“绪论课”——打开《高等数学》殿堂的金钥匙
高等数学(绪论)
基本原理是高等数学的核心，需要熟 练掌握。在学习过程中，要注重对定 理、公式的推导和证明，理解其逻辑 和证明过程。
多做习题，培养解题能力
做习题
通过大量练习习题，可以加深对知识点 的理解和掌握，培养解题能力和技巧。 在练习过程中，要注重对题目的理解和 分析，掌握解题思路和方法。
VS
解题能力
推理思维的培养需要学生注重观察和实验，从具体问题中寻找规律和线索，通过归纳和总结得出一般 性的结论。同时，学生还需要注重培养自己的创造性思维，能够从不同角度和思路出发进行思考和探 索。
04
高等数学的学习方法
理解概念，掌握基本原理
理解概念
高等数学中的概念通常比较抽象，需 要深入理解。在学习过程中，要注重 对概念的解释和推导，理解其本质含 义和应用场景。
05
高等数学的重要性和意义
对其他学科的影响
物理学
高等数学提供了描述物理现象和规律的数学语言， 如微积分、线性代数和微分方程等。
工程学
高等数学是解决复杂工程问题的关键工具，如流 体力学、结构力学和航空航天工程等。
经济学
高等数学在经济学中广泛应用，如统计分析、计 量经济学和决策理论等。
对个人发展的影响
高等数学是大学理工科、经济学、管 理学等学科的重要基础课程，对于培 养学生的逻辑思维、分析问题和解决 问题的能力具有重要意义。
高等数学的应用领域
物理学 高等数学在物理学中有广泛应用， 如力学、电磁学、光学等领域都 需要用到高等数学的知识。
计算机科学 计算机科学中，高等数学主要用 于算法设计、数据结构、图像处 理等领域，有助于提高计算机科 学和技术的水平。
联系
高等数学与初等数学有着密切的联系，初等数学是高等数学的基础。高等数学中的许多概念和方法都 是在初等数学的基础上发展起来的，同时高等数学也为解决初等数学中的问题提供了更为深入和有效 的方法。
高等数学课程学习指导(部分)
《高等数学》课程学习指导（部分）绪论《高等数学》(基本内容是微积分)是同学们来到大学要学习的第一门数学课，也是理工科院校大学生最重要的基础课之一。
在开始学习这门课程的时候，如果对该课程研究的对象是什么及研究的基本思想方法是什么能有一个初步的了解，那么，对今后如何学习该课程是大有好处的！如果将学习这门课看作是对微积分这座神秘的科学殿堂的一次探索，那么，这个绪论就是为了大家描绘一张简单的导游图！本次课的目的就是向同学们简要介绍微积分研究的对象和基本思想在此基础上，我们还将简要说明本课程的教学方法，并就如何学习这门课程向同学们提几点建议。
一、教学内容微积分研究的对象和方法，关于本课程的教学方法和学习方法。
二、教学要求1．了解初等数学研究的对象是：常数或常量，简单的规则几何形体(如直线、直边形、直面形等)，而高等数学研究的对象是：变数或变量、函数，复杂的不规则几何形体(如曲线、曲面、曲边形、曲面形等)。
2．初步理解微积分的基本研究方法——微元分析法，即(1) 在微小局部，“以匀代不匀”，求得所求量的近似值；(2) 通过极限，将近似值转化为精确值。
3．导数是研究函数在一点处变化的快慢程度(变化率)。
在均匀变化情况下，需用除法计算的量，在非均匀变化的情况下，往往可用导数来计算，因此，导数可看作初等数学中商(除法)的推广；积分是研究函数在某一区间内变化的大小，它可看作初等数学中积(乘法)的推广。
4．函数是微积分研究的对象，极取是微积分的理论基础。
5．学习方法的建议：(1) 培养自学的能力，在学习过程中特别要特别注重概念、理论和思想方法的理解；(2) 勤于思考，敢于和善于发现问题，大胆提出问题，发表自己的见解，培养自己的创新精神和创新能力。
(3) 培养应用数学的意识、兴趣和能力。
第一章映射与函数，极限与连续函数(18-20学时)函数是微积分研究的对象，它刻画了客观世界变量之间相互联系相互依赖的关系；极限是刻画变量在变化过程中的变化趋势，它既是一个重要概念，又是学习微积分的重要工具和思想方法；函数的连续性是借助于极限概念揭示出来的变量在变化过程中的一个基本性态，连续函数是微积分研究的主要对象。
数学——打开经济殿堂大门的黄金钥匙
数学——打开经济殿堂大门的黄金钥匙经济学院金融学系李敏 0511741在经济学历史上，数学是自始至终陪伴着经济学发展的重要工具。
许许多多的经济学家都是伟大的数学家，因此我称数学是打开经济殿堂大门的黄金钥匙。
虽然我们接触的经济学知识还很肤浅，但是就是在这浅显的知识里，数学已展现出它强大的魅力。
以下我只从几个方面浅显地谈谈数学在经济学中的应用。
在西方经济学中，厂商的决策目标被假定为获取尽可能多的利润。
所谓利润最大化原则就是指企业追求最大化利润时所遵循的经营准则，这个准则是把收益和成本结合起来分析得出的，具体说就是企业产出量的边际收益等于边际成本：MR=MC。
边际收益（MR）是指厂商增加销售一单位商品或劳务而获得的货币收入，MR=△TR/△Q=dR/dQ ，其数学含义实际是总收益对于产量的一阶导数。
如果用п表示利润，Q表示产量，R表示收益，C表示成本，则利润为:п=R(Q)-C(Q),即п是Q的函数。
根据微积分原理，得出利润最大化的充要条件是：dп/dQ=dR/dQ-dC/dQ=0，dR/dQ=dC/dQ，即：MR=MC。
经济学中资本的计算是十分重要的，制定一个方案，有些人对利润及贴现问题欠考虑，这是很忌讳的。
经济学家采用的基本方法是以“今天的一美元比明天的一美元价值更高”为前提的。
如果你今天得到一美元，将其存入银行年末便得到１.1美元（假定利率为１０﹪）。
这样，今天的一美元相当于第二年的1.1美元，第三年的1.21美元，即你在今天得到１美元和两年后得到1.21美元是无差别的。
用将来的收入和支出来评价方案，必须用贴现系数乘上这些收入和支出。
贴现系数为一个小于１的数，它使将来的收入和支出与现在的等价。
获利的期限越长，贴现系数越小。
支出的贴现系数在第二年正好是1/(1+r),其中r是利息率（假定r=0.10，贴现系数为1/1.1=0.9）,第三年的支出贴现系数为1/(1+r)2（我们举例中的1/1.21）。
高等数学绪论课
y = 2 x − 1是怎
⑤ 图中阴影部分的图形绕 x 轴 ( 或 y 轴 ) 旋转一周的立体 的表面积是多少(用二重积分的应用) 的表面积是多少(用二重积分的应用)？ ⑥ 无穷多个数相加的和仍然是一个数吗(用级数)？ 无穷多个数相加的和仍然是一个数吗(用级数) 两电线杆之间的电线的长度是多少(用定积分的应用、 ⑦ 两电线杆之间的电线的长度是多少(用定积分的应用、 微分方程)？ 微分方程)
4. 提醒你们注意：
不要成为这样一种学生： 课上听的明明白白、 不要成为这样一种学生 ： 课上听的明明白白 、 课下练的轻轻松松、 考试感到玄玄乎乎、 课下练的轻轻松松 、 考试感到玄玄乎乎 、 考后忘 的干干净净。 的干干净净。 没有目的的学习是没有动力的前进（靠惯性） 没有目的的学习是没有动力的前进（靠惯性）； 没有兴趣的学习是痛苦的折磨（进步慢）。 没有兴趣的学习是痛苦的折磨（进步慢）。
一、《高等数学》学什么？ 高等数学》学什么？
1.问题:(如图) 问题: 如图)
① y = x2 这条曲线在点 B (1, 1)处的切线方程 样得到的(用极限、导数) 样得到的(用极限、导数)？ ②图中阴影部分的面积( ) 是怎样计算的( 用极限、 是怎样计算的 ( 用极限 、 不定积 定积分) 分、定积分)？ ③ OB 弧的长度是如何求出 用定积分的应用) 的(用定积分的应用)？ ④ 图中阴影部分的图形绕 x轴(或 y 轴)旋转一周的立体的 体积有计算公式吗(用定积分的应用、二重积分。 体积有计算公式吗(用定积分的应用、二重积分。)？
八、也论“素质” 也论“素质”
素质有三部分组成：知识(30% 见识(40% 素质有三部分组成：知识 (30%)、见识(40%)、组 织管理能力(30% 而在知识的积累中， 织管理能力 (30%) 。 而在知识的积累中 ， 中小学 积累的知识占整个知识的10 10% 大学( 积累的知识占整个知识的10%，大学(包括四年本 10% 三年硕士研究生10 10% 科 10% 、 三年硕士研究生 10% 、 三年博士研究生 和一年半的博士后10 10% 和一年半的博士后10%)积累的知识占整个知识的 30% 工作以后知识的再积累占整个知识的60 60% 30%，工作以后知何考硕士研究生？ 如何考硕士研究生？
教给学生开启数学殿堂的金钥匙
教给学生开启数学殿堂的金钥匙——有效的数学思想和方法素质教育是新时代的中国为提高全民族素质而提出的教育改革之举。
未来社会是知识不断更新创新的社会，衡量一个人素质的高低就是看他的创新能力的高低。
素质教育的提出不仅能培养出适应未来要求的人才，而且是创新知识下的创新人才，所以我认为创新教育就是素质教育的核心内容，加强对学生创新能力的培养是素质教育的关键任务。
学生的创新由何而来，对于教育战线的我们来说，就要做好组织者、引导者、合作者，在教育教学过程中要不断向学生传授思想和方法，这样学生才会在不断地学习生活中羽翼丰盈展翅高飞，创新能力就会得到充分的发展。
现我就所教数学学科谈一谈如何培养学生的创新能力。
一、着重教给学生数学学习的思想与方法，引导学生自己去探求新知识学生是教学过程的主体，作为教师真正把学生看作是学习的主人，就要传授知识的过程中，渗入学习方法与学习思路的指导。
让学生自己去获取知识，去发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。
例如：在教学组合图形面积这一课时，我采用自主探究合作交流的学习方式。
当我将课件中那个的实物图形抽象出侧面墙的平面图形，引出面积的计算后，我首先给学生充分的时间和空间让学生独立思考并自主探索组合图形面积的计算方案，再在组内交流。
因为著名数学家陈省身说过：数学是自己思考的产物，。
首先要自己思考起来，用自己的见解和别人的见解交换，会有很好的效果。
然后进行学生汇报，我用课件配合演示学生计算面积的方案，将分割的过程动态化，帮助学生理解组合图形面积的计算方法。
在生生交流中丰富学生解决问题的方案，进一步发展学生的空间观念。
可能出现的方案：1、一个三角形和一个正方形。
2、两个梯形。
3、填补成一个大长方形。
学生汇报后在进行方法的总结，使学生清楚的认识到计算组合图形的面积可以用割补的方法，转化为学过的一个或几个基本图形，用加一加或减一减的方法就可以计算出组合图形的面积了。
然后让学生选择自己喜欢的方案计算面积，并给出更加复杂的方案，此时学生在计算对比中总结出割补的最优方案，这样孩子在有了数学的基本思想和方法将来再面对图形提示就会信手拈来，学生会对数学的学习保持积极乐观的态度。
高等数学——绪论
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01 为何要学习高等数学 02 高等数学的学习内容 03 高等数学的教学特点
04 如何学习好高等数学
2.1 数学的发展历程
初等数学时期（公元前3世纪—公元17世纪），又称为常量数学时期。
第四部分
如何学好高等数学
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4.1 态度决定一切
学习态度要端正。
首先，要有信心，相
信自己通过努力能学
会。其次，要勤奋，
多花时间，多下功夫。
世上无难事，只怕有
心人。
第四部分
如何学好高等数学
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4.2 科学的学习方法
(1) 课前预习
高等数学的内容多，涉及的知识广而深，理论性强，每次两节 课的教学内容多且难，新生开始时会不适应，要想避免出现这 种局面，就要在课前预习。 预习时不是简单地看一遍课本，而是要细致地看每一个定义、 定理、例题，如果有时间可以做几道课后习题。在看书时要多
（1） 鸡生的蛋才叫鸡蛋； （2） 能孵出鸡的蛋和鸡生的蛋都叫鸡蛋。
第一部分
为何要学习高等数学
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1.2 高等数学的思维训练和数学素养培养功能
如果选择定义（1），自然是先有鸡，第一只鸡
是从某种蛋里出来的，只是这种蛋不是鸡生的，按定 义，不叫鸡蛋。 如果选择定义（2），一定是先有蛋。孵出了第 一只鸡的蛋，按定义是鸡蛋，可它并不是鸡生的。 从这个问题中可以得出，没有理性思维、逻辑 思维，很多问题都容易陷入怪圈。拿这种看似高深难 缠的哲学问题来折磨自己，其实就是庸人自扰，根源
主要研究的对象是常量或者均匀变化的问题。 例如：匀速运动问题（速度不变），匀加速运动问题（加速 度不变，速度均匀变化），直边图形（不弯曲），圆弧边图 形（均匀弯曲），有限次四则运算等。
《高等数学》课程思政案例：传授科学精神,挖掘辩证思想
《高等数学》课程思政案例：传授科学精神，挖掘辩证思想一、课程介绍《高等数学C》课程是面向我校经管类各本科专业学生开设的一门重要基础理论必修课。
学生通过本课程的学习，不仅能够获得微积分的基本概念、基本理论和基本运算技能，而且能够为后续课程奠定必要的数学基础。
此外，学生也能够逐步培养起抽象思维能力、逻辑推理能力和空间想象能力等，进而能够初步运用所学知识去提出问题、分析问题和解决问题。
二、课程思政教学特色与创新《高等数学C》课程学时多、时间长、影响大。
在授课过程中不仅培养学生对知识的理解，还能够培养学生的数学文化素养和对经济数学基本理论的理解。
同时也能教育学生，培养他们勇于克服困难的精神，用数学的严谨思维来引导教育学生做人做事，用数学家的经历鼓励学生努力学习，用微积分的发展史激励学生的民族自豪感和责任感，引领学生树立正确的价值观和人生观，鼓励他们努力成才，勇挑重担，成长为新时代中国特色社会主义经济建设的骨干力量，成为夺取新时代中国特色社会主义伟大胜利的主力军。
三、课程思政典型教学案例（一）结合身边发生的事件，向学生传授科学精神例如，在为2020级新生授课时的绪论课中，从我国政府和人民齐心抗疫出发，结合全球疫情形势，引出“科技战疫”，进而引出作为科技的基础之一---高等数学，与学生一起探讨。
（二）借助“中国高铁”引入基本概念，增强学生民族自豪感高铁已成为中国国家形象的一张名片，以风驰电掣的速度和运行的安全稳定而著称。
我们应该为中国高铁而自豪，我们更应该为国家强盛而感动！（三）联系我国著名数学家的成果，提升学生爱国热忱在学习极限的概念时，引入中国古代极限思想，用我国数学的辉煌成就（刘徽-割圆术、《庄子·天下》）来启发学生的爱国情怀，引导学生在时代和社会的发展中汲取养分，传承祖先文化，培养学生的责任意识，传承科学家的科学精神。
在学习零点定理与介值定理内容时，以我国数学大师华罗庚先生的优选法为例，说明介值定理的实际拓展应用。
数学学习的金钥匙
数学学习的金钥匙伟大的科学家爱因斯坦总结了成功的公式：成功=刻苦学习+正确的方法+少说废话。
方法就是你征服未知的工具。
伐木工人用斧头一个上午只能砍一棵树，而用电锯十分钟就搞定了。
做任何事情，只要方法得当，就能起到事半功倍的效果。
学习数学也是如此，只要同学们掌握了学习数学的好方法，学好数学将会变得异常轻松。
第一把钥匙手要勤。
俗话说的好：“好记性不如一个烂笔头。
”课堂上老师讲的知识点其实都是提纲挈领的要点，这些内容往往是老师精心备课，仔细推敲提炼出来的，对于学生的学习有重要的指导意义。
如果学生的手勤快些，能及时地把每节课的要点记录下来，以便随时复习，养成勤于做笔记的习惯，对于提高自己的学习能力将会有很大帮助。
第二把钥匙眼要细。
大家都知道，做题的第一步是审题，这也是做题的关键。
因此拿到题目后用眼一定要仔细。
在已有知识和经验的基础上逐字逐句地仔细审题。
切记审题不清，仓促上阵。
有时需要将题目中隐含的条件转化为明显条件，从而挖掘建构出题目与问题之间的桥梁。
同时，审题重要的一项还要防止有“陷阱”，比如题目中单位不统一，比如条件和问题叙述顺序的前后颠倒等等。
因此，养成良好的审题习惯，才能提高阅读能力。
第三把钥匙脑要思。
“学而不思则罔，死而不学则殆。
”在学习数学的过程中，要善于开动脑筋，积极主动去发现问题，还要有独立思考的习惯。
思考问题要注重新旧知识点之间的内在联系，把握概念的内涵和外延，能做到一题多解，一题多变，也就是我们通常所说的举一反三。
对于老师和同学之间已经出现的解题思路，要善于另辟蹊径，善于从多侧面，全方位地思考问题，挖掘问题的本质，勇于发表自己的独特见解。
一个人，如果长期处于无问题状态，说明他的大脑思考不够，自然学习能力难于提高。
第四把钥匙善反思。
解完一道题，同学们习惯于将之抛到脑后，不善于反思和总结。
每做完一道题目，要养成不失时机地回顾下列问题：解题过程中如何分析探索出解题途径的？使问题获得解答的关键是什么？解决问题的过程中运用了学过的那些知识点？通过解题后的反思与回顾，有利于发现问题的关键所在，并从中提炼出数学思想和方法。
打开数学大门的金钥匙
打开数学大门的金钥匙【摘要】数目、输出格式等。
摘要内容如下：数学是一门普世的语言，它在世界各地被认可和应用。
与现实生活息息相关，数学在各行各业中都起着关键作用。
从天文学到经济学，数学的应用领域非常广泛。
学习数学不仅可以提高思维能力，还可以培养逻辑思维和解决问题的能力。
而数学的学习方法也是至关重要的，包括理解概念、掌握技巧和不断练习。
数学是人类文明的基石，是打开未来的金钥匙，它让我们更好地理解世界，推动科学技术的发展，引领我们走向更加美好的未来。
学习数学不仅仅是一种能力，更是一种态度和信仰。
【关键词】数学、普世的语言、现实生活、应用领域、思维能力、学习方法、人类文明、未来、金钥匙1. 引言1.1 为什么要学习数学为了理解这个世界、解决现实生活中的问题，人类需要掌握数学知识。
数学是一门独特的学科，它不仅是一种工具，更是一种思维方式。
为什么要学习数学？数学是一门普世的语言。
无论是哪个国家、哪个文化背景，数学的规律是不变的。
通过学习数学，我们可以获得更丰富的世界观和认知能力。
数学与现实生活密切相关。
从日常生活中的购物结算到复杂的科学研究，数学无处不在。
掌握数学知识可以帮助我们更好地解决生活中的各种问题。
数学的应用领域非常广泛，涵盖了各个学科和行业。
无论是经济学、工程学还是计算机科学，都离不开数学的支持。
学习数学还可以提升我们的思维能力和逻辑推理能力，培养我们的观察、分析和解决问题的能力。
学习数学不仅可以帮助我们更好地理解这个世界，解决生活中的问题，还可以拓展我们的思维方式和提升自己的能力。
所以，学习数学是一件非常重要的事情。
1.2 数学的重要性数学是一门普遍被认为非常重要的学科，它在我们日常生活中扮演着重要的角色。
数学的重要性主要体现在以下几个方面：数学是一门普世的语言。
无论在哪个国家，不同的文化背景下，数学都是一种普遍通用的语言，可以跨越国界和文化差异，使人们能够更好地相互沟通和交流。
数学与现实生活的联系非常紧密。
高等数学(同济第六版)课件第一章.绪论、第1节
莱 布 尼 茨
莱布尼茨是一个博才多学的学者,1684 年，他发表了现在世界上认为是最早的微 积分文献，这篇文章有一个很长而且很古 怪的名字《一种求极大极小和切线的新方 法，它也适用于分式和无理量，以及这种 新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一 片说理也颇含糊的文章，却有划时代的意 义。他以含有现代的微分符号和基本微分 法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积 分学的文献。他是历史上最伟大的符号学 者之一，他所创设的微积分符号，远远优 于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大 的影响。现在我们使用的微积分通用符号 就是当时莱布尼茨精心选用的.
微分与积分是分析中的两种基本的极限过程。 这两种过程的一些特殊的情况，甚至在古代就已经
有人考虑过（在阿基米德工作中达到高峰），而在
十六世纪和十七世纪 ，更是越来越受到人们的重
视。然而，微积分的系统发展是在十七世纪才开始
的，通常认为是牛顿和莱布尼茨两位伟大的科学先 驱的创造。这一系统发展的关键在于认识到：过去 一直分别研究的微分和积分这两个过程，实际上是 彼此互逆的联系着。
第三类问题
求函数的最大最小值问题。 十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以 45 角
发射炮弹时，射程最大。
研究行星运动也涉及最大最小值问题。
第三类问题
困难在于：原有的初等计算方法已不适于解决研 究中出现的问题。但新的方法尚无眉目。
第四类问题
求曲线的长度、曲线所围成的面积、曲面所围成 的体积、物体的重心。
高等数学 以微积分为主要内容的学科
微积分的发展历程
微积分的创立 ——变量的数学
初等数学时代（17世纪前） —— 常量的数学
• 算术
• 初等几何 • 初等代数
初等数学时代 —— 算术
高等数学《极限与连续-绪论》课件
2 x 2
. x0
3.初等函数 由基本初等函数及常数经过有限次四则 运算和有限次复合所构成的可用一个式
子表示的函数,称为初等函数.
4.双曲函数与反双曲函数（自学）
内容小结
1. 预备知识
2. 函数的定义
3. 函数的特性
有界性, 单调性,
奇偶性, 周期性 4. 复合函数、初等函数
作业: P1 1.1 课后作业: 书上习题1.1
1 x sin
(1) y e 1x (2) y (arctan sin3 x )3 解 (1)由y eu , u sinv, v w , w 1 x 复合而成
1 x
(2) y u3 , u arctan v, v w , w t 3 , t sin x
复合而成.
例3 设 x2
若M2 , x X , 有 f ( x) M2成立, 则称f ( x)在X上有下界
可以证明（课后完成） f (x) 在 X上有界 f (x) 在 X上既有上界又有下界
如: y sin x 在 ,内有界.
例1: 试证
y 1 在1,2内有界,在0,1内无界.
x
证: (1) x 1, 2, 1 1 y 1 在1, 2内有界.
预习：数列的极限 、函数的极限
U(a, ) a ,a x x a
{x a x a }
a
a
a x
去心邻域: U 0 (a, ) x 0 x a , 0
3. 极坐标系
P
O称为极点, Ox称为极轴,
M
MM点点的的直极角坐坐标标记记为为MM((,x,y)或) (r, )
是射线OP上由O到M的距离
y tan x
余切函数
y cot x
高等数学绪论
在一切理论成就中,未必再有什么像17世
纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神
的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人
类精神的纯粹的和惟一的功绩，那就正在这
里。
恩格斯
国家的繁荣富强，关键在于高新的科技和高 效率的管理。高技术的基础是应用科学，而 应用科学的基础是数学。高技术本质上是一 种数学技术。
常微分方程：是把微积分应用于解决实际问 题的桥梁，讨论常微分方程的可解性及解的 求法。
向量代数与空间解析几何：研究向量的概念 与运算，空间的平面、曲线、曲面的代数描 述及方程和函数的几何表示，是平面解析几 何的自然推广。
无穷级数：是有限和的推广，研究级数的收敛 性及函数的无穷级数展开问题。
高等数学与初等数学的主要区别在于研究的对 象和研究方法的不同：初等数学主要研究规则、 平直的几何图形和均匀、有限过程的常量；高 等数学主要研究不规则、弯曲的几何对象和非 均匀、无限过程的变量。
圆的切线 : 与圆只
有一个交点的直线
y x 3 2x 5在(0,5)
P
的切线是什么？
割线的极限位置
割线斜率：
y x3 2x 5
k PM
f (x) f (0) x0
x2 2
切线斜率k lim f ( x) f (0) 2
x0
x0
M
M
T
例2 曲边形的面积
求由x轴，x 1, y x 2所围图形的面积
微积分的创立者 及其先驱
笛卡尔、巴罗、
牛顿、莱布尼茨
0.1 数学发展概况
数学的萌芽时期：远古时代------公元前6世 纪。这一时期的数学知识是零碎的，没有命题 的证明和演绎推理。
常量数学时期：公元前6世纪------17世纪上 半叶。比较系统的知识体系、比较抽象的并有 独立的演绎体系的学科。中国古代数学名著 《九章算术》和古希腊的《几何原本》是代表 作。现在中学数学课程的主要内容基本上是这 一时期的成果。
开学第一课高数
高 等 数 学
绪论（Introduction）
一、数学的内容与特点
1．数学的内容
初等几何：研究空间形式
（elementary geometry）
初等数学
（Elementary Mathematics）
初等代数：研究数量关系
（elementary algebra）
（2）精确性
◆ 表现在数学定义的准确性、推理的逻辑严密
性和数学结论的确定无疑与无可争辩性。
数学的这个特点要求我们在学习数学时，
不仅要做习题，掌握解题方法，而且要重视
和学会证明结论的思想和技巧。
（3）应用的广泛性
◆ 华罗庚：宇宙之大，粒子之微， 火箭之速，化工之巧，地球之变， 生物之谜，日用之繁，数学无所 不在。凡是出现“量”的地方就少不了用数学。 ◆ Kepler行星运动法则，万有引力定律等(Newton)
推算出天王星附近还应有一颗行星存在，
并给出了运动规律和位置。
一年后观测得到证实。
（2）“正电子”的存在
1928年 Dirac(英)计算预言
1932年
Anderson证实
获1936年Nobel奖。
Anderson
3．美妙的和谐
（1）黄金分割:把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长
之比等于另一部分与这部分之比。通过简单的计算就可以发现：(10.618)/0.618≈0.618一条线段上有两个黄金分割点。
◆ 社会科学、经济
金融数学
二、数学的神奇魅力
1．诱人的猜想（conjecture）
（1）Goldbach猜想：
1742.6.7. 任何大于等于6的偶数可表为 两个奇素数之和。（1+1）
浅谈高职高等数学绪论课
浅谈高职高等数学绪论课高职高等数学绪论课是高等数学的基础课程之一，是培养学生数学基本素养的重要课程。
在整个高职高等教育过程中，高等数学绪论课扮演着非常重要的角色。
本文将对高职高等数学绪论课进行简要的讨论，从课程内容、教学方式和学习方法等方面展开，希望能够对读者有所启发。
高职高等数学绪论课的课程内容主要包括了数学逻辑与集合论、数学语言与证明、数学归纳与递推、数学基本概念与证明方法等内容。
这些内容构成了高等数学的基础，是学生进一步学习数学课程的基石。
数学逻辑与集合论是高职高等数学绪论课中的重要内容之一，它帮助学生建立起逻辑思维的基础，培养学生的抽象思维能力；数学语言与证明则是培养学生严密的逻辑思维和分析能力，使学生学会运用数学语言进行简练而准确的陈述和证明；而数学归纳与递推则是培养学生抽象思维和创新思维的重要内容，学生通过学习这一部分内容可以更好地理解数学的发展规律和演绎思维。
高职高等数学绪论课程内容全面，涵盖了数学基础概念、逻辑思维、证明方法和数学推理等多个方面，对于学生的数学思维能力和数学基础打下了坚实的基础。
高职高等数学绪论课的教学方式主要包括了理论授课和实例讲解两种方式。
在理论授课中，老师可以通过讲授数学概念和定理、逻辑推理和证明方法等内容，来帮助学生建立起数学基础和逻辑思维能力；而在实例讲解中，老师可以引入一些实际问题，通过具体的实例来引导学生学会运用数学知识进行问题分析和解决。
在教学过程中老师还可以引导学生积极参与讨论，让学生在交流中更深入地理解数学概念和方法，激发学生的学习兴趣和学习潜力。
这样的教学方式有利于激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，提高学生的学习效果。
高职高等数学绪论课的学习方法对于学生的学习成绩和数学素养的培养有着非常重要的作用。
学生应该掌握好数学基础知识，包括集合、函数、数列等基本概念和性质；学生应该注重逻辑思维和证明方法的训练，通过大量的习题训练和实例分析来掌握逻辑思维和证明方法，提高自己的数学推理和解决问题的能力；学生应该善于思考和总结，在学习过程中要善于思考问题、总结规律，不仅要会用数学知识解决问题，更要会发现问题、提出问题、解决问题；学生应该要注重实战，尝试运用所学的数学知识解决实际问题，通过实际应用来加深对数学知识的理解和记忆。
高等数学绪论PPT
5、数学是一门艺术，一门创造性艺术
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★简洁美
★和谐美
★对称美
★奇异美
两个黑洞的斗争
分形现象
蝴蝶吸引子
结语:
数学不仅是一种重要的工具和方法，同时是 一种思维模式，即“数学思维”；不仅是一种知识， 而且是一种素质。
数学努力的目标是： 将杂乱整理为有序， 使经验升华为规律， 使复杂演变为简单。
——《数学文化》顾沛著，高等教育出版社。
例：微软公司招考员工的一道面试题： 一个屋子里 有50个人，每个人领着一条狗，而这些狗中有一 部分病狗。假定有如下条件：a.狗的病不会传染， 也不会不治而愈；b.狗的主人不能直接看出自己的 狗是否有病，只能看别人的狗，从而推理发现自 己的狗是否有病；c.一旦主人发现自己的狗是一只 病狗，就会在当天开枪打死这条狗；d.狗只能由它 的主人开枪打死。结果，第一天没有枪声，第二 天没有枪声，……，第十天发出了一片枪声，问 有几条狗被打死？
恩格斯指出：数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了 变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学； 有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了……。
★牛顿、莱布尼茨创立微积分.
★这个时期的基本成果是解析几何、微积分、 微分方程等，它们是现今高等院校中的基础 课程。
第四阶段：现代数学阶段 （19世纪至今）
博雷尔：数学是我们确切知道我们在说什么， 并肯定我们说的是否对的唯一的一门科学。
罗素：“数学是所有形如p蕴含q的命题类” 而 最前面的命题p是否对，却无法判断，因此 “数学是我们永远不知道我们在说什么，也 康不托知:道数我学们的说本的质是在否于对它的的一自门由学。科在。数”学领域， 提出问题的艺术比解决问题的艺术更为重要。
珍视开启数学之门的金钥匙
珍视开启数学之门的金钥匙作者：周玲霞来源：《学校教育研究》2018年第09期创新是一个民族的灵魂。
素质教育的核心就是培养学生的创新精神和创新能力。
创新如开启数学宝库之门的一把金钥匙，是学好数学、运用数学的关键。
因此，在数学教学中培养学生的创新精神和创新能力尤为重要。
一、良好的育人环境是培养学生创新能力的“前提”心理学告诉我们，处于压力状态下的思维往往带强迫性，很难具有创新性。
创新能力的生成，需要一种宽松的环境。
1.融洽的师生关系，营造宽松的学习环境首先，良好的师生关系有利于学生学习兴趣的提高。
其次，良好的师生关系可以引导学生采用归因方式进行自我评价，以增强学习的自信心，进而大大提高学生学习的积极性。
再次，良好的师生关系能激发学生积极的情感，促进智力活动的进行。
2.教师要善于控制自己的情绪不要把自己消极的情绪带进课堂，要努力把乐观向上的一面展示给学生，去影响、感染学生。
3.教师要理解素质教育的真正内涵，不唯成绩高低论对学生一视同仁，让学生在一个宽松平等的学习环境中充分展示个性，发挥创造力。
二、积极的学习兴趣是培养学生创新能力的“动力”兴趣是动力的源泉，要获得持久不衰的学习动力，就要培养学生的学习兴趣。
1.创设情景，激发学习兴趣《数学课程标准》指出：数学教学要紧密联系生活实际，数学源于生活，又服务于生活。
因此，教师要善于在学生熟悉的实际生活中，从学生生活经验和已有知识经验出发创设生动有趣的教学情景，让学生走进生活，在生活中看到数学，接触到数学，运用到数学，激发学生学习数学的兴趣，从而产生积极的创造能力。
情景的表现形式多种多样，如：生活情景、活动情景、故事情景、竞争情景、操作情景等。
“学起于思，思起于疑。
”在教学中要充分创设情景、设疑，以促使学生提出问题。
学生通过先提出问题，再来解决问题，使得学生对学习充满浓厚的兴趣。
学生在解决问题的过程中也可以发现和提出新的问题。
这样，学生在愉悦的学习过程中不断探索、不断创新。
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“绪论课”——打开《高等数学》殿堂的金钥匙摘要:学好高等数学是学好其它各门专业课的必备条件,第一堂课是学好高等数学的关键。
本文通过三个方面就如何上好高等数学绪论课做了相关的探讨。
关键词:高等数学绪论课发展史
《高等数学》是各专业必修的一门重要基础课,要学好高等数学,必须打破原有的思维定势,建立新的思维结构。
作为高等数学老师,如何使学生转变思维,并激发学生的求知欲,充分调动学生的学习积极性,就显得尤为重要。
这也使得高等数学的第一堂课尤其重要,从而必须设计一堂富有启发性和鼓励性的“绪论课”。
高等数学绪论课应该包括如下几个方面。
1 高等数学与初等数学的区别
要打破原有的思维定势,了解高等数学与初等数学的区别是关键。
中学数学与高等数学的不同主要体现在两个方面:
变与不变。
中学数学研究的是从古希腊继承下来的旧数学,它的研究对象是静态的、不变的,是关于常量的数学,只涉及固定的和有限的量;而高等数学的研究对象是动态的、变化的,是关于变量的数学,包含了运动、变化和无限。
有限与无限。
中学数学大多地在“有限”领域里,以“有限”为手段和工具进行讨论;而高等数学更多的是在“无限”领域里,以“无限”为手段和工具进行讨论。
芝诺悖论(Zeno´s paradoxes)是古希腊数学家芝诺(Zeno of Elea)提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论。
这些悖论中最著名的两个是:“阿基里斯跑不过乌龟”和“飞矢不动”。
这些方法现在可以用微积分(无限)的概念解释。
例1:飞矢不动。
芝诺认为箭在每一瞬间都要占据一定的空间位置,即每一瞬间都是静止的。
既然每一瞬间都是静止的,又怎么可能动呢？芝诺是想用这个例子说明世界是静止的、不变的。
这个悖论的标准解决方案如下:箭在每个时刻都不动这一事实不能说明它是静止的。
运动与时刻里发生什么无关,而是与时刻间发生什么有关。
如果一个物体在相邻时刻在相同的位置,那么我们说它是静止的,反之它就是运动的。
例2:阿基里斯追不上乌龟。
芝诺可以证明,如果让乌龟先爬出一段距离,那么阿基里斯永远也追不上乌龟。
芝诺是这样证明的。
假设乌龟先爬出一段距离到达点,阿基里斯
要想追上乌龟,首先得跑到点。
当阿基里斯跑过距离到达点时,乌龟同时又爬出一段距离到达点。
这样下去,阿基里斯(博尔特)跑到点时,乌龟又爬到点了。
如此这般,阿基里斯永远也追不上乌龟了。
这当然与常理矛盾,问题的症结出在哪里呢？症结就在于无限段长度的和,可能是有限的。
表面上看起来阿基里斯要想追上乌龟需要跑无穷段路,所以感觉永远也追不上。
实际上这无穷段路程的和却是有限的,所以阿基里斯跑完这段有限的路程后,其实已经追上乌龟了。
2 介绍高等数学发展史
17世纪正是由中世纪向新时代过渡的时期。
资本主义开始发展,并成为与封建制度作斗争的先进力量。
精密科学从当时的生产与社会生活中获得巨大动力。
航海学的发展引起了人们对天文学及光学的高度兴趣。
造船学,机器制造与建筑,堤坝及运河的修建,弹道学及一般的军事问题等等,促进了力学的发展。
天文学,力学,光学以及工业技术本身,又要求对当时的数学作彻底的革新。
研究的开始是“手工业”式的。
建立每一个个别的结果都要采取特殊的方法。
随着时间的推移情况逐渐有所改变,终于出现了用一般的方法去解同一类型的问题,建立了各问题之间的联系,弄清楚了一些基本概念。
而且微分学与积分学是相互独立地发展起来的,最后在牛顿和莱布尼兹手中建立了二者的联系,完成了微积分的创立。
促使微积分产生的主要因素是什么呢？当时科学面临的主要问题是什么呢？下面四类问题为大家提供了解答。
已知物体运动的路程与时间的关系,求物体在任意时刻的速度和加速度。
反过来,已知物体运动的加速度与速度,求物体在任意时刻的速度与路程。
求曲线的切线。
这是一纯几何的问题,但对于科学应用具有重大意义。
例如,在光学中,透镜的设计就用到曲线的切线和法线的知识。
在运动中也遇到曲线的切线问题。
原有的切线定义对于17世纪所用的比较复杂的曲线已经不适用了。
求函数的最大值和最小值问题。
在弹道学中这涉及到炮弹的射程问题。
在天文学中涉及到行星和太阳的最近和最远距离问题。
求积问题。
求曲线的弧长,曲线所围区域的面积,曲面所围的体积、物体的重心等。
这些问题在古希腊已开始研究,但他们的方法缺乏一般性。
上述变速直线运动的瞬时速度问题及其求解方法是微积分中微分问题的典型代表,微分学的基本概念—导数,就是从这类问题抽象出来的上述平面图形面积的求解方法是微积分中积分问题的典型代表,积分学中的基本概念—定积分,就是从这类问题抽象出来的。
以上两例求解的思想方法就是微积分思想方法的具体体现。
3 怎样学习高等数学
学习微积分不仅要学习基本知识、掌握基本技能和能力,更要体会其中所蕴含的思想方法,并将这种思想方法迁移到其他学科和解决实际问题上去。
学习微积分不同于学习算术、代数和几何。
在这些课程中主要学习怎样计算数、怎样简化代数表达式以及计算变量;及怎样对平面上的点、线和图形进行推理。
高等数学需要这些方法和技巧,但也要以更大的精确性以及在更深层次上发展其他的方法和技巧。
高等数学引进了如此多的新概念和计算操作。
事实上已经不可能在课堂上学习所需要的所有内容,必须依靠自学或和其他学生一起学习相当多的内容。
4 结语
上一次好的绪论课,可使学生充分认识到学习《高等数学》的重要性和必要性, 并可使学生对利用数学工具解决问题的有效性获得深入的认识,从而对这门课产生较浓厚的学习兴趣。
爱因斯坦曾说过“兴趣是最好的老师”,对《高等数学》这门课产生了兴趣,也就为学好这门课奠定了基础。
参考文献
[1] 陈鼎兴．数学思维与方法[M].南京:东南大学出版社,2001.
[2] 高山.上帝真的掷骰子[M].北京:清华大学出版社,2009.
[3] 王正萍．浅谈《高等数学》绪论课的教学[J].滁州职业技术学院学报,2003,2(1):73～75.。