“绪论课”——打开《高等数学》殿堂的金钥匙

“绪论课”——打开《高等数学》殿堂的金钥匙摘要:学好高等数学是学好其它各门专业课的必备条件,第一堂课是学好高等数学的关键。本文通过三个方面就如何上好高等数学绪论课做了相关的探讨。

关键词:高等数学绪论课发展史

《高等数学》是各专业必修的一门重要基础课,要学好高等数学,必须打破原有的思维定势,建立新的思维结构。作为高等数学老师,如何使学生转变思维,并激发学生的求知欲,充分调动学生的学习积极性,就显得尤为重要。这也使得高等数学的第一堂课尤其重要,从而必须设计一堂富有启发性和鼓励性的“绪论课”。

高等数学绪论课应该包括如下几个方面。

1 高等数学与初等数学的区别

要打破原有的思维定势,了解高等数学与初等数学的区别是关键。中学数学与高等数学的不同主要体现在两个方面:

变与不变。中学数学研究的是从古希腊继承下来的旧数学,它的研究对象是静态的、不变的,是关于常量的数学,只涉及固定的和有限的量;而高等数学的研究对象是动态的、变化的,是关于变量的数学,包含了运动、变化和无限。

有限与无限。中学数学大多地在“有限”领域里,以“有限”为手段和工具进行讨论;而高等数学更多的是在“无限”领域里,以“无限”为手段和工具进行讨论。

芝诺悖论(Zeno´s paradoxes)是古希腊数学家芝诺(Zeno of Elea)提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论。这些悖论中最著名的两个是:“阿基里斯跑不过乌龟”和“飞矢不动”。这些方法现在可以用微积分(无限)的概念解释。

例1:飞矢不动。

芝诺认为箭在每一瞬间都要占据一定的空间位置,即每一瞬间都是静止的。既然每一瞬间都是静止的,又怎么可能动呢？芝诺是想用这个例子说明世界是静止的、不变的。

这个悖论的标准解决方案如下:箭在每个时刻都不动这一事实不能说明它是静止的。运动与时刻里发生什么无关,而是与时刻间发生什么有关。如果一个物体在相邻时刻在相同的位置,那么我们说它是静止的,反之它就是运动的。

例2:阿基里斯追不上乌龟。

芝诺可以证明,如果让乌龟先爬出一段距离,那么阿基里斯永远也追不上乌龟。

芝诺是这样证明的。假设乌龟先爬出一段距离到达点,阿基里斯

要想追上乌龟,首先得跑到点。当阿基里斯跑过距离到达点时,乌龟同时又爬出一段距离到达点。这样下去,阿基里斯(博尔特)跑到点时,乌龟又爬到点了。如此这般,阿基里斯永远也追不上乌龟了。

这当然与常理矛盾,问题的症结出在哪里呢？症结就在于无限段长度的和,可能是有限的。表面上看起来阿基里斯要想追上乌龟需要跑无穷段路,所以感觉永远也追不上。实际上这无穷段路程的和却是有限的,所以阿基里斯跑完这段有限的路程后,其实已经追上乌龟了。

2 介绍高等数学发展史

17世纪正是由中世纪向新时代过渡的时期。资本主义开始发展,并成为与封建制度作斗争的先进力量。精密科学从当时的生产与社会生活中获得巨大动力。航海学的发展引起了人们对天文学及光学的高度兴趣。造船学,机器制造与建筑,堤坝及运河的修建,弹道学及一般的军事问题等等,促进了力学的发展。天文学,力学,光学以及工业技术本身,又要求对当时的数学作彻底的革新。

研究的开始是“手工业”式的。建立每一个个别的结果都要采取特殊的方法。随着时间的推移情况逐渐有所改变,终于出现了用一般的方法去解同一类型的问题,建立了各问题之间的联系,弄清楚了一些基本概念。而且微分学与积分学是相互独立地发展起来的,最后在牛顿和莱布尼兹手中建立了二者的联系,完成了微积分的创立。

促使微积分产生的主要因素是什么呢？当时科学面临的主要问题是什么呢？下面四类问题为大家提供了解答。

已知物体运动的路程与时间的关系,求物体在任意时刻的速度和加速度。反过来,已知物体运动的加速度与速度,求物体在任意时刻的速度与路程。

求曲线的切线。这是一纯几何的问题,但对于科学应用具有重大意义。例如,在光学中,透镜的设计就用到曲线的切线和法线的知识。在运动中也遇到曲线的切线问题。原有的切线定义对于17世纪所用的比较复杂的曲线已经不适用了。

求函数的最大值和最小值问题。在弹道学中这涉及到炮弹的射程问题。在天文学中涉及到行星和太阳的最近和最远距离问题。

求积问题。求曲线的弧长,曲线所围区域的面积,曲面所围的体积、物体的重心等。这些问题在古希腊已开始研究,但他们的方法缺乏一般性。

上述变速直线运动的瞬时速度问题及其求解方法是微积分中微分问题的典型代表,微分学的基本概念—导数,就是从这类问题抽象出来的上述平面图形面积的求解方法是微积分中积分问题的典型代表,积分学中的基本概念—定积分,就是从这类问题抽象出来的。以上两例求解的思想方法就是微积分思想方法的具体体现。

3 怎样学习高等数学

学习微积分不仅要学习基本知识、掌握基本技能和能力,更要体会其中所蕴含的思想方法,并将这种思想方法迁移到其他学科和解决实际问题上去。

学习微积分不同于学习算术、代数和几何。在这些课程中主要学习怎样计算数、怎样简化代数表达式以及计算变量;及怎样对平面上的点、线和图形进行推理。高等数学需要这些方法和技巧,但也要以更大的精确性以及在更深层次上发展其他的方法和技巧。高等数学引进了如此多的新概念和计算操作。事实上已经不可能在课堂上学习所需要的所有内容,必须依靠自学或和其他学生一起学习相当多的内容。

4 结语

上一次好的绪论课,可使学生充分认识到学习《高等数学》的重要性和必要性, 并可使学生对利用数学工具解决问题的有效性获得深入的认识,从而对这门课产生较浓厚的学习兴趣。爱因斯坦曾说过“兴趣是最好的老师”,对《高等数学》这门课产生了兴趣,也就为学好这门课奠定了基础。

参考文献

[1] 陈鼎兴．数学思维与方法[M].南京:东南大学出版社,2001.

[2] 高山.上帝真的掷骰子[M].北京:清华大学出版社,2009.

[3] 王正萍．浅谈《高等数学》绪论课的教学[J].滁州职业技术学院学报,2003,2(1):73～75.