中 ， 不 而且 众 多学 者 开始 对 股票 市场 进行 研 究 ． 多学者 希 望找 到 股票 市场 的 发展 规律 从 而使 股 市 在发 展 国 民经 济 当 中 很
小．
根据股 票 市场非 平稳 性 和规律 性相 结合 的特 点 ， 和小 波分 析在 对非 平稳 信 号分析 中的 良好作 用 ， 波 分 小
析无 疑是 分析 股票市 场 的一个 非 常适 合 的数学 工具 ． 面 我们 以香 港 恒 生指 数从 １ ８ 下 ９ ６年 １ ２月 到 ２ ０ ０ ７年 ３
究 ． 着 数 学 在 经 济 学 的 研 究 中发 挥 越 来 越 重 要 的 作 用 ， 对 股 市 的 研 究 和 许 多 的 数 学 方 法 也 被 大 量 应 随 在 用 ， 波 分 析 在 诸 多领 域 有 着广 泛 的应 用 ． 章 试 图用 ， 波 分 析 对股 票 市场 进 行 分 析 和 预 测 ． 小 文 Ｊ 、
பைடு நூலகம்
月的 月历史 数 据使用 小 波分析 的工 具进 行 分析 ， 以此来 得 出一 些重 要 的规律 ．
小波分析-经典
时间序列-小波分析时间序列（Time Series ）是地学研究中经常遇到的问题。
在时间序列研究中，时域和频域是常用的两种基本形式。
其中，时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；频域分析（如Fourier 变换）虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析。
然而，地学中许多现象（如河川径流、地震波、暴雨、洪水等）随时间的变化往往受到多种因素的综合影响，大都属于非平稳序列，它们不但具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及“多时间尺度”结构，具有多层次演变规律。
对于这类非平稳时间序列的研究，通常需要某一频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息。
显然，时域分析和频域分析对此均无能为力。
20世纪80年代初，由Morlet 提出的一种具有时-频多分辨功能的小波分析（Wavelet Analysis ）为更好的研究时间序列问题提供了可能，它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期，充分反映系统在不同时间尺度中的变化趋势，并能对系统未来发展趋势进行定性估计。
目前，小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应。
在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分形维数的计算，突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。
一、小波分析基本原理1. 小波函数小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。
因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数)R (L )t (2∈ψ且满足：⎰+∞∞-=0dt )t (ψ （1）式中，)t (ψ为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系：)abt (a)t (2/1b ,a -=-ψψ 其中，0a R,b a,≠∈ （2） 式中，)t (b ,a ψ为子小波；a 为尺度因子，反映小波的周期长度；b 为平移因子，反应时间上的平移。
信号的时频分析与小波分析
灵活性
计算效率
小波变换具有高度的灵活性，可以选择不 同的小波基函数，以满足不同类型信号和 不同应用场景的需求。
相对于傅里叶变换，小波变换的计算复杂 度较低，使得在实时信号处理中更为高效 。
缺点
选择合适的小波基
选择合适的小波基是进行小波分析的关键步骤，但选择过 程具有一定的主观性和经验性，需要依据具体应用场景和 信号特性进行判断。
小波变换可以用于特征提取和降 维，为机器学习算法提供有效的 特征表示。
模式识别
小波变换可以用于信号分类和模 式识别，例如在声音、图像和文 本识别等领域。
数据挖掘
小波变换可以用于数据挖掘和聚 类分析，例如在时间序列数据、 金融数据和社交网络分析等领域。
THANKS
感谢观看
时频分析通过将信号表示为时间和频 率的联合函数，提供了一种同时观察 信号在不同时间和频率下表现的方式。
短时傅里叶变换
短时傅里叶变换是一种常用的时频分析方法，通过使用滑动窗口函数对信号进行加 窗处理，并对每个窗口内的信号进行傅里叶变换。
窗口函数的选择对短时傅里叶变换的性能有很大影响，常见的窗口函数包括高斯窗、 汉明窗等。
小波变换的分类与应用
总结词
小波变换可以分为连续小波变换和小波离散变换两种类型，它们在信号处理、图像处理、语音识别等 领域有蛇形广泛应用。
详细描述
连续小波变换能够对信号进行连续某种的时频分析，能够同时获得信号在时间域和频率域的信息。而 小迷离变换 则是基于离散傅里叶变换的一种改进，可以对信号进行快速变换分析。在应用方面，连续 小矶碎变换摸摸可以应用于信号处理、图像处理、语音识别等领域某种。
小波分析在大数据时代的应用
信号处理
01
在通信、雷达、声呐等领域，小波分析用于信号降噪、压缩感
小波分析完美教程经典
小波分析完美教程经典小波分析是一种数学方法，用于在时间序列或信号中检测和描述局部的频率特征。
它具有在不同尺度上进行分析的能力，并且可以有效地处理非平稳和非线性的数据。
小波分析最早由法国数学家莫尔斯特尔在20世纪80年代提出，并且在信号处理、图像处理、模式识别等领域中得到了广泛的应用。
相对于傅里叶分析而言，小波分析更适用于局部信号特征的提取，因为它可以在时间和频率上同时进行分析。
小波分析主要包含以下几个步骤：1. 选择小波基函数：小波基函数是小波分析的基础，它决定了在不同尺度上对信号进行分析时的特征。
常见的小波基函数有Morlet小波、Haar小波、Daubechies小波等。
选择适合的小波基函数对于小波分析的结果具有重要的影响。
2.进行小波变换：小波变换是将信号在不同尺度上进行分解的过程。
通过将信号与小波基函数进行卷积，可以得到不同频率的小波系数。
小波变换可以分为连续小波变换和离散小波变换两种。
连续小波变换适用于连续信号，而离散小波变换适用于离散信号。
3.进行小波重构：小波重构是将小波系数重新组合成原始信号的过程。
通过将不同尺度上的小波系数进行反变换，可以得到原始信号的近似和细节部分。
小波重构的过程可以用于信号的降噪、压缩等应用。
在实际应用中，小波分析可以用于信号的时频分析、图像的压缩与去噪、模式识别等方面。
其优点在于可以提供更准确的局部信息，对非平稳和非线性信号具有更好的适应性，并且具有多尺度分析的能力。
然而，小波分析也存在一些问题。
首先，小波基函数的选择需要根据具体的应用场景进行判断，不同的小波基函数可能对信号的特征有不同的适应性。
其次，小波分析的计算量较大，对于大规模信号的处理可能会耗费较长的时间。
综上所述，小波分析是一种强大的信号处理工具，它可以在不同尺度上对信号进行分析，并且可以用于时频分析、图像处理、模式识别等领域。
通过选择合适的小波基函数和进行小波变换和重构，可以获得准确的局部信号特征。
关于小波分析的几本经典书的推荐
关于小波分析的几本经典书的推荐小波分析在现代信号分析中的应用越来越广泛国内所出书有限，推荐几本如下1 信号处理的小波导引法mallat著机械工业出版社中译本从图书馆借出来后一直想看一看，但是本人认为本书属于小波应用之集大成者，经典之作。
但是由于太深奥，不适合初学者阅读。
2 Ten lectures on wavelets Daubechies 据说特别经典，没有见到过3小波分析导论(美)崔锦泰著西安交通大学出版社中译本市面上见到最多的小波理论书籍4小波变换及其应用李世雄编高等教育出版社应该说是对入门者最有用的一本书，特别薄，但对重要定理的推导很详细由老师重点推介。
5小波变换及其在分析化学中的应用赵凯，王宗花编著地质出版社虽然书名有“分析化学”，但重点不在上面。
作为入门与上一本一起参考应该很好由老师重点推介。
6小波变换及其MA TLAB工具的应用没有理论推导，只是列出公式对MA TLAB工具箱的讲解很好。
Wavelet transform domain filters:A spatially selective noise filtration technique1、刘镇清,黄瑞菊.小波变换及其应用. [J].无损检测, 2001(4)2、XU Y.WEA VER JB.HEALYDM. eta.lWavelet transform domain filters:A spatially selective noise filtration technique[J]. IEEE Transactions onImage Processing, 1994, 3(6): 747-758.3、《IEEE Transaction on Information Theory》1992年3月号专门出了一期小波分析及其应用的专刊，从中可对小波分析应用的现状有个较全面的认识.4、胡昌华,李国华,刘涛,等.基于MA TLAB 6.X的系统分析与设计-小波分析[M].西安:西安电子科技大学出版社,20025、孙延奎.小波分析及其应用[M].北京:机械工业出版社，2005.。
小波构造综述
! 9 " # $ $ %小波与 & ’ $ ( ( ) (小波 * : / / ;小波是本世纪初数学家 : / / ;构造的第一 个小波正交基， 又称 : 与: / / ;函数； / / ;小波相对应 的是’ # / % % " %小波， ’ # / % % " %小波尺度函数的频域形
图" # $ $ %小波与 & ’ $ ( ( ) (小波的尺度函数与小波函数图形
［ ］ ! 正交基来刻划该函数空间内的任意函数 。其理
!
小波构造的发展过程
! "世纪前半叶的 @ = 7 7和 2 8 A A B 9 C ? ? D $ E = B 9 F分析 以及! "世纪 " 年代的 G = B D 9 7 ? H表示定理和 @ = 7 D F 空间的原子分解与无条件基等数学理论为小波分析
’ 的一个多分辨分析， 如果满足 $ ! % 称为!（"） 对" ； ! 单调性： # $ ! %， ) & $## $ ’ ｛｝ ，%# （ ） ； " 逼近性：$# $’ * $ ’! " % %
! $ ! $ —
等式两边在0 上积分得
4 ’/ 1 ’, ( 1
又由引理5得 （ （&9）’’’ （ ，3 -, （8 4 9）’5 4 6 & + %） / ’ .9） 7 令 ) )（ ） 1 （3） : 73 3 ， . ( ’ 4 ’ 1 1 , ’ ) )（ ） 1 #（ )， （3） ; 83 3 ’&3 : &3） . ( ’ + ’ 1 1 , ’ 则 ) ) 0 （ ） ， : ) 7 ’ ( 4 ’ ( 1 ’) ’ 1 1 , ’1 / （ （&9）’ ’) ， : 9）’5 : 1 （8’ 9 ’, 6 & + %） / 7 的支集长度为 < ， 由式 （ ） 可得 )
综合脉冲星时的小波分析算法
第 ４ ８卷 第 ２期
２０ 年 ４月 ０７
天 文
学 报
ＶＯ ． ８ １ ＮＯ ２ ４ ． Ａｐ ． ２ ０ ｒ， ０ ７
ＡＣＴＡ ＴＲＯＮＯＭ Ｉ ＡＳ ＣＡ Ｉ ＣＡ Ｓ ＮＩ
综合脉冲星时的小波分析算法冰
仲 崇霞 ， 杨 廷 高 ２
｛ Ｊ） ｔｌ Ｉ 二／＝ ／ ， 一 ｔ’ ｄ ｄ ｄ如 ｔ ｌｔ Ｔ’。 如 Ａ ｄ （ｌ ￣ ０ ｔｔ （ ０ ） 一
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（ 一 ２ ）
ｔ 是当前时间段 的起始历元，也是上一个时间段 （ ） ｏ 一１ 的终止历元． 由于在 （ 一１ 和 两个 时间段 中采用不 同的权 系统 ，用 （） ） １ 式计算 的 ＴＡ（ ） ｔ 就不 ｏ 会满足 （ 式的两个条件， （ 式须改为： ２ ） １ ）
１ 引言
世界时、历书时都是以天体的基本运动规律为基础的一种时间尺度 ［． １ 原子钟的发 ］ 明，使传统的天文测时发生了根本性的转变，人们不再依赖宏观的天体运动，而是依赖 微观的物理规律测量时间．经过了几十年的发展，原子钟的技术有了很大的进展，目前 原子钟 频率稳 定度正 以每 ７年提 高一个 量级 的速度 在发展 ，同时较高频 率稳 定度 的毫秒 脉 冲星 的发现 ，激发 人们转而 去研 究脉冲星 时 间尺 度． １８ ９２年， Ｂ ｃｅ 等 【 发 现第一 ａｋｒ ］ 颗毫秒 脉 冲星 ，测量 到毫秒脉 冲星 Ｐ ＲＢ ９７ ２ 的旋 转周期 的相对 误差为 １－４这个 Ｓ １３＋ １ ０ ｌ， 精度不 差于原 子钟 的精 度 ，其稳 定度非 常好 ，这就 给人 们提供 了一 种利用 天文观 测高精 度计 时的手段 ．毫秒 脉 冲星是 自然界唯 一可 与量子频 标相 媲美 的一 种天 然 的频率 源，它 无须维 护 ，不会 由于人为 的原 因而停止 ，它是 一个天 然 的时钟，是最 有希 望和地 面原子 时系统进行比对的频率基准．脉冲星时间尺度可能成为一种有希望的时间尺度 ［． １ ］ 但是 由单脉 冲星定 义的脉冲 星时 间 Ｐ 受原 子 时误 差 、行星 历表 的不 确定性 、星际 介质传播、 宇宙初始背景引力波、 脉冲星 自身的不稳定性等几种噪声源的影响 ［｛ ３ 除原子 ］ 时本身 的 噪声 外，可 认 为其他 的噪声源对 不 同的脉 冲星是 独立 的．这 样就 可 以通 过对 多 颗脉冲星定义的脉冲星时 Ｐ 加权平均建立综合脉冲星时间 Ｐ 。］ 互 ［ｊ ４ 来削弱各独立噪声 源的影响．正如利用综合原子时的算法来削弱单个原子钟噪声的影响，从而提高原子时 的频率稳定度一样．对于综合脉冲星时，除了经典的加权算法以外，下面将提出一种新 的小波 分析 的算 法，以期达 到更好 的效果 ．
常用小波的分类剖析
0
6
4
-0.2 2
-0.4
0
-4 -2
0
2
4
0
0.5
1
墨西哥草帽小波，(a)时域波形，(b)频谱
2020/11/8
12
2.常用的基本小波
Mexican hat小波不是紧支撑的，不是
正交的，也不是双正交的，但它是对称 的，可用于连续小波变换。由于该小波 在 处0 有二阶零点，因此它满足容许 条件，且该小波比较接近人眼视觉的空 间响应特征
Haar小波是不连续小波，由于 t (t)dt 0 ， 因此处() 只有一阶零点 0 ，这就使 得Haar小波在实际的信号分析与处理中 受到了限制。
2020/11/8
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2.常用的基本小波
Morlet小波
Morlet小波定义为
(t) et2 / 2e jt
其傅里叶变换
() 2 e(0 )2 / 2
(t), (2 j t) 0 • Haar波是对称的。系统的单位冲击响应若具有对称性，
则该系统具有线性相位，这对于去除相位失真是非常有 利的。Haar小波是目前唯一一个既具有对称性又是有限 支撑的正交小波；
• Haar小波仅取＋1和－1，计算简单。
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2.常用的基本小波
➢ Haar小波缺点
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2.常用的基本小波
Haar小波
Haar小波来自于数学家Haar于1910年提出的 Haar正交函数集，其定义是：
1
(t) 1
0
0 t 1/ 2
1/
2
t
1
其它
其波形如图所示。 (t的) 傅里叶变换是：
小波分析考试题(附答案)
似，因此系数c 可以反映这种波形的相关程度；步骤3: 把小波向右移，距离为 ，得到的小波函数为 ，然后重复步骤1和2。
再把小波向右移，得到小波 ，重复步骤1和2。
按上述步骤一直进行下去，直到信号 结束；步骤4: 扩展小波 ，例如扩展一倍，得到的小波函数为 ；步骤5: 重复步骤1~4。
五、阐述多分辨分析的思想并给出MALLAT 算法的表达式。
（10分）答：Meyer 于1986年创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，其二进制伸缩与平移构成L2 (R )的规范正交基，才使小波得到真正的发展。
1988年S.Mallat 在构造正交小波基时提出了多分辨分析（Multi-Resolution Analysis ）的概念，从空间的概念上形象地说明了小波的多分辨率特性， 将此之前的所有正交小波基的 构造法统一起来，给出了正交小波的构造方法以及正交小波变化的快速算法，即Mallat 算法。
Mallat 算法在小波分析中的地位相当于快速傅立叶变换算法在经典傅立叶分析中的地位。
定义：空间 L2 ( R) 中的多分辨分析是指 L2 ( R) 满足如下性质的一个空间序列Z ∈j j }{V ：（1）单调性： ⊂⊂⊂⊂-101V V V ；（2）逼近性：)(},0{2R L V V j Zj j Zj ==∈∈ ；（3）伸缩性：1)2()(+∈⇔∈j j V t f V t f ；（4）平移不变性：j j V t f V t f ∈-⇒∈)1()(，Z k ∈∀；（5）存在函数0)(V t g ∈，使得Z k k)}-{g(t ∈构成0V 的Riesz 基。
满足上述个条件的函数空间集合成为一个多分辨分析， 如果)(t g 生成一个多 分辨分析，那么称)(t g 为一个尺度函数。
关于多分辨分析的理解，我们在这里以一个三层的分解进行说明，其小波分解树如图所示。
从图可以明显看出，多分辨分析只是对低频部分进行进一步分解，而高 频部分则不予以考虑。
小波相干性分析
综 述小波相干分析及其应用摘 要：将小波变换与相干分析相结合构成的小波相干分析，探测Fourier 相干无法探测的特征信息，小波相干分析不仅能提供傅立叶分析类似的谱图，还能捕捉信号之间短时相互作用，因此小波相干分析在临床上的应用越来越广泛。
本文主要介绍小波相干分析方法以及在生活中的应用。
关键词：小波分析；相干分析；小波相干；脑电信号；肌电信号1 引言随着科技的进步，信号处理在我们的生活中的作用越来越明显。
在临床方面，脑电信号和肌电信号的分析，不仅有助于医师诊断病人的身体状况，而且还可以帮助医师进行康复工作。
但因为生理信号是一种非常复杂的信号，信号本身非常微弱，稳定性较差，随机性很强，因而传统的Fourier 相干在分析这些信号时存在一定的局限性[1-2]。
小波分析方法对非平稳信号的特殊处理能力，使其在脑电和肌电信号的分析和处理中显示出极大的优越性。
因此与相干分析相结合构成小波相干分析，既能够获取待分析信号的幅值和相位信息，又能够衡量相干性随时间的变化规律[3-4] 。
2 相干分析对于两个复随机信号x 和y ，相干性系数定义为功率谱密度(power-spectrum density ，PSD) 和互谱密度(cross-spectrum density ，CSD ) 的函数，计算公式如下:(1)公式(1) 中,P xx (f)和P yy (f)分别表示信号x 和信号y 的PSD,P xy (f)表示信号x 和y 之间的CSD ，PSD 是频率f 的实函数，而CSD 是f 的复函数。
Coh xy 表示信号x 和信号y 在频率f 处的相干性系数，式中0≤Coh xy ≤1，且Coh xy =0，x 和y 不相干;Coh xy =1，x 和y 完全相干。
相干性系数反映的是两信号之间的同步性相似性，或两信号的变化规律是否具有线性关系，该理论在地球物理雷达通信等方面都有着重要的应用，近年来也越来越多地应用于医学信号，如EEG 和EMG 。
小波与傅里叶分析基础
小波分析及其应用专业：电子信息工程班级：姓名：学号：2012年05月22日《小波与傅里叶分析基础》全面论述了小波变换和分数傅里叶变换的基本原理、基本方法和典型应用。
它们都是从经典傅里叶变换发展起来的，并从不同的角度改进了傅里叶变换。
小波变换的主要特点是在一般科学意义上的时-频局部化分析，通过尺度从粗到细的不断变化，小波变换可以逐步聚焦到分析对象的任何细节，把对象中存在的任何变化充分展示出来。
因此，小波变换在科学界享有“数学显微镜”的美称。
分数傅里叶变换是经典傅里叶变换的另一种改进方式。
它的主要特点是提供研究对象从时间域到频率域全过程的综合描述，随着阶数从0连续增长到1，分数傅里叶变换展示出研究对象从纯时间域逐步变化到纯频率域的所有变化特征。
因此，分数傅里叶变换提供了远比傅里叶变换多得多的可供选择的数据处理和分析方法。
事实上小波分析的应用领域十分广泛，它主要包括如下几个方面：(1) 小波分析用于信号与图象压缩是小波分析应用的一个重要方面。
它的特点是压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持信号与图象的特征不变，且在传递中可以抗干扰。
基于小波分析的压缩方法很多，比较成功的有小波包最好基方法，小波域纹理模型方法，小波变换零树压缩，小波变换向量压缩等。
(2) 小波在信号分析中的应用也十分广泛。
它可以用于边界的处理与滤波、时频分析、信噪分离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺度边缘检测等。
(3) 在工程技术等方面的应用。
包括计算机视觉、计算机图形学、曲线设计、湍流、远程宇宙的研究与生物医学方面。
以下是本人对《小波与傅里叶分析基础》与电子信息工程的联系与应用的一些浅显认识。
小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起的。
现在，它已经在科技信息产业领域取得了令人瞩目的成就。
电子信息技术是六大高新技术中重要的一个领域，它的重要方面是图象和信号处理。
现今，信号处理已经成为当代科学技术工作的重要部分，信号处理的目的就是：准确的分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精确地重构。
小波变换的特征值
小波变换的特征值小波变换（Wavelet Transform）是一种经典的信号分析方法，在时频域上具有很好的局部化特性。
通过将信号分解成不同尺度的频带，小波变换能够提供关于信号的时间和频率信息。
特征值是小波变换的重要指标之一，它能够描述信号在不同尺度上的变化程度。
在小波变换中，特征值是指衡量信号局部频率特性的定量指标。
常用的特征值包括能量特征值、频率特征值和时频集中度特征值等。
1. 能量特征值：能量特征值描述了信号在不同尺度上的能量分布情况。
通常通过对小波系数进行平方和累加得到。
能量特征值越大，表示信号在该尺度上的能量越高。
2. 频率特征值：频率特征值衡量了信号在不同尺度上的频率变化规律。
常用的频率特征值包括最大频率、平均频率和频率带宽等。
最大频率指的是信号在某个尺度上的最高频率分量，平均频率表示信号在所有尺度上的平均频率。
频率带宽则描述了信号在某个尺度上的频率范围。
小波变换的特征值在信号处理和模式识别等领域具有广泛应用。
以下是一些典型的应用场景：1. 信号处理：特征值可用于区分不同信号的频率特性和能量分布，从而实现信号去噪、特征提取等任务。
2. 图像处理：特征值可用于图像的边缘检测、纹理分析、图像压缩等任务。
3. 模式识别：特征值可用于描述信号的时频特性，进而用于分类、识别等任务。
4. 数据分析：特征值可用于分析时间序列数据的时频变化规律，如金融市场数据分析、生物信号分析等。
总结：小波变换的特征值是衡量信号在不同尺度上的频率和能量特性的定量指标。
这些特征值在信号处理、图像处理、模式识别和数据分析等领域有着广泛的应用价值，为进一步研究信号的时频特性提供了重要的工具。
(整理)小波分析报告
小波方法年级：研一专业：高压姓名：吕树明学号：0920300072第1章绪论小波分析(Wavelet Analysis)即小波变换是80年代中期发展起来的一门新兴的数学理论和方法，它被认为是傅立叶分析方法的突破性进展，它具有许多优良的特性。
小波变换的基本思想类似于Fourier变换，就是用信号在一族基函数张成的空间上的投影表征该信号。
经典的Fourier变换把信号按三角正、余弦基展开，将任意函数表示为具有不同频率的谐波函数的线性迭加，能较好地刻划信号的频率特性，但它在时空域上无任何分辨，不能作局部分析，这在理论和应用上都带来了许多不便。
小波分析优于傅立叶之处在于，小波分析在时域和频域同时具有良好的局部化性质，因为小波函数是紧支集，而三角正、余弦的区间是无穷区间，所以小波变换可以对高频成分采用逐渐精细的时域或空间域取代步长，从而可以聚焦到对象的任意细节。
因此，小波变换被誉为分析信号的显微镜，傅立叶分析发展史上的一个新的里程碑。
小波分析是一个新的数学分支，它是泛函分析、傅立叶分析、数值分析的最完美结晶;在应用领域，特别是在信号处理、图象处理、语音分析、模式识别、量子物理、生物医学工程、计算机视觉、故障诊断及众多非线性科学领域都有广泛的应用。
AbstractWavelet Analysis (order Wavelet), Wavelet transform is mid 80's developed a new mathematical theory and method, it is believed to be the Fourier Analysis method, it is the breakthrough of many excellent properties. The basic thought of wavelet transform is similar with Fourier signal in gens function of space projection lodged open like the signal representation. The Fourier transform of the classical signal by triangle is, the yankees will be arbitrarily, cosines with different frequency function for the linear superposition of harmonic function, can characterize the signal frequency characteristics, but when it without any resolution airspace, cannot make local analysis, it in theory and application are brought much inconvenience. Wavelet analysis is superior to Fourier, wavelet analysis in time domain and frequency domain, also have good properties, because the localization of wavelet function is tight, and triangle is a collection of interval is infinite, cosine interval, so the wavelet transformation of high frequency components can be refined by gradually replacing time or space domain, which can step length on any object to details. Therefore, the wavelet transform is regarded as the microscope, the analysis of signal in the history of the Fourier analysis, a new milestone. Wavelet analysis is a new branch of mathematics, it is the functional analysis, Fourier analysis, numerical analysis of the most perfect, In the fields of application, especially in the image processing and signal processing, analysis and pattern recognition, quantum physics, biomedical engineering, computer vision, fault diagnosis and nonlinear science is widely used in the field.Key words: wavelet Analysis, harmonic function, diagnosis第2章 傅立叶变换2.1周期信号的傅里叶级数任一满足狄利克雷条件的周期信号()f t （1T 为其周期）可展开为傅里叶级数。
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时间序列-小波分析时间序列（Time Series ）是地学研究中经常遇到的问题。
在时间序列研究中，时域和频域是常用的两种基本形式。
其中，时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；频域分析（如Fourier 变换）虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析。
然而，地学中许多现象（如河川径流、地震波、暴雨、洪水等）随时间的变化往往受到多种因素的综合影响，大都属于非平稳序列，它们不但具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及“多时间尺度”结构，具有多层次演变规律。
对于这类非平稳时间序列的研究，通常需要某一频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息。
显然，时域分析和频域分析对此均无能为力。
20世纪80年代初，由Morlet 提出的一种具有时-频多分辨功能的小波分析（Wavelet Analysis ）为更好的研究时间序列问题提供了可能，它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期，充分反映系统在不同时间尺度中的变化趋势，并能对系统未来发展趋势进行定性估计。
目前，小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应。
在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分形维数的计算，突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。
一、小波分析基本原理1. 小波函数小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。
因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数)R (L )t (2∈ψ且满足：⎰+∞∞-=0dt )t (ψ （1）式中，)t (ψ为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系：)abt (a)t (2/1b ,a -=-ψψ 其中，0a R,b a,≠∈ （2） 式中，)t (b ,a ψ为子小波；a 为尺度因子，反映小波的周期长度；b 为平移因子，反应时间上的平移。
需要说明的是，选择合适的基小波函数是进行小波分析的前提。
在实际应用研究中，应针对具体情况选择所需的基小波函数；同一信号或时间序列，若选择不同的基小波函数，所得的结果往往会有所差异，有时甚至差异很大。
目前，主要是通过对比不同小波分析处理信号时所得的结果与理论结果的误差来判定基小波函数的好坏，并由此选定该类研究所需的基小波函数。
2. 小波变换若)t (b ,a ψ是由（2）式给出的子小波，对于给定的能量有限信号)R (L )t (f 2∈，其连续小波变换（Continue Wavelet Transform ，简写为CWT ）为：dt )abt (f(t)a)b ,a (W R2/1-f ⎰-=ψ （3）式中，)b ,a (W f 为小波变换系数；f(t)为一个信号或平方可积函数；a 为伸缩尺度；b 平移参数；)a b x (-ψ为)abx (-ψ的复共轭函数。
地学中观测到的时间序列数据大多是离散的，设函数)t k (f ∆，（k=1,2,…,N; t ∆为取样间隔），则式（3）的离散小波变换形式为：)ab-t k (t)f(k t a)b ,a (W N1k 2/1-f ∆∆∆=∑=ψ （4） 由式（3）或（4）可知小波分析的基本原理，即通过增加或减小伸缩尺度a 来得到信号的低频或高频信息，然后分析信号的概貌或细节，实现对信号不同时间尺度和空间局部特征的分析。
实际研究中，最主要的就是要由小波变换方程得到小波系数，然后通过这些系数来分析时间序列的时频变化特征。
3. 小波方差将小波系数的平方值在b 域上积分，就可得到小波方差，即db)b a,(W )a (Var 2f ⎰∞∞-=(5)小波方差随尺度a 的变化过程，称为小波方差图。
由式(5)可知，它能反映信号波动的能量随尺度a 的分布。
因此，小波方差图可用来确定信号中不同种尺度扰动的相对强度和存在的主要时间尺度，即主周期。
二、小波分析实例-时间序列的多时间尺度分析(Multi-time scale analysis)例题河川径流是地理水文学研究中的一个重要变量，而多时间尺度是径流演化过程中存在的重要特征。
所谓径流时间序列的多时间尺度是指：河川径流在演化过程中，并不存在真正意义上的变化周期，而是其变化周期随着研究尺度的不同而发生相应的变化，这种变化一般表现为小时间尺度的变化周期往往嵌套在大尺度的变化周期之中。
也就是说，径流变化在时间域中存在多层次的时间尺度结构和局部变化特征。
表1给出了某流域某水文观测站1966-2004年的实测径流数据。
试运用小波分析理论，借助Matlab6.5、suffer8.0和相关软件（Excel等），完成下述任务：⑴计算小波系数；⑵绘制小波系数图（实部、模和模方）、小波方差图和主周期变化趋势图，并分别说明各图在分析径流多时间尺度变化特征中的作用。
表1 某流域某水文观测站1966-2004年实测径流数据（×108m3）年份径流量年份径流量年份径流量年份径流量年份径流量1966 1.438 1974 2.235 1982 0.774 1990 1.806 1998 1.709 1967 1.151 1975 4.374 1983 0.367 1991 0.449 1999 0.000 1968 0.536 1976 4.219 1984 0.562 1992 0.120 2000 0.000 1969 1.470 1977 2.590 1985 3.040 1993 0.627 2001 2.104 1970 3.476 1978 3.350 1986 0.304 1994 1.658 2002 0.009 1971 4.068 1979 2.540 1987 0.728 1995 1.025 2003 3.177 1972 2.147 1980 0.807 1988 0.492 1996 0.955 2004 0.921 1973 3.931 1981 0.573 1989 0.007 1997 1.341分析1. 选择合适的基小波函数是前提在运用小波分析理论解决实际问题时，选择合适的基小波函数是前提。
只有选择了适合具体问题的基小波函数，才能得到较为理想的结果。
目前，可选用的小波函数很多，如Mexican hat小波、Haar小波、Morlet小波和Meyer小波等。
在本例中，我们选用Morlet连续复小波变换来分析径流时间序列的多时间尺度特征。
原因如下：1.1 径流演变过程中包含“多时间尺度”变化特征且这种变化是连续的，所以应采用连续小波变换来进行此项分析。
1.2实小波变换只能给出时间序列变化的振幅和正负，而复小波变换可同时给出时间序列变化的位相和振幅两方面的信息，有利于对问题的进一步分析。
1.3 复小波函数的实部和虚部位相差为π/2，能够消除用实小波变换系数作为判据而产生的虚假振荡，使分析结果更为准确。
2. 绘制小波系数图、小波方差图和主周期变化趋势图是关键当选择好合适的基小波函数后，下一步的关键就是如何通过小波变换获得小波系数，然后利用相关软件绘制小波系数图、小波方差图和主周期变化趋势图，进而根据上述三种图形的变化识别径流时间序列中存在的多时间尺度。
具体步骤1. 数据格式的转化2. 边界效应的消除或减小3. 计算小波系数4. 计算复小波系数的实部5. 绘制小波系数实部等值线图6. 绘制小波系数模和模方等值线图7. 绘制小波方差图8. 绘制主周期趋势图下面，我们以上题为例，结合软件Matlab 6.5、Suffer 8.0和Excel，详细说明小波系数的计算和各图形的绘制过程，并分别说明各图在分析径流多时间尺度变化特征中的作用。
1. 数据格式的转化和保存将存放在Excel表格里的径流数据（以时间为序排为一列）转化为Matlab 6.5识别的数据格式（.mat）并存盘。
具体操作为：在Matlab 6.5 界面下，单击“File-Import Data”，出现文件选择对话框“Import”后，找到需要转化的数据文件（本例的文件名为runoff.xls），单击“打开”。
等数据转化完成后，单击“Finish”，出现图1显示界面；然后双击图1中的Runoff，弹出“Array Editor: runoff”对话框，选择File文件夹下的“Save Workspace As”单击，出现图2所示的“Save to MAT-File:”窗口，选择存放路径并填写文件名（runoff.mat），单击“保存”并关闭“Save to MAT-File”窗口。
图1 数据格式的转化图2数据的保存2. 边界效应的消除或减小因为本例中的实测径流数据为有限时间数据序列，在时间序列的两端可能会产生“边界效用”。
为消除或减小序列开始点和结束点附近的边界效应，须对其两端数据进行延伸。
在进行完小波变换后，去掉两端延伸数据的小变换系数，保留原数据序列时段内的小波系数。
本例中，我们利用Matlab 6.5小波工具箱中的信号延伸（Signal Extension ）功能，对径流数据两端进行对称性延伸。
具体方法为：在Matlab 6.5界面的“Command Window ”中输入小波工具箱调用命令“Wavemenu ”，按Enter 键弹“Wavelet Toolbox Main Menu ”（小波工具箱主菜单）界面（图３）；然后单击“Signal Extension ”，打开Signal Extension / Truncation 窗口，单击“File ”菜单下的“Load Signal ”，选择runoff.mat 文件单击“打开”，出现图4信号延伸界面。
Matlab 6.5的Extension Mode 菜单下包含了6种基本的延伸方式（Symmetric 、Periodic 、Zero Padding 、Continuous 、Smooth and For SWT ）和Direction to extend 菜单下的3种延伸模式（Both 、Left and Right ），在这里我们选择对称性两端延伸进行计算。
数据延伸的具体操作过程是：在Extension Mode 下选择“ Symmetric ”，Dircetion to extend 下选择“Both ”，单击“Extend ”按钮进行对称性两端延伸计算，然后单击“File ”菜单下的“Save Tranformed Signal ”，将延伸后的数据结果存为erunoff.mat 文件。
从erunoff 文件可知，系统自动将原时间序列数据向前对称延伸12个单位，向后延伸13个单位。
3. 计算小波系数图3 小波工具箱主菜单图4 径流时间序列的延伸选择Matlab 6.5小波工具箱中的Morlet复小波函数对延伸后的径流数据序列（erunoff.mat）进行小波变换，计算小波系数并存盘。